casos uniones apernadas
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FACULTAD DE INGENIERÍA
CÁTEDRA: MECANISMOS Y ELEMENTOS DE MÁQUINAS
GRUPO Nº: TP Nº: 6 FECHA:TORNILLOS DE UNION VºBº
PROBLEMA Nº 1
En la figura se ilustra la conexión de una cabeza de cilindro con un recipiente a presión usando 10
pernos y un sello de empaque confinado. El diámetro de sellado efectivo tiene 150mm. Otras
dimensiones son: A=100, B=200, C=300, D=20, E=20, todas en milímetros. El cilindro se usa para
almacenar gas a una presión estática de 6MPa. Se han seleccionado pernos ISO clase 8.8 con n
diámetro de 16mm. Esto proporciona un espaciado entre pernos aceptable. ¿Cuál es el factor n que
resulta de esta selección?
En primer lugar se calcula la fuerza debida a la presión que debe soportar los pernos:
σ= PA
Donde:
- σ , presión de trabajo.- A , área efectiva de trabajo.- P, fuerza debida a la presión.
Entonces:
P=σ∗A → P=6 x 106
Nm2∗π
4∗(0,15m )2=106028,75 N
Como se tiene un total de 10 pernos se debe dividir por la cantidad de los mismos para hallar el
esfuerzo que debe soportar cada tornillo.
P'= Pnº tornillos
=10602,87 N
Según la tabla 8-1 “Diámetros y áreas de roscas métricas de paso grueso y fino” (página 398, 8va.
Edición del Shigley “Diseño en Ingeniería mecánica”).
Se selecciona una serie de pasos gruesos donde:
∅ nom=16 mm
Paso p=2mm
Área de esfuerzo de tensión At=157 mm2
Se desea terminar la precarga inicial por lo que hay dos criterios:
F i=0,75∗F p para conexiones reutilizables .
F i=0,90∗Fp paraconexiones permanentes .
Se adopta una conexión reutilizable.
La carga de prueba se obtiene de la tabla 8-11 “Clases métricos de propiedad mecánica de pernos,
tornillos y bríos de acero” (página 420, 8va. Edición del Shigley “Diseño en Ingeniería mecánica”).
SP=Resistencia de pruebamínima=600 MPa
Entonces:
F i=0,75∗F p=0,75∗600 x 106 Nm2∗1,57 x10−4 m2
F i=70650 N
Cálculo de la Rigidez del Tornillo
En la siguiente figura se puede observar al tornillo y sus respectivas longitudes de la parte roscada y
sin roscar.
Los datos de la tuerca hexagonal se encuentran normalizados en la tabla A-31 (Página 1035,
8va.Edición del Shigley “Diseño en Ingeniería mecánica”).
AnchoW =24 mm
Altura H=14,8 mm
La longitud total del tornillo:
L=40mm+14,8 mm+2∗2mm=58,8 mm
Para una serie métrica y teniendo en cuenta la longitud Lt roscada del sujetador:
Lt=longitud de la parte roscada
Lt=2d+6 mm para L ≤125 mm y D≤ 48 mm
Lt=2∗16mm+6 mm=38mm
La longitud de la parte útil sin roscar
ld=L−Lt
ld=20,8 mm
El material del tornillo es acero y cuyo módulo de elasticidad E=207 GPa.
Entonces la constante de rigidez del bulón se calcula como:
1kb
= 1k SR
+ 1kCR
Donde:
- k SR, constante de rigidez de la parte sin roscado.
- kCR, constante de rigidez de la parte roscada.
k SR=Anominal∗E
l d=
π4∗(0,016 m )2∗207 x109 N /m2
0,0208 m=2 x 109 N /m
kCR=At∗E
lt=1,57 x10−4 m2∗207 x109 N /m2
0,0192 m=1,69 x 109 N /m
lt=l−ld=40mm−20,8mm=19,2 mm
Entonces:
1kb
= 12 x 109 N /m
+ 11,69 x 108 N /m
⇒ kb=9,15 x108 N /m
Cálculo de la Rigidez de los materiales de la junta
La rigidez de los elementos comprendidos en la zona de agarre se puede hallar por analogía de un
conjunto de resorte de compresión en serie:
1km
= 1k1
+ 1k 2
Donde:
- k1, rigidez de la tapa de acero.
