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CARACTERIZACIÓN DE PÉRDIDAS EN EL NÚCLEO DE

TRANSFORMADORES DE DISTRIBUCIÓN EN EL DOMINIO DE LA

FRECUENCIA

RAFAEL ENRIQUE KERGUELEN RESTREPO

CÓDIGO: 222873

SANDRO RAFAEL ZÁRATE RINCÓN

CÓDIGO: 222950

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

BOGOTÁ D.C.,2012

CARACTERIZACIÓN DE PÉRDIDAS EN EL NÚCLEO DE

TRANSFORMADORES DE DISTRIBUCIÓN EN EL DOMINIO DE LA

FRECUENCIA

RAFAEL ENRIQUE KERGUELEN RESTREPO

CÓDIGO: 222873

SANDRO RAFAEL ZÁRATE RINCÓN

CÓDIGO: 222950

Trabajo de grado presentado para optar al título de:

Ingeniero Electricista

DIRIGIDO POR:

JAVIER ALVEIRO ROSERO GARCÍA.

PHD, INGENIERO ELECTRICISTA.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

BOGOTÁ D.C.,2012

TÍTULO EN ESPAÑOL:

Caracterización de pérdidas en el núcleo de transformadores de distribución

en el dominio de la frecuencia.

TÍTULO EN INGLÉS:

Characterization of core losses in distribution transformers on the frequency

domain.

RESUMEN EN ESPAÑOL:

En el presente documento se muestra la caracterización de pérdidas en

núcleos magnéticos de transformadores de distribución, donde se determina

por medio de simulaciones en software de elementos finitos las pérdidas en

los núcleos de los transformadores de distribución para el análisis de

respuesta en frecuencia. (FRA). Se evalúan las pérdidas en el rango de

frecuencia establecido (de 60Hz a 2Mhz) dependiendo de la geometría y de las

características del material.

TRADUCCIÓN DEL RESUMEN AL INGLÉS:

The present text show the characterization of magnetic core losses in

distribution transformers, using software of finite element method, losses in

core of the transformer is determined for frequency response analysis (FRA)

condition. Losses are evaluated in the range of frequency (60 Hz to 2 MHz) as

a function of the geometry and material properties.

DESCRIPTORES O PALABRAS CLAVES EN ESPAÑOL:

Corrientes de Eddy, Método de elementos finitos (FEM), Análisis de respuesta

en respuesta (FRA), Profundidad de penetración, Permeabilidad compleja.

DESCRIPTORES O PALABRAS CLAVES EN INGLÉS:

Eddy currents, Finite Element Method (FEM), Frequency Analysis Response

(FRA), skin depth, complex permeability.

FIRMA DEL DIRECTOR:_________________________________

Rafael Enrique Kerguelen Restrepo, 10 de septiembre de 1989

Sandro Rafael Zárate Rincón, 8 Febrero de 1991

A la Universidad mi primer amor, a mis

padres y familia que apoyaron este amor, a

mis amigos y a un León que habita mi

corazón.

Rafael Enrique Kerguelen Restrepo

A Dios, a mis Padres, hermanas, mis tías

María Elena y Carmen, mi tío Jorge,

familiares y amigos que me apoyaron en esta

etapa de mi vida.

Sandro Rafael Zárate Rincón

Agradecimientos

Los autores agradecen a todos los profesores, quienes con su experiencia y

acompañamiento han contribuido a nuestra formación personal y profesional.

De igual forma queremos agradecer a nuestros amigos y compañeros dentro del

transcurso de la universidad quienes también han aportado en la construcción de nuestra

personalidad.

Finalmente agradecer a los Ingenieros: Javier Rosero, David Álvarez, Sandra Téllez,

William Mejía, Camilo Cortés y Herbert Rojas, por su especial colaboración en la

realización de este trabajo de grado.

Resumen

En el presente documento se muestra la caracterización de pérdidas en núcleos

magnéticos de transformadores de distribución, donde se determina por medio de

simulaciones en software de elementos finitos las pérdidas en los núcleos de los

transformadores de distribución para el análisis de respuesta en frecuencia. (FRA). Se

evalúan las pérdidas en el rango de frecuencia establecido (de 60Hz a 2Mhz)

dependiendo de la geometría y de las características del material.

Palabras Clave: Corrientes de Eddy, Histéresis, Pérdidas por exceso, Método de

elementos finitos (FEM), Análisis de respuesta en respuesta (FRA), Profundidad de

penetración, Permeabilidad compleja.

Abstract

The present text show the characterization of magnetic core losses in distribution

transformers, using software of finite element method, losses in core of the transformer is

determined for frequency response analysis (FRA) condition. Losses are evaluated in the

range of frequency (60 Hz to 2 MHz) as a function of the geometry and material

properties.

Keywords: Eddy currents, Hysteresis, Excess Loss, Finite Element Method (FEM),

Frequency Analysis Response (FRA), skin depth, complex permeability.

Contenido

Resumen...………………………………………………………………………………………...7

Glosario…………………………………………………………………………………………..14

Introducción…..………………………………………………………………………………...15

1. Teoría de pérdidas en medios materiales ............................................................. 17 1.1 Ecuaciones generales de pérdidas en un medio sencillo ................................. 17 1.2 Pérdidas en núcleos magnéticos. ..................................................................... 19

1.2.1 Pérdidas por histéresis. ................................................................................. 21 1.2.2 Pérdidas por corrientes de Eddy .................................................................... 23

1.3 Pérdidas en el núcleo. Modelo dinámico de materiales magnéticos ................. 26 1.3.1 Proceso de magnetización y el efecto Barkhausen ........................................ 26 1.3.2 Fenómeno Dependiente del Tiempo .............................................................. 29 1.3.3 Corrientes de Eddy y pérdidas magnéticas. ................................................... 30 1.3.4 Separación de pérdidas ................................................................................. 33

2. Modelos de núcleos en el dominio de la frecuencia. ........................................... 37

3. Consideraciones y parámetros de simulación. .................................................... 39 3.2 Dimensiones y geometría del núcleo ................................................................ 40 3.3 Propiedades del material .................................................................................. 41

3.3.1 Permeabilidad y conductividad ...................................................................... 41 3.3.2 Anisotropía .................................................................................................... 43

3.4 Fuente de alimentación .................................................................................... 44 3.5 Definición de la malla ....................................................................................... 44

4. Análisis y Resultados ............................................................................................ 47 4.1 Efecto de la anisotropía del material en las pérdidas. ....................................... 47 4.2 Resultados geometría tres dimensiones ........................................................... 48 4.3 Resultados dos dimensiones (eje simétrico) ..................................................... 49 4.4 Efecto cambios en el espesor de la lámina....................................................... 50 4.5 Efecto cambios en la permeabilidad inicial. ...................................................... 50 4.6 Estimación analítica cálculo de pérdidas. ......................................................... 52

5. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................ 55 5.1 Conclusiones .................................................................................................... 55 5.2 Recomendaciones ............................................................................................ 56

A. Anexo: Método de elementos finitos (FEM)………….……………...…………………57

B. Anexo: Análisis de respuesta en frecuencia (FRA)….………….……………………66

Bibliografía…………………………………………………………………..…………………..69

10 Caracterización de pérdidas en núcleos de transformadores de distribución

Lista de figuras

pág.

Figura 1-1: Ciclo de histéresis material magnético [1]……………………..……………….22

Figura 1-2: Corrientes de Eddy. Aproximación a una dimensión [10]…………………….25

Figura 1-3: Saltos Barkhausen [2]……..……………………………………………………...28

Figura 1-4: Lazos de histéresis para distintas frecuencias de magnetización [2]……….30

Figura 1-5: Pérdidas en función de la frecuencia [2]..……………………………………...32

Figura 3-1: Dimensiones del núcleo [mm]……………………………………………………40

Figura 3.2: Curva de permeabilidad (real e imaginaria)...…………………………………..43

Figura 3-3: Circuito de excitación y propiedades de la bobina…………………………….44

Figura 3-4: Malla del núcleo en tres dimensiones.………………………………………….45

Figura 4-1: Densidad de flujo magnético a 60 Hz………………….…………………….….47

Figura A-1: Elemento triangular típico …………..………………….…………………….….59

Figura A-2: Unión de dos elementos………………………………………………………….62

Figura B-1: Circuito de medida [14]......…………………………….…………………….…..68

Contenido 11

Lista de gráficas

pág.

Gráfica 4-1: Pérdidas material anisotrópico……………………………………………….…47

Gráfica 4.2: Pérdidas caso tres dimensiones…………………………………………….….49

Gráfica 4-3: Pérdidas caso dos dimensiones eje simétrico……………………………......49

Gráfica 4-4: Pérdidas para distintos ancho de lámina……………………………………....50

Gráfica 4-5: Pérdidas para distintas permeabilidades relativas……………………….…...51

Gráfica 4-6: Permeabilidad real en función de la frecuencia…………………….…………51

Gráfica 4-7: Permeabilidad imaginaria en función de la frecuencia…………….………....51

Gráfica 4-8: Pérdidas por corrientes de Eddy. Simuladas y analíticas (4.1)…..………....52

Gráfica 4-9: Profundidad de penetración para una lámina metálica………………...…….53

Gráfica 4-10: Comparación pérdidas simuladas y pérdidas analíticas……………….…..54


Lista de tablas

pág.

