caracterización y evaluación sistémica de empaquetamientos

Revista Cubana de Ingenieria Vol VIII No 2 mayo - agosto 2017 pp 35 - 46

Revista Cubana de Ingenieriacutea Vol VIII No 2 mayo - agosto 2017 pp 35 - 46 ISSN 2223 - 1781

Caracterizacioacuten y evaluacioacuten sisteacutemica de empaquetamientos de partiacuteculas como conjuntos iniciales

para simulaciones con elementos discretos

ResumenLa metodologiacutea creada comprende varias teacutecnicas de caracterizacioacuten de empaquetamientos de partiacuteculas Las teacutecni-cas tienen en cuenta factores como dimensioacuten y forma de partiacuteculas ocupacioacuten espacial homogeneidad conectividad e isotropiacutea entre otros Esta clasificacioacuten e integracioacuten de varias teacutecnicas permite llevar a cabo un proceso de carac-terizacioacuten que hace posible evaluar sisteacutemicamente los empaquetamientos de partiacuteculas para garantizar la calidad de las mallas iniciales en las simulaciones de elementos discretos tanto en la micro como en la macroescala Se crearon varias nuevas teacutecnicas y se presentan otras que tienen mejoras en cuanto a las existentes Teacutecnicas de otras discipli-nas fueron adaptadas para ser utilizadas en la evaluacioacuten de sistemas de partiacuteculas Las teacutecnicas de la metodologiacutea permiten caracterizar faacutecilmente los medios a nivel de la microescala (geometriacuteas continuas - aceros microestructuras de rocas etc y geometriacuteas discretas) y la macroescala Finalmente se muestran ejemplos de aplicaciones

Palabras claves empaquetamiento de partiacuteculas meacutetodo de elementos discretos teacutecnicas de caracterizacioacuten y eva-luacioacuten de empaquetamiento de partiacuteculas

Artiacuteculo Original

AbstractA methodology that comprises several characterization techniques for particle packings was created The methodol-ogy techniques take into account factors such as dimension and shape of particles space occupation homogeneity connectivity and isotropy among others This classification and integration of several techniques allows to carry out a characterization process that allows to systemically evaluate the particle packings in order to guarantee the quality of the initial meshes in Discrete Element simulations both in the micro and the macro scales Several new techniques were created and others that have improvements in the existing ones are presented Techniques from other disciplines were adapted to be used in the evaluation of particle systems The techniques of the methodology allow to easily char-acterize media at the level of the micro-scale (continuous geometries ndash steels rocks microstructures etc and discrete geometries) and the macro-scale Examples of applications are shown

Key words particle packing Discrete Element Method characterization and evaluation techniques of particle packings

Systemic characterization and evaluation of particle packings as initial sets for discrete elements simulations

Roberto L Roselloacute Valera Irvin P Peacuterez Morales Carlos A Recarey MorfaUniversidad Central Marta Abreu de Las Villas Villa Clara CubaCorreo electroacutenico rrosellouclveducu

Este documento posee una licencia Creative Commons ReconocimientoNo Comercial 40 Internacional

Recibido 23 de febrero del 2017 Aprobado 16 de marzo del 2017

Caracterizacioacuten y evaluacioacuten sisteacutemica de empaquetamientos de partiacuteculas como conjuntos iniciales para simulaciones

Revista Cubana de Ingenieriacutea Vol VIII No 2 mayo - agosto 2017 pp 35 - 46 ISSN 2223 -178136

INTRODUCCIOacuteNLos conjuntos de partiacuteculas dan lugar a patrones geomeacutetricos complicados que habitualmente requieren ser anali-

zados con modelos matemaacuteticos apropiados El campo de investigacioacuten que busca proporcionar tales modelos es la llamada Geometriacutea Estocaacutestica [1] Dentro de esa disciplina cientiacutefica la investigacioacuten se centra principalmente en los procesos puntuales y tal disciplina es faacutecilmente extensible a una aplicacioacuten al caso de las partiacuteculas En [2] se definen varias estadiacutesticas que pueden describir la forma geomeacutetrica y la variabilidad espacial de los sistemas de par-tiacuteculas (homogeneidad isotropiacutea etc) Sin embargo se pueden desarrollar nuevas teacutecnicas y todas pueden utilizarse de manera unificada