- k 2, rigidez del cilindro de hierro colado.
Si uno de los elementos es un empaque suave, su rigidez relativa respecto de los otros elementos
generalmente resulta tan pequeña que se puede despreciar.
Como la rigidez de los miembros de la junta es difícil de obtener debido a que la compresión se
extiende progresivamente entre la cabeza del tornillo y la tuerca. Esto sugiere el uso del método del
cono de presión Rotscher para el cálculo de rigidez con un ángulo variable del cono.
Para desarrollar el problema se considera un α=30º.
Por trigonometría hallamos el segmento x
tan α= xt1
→ x=t 1∗tan α
x=11,547 mm
Para hallar el diámetro de la cabeza del perno se obtiene de la tabla A-29 “Dimensiones de perno de
cabeza cuadrada y hexagonal” (página 1033,8va. Edición del Shigley “Diseño en Ingeniería
mecánica”).
W=24 mm
H=10,75 mm
Entonces el diámetro D se calcula como:
D=2∗x+W → D=2∗11,547 mm+24mm=47,094 mm
La rigidez del material se calcula mediante la expresión:
k m=0,577 π∗E∗d
ln [ (1,155 t +D−d )∗( D+d )(1,155 t +D+d )∗(D−d ) ]
Rigidez de la tapa de acero
k1=0,577 π∗207 x109 N /m2∗0,016 m
ln [ (1,155∗0,020+0,047−0,016 )∗(0,047+0,016 )m(1,155∗0,020+0,047+0,016 )∗(0,047−0,016 )m ]
=2,492 x 1010 N /m
Rigidez del cilindro de hierro colado
k 2=0,577 π∗100 x109 N /m2∗0,016 m
ln [ (1,155∗0,020+0,047−0,016 )∗(0,047+0,016 ) m(1,155∗0,020+0,047+0,016 )∗(0,047−0,016 ) m ]
=1,203 x1010 N /m
Entonces la constante de rigidez del conjunto km se obtiene:
1km
= 1k1
+ 1k 2
→k m=[ 12,492 x 1010 N /m
+ 11,203 x1010 N /m ]
−1
=8,11 x 109 N /m
La fracción de la carga externa P soportada por el perno:
C=kb
kb+k m→C=0,53→ 53 %
La fracción de la carga externa P que soportan los elementos:
1−C=1−0,53=0,47→ 47 %
El factor de carga n:
n=SP∗A t−F i
CP'→ n=600 x106 N /m2∗1,57 x 10−4 m2−70650 N
0,53∗10602,87 N=4,19
Cualquier valor de n>1 asegura que el esfuerzo en el perno es menor que la resistencia de prueba.
Otro medio para asegurar una unión segura es exigir que la carga externa sea más pequeña que la
necesaria para que la unión se separe. Si llegara a ocurrir la separación entonces se impondrá toda la
carga externa sobre el perno.
Entonces, Po es el valor de carga externa que causaría la separación de la unión, por lo que en
separación:
Fm=0 (Carga resultante en loselementos )
Entonces:
(1−C )∗Po−F i=0
Factor de seguridad con la separación:
no=P0
P→no=
Fi
(1−C )∗P=14,17
PROBLEMA N°2
En la figura del problema anterior los pernos tienen un diámetro de ½ pulg. Y la placa de la cubierta es
de acero con D=1/2 pulg. El cilindro se hizo de fundición de hierro, con 5/8 de pulg. Y un módulo de
elasticidad de 18 Mpsi. La arandela SAE de ½ pulg. Que se va a utilizar debajo de la tuerca tiene DE
de 1.062 pulg. Y un espesor de 0.095 pulg. Determine la rigidez del perno y de los elementos de unión
y la constante de la unión C
Del problema anterior conocemos la fuerza debida a la presión que debe soportar cada perno
P'=10602,87 N=2383 ,63 lbf
Según la tabla 8-2 (página 399, 8va. Edición del Shigley “Diseño en Ingeniería mecánica”).