Tabla 4-1: Coeficientes de correlación pérdidas……………………………………………..54

Contenido 13

Lista de Símbolos y abreviaturas

En el presente documento se utilizaran los siguientes símbolos, con el fin de facilitar la

lectura y aprendizaje del lector.

Símbolos con letras latinas Símbolo Término Unidad SI

B Densidad de campo magnético T b Espesor de lámina

D Densidad de campo eléctrico

E Intensidad de campo eléctrico

f Frecuencia

H Intensidad de campo magnético

I Corriente

J Densidad de corriente

P Potencia R Resistencia t Tiempo s V Tensión W Energía

Símbolos con letras griegas Símbolo Término Unidad SI

ε Permitividad

σ Conductividad eléctrica

ρ Resistividad eléctrica Ωm ω Frecuencia angular s-1 δ Profundidad de penetración m μ’ Permeabilidad real 1 μ’’ Permeabilidad imaginaria 1

μ Permeabilidad magnética

Flujo magnético Wb


Glosario

ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA: técnica de diagnóstico no invasiva para

transformadores. Esta consiste en la medición de la impedancia de un devanado del

transformador sobre un rango de frecuencia para luego comparar los resultados con una

referencia. Las diferencias pueden indicar daños en el transformador, que se puede

investigar más a fondo con el uso de otras técnicas o por una inspección interna.

MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS: método numérico que permite obtener de manera

aproximada la solución de ecuaciones diferenciales parciales.

PERMEABILIDAD COMPLEJA: representación de la permeabilidad efectiva de un

material vista como dos componentes (real e imaginaria) en la cual describe los efectos

magnéticos en función de la frecuencia. La relación entre permeabilidad imaginaria y

permeabilidad real brinda una medida de cuanta es la energía de pérdidas en

comparación de la energía almacenada por el material.

PERMEABILIDAD INICIAL: es la pendiente de la curva B(H) en la parte inicial del ciclo de

magnetización.

PROFUNDIDAD DE PENETRACIÓN: describe la longitud desde la superficie hacia el

interior del material, a la cual será penetrado por una onda electromagnética para una

determinada frecuencia de excitación.

Introducción

En la actualidad los transformadores son considerados uno de los elementos

fundamentales dentro de cualquier sistema de energía. Los transformadores se

encuentran expuestos a condiciones no deseadas de fallas como sobretensiones (tipo

rayo, tipo maniobra, ferro-resonancia), sobrecarga, envejecimiento, que disminuyen la

vida útil del transformador y afectan al correcto funcionamiento de éste. Es por esto que

adquiere importancia el desarrollo de técnicas de diagnóstico que permitan evaluar el

estado de sus componentes y propiedades, con el fin de hacer mantenimiento

preventivo y predictivo.

Una de las técnicas que dado a su potencial y características ha tomado relevancia en la

actualidad, es el análisis de respuesta en frecuencia (FRA por sus siglas en inglés). Es

una técnica que permite detectar cambios físicos como deformaciones y cambios en las

propiedades de los materiales del transformador; puede desarrollarse en campo ya que

no requiere equipos de grandes dimensiones. El diagnóstico FRA es una técnica que

actualmente está en desarrollo, pues se conoce muy poco de ella y no se encuentra

normalizada, por lo que sus resultados no son fácilmente interpretables y depende de la

experiencia de la persona que los analice.

Una adecuada representación del modelo del transformador en frecuencia ayudaría

significativamente en la interpretación de los resultados arrojados por la prueba. Por tal

razón este proyecto se enfoca en caracterizar las pérdidas en el núcleo de un

transformador de distribución en un rango de frecuencia de 60 Hz a 2 MHz, por medio de

simulación en un software de elementos finitos.


El modelo representa el comportamiento del transformador en el dominio de la frecuencia

hasta 2 MHz, aplicado para transformadores nuevos de los cuales se conozca sus

materiales y las características constructivas de la parte activa.

La refrigeración del transformador para la cual aplicara el modelo es aceite mineral. El

modelo describirá el comportamiento en estado estable, no se tendrá en cuenta el estado

transitorio.

El trabajo de grado está integrado a la realización de tesis de maestría titulada “Modelo

de transformador de distribución para análisis de respuesta en frecuencia” que está

realizando actualmente el Ingeniero David Álvarez. Este proyecto de tesis al igual que el

proyecto de trabajo de grado se realizó con el apoyo técnico de la empresa SIEMENS.

1. Teoría de pérdidas en medios materiales

A continuación se hará un breve repaso de la teoría existente sobre pérdidas en

materiales magnéticos, el capítulo comienza con la obtención de pérdidas para cualquier

medio material inmerso en un campo electromagnético, para luego enfocarse

específicamente en materiales magnéticos utilizados en el diseño de transformadores de

distribución.

1.1 Ecuaciones generales de pérdidas en un medio sencillo

Las ecuaciones de Maxwell que relacionan el campo eléctrico y magnético en cualquier

punto para un medio dado son escritas de la forma más general como [4]:

En ciertas aplicaciones por utilidad se pueden desarrollar estas ecuaciones utilizando el

dominio de la frecuencia, reemplazando la derivada temporal por jω y reescribiendo las

relaciones de campo de la siguiente forma,


Donde ε, σ, y μ representan la permitividad, conductividad eléctrica, y permeabilidad

magnética respectivamente. Para materiales magnéticos, estas constantes son

generalmente función de la frecuencia y temperatura como también de la amplitud del

campo y/o dirección.

Utilizando el teorema de Poynting se puede calcular la energía almacenada y disipada en

una región cualquiera, para un flujo de potencia a través de una superficie cerrada, S,

que encierra un volumen, V, como se muestra en (1.9).

∮ ∫ (

)

Si bien (1.9) se puede aplicar a cualquier medio, puede ser reescrita para materiales

lineales invariantes con el tiempo como,

∮ ∫ [

]

El lado izquierdo de la ecuación representa la potencia compleja que sale del

volumen limitado por S, mientras que los tres integrandos del otro lado de la ecuación

representan las pérdidas resistivas del medio, las tasa de cambio de la energía

almacenada en el campo eléctrico, y la tasa de cambio de la energía almacenada en

forma de campo magnético respectivamente. Esta es simplemente una expresión de la

conservación de energía. Cuando utilizamos fuentes de excitación sinusoidales se puede

obtener una expresión similar con las cantidades de campo representadas por sus

magnitudes fasoriales de las ecuaciones de Maxwell,

∮

∫ | |

∫ [

| |

| | ]

En (1.11), las constantes del material, μ y ε pueden ser números complejos que permiten

el uso de permeabilidad y permitividad compleja para obtener las pérdidas magnéticas y

1. Teoría de pérdidas en medios materiales 19

las pérdidas eléctricas. Sustituyendo la parte real e imaginaria de las constantes del

material en (1.11) y luego de hacer las respectivas simplificaciones se obtiene,

∮

∫( | | | | | | )

∫ [

| |

| | ]

Se puede reescribir la ecuación anterior en términos de la potencia compleja que sale del

volumen, Pe, el promedio de energía disipada, <Pd>, la densidad de energía magnética

promedio, <Wm>, y la densidad de energía eléctrica promedio, <We>, como,

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Donde

∮

⟨ ⟩

∫ | | | | | |

⟨ ⟩ ∫ [

| | ]

⟨ ⟩ ∫ [

| | ]

1.2 Pérdidas en núcleos magnéticos.

No es nuestro objetivo en este trabajo aclararlo, pero existen muchas razones por las

cuales los materiales ferromagnéticos son utilizados en la construcción tanto de muchos

aparatos de corriente continua como de corriente alterna (como los transformadores).


Una de las tantas es la facilidad que poseen para imanarse, conservan su imanación aun

así se suprima el campo, tienden a oponerse a la inversión del sentido de a imanación

una vez imanados, etc. Y en el caso de los transformadores, el núcleo de hierro

intensifica y mantiene un camino para el flujo magnético, que es o que se desea (y no lo

proporciona un núcleo de aire). En los dispositivos que trabajan con flujo magnético

constante, no se producen calentamiento alguno en los materiales del núcleo, por ende

no tienen casi pérdidas en su circuito magnético a menos que se energice o se

desenergice muy frecuentemente. Mientras que existen otros dispositivos que funcionan

con flujo magnéticos variables en el tiempo en sus circuitos magnéticos y estos flujos dan

lugar a corrientes que calientan el hierro o acero, caso del núcleo del transformador.

