carpeta de clase de primer año
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Material de consulta para alumnos del Primer año del Ciclo Básico C.E.N" 8 Maestras Lucio Lucero. San Luis. Argentina.TRANSCRIPT
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Contenido
NÚMEROS NATURALES 5
Conjuntos numéricos: 5
Recta numérica 5
Propiedad asociativa 7
El Cero 8
Multiplicación de números naturales 10
Propiedades de la Multiplicación 11
Porpiedad conmutativa: 11
Propiedad asociativa: 11
Propiedad distributiva: 11
Multiplicación por la unidad seguida de ceros 12
División de números naturales 13
División por la unidad seguida de ceros 14
Elemento neutro en la multiplicación y división 14
Operaciones Combinadas 15
SUPRESIÓN DE PARÉNTESIS, CORCHETES Y LLAVES 18
Potenciación de Números Naturales 19
Casos particulares de la Potenciación: 20
Potencias de base 10 21
Propiedades de la Potenciación: 21
Propiedad Distributiva: 21
Producto de Potencias de igual base: 22
El producto de potencias de igual base 22
El cociente de potencias de igual base 22
Potencia de otra potencia 23
Interpretación geométrica del cuadrado y el cubo de un número 23
Cuadrado de un número 23
Cubo de un número 24
3
RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES 24
IGUALDADES MATEMÁTICAS 26
Lenguaje algebraico 27
Ecuaciones 30
¿Cómo se resuelve una ecuación? 31
Reglas básicas para el pasaje de términos 32
Verificación de ecuaciones 33
ANGULOS 40
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS 41
PAREJA DE ÁNGULOS 52
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal. 53
Practico Ángulos 1 59
Práctico Ángulos 2 60
Geometría 62
¿Para qué sirve la geometría? 62
Historias Matemáticas 62
Perímetro y Superficie 62
Cuadrado 63
Rectángulo 65
Triángulo 66
Círculo 68
Práctico Perímetro y Superficie 70
Cuadro resumen 72
Ejercicios interactivos 73
5
NÚMEROS NATURALES
Conjuntos numéricos:
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son
necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo,
usamos números para contar una determinada cantidad de elementos
(existen siete notas musicales, 9 planetas, etc.), para establecer un orden
entre ciertas cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo, etc.), para
establecer medidas (3,2 metros, 5,7 kg, –4ºC, etc.), etc.
Números naturales N:{1, 2, 3, 4, ...} los llamaremos números
naturales y lo notaremos con la letra N.
Al conjunto de los números que sirven para contar objetos.
Son exactos, no poseen parte decimal ni fraccionaria y además son
positivos.
Estos números están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre
una recta del siguiente modo:
Recta numérica
Línea recta en la que cada punto
representa un número real. Es la
representación geométrica de
valores numéricos.
Todos los números pueden
ordenarse en una recta numérica.
De esta manera, podemos determinar
si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que
ocupa en la recta numérica.
Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de
otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es
mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero.
En matemática se usa la recta numérica horizontal. En la figura ves una
recta numérica que va de cero a diez.
6
El sucesor de un número natural es aquel que
está inmediatamente a la derecha
El antecesor de un número natural es aquel que
está inmediatamente a la izquierda
Al dibujar una recta numérica es muy importante elegir un segmento de
recta adecuado y que la distancia entre las marcas de los números sea
igual. La flecha de la derecha indica hacia dónde va el orden creciente de
los números marcados.
Si miramos la recta anterior, podemos ver que el número 2 está ubicado
a la izquierda del número 3 y además, está más cerca del cero, por lo
tanto, decimos que el número 2 es menor que el número 3.
De la misma manera, si miras nuevamente la recta, podrás ver que el
número 5 está ubicado a la derecha del número 4 y más alejado del cero,
por lo tanto cabe mencionar, que el número 5 es mayor que el número 4.
¿Cómo simbolizamos si un número es mayor o menor?
Utilizamos el símbolo <, para indicar que un número es menor que otro.
Por ejemplo, sabemos al mirar la recta numérica que el número 3 es
menor que el número 5 y lo representamos de la siguiente forma:
3 < 5 a < b
Utilizamos el símbolo >, para indicar que un número es mayor que otro.
Por ejemplo, el número 5 es mayor que el número 4, y lo representamos
de la siguiente forma:
5 > 4 a > b
Por ejemplo: El número que está inmediatamente a la izquierda del 1,
en la recta numérica, es el 0, luego, el antecesor de 1 es 0.
De igual forma se tiene que:
7
-el antecesor de 3 es 2
-el antecesor de 6 es 5
-el antecesor de 10 es 9
Por Ejemplo:
El número que está inmediatamente a la derecha del 0, en la recta
numérica, es el 1. Luego, el sucesor de 0 es 1.
De igual forma se tiene que:
- el sucesor de 2 es 3
- el sucesor de 5 es 6
- el sucesor de 12 es 13
Como podemos observar en la recta numérica, el conjunto N tiene
primer elemento, el 1; y ¿cuál es su último elemento? Es infinito.
Adición o Suma de Números Naturales
Los términos de la adición se llaman sumandos y el resultado se llama
suma o total:
25 sumandos 25 + 31 = 56
+ 31 sumandos Total
--------
56 suma
Propiedad asociativa
Asociar: Unir o juntar las cantidades
(a + b) + c = a + ( b + c)
(2+3) +5= 2+(3+5)
5 +5= 2+ 8
10=10
Si se agrupan los sumandos de distintas maneras, la suma no cambia
(38 + 15) + 20 = 38 + (15 + 20)
53 + 20 = 38 + 35
73 = 73
8
Decimos que la suma goza de la propiedad Asociativa
Propiedad conmutativa
Conmutar: Cambiar el orden de las cantidades
a + b = b + a
Si se cambia el orden de los sumandos, la suma no varía.
18 + 3 = 3 + 18
21 = 21
Decimos que la suma goza de la propiedad Conmutativa
El elemento neutro en la suma es el cero.
25 + 0 = 25 a+0 = a
Ejercitar en http://www.vitutor.com/di/n/a_4e.html
http://www.genmagic.net/mates4/distributiva_c.swf
El Cero
El cero es el signo numérico de valor nulo que por notación posicional
ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa.
Si está situado a la derecha de un número entero, decuplica su valor (lo
multiplica por 10), a la izquierda no la modifica.
El cero es el elemento del conjunto de números enteros (Z) que precede
al 1 y se puede representar como cualquier número más su opuesto:
x+(-x) = 0 3+(-3)=0
El cero es el número de elementos que tiene un conjunto vacío.
El cero es el elemento neutro en la suma y en la resta
Sustracción, Resta o Diferencia de Números Naturales
9
Los términos de la sustracción se llaman minuendo y sustraendo, el
resultado se llama resta o diferencia:
25 minuendo 25 - 21 = 4
- 21 sustraendo minuendo diferencia
-------- sustraendo
4 resta o diferencia
El elemento neutro en la resta es el cero.
25 - 0 = 25 a - 0 = a
Suma y resta en la recta numérica
Para sumar un número natural significa
moverse a la derecha en la recta
numérica.
En contraposición, para restar hay que
desplazarse a la izquierda
Suma Algebraica
Una suma algebraica es una combinación de sumas y restas de números
naturales como la siguiente:
Ejemplo: 7 – 5 + 6 – 3 – 4 + 8
Cada uno de los números de la suma algebraica separados por los signos
más y menos se llama término.
10
Los términos precedidos por el signo más (+) se llaman términos
positivos (7 , 6 , 8), y los términos precedidos por signo menos (-) se
llaman términos negativos (5 , 3 , 4).
El primer término, si no tiene escrito un signo adelante, se sobreentiende
que tiene signo más. ES POSITIVO
Forma práctica para resolver una suma algebraica:
Veamos un ejemplo: 7 – 5 + 6 – 3 – 4 + 8 + 9 + 3
Observemos primero: si un mismo número figura 2 veces pero con
distinto signo, pueden suprimirse.
7 – 5 + 6 – 3 – 4 + 8 + 9 + 3
Luego se suman los términos positivos y, al resultado, se le resta la suma
de los términos negativos.
