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Apuntes de la Asignatura de Control Digital.
Clave: ETF-1007
Caracterización de la asignatura:
Esta asignatura tiene aportaciones en los siguientes puntos del perfil del Ingeniero en Electrónica:
En el aspecto profesional:
Dar tratamiento a señales discretas en el tiempo mediante filtros digitales.
Conocer las limitaciones de la representación digital de datos debido a la precisión numérica
inherente de los sistemas digitales.
Dominar el diseño de sistemas de control digital, en particular los sistemas que se emplean
en la industria regional.
En el aspecto personal
Incentivar la solución de problemas usando las herramientas de trabajo disponibles.
Crear una disciplina de auto aprendizaje que le permita buscar soluciones a los problemas.
En el aspecto social
Crear una actitud de trabajo orientada al equipo.
Fomentar el liderazgo de los estudiantes.
Intención didáctica:
Se organiza el temario, en cuatro temas, agrupando los contenidos conceptuales de la asignatura
en los dos primeros temas y se incluyen dos temas que se destinan a la aplicación de los conceptos
abordados en ellos.
El primer tema contiene los conceptos matemáticos básicos para abordar el análisis de sistemas
discretos, así como ver de manera general el proceso de muestreo y reconstrucción de señales que
tiene que ver con la manera de obtener señales discretas a partir de sistemas continuos.
En el segundo tema se analizan los sistemas discretos, su respuesta, representación, etc., para dar
pie al análisis de estabilidad y el diseño de controladores clásicos y filtros digitales que son
abordados en el tercero y cuarto tema.
Se sugiere una actividad integradora, en el tercero y cuarto tema, que permita aplicar los conceptos
estudiados. Esto permite dar un cierre a la materia mostrándola como útil por sí misma en el
desempeño profesional, independientemente de la utilidad que representa en el tratamiento de
temas en materias posteriores de la especialidad.
El enfoque sugerido para la materia requiere que las actividades prácticas promuevan el desarrollo
de habilidades para la experimentación, tales como: identificación, manejo y control de variables y
datos relevantes; planteamiento de hipótesis; trabajo en equipo; asimismo, propicien procesos
intelectuales como inducción-deducción y análisis-síntesis con la intención de generar una actividad
intelectual compleja; por esta razón varias de las actividades prácticas se han descrito como
actividades previas al tratamiento teórico de los temas, de manera que no sean una mera
corroboración de lo visto previamente en clase, sino una oportunidad para conceptualizar a partir
de lo observado. En las actividades prácticas sugeridas, es conveniente que el profesor busque sólo
guiar a sus alumnos para que ellos hagan la elección de las variables a controlar y registrar. Para que
aprendan a planificar, que no planifique el profesor todo por ellos, sino involucrarlos en el proceso
de planeación.
La lista de actividades de aprendizaje no es exhaustiva, se sugieren sobre todo las necesarias para
hacer más significativo y efectivo el aprendizaje. Algunas de las actividades sugeridas pueden
hacerse como actividad extra clase y comenzar el tratamiento en clase a partir de la discusión de los
resultados de las observaciones. Se busca partir de experiencias concretas, cotidianas, para que el
estudiante se acostumbre a reconocer los fenómenos físicos en su alrededor y no sólo se hable de
ellos en el aula.
Es importante ofrecer escenarios distintos, ya sean construidos, artificiales, virtuales o naturales.
Competencia(s) a desarrollar.
Competencia(s) específica(s) de la asignatura:
Comprende las herramientas empleadas en los sistemas discretos para su análisis.
Analiza la respuesta de sistemas discretos ante señales de estímulo para determinar la
estabilidad y la selección de controladores.
Diseña, Analiza e implementa controladores discretos de sistemas físicos mediante técnicas
de control clásico para instrumentación y control en el sector industrial.
Diseña, Analiza e implementa filtros digitales mediante técnicas de diseño recursivas
apoyados en software para instrumentación y control en el sector industrial.
Competencias previas:
Conoce los conceptos básicos de control, para ser utilizados como base previa en el
aprendizaje de controladores discretos.
Conoce los fundamentos sobre estabilidad de sistemas de control de lazo cerrado, para
hacer la extensión hacia el caso discreto.
Construye graficas de respuesta en frecuencia y el tiempo para analizar sistemas de control.
Conoce el diseño de controladores clásico, para ser implementados en su versión discreta.
Representa sistemas dinámicos en variables de estado, analizando su observabilidad y
controlabilidad, para ser aplicados en sistemas con retroalimentación de estados.
Conoce y maneja sensores y actuadores, para construir prototipos con controladores
discretos.
Utiliza periféricos tanto de un sistema mínimo a base de microcontrolador
microprocesador, como de una computadora personal.
Temario:
1. Fundamentos matemáticos de sistemas discretos.
1.1. Introducción a sistemas de control digital.
1.2. Ecuaciones en diferencias causales.
1.3. Transformada Z.
1.4. Transformada Z inversa.
1.5. Muestreo y reconstrucción de señales.
2. Análisis de Sistemas discretos.
2.1. Función de transferencia.
2.2. Expansión de funciones de transferencia en diagramas de bloques.
2.3. Respuesta transitoria y permanente (primer y segundo orden).
2.4. Representación en espacio de estados.
2.5. Identificación paramétrica de funciones de transferencia.
3. Diseño de controladores.
3.1. Análisis de estabilidad (Criterios de estabilidad).
3.2. Controladores discretos (P, PI, PD, PID).
3.2.1. Diseño directo.
3.2.2. Emulación.
3.3. Introducción a los sistemas de control en espacio de estados.
3.4. Introducción a la Lógica Difusa (Fuzzy).
3.4.1. Postulados de la lógica difusa.
3.4.2. Métodos de Inferencia.
3.4.3. Controlador estándar de lógica difusa.
3.4.4. Controlador difuso con efecto integrador.
3.4.5. Sintonización de controladores difusos.
3.5. Introducción a las redes Neuronales Artificiales.
3.5.1. Redes Neuronales estáticas monovariables.
3.5.2. Redes Neuronales estáticas multivariables.
3.5.3. Redes Neuronales recurrentes monovariables.
3.5.4. Redes neuronales recurrentes multivariables.
4. 4 Filtros Digitales.
4.1. Introducción a los filtros digitales.
4.2. Filtros digitales IIR
4.3. Filtros digitales FIR.
4.4. Aplicaciones.
1. Fundamentos matemáticos de sistemas discretos.
1.1. Introducción a sistemas de control digital.
El control digital.
Los sistemas de control modernos se realizan mediantes la utilización de las computadoras, las
cuales utilizan un leguaje Digital, es decir un sistema de señales Discretas, son interpretadas por los
microprocesadores instalados en las computadoras modernas, un sistema de control se puede
mostrar en la siguiente Figura 1-1.
Figura 1-1. Diagrama de boques de un sistema de control digital.
Para el caso del control digital se puede observar que sólo está conformado por un circuito de
Muestro y Retención [S/H] y un convertidor Analógico-Digital [A/D] en la primera parte, después se
tiene una computadora digital construida con un
Forma de Señales en un sistema de control digital.
El sistema de control digital maneja varios tipo de señales, en la entrada se tiene una señal continua,
la cual representa la excitación de entrada, para alimentar al sistema, después se hace pasar a un
circuito de muestreo y retención [S/H] y a un convertidor analógico digital [A/D], se obtiene una
señal digital que a su vez pasa por la computadora digital para procesar los datos por medio de un
algoritmo y produce nuevas secuencias de números, en general un número binario consiste en ocho
o más dígitos binarios, en seguida se hace pasar por un convertidor digital analógico [A/D] para
obtener un señal de tren de pulsos, el reloj en tiempo real de la computadora sincroniza los eventos,
se hace pasar por un circuito retenedor y así obtener una señal escalonada para alimentar al
actuador que a su vez pasará por la planta o proceso para generar la salida del sistema, éste está en
forma de retroalimentación donde se observa al sistema por medio de un transductor, esta
explicación se puede observar en la Figura 1-2.
Figura 1-2. Diagrama de bloques de un sistema de control digital que muestra las señales.
Se realiza entonces una operación de transformación de señales en tiempo continuo en datos de
tiempo discreto se le denomina muestreo o desratización. La operación inversa, de transforma los
datos en tiempo discreto a una señal continua se conoce como retención de datos, se utilizan varias
técnicas para realizar la retención, en seguida se da un circuito que puede realizar la retención de
datos.
Figura 1-3. Amplificador muestreador y retenedor básico.
La combinación del circuito de la Figura 1-3 con el convertidor A/D se puede considerar como un
interruptor que se cierra instantáneamente para dejar pasar la información en cada intervalo de
tiempo T [periodo de muestreo] y genera una secuencia de números en código binario. La
computadora digital procesa los datos en código binario y genera una secuencia deseada de nuevos
números en código binario, el proceso de conversión de digital a analógico [A/D] se le conoce como
decodificación.
1.2. Ecuaciones en diferencias causales.
En los sistemas discretos se emplea señales digitales, las cuales se deben obtener por medio de un
periodo de muestreo, aplicando los diferentes teoremas de muestreos existentes, para la
+
-
+
-SW
CH =1000 pF
Vent
+15 V
--15 V
+15 V
--15 V
A A/D
muestreador/retenedor
Control
manipulación de los datos digitales se representan en su forma matemática las cuales se conocen
como Ecuaciones en Diferencia, su representación es de la siguiente forma:
5 1 2 6 [ 3] x 7 1y n y n y n y n n x n
Esta primera ecuación describe a un sistema invariante en el tiempo.
2 1 2 xny n n y n e y n n n
Y esta segunda ecuación describe a un sistema variante en el tiempo.
En su forma general se puede escribir como:
1 2 0 1 21 2 1 2k my n a y n a y n a y n k b x n b x n b x n b x n m
Donde: k ≥ m, los valores de la k-nadas de a y las m-nadas de b son coeficientes constantes, las y[n]’s
representan las salidas del sistemas y las x[n]’s representan las entradas, más adelante se verán
para la determinación de las funciones de transferencias de los sistemas discretos esta forma de
representación.
En cuanto a la nomenclatura, se establecen las siguientes convenciones. Toda señal o función
discreta la denotaremos por una literal, cuyo dominio será el conjunto de los números enteros
D = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…} y su imagen será el conjunto de los números reales R o complejos
C:
: of D C
y f n
A menos que se indique lo contrario, la variable n representará al tiempo discreto, es decir, indicará
instantes de tiempo en el que se evalúa una función; es porque se está estudiando sistemas
dinámicos y su comportamiento en el tiempo.
Señales discretas básicas.