Dentro del campo siempre se ha comentado que las pérdidas que existen en el metal, y

específicamente en el núcleo magnético del transformador se deben a dos causas: la

tendencia del material a conservar su imanación o a oponerse a una variación de a

imanación que ocasiona las llamadas pérdidas por histéresis y el calentamiento por

efecto Joule que aparece en el material a consecuencia de las corrientes de Foucault que

se inducen en el al ser variable el flujo en el tiempo; esto constituye las pérdidas por

corrientes de Foucault. Las pérdidas por histéresis se deben a la tendencia de la curva

característica B(H) del material un lazo cerrado cuando se aplica a dicho material un

campo magnético cíclico. Es importante distinguir entre histéresis y pérdidas por

histéresis. El fenómeno conocido como histéresis es el resultado de la propiedad del

material de conservar su imanación u oponerse a una variación de su estado magnético.

Mientras que la pérdida por histéresis es la energía convertida en calor a causa del

fenómeno de la histéresis y, según suele interpretarse, está asociada sólo a una

variación cíclica de fuerza magnetomotriz. Las pérdidas por corrientes de Foucault están

originadas por corrientes en el material magnético, y estas corrientes están producidas

por fuerzas electromotrices inducidas por flujos variables.

Como se alcanza a observar en lo expresado anteriormente, se entiende los dos tipos de

pérdidas de como fenómenos casi aislados en los que sí son generados por la existencia

de un flujo variable dentro de un material magnético, la incidencia o existencia de uno

poco afecta al otro. En pocas palabras las pérdidas por histéresis son producto de

dinámicas magnetomotrices así como las pérdidas por corrientes de Foucault o también

llamadas pérdidas por corrientes de Eddy son debido a fuerzas electromotrices; puede


que ambas se vean afectadas proporcionalmente por otras variables como lo sería la

frecuencia, pero hasta ahí parecería su relación.

Tal vez esto es cierto para algunos parámetros específicos como la frecuencia, pero sólo

es la interpretación conceptual del resultado de la amplia utilización técnica de material y

de la relativamente gran importancia de los datos de pérdidas representativos de esta

forma de utilización. Sumado a la gran complejidad del fenómeno físico, el tiempo en el

que se realizaron los estudios y la dificultad en la corroboración con ayuda de pruebas

para distintas frecuencias; que aún y en estos tiempos siguen siendo casi imposibles de

realizar.

En nuevos trabajos e investigaciones más que haberse encontrado, se han generado

nuevos conceptos que pueden explicar mejor ese bache entre resultados esperados y

resultados obtenidos con respecto a la experimentación realizada en la variación de la

frecuencia. En donde se empieza a ver de una nueva forma a la histéresis, ya no como

algo estático sino algo más como un fenómeno dinámico; y así surge a aparición de otro

tipo de pérdidas que más adelante tendremos la oportunidad de explicar. Sin embargo es

necesario entender muy bien los primeros estudios y los conceptos allí planteados

(pérdidas por histéresis y pérdidas por corrientes de Eddy), por lo que vamos a tratar de

mostrarlos a continuación de la mejor manera.

1.2.1 Pérdidas por histéresis.

La aparición de pérdidas por histéresis está estrechamente ligada al fenómeno por el

cual una región atravesada por campo magnético, absorbe energía. Si la región no es el

vacío, tan sólo una parte de la energía que se toma del circuito eléctrico se almacena y

recupera totalmente de la región, al suprimir el campo magnético. El resto de la energía

se convierte en calor a causa del trabajo realizado sobre el material en el medio cuando

responde a la imanación.

Según la teoría que se sabe que cuando la inducción magnética de una región crece de

un punto B1 a otro punto B2, a región absorbe energía y la fórmula que representa la

cantidad o magnitud de energía absorbida por unidad de volumen es


∫

Esta integral es proporcional al área limitada que la curva B(H) de dicha región, el eje B y

las rectas paralelas al eje al eje H que representan las constantes B1 y B2,

respectivamente. Luego su valor dependerá de los valores B1 y B2 y de la forma de la

curva entre los valores B1 y B2. Si se disminuye la inducción magnética desde un valor

dado cualquiera a otro valor menor, el signo algebraico de w es negativo y la energía

será cedida por el material.

Figura 1-1: Ciclo de histéresis material magnético [1]

Como se puede observar en la imagen, la curva de histéresis es un lazo cerrado que es

formado por dos curvas, una en la cual los valores de inducción magnética B son

mayores para un H dado, cuando H disminuye que cuando H crece, si bien para una

variación cíclica de H, los valores extremos de B son los mismos una vez el material haya

alcanzado el estado estacionario. Esto indica y como se ve en la figura y siguiendo el

rastro a la región sombreada que la energía absorbida por el material cuando crece la

inducción magnética de B1 a B2 es mayor que la devuelta cuando la inducción magnética


disminuye de B2 a B1. La diferencia entre estas energías es la magnitud de la pérdida

por histéresis.

Esta energía se disipa en forma de calor durante cada ciclo. Estas pérdidas tienen gran

influencia en el rendimiento, la elevación de temperatura y finalmente los valores del

transformador.

Si un volumen Vol. de material magnético que tiene su flujo distribuido uniformemente en

todos sus puntos y de cual se conoce su lazo de histéresis se somete a una variación

cíclica de frecuencia f hertz, la disipación de energía en unidad de tiempo debida a la

histéresis (pérdida de potencia por histéresis) será:

1.2.2 Pérdidas por corrientes de Eddy

Estas se presentan debido a la variación del flujo magnético dentro del núcleo, que de

acuerdo a la ley de inducción de Faraday induce una tensión (1.20), y en caso de que el

material tenga alguna conductividad, por este circulará una corriente (corriente de

Foucault).

∮

∫

La presencia de estas corrientes en el material dan como consecuencia una pérdida de

energía por efecto joule (I2R). Como la inducción magnética en los materiales

ferromagnéticos suele ser relativamente elevada, y como la resistividad de los materiales

suele ser demasiado grande, estas pérdidas pueden ser significativas si no se toman las

medidas necesarias para disminuir este fenómeno.

Observando la figura 1-2. Donde se encuentra una lámina de material ferromagnético

donde se induce una tensión debido al flujo magnético variable en el tiempo, se puede

afirmar que la corriente de conducción que hay en el núcleo tiene una dirección tal que

crea un flujo que tiende a oponerse a aquel que lo está atravesando. El efecto de estas


corrientes es apantallar o blindar el material del flujo, dando como resultado una

inducción magnética menor en la región central del bloque que en su superficie. Otra

manera de describir este efecto es decir que el flujo total tiende a concentrarse hacia la

superficie del bloque. Este fenómeno se conoce con el nombre de efecto cortical o efecto

pelicular. [1]

Las pérdidas por corrientes de Foucault que ignora el efecto pelicular de acuerdo a [1]

son:

Donde Vol. es el volumen del material, f la frecuencia del flujo magnético, b es el espesor

de la lámina. En este caso se supone una distribución uniforme del campo magnético en

el núcleo laminado.

El problema de pérdidas es fuertemente dependiente de la geometría, por lo que las

corrientes de Eddy no están determinadas únicamente por la propiedades locales del

material, sino también por las condiciones de frontera de las ecuaciones de Maxwell,

mediante el cual la forma geométrica del elemento juega un rol decisivo. [2]

1.2.3 Pérdidas por corrientes de Eddy. Permeabilidad Compleja

Considerando el blindaje del núcleo cuando existe un flujo variante en el tiempo, se

puede utilizar la fórmula de permeabilidad compleja desarrollada en [10].

La laminación tiene un ancho de b. Los efectos del borde son despreciados (debido a

que el ancho es mucho menor que el espesor). Usando las ecuaciones de Maxwell en el

dominio de la frecuencia (1.5) y (1.6) la ecuación general de onda es encontrada por:

Donde


Figura 1-2: Corrientes de Eddy. Aproximación a una dimensión [10].

El campo magnético es aplicado en la dirección z, por lo tanto la única componente del

campo magnético es Hz. Hz varia solo en la dirección x: = Hz (x). La corriente inducida

fluye solo en la dirección y, con su variación a lo largo del eje x: = Jy (x) como se

muestra en la figura 1-2. Si σ>>ωε, k se reduce a

En una dimensión la ecuación (1.22) se reduce a:

Para el caso armónico donde ω es la frecuencia angular con condiciones de frontera

Hz(±b,t)=H0ejωt, la solución de 1.25 puede ser representada como

( )

Donde γ s la constate de propagación definida como √ , la cual está

directamente relacionada con la profundidad de penetración √ por medio de

. es la permeabilidad relativa local de la muestra de la laminación en la


dirección del eje z y σ se refiere a la conductividad de la lámina de acero al silicio. El

promedio de la densidad de flujo magnético en la dirección del eje z ⟨ ⟩ se puede

evaluar en términos del flujo magnético total Φ(t) a través de la sección transversal

como

⟨ ⟩

∫

⟨ ⟩

Así, la permeabilidad efectiva relativa compleja en la dirección y puede ser derivada

como

1.3 Pérdidas en el núcleo. Modelo dinámico de materiales magnéticos

1.3.1 Proceso de magnetización y el efecto Barkhausen

Si se considera la magnetización M, como se ha definido anteriormente ( donde x

es la susceptibilidad del material) es un promedio sobre un volumen que contiene

muchos dominios. Mucha información se pierde en este proceso; por lo que el campo y la

magnetización brindan una descripción incompleta del estado magnético de un cuerpo

ferromagnético. En la escala de los dominios magnéticos, un estado del cuerpo es

definido por su estructura de dominio, y muchas estructuras de dominio pueden existir

para los mismos valores de campo y promedio de magnetización. La razón por la cual

esto puede ser entendido es si consideramos que, en un sistema magnético

macroscópico, existe siempre una cantidad substancial de desorden estructural:

presencia de granos en poli-cristales, dislocaciones y deformaciones de celosía,

fluctuaciones de composición, presencia de inclusiones, rugosidades y variaciones

aleatorias o rugosidades en la superficie de una lámina delgada, etc. Estas fuentes de

desorden se acoplan con la magnetización a través de intercambio, anisotropía, e

interacciones magnetostáticas. El resultado es que el panorama de la energía en donde


el sistema evoluciona muestra una estructura extremadamente complicada, con un gran

número de mínimos locales y puntos de silla que reflejan la presencia de desorden

estructural. Sin embargo, esta conclusión deja de ser válida sí el campo externo cambia

en el tiempo.