7 – 5 + 6 – 4 + 8 + 9 = (7 + 6 + 8 + 9) – (5 + 4)
= 30 - 9
= 21
Multiplicación de números naturales
La multiplicación se expresa:
a . b = c Se lee “el producto de a por b es igual a c”
a y b son factores y c es el producto
En números:
8 . 4. 2 = 64
8 , 4 y 2 son factores
64 es el producto
El resultado de la multiplicación de varios números se
llama producto.
11
Propiedades de la Multiplicación
Porpiedad conmutativa:
Podemos cambiar el orden de los factores!!!
8 . 3 .2 = 48
3. 8 . 2 = 48 Siempre el producto es el mismo
2 . 8 . 3 = 48
En símbolos: a . b = b . a
La multiplicación goza de la propiedad conmutativa
Propiedad asociativa:
Los factores pueden agruparse
8 . (3 .2) = 48
(3. 8) . 2 = 48 Siempre el producto es el mismo
(2 . 8 . 3) = 48
En símbolos: a . b . c = (a . b ) . c
La multiplicación goza de la propiedad asociativa
Propiedad distributiva:
Se expresa como sigue:
5 . (7 + 4) = 5.7 + 5.4
5 . 11 = 35 + 20
55 = 55 Siempre el producto es el mismo
En símbolos: a . (b + c) = ab + ac
LA MULTIPLICACIÓN goza de la propiedad Distributiva
12
Multiplicación por la unidad seguida de ceros
Cuando multiplicamos por 10 o por 100 o por 1000, decimos que
multiplicamos por la unidad seguida de ceros.
En estos ejemplos se puede ver claramente que no necesitamos realizar
una multiplicación escrita ya que solo se trata de agregar tantos ceros
como ceros acompañen a la unidad.
Esto es por que nuestro sistema de
numeración es decimal, cambia de
unidades a decenas cada 10
unidades , igual que de decenas a
centenas o centenas a unidades de
mil. Simplemente agregando un
cero a la derecha del número.
Pues bien, para multiplicar en estos
casos solamente se agregan a la
derecha del número, tantos ceros
como tenga atrás la unidad.
13
División de números naturales
Comparada con la multiplicación, la división es la operación inversa.
Dividir un número a (dividendo) por otro número b (divisor), consiste en
encontrar un número c (cociente) tal que multiplicado por el divisor dé
como resultado el dividendo.
45 : 5 = 9 <=> 45 = 5 . 9
45 es el dividendo
5 es el divisor
9 es el cociente
El resultado de la división de dos números se llama cociente.
En símbolos a : b = c <=> a = b • c
Recordemos las Reglas de divisibilidad
14
División por la unidad seguida de ceros
De la misma manera que en la multiplicación por la unidad seguida de
ceros, no hace falta realizar la división, solo basta quitar ceros o
desplazar la coma a la izquierda del número, para obtener el resultado.
340 : 10 = 34
1200 : 100 = 12
450000 : 1000 = 450
638 : 10 = 63,8
3452 : 10 = 345,2 corro la coma un lugar
3452 : 100 = 34,52 corro la coma dos lugares
3452 : 1000 m = 3,452 corro la coma tres lugares
3452 : 10000 = 0,3452 corro la coma cuatro lugares
Elemento neutro en la multiplicación y división
VEAMOS:
35 . 1 = 35 54 : 1 = 54
2700 . 1 = 2700 2045 : 1 = 2045
344 . 1 = 344 112 : 1 = 112
En símbolos: a . 1 = a y a : 1 = a
EL ELEMENTO NEUTRO EN LA DIVISIÓN Y MULTIPLICACIÓN ES 1
Operaciones Combinadas
Las operaciones combinadas son ejercicios con combinaciones de
operaciones y uso de paréntesis, corchetes y llaves.
Lo que tenemos que aprender es el orden que hay que seguir para realizar
operaciones combinadas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. No
se pueden realizar de manera aleatoria, hay que seguir un orden de
resolución de las operaciones y otro con respecto a la prioridad de
resolución fijadas por paréntesis corchetes y llaves.
Primero los paréntesis, segundo los corchetes y tercero las llaves.
Gráficamente lo expresamos así:
1º PARENTESIS
2ª CORCHETES
3º LLAVES
Vamos a ver un ejemplo de operaciones combinadas: 21 : 3 + 7 x 4
Lo primero es hacer los paréntesis, pero en este caso no hay.
Lo siguiente en hacer las multiplicaciones y divisiones: 21 : 3 = 7 y por
otro lado 7 x 4 = 28
Ahora nos queda solo la suma: 7 + 28 = 35
Operaciones combinadas con números naturales
Prioridad de las operaciones
Efectuar las operaciones entre: 1ºparéntesis, 2ºcorchetes y 3ºllaves
1º.Calcular las potencias y raíces.
2º.Efectuar los productos y cocientes.
3º.Realizar las sumas y restas.
16
Tipos de operaciones combinadas
Operaciones combinadas sin paréntesis
Combinación de sumas y diferencias.
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según
aparecen.
= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7
Combinación de sumas, restas y productos.
3 x 2 − 5 + 4 x 3 − 8 + 5 x 2 =
Realizamos primero las multiplicaciones por tener mayor prioridad.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15
Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.
10 ÷ 2 + 5 x 3 + 4 − 5 x 2 − 8 + 4 x 2 – 16 ÷ 4 =
Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los
encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
2 + 10 ÷ 2 + 5 x 3 + 4 − 5 x 2 − 8 + 4 x 2 – 16 ÷ 4 =
Realizamos primeros los productos y cocientes.
= 2 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuamos las sumas y restas.
= 26
Operaciones combinadas con paréntesis
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 x 2) + (5 + 16 ÷ 4) − 5 + (10 − 2) =
17
Realizamos en primer lugar las operaciones de producto, divisiones
contenidas en ellos.
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 2) =
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
Ejercitar en
http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf
http://adigital.pntic.mec.es/~aramo/calculo/coc10.htm
Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes
[15 − (8 − 10 ÷ 2)] x [5 + (3 x 2 − 4)] − 3 + (8 − 2 x 3) =
Primero operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 − (8 − 5)] x [5 + (6 − 4)] − 3 + (8 − 6) =
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
= [15 − 3] x [5 + 2] − 3 + 2 =
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:
= (15 − 3) x (5 + 2) − 3 + 2=
Operamos en los paréntesis: = 12 x 7 − 3 + 2
Multiplicamos: = 84 − 3 + 2=
Restamos y sumamos: = 83
EJEMPLOS DE OPERACIONES COMBINADAS
a) 27 + 3 x 5 – 16 = 27 + 15 – 16
= 26
b) 27 + 3 – 45 ÷ 5 + 16 =
27 + 3 – 9 + 16 = 37
c) (2 . 4 + 12) . (6 − 4) =
(8 + 12) . (2) = 20 . 2
= 40
d) 3 . 9 + (6 + 5 – 3) – 12 ÷ 4 =
27 + 8 – 3 = 32
Los signos +
y – separan
términos
Primero se resuelven
las operaciones que
están entre paréntesis
18
e) 2 + 5 . (2 ·3) =
2 + 5 . 6 =
2 + 30 = 32
f) 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
440 − [ 30 + 6 . 7]
440 − [ 30 + 42 ]
440 − 72 = 368
g) 2 .{4 .[7 + 4 (5 . 3 − 9)] − 3 .(40 − 8)} =
2 .{4 . [7 + 4 . 6 ] − 3 . 32 } =
2 . {4 .[7 + 24] – 3. 32 } =
2 . { 4 . 31 − 3 .32 } =
2 . {124 − 96} =
2 . 28 = 56
SUPRESIÓN DE PARÉNTESIS, CORCHETES Y LLAVES
3616538373617
1).- Cuando el paréntesis, corchete o llave está precedido por el signo
más puede suprimirse, quedando los términos que encierra con sus
correspondientes signos.
2).- Cuando el paréntesis, corchete o llave está precedido por el signo
menos puede suprimirse cambiando los signos de cada uno de los
términos que encierra.
3).- Para seguir un orden, en la suma algebraica se suprimen primero los
paréntesis, en el segundo paso los corchetes y, por último, las llaves.
4).- A continuación se resuelve la suma algebraica explicada
anteriormente.