Se selecciona una serie de pasos gruesos donde:
∅ nom=0,5 inch
Roscas por pulgada N=¿ 13
Área de esfuerzo de tensión At=0,1419 inch2
Para determinar la carga inicial adoptamos una conexión reutilizable de acuerdo con la fórmula 8-30
(página 427, 8va. Edición del Shigley “Diseño en Ingeniería mecánica”).
F i=0,75∗F p
Donde Fp es la carga de prueba, la cual se obtiene mediante la siguiente ecuación:
F p=At∗Sp
La resistencia de prueba (Sp) se obtiene de la tabla 8-9 (página 418, 8va. Edición del Shigley “Diseño
en Ingeniería mecánica”).
Debido a que se está trabajando con el sistema ingles se seleccionan pernos SAE 5 los cuales son de
acero de medio carbono, templados y revenidos al igual que los ISO 8.8 seleccionados en el problema
anterior además sus propiedades mecánicas son similares:
Sut=Resistenciamínima a latensión=120 Kpsi=827,3 MPa
Sy=Resistencia mínima a la fluencia=92 Kpsi=634,3 MPa
SP=Resistencia de pruebamínima=85 Kpsi=586 MPa
Entonces:
F i=0,75∗F p=0,75∗( 85 Kpsi∗0,1419inch2 )
F i=9046,12 lbf
Cálculo de la Rigidez del Tornillo
En la siguiente figura se puede observar al tornillo y sus respectivas longitudes de la parte roscada (Lt)
y sin roscar (Ld).
Los datos de la tuerca hexagonal se encuentran normalizados en la tabla A-31 (Página 1035,
8va.Edición del Shigley “Diseño en Ingeniería mecánica”).
AnchoW =0,75 inch
Altura H=0,4375 inch
La longitud de la parte roscada que sobresale de la tuerca es Ls y adoptamos que sobresalen dos roscas
(hilos).
Ls=2 roscas∗1inch13 roscas
=0,1538 inch
La longitud total del tornillo:
L=D+E+ H+e+L s
L=0,5inch+0,625 inch+0,4375 inch+0,095 inch+0,1538 inch
L=1,811 inch
Para hallar la longitud de la parte roscada del tornillo (Lt) utilizamos la tabla 8-7 (Página 412,
8va.Edición del Shigley “Diseño en Ingeniería mecánica”).
Lt=longitud de la parte roscada
Lt=2∗0,5 inch+0,25 inch=1,25inch
La longitud sin roscar (ld)
ld=L−Lt
ld=0,561inch
El material del tornillo es acero y cuyo módulo de elasticidad E=30 Mpsi.
Entonces la constante de rigidez del bulón se calcula como:
1kb
= 1k SR
+ 1kCR
Dónde:
- k SR=Constante derigidez de la parte sin roscado . - kCR=Constante de rigidez de la parte roscada. - lGd=Longitud de la parte sin rosca deagarre.
- l¿=Longitud de la parte roscada deagarre.
k SR=Anominal∗E
lGd=
π4∗(0,5 inch)2∗30 x 106lbf / inch2
0,561inch=10,49∗106 lbf / inch
kCR=At∗E
l¿=0,1419 inch2∗30 x106 lbf / inch2
(1,25−0,1533) inch=3,88∗106 lbf /inch
Entonces:
1kb
= 110,49∗106 lbf /inch
+ 13,88∗106 lbf / inch
=3,53∗10−7inch / lbf
k b=2,83∗106lbf / inch
Cálculo de la Rigidez de los materiales de la junta
La rigidez de los elementos comprendidos en la zona de agarre se puede hallar por analogía de un
conjunto de resorte de compresión en serie:
1km
=∑i=1
n 1k i
Para determinar el valor de km:
Se considera que las arandelas utilizadas son de Acero, por lo tanto E=30 MPsi
La placa es de Acero E=30 MPsi
Los cilindros son de fundición de acero E=18 MPsi
Para el cálculo el km nos valemos del método del cono de presión Rotscher,
Para desarrollar el problema se considera un α=30º.