La magnetización está acoplada al campo externo por la energía – , donde

continuamente altera el balance de la energía del sistema cuando es variante en el

tiempo. La estabilidad de una configuración de dominios dados es tarde o temprano

destruida por la variación de campo aplicado. El mínimo local de energía, es

transformado en un punto de silla, la estructura de dominio se vuelve inestable y

espontáneamente evoluciona hacia alguna nueva configuración. Este re-arreglo puede

estar localizado en el espacio, con una pared de segmentos de dominios pequeños

saltando a una posición vecina estable, o puede envolver toda la estructura de dominio

en partes substanciales del cuerpo, como puede ocurrir por instancias cuando nuevos

dominios de magnetización invertida son nucleados. Este mecanismo fundamental es

conocido también por el término de Efecto Barkhausen, luego que en 1919 H.

Barkhausen diera la primera evidencia experimental de estas inestabilidades magnéticas.

El efecto Barkhausen es inmediatamente evidente cuando uno mira la estructura

detallada del voltaje inducido en la bobina secundaria. Cuando el campo aplicado es

variado en el tiempo a una tasa lenta, el voltaje inducido tiene la apariencia mostrada la

figura 1-3.

Vemos una secuencia aleatoria de espinas o picos, comúnmente llamados saltos

Barkhausen. El carácter estocástico de la señal refleja la complejidad que subyace de las

estructuras de dominios y desorden estructural. Aparte de los factores de escala poco

esenciales, el voltaje inducido da el comportamiento en el tiempo de .

Supongamos que la medición es realizada bajo una tasa de campo constante .

Luego el salto Barkhausen será proporcional al diferencial de susceptibilidad a

través de la rama de magnetización donde la señal es detectada. La integral en el tiempo

de la señal Barkhausen nos dará la estructura fina de la curva de magnetización .


Figura 1-3: Saltos Barkhausen [2]

Vemos una secuencia aleatoria de espinas o picos, comúnmente llamados saltos

Barkhausen. El carácter estocástico de la señal refleja la complejidad que subyace de las

estructuras de dominios y desorden estructural. Aparte de los factores de escala poco

esenciales, el voltaje inducido da el comportamiento en el tiempo de .

Supongamos que la medición es realizada bajo una tasa de campo constante .

Luego el salto Barkhausen será proporcional al diferencial de susceptibilidad a

través de la rama de magnetización donde la señal es detectada. La integral en el tiempo

de la señal Barkhausen nos dará la estructura fina de la curva de magnetización .

El carácter intermitente del voltaje Barkhausen resulta en la estructura fina de una

escalera mostrada en la figura anterior (imagen de abajo). Las porciones cercanamente

horizontales de la curva corresponden a intervalos del campo donde la estructura de

dominio mantiene suave, las distorsiones primaverales bajo la presión del campo

aplicado. Y las partes más verticales, por el contrario, representan los puntos donde la

configuración de los dominios se vuelven inestable y de repentinamente saltan a un

nuevo estado. Notamos que esta separación sirve para dar una idea intuitiva del proceso

pero no es muy claro en la señal observada, donde toda una jerarquía de inestabilidades

sobre muchas escalas parece ocurrir.


La presencia de características aleatorias en el efecto Barkhausen refleja la necesidad

general de métodos y conceptos estadísticos para tratar los procesos de magnetización y

las estructuras de dominio. El punto no es sólo que existen muchos estados asociados

diferentes con los mismos valores de campo y magnetización. Sino también que a lo que

llamamos un caso singular en general corresponde a cierto número de estructuras de

dominio

1.3.2 Fenómeno Dependiente del Tiempo

En la descripción hecha en capítulos pasados, la tasa con la cual el campo externo

variaba no tenía ninguna influencia. El rol del campo externo era meramente llevar al

sistema al umbral de inestabilidad en donde los tiene lugar el salto Barkhausen. Se decía

que cuando el sistema espontáneamente salta a una nueva configuración estable, la

suposición que se realiza es que la evolución del sistema mientras el salto tiene lugar es

de un tiempo tan pequeño que no afecta de ningún modo la tasa a la cual el campo

externo cambia durante el salto. Bajo estas circunstancias, la evolución del sistema es

comprimida o expandida en proporción de la tasa de cambio del campo aplicado en el

tiempo, pero sigue siendo la misma cuando la magnetización es considerada como una

función del campo. El término histéresis independiente de la tasa de cambio es utilizado

para referirse a las curvas de magnetización independientes de la tasa de cambio del

campo.

La histéresis independiente de la tasa de cambio es, sin embargo una aproximación. Los

procesos reales son dependientes de la tasa de cambio en dos aspectos importantes.

Primero, los saltos Barkhausen son siempre controlados por constantes de tiempo

características, que está determinado por el mecanismo mediante el cual la energía

liberada durante el espontáneo reordenamiento es irreversiblemente transformada en

calor. En sistemas metálicos, por ejemplo, este mecanismo es fundamentalmente la

fuente de producción de corrientes de Eddy alrededor de las paredes de domino

movedizas. Cuando la tasa de cambio del campo es lo suficientemente grande para dar

una variación de campo apreciable durante un salto Barkhausen individual, la evolución

de la estructura de dominio cesa para ser una secuencia espontánea de re-arreglos de

dominios, y se acerca a un régimen dinámico forzado impulsado por el campo externo.


Cuando este régimen es alcanzado la curva de magnetización empieza a mostrar cierta

dependencia de la tasa de cambio del campo. El segundo a pesar de mostrar la

dependencia es algo que se sale de materia en este estudio, pues son campos

termodinámicos que no se lograría demostrar nada más la hipótesis inicial y no brindaría

mayor información ni profundidad al estudio concerniente de las pérdidas en el núcleo.

1.3.3 Corrientes de Eddy y pérdidas magnéticas.

Un ejemplo particularmente importante de mecanismo de disipación dado a efectos de la

dependencia de la tasa de cambio son las corrientes de Eddy en sistemas metálicos.

Vamos a considerar los lazos de histéresis de la figura de abajo.

Figura 1-4: Lazos de histéresis para distintas frecuencias de magnetización [2]

Esta figura representa los lazos son de histéresis dinámicos bajo inducción sinusoidal en

aleación de Si-Fe no orientada. Inducción pico es 1T para todos los lazos. Las

frecuencias de magnetización son 1, 50, 200, 400, 1000, 1600 Hz.

Estos lazos fueron medidos en el mismo espécimen de aleación de Si-Fe para diferentes

frecuencias f de oscilación del campo aplicado. Las características más evidentes son el

incremento del área y de la forma de la curva a medida que se aumenta las frecuencias

de magnetización. El área del lazo tiene un significado físico importante ya que

representa la cantidad de energía que se transforma de manera irreversible en calor

durante un ciclo de magnetización. Esto se deriva del hecho discutido más adelante, que


HadB representa la energía infinitesimal por unidad de volumen inyectada en un

espécimen magnético en el curso del proceso de magnetización. La integral

∮

por lo tanto representa la cantidad de trabajo por unidad de volumen producido por

fuentes externas e irreversiblemente transferido como calor a el baño térmico en un ciclo

de magnetización. La cantidad P es conocida como pérdida de potencia, y P/f como

pérdida por ciclo.

Cuando las corrientes de Eddy representa el mecanismo de disipación dominante, uno

concluye que, sí uno supiese la distribución espacio-tiempo de la densidad de corrientes

de Eddy j(r,t) dentro del cuerpo, entonces se podría calcular inmediatamente la pérdida

como

∫

∫| |

donde es la conductividad eléctrica y V es el volumen del cuerpo. Con el incremento de

las frecuencias, la intensidad de las corrientes de Eddy inducidas se incremente

acordemente, y esto da lugar al incremento en la disipación y lazos más grandes como

se ve en la figura anterior. Como este estamento cualitativo se puede volver cuantitativo

es un problema físico interesante por sí mismo, y tiene consecuencias prácticas

importantes en muchas aplicaciones. La densidad de corrientes de Eddy es tan compleja

como lo son las estructuras de los dominios magnéticos. Verificar el promedio de

espacio-tiempo inmerso dentro de la ecuación (1.31) requiere un análisis detallado del

proceso de magnetización, discutido más adelante. Sin embargo algunas conclusiones

generales se podrán obtener sin necesidad de inmiscuirnos en detalles cuantitativos.