17 – { 6 + 3 – [ - 7 + 3 + (8 – 3 – 5) + 6 – 1 ] + 6 } + 3 =
17 – { 6 + 3 – [ - 7 + 3 + 8 – 3 – 5 + 6 – 1 ] + 6 } + 3 = Suprimo el paréntesis
Se opera de izquierda a derecha
No debo olvidarme de
separar en términos
dentro de los paréntesis,
corchetes y llaves.
19
17 – { 6 + 3 + 7 - 3 - 8 + 3 + 5 - 6 + 1 + 6 } + 3 = Suprimo el corchete
17 – 6 – 3 – 7 + 3 + 8 – 3 – 5 + 6 – 1 – 6 + 3 = Suprimo la llave
17 – 6 – 3 – 7 + 3 + 8 – 3 – 5 + 6 – 1 – 6 + 3 = Identifico los positivos y los negativos
(17 + 3 + 8 +6 + 3) - (6+3+7 +3+5+1+6)= Los agrupo y los resuelvo
37 – 31= 6
Potenciación de Números Naturales
En símbolos:
an = b
La potenciación es una operación matemática que expresa un producto de
factores iguales. Es una forma abreviada de expresar esa multiplicación
donde la base es el factor que se repite y el exponente es el número de
veces que el factor se multiplica.
Recordemos que llamamos FACTORES a los números que forman parte de
la multiplicación y PRODUCTO a su resultado
Así es como:
2.2.2.2.2.2 = 26 Se lee dos a la sexta
2 es el factor que al expresarse como potencia se transforma en la base
6 es el número de veces que se multiplica el mismo factor y se convierte
en el exponente.
En símbolos:
an = a . a . a … a para todo a y para todo n, naturales.
n factores
Potencia
Exponente
Base
20
Así como los productos de factores iguales pueden expresarse como
potencias, las potencias pueden escribirse como productos:
56= 5.5.5.5.5.5
¿Cómo escribiríamos una potencia en forma de producto?
Ejemplos: 45= 4.4.4.4.4 74= 7.7.7.7
Casos particulares de la Potenciación:
nn .88 11 TODO NÚMERO ELEVADO A LA POTENCIA 1 ES
IGUAL AL MISMO NÚMERO
Ejemplos:
101=10
331= 33
81= 8
11115 n UNO ELEVADO A CUALQUIER POTENCIA ES
IGUAL A UNO
Ejemplos:
11=1
16= 1
133= 1
117 00 n TODO NÚMERO ELEVADO A CERO ES IGUAL A
UNO
Ejemplos:
1. 100=1
330= 1
80= 1
21
00003 n CERO ELEVADO A CUALQUIER POTENCIA ES
IGUAL A CERO
Ejemplos:
2. 01=0
08= 0
010= 0
Ejercitar en http://www.vitutor.com/di/n/a_60e.html
http://www.amolasmates.es/anaya/anaya1ESO/datos/02/07.htm
http://www.lamanzanadenewton.com/materiales/aplicaciones/pasoap
aso/matematicas/lmn_potencias.html
Potencias de base 10
Observemos:
101= 10 10
102= 10.10 100
103= 10.10.10 1000
104= 10.10.10.10 10000
105= 10.10.10.10.10 100000
Ejercitar en http://www.aplicaciones.info/decimales/poten02.htm
Cualquier potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de la
cantidad de CEROS que indique el exponente.
Propiedades de la Potenciación:
Propiedad Distributiva:
Resolvemos:
a) 33 2.3 b) 3)2.3(
c) 22 43 d) 2)43(
22
e) 22 2:6 f) 2)2:6(
g) 33 25 h) 3)25(
Al resolver estos ejercicios podemos observar que:
LA POTENCIACION ES DISTRIBUTIVA SOLO EN LA
MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN
Probemos calcular potencias de números pares e impares.
25= 32 33= 27
42= 16 72= 49
Conclusión:
TODA POTENCIA DE BASE PAR ES PAR
TODA POTENCIA DE BASE IMPAR ES IMPAR
Producto de Potencias de igual base:
El producto de potencias de igual base, es otra potencia de igual base cuyo
exponente es la suma de los exponentes dados:
Por que?
23 . 22 = (2 . 2 . 2) . ( 2 . 2 )
23 . 22 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2
23 . 22 = 2 3+2
23 . 22 = 2 5
El cociente de potencias de igual base, es otra potencia de igual base cuyo
exponente es la diferencia de los exponentes dados:
am. an = am+n
am: an = am-n
23
Por qué?
26 : 22 = 2 . 2 . 2. 2 . 2 . 2
2 . 2
26 : 22 = 2 6-2
26 : 22 = 2 4
Potencia de otra potencia es una potencia de la misma base cuyo exponente es
el producto de los exponentes dados:
(5 2 ) 3 = 5 2 . 5 2 . 5 2
(5 2 ) 3 = (5 . 5 ) . (5 . 5 ) . ( 5 . 5 )
(5 2 ) 3 = 5 2.3 = 5 6
Interpretación geométrica del cuadrado y el cubo de un número
Cuadrado de un número
Si dibujamos un cuadrado de 4 cuadritos de lado, podemos observar que la
superficie de ese cuadrado es igual a 4.4=16 cuadritos
Sup. del cuadrado = L2
= 42
= 16
16 es el cuadrado perfecto de 4
Cuadrados perfectos son los números que poseen raíces cuadradas
exactas.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ... etc
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
(am.) n = am.n
4 filas
4 columnas
24
Cubo de un número
Ahora observemos el cubo mágico, tiene 3 cuadros de ancho, 3 cuadros de
alto y 3 cuadros de profundidad.
Volumen del cubo = L3
= 33
= 27
27 es el cubo perfecto de 3
RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que
dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado
raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.
En símbolos: ban porque abn
Índic
e Radica
ndo
Raíz
b4 16 Porque 1624
RADICACIÓN
24 =16 Porque
2.2.2.2 =16
POTENCIACIÓN
El cubo de un número representa geométricamente el volumen de
un cubo cuyo lado es igual la base de la potencia.
El cuadrado de un número representa geométricamente la superficie
de un cuadrado cuyo lado es igual la base de la potencia.
25
Ejemplos:
49 7 Porque 72 = 49
25 5 Porque 52 = 25
3 27 3 Porque 33 = 27
3 8 2 Porque 23 = 8
Vale recordar que, en la radicación, al calcular la raíz cuadrada no se
escribe el índice.
Se lee raíz cuadrada de 25
Cuando el índice es 3, se lee raíz cúbica
Cuando el índice es 4, se lee raíz cuarta
Cuando el índice es 5, se lee raíz quinta
Propiedades de la Radicación:
Propiedad Distributiva:
Resolvemos:
a) 25.4 b) 25.4
c) 169 d) 169
e) 9:144 f) 9:144
g) 64100 h) 64100
Al resolver estos ejercicios podemos observar que:
26
LA RADICACIÓN ES DISTRIBUTIVA SOLO EN LA MULTIPLICACIÓN Y
LA DIVISIÓN
En símbolos:
baba ..
baba ::
IGUALDADES MATEMÁTICAS
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.
2 + 5 = 8 - 1
A = B
Se lee que A “es igual” a B
Tal como una balanza, si los pesos son iguales de
ambos lados, la balanza esta en equilibrio, o sea
conforman una igualdad.
Todo lo que está a la izquierda del signo igual, se
llama PRIMER MIEMBRO y todo lo que está a la
derecha SEGUNDO MIEMBRO.
=
Una expresión algebraica es una combinación de letras
y números ligados por los signos de las operaciones: adición,
sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Ejemplo: 3x - 2. (a+b) - 7n2
PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO
27
Lenguaje algebraico
El lenguaje que usamos para comunicarnos entre las personas, formado
por las palabras de nuestro idioma se llama lenguaje coloquial.
El lenguaje algebraico es la manera de expresar simbólicamente
relaciones matemáticas mediante números, letras y signos de operación y
relación.
Así podemos traducir situaciones del lenguaje coloquial al lenguaje
algebraico:
El doble o duplo de un número: 2x
El triple de un número: 3x
El cuádruplo de un número: 4x
La mitad de un número: x/2 o x:2
Un tercio de un número: x/3 o x:3
Un cuarto de un número: x/4 o x:4
Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x
Un número al cuadrado: x²
Un número al cubo: x³
Un número par: 2x
Un número impar: 2x + 1
Dos números consecutivos: x y x + 1
Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2
Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3
En el lenguaje algebraico también podemos representar operaciones más
complejas.
