Características*de*las*ondas

Integrantes:González/López/Deni Montserrat/Nogüez Castillo/Erika/IvoneSánchez/López/GustavoValverde/Guerrero/Isaac/Rubén/

Fundamentos+de+Teoría+electromagnética

Módulo'8.* Propagación'de'ondas'electromagnéticas'planas

8.6 Características de las ondas8.6.1 Constante de propagación8.6.2 Constantes de fase y atenuación8.6.3 Profundidad nominal8.6.4 Impedancia intrínseca8.6.5 Velocidad de fase8.6.6 Velocidad de Grupo

Recordamos*que*la*Ec.* De*onda*para*cada*campo*es*la*siguiente:

!"# − %& '#'(" − %)'#'( = 0

CONSTANTE*DE*PROPAGACIÓN,*CONSTANTES*DE*FASE*Y*ATENUACIÓN

Si*consideramos*una*ecuación*unidimensional:'#', =

'#'- = 0

Si*al*mismo*tiempo*consideramos*medios*no*conductivos:'"#'." − %)

'#'(" = 0

Dado*que*es*una*ecuación*unidimensional*dependiente*solo*de*z*y*t:

'#'. = /0#'#'( = −/1#

Se*considera*la*condición*inicial*para*la*solución*general*de*la*onda:* 2" = 1

)%

Como$solución$a$la$ ecuación$de$onda$plana$unidimensional,$viajando$a$lo$largo$de$z$planteamos:

! ", $ = !&'((*+(,-.)Expresamos$nuestros$campos$con$la$misma$notación

0 = 01 '(,(*+(-.)2 = 21 '(,(*+(,-.)

0 ", $ = (Ex, Ey, Ez)'(,(*+(,-.)2 ", $ = (Bx, By, Bz)'(,(*+(,-.)

Donde$E0 y$B0$ son$amplitudes$vectoriales$constantes$que$deberán$relacionarse$entre$sí$para$$satisfacer$las$ecuaciones$de$Maxwell.

Ahora comenzamos suponiendo lasecuaciones de Maxwell para un casodonde no existen cargas o corrienteslibres externas en la región deestudio ρf =0 y J’ f =0

! • # = 0

!&# = −()(*! • + = 0

!&+ = ,-# + ,/ (#(*

Si integramos nuestro análisis deecuación de onda en un mediounidimensional, no conductor , sincargas o corrientes libres (ρf =0 , J’ f =0y -=0) y las ecuaciones de Maxwelltendremos.

! • # = (12(3 = 4512

! • + = ()2(3 = 45)2

Recordando)la)ecuación)de)onda)para)medios)no)conductivos:

! ", $ = (Ex, Ey, Ez),-.(/0-.12)3 ", $ = Bx, By, Bz ,-. /0-.12

5675"6 − 9:

575$6 = 0

<=! = >?(−@AB + @DE)

<=3 = >?(−FAB + FDE)535$ = −>G3

Ahora si consideramos las ecuaciones de Maxwell Maxwell para un caso donde noexisten cargas o corrientes libres externas en la región de estudio ρf =0 y J’ f =0 y unmedio no conductor (σ=0). Tendremos:

?@0 = 0?F0 = 0

?(−@AB + @DE) = G3? −FAB + FDE = 9:G!

Recordando)la)condición)inicial)para)la)solución)general)de)la)onda:)

!" = 1%&

' −)*+ + )-. = /!" 0

Reescribiendo)las)ecuaciones)de)onda)para)facilitarnos)la)visualización:

' ẑ • 0 = 0' ẑ • 4 = 0' ẑ 5 0 = /4

' ẑ 5 4 = − /!" 0

Figura 1. Relación entre los vectoresde campo y la dirección depropagación para una ondatransversal.

Figura72.7Campos7de7una7onda7transversal.

Análisis'de'resultados:

Como'consecuencia'de'que'los'campos'sean'perpendiculares'tenemos'una'relación'de'sus'magnitudes:

! = #$ %

Con'respecto'a'las'amplitudes:'

# ẑ ' ( = $)# ẑ ' (Ex, Ey, Ez)123(452367) = $(Bx, By, Bz)123(452367)

#(−%:, %;, <) = $(Bx, By, Bz)Se'cumle la'relacion de'amplitides.

Bx = 46 (−%:) By = 4

6 (%;)

Igualmente podemos llegar a la conclusión de que ambos campos están en fase

considerando la parte real de los campos

!"#$% = !'()(+, − ./ + 1)3"#$% = 3'()(+, − ./ + 1)

Se observa que la relación se cumplirá para argumento de cosenos iguales, es decir

campos en fase: que alcancen sus ceros juntos, sus máximos y mínimos

Para medios conductivos se tiene un caso donde no existen cargas o corrientes libres

externas en la región de estudio ρf =0 y J’ f =0 y un medio conductor (σ≠0). Tendremos:

4564,5 − 78

4564/5 − 79

464/ = 0

Al tratar de resolver6 ,, / = 6<=>(?@>ABC)

Se#encuentra#una#nueva#relación#de#k

!" = $"%& + ($%)Para#campos#que#varían#de#forma#armónica#con#el#tiempo#se#tiene#que#estos#no#se#amortiguan#con#el#tiempo.#Lo#que#nos#da#la#restricción#de#que#ω#sea#real#y#positiva,#por#lo#que#k#es#una#cantidad#compleja.