El primer punto a considerar es que la histéresis dependiente de la tasa de cambio

introduce complicaciones adicionales en la descripción de los lazos de histéresis. Para

identificar un lazo de histéresis dinámico no basto con especificar el valor del pico de


magnetización (Imáx), también es necesario la frecuencia de magnetización así como la

forma de onda de la alimentación; pues no es lo mismo magnetización sinusoidal que

magnetización triangular. Pero en general siempre se especifican estos datos y la forma

de onda es normalmente sinusoidal. Un ejemplo de cómo cambia las pérdidas en la

frecuencia bajo estas condiciones es mostrado en la siguiente figura. Y uno observa que

el comportamiento de las pérdidas no está lejos de la ley

√

donde los coeficientes deben ser funciones el pico de magnetización Imáx.

Figura 1-5: Pérdidas en función de la frecuencia [2]

Es notable que leyes así puedan existir del todo. De hecho, la pérdida, siendo el área del

lazo de histéresis, se puede esperar que dependa de muchos detalles del proceso de

magnetización tomando lugar a lo largo del lazo. Sin embargo, muchos de estos detalles

eventualmente terminan siendo irrelevantes, y sólo pequeñas características dominantes,

descritas por la ley de pérdidas sobreviven. Esto es aún más remarcable cuando uno

considera que la ecuación (1.32) aplica para una gran variedad de materiales magnéticos

con estructuras de dominios diferentes entre sí. Un aspecto de esta generalidad es

representada por la separación de pérdidas. Con esto uno indica que finalmente se

puede descomponer las pérdidas totales a frecuencias y pico de magnetización dados en

la suma de tres contribuciones, conocidas o llamadas pérdida por histéresis, pérdida


clásica, pérdida exceso. La separación de las pérdidas se puede observar en la misma

estructura de la ecuación (1.32) y así mismo como más adelante se discutirá, la

existencia de tres escalas en el proceso de magnetización.

El avance más importante en el entendimiento de las pérdidas en materiales

ferromagnéticos data de los años de 1940. Durante este periodo, fue reconocido en

general que los dominios existían en materiales no magnetizados, sin embargo, la forma

de los dominios, la manera en los cuales la forma y movimiento de las fronteras con el

campo y stress fue primeramente establecido experimentalmente en [2].

1.3.4 Separación de pérdidas

La escala asociada a la pérdida por histéresis (el término C0 de la ecuación (1.32)) la

escala del efecto Barkhausen, donde las pequeñas paredes de segmentos de dominios

realizan saltos localizados entre mínimos locales de la energía libre del sistema, dando

lugar a corrientes de Eddy localizadas alrededor de los muros de salto. La segunda

contribución es la llamada pérdida clásica (C1f en la ecuación (1.32)). La escala asociada

a este término es la escala asociada a la geometría del espécimen. La pérdida clásica es

la pérdida calculada por las ecuaciones de Maxwell para un material perfectamente

homogéneo con ninguna estructura de dominio. Por lo que en este caso las condiciones

de frontera del problema, por ejemplo, la geometría del espécimen determinará el

resultado. Finalmente la escala asociada a la pérdida por exceso ( √ en la ecuación

(1.32)) es la escala de los dominios magnéticos. La pérdida por exceso surge de las

corrientes de Eddy circulantes alrededor de las paredes de los dominios activos que

están en movimiento debido a la acción del campo externo.

Las tres escalas que se acaban de mencionar están activas al mismo tiempo, y no es

nada obvio por qué la existencia de estas escalas debe resultar en el hecho en que el

promedio espacio-tiempo de la ecuación (1.31) se descompone en la suma de estos tres

términos. Efectivamente, el hecho por lo que resulta ser realidad el caso es la razón

principal por lo cual es posible resolver leyes generales para la descripción de las

pérdidas. [2]


El concepto de separación de pérdidas describe la potencia de pérdidas totales para una

frecuencia de magnetización dada como se muestra en (1.33), donde las pérdidas totales

son divididas en tres partes Phys, Pcls, yPexc. Phys es las pérdidas por histéresis y Pcls es

conocida como las pérdidas clásicas por corrientes de Eddy y son calculadas asumiendo

una magnetización uniforme. Cuando los valores calculados de histéresis y corrientes de

Eddy clásicas se suman, este resultado es significativamente menor que las pérdidas

medidas. Esta diferencia es conocida como pérdidas de exceso o anormales (Pexc).

Las pérdidas de exceso se producen debido al hecho que cualquier material

ferromagnético está compuesto de dominios auto saturados, y, por lo tanto, el patrón de

flujo magnético microscópico en el material no es uniforme ni continua como se asume

en el cálculo de las pérdidas por corrientes de Eddy clásicas. Los beneficios de

magnetización por el movimientos de las fronteras de los dominios y, si los dominios son

relativamente grandes, las corrientes de Eddy inducidas en las vecindades de los

movimientos de las fronteras serán diferentes del patrón clásico simple. La intensidad de

flujo magnético total Htot puede ser expresado como en (1.34).

La potencia de pérdidas por unidad de volumen debido a la clásica corrientes de Eddy es

proporcional a la tasa de cambio de la magnetización. Este puede ser expresado como

en (1.35), donde Wcls es la energía perdida por ciclo y por unidad de volumen, B es la

densidad de flujo, D es el ancho de las laminaciones, ρ es la resistividad, y β es una

constante. La energía perdida debido a las corrientes de Eddy clásicas por ciclo y por

unidad de volumen puede ser representada en el modelo con un campo magnético

equivalente proporcional a dB/dt. Así Hcls representa una intensidad de campo magnético

equivalente a las pérdidas por corrientes de Eddy clásicas. Entonces, Hcls en (1.34)

puede ser expresada como Hcls=k1(dB/dt), donde k1 es una constante.

(

)


La potencia de pérdidas de exceso puede ser expresada como en (1.36), donde G es

una constante, A es el área de la sección transversal, y H0 es un parámetro que

representa el potencial interno que se establece en los muros de los dominios. Esta

pérdida de energía puede ser representada por un campo magnético equivalente

proporcional a (dB/dt)1/2. Así, Hexc en (1.34) puede ser expresado como Hexc=k2(dB/dt)1/2,

donde k2 es una constante.

(

)

(

)

2. Modelos de núcleos en el dominio de la frecuencia.

Este capítulo repasa los estudios hechos previamente en cuanto a la caracterización de

pérdidas en núcleos magnéticos, se hace una revisión de las metodologías expuestas

por diversos autores y los distintos enfoques.

La literatura concerniente a la aplicación de materiales ferromagnéticos incluye tanto en

el modelado teórico del material como los actuales métodos de medida usados para

validar estos modelos. Estos esfuerzos pueden ser divididos a grandes rasgos en la

caracterización de [7]:

Características magnéticas (permeabilidad).

Comportamiento de las pérdidas (modelos de histéresis, conductividad, modelos

de corrientes de Eddy).

Comportamiento eléctrico (constante dieléctrica, modelo de capacitancia).

Los primeros modelos circuitales del núcleo del transformador no tenían en cuenta la

variación de la resistencia en función de la frecuencia como también de la distribución de

campo. En el trabajo de Mombello [9] se analiza la influencia del núcleo de hierro durante

fenómenos transitorios y de resonancia, en especial en lo que se refiere a las pérdidas.

Por medio de pruebas sobre una bobina con núcleo de aire y núcleo de hierro se observa

que el equivalente medido de resistencia es diferente, por lo tanto concluye que el núcleo

tiene influencia sobre el modelo y no se debe despreciar a frecuencias mayores a 10

kHz, como antes se pensaba. Sin embargo el valor de resistencia es obtenido por medio

de mediciones.


La investigación de Berglung [8] se centra en cómo se comportarían las pérdidas en los

transformadores de potencia cuando la cantidad de carga que inyecta armónicos a la red

genere ondas de tensión y corriente de frecuencia distinta a la frecuencia nominal.

Modelando el núcleo con ecuaciones a partir de la reluctancia y resistencia, las pérdidas

calculadas se hacen a partir de una aproximación de la curva de histéresis, utilizando la

metodología descrita por Staff. El modelo desarrollado por Berglung tiene un

comportamiento adecuado para bajas frecuencias.

Otro estudio ésta vez basado en el método de elementos finitos es el realizado por

Wilcox, quien con el objetivo de observar el comportamiento de la densidad de flujo

magnético dentro del núcleo del transformador en función de la frecuencia, reduce la

geometría del transformador real de tres dimensiones (3D) a un problema en dos

dimensiones (2D) con eje de simetría. Esto con el fin de reducir recursos

computacionales, asegurando el mismo flujo magnético en el interior del núcleo,

conservando en ambos modelos el mismo valor de reluctancia total. [10]

Posteriormente, Bjerkan [10] modela el núcleo para condiciones de operación de la

prueba FRA. No toma en cuenta las pérdidas por histéresis, ya que trabaja a valores

bajos de campo magnético, donde el material está en la zona lineal de la curva B(H). El

núcleo se modela en un software de FEM con conductividad cero (0), calculando las

pérdidas por corrientes de Eddy analíticamente, por falta de recursos computacionales.

