carrera de esp. en siderurgia-apendice a-flujo bifasico

FLUIDODINAMICA Y TRANSF. DE MATERIA Y ENERGIA -CARRERA DE ESP. EN SIDERURGIA - F.I.U.B.A Apéndice A - Dr. Ing. M. Chocron-Ing.M.Contino

Flujo bifásico 1. Definiciones previas de caracterización del fluido bifásico 2. Balances de materia y cantidad de movimiento para flujo bifasico unidimensional 3. Cálculo de la fracción de vacío (void fraction) a través de varios métodos. 4. Cálculo de pérdida de carga para flujo bifásico 5. Predicción del régimen de flujo

A-1


1. Algunas definiciones previas de caracterización del fluido bifásico A fin de poder determinar la pérdida de carga que el fluido experimenta en determinada

cañería, es necesario llevar a cabo distintos cálculos que permiten caracterizar el fluido que circula dentro de dicha cañerías.

Definiciones: Si Ag es el área transversal ocupada por el gas en el tubo, Af es el área transversal del tubo

ocupada por el líquido y A es el área transversal del tubo, entonces, se define la fracción volumétrica de vapor (void fraction) a:

AA

AA fg =−= εε 1

Otras relaciones importantes que se pueden deducir de la definición de fracción volumétrica

de vapor son: la velocidad del líquido (uf) y la del vapor respectivamente (ug). Se define entonces:

)1()1(ερρερρ −⋅

−⋅=

⋅=

⋅⋅

=⋅

=fff

ff

ggg

gg

xGA

WuxG

AW

u

Se deduce entonces que, lo que se llama slip ratio (relación entre la velocidad del vapor (ug)

u la del líquido (uf)), resulta:

εε

ρρ −

⋅⋅−

=1

1 g

f

f

g

xx

uu

Se define por otra parte a la velocidad superficial (j), como:

AQ

jA

Qj

AQj f

fg

g ===

Por último se define el título volumétrico (β ) como:

fg

f

fg

g

QQQ

QQQ

+=−

+= ββ 1

Con las definiciones arriba dadas, se pueden deducir las siguientes relaciones:

fff

ggg

xGjujxGjujρ

βερ

βε )1()1()1( −⋅=−⋅=−⋅=

⋅=⋅=⋅=

A-2


Para el cálculo de la pérdida de carga del fluido en cañerías será necesario definir el

número de Reynolds. Para ello en la literatura se usan 4 criterios los cuales se usarán según la conveniencia. Tener en cuenta que los números de Reynolds son de simple fase, recién en el cálculo del gradiente de presión será tomado en cuenta el flujo bifásico.

Definición de números de Reynolds:

g

ig

DxGμ⋅⋅

=Re

Número de Reynolds considerando que sólo el vapor fluye por el interior de los tubos.

f

if

DxGμ

⋅−⋅=

)1(Re

Número de Reynolds considerando que sólo el líquido fluye por el interior de los tubos.

g

igo

DGμ⋅

=Re

Número de Reynolds considerando que todo el caudal que fluye por el interior de los tubos es vapor

f

ifo

DGμ⋅

=Re

Número de Reynolds considerando que todo el caudal que fluye por el interior de los tubos es líquido

A-3


2. Balances de masa y cantidad de movimiento para flujo bifásico unidimensional A continuación se realizará un análisis de flujo multifásico unidimensional, en un canal

inclinado (ángulo de inclinaciónθ ), resultando de este análisis los siguientes balances: Balance de Conservación de masa

( ) ( ) kkkkkk uAz

At

Γ=⋅⋅⋅∂∂

+⋅⋅∂∂ ραρα

El primer término del lado izquierdo del signo igual representa la creación de masa de la

fase k en el elemento de control (de dimensión zδ ) y el segundo término el ingreso de masa de la fase k al elemento de control. Por otra parte, kΓ representa la masa transferida a la fase k desde las distintas interfases posibles. La variable kα es la fraccion de vacio de tiempo ajustado de la fase k.

