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Guía de Estudio Matemática Financiera Carlos Mario Frías Pág. N° 31

IMPOSICIONES

Concepto general

Una Imposición es una renta (conjunto de cuotas a intervalos regulares de tiempo) que tiene por objeto formar un capital. Si el objeto es ahorrar, por lo tanto la valuación de las cuotas la realizamos a la fecha final.

Constituyen un ejemplo de imposiciones los aportes jubilatorios destinados a la constitución de un fondo de jubilación: durante la etapa activa se ahorra periódicamente una porción de los ingresos, para constituir un ahorro al momento de la edad de retiro. En este ejemplo se aprecia claramente que la fecha de valuación es el momento en que se terminan de constituir los ahorros, que es al final de la etapa activa, o sea la edad de retiro.

Nuestra tarea consiste entonces en valuar ese conjunto de cuotas a la fecha final. No debemos olvidar el axioma de la matemática financiera, según el cual “todo capital altera su valor en el tiempo”. Decimos entonces que el capital final de la imposición es la suma de los capitales finales de las cuotas (cuotas más intereses), valuados a la fecha final.

IMPOSICIONES VENCIDAS

Deducción de la Fórmula general

Las cuotas vencen al vencimiento de cada período, por lo tanto las ubicamos a la derecha de cada segmento pequeño (que son los períodos de la renta). Podemos realizar el esquema de la imposición vencida de la siguiente manera:

períodos

Fecha de Valuación

+

….

Observamos que los capitales finales de las cuotas constituyen una progresión geométrica, por lo tanto el capital final de la imposición es la suma de dicha progresión.

… en donde … … si asignamos:

: sumatoria de la progresión capital final

: primer término cuota

: razón

: número de términos tiempo


Cuota unitaria: Factor de capitalización múltiple

Cuando el capital final de la imposición vencida resulta:

Este capital final

es función de dos variables: la duración de la renta y la tasa. Este capital es un multiplicador

fijo para cualquier combinación de datos, y técnicamente se lo denomina Factor de capitalización múltiple de una renta constante unitaria temporaria vencida. Por lo tanto, cuando la cuota es distinta de 1, el capital final resulta del producto de la cuota y este factor.

Si entonces

Escindibilidad de una renta vencida

Si descomponemos la duración total de la renta en dos sumandos, tal que , el capital final de la renta puede expresarse de la siguiente manera:

En el numerador sumamos y restamos , quedando la expresión:

Si reordenamos los sumandos en el numerador:

Partimos en dos cocientes:

En el primer sumando sacamos factor común , quedando la expresión:

Podemos descomponer el capital final de la imposición de cuotas como la suma de dos rentas parciales: el capital final de las primeras cuotas, capitalizadas durante períodos, más el capital final de las cuotas restantes.

Esto podemos verlo intuitivamente también en el siguiente esquema temporal:

períodos

=

+


Cálculo de la cuota y el tiempo

A partir de la expresión del capital final de la imposición vencida podemos deducir algebraicamente la cuota y el tiempo. En un capítulo independiente se exponen más adelante distintos procedimientos para el cálculo de la tasa de interés.

IMPOSICIONES ADELANTADAS

Deducción de la Fórmula general

En este caso las cuotas vencen al inicio de cada período. Podemos realizar el esquema de la imposición adelantada de la siguiente manera:

períodos

Fecha de Valuación

+

….

Los capitales finales de las cuotas constituyen una progresión geométrica, por lo tanto el capital final de la imposición es la suma de dicha progresión.


… en donde … … si asignamos:

: sumatoria de la progresión capital final

: primer término

: razón

: número de términos tiempo

Relación entre imposiciones vencidas y adelantadas

Otra forma más sencilla de arribar a la expresión final anterior, resulta a partir de la fórmula de las imposiciones vencidas. En el esquema siguiente se compara una imposición vencida con una adelantada.

Fecha valuación

Impos. vencida

Impos. adelantada

De la comparación de ambos esquemas, observamos que, a la fecha de valuación de ambas rentas, las cuotas de la imposición adelantada tienen un período de tiempo más que la vencida para generar intereses. Por lo tanto, podemos decir que el capital final de la imposición adelantada es el capital final de una renta vencida, incrementado por los intereses de un período, o sea:

Cuota unitaria: Factor de capitalización múltiple

Cuando el capital final de la imposición adelantada resulta:

Como ya anteriormente dijéramos, este capital final

es función de dos variables: la duración de la renta y la

tasa. Este capital es un multiplicador fijo para cualquier combinación de datos, y técnicamente se lo denomina Factor de capitalización múltiple de una renta constante unitaria temporaria adelantada. Por lo tanto, cuando la cuota es distinta de 1, el capital final resulta del producto de la cuota y este factor.

Si entonces

Escindibilidad de una renta adelantada

Si descomponemos la duración total de la renta en dos sumandos, tal que , el capital final de la renta puede expresarse de la siguiente manera:

En el numerador sumamos y restamos , quedando la expresión:


Si reordenamos los sumandos en el numerador:

Partimos en dos cocientes:

En el primer sumando sacamos factor común , quedando la expresión:

Podemos descomponer el capital final de la imposición de cuotas como la suma de dos rentas parciales: el capital final de las primeras cuotas, capitalizadas durante períodos, más el capital final de las cuotas restantes.

Esto podemos verlo intuitivamente también en el siguiente esquema temporal:

períodos

=

+

Cálculo de la cuota y el tiempo

A partir de la expresión del capital final de la imposición adelantada podemos deducir algebraicamente la cuota y el tiempo. Más adelante se exponen distintos procedimientos para el cálculo de la tasa de interés.


CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS

Cálculo de la tasa: relación entre imposiciones vencidas y adelantadas

El siguiente corresponde al esquema temporal de una imposición vencida.