Las simulaciones numeacutericas con el Meacutetodo de Elementos Discretos (DEM) estaacuten estrechamente relacionadas con las teacutecnicas de evaluacioacuten de empaquetamientos de partiacuteculas ya que estos uacuteltimas garantizan parcialmente el eacutexito de la simulacioacuten En varias investigaciones anteriores se han desarrollado o aplicado muchas teacutecnicas separadas pero el problema necesita ser abordado de una manera sisteacutemica Varias teacutecnicas separadas para evaluar embalajes de partiacuteculas son tratadas en la literatura cientiacutefica [3-11] Estas pueden agruparse en las dos categoriacuteas siguientes Teacutecnicas que dependen (directamente o no) de la geometriacutea de las partiacuteculas y teacutecnicas que no dependen en absoluto de la geometriacutea de las partiacuteculas El primer grupo incluye fraccioacuten de volumen porosidad isotropiacutea aleatoriedad de las aacutereas formadas por interseccioacuten con planos de corte covarianza distribucioacuten de contacto esfeacuterica funcioacuten de cova-rianza y coeficiente de autocorrelacioacuten etc Las teacutecnicas que no dependen de la geometriacutea de las partiacuteculas incluyen el tejido tensor el nuacutemero de coordinacioacuten la homogeneidad de los centros de las partiacuteculas y la aleatoriedad del centro a las liacuteneas centrales que unen a las partiacuteculas en contacto entre otras teacutecnicas Otra mejor clasificacioacuten seriacutea tener en cuenta la funcioacuten que tiene la teacutecnica como el llenado del espacio la homogeneidad la isotropiacutea la conectividad y las caracteriacutesticas de las partiacuteculas individuales Una de las teacutecnicas descritas es la homogeneidad de los centros de par-tiacuteculas que se mide en [3] comprobando la uniformidad del nuacutemero de centros en las ceacutelulas de una particioacuten espacial regular Esta manera de medir la homogeneidad tiene la desventaja de depender del tamantildeo de la celda y se propone un mejor enfoque en el presente trabajo

Las teacutecnicas de evaluacioacuten de empaquetamientos que dependen de las formas de partiacutecula existen principalmente para el caso maacutes simple que son esferas Dichas teacutecnicas deben generalizarse a otras formas de partiacuteculas con el fin de evaluar empaquetamientos de formas distintas de las esferas que se utilizaraacuten en simulaciones de DEM Se han lle-vado a cabo estudios con cierto grado de completitud para algunos empaquetamientos [6] empleando algunas teacutecnicas aisladas Un anaacutelisis estadiacutestico espacial para esferas con radio y posicioacuten aleatoria se presenta en [6] Sin embargo las teacutecnicas se aplican alliacute sin un enfoque sisteacutemico A veces es conveniente poder cuantificar la aleatoriedad de un sistema de cuerpos por ejemplo si es necesario realizar una simulacioacuten DEM de un material isotroacutepico es conveniente que el empaque desde el cual comience la simulacioacuten sea lo maacutes homogeacuteneo posible Varias teacutecnicas para evaluar la aleato-riedad de los sistemas de partiacuteculas para simulaciones computacionales se presentan en [3] El enfoque solo se aplica a las partiacuteculas esfeacutericas En otras investigaciones se han implementado enfoques maacutes completos y se han utilizado maacutes teacutecnicas (como la verificacioacuten de la uniformidad de las coordenadas de los centros) En otras investigaciones como [8] se han utilizado algunos paraacutemetros de caracterizacioacuten como el radio medio y el tensor de tejido Este uacutel-timo radio medio se define como la media cuadraacutetica (cuacutebica) en 2D (3D) y el tensor del tejido tiene la propiedad de que sus valores propios son iguales en una media completamente isotroacutepica Las caracteriacutesticas del espacio vaciacuteo entre las esferas reordenadas por gravedad se ha estudiado con Delaunay Tesselations [11] La estructura vaciacutea se ha cuantificado con funciones de densidad de probabilidad y con funciones de conectividad Seguacuten los autores de [11] seraacute necesario como parte de una investigacioacuten futura relacionar cuantitativamente las medidas obtenidas de morfologiacutea y topologiacutea con las propiedades de transporte del material

