caso de las vigas

8/15/2019 Caso de Las Vigas

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Caso de las Vigas

Se denomina viga a una barra prismática, generalmente situada en posiciónhorizontal que puede estar apoyada en dos o más puntos, o empotrada -como se verá más adelante- en uno de sus extremos. Cada punto de apoyopuede tener dos grados de libertad (desplazamiento segn el e!e x y giroalrededor de y, "igura #$ o sólo uno (giro alrededor del e!e y sin posibilidadalguna de desplazamiento$. Si un apoya está empotrado, no tiene ningn gradode libertad (ni desplazamientos ni giros$.

%lamaremos viga simplemente apoyadaaquella que presente dos apoyos&uno simple con dos grados de libertad, y otro simple son uno sólo ('igura #a$.

%lamaremos viga semiempotrada la que tiene un apoyo simple (dos gradosde libertad$ y otro sin ningn grado de libertad (empotrado, 'igura #b$.

Viga con los extremos empotrados, cuando ambos apoyos no tienenningn grado de libertad ('igura #c$.


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Viga en voladizo aquella que tiene un extremo empotrado y el otro sin apoyoalguno.

l apoyar sobre uno o varios puntos del plano central zy de una viga, cargassituadas en ese plano ("uerzas en la dirección )z$, la viga se "lexiona y toma

una "orma determinada, llamada elástica de la viga. *s importante estimar,en "unción de las caracter+sticas de la viga, de su "orma de apoyo en losextremos y de las cargas que actan sobre ella, la de"ormación máxima,llamada fecha, as+ como los puntos en los que las tensiones son máximas ylos valores de estas. n proyecto se considerará correcto, si esos valores nosobrepasan los "i!ados por las normas de construcción para estructurasmetálicas.

l aplicar las cargas ya mencionadas, se generan en los puntos de apoyo unasreacciones en la misma dirección de las cargas pero en sentido contrario, de tal"orma que -una vez alcanzado el equilibrio estático- deberá cumplirse que la

suma de las "uerzas sea nula&

El esfuerzo Cortante en las Vigas

Si se supone que cualquiera de las vigas representadas en las 'iguras # sedivide en dos trozos por una sección recta cualquiera situada a ladistancia x del apoyo de la izquierda y que se prescinde del "ragmento de laderecha de la sección, para que el trozo resultante se mantenga en equilibriohay que suponer que en esa sección acta una "uerza V(x) en la mismadirección y sentido contrario a las "uerzas que se e!ercen sobre la viga, de"orma que&

V ( x ) = R1 − (P1 + P2 + ...) = R1 − F ( x )

F(x) es una "unción que depende de la distribución de las cargas sobre la viga.*l equilibrio estático exige queR1 + R2 = F (L).. Cuando x = , V(x) = R1 ycuando x = L, V(L) = ! R2. *sto signi"ica que, en todos los casos, el

valor V(x) pasa de un valor positivo a otro negativo. Siendo la"unción V(x) continua, deberá presentar en algn punto determinado de la vigaun valor nulo& x = a, V(a) = "

%a distribución de esta "uerza cortante en una sección cualquiera de la vigaperpendicular al plano neutro, se puede considerar, en la mayor parte de los


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casos prácticos, uni"orme en la dirección z , pero no en la y . *sta distribucióndepende de la "orma de esta sección. Se exponen tres e!emplos&

a$ Sección rectangular

b$ Sección circular

c$ Sección en #

Como puede observarse, en todos los casos el valor máximo de la tensióncortante se sita en el centro de la "igura ( y = $. *l valor medio de τ se

expresa como , la relación entre este valor y el máximo en cada casovale&

a$ Sección rectangular& *l valor máximo vale siendo ,

luego

uesto que de"inimos como , por consiguiente

es decir, la tensión máxima en cualquier sección, a lo largo de x ,es un 50% mayor que la media.

b$ Sección circular& nálogamente, se deduce que


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en este caso, la tensión máxima en cualquier sección, a lo largode x , es un 33% mayor que la media.

. c$ Sección en &

*l valor m+nimo vale en este caso&

*n los per"iles laminados estándar el valor de $1 es peque/o en relación con elde $ y puede considerarse, a e"ectos prácticos, que %la di"erencia $ − $1 esmuy peque/a , y por tanto, que la di"erencia entre la tensión cortantemáxima τ% )en el plano neutro) y la m+nima τo )en el plano super"icial) estambi0n peque/a y en por lo tanto, ambas próximas al valor medio. *n estecaso se puede admitir que el es"uerzo cortante presenta una distribución casiuni"orme a lo largo del alma del per"il.