Dentro de los sistemas de control discreto se tienen señales de entrada a dichos sistemas, sin
embargo, su representación está dada de la siguiente forma.
0 0
2 3 0n
nx n
n n
En la siguiente tabla se evalúa con respecto al valor de n y su forma gráfica de la señal x[n].
Tabla 1-1. Representación de la señal discreta con valoración y gráfica.
n x[n] Grafica
–2 0
–1 0
0 1
1 5
2 10
3 17
4 28
5 47
6 82
7 149
8 280
9 539
10 1054
En los sistemas de control digital se utilizan señales discretas elementales para verificar la respuesta
del proceso a controlar, las se presentaran a continuación:
Impulso unitario discreto [n]. La función impulso unitario discreto [n] se define como:
0 0
1 0
nn
n
Esta señal es más comúnmente utilizada en los sistemas discretos, también es utilizada para ver la
respuesta en tiempo transitorio de los sistemas en el dominio del tiempo continuo. Donde en las
competencias previas al control digital se manejó en dichos sistemas.
0
200
400
600
800
1000
1200
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x[n]
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(n)
Si la función [n] está retrasada 2 unidades, entonces se define como:
0 2
21 2
nn
n
En sistemas que se verán más adelanta se usará la señal formada por un tren de impulso I[n] definida
por:
0i
I n n i
Escalón unitario discreto. La función escalón unitario discreto u[n] se define como sigue:
1 0
0 0
nu n
n
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(n-2)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
I(n)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
u(n)
Por definición, se puede observar que un escalón unitario puede considerarse como un tren de
impulsos unitarios I[n]. El escalón unitario está relacionado con el impulso unitario [n] por medio
de la diferencia inversa del primer orden, como se describe a continuación:
1u n u n u n
n
Función rampa unitaria discreta. La función rampa unitaria discreta r[n] está definida como:
0
0 0
n nr n
n
Función coseno discreto. La función coseno discreto se genera a partir de una función coseno
continuo:
cos
cos 2
y t A t
A ft
Donde A es la amplitud, es la velocidad angular en radianes por segundo rad/s, f es la frecuencia
en Hertz (ciclos/s Hz) y es el desfasamiento (normalmente en grados). Si esta señal la pasamos en
un proceso de muestreo en forma periódica, es decir, cada T segundos, obtenemos una señal
cosenoidal discreta que resulta:
cos cos
cos 2 cos 2
y nT A nT A n
A fnT A Fn
Donde:
= T es la velocidad angular discreta, medida en radianes por muestra.
F = fT es la frecuencia discreta medida en ciclos por muestra.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
r(n)
cos 0
0 0
n ny n
n
En la figura anterior se muestra un ejemplo de una señal cosenoidal con amplitud unitaria y una
velocidad angular de /4 rad/muestra.
Las propiedades de las señales senoidales discretas difieren de su contraparte continua en aspectos
de periodicidad y de la frecuencia máxima alcanzable. En seguida se discuten algunas de estas
propiedades que serán de utilidad más adelante.
i. Periodicidad. Para el caso discreto, hay dos propiedades importantes relacionadas con la
periodicidad del coseno discreto; éstas son:
a. Una señal senoidal en tiempo discreto.
cos 2y n A fn
Es periódica si F es un número racional.
b. Dos señales senoidales en tiempo discreto cuyas frecuencias están separadas
2 rad/s o un múltiplo entero son idénticas.
ii. Máxima frecuencia posible. Para el caso discreto, una señal senoidal está limitada en
cuanto a la frecuencia máxima que se puede tener, pues si = , entonces:
1 2cos
1 2 1
n in
n i
Es una sucesión alternante. Si > , entonces podemos escribir = + y:
cos cos 1 cosn
n n n n
La cual es una señal periódica pero no una senoidal, como se muestra a continuación
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 2 4 6 8 10 12
y(n)
a) = /5 b) = 1.2
Función exponencial discreta. La función exponencial discreta se define como:
0
0 0
na n
y nn
Algunas propiedades importantes de la función exponencial discreta son:
i. Convergencia de la sucesión:
si 10
si 11lim
si -1no converge
si 1diverge
n
n
a
aa
a
a
ii. Propiedad exponencial. Considérese la siguiente propiedad:
11 n ny n a a a ay n
Por lo tanto,
1 0,y n ay n n
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25
cos(n)
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 5 10 15 20 25
cos(n)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
an
La integral y la diferencia en señales discretas.
En el tiempo continuo de una señal x(t) es la señal t
x T dT
. Cuyo valor en cada instante t es el
área acumulada bajo la curva x(T) de – ∞ a t.
La derivada de una señal continua x(t) es la señal en el tiempo dx t
dt si dx(t)/dt existe para todo t.
entonces td
x T dTdt
es x(t); la cual existe solo cuando hay cambios en
t
x T dT
.
En una señal discreta x[n], el equivalente a la notación de integral, es la sumatoria en el tiempo
discreto:
n
k
x k
En los sistemas discretos, las operaciones matemáticas corresponden a la diferencia en el tiempo
discreto son:
i. La Diferencia Directa. La operación se describe como:
1x n x n x n para toda n
En forma similar, la diferencia directa de segundo orden se deduce que es:
2
1
1
2 2 1
x n x n
x n x n
x x x n
x n x n x n
ii. Diferencia Inversa. Así mismo podemos definir la diferencia inversa de primer orden de una
función x[n] como:
1x n x n x n para toda n
Para este caso, la diferencia inversa de segundo orden se puede demostrar que está dada
por la expresión:
2
2 1 2
x n x n
x n x n x n
De esta misma manera, podemos encontrar expresiones para diferencias de orden superior,
aplicando estas definiciones.
Ejemplo: Encontrar la Integral, la diferencia directa y la diferencia inversa, de la siguiente señal
discreta:
0 1
2 3 1n
nx n
n n
n x[n] x[n] x[n] x[n]
-1 -1 -1 2 -1
0 1 0 2.5 2
1 3.5 3.5 2.75 2.5
2 6.25 9.75 2.875 2.75
3 9.125 18.875 2.9375 2.875
4 12.0625 30.9375 2.96875 2.9375
5 15.03125 45.96875 2.984375 2.96875
6 18.015625 63.984375 2.984375
A continuación se presentan las respectivas gráficas para cada caso de la señal x[n] = 2–n + 3n.
a) Grafica de la señal x[n] b) grafica de la sumatoria x[n]
c) Grafica de la diferencia directa x[n] d) grafica de la diferencia inversa x[n]
-5
0
5
10
15
20
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x[n]
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x[n]
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x[n]
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x[n]
Propiedades de las señales discretas.
Escalado en Magnitud: el escalado en magnitud de señales continuas y discretas equivalen a la
multiplicación de la señal por otra señal cuya magnitud es constante. La cual se puede expresar de
la siguiente forma.
2 3nx n n
x n x n
= señal discreta
En concordancia con la convención de sistemas discretos no se define el escalado en tiempo de
señale discretas, en realidad son un conjunto de valores que pueden ser obtenidos o calculados en
iguales o diferentes lapsos de tiempo; pero, en general, no en instantes arbitrarios.
Desplazamiento de señales: el corrimiento o traslado de una señal discreta x[n] se hace
reemplazando a n por n+k; k es un numero entero positivo o negativo, k positiva adelanta la señal u
k negativa atrasa la señal.
Ejemplo. Sea la señal de tiempo discreto descrita por la ecuación siguiente:
0 1
2 5 1n
nx n
n
La cual se afecta por una k = 2, entonces:
1
4
0 32
2 5 3n
nx n
n
a) x[n] =2–n + 5 b) x[n + 2] = (1/4) 2–n +5
Unidad de retraso. Una unidad de retraso es un dispositivo cuya salida es una versión retrasada de
la señal de entrada.
Predictor. Un predictor es un sistema, teórico, que a su salida produce una versión adelantada de
su señal de entrada.
7.000
6.0005.500
5.250 5.125
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2 3 4
x[n]
7.000
6.0005.500
5.250 5.125
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-4 -3 -2 -1 0 1 2
x[n+2]
Transposición de señales. La traspuesta de una señal discreta se encuentra reemplazando a la
variable independiente n por –n; y en un sistema continuo a t por –t. el concepto es puramente
matemático.
Considerando la señal discreta:
0 1
2 5 1n
nx n
n
Tiene su traspuesta como:
0 1
2 5 1n
nx n
n
Solución de Ecuaciones en Diferencia.
Una vez que tenemos un modelo discreto por medio de las ecuaciones de diferencia que describe
un sistema en su forma general:
1 2 0 1 21 2 1 2k my n a y n a y n a y n k b x n b x n b x n b x n m
Donde k ≥ m, Sujeto a condiciones iniciales
1 , 2 , , 0 , 1 , 2 , , 0y k y k y x m x m x
Es necesario obtener su solución, es decir, se debe encontrar una función y[n] que, al sustituirse en
el modelo, resuelva la ecuación resultante conociendo la señal de entrada x[n].
Existen dos formas de obtener la solución y[n]: una de forma numérica (solución paso a paso) y otra
de forma analítica (ecuación característica).
Solución numérica o paso a paso: se requiere conocer las condiciones iniciales y la señal de entrada
y calcular a cada instante la ecuación que define al sistema; con este método se obtiene la solución
en forma tabular, la cual se puede graficar posteriormente. Esta solución se puede obtener por
medio de algunas herramientas informáticas como es el Excel, Matlab y LabVIEW.
7.000
6.0005.500
5.250 5.125
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2 3 4
x[n]
5.125 5.2505.500
6.000
7.000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-4 -3 -2 -1 0 1 2
x[-n]
Ejemplo: Sea el sistema representado mediante la ecuación de diferencia:
1 2 2 1 2 2y n y n x n x n y n y n x n x n
Donde: 0 0
0
nx n
n n
y[0] = 2
Por lo que al ir sustituyendo valores con la condición inicial y el valor de la entrada se obtiene lo
siguiente:
1 2 2
1 1 0 1 2 1 1
2 2 1 2 2 0 3
3 3 2 3 2 1 2
4 4 3 4 2 2 6
y n y n x n x n
n y y x x
n y y x x
n y y x x
n y y x x
Por medio de Excel
n y[n] Grafica
0 2
1 -1
2 3
3 2
4 6
5 5
6 9
7 8
8 12
9 11
10 15
Forma analítica o ecuación característica: La base de solución es la función exponencial.
n
at anT aT ne e e con = eaT donde t = nT y T es el periodo de muestreo.
Es decir que, a partir de una función exponencial continua, se obtiene una función exponencial
discreta. Entonces se supone que la función exponencial discreta pudiera resolver una ecuación
discreta lineal.
Para el estudio de la solución analítica de una ecuación de diferencia lineal de orden k en dos partes:
caso homogéneo y solución particular.