Se puede decir como conclusiones geneacutericas que las teacutecnicas de evaluacioacuten de empaquetamientos encontradas en la literatura solo se han aplicado a casos especiacuteficos No existe una formulacioacuten general y sisteacutemica aplicada a la eva-luacioacuten de los empaquetamientos Ademaacutes las teacutecnicas para la caracterizacioacuten local que dependen de las formas de las partiacuteculas no han sido analizadas estadiacutesticamente y ni siquiera han sido estudiadas con estadiacutestica descriptiva Tenien-do en cuenta las conclusiones geneacutericas anteriores y el estado del arte del tema es obvio que es necesario establecer un enfoque general y sisteacutemico para evaluar y caracterizar los sistemas de partiacuteculas

MATERIALES Y MEacuteTODOSComo se ha expresado anteriormente en este trabajo se han clasificado las teacutecnicas de evaluacioacuten en dos grandes

grupos Teacutecnicas que dependen de las formas de las partiacuteculas teacutecnicas que no lo hacen Se propone una clasificacioacuten auacuten maacutes integral mediante la cual las teacutecnicas se agrupan seguacuten su funcioacuten Esta clasificacioacuten permite tener un enfoque sisteacutemico para evaluar y caracterizar las empaquetaduras de partiacuteculas Las teacutecnicas de evaluacioacuten pueden ser utiliza-

Roberto L Roselloacute Valera - Irvin P Peacuterez Morales - Carlos A Recarey Morfa

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das con varios propoacutesitos tales como 1 Para estudiar y encontrar el tamantildeo apropiado de un elemento de volumen representativo (RVE) en DEM 2 Caracterizar el conjunto inicial de partiacuteculas en DEM y verificar si el embalaje inicial cumple los requisitos necesarios con respecto a la calidad y semejanza con el medio real 3 Estudiar el desempentildeo de los diferentes algoritmos de generacioacuten de embalajes 4 Tener criterios de evaluacioacuten para el embalaje de partiacute-culas 5 Estudiar la evolucioacuten de los paraacutemetros de evaluacioacuten del empaque a lo largo de una simulacioacuten DEM asiacute como utilizar otras teacutecnicas encontradas en la literatura [2]

Como se ha mencionado anteriormente las teacutecnicas de caracterizacioacuten pueden agruparse seguacuten su funcioacuten Esto determina el enfoque sisteacutemico de la evaluacioacuten que incluye otras teacutecnicas encontradas en la literatura [2] in-cluyendo la isotropiacutea macro la homogeneidad y la aleatoriedad de las liacuteneas centro-centro entre partiacuteculas etc La clasificacioacuten detallada de las teacutecnicas de evaluacioacuten de empaquetamientos con respecto a su funcioacuten es la siguiente 1 Forma y dimensioacuten de las partiacuteculas 2 Ocupacioacuten espacial 3 Homogeneidad del embalaje 4 Conectividad 5 Isotropiacutea Muchas de las teacutecnicas de caracterizacioacuten de empaquetamientos pueden aplicarse a diferentes niveles Pueden aplicarse global o localmente Si se tiene un embalaje de forma geneacuterica se deben seleccionar varios RVE para aplicar dentro de ellos las teacutecnicas de evaluacioacuten de embalaje De esta manera se pue-de poner en praacutectica un uso masivo y sisteacutemico de todas las teacutecnicas formuladas en este trabajo Por uacuteltimo se puede aplicar un sistema de inferencia difusa que tenga en cuenta los intereses de investigacioacuten

Caracterizacioacuten de la forma y dimensiones de la partiacuteculaDescribir una partiacutecula en 3D puede ser maacutes complejo de lo que parece Para fines praacutecticos es conveniente des-