Traducir al lenguaje algebraico las siguientes situaciones:
28
1) El doble de un número menos su cuarta parte.
2) Años de Ana Belén dentro de 12 años.
3) Años de Isabel hace tres años.
4) La cuarta parte de un número más su siguiente.
5) Perímetro de un cuadrado.
6) Un número par.
7) Un número impar.
8) Un múltiplo de 7.
9) Dos números enteros consecutivos.
10) Dos números que se diferencian en dos unidades.
11) El doble de un número menos su quinta parte.
12) El quíntuplo de un número más su quinta parte.
13) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años.
14) Dos números se diferencian en 13 unidades.
15) Dos números suman 13.
16) Un hijo tiene 22 años menos que su padre.
17) Dos números cuya suma es 25.
18) La cuarta parte de la mitad de un número.
19) Dimensiones de un rectángulo en el que su largo tiene 6 metros más
que el ancho.
Las respuestas correctas son:
1) 2x−x/4
2) x + 12
3) x – 3
4) x/4 +( x+1)
5) 4x
6) 2x
7) 2x + 1
8) 7x
9) x , x + 1
10) x , x + 2
29
11) 2x− x/4
12) 5x + x/5
13) 2x – 5
14) x , x + 13
15) x , 13 – x
16) x – 22
17) x , 25 - x
18)x/4
19) x , x+6
Ahora tratemos de traducir al lenguaje coloquial las siguientes
expresiones algebraicas:
20) x – 3
21)x/6
22) x + 10
23) x− x/2 + 2x
24) x – 5
25) x2
26) x , -x
27) x , 1/x
28) 25−x2
29) x2 − x/4
30) x , 25 – x
31) x2 + (x + 1)
32) x + ( x+ 1)2
33) x/x2
34) (2x + 3) – (2x + 1)
35) x.( x + 1)
36) (x + 1)2 − x2
37) 3x2
38) 2x2 − 7
Las respuestas correctas son:
30
20) Un número disminuido en tres unidades.
21) La sexta parte de un número.
22) Un número 10 unidades mayor que otro.
23) Un número menos su mitad más su doble.
24) Un número 5 unidades menor que otro.
25) El cuadrado de un número.
26) Un número y su opuesto.
27) Un número y su inverso.
28) Veinticinco menos el cuadrado de un número.
29) El cuadrado de un número menos su cuarta parte.
30) Dividir 25 en dos partes.
31) La suma de un número al cuadrado con su consecutivo.
32) La suma de un número con el cuadrado de su consecutivo.
33) El cociente entre un número y su cuadrado.
34) La diferencia de dos números impares consecutivos.
35) El producto de un número con su consecutivo.
36) La diferencia de dos números consecutivos elevados al cuadrado.
37) Triple de un número elevado al cuadrado.
38) Restar 7 al duplo de un número al cuadrado.
Ecuaciones
Trabajar con expresiones algebraicas consiste en operar
relaciones numéricas en las que una o más cantidades son
desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas
o indeterminadas y se representan por letras.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas,
que se cumple para un determinado valor de la letra.
Por ejemplo: X + 5 = 8 se cumple para x=3
31
La incógnita, en una ecuación, es un valor
desconocido que pretendemos averiguar,
generalmente la representamos por la letra
x, pero debemos saber que puede
representarse con cualquier otra letra.
Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita, para
el cual la igualdad es verdadera.
¿Cómo se resuelve una ecuación?
Resolver una ecuación consiste en hallar su solución.
Observa cómo se procede para resolver
la ecuación:
7x - 2 = 5x + 4
▪ Realizamos pasaje de términos
pasando a un miembro todos los
términos que contienen la incógnita y
al otro miembro los que no la
contienen.
7x - 5x = 4 + 2
▪ Efectuamos operaciones en cada uno
de los miembros para reducir los
términos semejantes.
2x = 6
▪ Despejamos la incógnita y calculamos
la solución.
X= 6:2
X=3
Propiedades de las igualdades:
a) Si sumamos o restamos un mismo
número o una misma expresión algebraica
a los dos miembros de una ecuación
obtenemos otra ecuación equivalente.
Por ejemplo, para obtener una ecuación
equivalente a x+2=5 sumamos 3 a los
dos miembros:
x+2+3=5+3 x+5=8
Fíjate en que la ecuación obtenida x+5=8
también tiene por solución 3.
b) Si multiplicamos o dividimos los dos
miembros de una ecuación por un mismo
número diferente de cero obtenemos otra
ecuación equivalente.
Así, para obtener una ecuación
equivalente a x+2=5 podemos multiplicar
por 4 los dos miembros:
4(x+2)=4•5 4x+8=20
La ecuación obtenida 4x+8=20 también
tiene por solución 3.
32
x + 2 = 5
X = 5 – 2
X = 3
5x + 1 = 6
5x = 6 – 1
5x = 5
x = 5:5
x = 1
3x = 18
x = 18:3
x = 3
5 (x + 1) = 20
5.x + 5.1 = 20
5x + 5 = 20
5x = 20 - 5
x = 15:5
x=3
La solución de la ecuación
7x -2 = 5x + 4
es x =3
Reglas básicas para el pasaje de términos
Lo que está sumando pasa restando.
Ejemplo: X + 2 = 5 Despejando x = 5 – 2
Lo que está restando pasa sumando.
Ejemplo: X - 3 = 9 Despejando x = 9 +3
Lo que está multiplicando pasa dividiendo.
Ejemplo: 3 . x = 9 Despejando x = 9 :3
Lo que está multiplicando pasa dividiendo.
Ejemplo: X : 2 = 9 Despejando x = 9 . 2
Las raíces cuadradas pasan como cuadrados
Ejemplo: x 4 Despejando x = 42
Los cuadrados pasan como raíces cuadradas
Ejemplo: x2 = 16 Despejando x = 16
Ejercicios resueltos:
Aplico propiedad
distributiva!!!!!
33
Verificación de ecuaciones
Verificar una ecuación es comprobar que ambos miembros son iguales para
el valor de x encontrado, o sea, VERIFICAR LA IGUALDAD, que la igualdad
se cumpla, sea verdadera. Por ejemplo:
x + 2 = 5
X = 5 – 2
X = 3
¿Cómo sabemos que ese valor de x es correcto? Escribimos la ecuación
original y luego reemplazamos el valor de x por el valor que obtuvimos al
resolver la ecuación, o sea en este caso es x=3
x + 2 = 5
3 + 2 = 5
5 = 5
Primer miembro = Segundo miembro
Esto es verificar la ecuación. Comprobar que, para el valor de x
encontrado, ambos miembros valen lo mismo, son iguales.
Resolver:
1) x + 9 = 16
2) x – 6 = 4
3) x + 10 = 21
4) x – 8 = 12
5) 5 + x = 8
6) 24 + x = 40
7) x – 6 = 15
8) x – 9 = 5
9) 7 = x + 1
10) 37 = 9 + x
11) 40 – x = 29
12) 45 = 52 – x
13) 1 – x = 1
14) 12 – x = 4
15) 7x – 15 – 6x = 31
16) 2x + 6 – x = 23
17) 5x = 35
18) 8x = 32
19) 3x – 17 = 13
20) 7x – 9 = 47
34
Ejercicios:
Resolver las siguientes ecuaciones y realizar la verificación.