Tener en cuenta que se cumple:

0=Γ∑k

k

Para estado estacionario y con dos fases, líquido (f) y vapor (g), en un canal de área

constante, nos queda:

( )

( ) ggg

fff

uAz

uAz

Γ=⋅⋅⋅∂∂

Γ=⋅⋅⋅∂∂

ρα

ρα

Donde:

dzdWf

dzdWg

fg −==Γ−=Γ

A-4


Balance de Conservación de cantidad de movimiento

( ) ( ) ( )[ ] kkkkn

knzknzkwkwkkkkk ugzAzPPzzpAuW

zzzW

tΓ⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+−⋅

∂∂⋅⋅−=⋅

∂∂

⋅+⋅∂∂ ∑ θδρδττδαδδ sin

1

Donde: el primer término del lado izquierdo del signo igual es la velocidad de creación de

momento de la fase k dentro del elemento de control (de dimensión zδ ) y el segundo término representa la velocidad de ingreso de momento a dicho elemento de control.

Los términos que se encuentran del lado derecho del signo igual son la suma de las fuerzas actuando sobre la fase en el elemento de control, en la dirección axial.

El primer término del lado derecho del signo igual corresponde a las fuerzas de presión sobre el elemento de control, el término entre corchetes representa las fuerzas de gravedad. El segundo término del lado derecho del signo igual, representa los esfuerzos cortantes sobre la pared, donde: kwτ es el “wall shear stress” entre la fase k y la pared del canal y es el perímetro de contacto entre la fase k y la pared. El tercer término representa la suma de los esfuerzos cortantes interfaciales donde

kwP

knzτ es el componente en la dirección axial del “shear stress” interfacial de la fase k y la fase n y representa el perímetro de contacto entre dichas fases.

knzP

Por último tener en cuenta, que el “shear stress” interfacial puede ser influenciado por la transferencia de masa entre las fases, eso es lo que representa el último término.

Para estado estacionario entre las fases líquido (f) y vapor (g) en un canal de área

constante nos queda:

( )[ ]( )[ ] fffffffgfgfwfw

gggggggfgfgwgw

duWugdzAdzPdzPdpA

duWugdzAdzPdzPdpA

⋅=Γ⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−

⋅=Γ⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−

θρττα

θρττα

sin

sin

Sumando las ecuaciones anteriores y usando el hecho de que dado que se para conservar

la cantidad de movimiento a través de la interfase se requiere que:

fffgfggggfgf udzPudzP Γ⋅+⋅⋅=Γ⋅+⋅⋅ ττ Nos queda:

[ ] ( ) ( )ffggffggfwfwgwgw uWuWddzgAAdzPdzPdpA ⋅+⋅=⋅⋅⋅⋅+⋅−⋅−⋅−⋅− θρρττ sin Donde:

dzPdzPdzdzdPA fwfwgwgw

f

⋅−⋅−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅− ττ

Representa la parte del gradiente total de presión necesario para superar la fricción. Sustituyendo esta ecuación, en la ecuación anterior y arreglando nos queda:

zaf dzdP

dzdP

dzdP

dzdP

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

Donde:

A-5


( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅−

+⋅

⋅=⋅+⋅

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

αα 111 22

2 vfxvgxdzdG

dzuWuWd

AdzdP ffgg

a Representa el gradiente de presión debido a la aceleración. Y

( ) ( ) ( )[ ]fgggAA

AA

dzdP

ff

gg

z

ραραθθρρ ⋅−+⋅⋅⋅=⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− 1sinsin

Representa el gradiente de presión debido a la diferencia de altura. A continuación se usarán dos modelos clásicos: el “modelo homogéneo” y el modelo de

“flujo separado” con el objetivo de hallar las ecuaciones correspondientes al balance de masa y cantidad de movimiento de flujo bifásico para dichos modelos.