cribir el tamantildeo de partiacutecula con paraacutemetros geneacutericos uacutenicos denominados dimensiones equivalentes Sin embargo a menos que las partiacuteculas sean esferas perfectas (algo raro en el mundo real) hay muchas maneras de describir el tamantildeo de una partiacutecula Ese es el principal desafiacuteo en el anaacutelisis del tamantildeo de partiacutecula iquestCoacutemo describir un objeto 3D con un solo paraacutemetro Para resolver esto se pueden emplear varias definiciones Los paraacutemetros para caracte-rizar la morfologiacutea de las partiacuteculas deben basarse en criterios que cumplan las siguientes condiciones 1 Criterios intuitivos 2 Criterios normalizados 3 Criterios de sensibilidad Los criterios intuitivos deben basarse en una com-prensioacuten humana adecuada teniendo en cuenta la forma en que el investigador percibe el nombre del paraacutemetro y al mismo tiempo su interpretacioacuten fiacutesica El criterio de normalizacioacuten debe exigir valores limitados entre 0 y 1 siempre que sea posible facilitando la interpretacioacuten y procesamiento de datos El criterio de sensibilidad debe capturar la desviacioacuten como la forma ya probada en la vida cotidiana A pesar de estos criterios es necesario tener en cuenta que ninguacuten paraacutemetro es el maacutes apropiado para todas las aplicaciones lo que implica la necesidad de definir el conjunto de paraacutemetros maacutes adecuado para cada investigacioacuten En este sentido se puede decir que para caracterizar la forma y las dimensiones de las partiacuteculas (figura 1) se pueden usar paraacutemetros que midan lo siguiente 1 Dimensiones de las partiacuteculas (longitud ancho altura dimensiones equivalentes etc) 2 Aspecto de partiacutecula (relacioacuten de aspecto alargamiento etc) y forma (esfericidad circularidad convexidad etc) En el caso de los paraacutemetros que caracterizan las dimensiones se sugiere que la mejor alternativa es utilizar el concepto de dimensiones equivalentes en lugar de solo longitud altura y ancho

A veces con solo medir el tamantildeo no es suficiente para identificar diferencias sutiles pero importantes entre las muestras Algunos grupos de muestras pueden ser diferentes por una cantidad tan pequentildea que la diferencia se pierde al traducir algo similar a un diaacutemetro equivalente por ejemplo Lo anterior muestra la principal desventaja de medir el tamantildeo solamente ya que las muestras muy diferentes podriacutean ser caracterizadas como ideacutenticas debido simplemente a tener aacutereas bidimensionales similares proyectadas La forma de la partiacutecula con frecuencia tiene una influencia en los paraacutemetros de rendimiento por lo tanto es importante tener alguna forma de caracterizar la forma tales como esferici-dad circularidad convexidad alargamiento cubicidad etceacutetera

Fig 1 Caracterizacioacuten de la dimensioacuten y forma de la partiacutecula



Caracterizacioacuten de la dimensioacuten de las partiacuteculasLas partiacuteculas pueden ser regulares (por ejemplo esferas) o irregulares y sus dimensiones se pueden caracterizar

usando su longitud ancho y altura (figura 1) que son los paraacutemetros maacutes convencionales Caracterizar la forma de las partiacuteculas regulares es simple pero el caso de las partiacuteculas irregulares es mucho maacutes complejo Las esferas se pueden caracterizar por un solo paraacutemetro (por ejemplo el radio) pero en el caso de partiacuteculas irregulares puede utilizarse el concepto de esfera equivalente La idea es relacionar algunas propiedades geomeacutetricas de la partiacutecula irregular con las propiedades correspondientes de una esfera y calcular un diaacutemetro equivalente (dv) el cual se define por

d Vv = π

613

(1)

El diaacutemetro equivalente es el diaacutemetro de la esfera que tiene el mismo volumen v que la partiacutecula que se ca-racteriza El diaacutemetro de Martin (dM) el diaacutemetro de Feret (dF) y el diaacutemetro del tamiz (dsi) son otros paraacutemetros utilizados para caracterizar partiacuteculas irregulares El diaacutemetro de Martin se utiliza en el proceso de caracterizacioacuten de las imaacutegenes de partiacuteculas de microscopio y representa la longitud de la liacutenea que divide el aacuterea proyectada de la partiacutecula (figura 2 a) Se pueden obtener varios diaacutemetros de Martin para la misma partiacutecula dependiendo de las direcciones de la liacutenea bisectriz Por lo tanto el diaacutemetro de Martin asignado a una partiacutecula debe ser el promedio de varios diaacutemetros obtenidos con diferentes liacuteneas a la mitad

El diaacutemetro de Feret al igual que el diaacutemetro de Martin se utiliza en la caracterizacioacuten de partiacuteculas irregulares cuyas imaacutegenes se obtienen de la microscopiacutea El diaacutemetro de Feret representa la distancia entre dos liacuteneas paralelas que son tangentes a la proyeccioacuten de la partiacutecula (figura 2 b) Como el caso del diaacutemetro de Martin con el diaacutemetro de Feret se puede obtener varios diaacutemetros dependiendo de la direccioacuten de las liacuteneas paralelas En este caso tambieacuten deben rea-lizarse varias mediciones y asumirse un valor de diaacutemetro igual a una media de valores obtenidos con liacuteneas en varias direcciones