1) 2x - 34 = 120 x =77
2) 10x + 5 = 3x + 12 x = 1
3) 2(3x - 2) = 8 x = 2
4) 5x = 8x – 15 x =5
5) (x + 2)2 - x2 = 60 x = 14
6) x2 - (x - 4)2 = 128 x =18
7) 21 – 6 x = 27 – 8 x x = 3
8) 2 [3(x – 2) + 5(x – 3)] + x + 8= 0 x = 2
9) x – (2x + 1) = 8 – (3 x + 3) x = 3
10) 15 x – 10 = 6 x – ( x+ 2) – x + 3 x = 1
Práctico Numero Naturales 1
1. Buscar el término desconocido e indica su nombre en las
siguientes operaciones:
1. 327 + ....... = 1.208
2. ....... – 4.121 = 626
3. 321 · ....... = 32 100
4. 28.035 : ....... = 623
2. Buscar el término desconocido en las siguientes operaciones:
1. 4 · (5 + ...) = 36
2. (30 – ...) : 5 + 4 = 8
3. 18 · ... + 4 · ... = 56
4. 30 – ... : 8 = 25
3. Calcular de dos modos distintos la siguiente operaciones:
35
1. 17 · 38 + 17 · 12 =
2. 6 · 59 + 4 · 59 =
3.(6 + 12) : 3
4. Expresa en forma de potencias:
1. 50 000
2. 3 200
3. 3 000 000
5. Escribe en forma de una sola potencia:
1. 33 · 34 · 3 =
2. 57 : 53 =
3. (53)4 =
4. (5 · 2 · 3)4 =
5. (34)4 =
6. [(53)4 ]2 =
7. (82)3=
8. (93)2=
9. 25 · 24 · 2 =
10. 27 : 26 =
11. (22)4 =
12. (4 · 2 · 3)4 =
13.(25)4 =
36
14. [(23 )4]0=
15. (272)5=
16. (43)2 =
6. Realiza las siguientes operaciones combinadas:
1. 27 + 3 · 5 – 16 =
2. 27 + 3 – 45 : 5 + 16 =
3. (2 · 4 + 12) (6 − 4) =
4. 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 =
5. 2 + 5 · (2 · 3)³ =
6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =
7. 2{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =
8. 7 · 3 + [6 + 2 · (23 : 4 + 3 · 2) – 7 · ] + 9 : 3 =
7. Problemas de números naturales
1 Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles de tres
cifras distintas, ordénalos de menor a mayor y súmalos.
2El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el
dividendo?
3El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321.
¿Cuál es el resto?
4Pedro compró una finca por $643 750 y la vendió ganando $75 250. ¿Por
cuánto lo vendió?
37
5Con el dinero que tengo y $247 más, podría pagar una deuda de $525 y
me sobrarían $37. ¿Cuánto dinero tengo?
6 Se compran 1600 Kg de banana, a razón de 4 $/Kg. Si el transporte
cuesta $400 y se desea ganar con la venta $1200. ¿A cuánto debe
venderse el kilogramo de banana?
7¿Cuántos años son 6 205 días? Consideramos que un año tiene 365 días.
8 En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse
mediante un grifo que echa 15 litros por minuto?
9En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones
aterrizan en un día (24 hs)?
10En una urbanización viven 4 500 personas y hay un árbol por cada 90
habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles
habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas?
Práctico Numero Naturales 2
Operaciones combinadas
Ejercicios combinados para resolver:
1. 17 . 38 + 17 . 12 = Rta: 850
2. 6 . 59 + 4 . 59 = Rta: 590
3. (6 + 12) ÷ 3= Rta: 6
4. 7 . 5 – 3 . 5 + 16 . 5 – 5 . 4 = Rta: 80
5. 6 . 4 – 4 . 3 + 4 . 9 – 5 . 4 = Rta:28
6. 8 . 34 + 8 . 46 + 8 . 20 = Rta: 800
7. 27 + 3 . 5 – 16 = Rta: 26
38
8. 27 + 3 – 45 ÷ 5 + 16= Rta: 37
9. (2 . 4 + 12) (6 − 4) = Rta: 40
10. 3 . 9 + (6 + 5 – 3) – 12 ÷ 4 = Rta: 32
11. 2 + 5 . (2 .3) = Rta: 42
12. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] = Rta: 368
13. 2{4[7 + 4 (5 . 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} = Rta: 56
14. 7 . 3 + [6 + 2 . (8 ÷ 4 + 3 . 2) – 7 . 2] + 9 ÷ 3 = Rta 32
15. { [3 + 2 - (9 - 7) + (3 + 4) ] } = Rta 10
16. {45 - 28 - (12 - 9) + (2 + 3) } = Rta:19
17. 15 - { 4 + [5 - 4 + ( 9 - 3 ) ] - 16 } = Rta:2
18. 24 + 5 - { 13 + 4 - 5 - [ 7 + ( 6 + 4 ) - 7 - 6 ] + 4 } = Rta:17
19. { [5 . 4 + ( 3 . 5) ] ÷ (56 ÷8) } ÷5 = Rta:1
20. 100 + { 5 . 8 - [162 ÷ ( 9 . 6) ] + 8 } = Rta:145
Ejercicios combinados quitando paréntesis, corchetes y llaves:
Ejercicio 1
{ [3 + 2 - (9 - 7) + (3 + 4) ] } =
{ [3 + 2 - 9 + 7 + 3 + 4] } =
{ 3 + 2 - 9 + 7 + 3 + 4} =
3 + 2 - 9 + 7 + 3 + 4 =
(3 + 2 + 7 + 3 + 4)- 9 =
19 - 9 = 10
Ejercicio 2
15 - { 4 + [ - 5 - 4 + ( 2 - 3 ) ] - 16 } =
15 - { 4 + [ - 5 - 4 + 2 - 3 ] - 16 } =
15 - { 4 - 5 - 4 + 2 - 3 - 16 } =
15 - 4 + 5 + 4 - 2 + 3 + 16 =
(15 + 5 + 4 + 3 + 16) – (4 + 2)=
43 - 6 = 37
39
Ejercicio 3
14 + { 5 - [ 4 + 3 + ( - 2 + 4 + 5 ) ] - 7 + 8 } =
14 + { 5 - [ 4 + 3 - 2 + 4 + 5 ] - 7 + 8 } =
14 + { 5 - 4 - 3 + 2 - 4 - 5 - 7 + 8 } =
14 + 5 - 4 - 3 + 2 - 4 - 5 - 7 + 8 =
(14 + 5 + 2 + 8) – (4 + 3 + 4 + 5 + 7) =
29 - 23 = 6
Ejercicio 4
4 – {5 – [(7 + 8) – (5 - 2)]} =
4 – {5 - [7 + 8 – 5 + 2]} =
4 – {5 - 7 - 8 + 5 - 2} =
4 – 5 + 7 + 8 - 5 + 2 =
(4 + 7 + 8 + 2) – ( 5 + 5 ) =
21 – 10 = 11
Ejercicio 5
1 + { 3 + 5 - 8 + 6 - [ 23 + 45 - 66 + 23 - ( 3 + 5 + 7 ) - 67 ] + 8 } =
1 + { 3 + 5 - 8 + 6 - [ 23 + 45 - 66 + 23 - 3 - 5 - 7 - 67 ] + 8 } =
1 + { 3 + 5 - 8 + 6 - 23 - 45 + 66 - 23 + 3 + 5 + 7 + 67 + 8 } =
1 + 3 + 5 - 8 + 6 - 23 - 45 + 66 - 23 + 3 + 5+ 7 + 67 + 8 =
(1 + 3 + 5 + 6 + 66 + 3 + 5+ 7 + 67 + 8) – (8 + 23 + 45 + 23) =
171 - 99 = 72
Ejercicio 6
- 5 - 2 + 4 - 7 + 8 - 2 + { 5 + 3 – [ 2 + ( 5 - 6) - 3 - 5 ] } =
- 5 - 2 + 4 - 7 + 8 - 2 + { 5 + 3 - [ 2 + 5 - 6 - 3 - 5 ] } =
- 5 - 2 + 4 - 7 + 8 - 2 + { 5 + 3 - 2 - 5 + 6 + 3 + 5 } =
- 5 - 2 + 4 - 7 + 8 - 2 + 5 + 3 - 2 - 5 + 6 + 3 + 5 =
( 4 + 8 + 5 + 3 + 6 + 3 + 5) – (5 + 2 +7 + 2 + 2 + 5) =
34 - 23 = 11
Ejercicio 7
3- 2 - [ 4 - (6 + 4) - 9 + (1 - 3) - 8] + 4 =
3 - 2 - [4 - 6 - 4 - 9 + 1 + 3 - 8] + 4 =
3 - 2 - 4 + 6 + 4 + 9 - 1 - 3 + 8 + 4 =
(3 + 6 + 4 + 9 + 8 + 4) – (2 + 4 + 1 + 3) =
40
34 - 10 = 24
Ejercicio 8
3 - { 2 - 3 - [ - 2 + (1 + 3)] - 3} =
3 - { 2 - 3 - [ - 2 + 1 + 3] - 3} =
3 - { 2 - 3 + 2 - 1 - 3 - 3} =
3 - 2 + 3 - 2 + 1 + 3 + 3 =
(3 + 3 + 1 + 3 + 3) – ( 2 + 2) =
13 - 4 = 9
Ejercicio 9
2 + 3 - {2 - [2 - 3 + 1] - 2 - (3 - 1)} - 2 =
2 + 3 - {2 - 2 + 3 - 1 - 2 - 3 + 1} - 2 =
2 + 3 - 2 + 2 - 3 + 1 + 2 + 3 - 1 - 2 =
2 + 3 - 2 + 2 - 3 + 1 + 2 + 3 - 1 - 2 =
(2 + 3 + 2 + 1 + 2 + 3) - (2 + 3 + 1 +2)=
13 - 8 = 5
Ejercicio 10
2 - 4 - (- 2 - 3) - {2 - [- 2 - ( - 2 + 3)] - 1} + 2 =
2 - 4 + 2 + 3 - {2 - [- 2 + 2 - 3] - 1} + 2 =
2 - 4 + 2 + 3 - {2 + 2 - 2 + 3 - 1} + 2 =
2 - 4 + 2 + 3 - 2 - 2 + 2 - 3 + 1 + 2 =
(2 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2) – ( 4 + 2 + 2 +3)=
12 - 11 = 1
ANGULOS
Es la figura formada por 2 semirectas que parten de un mismo punto.