En la figura se presenta esquema ilustrativo del perno solo con los entalles de la cabeza y de la tuerca
que sujetan la cabeza del cilindro con un recipiente de presión, a este se le aplica el método de Rotsher.
Desde entalle debajo de la cabeza del perno a ambos extremos del entalle se trazaron líneas de puntos
verticales hasta coincidir con el entalle de la tuerca. Luego desde el entalle debajo de la cabeza del
perno y a 30 con respecto a la línea de puntos se trazó una línea la cual debe interceptar con otra línea
la cual fue trazada desde el entalle de la tuerca a 30° de la línea de puntos. De estas intersecciones se
forman dos triángulos de los cuales se ven resaltadas cuatro áreas para cada triangulo, cada una de
ellas representa una rigidez, por lo tanto, los elementos sujetados presentan cuatro rigideces en serie.
1km
= 1k1
+ 1k 2
+ 1k3
+ 1k 4
La rigidez individual de cada una se puede calcular como:
k m=0,577 π∗E∗d
ln [ (1,155 t +D−d )∗( D+d )(1,155 t +D+d )∗(D−d ) ]
d
Calculo de k1
D1=0,75 inch
t 1=0,5 inch
E=30 Mpsi
d=0,5inch
k1=0,577∗π∗30 Mpsi∗0,5inch
ln [ (1,155∗0,5+0,75−0,5 ) inch∗(0,75+0,5 ) inch(1,155∗0,5+0,75+0,5 ) inch∗( 0,75−0,5 ) inch ]
k1=33,27∗106lbf / inch
Calculo de k2
D2=1,3227 inch
t 2=(0,56−0,5 ) inch=0,06 inch
E=18 Mpsi ;
d=0,5inch
k 2=0,577∗π∗18 Mpsi∗0,5inch
ln [ (1,155∗0,06+1,3227−0,5 ) inch∗(1,3227+0,5 ) inch(1,155∗0,06+1,3227+0,5 )inch∗(1,3227−0,5 ) inch ]
k 2=374,53∗106 lbf /inch
Calculo de k3
D4=0,859 inch
t 3=(1,025−0,56 )inch=0,465inch
E=18 Mpsi
d=0,5inch
k3=0,577∗π∗18 Mpsi∗0,5inch
ln [ (1,155∗0,465+0,859−0,5 ) inch∗(0,859+0,5 ) inch(1,155∗0,465+0,859+0,5 ) inch∗(0,859−0,5 ) inch ]
k3=28,05∗106lbf / inch
Calculo de k4
D5=0,75inch
t 4=0,095inch
E=30 Mpsi
d=0,5inch
k 4=0,577∗π∗30 Mpsi∗0,5 inch
ln [ (1,155∗0,095+0,75−0,5 )inch∗(0,75+0,5 )inch(1,155∗0,095+0,75+0,5 ) inch∗(0,75−0,5 )inch ]
k 4=97,19∗106 lbf /inch
Calculo de la rigidez del conjunto
k m=( 133,27∗106 + 1
374,53∗106 +1
28,05∗106 +1
97,19∗106 )−1
lbf /inch
k m=12,71∗106lbf /inch
La fracción de la carga externa P soportada por el perno:
C=kb
kb+k m
C= 2,83∗106
2,83∗106+12,71∗106
C=0,182 →18,20 %
La fracción de la carga externa P que soportan los elementos:
1−C=1−0,182=0,818→ 81,8 %
PROBLEMA Nº3
En la figura se muestra una pieza soldada que se ha diseñando provisionalmente para ser montada con
pernos sobre un perfil de canal, de manera que se transmita al mismo la carga de 2500 lbf. El canal es
de acero de bajo carbono rolado en caliente, con una resistencia mínima de fluencia de 46 Kpsi. Las
dos placas laterales son de material laminado en caliente con una Sy mínima de 45,5 Kpsi. El
dispositivo se montará mediante seis pernos estándares SAE grado 2. Compruebe la resistencia del
diseño calculando el factor de seguridad para todos los modos de falla posibles.