A-6


Modelo homogéneo unidimensional Tiene como hipótesis: a) Mismas velocidades del líquido y el vapor 0=−= fggf uuu b) Equilibrio termodinámico entre las fases líquido (f) y vapor (g) c) El uso de un factor de fricción de simple fase corregido para flujo bifásico. Para un flujo homogéneo en estado estacionario las ecuaciones básicas se reducen a: Balance de masa

uAW ⋅⋅= ρ Balance de cantidad de movimiento

( ) udWdzgAFddpA ⋅=⋅⋅⋅⋅−−⋅− θρ sin Balance de energía

( ) dzguddpvdEwq ⋅⋅+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⋅+=− θδδ sin

2

2

El volumen específico homogéneo está definido como:

[ ]ρ1)1( =⋅−+⋅== vfxvgx

WQv

De la premisa a) se tiene que:

vGuufug ⋅===

( )v

vfxvvgx

⋅−=−

⋅=

11 α

α

La “total wall shear” fuerza Fd puede expresarse como un “wall shear stress” actuando sobre el área interna del canal.

dzPFd W ⋅⋅=τ Donde:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅⋅=

2

2ufTPW

ρτ

Entonces nos queda:

A-7


⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅⋅⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅⋅⋅=⋅=⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

Dufu

APf

AP

dzFd

AdzdP

TPTPWf

22

22

1 ρρτ

Ya que para un canal circular vale que DA

P 4= nos queda:

dzvdG

dzudG

dzdP

a

⋅=⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 2

Donde, suponiendo que el líquido es incompresible, nos queda:

( )dzdp

dpdvgx

dzdxvfvg

dzvd

⋅⋅+⋅−=

Por último:

( ) ( )v

ggdzdP

z

θθρ sinsin ⋅=⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

Por lo tanto el gradiente total de presión estática, para el modelo homogéneo resulta:

( )

dpdvgxG

vfvgvfxvf

gdzdx

vfvgvfvfG

vfvgvfx

DvfGf

dzdP

dzdP

dzdP

dzdP

TP

zaf

⋅⋅+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅+⋅

⋅+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅+⋅

⋅⋅⋅

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

2

22

1

1

sin12 θ

Todos los términos de la ecuación están definidos excepto el factor de fricción bifásico fTP. Para usar el modelo homogéneo es necesario aplicar un factor definido de simple fase

acomodable a dicho factor bifásico, se pueden encontrar distintos modelos: 1) Considerar que el factor de fricción es igual al que hubiera ocurrido si todo el flujo se

asume como líquido. 2) El factor de fricción es evaluado usando una viscosidad promedio. 3) Por ejemplo: Paraμ , la correlación más usada es la siguiente: 4)

fg

xxμμ

μ−

+= 1

1

Llegando al siguiente valor del numero de Reynolds.

μi

TPDG ⋅

=Re

A-8


Modelo de “flujo separado” Tiene como hipótesis:

• Velocidades de vapor y líquido constante pero no necesariamente iguales. • Equilibrio termodinámico entre las fases. • Uso de correlaciones empíricas para relacionar el factor multiplicador que corrige la

pérdida de carga con las variables independientes del flujo. La ecuación de conservación de cantidad de movimiento, para el modelo de “flujo separado” en estado estacionario resulta:

( )( ) ( ) ( )[ ]fggvfxvgx

dzdG

dzdP

dzdP

f

ραραθαα

⋅−+⋅⋅⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅−+

⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− 1sin

11 22

2

El gradiente de presión debido a fricción puede ser expresado en términos de un gradiente

de simple fase para todo el flujo considerado como líquido, quedando:

22

2 2fo

f

fofo

foff DGf

dzdP

dzdP φ

ρφ ⋅

⋅

⋅⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

También puede ser expresado en términos de un gradiente de presión de simple fase con el

líquido considerando que fluye solo en el canal, quedando:

22

2 2f

f

ff

fff DGf

dzdP

dzdP φ

ρφ ⋅

⋅

⋅⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

Considerando la no compresibilidad del líquido se expandirá el siguiente término:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅

−−

⋅−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂++⋅+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅

−−

⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⋅−⋅

−⋅⋅

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅−

+⋅

2

2

2

22

2

2

2

222

11

11

1122

11

αααα

α

αααα

αααα

vgxvfxpdp

dvgxdzdp

vgxvfxx

vfxvgxdzdxvfxvgx

dzd

x

p

Por lo tanto el gradiente de presión estático total, para el modelo de flujo separado resulta:

( )( )

( )( )

( ) ( )[ ]

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅

−−

⋅−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂++⋅⋅+

⋅−+⋅⋅⋅+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅

−−

⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⋅−⋅

−⋅⋅

⋅+⋅⋅

⋅⋅

=−

2

2

2

222

2

2

2

222

2

111

1sin1

111222

αααα

α

ραραθααα

ααα

φρ

vgxvfxpdp

dvgxG

fggvgxvfxx

vfxvgxdzdxG

DGf

dzdp

x

pfo

f

fo

Para resolver esta ecuación resulta necesario establecer expresiones para el multiplicador que permite corregir la caída por fricción considerando el flujo monofásico cuando es bifásico.

A-9


También será necesario calcular el factor de fricción de Fanning a través de los números de

Reynolds arriba calculados. Para calcular el f de Fanning se utilizo la correlación de Churchill extendida, válida para todo Reynolds y para toda rugosidad.

Dicha ecuación es la siguiente (se ejemplifica para el caso en que todo el caudal que fluye

por el interior de los tubos es líquido, la expresión resulta igual para los otros tres casos reemplazando por el número de Reynolds correspondiente)

( )

12/1

5.1

12

16

0.9

fo

16fo

1Re

82

Die0.27)

Re7(

1ln2.457Re37530B

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅==

BAffo

A

fo

De la misma manera se pueden calcular los gradientes de presión, con las definiciones

antes mencionadas, tener en cuenta que el verdadero gradiente de presión surgirá de multiplicar a estos últimos un factor conveniente que tenga en cuenta el flujo bifásico.

En este caso, los gradientes de presión por fricción resultan:

ig

gw

gig

gow

go

if

fw

fif

fow

fo

DxGf

AP

dzdP

DGf

AP

dzdP

DxGf

AP

dzdP

DGf

AP

dzdP

⋅⋅⋅⋅

=⋅

=⋅⋅⋅

=⋅

=

⋅

−⋅⋅⋅=

⋅=

⋅

⋅⋅=

⋅=

ρτ

ρτ

ρτ

ρτ

22

22

22

)1(22

Donde:

wτ : Esfuerzo cortante de la pared sobre el fluido. P: Perímetro mojado A: Área de flujo

A-10


3. Cálculo de la fracción de vacío (void fraction) a través de varios métodos. Se estudiarán varias correlaciones a fin de determinar la fracción volumétrica de vapor, que

es un factor muy importante para luego calcular las velocidades del líquido y vapor y también la absisa del mapa de Tandon (ver más adelante), que permite predecir el régimen de flujo en dicho tubo.

La fracción volumétrica de vapor o fracción de vacío, puede calcularse de acuerdo a 4 tipos

de modelos:

• Modelo “Slip ratio “ • Modelo “Drift Flux” • Modelo “Kβ” • Modelos misceláneos.

1) Modelo “Slip ratio”

Este modelo especifica esencialmente una ecuación empírica para la relación: f

g

uu

S =

De ésta forma la fracción volumétrica de vapor se puede calcular como sigue:

f

gS

xx

ρ

ρε

⋅⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

=1

1

1

De aquí podemos concluir, que si se utiliza el modelo homogéneo unidimensional, que tiene

como hipótesis: a) 0=−= fggf uuub) Equilibrio termodinámico entre las fases líquido (f) y vapor (g) c) El uso de un factor de fricción de simple fase corregido para flujo bifásico. Entonces S=1 y:

β

ρρε =⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

f

gogeneo

xx11

1hom

A altas presiones y altos caudales másicos, la fracción volumétrica de vapor se acerca a la del modelo homogéneo, pero usualmente S resulta ser mayor a 1.