Las semirrectas se llaman lados y el punto común vértice. Entendemos el
ángulo como la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el
mismo punto de origen o vértice.
Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:
41
a) Una letra
mayúscula en el
vértice.
b) Una letra griega
o un símbolo en la
abertura.
c) Tres letras
mayúscula.
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Sistema sexagesimal
Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada
una de estas partes constituye un grado sexagesimal.
Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’)
que corresponden, cada una de ellas, a un minuto.
Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales
(60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.
42
Tipos de ángulos
Cóncavo
0° < < 180°
Un ángulo es cóncavo cuando mide entre ……. y ……….
Águdo
0° < < 90°
Un ángulo es agudo cuando mide entre ……. Y ……….
Recto
= 90°
Un ángulo es recto cuando mide
……….
43
Obtuso
90° < < 180°
Un ángulo es obtuso cuando mide entre ……. y ……….
Convexo
180° < < 360°
Un ángulo es convexo cuando mide entre ……. y ……….
Llano
= 180°
Un ángulo es llano cuando mide ……….
44
Completo o de un giro = 360°
Un ángulo es de un giro cuando mide ……….
Suma de ángulos
La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud
es la suma de las amplitudes de los dos ángulos
iniciales.
1º Para sumar ángulos se colocan
los grados debajo de los grados,
los minutos debajo de los minutos y los segundos
debajo de los segundos; y se suman.
45
2º Si los segundos suman más de 60,
se divide dicho número entre 60; el resto serán
los segundos y el cociente se añadirán a
los minutos.
3º Se hace lo mismo para los minutos.
EJEMPLO para sumar estos dos ángulos:
12 º 45 ' 53 ''
23 º 32 ' 41 ''
..........
46
Se suman los grados con los grados, los minutos con los
minutos y los segundos con los segundos.
Si los segundos sobrepasan 60, cada bloque de 60 lo
convertiremos en minutos.
Si los minutos sobrepasan 60, cada bloque de 60 lo
convertiremos en grados.
Sigamos con el ejemplo:
Empezamos analizando los segundos: cada bloque de 60
segundos lo convertimos en minutos:
94 segundos supera a 60 (1 minuto) pero no llega a 120 (2
minutos). Los primeros 60 segundos los convertimos en 1
minuto.
94 segundos = 1 minuto + 34 segundos
A los 77 minutos le sumamos este minuto, por lo que son 78
minutos.
Seguimos analizado los minutos:
78 minutos supera a 60 (1 grado) pero no llega a 120 (2
grados). Los primeros 60 minutos los convertimos en 1 grado.
78 minutos = 1 grado + 18 minutos
A los 35 grados le sumamos este grado, por lo que son 36
47
grados.
En definitiva, la suma sería: 36 º 18 ' 34 ''
Resta de ángulos
La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya
amplitud es la diferencia entre la amplitud del
ángulo mayor y la del ángulo menor.
1º Para restar ángulos se colocan
los grados debajo de los grados,
los minutos debajo de los minutos y los segundos
debajo de los segundos.
48
2º Se restan los segundos. Caso de que no sea
posible, convertimos un minuto del minuendo en 60
segundos y se lo sumamos a los segundos del
minuendo. A continuación restamos los segundos.
3º Hacemos lo mismo con los minutos.
EJEMPLO para restar dos ángulos:
25º 32 ' 17 ''
12º 43 ' 35 ''
..........
Se restan los grados con los grados, los minutos con los
minutos y los segundos con los segundos.
49
Si la resta de los segundos da negativo, tomaremos 1
minuto del minuendo y lo pasaremos a los segundos.
Si la resta de los minutos da negativo, tomaremos 1 grado
del minuendo y lo pasaremos a los minutos.
Sigamos con el ejemplo:
Empezamos analizando los segundos: como la resta es
negativa (-18 '') a los segundos le pasamos un minuto.
Por lo tanto, le restamos 1 a la columna de los minutos y se lo
sumamos (1 minuto = 60 segundos) a la columna de los
segundos.
La resta de los segundos ya da positivo.
Seguimos analizado los minutos: como la resta es negativa
(- 12 ') a los minutos le pasamos un grado:
Por lo tanto, le restamos 1 a la columna de los grados y se lo
sumamos (1 grado = 60 minutos) a la columna de los minutos.
50
La resta de los minutos ya da positivo.
En definitiva, la resta sería: 12º 48 ' 42 ''
Resuelve las operaciones:
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el
vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales. ( ver
video en http://www.aula365.com/bisectr iz/ )
51
¿Cómo trazamos la bisectriz?
Primero trazamos un arco que corte ambos lados del ángulo, luego desde estos
puntos con una misma abertura de compás, trazamos dos arcos. El punto en el
que se cortan los arcos y el vértice del ángulo, def inen la semirrecta que divide
al ángulo en dos partes iguales.
A practicar!!!
52
PAREJA DE ÁNGULOS
Ángulos
adyacentes
Son ángulos que
tienen un lado
común y los otros
dos pertenecen a la
misma recta.
Suman 180º
Ángulos consecutivos
Son ángulos que
tienen un lado
común y el mismo
vértice.
<BAC es
consecutivo
de <DAC
Ángulos opuestos
por el vértice
- Dos líneas que se
intersectan
generan ángulos
opuestos por el
vértice. - Son
ángulos no
adyacentes.
1, 2, 3 y 4
- Son iguales:
1 = 2
3 = 4
53
Ángulos formados por rectas
paralelas cortadas por una
transversal.
Cuando dos rectas paralelas son
cortadas por una recta transversal se
forman pares de ángulos que tienen
particularidades y características que
a continuación vamos a listar.
Ángulos
complementarios
- Es un tipo
especial de ángulo
adyacente cuya
particularidad es
que suman 90°.
El BAC es
complementario
de DAC y
viceversa.
Ángulos
suplementarios
- Es un tipo
especial de ángulo
adyacente cuya
particularidad es
que
suman 180°
El BAC es
suplementario
de DAC y
viceversa.
54
Es importante observar que las rectas paralelas
tienen un espacio interior y que los ángulos allí se
llaman internos, los que están fuera de ellas, se
llaman externos.
Ángulos correspondientes
Dos ángulos son correspondientes
cuando están del mismo lado de
la transversal, uno es interno y
el otro externo, y no son adyacentes.
SON IGUALES
1 = 5
2 = 6
3 = 7
4 = 8
Ángulos alternos
Dos ángulos son alternos cuando están
a distinto lado de la transversal y
no son adyacentes. Se dividen en
Alternos Internos y Alternos externos
SON IGUALES
1 = 7
2 = 8
3 = 5
4 = 6
Ángulos conjugados.
Dos ángulos son conjugados cuando
están del mismo lado de la transversal.