Para la resolución del problema se considero la carga directa o cortante primario F’ aplicada a una de
las placas ya que ambas resisten en igual medida dicho esfuerzo. Entonces:
F '=Faplicada
Nº de pernosen la conexión→ F '=2500 l⃗b
3=833,33 l⃗b
Si a la fuerza aplicada se reduce su efecto en el baricentro donde se ubican los pernos, la misma se
traslada mediante un par opuesto que generaría un momento constante sobre los pernos.
Se calcula el momento M:
M=F '∗d → M=2500 l⃗b∗5∈¿12500 l⃗b .∈¿
Como se tiene uniones a cortante con carga externa, se obtiene la carga del momento o cortante
secundario, se define como la carga adicional sobre cada perno debido al momento M.
F = {M* {r} rsub {n}} over {{{r} rsub {1}} ^ {2} + {{r} rsub {2}} ^ {2}
En este caso las distancias medidas desde los centros de gravedad son iguales por lo tanto la carga
cortante secundaria resulta:
r1 r2
F = { M∗ { r } rsub {n}} over {{{r } rsub {1 }} ^ {2} + {{r } rsub {2}} ^ {2}} → F =12500 l⃗b∗¿∗2,5∈ ¿¿¿¿ ¿
Como la fuerza se reduce al baricentro de la conexión, solo dos pernos deben soportar el efecto del
mismo por lo que se debe dividir por el número de pernos afectados:
F = {2500 widevec {lb}} over {2} =1250 widevec {lb
La fuerza total ejercida sobre los pernos se obtiene componiendo F’ y F”:
F=√ F '2+F } ^ {2}} →F= sqrt {{left (833,33 widevec {lb} right )} ^ {2} + {left (1250 widevec {lb} right )} ^ {2}} =1502,31 widevec {lb ¿¿
El perno se encuentra sometido a esfuerzo cortante, por lo que para evitar la falla se calcula el factor de
seguridad:
τ= FA s
Donde:
F: es la carga externa sobre el perno.
As: aérea de esfuerzo cortante
τ= FA s
=1502,31 l⃗bπ4∗¿¿¿
Para poder relacionar tensiones tangenciales y normales se emplea la teoría de rotura “Máxima energía
de distorsión” donde:
τ=0,577∗SP
n
Donde SP es la resistencia de prueba mínima que se obtiene de la tabla 8-9 “Especificaciones SAE para
pernos de acero” (página 418, 8va. Edición del Shigley “Diseño en Ingeniería mecánica”).
SP=55 Kpsi; Sy=57 Kpsi; Sut=74 Kpsi
Entonces:
τ=0,577∗SP
n→ n=
0,577∗Sp
τ=
0,577∗55000 l⃗b¿2
4898,30 l⃗b¿2
=6,47 l⃗b
El aplastamiento del perno:
σ= FA
=1502,31 l⃗b¿¿
El factor de diseño:
n=55000 l⃗b /¿2
1502,31 l⃗b0,117 ¿2
=4,28
Aplastamiento de los elementos
- Del Canal:
Sy=46 Kpsi
σ= FA
→ σ=sy
n→ n=
S y
σ=46000 l⃗b /¿2
1502,31 l⃗b0,117 ¿2
=3,58
- De la placa:
Sy=45,5 Kpsi
A=¿
σ= FA
→ σ=sy
n→ n=
S y
σ=
45500 l⃗b¿2
1502,31 l⃗b0,156 ¿2
=4,7
Flexión en la placa:
En la siguiente figura se ilustra una falla por flexión del remache de los elementos remachados.