Constante#de#propagación:

! = ±(, + -.)Con#0 y#1 reales#positivos:

α" −β" +2(αβ = $"%& + ($%)α"−β"= $"%&2αβ = $%)

Donde#μ#ε#σ#son#reales.

Con$! y$" reales$positivos,$despejando$de$las$relaciones$anteriores:

Constante$de$fase

α = ω &'2 1 + +

,'-

+ 1./-

Constante$de$atenuación:

β = ω &'2 1 + +

,'-

− 1./-

Para$comprobar$consideramos$un$medio$no$conductor$y$llegamos$a:

α = ω &' = 23

β = 0

Otras&formas&de&expresarlo:

Usando&la&constante&Q.

! = #$%

α = ω ($2 1 + 1

!,

+ 1-/,

β = ω ($2 1 + 1

!,

− 1-/,

Como$k$resulta$ser$un$complejo:$! = ! #$% = ! ('()* + ,)#-*)

De$manera$que$:/ = ! cos(*)3 = ! ,)#-(*)

! = /4 + 34 5/4 = ω 89 1 + 1;4 + 1

5/<

=>-* = 3/ ; 1 + 1

;4 − 1 = 1 + ;4 − ;

Análisis'de'resultados:

! ", $ = !&'()((+,)-)/(01)! ", $ = !&'(-/'()(/+(01)

Observando esta última ecuación podemosconcluir los significados de la constante defase y la constante de atenuación. Ya que laprimer exponencial nos representa “unaonda viajera amortiguada” !&'(-/ que soloexiste para 2≠0 que solo existe para mediosconductores. Mientras por su parte 3 nosrepresenta la parte real de una onda de faseconstante.

Su interpretación real nos dice que losmedios conductores son medios disipativospor la perdida de energía por la resistencia.

¿Qué%pasa%si%la%onda%se%propaga%en%un%medio%conductor%?

Sabemos(que(dentro(de(un(conductor(la(carga(es(igual(a(0(por(lo(tanto(:!"#$ y(%"#$La(ecuación(de(onda(plana(en(estas(condiciones(

&'(&)' − +, &'(

&-' − +.&(&- = 0Y(la(solución(general(es(:

( ), - = ($23(56789)

Las(derivadas(respecto(a(z(y( t(son:&'(&- = −;<($23(56789)=>?=9> = −<'($23(56789)

=>?=6> = −@'($23(56789)

PROFUNDIDAD(NOMINAL

Reescribiendo+la+ecuación+diferencial

−"#$%&'()*+,-)(− /0)− (−/1)#2$%&'()*+,-) −32 $%&'()*+,-) = 0

Eliminando+términos+en+común+y+despejando+32 obtenemos++una+expresión+para+k+también+conocida+como++Relación+de+Dispersión+

32 = #2/1 + "#/0

¿Cómo+usamos+esta+expresión?Campo+armónico+

Analizando)K)complejo

Sea! = ($ + &')

Sustituyendo:

( ), + = (,-.((/0.1)3456)

Usando propiedad de exponencial:

( ), + = (,-.(/3456)-4 13

Onda viajera amortiguada

Encontrando)K

! = ±(% + '()Igualando)parte)real)y)parte)imaginaria)tenemos)

*+,- = %+ − (+*,/ = 2%(

Resolviendo)simultáneamente)obtenemos)

% = * 12 ,- 1 + /

*-++ 1

2+

( = * 12 ,- 1 + /

*-+− 1

2+

Analizando)las)unidades)de)% y)( [ 24]

Origen'de'la'atenuación'

! = #$

De'las'expresiones'para % y'& sabemos'que'k'no'es'constante'por'lo'tanto'$ tampoco'lo'es

Medio'Dispersivo'

Factor'de'amortiguamiento'

!" #$

La'amplitud'disminuye'a'razón'de'%& ,'sabemos'que'' tiene'unidades'de'

longitud"%,'por'lo'tanto'la'distancia'a'la'que'la'amplitud'disminuye'es'()

* = () Profundidad'nominal'''''

Ondas&planas&en&una&dirección&arbitraria

Buscamos una generalización para describir una onda viajera que semueve en una dirección arbitraria respecto a un sistema coordenadodado.

IMPEDANCIA&INTRINSECA

Ecuación(de(onda

Partimos(de(la(forma(de(representar(una(onda(plana(y(armónica

! ", $ = !&'((*+,-.)