Se dividen en Conjugados Internos
y Conjugados externos
SON SUPLEMENTARIOS
1 8
2 7
3 6
4 5
55
1. ¿Cuál es el complemento de 75º?
a) 180º b) 25º c) 15º d) 90º
Solución:
Sea x = complemento de 75º
Por definición de ángulos complementarios:
x + 75º = 90º → x = 90º - 75º
x = 15º
La respuesta correcta es
el inciso "c"
x = 15º
2. Según la figura:
¿Cuál es el valor de x?
a) 15º b) 35º c) 180º d) 360º
Solución:
Los ángulos son complementarios, entonces
x + 55º + 20º = 90º → x = 90º - 55º - 20º
x = 15º
La respuesta correcta
es el inciso "a"
x = 15º
3. ¿Cuál es el ángulo cuyo suplemento es el doble de dicho ángulo?
a) 120º b) 60º c) 90º d) 30º
Solución:
Sea
x = ángulo desconocido.
2x=el doble del ángulo desconocido (su suplemento)
Por definición de ángulos suplementarios:
56
x + 2x =180º → 3x = 180º
x = 180º/3
x = 60º
La respuesta correcta
es el inciso "b"
x = 60º
4. De acuerdo con la figura:
¿Cuál es el valor de x?
a) 180º b) 90º c) 225º d) 105º
Solución:
Los ángulos son suplementarios, entonces
35º + x + 40º =
180º
→ x + 75º = 180º
x = 180º - 75º
x = 105º
La respuesta correcta
es el inciso "d"
x = 105º
5. De acuerdo con la figura:
¿Cuál es el valor de x?
a) 30º b) 45º c) 60º d) 75º
Solución:
La suma de los ángulos forma un ángulo llano, entonces
20º + (2x + 10º) +
60º = 180º
→ 2x + 90º = 180º
2x = 180º - 90º
2x = 90º
x = 90º / 2
x = 45º
La respuesta correcta
es el inciso "b"
x = 45º
57
1) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y
una transversal a ellas:
Encuentra el valor
de x =
2) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y
una transversal a ellas:
Encuentra el valor de x
x =
3) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y
una transversal a ellas:
Encuentra el valor
de x
x =
58
4) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y
una transversal a ellas:
Encuentra el valor de x
x =
5) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y
una transversal a ellas:
Encuentra el valor
de x
x =
2) Observa en la imagen los ángulos formados por dos rectas paralelas y
una transversal a ellas:
Encuentra el valor de x
x =
59
Practico Ángulos 1
Resuelve los siguientes problemas, construyendo la figura cuando sea
necesario.
1. Determina el complemento de 72º.
2. ¿Cuál es el suplemento de 139º?
3. ¿Cuál es el suplemento de (a - 12)º
4. Determina el complemento del suplemento de 143º.
5. Si 36º es el complemento del suplemento de x. ¿Cuántos grados
mide x?
6. ¿Cuál es el suplemento del complemento de (a - 10)º.
7. ¿Cuántos grados resultan si al complemento de 37º se le suma el
suplemento de 93º.
8. Determina la diferencia entre el suplemento de (a - 15)º y el
complemento de (a - 45)º
9. Determina el ángulo que es el triple de su complemento.
10. Determina el ángulo que es la cuarta parte de su suplemento.
11. Dos ángulos son complementarios y el mayor es 5 veces el menor.
¿Cuánto mide el ángulo menor?
12. Si x e y son ángulos adyacentes y x tiene 27º más que y. ¿Cuánto
mide x?
13. Un ángulo tiene 35º menos que otro ángulo cuyo complemento es
12º. ¿Cuánto resulta de sumar dichos ángulos?
14. Dos ángulos que suman 50º están en la razón de 2:3. ¿En qué razón
están los complementos respectivos de estos ángulos?
15. El complemento y el suplemento de un ángulo son entre sí como 1:5.
¿Cuánto mide el ángulo?
16. Determina el complemento de 42º18'.
17. Determina el suplemento de 154º27'42''.
18. Si el suplemento de un ángulo es 113º26'14'', determina dicho
ángulo.
19. Si m = 92º35'14'' y n = 27º47'32'', ¿cuánto es m + n?
20. El complemento de un ángulo de 47º es (ß - 30)º. ¿Cuánto vale ß?
60
Práctico Ángulos 2
Ángulos opuestos por el vértice:
Son……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
Ángulos correspondientes:
Son……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………….
Ángulos alternos internos
Son……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………….
Ángulos alternos externos:
Son……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………….
Ángulos conjugados internos:
Son……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
Ángulos conjugados externos:
Son……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….
61
Observar la figura siguiente y después,
contestar a las preguntas siguientes:
1. ¿Cómo son los ángulos 1 y 2?
2. ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4?
3. ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4?
4. ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué?
5. ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7?
6. ¿Cómo son los ángulos 4 y 6?
7. ¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3?
8. ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué?
9. ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8?
10. ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?
Respuestas:
1. Adyacentes y suplementarios.
2. Opuestos por el vértice. Uno es externo y el otro interno.
3. Sí, juntos valen 180º.
4. Sí, por ser opuestos por el vértice.
5. Sí por encontrarse en el mismo lado de la secante, siendo uno un
ángulo interior y el otro un ángulo exterior.
6. No porque aunque se encuentren en el mismo lado de la secante los
dos son ángulos interiores.
7. No porque no están situados al mismo lado de la secante y además,
los dos son interiores.
8. Sí por estar opuestos por el vértice.
9. Son ángulos alternos externos ya que se encuentran a distinto lado
de la secante y en la parte exterior de las paralelas.
10. No porque no son alternos y además, los alternos internos son
iguales entre sí.
62
Geometría
¿Para qué sirve la geometría?
De forma general la enseñanza de la Geometría tiene como objetivo
general desarrollar el pensamiento espacial del hombre, de modo tal que
este pueda hacer una mejor interpretación del espacio físico que le rodea
en pos de transformarlo.
Historias Matemáticas
La palabra Geometría se deriva del antiguo griego y significa “medida de la
Tierra”. Esto nos hace pensar que en sus comienzos era muy práctica.
Parecen que fueron algunos egipcios los primeros en trabajar y desarrollar
esta ciencia. Hay pruebas tales como las inscripciones y registros en donde
se ve que los egipcios utilizaron principios de geometría para describir y
delinear la superficie de un terreno.
Hoy sabemos que no fueron los griegos los que empezaron con la
geometría, pero llegaron a conocerla gracias a la relación que guardaban
con el pueblo egipcio, quienes parece fueron los primeros en trabajar y
desarrollar esta ciencia.
Recordemos que los egipcios habían utilizado una geometría rudimentaria
para el deslinde de terrenos y la medición de edificios, simplemente como
operación de tipo práctico de recuento y medición.
Perímetro y Superficie
Perímetro: Se denomina así a la longitud del
contorno de un polígono y se calcula sumando
la longitud de todos sus lados.
Área: Es la cantidad de plano limitada por el
polígono.
¿En qué unidades se miden?
El perímetro es una medida de longitud (1D) por lo tanto se mide en
milímetros, centímetros, metros, etc. Observemos el cuadro para recordar
63
las unidades de longitud.
En cambio las superficies tienen dos dimensiones (2D) por lo cual se miden
en centímetros cuadrados, metros cuadrados, etc. Recordemos las
equivalencias entre las distintas unidades:
Tener en cuenta:
Perímetros Metros
Superficies Metros Cuadrados
Investiguemos que significa 3D…
Cuadrado
Calcular el área del cuadrado
El cuadrado es una figura geométrica que tiene
cuatro lados iguales y todos sus ángulos interiores
miden 90º
Si el Perímetro del cuadrado es igual a la suma de sus lados, y todos sus
lados son iguales, siendo el lado L:
Perímetro = 4 Lados
P = 4 . L
El lado inferior es la Base (b) y el lateral la Altura (h) igual que en el
rectángulo. Como la superficie es igual a la base por la altura, pero en este
caso la base y la altura son iguales:
P = 4 . L
S = L2
64
S= b . h ……….> b=h=L
S= L . L
S= L2
También podemos calcular la superficie de un cuadrado teniendo en cuenta
sus diagonales
Como las dos diagonales son iguales, podemos reemplazarlos con d , la
fórmula se simplifica a:
Ejemplos
El lado de una tapa de la caja cuadrada mide 17 cm. ¿Qué superficie
tiene la tapa?
La afirmación de que tenemos el lado l igual a 17 :
cm
Aplicamos la fórmula de la superficie del cuadrado:
cm2
Por lo tanto, la superficie de la cubierta de esta caja es 289 cm 2.