El esfuerzo flexionante en los elementos o en el remache esta dado, sin considerar la concentración del
esfuerzo:
σ= MI /c
Donde I/c es el módulo de sección del elemento más débil.
El momento M se distribuye en iguales partes para las placas, entonces:
M=6250 l⃗b∗¿
M no seria M=F*t/2 donde F es la fuerza cortante y t es el grueso de las piezas sujetadas?
t = ¼ inch + 3/16 inch = 7/16 inch?
El momento de inercia del área de la placa:
I= b∗h3
12−b∗d3
12−2( b d3
12+a2bd )
I=14∈¿¿¿¿
Entonces el esfuerzo flexionante se obtiene:
σ= MI /c
→ σ=6250 l⃗b∗¿6,82 ¿4
¿¿ ¿
c no seria el radio del perno?
El factor de diseño:
σ=S y
n→ n=
S y
σ= 45500 l⃗b /¿2
3436,58 l⃗b /¿2 =13,25
EJERCICIO Nº4:
La unión atornillada que se muestra en la figura está sometida a una carga cortante de tensión de
20kip. Los pernos SAE grado 5 y el material de acero estirado en frio AISI 1015. Determine el factor
de seguridad de la conexión para todos los modos de falla posibles.
Datos:
Material de los elementos- AISI 1015 (CD) (Tabla A-20 / Shigley-Mischke 8ª. edicion /Pág.1020)
Sy=47 [ Kpsi ]=320 [ MPa ]
Sut=56 [ Kpsi ]=390 [ MPa ]
Pernos- SAE grado 5 (Tabla 8-9/ Shigley-Mischke 8ª. edicion /Pág.418 intervalo ¼-1)
Sy=92 [Kpsi ]
Sp=85 [Kpsi ]
Mediante la teoría de la energía de distorsión, se relaciona la tensión normal con la de corte:
Ssy= 0.577*Sy
Ssy= 0.577*92 [ kpsi ] = 53.08[ kpsi ]
Cortante en los pernos:
Ap=π (0,75 [¿ ] )2
4=0,44 [¿ ]2
τ p=F
3 A p=
20 [ kip ]3 (0,44 [¿ ]2)
=15,09 [ kpsi ]
n=0,577 ∙ Sp
τ p=
0,577 ∙ 85 [kpsi ]15,09 [kpsi ]
=3,25
Cortante del borde o desgarramiento, en la práctica se evita esta falla espaciando los pernos por ello se desprecia este tipo de falla. Ya que los mismos se encuentran a una distancia mayor de 1 ½ desde los bordes.
Aplastamiento de los pernos:
ZONA 1:
A1=N ∙a ∙ b
A1=3∙( 34 ) ∙( 3
4 ) [¿2 ] =1,686[¿2 ]
σ 1=PA
=20 [ klb ]
1,686 [¿2 ]=−11,86 [ Kpsi ]
n=S y
σ1=
92 [ kpsi ]|−11,86 [ Kpsi ]|
=7,75
ZONA 2:
A1=N ∙a ∙ c
A1=3∙( 34 ) ∙( 5
8 ) [¿2 ]=1,40 [¿2 ]
σ 1=PA
=20 [ klb ]1,40 [¿2 ]
=−14,28 [ Kpsi ]
n=S y
σ1=
92 [ kpsi ]|−14,28 [ Kpsi ]|
=6,44
Aplastamiento del material:
ZONA 1A1=a ∙b
A1=3( 34 )∙( 3
4 ) [¿2 ] =1,686[¿2 ]
σ 1=PA
=20 [ klb ]
1,686 [¿2 ]=−11,86 [ Kpsi ]
n=S y
σ1=
47 [ kpsi ]|−11,86 [ Kpsi ]|
=3,96
b
a
c
a
ZONA 2:
A1=N ∙a ∙ c
A1=3∙( 34 ) ∙( 5
8 ) [¿2 ]=1,40 [¿2 ]
σ 1=PA
=20 [ klb ]1,40 [¿2 ]
=−14,28 [ Kpsi ]
n=S y
σ1=
47 [kpsi ]|−14,28 [ Kpsi ]|
=3,29
Puede observarse que el factor de seguridad para la zona con menor área transversal es mayor, esto se debe a que esta zona resulta ser la más crítica para la carga aplicada. A pesar de ello el material en las condiciones en las que se encuentra está trabajando con una holgura considerable.