*l valor de la sección a considerar viene dado, para cada per"il, en las tablascorrespondientes como 12rea de cortante3 (4orma *C-5, art. 6.7.8.(9$.a$.

Los esfuerzos por Flexión en las Vigas• Observaciones preliminares

*n todo lo que sigue, se supone que&

a$ %os materiales de las vigas (acero laminado$ se comportan como sólidos de:oo;e y son per"ectamente homog0neos en todas las direcciones (isótropos$.

b$ %as cargas sobre una viga se sitan siempre en el plano ( y,z $ de las "iguras#

c$ %a l+nea media de la viga es una curva plana.

d$ %a l+nea media de toda la viga está situada en un mismo plano. *n lo quesigue, se tratará siempre del plano ( x, y $.

e$ Cuando acta una "uerza sobre la estructura, en la ecuación "undamental&


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las derivadas con respecto al tiempo se suponen nulas< es decir, losmovimientos se realizan con una velocidad in"initamente peque/a (cambios deestado termodinámicamente reversibles$ y no se contempla r0gimen transitorioalguno. %as cargas que actan sobre las vigas se hallan en equilibrio estático,no considerándose las consecuencias de los per+odos transitorios.

"$ *l traba!o realizado por las "uerzas que provocan las de"ormaciones de lasvigas se emplea +ntegramente en incrementar su energ+a interna (energ+aelástica$. 4o se produce intercambio alguno de calor y se conservan todas laspropiedades del acero en todo momento.

• Eecto de las uer!as actuantes

Sea cual sea la "orma de la sección transversal de la viga, as+ como la manera

como est0 apoyada en sus extremos (incluido el caso de la viga en voladizo$,y sea cual sea la distribución de las cargas a lo largo de x (puntuales odistribuidas de manera continua$, la viga su"re una "lexión que provoca laaparición de tensiones de extensión y compresión en sus di"erentes seccionestransversales. %a máxima extensión en cualquier sección recta se produce enuno de sus extremos, tomando la tensión de extensión un valor nulo en lallamada &$ra ne'tra, que se sita en el centro de gravedad de la secciónconsiderada. =0ase la 'igura 9.

*l valor de esta tensión máxima de extensión en una sección dada de abcisa x ,viene dado por la expresión&

en la que&


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σ& valor de la tensión ("uerza>sección$

%( x )& momento "lector actuando en la sección x ("uerza por longitud$

d& distancia entre la "ibra más ale!ada de la l+nea neutra y esta

# y & momento de inercia de la sección de la viga, respecto al e!e y que pasa porsu centro de gravedad (longitud a la potencia cuatro$

l mismo tiempo se produce una "lexión de la viga, que adquiere una "ormadeterminada tanto por la distribución y valor de las cargas, como por la "ormade la sección de la viga y la manera como está apoyada en sus extremos. %a"orma que toma esa viga, se representa por la ecuación de la l+neaneutra& v ( x ) = ψ( x ) que se suele denominar ecuación de la elástica de la viga.*l valor , en cualquier punto x de la viga,

(x) ? v(x) se denomina "lecha de la viga en ese punto. Su valor máximo a lolargo de x, representa la máxima de"ormación su"rida por esta a causa de lascargas que soporta.

*n la "lecha y tensión máximas intervienen dos tipos de "enómenos&

a$ de +ndole externa& la magnitud de las cargas y su distribución

b$ de +ndole propia de la viga& sus dimensiones, y como una consecuencia

directa de ellas, la altura de la viga (d$ y el @omento de nercia (# y $.n simple análisis dimensional del problema nos conduce a las expresionessiguientes&

*n las que&

%( x )& @omento "lector actuando en la sección transversal x

ΣP & con!unto de cargas, continuas o discontinuas o combinación de ambas


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*& módulo de elasticidad

# y & momento de inercia de la sección de la viga con relación al e!e y

v ( x )& la "lecha en la sección x

Γ(L, x ) y Ψ(L, x ) son "unciones dependientes de la "orma en que sedistribuyen las cargas sobre la viga de longitud entre apoyos L y de la "orma delos apoyos en los extremos. *n la bibliogra"+a pueden encontrarse tablas en lasque se recogen los di"erentes valores de estas "unciones(#$.

Ael análisis de estas expresiones se deducen los valores máximos de σ y v .*stos deberán estar por deba!o de los "i!ados como l+mite en el proyecto delque "orman parte.

uestos que las cargas a que se verá sometida la viga son un dato delproblema (externo a la decisión del proyectista$, el resto de los valores puedeny deben ser elegidos por el proyectista de manera a optimizar el resultado de laestructura en estudio. %os criterios de optimización suelen ser "recuentementede naturaleza económica, que a su vez está directamente unida al peso de laestructura y al costo de la mano de obra para construirla. *l peso de laestructura depende de la sección del (o de los$ per"il(es$ y su longitud< estaltima suele ser un imperativo derivado del propio proyecto.