Si realizamos el esquema temporal de las imposiciones adelantadas, resulta:

De la comparación de ambos esquemas observamos que la fecha de valuación coincide en la fecha final. Sin embargo en la imposición adelantada no hay cuota en la fecha final, y a su vez en la fecha inicial sí hay cuota. Nos preguntamos entonces ¿qué modificaciones habría que realizar en las imposiciones adelantadas para que adopten la forma de una vencida? Vemos que:

+1

Si al esquema de la imposición adelantada agregamos una cuota en la fecha final, el último período queda con una cuota en su vencimiento. A su vez, podemos considerar que la primera cuota tiene lugar al vencimiento de un período anterior al primero. Por lo tanto, habría que hacer las siguientes adecuaciones en las fórmulas de las imposiciones vencidas para aplicarla a las adelantadas:

Imposiciones Vencidas

Imposiciones

Adelantadas

Si realizamos estas asignaciones en las fórmulas para el cálculo de la tasa, las mismas quedan expresadas como en los puntos siguientes se expone.

Fórmula de Baily

Esta solución es aplicable a una ecuación tipo, de la forma . Esta ecuación tiene dos características particulares:

el coeficiente del término lineal es unitario, y

se sabe a priori que el valor de que satisface la ecuación es un número pequeño.

Primera aproximación: si es pequeño, es más pequeño y puede despreciarse:


Segunda aproximación: se reemplaza una de las del término cuadrático por la primera aproximación:

Sacando factor común en el primer miembro, resulta:

Tercera aproximación: con análogo procedimiento resulta:

Para aplicar esta fórmula en la determinación de la tasa de interés, habrá que dar a la expresión del capital final la forma de la ecuación tipo.

Con la fórmula del Binomio de Newton, se desarrolla la potencia enésima. Las potencias de la tasa superiores al cubo se desprecian:

Cancelamos el 1 que suma en ambos miembros, y dividimos por :

Para simplificar el desarrollo, se proponen las siguientes sustituciones:

En la ecuación [4] resulta: . Se plantea la potencia emésima en ambos miembros, resolviendo el segundo por el binomio de Newton ( es una variable de cálculo que luego desaparece).

Han quedado planteadas las potencias de dos binomios. La primera se desarrolla hasta el tercer término, de la segunda sólo se toma el primer término del desarrollo, porque al estar multiplicada por el cuadrado de la tasa, un término más produciría potencias despreciables de .

Sacamos factor común del tercer y cuarto sumandos:


Una de las características de la ecuación tipo de Baily es que el coeficiente del término lineal debe ser 1. En

atención a ello, la variable de cálculo debe ser valor recíproco de . es decir

. Si reemplazamos en la

expresión anterior resulta:

Si sustituimos , y por sus expresiones originales, la forma anterior queda planteada:

Resuelto el corchete y ordenados los términos, se llega a la ecuación tipo buscada:

Si en la expresión ... ... sustituimos ... ... llegamos a la expresión tipo ...

Con la expresión para calcular la tercera aproximación, resulta:

Si en la expresión [3] ... ... sustituimos ... ... llegamos a la expresión ...

A partir de la expresión [5], podemos reducir de la siguiente forma:

Y llegamos a la expresión final de la fórmula de Baily para las imposiciones vencidas:

en n e


A partir de la expresión anterior, podemos hacer las asignaciones que inicialmente comentáramos para aplicar la fórmula a las imposiciones adelantadas:

En las expresiones ... ... si asignamos... ... resulta ...

Hay que aclarar que es un valor intermedio, carente de significado en sí mismo. La razón de él es que simplifica enormemente el cálculo. En la expresión anterior se calcula primero el valor de , y luego se reemplaza este en la expresión de . Si no se procediera en dos partes, la expresión completa de la fórmula de Baily para las imposiciones vencidas resultaría:

Y para las imposiciones adelantadas sería:

Debemos tener presente que la fórmula de Baily en general brinda una buena aproximación de la tasa de interés. Esta aproximación no es tan satisfactoria:

Cuando es alta: no se cumple con una de las condiciones de la ecuación tipo.

Cuando es grande: son muchos los términos del desarrollo del binomio de Newton que se desprecian.

Cuando se produce una combinación de , , relativamente grandes.

Veremos otros dos procedimientos para el cálculo de la tasa.

Fórmula de Lenzi

El matemático italiano Lenzi ha propuesto la siguiente solución para las imposiciones vencidas:

en n e

Si realizamos las asignaciones que indicáramos anteriormente, arribamos a la siguiente expresión para las imposiciones adelantadas:

en n e

Se comienza resolviendo , luego se calcula y finalmente se reemplazan ambos en la expresión de . Empleando esta fórmula se tiene mejor aproximación, sobre todo para bastante grande y tasas no bajas.


Método de Newton

Podemos arribar a la solución exacta de la tasa haciendo uso del método de Newton. Anteriormente se expusieron los fundamentos del método de Newton. La expresión final del método tiene la forma:

En nuestro caso la incógnita es la tasa de interés, por lo tanto la expresión queda redactada de la siguiente manera:

En el caso de las imposiciones vencidas, a partir de la expresión fundamental

si la igualamos a cero, resulta ...

Si derivamos esta expresión respecto de (que es la variable), resulta:

Si reemplazamos y en la expresión [1], obtenemos la expresión final del método para calcular la tasa de

interés:

Para obtener la expresión de la tasa de las imposiciones adelantadas, debemos realizar las asignaciones comentadas inicialmente, es decir:

Cuando aparece ... ... debemos reemplazar por ...

Quedando redactada la expresión de la siguiente manera para las imposiciones adelantadas:

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