No se consideran las corrientes interlaminares debido a que estas adquieren importancia

a muy altas frecuencias 250 MHz.

Por último Ribbenfjard [11], basado en los estudios realizados por Bertotti, realiza un

modelo del transformador en el dominio del tiempo, teniendo en cuenta los tres tipos de

pérdidas (estáticas por histéresis, clásicas por corrientes de Eddy y por exceso) y para

condiciones nominales de operación, utilizando circuitos de Cauer.

3. Consideraciones y parámetros de simulación 39

3. Consideraciones y parámetros de simulación.

La caracterización se realizó utilizando el análisis de elementos finitos. Este método

numérico ha tomado gran importancia en la resolución de ecuaciones diferenciales

parciales sobre geometrías complejas.

Se escogió porque es capaz de obtener como resultado aproximaciones de gran

precisión, facilitando el proceso de cálculo cuando la solución analítica de las ecuaciones

del problema se convierte en proceso muy complejo. Además, una buena simulación

ahorra dinero y tiempo en la implementación de pruebas porque permite modificar los

diferentes parámetros que componen un modelo con facilidad, haciendo más sencilla la

evaluación y análisis de distintos modelos.

El método consiste en dividir la geometría en pequeñas secciones triangulares, en donde

los vértices de aquellos triángulos se llaman nodos, y como resultado se obtiene una

malla. El sistema de ecuaciones diferenciales que rige el medio continuo ahora pasa a

ser un conjunto de ecuaciones algebraicas que pueden ser o no lineales.

3.1 Características transformador de distribución

La simulación se realizó sobre un transformador de distribución típico cuyas

características se muestran a continuación:

Potencia: 2500 kVA

Tipo de conexión: Dyn5

Tensión primaria: 34.5 kV

Tensión secundaria: 4335 / 2502 V


Frecuencia: 60Hz

Corriente primaria: 41.8 A

Corriente secundaria: 333 A

Tipo de refrigeración: ONAN

3.2 Dimensiones y geometría del núcleo

Las dimensiones del núcleo fueron proporcionadas por el fabricante (figura 3-1). Tiene

1,420 m de largo y 1,338 m de alto; la bobina es de baja tensión y está separada 16 mm

de la pierna central.

El núcleo de un transformador de distribución de éste tamaño está construido por un

conjunto de láminas delgadas (por lo general entre 0.23-0.30 mm de grosor [13])

apiladas, aisladas eléctricamente entre ellas con el objetivo de disminuir las corrientes de

Foucault.

Debido a la complejidad del enmallado (por lo delgadas que llegan a ser las láminas) y la

gran cantidad de recursos necesarios para la simulación del núcleo con estas

características, se optó por utilizar un núcleo macizo.

Figura 3-1: Dimensiones del núcleo [mm]


En el modelo de núcleo de Bjerkan [10] se hace un análisis matemático y se determina el

modelo con los efectos de la laminación mediante la formulación de la ecuación de

permeabilidad efectiva en función de la frecuencia (3.1).

En donde y √ representa la profundidad superficial del material y

b es el grosor de la lámina. La ecuación (3.1) es obtenida a partir de la solución de las

ecuaciones de Maxwell, incluyendo únicamente el efecto de las corrientes de Eddy.

3.3 Propiedades del material

3.3.1 Permeabilidad y conductividad

En un material magnético existen tres tipos de pérdidas debido a la acción de un flujo

magnético variante en el tiempo: Estáticas, clásicas y por exceso [2]. Estas pérdidas

existen a distintas escalas de espacio-tiempo dentro del material.

Las pérdidas por histéresis son causadas principalmente por la rotación irreversible de la

magnetización y depende únicamente de la composición química del material, de su

estructura microscópica y de las tensiones mecánicas internas del material del núcleo [2].

Las pérdidas por corrientes de Eddy se producen por la corriente inducida en el núcleo

bajo la influencia de un flujo magnético variante en el tiempo. Se pueden determinar por

la conductividad del material del núcleo y por la geometría de la sección transversal a

través del cual fluyen las corrientes [2].

Finalmente, las pérdidas por exceso están en la escala de los dominios magnéticos, y

surgen de las corrientes de Eddy circulantes alrededor de las paredes de los dominios

activos que están en movimiento debido a la acción del campo externo [2].

El conjunto de pérdidas son debidas al fenómeno intrínseco de interdependencia entre la

histéresis y las corrientes de Eddy generadas en cada ciclo de magnetización [1]. La

energía que se transforma en calor debido a las pérdidas en un ciclo se podría obtener

resolviendo la siguiente ecuación [2]:


∫

∫| |

En donde es la densidad de las corrientes de Eddy, f es la frecuencia de

magnetización, y σ es la conductividad del material. Debido a la complejidad del proceso

de resolución de esta ecuación no se utilizó en este análisis.

Para este caso, la contribución al lazo de histéresis debido a la intensidad de campo

magnético causada por las corrientes de Eddy de tipo estático y de exceso, no se

observarán dado que al nivel de tensión al que se trabajan las pruebas de análisis FRA,

la inducción de flujo magnético es muy baja, encontrando el punto de operación en la

parte inicial de la curva B(H), y a este nivel predominan las corrientes de Eddy clásicas,

además estas son mayores cuando aumenta la frecuencia [2].

En consecuencia con el planteamiento anterior, dentro de las propiedades del material se

utilizó la permeabilidad compleja descrita en la ecuación (3.1), que se refiere

exclusivamente al efecto de las corrientes de Eddy clásicas

De la ecuación (3.1) se obtienen las dos funciones de permeabilidades en función de la

frecuencia, real y compleja:

( (

) (

)

( ) (

))

( (

) (

)

( ) (

))

Esto se realiza con el objetivo de poder introducirlas dentro del software de elementos

finitos, así como para ver su comportamiento de manera individual en la frecuencia

(figura 3.2).


El valor de permeabilidad relativa es el que se presenta al inicio de la curva de

magnetización. Este valor es muy difícil de obtener ya que ningún fabricante lo

proporciona, pero se conoce que oscila entre 50 y 1000 [12]. Para este trabajo se

simularon tres valores de permeabilidad inicial 100, 500 y 1000.

Figura 3.2: Curva de permeabilidad (real e imaginaria).

3.3.2 Anisotropía

El núcleo de los transformadores de distribución es de grano orientado; en el software de

elementos finitos existe la posibilidad de ingresar la permeabilidad relativa en dirección x,

y y z.

Esta opción se implementó para el modelo en 2 dimensiones con el fin de observar las

diferencias entre un núcleo homogéneo y uno anisotrópico.

La anisotropía se ingresa como una matriz de permeabilidad.

[

]


Obtener cualquier valor de permeabilidad inicial es complicado, entonces se ingresaron

valores recomendados en [12]. es el coeficiente de apilamiento y , y

[ ( ) ].

3.4 Fuente de alimentación

Se escogió el estudio electromagnético acoplado a un circuito eléctrico, de esta manera

el simulador resuelve las ecuaciones de Maxwell en la geometría indicada, la excitación

se realizó aplicando tensión a la bobina por medio de una fuente sinusoidal de 10 Vpico

con impedancia de 50 Ω, conectada a los terminales de la bobina como se muestra en la

figura 3-3.

Figura 3-3: Circuito de excitación y propiedades de la bobina.

3.5 Definición de la malla

El enmallado se hizo con la precaución de no exceder 2.000.000 de grados de libertad,

por recursos computacionales. La sección de aire y el bobinado se hizo con un nivel de

malla menor que la del núcleo, para agilizar los tiempos de cálculo, la malla para el

núcleo se construyó de tal manera que garantiza exactitud en los resultados.


Figura 3-4: Malla del núcleo en tres dimensiones.

4. Análisis y Resultados

En primer lugar se revisó la importancia de la anisotropía del material para incluirla en las

siguientes simulaciones. Luego, se trabajaron geometrías en tres dimensiones y una

representación del transformador en dos dimensiones con eje simétrico, de tal forma que

tuviera la misma reluctancia del primer caso. En la figura 4.1 se puede observar la

distribución de densidad de campo magnético y las líneas de flujo para 60 Hz. La

concentración de campo en la pierna donde se encuentra la bobina es mayor.

Figura 4.1: Densidad de flujo magnético a 60 Hz

4.1 Efecto de la anisotropía del material en las pérdidas.

Debido a que los núcleos magnéticos de los transformadores de distribución son de

grano orientado, la permeabilidad no es la misma en las tres componentes espaciales.

Considerando el material no homogéneo, se simuló permeabilidad anisotrópica, y las

pérdidas variaron únicamente a bajas frecuencias (con un error máximo es de 0.382%);


la anisotropía del material no cambia considerablemente el valor de las pérdidas y no se

tomó en cuenta esta propiedad para simular los demás casos.