Correlaciones explícitas para el modelo “slip ratio” S

xx

f

g ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

ρρ

ε11

1:

A-11


Autor Correlación Modelo

Homogéneo β

ρρε =

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

111

1hom

f

gogeneo

xx

Smith

(1969)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

−+=

2/1

104.01

104.0)04.01(04.0

xxx

x

S g

f

ρρ

Smith

modificado (1992)

( ) 05.05tanh95.0

11

1

)1(

2/1

+⋅⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−+=

xK

xxK

xxK

KKS g

f

ρρ

Crisholm

(1983)

111

1

2/1

25.0

≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

XSif

S

XSiS

g

g

f

ρρ

β

ρρ

Premoli

( ) ( )

1

y

Re0273.0Re1.578F1

:D

221

11

homogeneo

homogeneo2

08.0

51.0fo

22.019.0

fo

5.0

εε

ρσ

ρρ

ρρ

−=

⋅⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−

⋅+⋅+=

−

−−

ff

i

g

f

DGWe

WeFegf

onde

FyFy

yFS

2) Modelo “Drift Flux” La velocidad relativa entre las fases se calcula de la siguiente forma:

)1( εε −−=−= fg

fggf

jjuuu

Se define como “drift flux” a:

jjjjuj gfggfgf ⋅−=⋅−−⋅=−⋅⋅= εεεεε )1()1(

A-12


El “drift flux” representa físicamente la velocidad volumétrica a la cual el vapor está avanzando (en el flujo hacia arriba) o retrocediendo (en el flujo hacia abajo) a través de la unidad de área de un plano normal al eje de la cañería, el cual está viajando con el flujo a la velocidad volumétrica j.

Arreglando, queda

jjj gfg ⋅+= ε Si el flujo no es unidimensional, se tomaran las propiedades promedio del flujo denotadas

por una barra:

jjj gfg ⋅+= ε , se define el siguiente parámetro:

)()()(j

jCo ⋅⋅

=εε

Y resulta conveniente definir una velocidad pesada promedio como:

gjog

ggf

gj ujCj

uj

u +⋅==⇒=)(

)(

)(

)(

εε Si dividimos por j nos queda:

ju

Cj

u gjo

g +==)(ε

β

Los que nos conduce a la expresión más importante del modelo “drift flux”

ju

C gjo +

=βε , para el flujo unidimensional, simplemente se tiene:

ju

C gjo +

=βε

De aquí podemos concluir, que si se utiliza el modelo homogéneo unidimensional, que tiene

como hipótesis: a) 0=−= fggf uuub) Equilibrio termodinámico entre las fases líquido (f) y vapor (g) c) El uso de un factor de fricción de simple fase corregido para flujo bifásico. Entonces resulta que Co=1 ugf=0 y βε =

El modelo de “drift flux” es valioso cuando ju gf ⋅> 5.0 , este límite lo hace útil para los modelos de flujo bubbly, slug y churn.

Correlaciones explícitas del modelo “drift flux”

ju

C gjo +

=βε :

A-13


Autor Correlación Zuber-FIndlay

(1965) 25.0

20

)(41.113.1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅−⋅==

f

fgfgj

guC

ρ

σρρ

Rouhani (1969)

25.0

2

25.0

2

2

0

)()1(18.1

)1(2.01

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅−⋅−⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅−⋅+=

f

fgfgj

f

gxu

GDig

xC

ρ

σρρ

ρ

Nabizadeh(1977)

DigGFr

gu

nx

xFrn

C

ff

fgfgj

f

gfnn

f

g

⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅−⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+⋅=

2

225.0

2

22.11.0

0

)(18.1

6.0111

ρρ

σρρ

ρρρ

ρρ

β

3) Modelo “Kβ” Estos modelos se basan en calcular la fracción volumétrica de vapor multiplicando a β (que

es la que resulta de aplicar el modelo homogéneo) una constante K. Correlaciones explícitas del modelo “Kβ”” βε ⋅= K :