2
-1
32
65
98
1211
15
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y[n]
a) Caso Homogéneo: Una ecuación en diferencia de orden k y con coeficientes constantes tiene
esta forma:
1 1 0ky n a y n a y n k
La propuesta fundamental es que la solución y[n] sea de la forma:
ny n
Donde es un número complejo y sustituyendo en la ecuación de diferencia original se obtiene:
1 2
1 2 0n n n n k
ka a a
Al dividir entre n:
1 2
1 2
1 2
1 2
1 0
0
k
k
k k k
k
a a a
a a a P
Donde P(), se le denomina polinomio característico cuyas raíces {i | i = 1,…,k, P(i) = 0} así
obtenemos k soluciones posible, la suma de éstas soluciones es la ecuación característica de tal
forma que:
1 2 ky n y n y n y n
Donde:
1 1 1
2 2 2
n
n
n
k k k
y n C
y n C
y n C
Sustituyendo quedará:
1 1 2 2 0n n n
k ky n C C C
Por lo tanto la solución homogénea de la ecuación en diferencia se puede expresar como:
1
kn
h i i
i
y n C
Donde Ci son constantes que dependen de las condiciones iniciales del modelo. Se puede demostrar
que estas soluciones son únicas para un determinado conjunto de condiciones iniciales.
Hay cuatro casos posibles en que se pueden presentar las soluciones n
i . A continuación
presentamos estos casos.
Caso No. 1: Todas las raíces i son diferentes y reales. Para este caso se tiene que:
1
kn
h i i
i
y n C
Con P(i) = 0, i = 1,…, n.
Ejemplo: Encuentre la solución de la ecuación en diferencia
3 1 2 2 0y n y n y n
Con y[0] = 1, y[−1] = 0.
Solución: El polinomio característico de esta ecuación es de segundo orden, por lo que se representa
como:
2 3 2 1 2 0P
Por lo tanto, la solución de esta ecuación homogénea está dada por
1 1 2 2 1 21 2n nn n
hy n C C C C
A fin de calcular la solución para las condiciones iniciales mencionadas C1 y C2:
1 2
11
1 2
0 1
1 ( 1) 2 0
y C C
y C C
Tenemos que C1 = −1 y C2 = 2, por lo que la solución es
1 1 2 2n n
hy n
Caso No. 2: Al menos una raíz i es raíz múltiple real, y el resto son reales.
Para este caso, i es una raíz múltiple del polinomio característico con multiplicidad r1, por lo que
podemos escribir.
1
1
1
1 1 2
rk k
k k rP a a
Donde hay k raíces, para la raíces n repetidas la solución está representada por
n
i con i = 2,…, k-r1
Y las raíces repetidas tienen el polinomio
1
1
rP
Si tenemos las r derivadas de P1 y evaluamos en 1 tenemos que
1
1
1
1
1
1 1 1 1
22
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
1 1
0
0 1
0 1 2
! 0
r
r
r
r
P r
P r r
P r r r
P r
Entonces la solución homogénea sería
1
1 1
12
1 2 3 1 1 2
r n n n
h r r k ky n C C n C n C n C C
Ejemplo. Encuentre la solución de la siguiente ecuación de diferencia lineal.
5 1 8 2 4 3 0y n y n y n y n
Para cualesquiera condiciones iniciales.
Solución: El polinomio característico de esta ecuación está dado por
2
2 1P
Por lo tanto = −2 es una raíz con multiplicidad 2 y la solución total de la ecuación homogénea
estará dada por:
1 2 3( 2) 1nn
hy n C C n C
Caso No. 3.Hay una raíz i compleja, sin repetición.
Todos los coeficientes de la ecuación de diferencia son reales. Entonces se tiene que si una raíz 1
de P() es compleja, también su conjugado 1 es raíz del polinomio característico, es decir:
1 1 2 2kP
Donde suponemos que 2,…, k−2 son reales. La forma de las soluciones asociadas a las raíces
complejas 1 y 1 son como sigue:
1 1 2 1
n ny n d d
Donde d1 y d2 son números complejos. Podemos expresar a 1 como
1 1
ja bj re
Donde 2 2
1r a b y 1arctan tanb ba a . Por lo tanto
1
cos sen
nnn j
n jn
n
a bj re
r e
r n j n
Las soluciones asociadas a 1 y 1 están dada por
1 1 2 1cos senn ny n C r n C r n
Así, la solución total de la ecuación homogénea está dada por:
1 1 2 1 3 2 2cos senn n n n
h k ky n C r n C r n C C
Ejemplo. Encontrar la solución homogénea de la ecuación de diferencia
3 54 41 2 3 0y n y n y n y n
Sujeta a las condiciones iniciales:
y[0] =1, y[−1] = 0 y y[−2] = −1
Solución: El polinomio característico de esta ecuación está dado por:
3 2 3 54 4P
Cuyas raíces son {(1 + j½),(1 − j½),(−1)}, se encuentra los valores de r1 y de como se explicó
anteriormente, de donde 1 = 1 +j ½ = rej con r = 1.118 y = 26°33’54.18” = 26.565° por lo tanto
la solución de la ecuación homogénea es:
1 2 31.118 cos 26.565 1.118 sen 26.565 1n n n
hy n C n C n C
Las contantes C1, C2 y C3 se obtiene utilizando las condiciones iniciales y dan por resultado:
1 3
1 2 3
1 2 3
0 1
0.8 0.4 0
0.48 0.64 1
C C
C C C
C C C
La solución de este sistema de ecuaciones son estás C1 = 2, C2 = 3/2 y C3 = 1. Finalmente la solución
particular para este conjunto de condiciones iniciales es:
322 1.118 cos 26.565 1.118 sen 26.565 1( 1)
n n n
hy n n n
Caso No. 4. Hay al menos una raíz i compleja repetida.
En este caso existe al menos una raíz compleja y su conjugado, del polinomio característico P(),
repetidos, por lo que la ecuación característica queda de la siguiente forma:
2 2
1 1 2 4kP
Es decir que tanto 1 como su conjugado 1 tienen una multiplicidad de 2. Como se observó en los
casos 2 y 3 anteriores, se demuestra que la solución homogénea cuyo polinomio característico es
P() está dada por:
1 2 3 4 5 5 4cos senn n n n
h k ky n C C n r n C C n r n C C
Con 1 = rej.
Ejemplo. Encuentre la solución homogénea de la siguiente ecuación de diferencia.
2 1 8 3 12 4 5 0y n y n y n y n y n
Solución. El polinomio característico de esta ecuación es
5 4 2
2 2
1 1 2
2 8 12 8P
Cuyas raíces son {(1 + j)2,(1 − j)2,(−2)}, se encuentra los valores de r1 y de como se explicó
anteriormente, de donde 1 = 1 + j= rej con r = 2 y = 45° = 0.785 rad por lo tanto la solución
de la ecuación homogénea es:
1 2 3 4 52 cos 45 2 sen 45 2n n n
hy n C C n n C C n n C
En caso de tener condiciones iniciales específicas, se procederá a calcular los coeficientes Ci.
b) Caso de la solución no homogénea: la ecuación general de un sistema discreto lineal de orden
k con coeficientes constantes no homogénea está dada por:
1 0 11 1 ,k my n a y n a y n k b x n b x n b x n m k m
Donde x[n] es una función que se le denomina como función forzadora o función de entrada. Para
el estudio de sistemas de control se concentra exclusivamente en las funciones x[n] del tipo
mostrado en la tabla siguiente:
Tipo de Función de entrada
Función de Entada
x[n]
Solución particular
yp[n]
Polinomial nk, k entero
1
1 2
k k
kB n B n B
Exponencial an
nBa
Sí “a” no es raíz de la ecuación de diferencia.
1 2
n nB na B a
Sí “a” es una raíz distinta de la ecuación de diferencia. 1 2 3
1 2 3
k n k n k n n
kB n a B n a B n a B a
Sí “a” es una raíz múltiple (k−1) veces de la ecuación de diferencia.
Sinusoidal sen(n) o cos(n) sen ,cosn n
Exponencial y Sinusoidal
rn sen(n) o
r ncos(n) sen , cosn nr n r n
Polinomial y Exponencial
nkan, k entero 0j nn a j k
Polinomial, exponencial y sinusoidal
nkrn sen(n) o
nkrn cos(n) sen , cos 0j n j nn r n n r n j k
Cabe mencionar que todas las funciones mostradas en esta tabla pueden ser soluciones de una
ecuación discreta lineal homogénea de coeficientes constantes.
Finalmente, la solución general a una ecuación discreta lineal de orden k no homogénea está
compuesta por la solución homogénea yh[n] y por la solución particular yp[n]. De esta manera,
h py n y n y n
A continuación se dan unos ejemplos para comprobar la solución completa de ecuaciones de
diferencias.
Ejemplo de ecuación de primer grado: Encontrar la solución completa de la ecuación de diferencia
descrita por:
2 1 1y n y n x n x n
Donde: 2
0 00 1
0
nx n y
n n
Solución. Primero se resuelve la ecuación característica P() para encontrar yh[n]. Donde la
ecuación característica es:
2 0
2
P
Por lo que la solución homogénea queda de la siguiente forma.
2n
hy n A
Ahora se sustituyendo x[n] en la definición de la función de entrada, como sigue.
22
2
2 2
2 2
1 1
1 1
2 1
2 1 2 1
x n x n n n
n n n
n n n
n n n n
Ahora se tiene la solución particular para x[n] = n2, por lo que tomando en cuenta la tabla de la
solución particular para este caso n2 la solución particular es:
2 2
1 2 3n B n B n B
Entonces 2
1 2 3py n B n B n B pero al no tener el elemento cuadrático quedará 2 3py n B n B ,
esta ecuación yp[n] se sustituye por y[n] en la ecuación original, quedando de la siguiente forma:
2 3 2 32 1 2 1B n B B n B n
Se resuelve esta ecuación de la siguiente forma y así obtener los valores de los coeficientes de B2 y
B3:
2 3 2 2 3
2 3 2 2 3
2 2 3
2 2 1
2 2 2 2 1
3 2 3 2 1
B n B B n B B n
B n B B n B B n
B n B B n
Entonces haciendo la asociación de términos como
2
2 3
3 2
2 3 1
B n n
B B
Se resuelve el siguiente sistema lineal
2 3
2 3
3 0 2
2 3 1
B B
B B
Se obtiene los valores de B2 = 2/3 y B3 = 1/9, entonces la solución particular queda como:
2 13 9py n n
Ahora sustituyendo en h py n y n y n queda de la siguiente forma:
2 13 92
ny n A n
Para encontrar el coeficiente A se aplica la condición inicial y se resuelve a continuación.