Por la tensión en el material:
En este caso se debe tener en cuenta que para cada una de las secciones de los elementos de unión se tendrá un factor de seguridad distinto a pesar de que el material sea el mismo:
Am1=0,75∙ (7,5−3 (0,75 ) ) [¿2 ]=3,93 [¿2 ]
σ m1=20 [ kip ]3,93 [¿2 ]
=5,07 [ kpsi ]
n=Sy
σm1=
47 [ kpsi ]5,07 [ kpsi ]
=9,25
Am2=0,625∙ (7,5−3 (0,75 ) ) [¿2 ]=3,28 [¿2 ]
σ m2=20 [ kip ]3,28 [¿2 ]
=6,09 [ kpsi ]
n=Sy
σm 2=
47 [ kpsi ]6,09 [ kpsi ]
=7,70
¾ in
7,5 in
¾ in
5/8 in
7,5 in
¾ in
PROBLEMA Nº 5
En la figura se muestra la sección de la unión con empaque y está cargada por una fuerza repetida P =
6kip. Los elementos tienen E=16Mpsi. Todos los pernos se han precargado con cuidado hasta
Fi=25kip cada uno. Si se emplean arandelas de acero endurecido de 0.134in de espesor bajado de la
cabeza y de la tuerca. ¿Cuál es la longitud de los pernos que se debe usar?
a) Encuentre kb, km, y C
b) Con base al criterio de falla de Goodman, encuentre el factor de seguridad que protege contra falla
por fatiga.
c) Mediante el empleo del criterio de falla de Gerber, determine el factor de seguridad que proteja
contra la falla por fatiga
d) Encuentre el factor de carga que protege contra el exceso de la carga de prueba.
a) En primer lugar se procede a calcular el valor de k b que es la rigidez del perno
Donde:
- k SR, constante de rigidez de la parte sin roscado.
- kCR, constante de rigidez de la parte roscada.
1kb
= 1k SR
+ 1kCR
Para ello se debe conocer primero la longitud total del bulón donde:
t a: espesor de la arandela.
p : paso ¿
mecánica )
lt : longitud de latuerca .¿
“ Diseño en ingenieríamecánica ) .
L=2∗t a+1,5∈+2∗p+lt=2∗0,134∈+1,5∈+4164
∈+2∗0,0625∈¿2,52∈¿
Para una serie en pulgadas y teniendo en cuenta la longitud Lr del sujetador:
LT=longitud de la parte rosacada
LT=2∗d+14∈¿ 2∗34
∈+14
∈¿ 74∈¿ L< 6in
Ls /r=longitud de la parte sin roscar enagarre.
Ls /r=L−LT=2,5∈−74
∈¿0,75∈¿
Lr=longitud de la parte roscadaen agarre.
Lr=L−Ls /r−2∗ta−lt−2∗p=2,52∈−0,75∈−2∗0,134∈ −4164∈¿−2∗0,0625∈¿0,87∈¿¿
k SR=Anominal∗E
ls /r=π
4∗¿¿¿
At : Áreade esfuerzode tensión¿
Shigley “ Diseño en ingeniería) .
kCR=At∗E
Lr=0,373 ¿2∗30 x 106 MPsi
0,87=12,8 x 106 l⃗b /¿
Entonces:
1kb
= 117,67 x106 l⃗b /¿
+ 112,8 x106 l⃗b /¿
⇒ kb=7,4 x 106 l⃗b /¿
Seguidamente se calcula la constante de rigidez de los elementos de la junta comprendidos en la zona
de agarre, se encuentra por analogía de un conjunto de resorte de compresión en serie:
1km
=2∗1k1
+2∗1k2
Donde:
- k1, rigidez de la arandela de acero endurecido.