Autor Correlación Armand (1947) xK ⋅+= 167.0833.0 Bankoff (1960) barPPK 2.2069.400131.071.0 ≤≤⋅+=

4) Correlaciones misceláneas Son correlaciones que no pertenecen a las tres categorías arriba descritas. Se resumen a continuación dichas correlaciones:

A-14


Modelo Correlación

Lockhart-Martinelli

3000Re3000Re53000Re3000Re103000Re3000Re123000Re3000Re20

11115.0

2

<<=<>=><=>>=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=−=

gyfsiCgyfsiCgyfsiCgyfsiC

XXCDonde f

f

φφ

ε

5.0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

g

f

dzdpdzdp

X Es el parámetro de Lockhart-Martinelli

1.05.09.01⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=gf

fg

xxXtt

μμ

ρρ

Es el parámetro de Lockhart-Martinelli, válido si Ref>3000 y Reg>3000

Kattan ( )[ ]

1

5.0

25.0)1(18.11))1(12.01(x−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅−⋅⋅⋅−⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⋅−⋅+⋅=

fGgffgxxxx

fgg ρρρσ

ρρρε

Zivi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

>⋅+⋅−=

<<⋅+⋅−=

−−

−−

476.0

2

176.0088.0

2

63.0315.0

85.2115.0)(

:Donde

1125Re)(

Re0361.0

)(Re

38.01

1125Re50)(

Re9293.0

)(Re

9298.11

XttXttXttF

SiXttFXttF

SiXttFXttF

fofofo

fofofo

ε

ε

Donde, Xtt es el parámetro de Lockhart-Martinelli, válido si Ref>3000 y Reg>3000

Thom (1964)

1)1( +⋅−⋅

=x

xγ

γε Donde γ asume los siguientes valores, según la presión:

P(bar) 1.014 17.24 41.38 86.21 144.83 206.9 221.1 γ 246.0 40.0 20.0 9.8 4.95 2.15 1

A-15


4. Cálculo de pérdida de carga para flujo bifásico En este caso como tenemos un flujo bifásico, se usarán distintos modelos para predecir la

perdida de carga. Tener en cuenta que para la pérdida de carga debido a la fricción, se utilizaran

multiplicadores que corregirán el valor dado de simple fase al dado por el flujo bifásico. Dichos multiplicadores serán calculados según distintos modelos. De esta forma se llegará a la siguiente expresión para la pérdida de carga:

eafriccióntotal PPPP Δ+Δ+Δ=Δ

fricciónPΔ Caída de presión por fricción

aPΔ Caída de presión por aceleración

ePΔ Caída de presión por elevación Donde para calcular , podemos usar el modelo de “flujo separado”, cuyas hipótesis

son: fricciónPΔ

- Velocidades de vapor y líquido constante pero no necesariamente iguales. - Equilibrio termodinámico entre las fases. - Uso de correlaciones empíricas para relacionar el factor multiplicador que corrige la

pérdida de carga con las variables independientes del flujo. Entonces obtenemos las siguientes expresiones:

22

22

ggphasestwo

gogophasestwo

ffphasestwo

fofophasestwo

dzdP

dzdPó

dzdP

dzdP

ódzdP

dzdPó

dzdP

dzdP

φφ

φφ

⋅=⋅=

⋅=⋅=

−−

−−

Integrando las expresiones de arriba, llegamos a las siguientes ecuaciones para la pérdida

de carga por fricción.

∫∫

∫∫

⋅⋅=Δ⋅⋅⋅

⋅⋅=Δ

⋅⋅=Δ⋅⋅⋅

⋅⋅=Δ

L

og

gfricción

L

ogo

g

gofricción

L

of

ffricción

L

ofo

f

fofricción

dzdzdPPódz

DiGf

P

ódzdzdPPódz

DiGf

P

222

222

2

2

φφρ

φφρ

Modelos de “flujo separado”

ea

L

ofo

f

fo PPdzDi

GfP Δ+Δ+⋅⋅

⋅

⋅⋅=Δ ∫ 2

22φ

ρ

Donde: L, es la longitud de la cañería.