0
2 13 9
89
0 2 0 1y A
A
Y la solución completa queda de la forma siguiente:
8 2 19 3 92
ny n n
Ejemplo de ecuación de segundo grado: Encontrar la solución completa de la siguiente ecuación de
diferencia.
2 1 6 1 2y n y n y n x n x n
Con
0 0
0 1 1 13 0
n
nx n y y
n
Solución: como se vio en el caso anterior primero encontramos la solución homogénea a partir de
la función característica.
2 6 0P
Donde se tiene que 1 = 2 y 2 = −3, por lo tanto la solución homogénea será:
Ahora se sustituyendo x[n] en la definición de la función de entrada, como sigue.
1 22 3n n
hy n A A
1
1
1 2 3 2 3
3 3 2 3
3 3 2 3 5 3
1 2 5 3
n n
n n
n n n
n
x n x n
x n x n
Ahora se tiene la solución particular para x[n] = (−3)n, por lo que tomando en cuenta la tabla de la
solución particular, para este caso (−3)n y se tiene que (−3) es una raíz de la ecuación, entonces la
solución particular es:
1 23 3 3n n n
B n B
Entonces 1 23 3n n
py n B n B , esta ecuación yp[n] se sustituye por y[n] en la ecuación
original, quedando de la siguiente forma:
2 2 1 1
1 2 1 2 1 22 3 3 1 3 3 6 3 3 5 3n n n n n n n
B n B B n B B n B
Al desarrollar la ecuación los factores B1n(−3)n y B2(−3)n se eliminan de acuerdo a lo siguiente:
1 1 2
1 1 2
1 1 2
9 3 18 3 9 3
3 3 3 3 3 3
6 3 0 3 6 3
n n n
n n n
n n n
B n B B
B n B B
B n B B
Por lo que solo queda el término 115 3 5 3n n
B y al despegar B1 queda que B1 = −1/3,
entonces la solución particular queda:
13 3
n
py n n
Ahora sustituyendo en h py n y n y n queda de la siguiente forma:
131 22 3 3
n n ny n A A n
Para encontrar los coeficientes A1 y A2 se aplica las condiciones iniciales y se resuelve a continuación.
0 00 131 2
1 1 11
31 2
0 2 ( 3) 3 1
1 2 3 3 1
y A A
y A A
Al resolver el sistema lineal se obtiene que A1 = −2/5 y A2 = −4/15, por lo tanto la solución completa
es:
2 4 15 15 32 3 3
n n ny n n
1.3. Transformada Z.
El método de la trasformada Z es un método operacional muy poderoso cuando se trabaja con
sistemas en tiempo discreto. A continuación se definirá la transformada Z de una función del tiempo
o de una secuencia de números.
Al considerar la transformada Z de una función del tiempo x(t), sólo se toman en cuenta los valores
muestreados de x(t), esto es, x(0), x(T), x(2T),…, donde T es el periodo de muestreo.
La transformada Z de una función del tiempo x(t), donde t es positivo, o de la secuencia de valores
x(nT), donde n adopta valores de cero o de enteros positivos y T es el periodo de muestreo, se
define mediante la siguiente ecuación:
0
n
n
X z x t x nT x nT z
Z Z
Para una secuencia de números x(n), la transformada Z se define como:
0
n
n
X z x n x n z
Z
A estas dos definiciones se les denomina como transformada Z unilateral, debido que para n < 0 es
igual a cero en todos sus valores negativos, observe que z es una variable compleja.
Para la transformada bilateral con valores desde −∞ a +∞ donde n = ±1, ±2, ±3,…, ±∞. Por
definición se puede expresar como:
n
n
X z Z x t Z x nT x nT z
o
n
n
X z x n x n z
Z
Para la mayoría de las aplicaciones en ingeniería, la trasformada Z unilateral tendrá una solución
apropiada en forma cerrada en su región de convergencia. Observe que cuando X(z), una serie
infinita de z−1, converge fuera del circulo |z| = R, donde R se conoce como radio de convergencia
absoluta. Al utilizar el método de la transformada Z para resolver problemas en tiempo discreto no
es necesario especificar los valores de z para los cuales X(z) converge.
Observe que la expansión del segundo miembro de la definición unilateral da como resultado
1 20 2 nX z x x T z x T z x nT z
Y analizando la ecuación anterior, se puede determinar que, si es una serie y se puede representar
así misma dependiendo de x(n).
Transformada Z de funciones elementales.
En todos los sistemas de control se utilizan señales de entrada o excitación para lis sistemas, en este
caso volveremos a utilizar éstas señales que son funciones elementales para los sistemas discretos,
se supone que las señales son continuas hacia la derecha, es decir, que toman valores desde x[0]
hacia x[∞], si se presenta en t = 0 una discontinuidad, entonces que x[0] es igual a x[0+].
Transformada Z de un pulso unitario [n].
Sea [n] quien denote el pulso unitario concentrado en n = 0. Dado por
1 0
0 0
nn n
n
Debido a que [n] es cero para toda n, excepto n = 0, la transformada Z es:
0
0
0 1n
n
n z z
Transformada Z de un pulso desplazado.
Dado un entero positivo q, considere el pulso unitarios [n – q] ubicado en n = q. Por ejemplo,
cuando q = 2, entonces el pulso desplazado es [n – 2]
2 2
20
12 0n
n
n z z zz
Para cualquier entero positivo de q, la transformada Z de [n – q] es
0
10n q
qn
n q z zz
Función escalón unitario u[n].
Considere la función escalón unitario de tiempo discreto, u[n], dada por
1 0
0 0
nu n n
n
La transformada Z, U(z) es
1 2 3
0 0
1n n
n n
U z u n z z z z z
La transformada U(z) puede expresarse como una función racional de z: al multiplicar ambos lados
por z – 1, obtenemos
1 2 1 2 31 1 1z U z z z z z z z z
Al dividir ambos lados por (z – 1), obtenemos
1
1
1 1
zU z
z z
Transformada Z de la función rampa r(t).
Considere la función rampa unitaria en el tiempo continuo r(t) definida como.
0
0 0
t tr t t
t
Al realizar el muestreo de ésta señal se obtiene la señal discreta como se presenta a continuación
0
0 0
nT nr nT nT
n
Las magnitudes de los valores muestreados son proporcionales al periodo de muestreo T. La
transformada Z de la función rampa unitaria se puede escribir como
0 0 0
11 2
2 21
2 311
n n n
n n n
n
R z r nT z nTz T nz
z TzT z z z T
zz
Observe que es una función del periodo de muestreo T.
Transformada Z de la función polinomial an.
Dado un número real o complejo a, sea x[n] la función polinomial. Entonces la función x[n] está
definida como
0
0 0
na nx n n
n
Donde a es una constante. Con referencia a la definición de la transformada Z dada anteriormente,
se obtiene
0 0
1 2 2 3 31
n n n
n n
X z x n z a z
az a z a z
Esta transformada también se puede escribir como una función racional de z: al multiplicar ambos
lados por z – a obtenemos
2 2 3 3 2 1 3 2 4 3z a X z z a a z a z a a z a z a z z
Entonces.
1
1
1
zX z
z a az
Transformada Z de la función exponencial e–at.
Considere la función exponencial en el tiempo continuo x(t) definida como.
0
0 0
ate tx t t a
t
Donde a es un número entero positivo que pertenece a los números reales. Al realizar el muestreo
de ésta señal se obtiene la señal discreta como se presenta a continuación
0
0 0
anTe nx nT n
n
Por lo tanto la transformada Z de la función exponencial discreta es
0 0
1 2 2 3 3
1
1
1
1
anT n anT
n n
aT aT aT
aT aT
X z x nT e x n z e
e z e z e z
z
z e e z
Z Z
Transformada Z de la función senoidal sent.
Dada la función en tiempo continuo del seno y sea x(t) = sen t y su definición para t.
sen 0
0 0
t tx t
t
De la misma forma, que para los casos anteriores, se muestrea ésta señal y se obtienen entonces la
función x[nT] como
sen 0
0 0
nT nx nT
n
Por la definición la transformada Z de la función senoidal
0
1 2 3
sen sen
sen sen 2 sen 3
n
n
x nT nT nTz
z T z T z T
Z Z
Pero debido a la complejidad de la serie, para poder encontrar una expresión cerrada a esta serie,
es necesario utilizar la identidad de Euler.
sen2
jx jxe ex
j
Por lo tanto transformada Z se reescribe como
0 02 2 2
j nT j nT j nT j nTn n
n n
e e e ex nT z z
j j j
Z Z
Como se puede observar se divide en dos partes y se tiene entonces dos transformadas Z de la
función exponencial, antes vista, estos hace más sencilla su transformación.
Para el primer término tenemos
10 0
1 1 1 1
2 2 2 1 2
j nTn j nT n
j T j Tn n
e zz e z
j j j e z j z e
Para el segundo término se tiene
10 0
1 1 1 1
2 2 2 1 2
j nTn j nT n
j T j Tn n
e zz e z
j j j e z j z e
Por lo tanto al final se obtiene
2
2
1
2 1 2
1sen
2
21
2 12 1
2
sen sen
2 cos 1 1 2 cos
j T j T
j T j T
j T j T
j T j Tj T j T
z zX z nT
j z e z e
e ez
z e e j
j e ez z e ez z
z T z T
z z T z T z
Z
Transformada Z de la función senoidal cost.
De la misma forma que la función anterior. Dada la función en tiempo continuo del coseno y sea
x(t) = cos t y su definición para t.
cos 0
0 0
t tx t
t
Se realiza su muestreo a un periodo T, se obtiene entonces x[nT]
cos 0
0 0
nT nx nT
n
Por definición de la transformada Z, se tiene lo siguiente
0
1 2 3
cos cos
1 cos cos 2 cos3
n
n
X z x t x nT nT Tz
z T z T z T
Z Z Z
Pero debido a la complejidad de la serie, para poder encontrar una expresión cerrada a esta serie,
es necesario utilizar la identidad de Euler.
cos2
jx jxe ex
Por lo tanto transformada Z se reescribe como
0 02 2 2
j nT j nT j nT j nTn n
n n
e e e ex nT z z
Z Z
Como se puede observar se divide en dos partes y se tiene entonces dos transformadas Z de la
función exponencial, antes vista, estos hace más sencilla su transformación.