Si el lado de un cuadrado es 20 cm. ¿Cuál es su área?
Como el lado mide 20 cm, tenemos:
Sustitución tienen la fórmula:
cm2
La superficie es de 400 cm2
El área de un cuadrado es igual a 196
cm 2. ¿Cuál es la medida del lado?
Tenemos que S es igual a 196 cm2.
cm2
65
Sabemos que la superficie es:
S=L2 Entonces el L2= 196cm2
L =
L = 14 cm
El lado del cuadrado mide 14 cm.
Rectángulo
Cálculo del Área de rectángulo
Por definición rectángulo es un
cuadrilátero (todos sus ángulos interiores
son iguales), cuyos lados opuestos son
iguales.
Si los cuatro lados son iguales, vamos a
tener un tipo especial de rectángulo, que
es el cuadrado.
El lado inferior es la Base (b) y el lateral la Altura (h) y el perímetro es la
suma de sus lados:
P= b+b+h+h
P= 2 (b+h)
Como la superficie es igual a la base por la altura:
S = b . h
Ejemplos
Una parcela de cinco metros de ancho por 25 metros de largo. ¿Cuál es el
área de esta tierra?
Si h mide 5m y el ancho 25m:
P= 2 (b+h)
S = b . h
66
Utilizando la fórmula:
m2
El terreno de esta zona es de 125 m 2.
La tapa de una caja de zapatos tiene las dimensiones de 30 cm por 15
cm. ¿Qué superficie tiene la tapa de la caja?
Si la altura mide 15cm y la base 30cm:
Cuando reemplazamos los valores en la fórmula se obtiene:
cm2
La tapa de la caja de zapato es 450 cm 2 .
Triángulo
Calcular el área del triángulo
El triángulo es un polígono de tres lados.
La letra h es la medida de la altura del
triángulo y la letra b es la medida de su base.
En todo triángulo el Perímetro es la suma de
sus lados y el área del triángulo es la mitad
de la base por su altura:
La Superficie es: y el Perímetro es: P= L+L+L
Para determinar la longitud del perímetro del triángulo hay que tener en
cuenta si el triángulo es:
Equilátero (3 lados iguales) entonces: P= 3. L
Isósceles ( 2 lados iguales) entonces: P= 2L1+L2
Escaleno ( 3 lados diferentes) entonces: P= L1+L2+L3
67
La letra S representa el área o la superficie del triángulo.
es la mitad de la base por la
altura
Los triángulos tienen 3 alturas.
La altura es la menor distancia entre un
vértice y el lado opuesto (o su prolongación),
por lo que a cada vértice le corresponde una
altura.
La altura es la longitud del segmento perpendicular al lado que termina en
el vértice opuesto, tal como lo muestran las siguientes figuras:
Cuando se trazan las tres alturas de un triángulo, el punto donde se cortan
se llama ortocentro.
En oportunidades debemos
prolongar las alturas para
encontrar el ortocentro, aquí
tenemos un ejemplo:
P= L+L+L
68
Ejemplos
Como la base de un triángulo es 7 cm, mientras que su altura es de 3,5
cm, ¿cuánto vale la superficie del triángulo?
Si h y b son:
Utilizando la fórmula:
cm2
La superficie de este triángulo es de 12,25 cm2.
Los lados de un triángulo equilátero miden 5 mm. ¿Cuál es el perímetro
de este triángulo equilátero?
Sabemos que en un triángulo equilátero los tres lados son iguales, bien,
entonces el perímetro es:
L= 5mm…………………… P= 3L
P= 15 mm
El perímetro del triángulo es de aproximadamente 15 mm.
Círculo
Cálculo del área del círculo
Cuando hablamos de círculo primero tenemos que
saber que es Pi porque es una constante matemática
que usamos cuando calculamos el perímetro o la
superficie del círculo. π (pi) es la relación entre la
longitud de la circunferencia y su diámetro. Este valor
constante irracional está representado por la letra
griega minúscula pi , escrito como:
69
Debido a que es un número irracional, el
número pi tiene infinitos decimales. Para algunos
cálculos se utiliza el valor de 3,14159265 . Para los
cálculos con menos precisión, podemos
utilizar 3,1416 o incluso 3,14 . Nosotros vamos a
tomar éste último valor para nuestros cálculos.
El perímetro de un círculo se obtiene por la
fórmula: o P = . D
El cálculo del área del círculo se realiza de
acuerdo a la siguiente fórmula:
y =3,14
Donde r es el radio del círculo y D el diámetro
Se puede observar que el diámetro es el doble del radio:
Diámetro = Dos radios
D= 2 . r
En consecuencia:
radio = Mitad Diámetro
r = ½ D
Ejemplos
La tapa de un recipiente circular es de10cm de diámetro. ¿Cuál es el área
de esta tapa?
Si el diámetro es 10cm, entonces su radio vale la mitad:
Sustituyendo en la fórmula:
S = 3,14 . 52
S= 3,14 . 25
S= 78,54 cm2
El área de la lente de aumento es 78,54 cm 2 .
Un círculo tiene un radio de 8mm. ¿Cuántos milímetros cuadrados tiene
de superficie?
Expresión, tenemos el radio r es:
r=8mm
70
S= 3,14 . 82
S= 200,96 mm2
La superficie del círculo es de 200,96 mm2
Un area circular tiene una superficie de 314 km2. ¿Cuánto mide el radio?
314 km2 = 3,14 . r2
314 :3,14 = r2
100 = r2
√ 100 = r
10 = r
El radio mide 10 km
Práctico Perímetro y Superficie
1. - Calcular el perímetro de un cuadrado de lado 5 cm.
2.- Calcular el perímetro de un cuadrado de lado 12 m.
3.- ¿Qué medida tienen los lados de un cuadrado que tiene un perímetro
de 24 mm.?
4.- Si tengo un terreno cuadrado de lados de 9 metros y deseo cerrarlo con
4 corridas de alambre. ¿Cuánto alambre necesito?
5.- Calcular el perímetro de un rectángulo de lados 8 metros y 400
centímetros.
6.- Un rectángulo tiene un perímetro de 44 metros y uno de sus lados es
de 15 metros. ¿ Cuánto miden los otros lados?.
7.- ¿Cuál es el perímetro de un triángulo equilátero de lados 6 cm.?.
8.- Calcular el área de un cuadrado de lados de 9 cm.
9.-Calcular el área de un rectángulo de lados 5 y 8 m. 3
10.- Si el área de un rectángulo es de 45 metros cuadrados y uno de sus
lados es de 5 metros. ¿Cuánto miden sus otros lados?
11.- ¿Cuál es el área de un rectángulo de lados 4 metros y 200
centímetros?
71
12.- Calcular el área de un triángulo que tiene por base 8 cm. y de altura
tiene 9 cm.
13.- Si un triángulo tiene base 15cm y área 105cm2. ¿Cuánto mide su
altura?
14.- Hallar el perímetro y el área de un cuadrado de 3 m de lado.
15.- Hallar el perímetro y el área de un cuadrado de 7 m de lado.
16.- Averiguar el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 28 cm.
Explicar cómo calcular:
a) El área de un cuadrado
b) El perímetro de un cuadrado
c) El área de un rectángulo
d) El perímetro de un rectángulo
e) El área de un triángulo
f) El perímetro de un rectángulo
Redactar tres problemas donde debas calcular el área o el perímetro
de las figuras estudiadas.
Calcular el perímetro y el área de las siguientes figuras:
a)
c)
b)
d)
73
Ejercicios interactivos:
Perímetro:
http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/perimeter/index.html
http://www.genmagic.org/mates1/per1c.swf
Superficie:
http://www.wikisaber.es/Contenidos/LObjects/area/launch.html
http://www.genmagic.org/mates1/ap1c.swf
http://misdescargas.educ.ar/ver/60176/Per%C3%ADmetro_y_superficie_I/
#
http://www.educarchile.cl/ech/pro/app/detalle?GUID=8e1fd940-1f8d-4fa0-
9632-90eec1538b9c&ID=196076
http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anay
a1/datos/13/01.htm
http://www.humanodigital.com.ar/mas-120-actividades-educativas-online-
para-trabajar-la-geometria-en-la-primaria/