- k 2, rigidez de los elementos de la junta, con E=16MPsi.
En la unión existen dos arandelas y dos elementos del mismo material, entonces las rigideces se
pueden multiplicar directamente. Se procede a realizar el cálculo con el uso del método del cono de
presión Rotscher. Para desarrollar el problema se considera un α=30º.
k m=0,577 π∗E∗d
ln [ (1,155 t +D−d )∗( D+d )(1,155 t +D+d )∗(D−d ) ]
Ecuación en la cual el valor de d, representa el diámetro nominal, y el valor de D cambia como se
explica a continuación para las configuraciones dadas.
Para la arandela el valor de D1, con un espesor de 0,134in y un ángulo de 30°:
D1=dc=1,125∈¿
Siendo dc el diámetro de la cabeza del perno (valor obtenido de la TABLA A-29 8va. Edición del
Shigley “Diseño en Ingeniería Mecánica”).
Para el D2 se debe considerar tanto el espesor de la arandela:
D2=dc+(tg (30 ° )∗0,134∈¿2 )=1,125∈+0,077∗2=1,28∈¿
k 2=0,577 π∗30 MPsi∗0,75∈ ¿ln ¿¿
¿
k1=0,577 π∗16 MPsi∗0,75∈ ¿ln ¿¿
¿
1km
= 2∗1
30,35 x 106 l⃗b¿
+ 2∗1
29,7 x106 l⃗b¿
0,134in
0,75in
k m=14,41 x 106 l⃗b /¿
C=kb
kb+k m= 7,4 x106 l⃗b /¿
7,4 x 106 l⃗b /¿+14,41 x106 l⃗b /¿=0,35
b) Con base en el criterio de falla de Goodman se calcula el coeficiente de seguridad como:
Donde el valor de la resistencia a la fatiga se obtiene de la TABLA 8-17 página 430 8va. Edición del
Shigley “Diseño en Ingeniería Mecánica”. Y el valor de la resistencia ultima de obtienen de la TABLA
8-9 página 418 8va. Edición del Shigley “Diseño en Ingeniería Mecánica”.
Se=18,6 kPsi Sut=120 kPsi
σ a=C∗P2∗At
=0,35∗6 kip2∗0,373 ¿2 =2,9 kPsi
Se multiplica por C debido a que ese es el valor de carga que soporta el tornillo.
σ m=σ a+Fi
A t=2,9 kPsi+ 25 kip
0,373¿2=70 kPsi
El valor de σ m contempla la precarga F i.
Sa=Se∗(Sut−σ i)
Sut+Se=
18,6 kPsi∗(120 kPsi−67 kPsi)120 kPsi+18,6 kPsi
=7,11 kPsi
Sa
σa=n
7,11kPsi2,9 kPsi
=n
⟹n=2,45
c) Con base en el criterio de falla de Gerber se calcula el coeficiente de seguridad como:
Sa=1
2Se∗[ Sut∗√Sut
2+4 Se [Se+σ i ]−Sut2−2 σ i Se]=¿
Sa=1
2∗18,6 kPsi∗[120 kPsi∗√120 kPsi2+4∗18,6 kPsi [ 18,6 kPsi+67kPsi ]−120 kPsi2−2∗67 kPsi∗18,6 kPsi]=10,4 kPsi
Sa
σa=n
10,4 kPsi2,9 kPsi
=n
⟹n=3,6
d) El factor de carga que protege contra el exceso de la carga de prueba es:
nc=Sp At−F i
C∗P=85 kPsi∗0,373 ¿2−25 kip
0,35∗6kip=3,2
Cualquier valor de n > 1 asegura que el esfuerzo en el perno es menor que la resistencia de prueba.