Para el primer término tenemos
10 0
1 1 1 1
2 2 2 1 2
j nTn j nT n
j T j Tn n
e zz e z
e z z e
Para el segundo término se tiene
10 0
1 1 1 1
2 2 2 1 2
j nTn j nT n
j T j Tn n
e zz e z
e z j z e
Por lo tanto al final se obtiene
2
2
2
1cos
2
21 1
2 2 1
12 2
2
12 1
2
j T j T
j T j Tj T j T
j T j T j T j T
j T j T
j T j T
j T j T j T j T
z zX z nT
z e z e
z z e ez z e z z e
z e z e z z e e
e ez z
z z e e
z z e e e ez z
Z
2 1
2 2 1 2
cos cos 1 cos
2 cos 1 2 cos 1 1 2 cos
z z T z z T z T
z z T z z T z T z
Propiedades de la Transformada Z.
Multiplicación por una constante. Si X(z) es la transformada Z de x(t), entonces
ax t a x t aX z Z Z
Donde a es una constante.
Para probar esto, observe que, por definición
0 0
n n
n n
ax t ax nT z a x nT z aX z
Z
Linealidad de la transformada Z. La transformada Z posee una propiedad importante: la linealidad.
Esto significa que, si f[n] y g[n] tienen transformada Z, y son escalare, entonces x[n] formada
por una combinación lineal.
x n f n g n
Tiene transformada Z.
X z F z G z
Donde F(z) y G(z) son transformada Z de f[n] y g[n], respectivamente.
La propiedad de linealidad se puede probar refiriéndose a la definición de la Transformada Z como
sigue:
0
0 0
n
n
n n
n n
X z x n f n g n
f n g n z
f n z g n z
f n g n
aF z G z
Z Z
Z Z
Multiplicación por an. Si X(z) es la transformada Z de x[n], entonces la transformada Z de anx[n]
está dada por X(a–1z):
1n za x n X a z X
a
Z
Esto se puede probar como sigue:
1 1
0 0
0
nn n n
n n
n
n
a x n a x n z x n a z X a z
z zx n X
a a
Z
Desplazamiento en el tiempo por la derecha. Que también se le conoce como traslación real en
atraso.
Supóngase que x[n] ↔ X(z). Entonces
1
2 1
1 1
1 1
2 2 1
1 1q q
x n z X z x
x n z X z x z x
x n q z X z x q z x q z x
Observe que si x[n] = 0 para n = −1, −2,…, −q, el último par de transformada se reduce a
qx n q z X z
Para demostrar el primer par de transformada, primero observe que por definición de la
transformada Z,
0
1 1 n
n
x n x n z
Al definir el cambio de índice 1x n en la sumatoria tenemos
1 1
1 0
1
1
1 1
1
1
n n
n n
n
n
x n x n z x n z x
z x n z x
z X z x
Por lo tanto el primer par de transformadas queda demostrado.
Desplazamiento en el tiempo por la izquierda. Que también se le conoce como traslación real en
adelanto.
En contraste con la transformada de Laplace, la transformada Z tiene una propiedad de
desplazamiento por la izquierda, de la siguiente manera. Dada una señal de tiempo discreto x[n] y
un entero positivo q, el desplazamiento de q pasos por la izquierda de x[n], es la señal x[n + q].
Ahora suponga que x[n] ↔ X(z). Entonces,
2 2
1
1 0
2 0 1
0 1 1q q q
x n zX z x z
x n z X z x z x z
x n q z X z x z x z x q z
Para demostrar el primer par observe que
0
1 1 n
n
x n x n z
Al definir el cambio de índice 1n n en la sumatoria tenemos
1
1
1 0
1
0
0
n
n
n n
n n
x n x n z
z x n z z x n z x
z X z x
Multiplicación por n y n2
Si x[n] ↔ X(z), entonces la transformada Z de nx[n] está dada por
d
nx n z X zdz
Y la transformada Z de n2x[n] está dada por
2
2 2
2
d dn x n z X z z X z
dz dz
Para demostrar la primera hay que recordar la definición de la transformada Z:
0
n
n
X z x n z
Si tomamos la derivada de ambos lados respecto z, tenemos
1
0
1 1
0
n
n
n
dX z n x n z
dz
z nx n z
Por lo tanto
0
n
n
dz X z nx n z
dz
Ahora, el lado derecho de la ecuación anterior es igual a la transformada Z de la señal nx[n], y
entonces ésta queda demostrada. Si tomamos la segunda derivada de X(z) respecto a z
demostramos la segunda transformada Z de n2x[n], se deja los detalles al estudiante.
División entre n.
Si x[n] ↔ X(z) entonces
z n
x n x nX zdz
n z n
Z lím
Demostración. Aplicando la definición de la transformada Z, entonces.
1 1
0 0
0 0 0
n n
n nz z z
nn n
zn n nz
n
X zdz x n z dz x n z dz
z
x n x nzx n z z
n n n
x n x n
n n
Z
lím
lím
Se puede generalizar lo anterior, con base en la teoría de variable compleja de (Churchill y Brown,
1988) y resulta
veces
, 0k
z z zk
x n X zdz n
n z
Z
Siempre que las integrales existan.
Teorema de traslación compleja. Si x(t) tiene transformada Z X(z), entonces la transformada Z de
e−atx(t) está dada por X(zeaT). Esto se conoce como teorema de traslación compleja.
Para probar este teorema, observe que
0 0
nat anT n aT aT
n n
e x t x nT e z x nT ze X ze
Z
De esta manera, se ve que al reemplazar z en X(z) por zeaT de la Transformada Z de e−atx(t).
Teorema del valor inicial. Si x(t) tiene la transformada Z X(z) y si el z
X zlím existe, entonces el
valor inicial x(0) de x(t) o x[n] está dado por
0z
x X z
lím
Para probar este teorema, observe que
1 2
0
0 1 2n
n
X z x n z x x z x z
Al hacer z → ∞ en esta última ecuación, se obtiene la expresión de x[0]. De esta forma, el
comportamiento de la señal en la vecindad de t = 0 o n = 0 se puede determinar mediante el
comportamiento de X(z) cuando z = ∞.
Los valores iniciales de x[n] pueden calcularse directamente de X(z) mediante las relaciones
1
0
1 0
0 1 1
z
z
q q q
z
x X z
x zX z zx
x q z X z z x z x zx q
lím
lím
lím
Para demostrar esto último, primero observe que
z−n → 0 cuando z → ∞ para toda n ≥ 1
y entonces,
x[n]z−n → 0 cuando z → ∞ para toda n ≥ 1
por lo tanto, al tomar el límite cuando z → ∞ de ambos lados de
0
n
n
X z x n z
Se obtiene el valor inicial x[0].
Teorema del valor final. Suponga que x[n], donde x[n] = 0 para n < 0, tiene la trasformada Z X(z) y
que todos sus polos de X(z) están dentro del circulo unitario, con la posible excepción de un solo
polo en z = 1. [Ésta es la condición para la estabilidad de X(z), o la condición para que x[n] (n = 0, 1,
2, …) permanezca finita.] Entonces el valor final de x[n], esto es, el valor de x[n] a medida que n
tiende a infinito, puede darse mediante
1
11
n zx n z X z
lím lím
Para probar el teorema del valor final, observe que
0
1
0
1 1
n
n
n
n
x n X z x n z
x n z X z x n z
Z
Z
Por tanto
1
0 0
1n n
n n
x n z x n z X z z X z
Si tomamos el límite cuando z tiende a la unidad, se tiene
1
1 10 0
1 1n n
z zn n
x n z x n z z X z
lím lím
Debido a la condición de estabilidad que se supuso y a la condición de que x[n] = 0 para n < 0, el
primer miembro de esta última ecuación se convierte en
0
1 0 1 1 0 2 1n
n
x n x n x x x x x x x n
lím
Por tanto
1
11
n zx n z X z
lím lím
El teorema del valor final es muy útil para determinar el comportamiento de x[n] a medida que
n → ∞ a partir de su transformada Z X(z).
Diferencia Directa.
Sea X(z) = Z[x[n]]; así, si x[n] = x[n + 1] – x[n], entonces su transformada está dada por
1 0x n z X z zx Z
Para demostrar esto hay que aplicar la propiedad de traslación real en adelanto:
1
0
1 0
x n x n x n
zX z zx X z
z X z zx
Z Z Z
Diferencia Inversa.
Sea X(z) = Z[x[n]]; así, si x[n] = x[n] – x[n – 1], entonces su transformada está dada por:
1z
x n X zz
Z
Para demostrar esto hay que aplicar la propiedad de traslación real en atraso:
1
1
1
x n x n x n
X z z X z
zX z
z
Z Z Z
Convolución
Dada dos señales de tiempo discreto x[n] y v[n] con ambas señales iguales a cero para n = −1, −2,…,
−∞, la convolución de estas dos señales se define como
0
n
i
x n v n x i v n i
Observe que, debido a que v[n] = 0 para n = −1, −2,…, −∞ la suma de convolución puede tomarse
desde i = 0 hasta i = ∞; es decir, la operación de convolución está dada por
0i
x n v n x i v n i
Si tomamos la transformada Z bilateral obtenemos el par de transformadas
0 0
0 0
n
n i
n
i n
x n v n x i v n i z
x i v n i z
A través del cambio de índice n n i en la segunda sumatoria obtenemos
0
0 0
0 0
0 0
n i
i n i
n i
i n
i n
i n
v n n
x n v n x i v n z
x i v n z
x i z v n z
X z V z
ya que para ,
A partir de la última equivalencia vemos que la transformada Z de la convolución x∗v es igual al
producto X(z)V(z), donde X(z) y V(z) son las transformadas Z de x[n] y v[n], respectivamente. Por
lo tanto, la convolución en el dominio de tiempo discreto corresponde a un producto en el dominio
de la transformada Z.
Las propiedades de la transformada Z antes mencionadas aparecen resumidas en la tabla siguiente:
Propiedad Par de Transformadas/Propiedad
Multiplicación por una constante
ax n aX z
Linealidad f n g n F z G z
Multiplicación por an n z
a x n Xa
Propiedad Par de Transformadas/Propiedad
Desplazamiento por la derecha de x[n] (atraso)
1
2 1
1 1
1 1
2 2 1
1 1q q
x n z X z x
x n z X z x z x
x n q z X z x q z x q z x
Desplazamiento en el tiempo por la izquierda de x[n] (Adelanto)
2 2
1
1 0
2 0 1
0 1 1q q q
x n zX z x z
x n z X z x z x z
x n q z X z x z x z x q z
Multiplicación por n
dnx n z X z
dz
Multiplicación por n2
22 2
2
d dn x n z X z z X z
dz dz
División entre n z n
x n x nX zdz
n z n
lím
Teorema de traslación compleja at aTe x n X ze
Teorema del valor inicial
1
0
1 0
0 1 1
z
z
q q q
z
x X z
x zX z zx
x q z X z z x z x zx q
lím
lím
lím
Teorema del valor final 1
11
n zx n z X z
lím lím
Diferencia Directa 1 0x n z X z zx
Diferencia Inversa
1zx n X z
z
Convolución x n v n X z V z
1.4. Transformada Z inversa.
Si X(z) es la transformada Z de la señal de tiempo discreto x[n], podemos calcular la señal a partir
de X(z) si tomamos la transformada inversa de X(z) dada por
11
2
nx n X z z dzj
Podemos evaluar la integral en el sentido contrario de las manecillas del reloj, alrededor del
contorno circular cerrado C que está contenido en la región de convergencia de X(z).