Otro meacutetodo para medir el tamantildeo de partiacutecula consiste en tamizar partiacuteculas con tamices de orificio cuadrado como puede verse en la figura 3 El diaacutemetro del tamiz coincide con el tamantildeo del orificio de la rejilla El empleo de esta teacutecnica para caracterizar virtualmente partiacuteculas irregulares es una buena alternativa y para ello solo es necesario identificar los diaacutemetros de las partiacuteculas que determinan los tamices estaacutendar necesarios para su uso Una vez que las partiacuteculas se han clasificado seguacuten el tamiz virtual elegido se clasifica cada partiacutecula

Fig 2 Diaacutemetro de Martiacuten a) y Diaacutemetro de Feret b)

Fig 3 Diaacutemetro de tamiz



El diaacutemetro del tamiz puede usarse tanto para caracterizar partiacuteculas individuales como para caracterizar un conjunto completo de partiacuteculas En este uacuteltimo caso debe realizarse un tratamiento estadiacutestico descrito maacutes adelante En estos estudios granulomeacutetricos es conveniente dividir el intervalo de tamantildeo de partiacutecula en intervalos de clase Una escala de clasificacioacuten granulomeacutetrica corresponde a una serie de subdivisiones de una distribucioacuten de tamantildeos continuos con fines de normalizacioacuten Se ha propuesto una unidad de escala adimensional phi ( ) basada en el logaritmo base 2 de los diaacutemetros de las partiacuteculas en miliacutemetros dmm [13] El logaritmo se multiplica por -1 para evitar nuacutemeros negativos en la clasificacioacuten cuando las partiacuteculas son muy pequentildeas La escala phi se define por

Los ingenieros suelen representar graacuteficamente los resultados del anaacutelisis del tamantildeo de partiacutecula utilizando un sistema de coordenadas cartesianas con el diaacutemetro en miliacutemetros en el eje x en escala logariacutetmica y el por-centaje de material que pasa a traveacutes del tamiz en el eje La representacioacuten graacutefica de los datos granulomeacutetricos puede realizarse con histogramas curvas de densidad o frecuencia acumulativa Este uacuteltimo se llama curva gra-nulomeacutetrica La curva acumulativa es la maacutes comuacuten en el estudio del tamantildeo de las poblaciones granulomeacutetricas Los paraacutemetros estadiacutesticos que caracterizan la granulometriacutea de un empaquetamiento de partiacuteculas pueden ob-tenerse a partir de un histograma de frecuencia Algunos de estos paraacutemetros son la moda la media la mediana la desviacioacuten estaacutendar y el grado de asimetriacutea entre otros

La notacioacuten dx y x utilizada a continuacioacuten denota los valores de diaacutemetro de los granos o partiacuteculas en las graacute-ficas logariacutetmicas y la adimensional phi respectivamente para un porcentaje dado de peso acumulado La moda Mo se define como el valor de la clase maacutes poblada (la maacutes importante) es decir corresponde al valor maacuteximo de la distribucioacuten granulomeacutetrica de las frecuencias La mediana Md se define en [12] como el percentil 50 que corresponde al tamantildeo de grano d50 que divide la distribucioacuten granulomeacutetrica en dos mitades o dos grupos granu-lomeacutetricos de igual masa El valor Md tambieacuten se conoce como el punto de equilibrio de masa y permite hacer una clasificacioacuten de toda la poblacioacuten en granos finos (los maacutes pequentildeos o iguales a d50) y los granos gruesos (aque-llos mayores que d50) Un resumen de los estadiacutesticos que caracterizan la granulometriacutea de un empaquetamiento de partiacuteculas se muestra en la tabla 1

Tabla 1Resumen de estadiacutesticos usados para caracterizarParaacutemetros estadiacutesticos Referencia Foacutermula

Media ( ) [13] =Mediana ( ) [12]Desviacioacuten estaacutendar graacutefica ( ) [13]

Coeficiente de asimetriacutea( )

[13]

Curtosis ( ) [13]

Obs es un percentil Por ejemplo es la base negativa del logaritmo base 2 del tamantildeo de grano correspondiente al 25 de la masa acumulada en la curva ascendente o al 75 de la masa acumulada en la curva descendente