Si el momento "lector en una sección dada es nulo, se deduce inmediatamenteque las tensiones de extensión por "lexión son nulas. *ste el es caso de vigasapoyadas en extremos que pueden tener un giro libre alrededor del e!e y. *s elcaso, por e!emplo, de los dos extremos de la "igura #a, o del extremo izquierdoen la #b. 4o ocurre lo mismo en los extremos empotrados, donde losmomentos se producen en "unción de las cargas y de la rigidez del material(módulo de elasticidad *$.

Las Tensiones Combinadas en las Vigas

*n una viga cualquiera, apoyada en sus extremos de la "orma que sea (v0asela 'igura #c, como e!emplo$, cargada con un con!unto de "uerzas B# i

nB situadas en abcisas x+ xi xn, alcanzado su equilibrio estático, en lasección recta de abcisa x se cumple&

@omento "lector& B@(x$ ? - @# D E#.x - #.(x - x#$ - 9.(x - x9$ - - i.(x - xi$B

'uerza cortante& V (x) = R+ ! P+ ! P- ! ! Pi


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*n otra sección recta de abcisa ( x + Δ x ) será&

@(x D Δ x $ ? - @# D E#.( x D Δ x $ - #.( x D Δ x - x#$ - 9.( x D Δ x - x9$ - - i.(x D Δ x - xi$

%a variación del momento "lector entre estas dos secciones rectas valdrá&

@(x D Δ x $ - @(x$ ? E#.Δ x - #.Δ x - 9.Δ x - - i.Δ x

@(x D Δ x $ - @(x$ ? Δ% ? Δ x .(E# - # - 9 - - $i$ ? =.Δ x

%a relación entre la variación del momento "lector de cada sección recta de laviga con la "uerza cortante actuando sobre esa sección, viene dada por&

ara cargas continuas, el paso al l+mite de la expresión anterior conducir+a a&

%a consecuencia de todo esto es que cuando el momento "lector a lo largo dela viga, pasa por un máximo, en esa sección la "uerza cortante es nula. *nvigas cargadas de manera regular, este máximo se produce cerca del punto

medio, donde las tensiones de extensión (o compresión$ serán máximas y lascortantes nulas (v0ase #.5.9 y #.5.5$. or las mismas razones, en los puntos deapoyo, la "uerza cortante nunca es nula e igual a la "uerza de reacción en elmismo (V() = R+ y V(L) = R-$. Cuando uno de los extremos estáempotrado, el momento "lector en ese extremo tampoco es nulo y por lo tantoen esa sección se producen tensiones de "lexión σ( z ) (en dirección x , "igura 9$a la vez que tensiones cortantes τ( z ) (dirección z $.

Como ya se ha visto (#.5.5$, en la l+nea de la sección recta de la viga en laque σ(0) = 0 (l+nea neutra$, τ(0)es máxima, y rec+procamente. Sólo en partes

de la sección, intermedias entre un extremo de la sección y la l+nea neutra,pueden darse valores no nulos de las dos tensiones.

ara que el dise/o de la viga sea aceptado para un proyecto estable, deberácumplirse, en todas sus secciones rectas, que&

.


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El cálculo de vigas apoadas en dosextremos

Fal y como se ha visto, sea cual sea la distribución de las cargas de las que seha hablado anteriormente, as+ como la "orma del per"il transversal de la viga("orma en el plano yz ) y sus "orma de apoyo en los extremos, las tensionesmáximas y la "lecha pueden expresarse mediante las "órmulas generales yaexpresadas anteriormente y que se resumen as+ (ver 'iguras # y 9$&

*n las que&

• R1,R2 ! "eacción en los apoos#• %%( x )! $omento %ector máximo &generalmente de extensión'#• v %( x )! Flec(a máxima• ΣP! Cargas) continuas o discontinuas o combinación de ambas#• d ! *emialtura de la sección transversal yz de la viga#• .v , y ! +rea de la sección) resistente al esfuerzo cortante#• Ψ(L, x )! Función dependiente de la distribución de las cargas en

relación con los apoos#• Γ(L, x )! Función dependiente de la distribución de las cargas• *! $ódulo de elasticidad#• #y ! $omento de ,nercia de la sección . de la viga con relación al

e-e paralelo a y .ue pasa por su centro de gravedad#

*n la "lecha y tensión máximas intervienen dos tipos de parámetros&


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a$ de "ndole externa& la magnitud de las cargas y sudistribución, Ψ(L, x ) y Γ(L, x ).

b$ propios de la viga& sus dimensiones, y como una consecuencia directade ellas, la altura de la viga (d$ y el @omento de nercia (#y $ respecto al e!e

perpendicular a la dirección de las cargas.