11
2
n
Cx n X z z dz
j
Donde C es un circulo con centro en el origen del plano z tal que todos los polos de X(z)zn−1 están
dentro de él, la deducción de ésta expresión se dará más adelante.
Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa que implica uso de métodos
analíticos.
i. Método de la división directa (División Larga).
ii. Método computacional.
iii. Método de expansión en fracciones parciales.
iv. Método de la integral de inversión.
Para obtener la transformada Z inversa, se supone, por lo regular, que la secuencia de tiempo x[nT]
o x[n] es cero para n < 0.
Antes de presentar los cuatro métodos, son convenientes algunos comentarios acerca de los polos
y ceros de la función de transferencia pulso.
Polos y ceros en el plano z. en aplicaciones de ingeniería del método de la transformada Z, X(z)
puede tener la forma
1
0 1
1
1
m m
m
k k
k
b z b z bX z m k
z a z a
o
0 1 2
1 2
m
k
b z z z z z zX z
z p z p z p
Donde los pi(i = 1, 2,…,k) son los polos de X(z) y los zj(j = 1,2,…,m) son los ceros de X(z).
Observe que en ingeniería de control y en procesamiento de señales, X(z) a menudo se expresa
como un cociente de polinomios en z−1, como sigue:
1
0 1
1 2
1 21
k m k m k
m
k
k
b z b z b zX z
a z a z a z
Donde z−1 se interpreta como el operador retraso unitario.
División Directa
i. Método de la división directa (división larga). En el método de la división, la transformada Z
inversa se obtienen mediante la expansión de X(z) en una serie infinita de potencias de z−1, esto
es, si
0
1 20 2
n
n
n
X z x nT z
x x T z x T z x nT z
o
0
1 20 1 2
n
n
n
X z x n z
x x z x z x n z
Entonces x[nT] o x[n] es el coeficiente del término z−n. polo tanto, los valores de x[nT] o x[n] para
n = 0, 1, 2,… se puede determinar por inspección.
Si X(z) está dada en la forma de una función racional, la expansión en una serie de potencias infinitas
en potencias crecientes de z−1 se puede lograr sencillamente al dividir el numerador entre el
denominador, donde tanto el numerador como el denominador de X(z) se escribe en potencias
crecientes de z−1. Si la serie resultante es convergente, los coeficientes de los términos z−n son los
valores x[nT] de la secuencia del tiempo o los valores x[n] de la secuencia de números.
Aunque este método da como resultado los valores de x[0], x[T], x[2T],… o los valores x[0], x[1],
x[2],… de una manera secuencial, por lo regular es difícil obtener una expresión para el término
general a partir de un conjunto de valores de x[nT] o x[n].
Ejemplo. Encuentre x[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, cuando X(z) está dada por
10 5
1 0.2
zX z
z z
Primero se reescribe X(z) como un cociente de polinomios en z−1, como sigue:
1 2
1 2
10 5
1 1.2 0.2
z zX z
z z
Al dividir el numerador entre el denominador, se tiene
1 2 3 4
1 2 1 2
1 2 3
2 3
2 3 4
3 4
3 4 5
4 5
4 5 6
10 17 18.4 18.68
1 1.2 0.2 10 5
10 12 2
17 2
17 20.4 3.4
18.4 3.4
18.4 22.08 3.68
18.68 3.68
18.68 22.416 3.736
z z z z
z z z z
z z z
z z
z z z
z z
z z z
z z
z z z
De este modo,
1 2 3 4 510 17 18.4 18.68 18.736X z z z z z z
Al comparar esta expresión de X(z) en una serie infinita con 0
n
n
X z x n z
, se obtiene
0 0
1 10
2 17
3 18.4
4 18.68
5 18.736
x
x
x
x
x
x
Ejemplo: Obtenga la transformada Z inversa de
1 2 31 2 3 4X z z z z
La transformada X(z) ya está en la forma de una serie de potencias de z−1. Puesto que X(z) tiene un
número finito de términos, corresponde a una serie de longitud finita. Por inspección se encuentra
que
0 1
1 2
2 3
3 4
x
x
x
x
Todos los otros valores de x[n] son cero.
Método Computacional
ii. Método computacional. En la actualidad existen varias herramientas computacionales que
facilitan la obtención de la transformada Z inversa, para nuestro caso se utilizará el Software
Matlab.
Previamente hay que considerar que un sistema G(z) está definido mediante
1
0 1
1 2
1 21
k m k m k
m
k
k
b z b z b zG z
a z a z a z
Para encontrar la transformada Z inversa, se utiliza la función delta de Kronecker 0[nT], donde
0
1 0
0 0
nnT
n
Supóngase que [n], la entrada al sistema G(z), es la entrada delta de Kronecker, o
1 0
0 0
nn
n
La transformada Z de la delta de Kronecker es
1z
Mediante la entrada delta de Kronecker, G(z) se puede rescribir como
1
0 1
1 2
1 2
1
0 1
1
1
1
k m k m k
m
k
k
m m
m
k k
k
Y z b z b z b zG z
X z a z a z a z
b z b z b
z a z a
Para este caso G(z), es conveniente expresarla como un cociente de polinomios en z.
Enfoque de Matlab. Se puede utilizar Matlab para encontrar la transformada Z inversa. A partir de
la ecuación anterior, la entrada X(z) es la transformada Z de la entrada delta de Kronecker. En
Matlab la entrada delta de Kronecker está dada por
x = [1 zeros(1,N)]
donde N corresponde al final de la duración del tiempo discreto del proceso considerado.
Puesto que la transformada Z de la entrada delta de Kronecker X(z) es igual a la unidad, la respuesta
del sistema del primer ejemplo de esta sección, a esta entrada es
1 2
1 2 2
10 5 10 5
1 1.2 0.2 1.2 0.2
z z zY z G z
z z z z
Por lo tanto, la transformada Z inversa de G(z) está dada por y[0], y[1], y[2],… Se obtendrá y[n]
hasta n = 40.
Para obtener la transformada Z inversa de G(z) con Matlab, se procede como sigue: Introduzca el
numerador y el denominador de la siguiente forma
num = [0 10 5];
den = [1 −1.2 0.2];
introduzca la entrada delta de Kronecker.
x = [1 zeros(1,40)];
luego introduzca el comando
y = filter(num,den,x)
para obtener la respuesta y[n] desde n = 0 hasta n = 40
>> num=[0 10 5];
>> den=[1 -1.2 0.2];
>> x=[1 zeros(1,40)];
>> y=filter(num,den,x)
y =
Columns 1 through 10
0 10.0000 17.0000 18.4000 18.6800 18.7360 18.7472 18.7494 18.7499 18.7500
Columns 11 through 20
18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500
Columns 21 through 30
18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500
Columns 31 through 40
18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500 18.7500
Column 41
18.7500
>>
Como se puede observar los primeros cinco valores coinciden con el primer ejemplo de la división
larga de la misma función.
Para la gráfica de la respuesta a la entrada delta de Kronecker, se sigue la siguiente secuencia de
programación en Matlab.
>> num=[0 10 5];
>> den=[1 -1.2 0.2];
>> x=[1 zeros(1,10)];
>> v=[0 10 0 1];
>> axis(v);
>> n=0:10;
>> y=filter(num,den,x);
>> plot(n,y,'o')
>> grid
>> title('Respuesta a la entrada delta de Kronecker')
>> xlabel('n')
>> ylabel('y[n]')
Y la gráfica obtenida para este caso es la siguiente
Otra forma de utilizar Matlab es de la siguiente forma, donde introducimos la función y obtenemos
en forma directa la transformada Z inversa con la función iztrrans() de la siguiente forma:
>> syms X x z
>> X=(10*z+5)/(z^2-1.2*z+.2);
>> x=iztrans(X)
Los cuales arrojan
x =
25*kroneckerDelta(n, 0) - (175*(1/5)^n)/4 + 75/4
Otra forma de obtener la transformada Z inversa, es utilizando un software matemático con es el
Derive, el cual deberemos abrir la librería correspondiente a ZTtansform.dfw, el cual incluye un
procedimiento para realizar la operación.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20Respuesta a la entrada delta de Kronecker
n
y[n
]
Como ejemplo tomamos la misma función, aplicamos la operación INVZT(G(z), z, n) y resulta
lo siguiente.
Entonces para ambos casos solo hay que interpretar bien el resultado, este ejemplo lo usaremos
más adelante y estaremos verificando su resultado, para comparar y así tomar el método que mejor
se nos acomode.
Método de expansión en fracciones parciales.
iii. Método de expansión en fracciones parciales. Para encontrar la transformada Z inversa, si
X(z) tiene uno o más ceros en el origen (z = 0), entonces X(z)/z o X(z) se expande en la suma
de términos sencillos de primero o segundo orden mediante la expansión de fracciones
parciales y se emplea una tabla de transformada Z para encontrar la función del tiempo
correspondiente para cada uno de los términos expandidos. Se debe de observar que la única
razón de que se expanda X(z)/z en fracciones parciales es que cada uno de los términos
expandidos tengan una forma que se pueda encontrar fácilmente a partir de las tablas de
transformada Z de que se disponen comúnmente.
Considere X(z) como dada mediante
1
0 1 1
1
1 1
m m
m m
k k
k k
b z b z b z bX z m k
z a z a z a
Para expandir X(z) en fracciones parciales, primero se factoriza el polinomio del denominador de
X(z) y se encuentra los polos de X(z):
1
0 1 1
1 2
m m
m m
k
b z b z b z bX z
z p z p z p
Para el caso anterior se deberá utilizar el teorema de corrimiento.
Luego se expande X(z)/z en fracciones parciales, de manera que cada uno de los términos sea
reconocido fácilmente en la tabla de transformadas Z.
Un procedimiento de uso muy común para los casos donde todos los polos son diferentes son
diferentes y hay por lo menos un cero en el origen (esto es, bm = 0) es dividir ambos miembros de
X(z) entre z y entonces expandir X(z)/z en fracciones parciales. Una vez que X(z)/z se ha expandido,
ésta será de la forma
1 2
1 2
k
k
X z aa a
z z p z p z p
El coeficiente ai se puede determinar multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por
z – pi y haciendo que z = pi. Esto dará como resultado que todos los términos del segundo miembro
sean cero excepto el término ai, en el cual el factor que está multiplicando z – pi ha sido cancelado
por el denominador. Por lo tanto, se tiene
i
i i
z p
X za z p
z
Observe que dicha forma para determinar ai es válida sólo para polos simples.