Tambieacuten existen los cuantificadores del tamantildeo de partiacutecula de todo el conjunto de partiacuteculas Este es el caso de los coeficientes de uniformidad y curvatura [5] Sea una magnitud tal que el por ciento de partiacuteculas tenga un tamantildeo menor que con entonces el primero de los coeficientes arriba mencionados se define como y el segundo se define por la igualdad Cuanto mayor sea Cu maacutes amplia seraacute la gama de tamantildeos de partiacutecula Ademaacutes un tamantildeo de partiacutecula bien graduado tendraacute un Cz entre 1 y 3

Ocupacioacuten del espacioLa caracterizacioacuten del grado de ocupacioacuten espacial es otra alternativa para la caracterizacioacuten de empaquetamiento de

partiacuteculas En este sentido la fraccioacuten volumeacutetrica es la relacioacuten entre el volumen de las partiacuteculas y el volumen de la

φ = - log2 dmm (2)



geometriacutea contenedora Esta teacutecnica mide el grado de ocupacioacuten geomeacutetrica de un medio Para el caso del modelado a escala macro este valor debe ser lo maacutes alto posible y en el caso de modelaciones a escala micro este valor debe ser similar al valor correspondiente del medio fiacutesico real que se estaacute modelando con DEM La fraccioacuten de volumen puede expresarse como

FV

Vvi

ni

p

= =sum 1

(3)

donde np Nuacutemero total de partiacuteculasVi Volumen de la i-eacutesima partiacuteculaV Volumen de la geometriacutea contenedoraEl iacutendice de poros es una medida relativa al vaciacuteo geomeacutetrico de un medio y se define por la relacioacuten

eVVv

p= (4)

dondeVv y Vp Voluacutemenes de espacio vaciacuteo y de partiacuteculas respectivamenteLa porosidad es otro paraacutemetro que mide el grado de ocupacioacuten del espacio y cuantifica cuaacutento espacio vaciacuteo hay

siendo un nuacutemero dual de la fraccioacuten volumeacutetrica Esta se define como la diferencia entre uno y la fraccioacuten volumeacutetrica

n Fv= 1- (5)

Se obtiene una definicioacuten alternativa de n con la relacioacuten entre el volumen del espacio vaciacuteo y el volumen de la geo-metriacutea contenedora

nVVv= (6)

La relacioacuten entre el iacutendice de poros y la porosidad viene dada por la siguiente foacutermula

e nn

=1-

(7)

HomogeneidadLa verificacioacuten de la homogeneidad de los empaquetamientos es otra propiedad que es necesario definir Se

basa en la verificacioacuten del ajuste a la distribucioacuten uniforme de las coordenadas del centro de partiacuteculas La homo-geneidad de las posiciones de las partiacuteculas se examina aquiacute sin dividir el espacio que es una deficiencia en la teacutecnica anaacuteloga existente [3] La prueba se puede llevar a cabo utilizando pruebas de bondad de ajuste [14] para lo que las pruebas Chi-cuadrado o Kolmogorov-Smirnov [15] se puede utilizar Esta uacuteltima prueba para el caso de la distribucioacuten uniforme puede ser la siguiente

Sean

D maacutex inxn i n i

+

le le=

1

- (8)

D aacute x inn i n i

- m x - - =

le le1

1 (9)

D maacutex D Dn n n= + - (10)

Se rechaza la hipoacutetesis nula de que los valores analizados se distribuyen uniformemente en el intervalo [010) si



nnD cn+ +

gt012 011

1 -α

(11)

Donde el valor criacutetico con una confianza de es igual a 1358 Para realizar la prueba los valores de las coordenadas de los centros deben ser escalados al intervalo

Grado de conectividadLa conectividad del sistema de partiacuteculas se puede medir de varias maneras Algunos de los indicadores que pueden

utilizarse para este propoacutesito son el nuacutemero de coordinacioacuten [2] el nuacutemero de coordinacioacuten mecaacutenica [2 16] el nuacutemero de coordinacioacuten especiacutefico [2 17] y la densidad de contacto [2 18] entre otros El nuacutemero de coordinacioacuten [2] cuantifica el nuacutemero de contactos por partiacutecula en el material y da una idea del nuacutemero de contactos a la escala de las partiacuteculas Su definicioacuten estaacute dada por