A-16


2foφ , es el multiplicador que permite corregir la caída por fricción considerando el flujo

monofásico cuando es bifásico. Modelos para los multiplicadores tipo: 2

foφ

∫ ⋅⋅⋅

⋅⋅=Δ

Le

ofo

f

fofricción dz

DiGf

P 222

φρ

Friedel

fDivxvxG

We

DigvxvxG

Fr

gf

fg

gfA

xxAffoffgofxxA

WeFrAAA

fg

fg

fo

σ

μμ

ρρ

μμ

ρρ

φ

⋅⋅−+⋅⋅=

⋅

⋅−+⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅+−=

⋅⋅⋅

+=

22

22

19.091.07.0

224.078.022

035.0045.02

))1((

))1((

13

)1(2)1(1

3224.31

Lottes-Flinn 2

2

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

=ε

φ xfo

Modelos para los multiplicadores tipo 2

fφ

∫ ⋅⋅=ΔLe

of

ffricción dz

dzdPP 2φ

Lockhart-Martinelli

MartinelliLockhartdeParametroXgyfsiCgyfsiCgyfsiCgyfsiC

XXC

f

−<<=<>=><=>>=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

3000Re3000Re53000Re3000Re103000Re3000Re123000Re3000Re20

11 22φ

Tarasova

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅=

⋅−

εφ

1

51035.7

2P

fFrA

P(bar) 49 98 147 196 A 3.1 1.628 1.313 1.14

A-17


Chisholm

C

g

fgG

C

fg

xxT

C

TTC

TTC

XXC

f

g

g

f

f

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

5.0

5.0

5.05.0

2

2

22

1

11

115001

1

11

11

11

ρ

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

ψ

ψφ

Modelo “Homogéneo” También para calcular , podemos usar el modelo homogéneo cuyas hipótesis ya

fueron dadas (ver cálculo de la fracción volumétrica de vapor) fricciónPΔ

En este caso se obtiene la siguiente expresión:

∫ ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅

=ΔL

o f

fgTP

ffricción dz

vvv

xfDi

GP 12 2

ρ

fTP surge de aplicar la ecuación de Churchill el siguiente número de Reynolds.

μi

TPDG ⋅

=Re

Y paraμ , la correlación más usada es la siguiente:

fg

xxμμ

μ−

+= 1

1

Cálculo de la caída de presión por aceleración

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=Δ

imoma GP

ρρ112

A-18


Donde: ( )

( )ερερρ

−⋅−

+⋅

=1

1 22

Lgm

xx

Cálculo de la caída de presión por elevación

θρ cos⋅Δ⋅⋅=Δ zgPe Donde θ : es el ángulo con la vertical en la dirección del flujo. Para dos fases: ( ) ερερρ ⋅+−⋅= gL 1

A-19


5. Predicción del régimen de flujo

Se ha hecho hincapié en detectar por medio de distintos mapas de patrones de flujo, las zonas en donde el régimen de flujo es anular. . En las siguientes figuras se presentan los mapas analizados para determinar los regimenes de flujo en tubos horizontales. Mapa de Tandon

• Es uno de los mapas de flujo más nuevos • El mapa está basado en parámetros de flujo del tipo: velocidad de vapour

adimensional: [ ] 5.0)( gfgDig

xGjDρρρ −⋅⋅⋅

⋅=

• Y el cociente del volumen de líquido y gas en un área transversal:εε−1 . Donde: ε es la

fracción de vacío. • Una comparación con datos de otros autores, muestra una excelente relación en los

regímenes de flujo anular y estratificado. • El mapa de Tandon define los límites para los distintos regimenes de flujo de la

siguiente manera:

5.0101.0

5.015.001.05.015.0

5.0115.0161

5.0114.05.014.0

>−

<

>−

≤≤>−

>

≤−

>≤−

≤≤

≤−

<≤≤−

<

εε

εε

εε

εε

εε

εε

εε

jDFlowPlug

jDFlowSlugjDFlowBubble

jDFlowSprayjDFlowAnnular

jDRangeTransitionjDFlowStratified

A-20


Mapa de Baker

• Es uno de los mapas más utilizados en flujo horizontal

• Absisa del gráfico de Baker:

Ψ⋅−⋅=Ψ⋅= )1( xGGX f Donde: G: caudal másico por unidad de área.