Si X(z)/z involucra polo múltiple, por ejemplo, un polo doble en z = p1 y no tiene más polos, entonces
X(z)/z tendrá la forma
1 2
2
11
X z c c
z z pz p
Los coeficientes c1 y c2 se determinan a partir de
1
1
2
1 1
2
2 1
z p
z p
X zc z p
z
X zdc z p
dz z
Caso de polos simples.
Hagamos el ejemplo donde X(z) del primer ejemplo de la división larga, quedando como
10 5
1 0.2
zX z
z z
La expansión en fracciones parciales de X(z)/z se tiene que es
31 2
1 15 5
10 5
1 1
X z aa az
z z z z z z z
Entonces para encontrar los coeficientes aplicamos la fórmula para los polos simples de la siguiente
forma
15
1 1 15 50
752 41 1
5 51
17513 5 41 1 1
5 5 5
10 5 525
1 1
10 5 151
1 1 1
10 5 7
1 1
z
z
z
za z
z z z
za z
z z z
za z
z z z
De modo que
75 1754 4
15
25
1
X z
z z z z
Ahora obtenemos X(z) para utilizar las tablas de la transformada Z
75 175 75 175
4 4 4 4
1 11 15 5
2525
1 1 1
z z zX z
z z z z z
Por lo que nos da como resultados a aplicar las tablas
175 1754 4 5
25n
x n n u n
Que coincide con el método computacional por medio de la función iztrrans() de Matlab, donde se
obtiene el mismo resultado.
Se puede obtener las fracciones parciales por medio de la función residue(num,den) de Matlab
>> num=[10 5];
>> den=[1 -1.2 0.2 0];
>> [r,p,k]=residue(num,den)
r =
18.7500
-43.7500
25.0000
p =
1.0000
0.2000
0
k =
[]
Donde r son los residuos, p son los polos y k el valor independiente.
Ahora si tomamos en cuenta el teorema de corrimiento se tiene entonces que
74 354 4
1 15 5
10 5
1 1
zX z
z z z z
Sabemos que
n zZ a
z a
A cada fracción le falta una variable z para que se emplee esta expresión; para resolver esto
proponemos que
1
0 1
1n
ny n
a n
Entonces
1 1nY z z az a
Z
Por lo tanto
1175 35 14 4 5
75 175 14 4 5
1
1
nn
nn
x n
Caso de polo múltiple.
Consideremos a la función en z como
2
23 2
2 32 3
5 8 4 2 1
z zz zX z
z z z z z
Como se puede observar se tiene un polo con multiplicidad 2 por lo que al realizar X(z)/z se obtiene
31 2
2 2
2 3
2 12 1 2
X z aa az
z z zz z z
Ahora para encontrar los coeficientes se aplica lo siguiente
2
1 2
22
2
2 2 2
222
3 2 2
1 1
2 3 2 32 7
12 1
2 3 2 3 52 5
12 1 1
2 3 2 31 5
2 1 2
zz
zzz
z z
z za z
zz z
d z d za z
dz dz zz z z
z za z
z z z
Por lo consiguiente sustituyendo los coeficientes queda
2
7 5 5
2 12
X z
z z zz
Por lo tanto X(z) es
1
2 2 1 11
7 5 5 7 5 5
2 1 1 2 12 1 2
z z z zX z
z z z zz z
Podemos encontrar las fracciones parciales por medio de Matlab con la función residue(), como
sigue
>> num=[2 3];
>> den=[1 -5 8 -4];
>> [r,p,k]=residue(num,den)
r =
-5.0000
7.0000
5.0000
p =
2.0000
2.0000
1.0000
k =
[]
Como se puede observar obtenemos lo siguiente
1
2 21 11
5 7 5 5 7 5
2 1 1 2 12 1 2
z z z zX z
z z z zz z
Buscamos en las tablas de la transformada Z y obtenemos x[n]
1
727 2 5 2 5 1 2 5 2 5 1
n n n n n nx n n n
Para comprobar este resultados los realizamos por el método computacional, es decir por medio de
Matlab, el cual es de la siguiente forma
> syms X x z
>> X=(2*z^2+3*z)/(z^3-5*z^2+8*z-4);
>> x=iztrans(X)
x =
(7*2^n*(n - 1))/2 - (3*2^n)/2 + 5
Como se puede observar es el mismo resultado.
7 3 7
2 2 2
7 2 1 3 25 2 1 2 5 1 2 5 2 5 1
2 2
n n
n n n n n nnn n
Ahora utilizando el Derive se tiene
Es decir
1 712 2
2 7 10 5 2 7 10 5 1 2 5 2 5 1n n n n nn n n n
Caso polo complejo.
Para este caso se pueden presentar un polo complejo el cual pudiese ser p1 = a + jb por lo que
b ≠ 0, entonces, uno de los otros polo puede ser igual al complejo conjugado 1p a jb , al realizar
la transformada Z inversa se puede obtener como
1 1 1 1
n nc p c p
Este término puede expresarse en la forma
1 12 cosnc r n c
Donde
2 2r a b = magnitud del polo p1
y
arctanb
a
= ángulo del polo p1
Por lo que x[n] será la siguiente expresión
1 12 cosnx n c r n c
Ejemplo ilustrativo. Suponga que
3
3 2
1
2
zX z
z z z
Utilizando la función residue() de Matlab expandimos X(z)/z, y obtenemos lo siguiente
>> num=[1 0 0 1];
>> den=[1 -1 -1 -2 0];
>> [r,p,k]=residue(num,den)
r =
0.6429 + 0.0000i
0.4286 - 0.0825i
0.4286 + 0.0825i
-0.5000 + 0.0000i
p =
2.0000 + 0.0000i
-0.5000 + 0.8660i
-0.5000 - 0.8660i
0.0000 + 0.0000i
k =
[]
Entonces nos da que X(z)/z es
3 33 37 21 7 21
3 31 12 3 2 2
9 1
14 2 2
X z j j
z z zz j z j
Donde se calculan r, |c1|, y ∠c1 como
22 312 2
22 3 2 2131 17 21 21
1 arctan 3 60
3arctan 10.89
9
r
c c
Al multiplicar ambos miembros por z para obtener X(z)
3 33 37 21 7 21
3 31 12 2 2 2
3 33 37 21 7 219 1
14 21 1 13 31 12 2 2 2
9
14 2 2
1
1 2 1 1
j z j zz zX z
z zz j z j
j j
z j z j z
Por lo tanto aplicando la transformada Z inversa para obtener x[n]
4 219 114 21 2
2 1 cos 60 10.89n n
x n n n
Método de la integral de inversión
iv. Integral de Inversión. Ésta es una técnica útil para la obtención de la transformada Z inversa.
La integral de inversión de la transformada Z inversa de X(z) ésta dada por
1 11
2
n
CZ X z x nT x n X z z dz
j
Donde C es un circulo con centro en el origen del plano z tal que todos los polos de X(z)zn−1 están
dentro de él.
La ecuación que da la transformada Z inversa en términos de los residuos se puede obtener si se
utiliza la teoría de la variable compleja. Ésta se puede obtener como sigue:
1 2
1 1
1
m
mn n
i
i
x nT x n K K K
X z z z X z z
residuo de en el polo de
Donde K1, K2,…, Km los residuos de X(z)zn−1 en los polos z1, z2,…, zm, respectivamente. Al evaluar
los residuos, observe que si el denominador de X(z)zn−1 contiene un polo simple en z = zi entonces
el residuo K corresponde está dado por
1
i
n
iz z
K z z X z z
lím
Si X(z)zn−1 contiene un polo múltiple zj de orden q, entonces el residuo K está dado por
11
1
1
1 ! j
n
jqz z
dK z z X z z
q dz
lím
Si X(z) tiene un cero de orden r en el origen, entonces X(z)zn−1 en x[nT] o x[n] involucra un cero de
orden r + n – 1 en el origen. Si r ≥ 1, entonces r + n – 1 ≥ 0 para n ≥ 0, y no hay polo en z = 0 en
X(z)zn−1. Sin embargo, si r ≤ 0, entonces habrá un polo en z = 0 para uno o más valores positivos de
n. en tal caso hay que agregar el residuo correspondiente a z = 0.
Ejemplo: Sea la función X(z), encontrar su transformada Z inversa.
2
10 5 10 5
1.2 0.2 1 0.2
z zX z
z z z z
Solución. La función X(z) al parecer tiene dos polos simples, por lo que tendremos dos residuos y la
función x[n] sería
1 2x n K K
Sin embargo, por inspección de la función X(z)zn−1 y en n = 0, se puede observar que se agrega un
polo en z = 0
1 10 5, 0
1 0.2
n zX z z n
z z z
para
Por lo consiguiente para n = 0, X(z)zn−1 tiene tres polos simples z1 = 1, z2 = 0.2 y z3 = 0. Para n = 1, 2,
3,…; sin embargo, se debe considerar x[0] y x[n] (donde n = 1, 2, 3,…).
Para n = 0. Para este caso se tiene
3
1
1 2 3
10 50
1 0.2i
i
zx z z
z z z
K K K
residuo de en el polo
Por lo tanto
1
751 4
1 1
1
1752 4
0.2 1
1
30 0
10 5 10 51 1
1 0.2 0.2
10 5 10 50.2 0.2
1 0.2 1
10 5 10 5
1 0.2 1 0.2
n nn
z z
n nn
z z
n n
z z
z z z zK z
z z z z
z z z zK z
z z z z
z z z zK z
z z z z
lím lím
lím lím
lím lím 25
Así entonces x[n] es
75 1751 2 3 4 4
1 0.2 25n n
x n K K K n
Ejemplo. Caso de polos repetidos, encontrar la transformada Z inversa de X(z)
2
23 2
2 32 3
5 8 4 2 1
z zz zX z
z z z z z
Solución. Observe que
1
2
2 3
2 1
n
nz z
X z zz z
Para n = 0, 1, 2,…, X(z)zn−1 tiene un polo simple en z = z1 = 1 y polo doble en z = z2 = 2. Por lo tanto,
x[n] se obtiene
2
21
1 2
2 3
2 1
n
i
i
z zx n z z
z z
K K
residuo de en el polo
Donde
1 2 21 1
2 72 222 2
2 3 2 31 5 1
2 1 2
2 3 2 312 2 5 2
2 1 ! 12 1
n nn
z z
n nn n
z z
z z z zK z
z z z
z z z zd dK z n
dz dz zz z
lím lím
lím lím
Por lo tanto
71 2 2
5 1 2 5 2n n n
x n K K n
Solución de ecuaciones de diferencia con transformada Z.