ZNNc

p= 2 (12)

dondeNp Cantidad de partiacuteculasNc Nuacutemero total de contactos entre partiacuteculasDado que en el proceso de transmisioacuten de los esfuerzos mecaacutenicos en los envases de partiacuteculas no todas las partiacute-

culas contribuyen de la misma manera es necesario refinar este criterio de nuacutemero de coordinacioacuten Un criterio refinado [2 16] es el nuacutemero de coordinacioacuten mecaacutenica dado por

ZN N

N N Nm

c p

p p p

=+( )

21

1 0

-

-

(13)

Donde N0p y N1

p son el nuacutemero de partiacuteculas con un solo contacto y el nuacutemero de partiacuteculas sin contactos respectivamenteLa uacuteltima modificacioacuten trata de cuantificar las partiacuteculas que realmente participan en la transmisioacuten de esfuerzos Una

forma de cuantificar la densidad de contactos en el material se ha propuesto en [2 18] junto a los nuacutemeros de coordina-cioacuten Z y Zm ya definidos Esta teacutecnica de caracterizacioacuten y evaluacioacuten de empaques se denomina densidad de contacto (m_v) y se define como

m NVvc=

2 (14)

donde V Volumen del material

IsotropiacuteaLa caracterizacioacuten de la isotropiacutea de un empaquetamiento es otra de las caracteriacutesticas que deben ser evaluadas

Para ello se pueden utilizar teacutecnicas como la isotropiacutea global el coeficiente de autocorrelacioacuten el tensor de tejido y la aleatoriedad de las liacuteneas centro a centro La isotropiacutea global se basa en la aplicacioacuten de una prueba de igualdad de varianza a las varianzas de las aacutereas procedentes de los planos de corte que son perpendiculares a las tres direcciones principales del espacio [3] (figura 4) La posible diferencia de varianza de las aacutereas de interseccioacuten de partiacuteculas con planos equidistantes perpendiculares a cada eje se puede evaluar con esta teacutecnica La diferencia de variancias implica la anisotropiacutea del empaquetamiento

Sea una variable de varianza que sigue una distribucioacuten normal y representa la fraccioacuten de aacuterea obte-nida a partir de un plano de corte perpendicular al eje x Y dejar y las otras dos variantes anaacutelogas definidas con respecto a los otros ejes Sea observaciones de and correspondientes a planos equiespaciados y and sus respectivas varianzas Entonces con el fin de probar si el embalaje tiene isotropiacutea global se puede plantear la hipoacutetesis y Algunas pruebas como Fisher [15] U de Mann-Whitney [15] o Conover [19] se puede utilizar para verificar la hipoacutetesis



Otra medida global de la aleatoriedad de un empaquetamiento es su coeficiente de autocorrelacioacuten [3] Sea la lista de fracciones de aacuterea correspondientes a planos equispaciados que cortan el empaquetamiento

de las partiacuteculas Los valores se pueden considerar como una serie temporal de una variable θ Si el empaquetamiento es completamente aleatorio (y no es perioacutedico por ejemplo) entonces no debe haber correlacioacuten entre los valores de θ Los coeficientes de autocorrelacioacuten [20] se definen como

Ckj

m kj j k

j

mj

=( )( )

( )= +

=

sumsum1

1

2

- - -

-

θ θ θ θ

θ θ

(15)

Donde es la media de las observaciones El coeficiente es inuacutetil para Si una serie de tiempo es comple-tamente aleatoria entonces seguiraacute una distribucioacuten normal con media cero y varianza [3] Por lo tanto alrededor 95 del de los valores de deben tener un valor absoluto menor que Si esto no se cumple para algunos entonces se puede decir que la serie de tiempo y por lo tanto el empaquetamiento no son completamente al azar

El tensor de tejido [8] es una magnitud que describe la distribucioacuten de las orientaciones de los contactos en el conjunto de partiacuteculas Utilizando los vectores unitarios (el iacutendice corresponde a los contactos y el iacutendice a las partiacuteculas) que unen los centros de las partiacuteculas en contacto el tensor de la tela puede escribirse como

