carga y descarga de un capacitor

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SOLUCIÓN DEL EJERCICIO ANALÍTICO-NUMÉRICO SOBRE CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR 1) Encuentre las ecuaciones diferenciales que rigen los procesos de carga y descarga respectivamente. Para un circuito RC que se muestra en la siguiente figura el proceso de carga y descarga definido por las ecuaciones diferenciales que próximamente se verán, se pueden obtener a partir de las leyes de Kirchhoff. Proceso de carga Para el proceso de carga el cable rojo conecta con a y se procede a cargar el circuito. De la primera ecuación de Kirchhoff se tiene que la suma de los voltajes en el capacitor debe ser igual a cero. − = 0 Se sabe que la corriente es igual a: = Reemplazando esto en la primera ecuación con el fin de obtener =0 = −

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Es el desarrollo de un ejercicio donde se muestra la solución analítica de la carga y descarga de un capacitor.

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Page 1: Carga y descarga de un capacitor

SOLUCIÓN DEL EJERCICIO ANALÍTICO-NUMÉRICO SOBRE CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR

1) Encuentre las ecuaciones diferenciales que rigen los procesos de carga y descarga

respectivamente.

Para un circuito RC que se muestra en la siguiente figura el proceso de carga y descarga definido por

las ecuaciones diferenciales que próximamente se verán, se pueden obtener a partir de las leyes de

Kirchhoff.

Proceso de carga

Para el proceso de carga el cable rojo conecta con a y se procede a cargar el circuito.

De la primera ecuación de Kirchhoff se tiene que la suma de los voltajes en el capacitor debe ser

igual a cero.

𝜀 − 𝑞

𝑐− 𝑅𝐼 = 0

Se sabe que la corriente es igual a:

𝐼 =𝑑𝑞

𝑑𝑡

Reemplazando esto en la primera ecuación con el fin de obtener

𝜀 − 𝑞

𝑐− 𝑅

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 0

𝑅𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝜀 −

𝑞

𝑐

Page 2: Carga y descarga de un capacitor

𝑑𝑞

𝑑𝑡=

𝜀

𝑅−

𝑞

𝑅𝑐

La ecuación diferencial del proceso de carga de un capacitor en un circuito RC simple.

Proceso de descarga

Para el proceso de descarga el cable rojo se conecta a la terminal b, y se obtiene por la primera ley

de Kirchhoff lo siguiente.

−𝑞

𝑐− 𝑅𝐼 = 0

Reemplazando la corriente como la razón de cambio de la carga, y haciendo operaciones algebraicas

se obtiene

−𝑞

𝑐− 𝑅

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 0

𝑅𝑑𝑞

𝑑𝑡= −

𝑞

𝑐

𝑑𝑞

𝑑𝑡= −

𝑞

𝑅𝑐

La ecuación diferencial que describe el proceso de descarga en el capacitor.

Nota: Las leyes de Kirchhoff se aplicaron tomando la corriente en el sentido de las agujas del reloj

para ambos procesos.

2) Encuentre la relación carga vs tiempo para el proceso de carga y descarga respectivamente

Carga vs tiempo (proceso de carga)

De la ecuación diferencial para el proceso de carga se puede obtener la relación de la carga en el

tiempo.

𝑑𝑞

𝑑𝑡=

𝜀

𝑅−

𝑞

𝑅𝑐

𝑑𝑞

𝑑𝑡= −

(𝑞 − 𝜀𝑐)

𝑅𝑐

Page 3: Carga y descarga de un capacitor

Se parando variables se obtiene

𝑑𝑞

𝑞 − 𝜀𝑐= −

𝑑𝑡

𝑅𝑐

Integrando a ambos lados

∫𝑑𝑞

𝑞 − 𝜀𝑐

𝑞

𝑞=0

= − ∫𝑑𝑡

𝑅𝑐

𝑡

𝑡=0

ln |𝑞 − 𝜀𝑐|⌉𝑞=0𝑞

= −𝑡

𝑅𝐶⌉

𝑡=0

𝑡

ln |𝑞 − 𝜀𝑐

−𝜀𝑐| = −

𝑡

𝑅𝐶

Operando con Euler a ambos lados

𝑞 − 𝜀𝑐

−𝜀𝑐= 𝑒−

𝑡𝑅𝐶

Despejando q(t) se obtiene

𝑞(𝑡) = −𝜀𝑐𝑒−𝑡

𝑅𝐶 + 𝜀𝑐

𝑞(𝑡) = 𝜀𝑐 (1 − 𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

La ecuación de la carga que depende del tiempo. (Para el proceso de carga)

Carga vs tiempo (proceso de descarga)

De la ecuación diferencial del proceso de descarga

𝑑𝑞

𝑑𝑡= −

𝑞

𝑅𝑐

Se pude obtener una relación de la carga con respecto al tiempo

Separando variables e integrando

∫𝑑𝑞

𝑞

𝑞

𝑄

= − ∫𝑑𝑡

𝑅𝑐

𝑡

𝑡=0

ln 𝑞]𝑄𝑞

= −𝑡

𝑅𝑐]

𝑡=0

𝑡

Page 4: Carga y descarga de un capacitor

𝑙𝑛𝑞

𝑄= −

𝑡

𝑅𝑐

𝑞(𝑡) = 𝑄𝑒−𝑡

𝑅𝑐

Donde Q es la carga máxima obtenida en el proceso de carga, y es igual a 𝑄 = 𝐶𝜀.

Este dato se obtiene cuando en la ecuación del proceso de carga el 𝑡 → ∞ .

𝑞(𝑡) = 𝜀𝑐 (1 − 𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

El término 𝑒−𝑡

𝑅𝐶 tiende a cero y el resultado es

𝑄 = 𝐶𝜀(1 − 0) 𝑄 = 𝐶𝜀

Reemplazando Q en la ecuación de descarga se obtiene

𝑞(𝑡) = 𝐶𝜀𝑒−𝑡

𝑅𝑐

3) Encuentre la relación corriente vs tiempo para cuando el capacitor se carga y descarga

respectivamente

Corriente vs tiempo (proceso de carga)

De la ecuación de carga, se puede obtener la relación de la corriente vs tiempo, derivando a

ambos lados de la igualdad con respecto al tiempo

𝑞(𝑡) = 𝜀𝑐 (1 − 𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝜀𝑐

𝑑 (1 − 𝑒−𝑡

𝑅𝐶)

𝑑𝑡

Reemplazando 𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝐼

𝐼 = 𝜀𝑐 (1

𝑅𝐶𝑒−

𝑡𝑅𝐶)

Eliminando la capacitancia del conductor, la corriente en términos del tiempo queda igual a

𝐼 = 𝜀

𝑅 𝑒−

𝑡𝑅𝐶

Page 5: Carga y descarga de un capacitor

Corriente vs tiempo (proceso de descarga)

De la ecuación de descarga, se deriva a ambos lados de la igualdad con respecto al tiempo y se

obtiene la relación de corriente vs tiempo.

𝑞(𝑡) = 𝜀𝐶𝑒−𝑡

𝑅𝑐

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝜀𝐶

𝑑 (𝑒−𝑡

𝑅𝑐)

𝑑𝑡

𝐼 = −𝜀𝐶

𝑅𝐶𝑒−

𝑡𝑅𝑐

Eliminando la capacitancia del conducto, la corriente queda expresada en términos del t como

𝐼 = −𝜀 𝑅

𝑒−

𝑡𝑅𝑐

Los puntos 4) y 5) se resuelven en las hojas de cálculo.