Las ecuaciones de diferencia se pueden solucionar fácilmente mediante el uso de una computadora
digital, siempre que se proporcione los valores numéricos de todos los coeficientes y los parámetros.
Sin embargo, las expresiones en forma cerrada para y[n] no se pueden obtener a partir de la solución
por computadora, excepto para casos muy especiales. La utilidad del método de la transformada Z
es que permite obtener la expresión en forma cerrada para y[n].
Considere un sistema en tiempo discreto, lineal e invariante en el tiempo caracterizado por la
siguiente ecuación en diferencias:
1 0 11 1k ky n a y n a y n k b x n b x n b x n k
Donde x[n] y y[n] son la entrada y salida del sistema, respectivamente, en la n-ésima iteración. Al
describir dicha ecuación en diferencia en el plano z, se toma la transformada Z de cada uno de los
términos en la ecuación.
Defínase
y n Y z Z
Entonces y[n + 1], y[n + 2], y[n + 3],… y y[n – 1], y[n – 2], y[n – 3],… se puede expresar en términos
de Y(z) y de las condiciones iniciales. Sus transformadas Z exactas se obtuvieron anteriormente y
se resumen en la siguiente tabla.
Función Discreta Transformada Z
y[n + q] zqY(z) – zqy[0] – zq−1y[1] − … − zy[q – 1]
y[n + 4] z4Y(z) – z4y[0] – z3y[1] – z2y[2] – zy[3]
y[n + 3] z3Y(z) – z3y[0] – z2y[1] – zy[2]
y[n + 2] z2Y(z) – z2y[0] – zy[1]
y[n + 1] zY(z) – zy[0]
y[n] Y(z)
y[n – 1] z−1Y(z) + y[−1]
y[n – 2] z−2Y(z) + y[−2] + z−1y[−1]
y[n – 3] z−3Y(z) + y[−3] + z−1y[−2] + z−2y[−1]
y[n – 4] z−4Y(z) + y[−4] + z−1y[−3] + z−2y[−2] + z−3y[−1]
y[n – q] z−qY(z) + y[−q] + z−1y[−q + 1] + … + z−q+1y[−1]
Se hace notar que para los términos y[n – 1], y[n – 2], y[n – 3], y[n – 4],…, y[n – q], se utiliza sólo
los siguientes pares de transformada Z cuando y[n] solo está definida para n ≥ 0, de caso contrario
se utilizan las anteriores.
Función Discreta Transformada Z
y[n – 1] z−1Y(z)
y[n – 2] z−2Y(z)
y[n – 3] z−3Y(z)
y[n – 4] z−4Y(z)
y[n – q] z−qY(z)
A continuación se presentan dos problemas como ejemplo de la solución de en diferencias mediante
el método de la transformada Z.
Ejemplo. Encontrar la solución de la siguiente ecuación de diferencia
2 3 1 2 0, 0 0, 1 1y n y n y n y y
Solución.
Observe primero que las transformadas Z de y[n + 2], y[n + 1] y y[n] están dadas, respectivamente,
por
2 22 0 1
1 0
y n z Y z z y zy
y n zY z zy
y n Y z
Z
Z
Z
Al tomar las transformadas Z de ambos miembros de la ecuación en diferencias dada, se obtiene
2 2 0 1 3 3 0 2 0z Y z z y zy zY z zy Y z
Al sustituir las condiciones iniciales y simplificar, se obtiene
2
1 1
3 2 1 2 1 2
1 1
1 1 2
z z z zY z
z z z z z z
z z
Si se observa que
1 1
1 1
1 11 , 2
1 1 2
n n
z z
Z Z
Se tiene
1 2 , 0,1,2,n n
y n n
Ejemplo. Determinar la solución completa de la siguiente ecuación de diferencia utilizando el
método de la transformada Z.
1 14 8
2 1 3 2y n y n y n x n x n
Donde
1 2
0 2
nn
x nn
Y con las condiciones iniciales y[−1] = 5 y y[−2] = −6.
Solución.
Como se puede observar las condiciones iniciales y la entrada están definidas para n ≥ −2, por lo
tanto, hay que realizar un desplazamiento de la señal con una k = 2, por lo que la ecuación de
diferencia queda de la siguiente forma
1 14 8
1 14 8
2 1 3 2
1 2 3 2
y n k y n k y n k x n k x n k
y n y n y n x n x n
Ahora entonces determinamos las transformadas Z de ambos miembros de la ecuación de
diferencias
1
2 1
2 1
1 1
2 2 1
2 2 1
y n Y z
y n z Y z y
y n z Y z y z y
x n X z
x n z X x x z x
Z
Z
Z
Z
Z
Al tomar las transformadas Z de ambos miembros de la ecuación en diferencias dada, se obtiene
1 2 1 2 11 1 1 1 14 4 8 8 8
1 2 1 3 2 1Y z z Y z y z Y z y z y X z z X z x z x
Al sustituir valores iniciales queda
1 2 2 1131 14 8 8
1 3 3Y z z z X z z z
Ahora bien deberemos encontrar la transformada Z de la entrada X(z), entonces
1
11
1
nx n
z
Z Z
Se sustituye en la ecuación anterior y se obtiene
1 2 2 1131 14 8 81
11 3 3
1Y z z z z z
z
Por lo que al desarrollar la expresión anterior se obtiene la salida Y(z)
5118 8
1 12 4
1
z zY z
z z z
Encontramos a y[n] aplicando la transformada Z inversa de Y(z)
1 16 7 31 15 2 2 10 4
1n nn
Y z y n Z
1.5. Muestreo y reconstrucción de señales.
Teorema de Nyquist – Shannon.
Dentro de la telecomunicaciones es muy frecuente utilizar este teorema, sin embargo, en los últimos
años, ha sido indispensable para el muestro digital de señales.
Cuando se muestrea una señal, la frecuencia de muestreo debe ser mayor que dos veces el ancho
de banda de la señal de entrada, para poder reconstruir la señal original a partir de las muestras. Si
B es el ancho de banda de la señal y fs es la frecuencia de muestreo, el teorema puede expresarse
del siguiente modo:
2sf B
Para formalizar estos conceptos, dejando que x(t) represente a una señal de tiempo continuo y X(f)
sea la transformada de Fourier continua de esa señal (qué existe si x(t) es integrable):
2j ftX f x t e dt
La señal x(t) es de banda limitada a un ancho de banda B unilateral si:
0X f para toda f B
Entonces la condición para la reconstrucción exacta de las muestras a una velocidad de muestreo
uniforme fs (en las muestras por unidad de tiempo) es:
2sf B
o equivalentemente:
2
sfB
2·B se le llama velocidad de Nyquist y es una propiedad de la señal del banda limitada, mientras que
fs/2 se le llama frecuencia de Nyquist y es una propiedad de este sistema muestreado.
El tiempo entre las muestras sucesivas está definido como el intervalo de muestreo.
1
s
Tf
Y las muestras de x(t) están denotas por:
,x n x nT n
El teorema lleva a un procedimiento por reconstruir x(t) original de las muestras x[n], y las
condiciones suficientemente estables para tal reconstrucción sea exacta.
Efecto alias
Efecto alias. Cuando la frecuencia de muestreo (fs) es menor que dos veces la frecuencia deseada
de la señal de entrada (fa), se tendrá que la secuencia de datos adquiridos en el proceso de
conversión A/D ya no representa con exactitud a la señal analógica original.
Para entender mejor las complicaciones del alias, se ejemplifican cuatro casos en el tiempo de una
señal discretizada tal como se muestran en las Figuras B-2 a la B-5.
Figura B 2. Caso 1, la información se preserva.
En la Figura B-2 se observa el caso donde la frecuencia de muestreo es 8 veces la frecuencia de la
señal.
Figura B 3. Caso 2, la información se preserva.
Caso 1 f s = 8·f a
Caso 2 f s = 4·f a
En la Figura B-3 se observa el caso donde la frecuencia de muestreo es 4 veces la frecuencia de la
señal.
Figura B 4. Caso 3, la información marginalmente de preserva.
En la Figura B-4 se observa el caso donde la frecuencia de muestreo es 3 veces la frecuencia de la
señal.
Figura B 5. Caso 4, Situación donde fs < 2·fa por lo tanto se obtiene un alias menor que fs/2.
En el caso 4 de la Figura B-5, las muestras extraídas generan una señal ilegitima (alias), dentro de la
llamada banda de Nyquist, la cual está definida en el intervalo de c.d. hasta fs/2. A medida que la
frecuencia de muestreo va decreciendo, acelerándose a fs, la señal alias (en banda de Nyquist) tiende
a c.d.
En la práctica es recomendable tener una frecuencia de muestreo alta para asegurar una buena
recolección de datos, aunque la a partir de fs = 8fa es una buena frecuencia mi recomendación para
el caso del muestreo de señales discretizadas y del control digital es tener una frecuencia de
muestres de por lo menos fs ≥ 20fa.
Caso 3 f s = 3·f a
Caso 4 f s = 1,3·f a
Señal alias
Señal real
Señal alias Señal real
2. Análisis de Sistemas discretos.
2.1. Función de transferencia.
2.2. Expansión de funciones de transferencia en diagramas de bloques.
2.3. Respuesta transitoria y permanente (primer y segundo orden).
2.4. Representación en espacio de estados.
2.5. Identificación paramétrica de funciones de transferencia.
3. Diseño de controladores.
3.1. Análisis de estabilidad (Criterios de estabilidad).
3.2. Controladores discretos (P, PI, PD, PID).
3.2.1. Diseño directo.
3.2.2. Emulación.
3.3. Introducción a los sistemas de control en espacio de estados.
3.4. Introducción a la Lógica Difusa (Fuzzy).
3.4.1. Postulados de la lógica difusa.
3.4.2. Métodos de Inferencia.
3.4.3. Controlador estándar de lógica difusa.
3.4.4. Controlador difuso con efecto integrador.
3.4.5. Sintonización de controladores difusos.
3.5. Introducción a las redes Neuronales Artificiales.
3.5.1. Redes Neuronales estáticas monovariables.
3.5.2. Redes Neuronales estáticas multivariables.
3.5.3. Redes Neuronales recurrentes monovariables.
3.5.4. Redes neuronales recurrentes multivariables.
4. Filtros Digitales.
4.1. Introducción a los filtros digitales.
4.2. Filtros digitales IIR
4.3. Filtros digitales FIR.
4.4. Aplicaciones.