0=(Constante de(propagación1 =Frecuencia(angular.(

Ecuación(de(onda(en(términos(de(ζ

Se(plantea(una(componente(! del(campo(ya(sea(eléctrico(o(magnético(que(dependa(del(tiempo(y(de(una(distancia(ζ, que va(de(un(plano(dado(al(origen(del(sistema(coordenado.

" = $% . (̅$%=(normal(al(plano(̅=vector(de(posición

(Wangsness,)2001)

Ecuación(de(onda(en(términos(de(ζ

! ζ, # = !%&'()ζ*+,)

! ζ, # = !%&'() ./ .2̅*+,)

34 = 4 .5

34 =vector(de(propagación

! ζ, # = !%&'(3).2̅*+,)

34. 6̅ =((747, 848 , 949).(7, 8, 9)(=(747 + 848 + 949

! ζ, # = !%&'(;);<=)=<>)>*+,)

Relación)con)la)ecuaciones)de)Maxwell

Obtenemos)el)gradiente)de:)

! = !#$%('(')*(*)+(+,-.)En)la)componente)x:

010' = !#$%('(')*(*)+(+,-.)(i23)= !(i23)

010* = !(i24)

010* = !(i25)

Equivalencias,de,los,operadores,

! "=("(i#$), "(i#%), "(i#&))

! "=( (i#$),,(i#%),,(i#&)) "

!= ((i#$),,(i#%),,(i#&))=i#

De,igual,manera,sacando,la,parcial,de,ψ,respecto,al,tiempo

'(') = "+,-(/0/1202130345))(:i7)=,"(:i7)

Ecuaciones*de*Maxwell*con*los*resultados*obtenidos*

! • # = 0

! • &=' • &=0

! • # =*' • B= (

! • &=' • B=0

!)&=' XE=−Bt= Ωb

!)+=' XB=µσE+ µεEt=−(iµσ+ µεω)E

Obtención)de)la)impedancia)intrínseca)del)medio

De)la)ley)de)AmperekxE= ωB

Usando la)expresión B=)Hµ

H)=)( "#$ )nxE

Para)el)caso)especial)de)un)medio)no)conductor)se)cumple)que)

( "#$ ) =

&'=(µε)

1/2

Obtención)de)la)impedancia)intrínseca)del)medio

H)=)[(µε)1/2/µ)]nxE

H)=)(ε/µ)1/2nxE= (nxE)/Z

Donde)Z=)(µ/ε)1/2

La)constante)Z)se)conoce)como)impedancia)intrínseca)del)medio

Zo=)(µo/εo)1/2=)377)[Ω]

VELOCIDAD)DE)FASE)Y)VELOCIDADDE)GRUPO)

Sabemos)que:

!" # = #%& cos(+, − ./ + 1)

FaseÁngulo que indica el desplazamientoque la señal tiene con respecto alorigen.

3 = +, − ./

Velocidad)de)fase

Consideramos+las+relaciones:

! = 2$% & % = 2$

!1& ( = 2$

) * ) = 2$(

1*

Velocidad de fase:o Rapidez a la que un valor definido de la fase

viaja.o Velocidad de una onda de una sola f.

+ = )%

&*

Velocidad)de)grupo

Superposición)de)ondas)

!" = !$cos()"* − ,"-)

!/ = !$cos()/* − ,/-)

Consideramos:

! = !$ cos()"* − ,"-) +"!$ cos()/* − ,/-)

Haciendo)un)promedio:

! = !# + !%2 ' = '# + '%

2

!# = ! − )!Expresando)! en)términos)de)!# y)de))!

! = !# + )!

!% = ! + )!! = !% − )!

'# = ' − )'

'% = ' + )'

' = !# + )'

' = '% − )'

Expresando)' en)términos)de)'# y)de))'

Sustituyendo

! = !# cos(() − +, − -() + -+,) +"!# cos(() − +, + -() − -+,)

! = !# cos((0) − +0,) +"!# cos((1) − +1,)

cos(2) cos 3 = 01 [cos 5 + 3 + cos 5 − 3 ]

! = 2!# cos(() − +,)cos(-() − -+,)

u = dω-(

Utilizando/la/propiedad

Velocidad/de/grupoVelocidad/a/la/que/viajan/un/grupo/de/ondas

u = d(%&)(&

u = % + & d(%)(&

Sustituyendo+* en+u

Velocidad+de+grupo+en+términos+de+la+velocidad+de+fase+

d(%)(& ≠ 0

d(%)(& ≠ 0

u ≠ %

u = %

En+un+medio+dispersivo

En+un+medio+no+dispersivo

Fuentes:• Gardiol, F.(1987).Curso intermedio de electromagnetismo.México: LIMUSA.

• Stein, S. & Wyssession, M.(2012).An Introduction TO Seysmology.Earthquakes and Earth structure.UK:Blackwell Publishing.

• Wangsness, R.(1989). Campos Electromagnéticos. MéxicoDF:LIMUSA.