2

4DiWG

⋅⋅

=π

31

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=Ψ

w

f

w

f

f

W

ρρ

μμ

σσ

• Ordenada del gráfico de Baker:

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⋅==

a

g

w

fg xGGY

ρρ

ρρ

λλλ

A-21


Donde:

Variable Descripción Valor Unidades

Wρ Densidad H20 (liq) (2) 997 Kg/m3

Aρ Densidad Aire (2) 1 Kg/m3

Wμ Viscosidad H20 (liq) (2) 0.0008901 Pa s

Wσ Tensión superficial H20 (liq) (2) 0.07197 N/m

(2) A la Presión y Temperatura ambiente.

• Se puede observar como varía el patrón de flujo a medida que el título del fluido

disminuye (es decir a medida que la X del gráfico de Baker aumenta y la Y disminuye).

• Descripción de los patrones de flujo

Flujo Estratificado

Este patrón de flujo ocurre a bajas velocidades de vapor y de líquido. Las dos fases fluyen separadamente con una suave interfase.

Flujo Anular Ocurre a altas velocidades de vapor, esto produce un núcleo de gas con una película alrededor de líquido en la periferia de la tubería. La película tendrá más espesor en la base de la cañería.

Flujo Spray En este caso el líquido fluye en forma de pequeñas gotas que son arrastradas por la fase vapor que ocupa todo el conducto.

Flujo Bubble El vapor se encuentra distribuido como discretas burbujas en la fase líquida continua. Las burbujas de vapor tienden a fluir en la parte superior del tubo.

Flujo Slug El incremento de la velocidad del vapor produce que las olas en la interfase líquido vapor se eleven produciendo picos espumosos que se propagan a lo largo de la cañería.

Flujo Plug Las burbujas se agrupan para formar bolsones que tienen aproximadamente el diámetro del tubo.

A-22


Mapa de Taitel-Dukler

• En este mapa para determinar si el régimen de flujo es estratificado o no estratificado

usar el parámetro K. • Para determinar si el régimen es anular o wavy o ninguno de estos dos usar el

parámetro F. • Para determinar si el régimen de flujo es bubbly, intermitente o ninguno de estos usar

el parámetro T. • Para todos los casos la absisa consiste en el parámetro de Lockhart-Martinelli. • Las ordenadas del gráfico son las siguientes:

( ) 5.0

5.01gD

xGFiggf

g

⋅⋅

⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

ρρρρ

( )

5.02)1(

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅

=

f

fgf

fgg

g

xGxG

K

ρμ

ρρ

ρρρ

A-23


( )

5.0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=g

dzdp

Tgf

f

ρρ

• Y la absisa es el parámetro de Lockhart-Martinelli:

5.0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

g

f

dzdpdzdp

X

En la siguiente figura se presenta el mapa analizado para determinar los regimenes de flujo en tubos verticales. Mapa de Hewitt-Roberts (tubos verticales)

• Los ejes de este mapa representan los flujos de momentos superficiales para el líquido y vapor respectivamente. Este mapa será utilizado como una guía aproximada.

• El eje horizontal de este mapa representa el flujo de momento superficial para la fase

líquida.

A-24


• : ( )f

ffxGj

ρρ

22 )1( −⋅=⋅

• El eje vertical de este mapa representa el flujo de momento superficial para la fase

vapor.

• ( )g

ggxGj

ρρ

22 ⋅=⋅

A-25

carrera de esp. en siderurgia-apendice a-flujo bifasico

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