%os de +ndole externa provienen de los datos del problema.

%os propios, pueden y deben ser elegidas por el proyectista de manera aoptimizar el resultado de la estructura en estudio. %os criterios de optimizaciónsuelen ser "recuentemente, de naturaleza económica, que a su vez estádirectamente unida al peso de la estructura y al costo de la mano deobra para construirla.

*l peso de la estructura depende de la sección del (o de los$ per"il(es$ y sulongitud< esta ltima suele ser un imperativo derivado del propio proyecto.

*l costo de la mano de obra para construir una estructura viene siendo cadavez más importante en su costo "inal. %a automatización, progresivamente másso"isticada, de la preparación de vigas a partir de elementos laminadosestándar (per"iles, planchas, etc.$ conduce al proyectista a elegirpre"erentemente per"iles BllenosB "rente a las antiguas Bvigas en celos+aB, que sibien, para igual resistencia, suponen la utilización de menores cantidades deacero, implican una intervención mucho mayor de mano de obra especializada,cada vez más cara.

'i!ada por las especi"icaciones del proyecto, la "lecha máxima admisible (v %$,se determina el valor m"nimo necesario del @omento de nercia de lasección de la viga&

este valor le corresponde otro de d&

Con los resultados de estas dos inecuaciones se entra en las tablas de per"ilescomerciales y se elige aquel que, situándose dentro de los márgenesse/alados, presenta la menos sección (o el menor coste$.


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E-emplo ilustrativo

#iga empotrada en ambos extremos, uniormemente cargaday con una carga puntual en el centro

• Carga uniforme) / 0 1## &inclue 1# de supuestopeso propio de la viga'

• Carga puntual en el centro) 3 0 1#

• Longitud libre) 4# mm

• Valores de referencia del proecto!

•

• 5

•

•

• 5

• 5

• 6plicando las ecuaciones e inecuaciones anteriores!

•

•

Con el "in de "acilitar la bsqueda del per"il más adecuado en las tablascorrespondientes (ver Gibliogra"+a$, proporcionamos un ábaco (e!emplo deotros similares que pueden ser trazados por los proyectistas$, sobre el cual sedebe trazar una recta entre dos puntos&

• &,r a 6baco de 3er7les Laminados'

http://www.construmatica.com/construpedia/Abaco_de_Perfiles_Laminadoshttp://www.construmatica.com/construpedia/Abaco_de_Perfiles_Laminados


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*sta l+nea corta las curvas correspondientes a los di"erentes per"iles quecumplen las condiciones impuestas. *n este caso son 4 6HH y :*76H.*ntre ellos, el que supone el menor uso de acero es el per"il :*76H, para elque se obtienen los resultados siguientes&

eso propio de la viga & I.HHH 4

6rt8culos "elacionados• Cálculo de Estructuras de 6cero! Conceptos 9enerales• Cálculo de Estructuras de 6cero! Caso de Esfuerzos 6xiales

&Columnas'Categor8a! Cálculo de Estructuras de 6cero
http://www.construmatica.com/construpedia/Categor%C3%ADa:C%C3%A1lculo_de_Estructuras_de_Acerohttp://www.construmatica.com/construpedia/C%C3%A1lculo_de_Estructuras_de_Acero:_Caso_de_Esfuerzos_Axiales_(Columnas)http://www.construmatica.com/construpedia/C%C3%A1lculo_de_Estructuras_de_Acero:_Caso_de_Esfuerzos_Axiales_(Columnas)http://www.construmatica.com/construpedia/Especial:Categor%C3%ADashttp://www.construmatica.com/construpedia/Categor%C3%ADa:C%C3%A1lculo_de_Estructuras_de_Acerohttp://www.construmatica.com/construpedia/Categor%C3%ADa:C%C3%A1lculo_de_Estructuras_de_Acerohttp://www.construmatica.com/construpedia/C%C3%A1lculo_de_Estructuras_de_Acero:_Caso_de_Esfuerzos_Axiales_(Columnas)http://www.construmatica.com/construpedia/C%C3%A1lculo_de_Estructuras_de_Acero:_Caso_de_Esfuerzos_Axiales_(Columnas)http://www.construmatica.com/construpedia/Especial:Categor%C3%ADashttp://www.construmatica.com/construpedia/Categor%C3%ADa:C%C3%A1lculo_de_Estructuras_de_Acero

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