Gráfica 4-1: Pérdidas material anisotrópico

La diferencia en las pérdidas se observa únicamente a baja frecuencia, el error máximo

obtenido es 0.382%, por lo que se desprecia la no homogeneidad del material para las

demás simulaciones.

4.2 Resultados geometría tres dimensiones

En la gráfica 3-2 se muestran el comportamiento de las pérdidas obtenidas para el

transformador simulado; se observa que estas son crecientes a bajas frecuencias, luego

toman un valor casi constante para un rango intermedio de frecuencia y comienzan a

decaer para la frecuencia en la que la profundidad de penetración es menor que el ancho

de la lámina del núcleo.

4. Análisis y Resultados 49

Gráfica 4-2: Pérdidas caso tres dimensiones

4.3 Resultados dos dimensiones (eje simétrico)

Para reducir los costos computacionales se optó por simular el núcleo en dos

dimensiones con eje de simetría, la simplificación de geometría de tres dimensiones a

dos dimensiones se realiza de tal forma que la reluctancia para ambos casos sea la

misma.

En la gráfica 3-3 se muestra las pérdidas el caso de eje simétrico. Se observa que tienen

la misma forma del caso en tres dimensiones.

Gráfica 4-3: Pérdidas caso dos dimensiones eje simétrico


Cabe anotar que las pérdidas calculadas son por unidad de longitud, por lo tanto si se

quisiera conocer la totalidad de las pérdidas se tiene que multiplicar por la longitud. (2πr)

4.4 Efecto cambios en el espesor de la lámina.

En la gráfica 3-4 se muestran las pérdidas para distintos anchos de lámina con una

permeabilidad relativa inicial de 100; se observa que las pérdidas aumentan a medida

que se incrementa el ancho de la lámina. Este resultado se espera ya que a menores

longitudes de la lámina son menores las corrientes de Eddy.

Gráfica 4-4: Pérdidas para distintos ancho de lámina

4.5 Efecto cambios en la permeabilidad inicial.

En la gráfica 4-5 se muestran las pérdidas para distintas permeabilidades del material; a

frecuencias bajas la magnitud de las pérdidas es mayor para permeabilidades altas y

para altas frecuencias el comportamiento cambia, siendo mayores las pérdidas para

permeabilidades bajas. Este comportamiento se atribuye al ancho de banda de la

permeabilidad real, que es mayor para menores permeabilidades, (gráfica 4-6), como

también a la frecuencia en los cuales alcanza su máximo valor la permeabilidad

imaginaria, (gráfica 4-7).


Gráfica 4-5: Pérdidas para distintas permeabilidades relativas

Gráfica 4-6: Permeabilidad real en función de la frecuencia

Gráfica 4-7: Permeabilidad imaginaria en función de la frecuencia


4.6 Estimación analítica cálculo de pérdidas.

De acuerdo a la fórmula de pérdidas por corrientes de Eddy expuesta en [1], estas se

calculan como:

Donde C es una constante que depende de la resistividad (ρ) y el volumen del material, f

la frecuencia y b el ancho de la lámina. Al aplicar esta fórmula a los resultados obtenidos

por las simulaciones, se observa que estos responden muy bien a bajas frecuencias,

aproximadamente hasta la frecuencia en la cual la profundidad de penetración es igual al

ancho de la lámina (línea roja gráfica 4-8). En este caso la permeabilidad inicial es de

1000, y el ancho de la lámina de 0.27mm.

Gráfica 4-8: Pérdidas por corrientes de Eddy. Simuladas y analíticas (4.1).

Curiosamente, se encuentra que la ecuación (4.1) y las fórmulas de otros autores que

intentan describir el comportamiento de estas pérdidas, no tienen en consideración el

efecto de la profundidad de penetración mostrada en la gráfica 4-9, donde la línea azul

representa la longitud de penetración y la línea roja el ancho de la lámina.


Gráfica 4-9: Profundidad de penetración para una lámina metálica.

Se observó que la pendiente con la cual decaen las pérdidas a altas frecuencias es muy

similar a la pendiente de la profundidad de penetración (aproximación logarítmica con

magnitud de pendiente de -0.023). Teniendo en cuenta que la ecuación (4.1) no

representa adecuadamente las pérdidas para el rango de frecuencia analizada, se optó

introducir dentro de la fórmula el δ. Luego se divide el intervalo de frecuencias en dos

zonas y para cada una obtener una ecuación que represente con la suficiente exactitud

las pérdidas obtenidas por medio de simulaciones. La primera franja está entre 60 Hz y la

frecuencia para la cual la profundidad de penetración es 3/4 partes del ancho de la

lámina. La segunda y última zona está definida desde el límite superior de la primera

zona hasta los 2 MHz.

Por ende el resultado sería una función definida a trozos definida de la siguiente manera:

→

→

En la gráfica 4-10 se muestra el resultado de utilizar esta función a trozos para el caso en

el que la permeabilidad inicial μr es de 500, y el ancho de la lámina b es de 0.27mm.


Gráfica 4-10: Comparación pérdidas simuladas y pérdidas calculadas analíticamente

(4.2) y (4.3)

Se calcularon las pérdidas para tres laminaciones y tres permeabilidades relativas, los

coeficientes de correlación de las curvas obtenidas analíticamente y las obtenidas por las

simulaciones se muestran en la tabla 1.

Tabla 4-1: Coeficientes de correlación pérdidas obtenidas por la simulación y pérdidas

utilizando las fórmulas (4.2) y (4.3)

μr=100 μr=500 μr=1000

0.23 mm 0.9887 0.9915 0.9867

0.27 mm 0.9980 0.9687 0.9964

0.30 mm 0.9986 0.9983 0.9825

Los valores obtenidos de correlación son muy cercanos a 1, luego las ecuaciones (4.2) y

(4.3) describen adecuadamente el comportamiento de las pérdidas en la frecuencia.

5. Conclusiones y recomendaciones

5.1 Conclusiones

En este trabajo de grado se determinó el comportamiento de las pérdidas del núcleo de

un transformador de distribución para análisis FRA, en función de la geometría y

propiedades del material.

Se estableció una ecuación que describe el comportamiento de las pérdidas en función

de la frecuencia, con un alto nivel de correlación entre la formulación analítica y las

simulaciones realizadas.

Las pérdidas en el núcleo a niveles de pequeña señal tienen gran dependencia de

características físicas como son la permeabilidad y el espesor de las láminas.

La determinación de pérdidas en el núcleo depende del valor de la permeabilidad inicial y

de la resistividad de las láminas.

La simulación por medio del método elementos finitos (FEM) es una potente herramienta

para el análisis de problemas electromagnéticos en función de la frecuencia.

La simulaciones en FEM 2D es adecuada para el análisis del comportamiento de las

pérdidas en el núcleo, debido a que las simulaciones en 3D requiere altos recursos

computacionales.


5.2 Recomendaciones

Dentro del marco del desarrollo del proyecto de técnicas de diagnóstico en

transformadores de distribución, los proyectos futuros a realizar son:

Modelamiento del transformador de distribución para el análisis de respuesta en

frecuencia.

Para el correcto desarrollo del trabajo anterior es necesario hacer un adecuado

modelamiento de la bobina, es por esto que se propone la realización del siguiente

proyecto.

Caracterización de pérdidas en los devanados del núcleo del transformador de

distribución

A. Anexo: Método de elementos finitos (FEM)

Este método nos permite modelar los campos eléctricos y magnéticos de las láminas del

transformador en estado estacionario. Para determinar el campo eléctrico dentro del

núcleo del transformador es necesario encontrar la distribución de potencial dentro de la

región correspondiente. Este potencial u está gobernado por la ecuación de Laplace,

De la misma forma podemos utilizar el método para poder resolver la ecuación de

Poisson, con el cual podemos modelar campos magnéticos:

El análisis de elementos finitos de cualquier problema requiere básicamente cuatro

pasos1,2:

Discretizar la región solución en un número finito de subregiones o elementos.

Derivar las ecuaciones que rigen un elemento típico.

Montaje de todos los elementos en la región solución.

Solucionar el sistema de ecuaciones obtenido.

1 S.J. Amodeo., “Modelado de Sistemas Electromagnéticos por el método de elementos

finitos”, Revista Argentina de trabajos Estudiantiles” Vol. I –N° 1- Febrero 2006.

2 Sadiku, Matthew N.O., “A Simple Introduction to Finite Element Analysis of

Electromagnetic Problems”, IEEE TRANSACTIONS ON EDUCATION, Vol. 32 (2), (1989).


A continuación se explican brevemente cada uno de los pasos anteriores:

DISCRETIZAR LA REGIÓN SOLUCIÓN EN UN NÚMERO FINITO DE SUBREGIONES

O ELEMENTOS.

Se divide la región solución en un número finito de elementos como se muestra en la

figura 1, es necesario que los elementos no se superpongan.

La forma más común de aproximación para Ve dentro de un elemento está dada por

Para elementos triangulares y

Para elementos cuadrilaterales. El potencial Ve en general es diferente de cero dentro del

elemento e y cero fuera del elemento e. Se prefiere el utilizar elementos triangulares. Hay

que tener en cuenta que asumimos una variación lineal de potencial dentro del elemento

triangular como en (A.3) es la misma como asumir que el campo eléctrico es uniforme

dentro del elemento.

ECUACIONES QUE RIGEN A LOS ELEMENTOS

Considere un elemento triangular típico como se muestra en la figura A-1

El potencial Ve1, Ve2 y Ve3 en los nodos 1,2 y 3 respectivamente, son obtenidos usando

(A.2)

[

] [

] [ ]

A. Anexo: Método de elementos finitos (FEM) 59

Figura A-1: elemento triangular típico, la numeración local de los nodos 1-2-3 debe estar

en el sentido anti horario como se indica3

Los coeficientes a, b, y c son determinados de la ecuación (A.5) como:

[ ] [

]

[

]

Solucionando (A.6) y sustituyendo su resultado en (A.2) se obtiene,

[ ]

[

] [

] ( 7)

La expresión (A.7) es de gran importancia porque nos permite encontrar el valor de

potencial V en cualquier punto (x,y). Además este valor sólo depende de los potenciales

conocidos Ve1, Ve2 y Ve3, y de las coordenadas de los vértices del triángulo. Otra forma de

expresar la ecuación (A.7) es de la siguiente manera:

∑

Donde

[ ]

[ ]


[ ]

Y A es el área del elemento e. Las expresiones dadas en (A.9) cumplen con las

siguientes propiedades:

( ) [

∑

La energía asociada por unidad de longitud asociada con el elemento e está dada por

∫ | |

∫ | |

Donde se asume una región solución de dos dimensiones libre de carga (ρs = 0),

sustituyendo (A.8) en (A.11) obtenemos

∑∑ [∫ ]

Se define la matriz de rigidez,

[ ]

[

]

Donde los elementos Cij(e) se calculan como,

∫

Con esto se puede escribir (A.12) en forma matricial


[ ]

[ ][ ]

Donde [ ] denota la transpuesta de la matriz de potenciales

[ ] [

]

MONTAJE DE TODOS LOS ELEMENTOS EN LA REGIÓN SOLUCIÓN

Al tener las ecuaciones que rigen cada elemento se procede a unir todos los elementos

de la región solución, de esta forma la energía total es calculada como la suma de las

energías de cada elemento.

∑

[ ] [ ][ ]

Donde

[ ] [

]

n es el número de nodos, N es el número de elementos, y [C] se llama la matriz global de

coeficientes, para entender como se obtiene [C] a partir de la matriz de rigidez dada en

(A.13) se procede a hacer el montaje de dos elementos.

Al unir dos elementos triangulares mostrados en la figura A-2(a) se obtiene una

estructura compuesta como se muestra en la figura A-2(b) debido a que cada triángulo

desconectado tiene tres potenciales de nodo, los dos elementos separados tienen seis

potenciales de nodo asociado. Estos pueden describirse por un vector columna:


[

]

Donde el subíndice des indica que los elementos son considerados desconectados

eléctricamente.

Figura A-2: Unión de dos elementos: (a) Par de elementos eléctricamente

desconectados. (b) Los mismos elementos desconectados y reenumerados.

La energía total de estos dos elementos es

[ ]

[ ][ ]

Donde

[

]

Es la matriz Dirichlet del par de elementos desconectados. Para obtener una expresión

que me permita hallar la energía almacenada cuando los elementos están


desconectados partimos de que se debe cumplir la condición de continuidad del potencial

en los vértices donde se unen los dos elementos, de esta forma en la unión de los dos

elementos mostados en la figura A-2(b) se parte de que los nodos 1 y 6 de la figura A-

2(a) deben tener el mismo potencial, igualmente se debe cumplir este requerimeinto para

los nodos 2 y 4. Ahora se procede por medio de una matriz [D] a determinar una

expresión que permita obtener una relación entre los potenciales de los elementos

desconectados y conectados

[ ] [ ][ ]

Para este caso en particular (A.22) queda de la siguiente manera

[

]

[

]

[

]

Sustituyendo (A.22) en (A.20), la energía para el caso conectado queda

[ ]

[ ][ ]

Donde

[ ] [ ] [ ][ ]

Representa la matriz del problema conectado. Para el caso expuesto [Ccon] equivale a

[ ]

[

]


De (A.26) se puede observar que para construir la matriz [Ccon] no es necesario crear la

matriz [D], sino que se deben sumar los elementos correspondientes.

SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES OBTENIDO

Teniendo en cuenta el principio de mínima energía el cual satisface las ecuaciones de

Laplace (o Poisson), se requiere que las derivadas parciales de W con respecto a cada

nodo de potencial sean cero

Donde n es el número de nodos de la región solución. Para dar solución al problema se

parte del hecho que se conoce el potencial en algunos nodos de la malla, por lo tanto se

fracciona el vector de potenciales entre aquellos libres de variar y los que son

preestablecidos. La ecuación (A.17) queda

[ ] [

] [

]

Donde los subíndices f y p, se refiere a los nodos de potenciales libres y fijos. Dado que

los valores de Vp son conocidos, sólo es necesario derivar con respecto a Vf , de esta

manera al aplicar la expresión de (A.27) a (A.29)

[ ] [

]

O

[ ][ ] [ ][ ]

Esta ecuación puede ser escrita como

[ ][ ] [ ]

O


[ ] [ ] [ ]

Donde [V] = [Vf], [A]= [Cff], [B]= -[Cfp][ [Vp]. De esta manera podemos calcular los

potenciales por medio de la técnica de eliminación gaussiana.

B. Anexo: Análisis de respuesta en Frecuencia (FRA)

El análisis de respuesta en frecuencia (FRA por sus siglas en inglés) es una técnica muy

útil para el diagnóstico de fallas en los transformadores. Esta consiste en la medición de

la impedancia de un devanado del transformador sobre un rango de frecuencia para

luego comparar los resultados con una referencia. Las diferencias pueden indicar daños

en el transformador, que se puede investigar más a fondo con el uso de otras técnicas o

por una inspección interna.

Hay dos formas de implementar la amplia gama de frecuencias necesarias, ya sea

inyectando un impulso en el devanado o por medio de una señal sinusoidal con barrido

en frecuencia. Entre las ventajas que presenta el método por inyección de impulso es

que los tiempos de medición son más cortos. Mientras que el método de barrido en

frecuencia presenta las siguientes ventajas:

Mejor relación de señal a ruido.

Igual, o casi igual, la exactitud y precisión en todo el rango de medida.

Menor equipo de medición para hacer las pruebas.

Inyección de una amplia gama de frecuencias.

MÉTODO DE MEDIDA

El método de barrido en frecuencias requiere de un analizador de redes para generar la

señal, tomar las medidas, y manipular los resultados. El circuito de medida básico se

muestra en la figura B-1.


Figura B.1: Circuito de medida [14]

La impedancia de prueba, en este caso ZT, la impedancia de prueba estandarizad, en

este caso la impedancia de los cables de medida Zs. La señal inyectada S, le medida de

referencia es R y la medición de prueba es T.

Existen diferentes métodos para presentar los resultados, en este caso se usa la forma

módulo-argumento.

El módulo es definido como:

(

)

O su equivalente,

(

)

El argumento es definido como

(

)

Las curvas se verán modificadas a bajas frecuencias (menores a 5 kHz) cuando se

presenta un problema en el núcleo.

Cambios menores a 3 dB comparados con la línea de base se pueden considerar

normales y dentro de la tolerancia.

De 5 Hz a kHz cambios de +/- 3 dB pueden indicar un bobinado abierto o cortocircuitado,

magnetismo residual o movimientos en el núcleo.

B. Anexo: Análisis de respuesta en frecuencia (FRA) 69

De 50 Hz a 20 kHz cambios de +/- 3 dB puede indicar deformaciones dentro de un

bobinado3.

MÉTODOS DE COMPARACIÓN

La comparación se hace superponiendo las gráficas de respuesta en frecuencia y mirar

las diferencias como por ejemplo:

Cambios en la forma de la curva.

Creación de nuevas frecuencias de resonancia o eliminación de las existentes.

Grandes cambios en las frecuencias de resonancia existentes.

3 CHEDID, Sergio Alejandro. Análisis de Respuesta en Frecuencia (FRA) para

Evaluación de desplazamientos y Deformaciones de devanados en Transformadores de

Potencia. 5to Congreso Uruguayo de Mantenimiento, Gestión de Activos y Confiabilidad

URUMAN 2008 - Montevideo – Uruguay

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http://www.google.com.co/search?hl=es&tbo=p&tbm=bks&q=inauthor:%22%C3%89tienne+Du+Tr%C3%A9molet+de+Lacheisserie%22&source=gbs_metadata_r&cad=7


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analysis", Electrical Insulation Magazine, IEEE, On page(s): 16 - 22, Volume: 19 Issue:

2, March-April 2003

caracterizaciÓn de pÉrdidas en el nÚcleo de transformadores de distribuciÓn en el dominio de la...

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