φijc

Nic

jcc n n

n= =sum 1

(16)

donde Nuacutemero de partiacuteculas Nuacutemero de contactosLa teacutecnica denominada aleatoriedad entre las liacuteneas centro-centro entre las partiacuteculas en contacto mide el nivel de ho-

mogeneidad que tiene el medio cuantificando la uniformidad del comportamiento del centro a las liacuteneas centrales entre las partiacuteculas en contacto [3] Sean las proyecciones relativas de dos partiacuteculas en contacto donde y son las proyecciones de las liacuteneas centro-centro en los ejes de coordenadas cartesianas Entonces seguacuten [3] si el empaqueta-miento es isotroacutepico entonces las proyecciones relativas obedeceraacuten a la distribucioacuten uniforme sobre el intervalo (-11)

x xr r

y yr r

z zr r12

12

1 212

12

1 212

12

1 2

=+

=+

=+

(17)

RESULTADOS Y DISCUSIOacuteNSe aplican algunas de las teacutecnicas de evaluacioacuten de empaquetamientos previamente vistas La caracterizacioacuten se

lleva a cabo inicialmente con un empaquetamiento cuyas partiacuteculas tienen una distribucioacuten de tamantildeo uniforme A con-tinuacioacuten se obtienen 30 empaquetamientos maacutes con el fin de tener alguna significacioacuten estadiacutestica

Fig 4 Empaquetamiento y secciones de planos cortantes



Caracterizacioacuten de empaquetamientos de esferas con radios en el intervalo [1 2] En este ejemplo se llenoacute un cubo de lado 50 con esferas (figura 5) de radios que siguen una distribucioacuten uniforme

continua en el intervalo [ 12 ] Las magnitudes principales que lo caracterizan se pueden ver en la tabla 2 Puede obser-varse que en este caso la fraccioacuten volumeacutetrica es aproximadamente 1 mayor que el valor obtenido con condiciones similares en otros trabajos de investigacioacuten importantes como [21] Aquiacute la comparacioacuten es justa dado que los radios siguen la misma distribucioacuten No se han encontrado valores superiores a este en la literatura para algoritmos de empa-quetamiento geomeacutetrico de partiacuteculas La notacioacuten en la tabla 2 corresponde a los paraacutemetros de caracterizacioacuten previa-mente definidos Los valores marcados con asteriscos indican que el empaquetamiento no es completamente aleatorio

El empaquetamiento previamente caracterizado se replicoacute 30 veces con el fin de tener una idea preliminar de la varia-bilidad de los paraacutemetros calculados Los resultados se muestran en la tabla 3

Tabla 2 Paraacutemetros correspondientes al empaquetamiento de la figura 5Paraacutemetro Valor Paraacutemetro Valor Paraacutemetro Valor

0542 343 4863 46 0000 855 317 0457 657 0780 697 0373 209 0843 85 0008 802 89 0000 855 317

1459 86 0936 745 0854 76

1033 58 1273 56 0204 594 1044 81 1970 95 1460 31 6378 82 0626 791 0964 001

La siguiente es la notacioacuten empleada en la tabla 2 En esta tabla asiacute como en la tabla 3 para cualquier magnitud las notaciones y representan la media aritmeacutetica y la varianza de respectivamente

- Fraccioacuten de volumen- Porosidad- Iacutendice de poros- Valor de la estadiacutestica de Kolmogorov-Smirnov para las coordenadas x de los centros de las partiacuteculas (el valor

criacutetico es 1358 y un valor de la estadiacutestica mayor que este umbral implica que no hay ajuste a la distribucioacuten uniforme) Este paraacutemetro junto con los dos siguientes se utiliza para cuantificar la homogeneidad del empaquetamiento

- Paraacutemetros anaacutelogos para las coordenadas y y z respectivamente- Nuacutemero de coordinacioacuten- Valor-p de la prueba de Connover para la comprobacioacuten de la isotropiacutea global utilizando planos de corte- Error relativo maacuteximo de los valores propios del tensor de la tejido con respecto a 13- Valor de la estadiacutestica Kolmogorov-Smirnov (ver anterior para las coordenadas x de las normales de

contacto)- Paraacutemetros anaacutelogos para las coordenadas y y z respectivamente- Fraccioacuten de volumen local El radio de la esfera de control se tomoacute tres veces el radio de la esfera local- Porosidad local- Iacutendice de poro local

Fig 5 Empaquetamiento de 4 249 esferas en un cubo de lado 50 con radios uniformemente distribuidos en el intervalo [12]



- Coeficiente de uniformidad- Coeficiente de curvatura

Tabla 3Valores que caracterizan los 30 empaquetamientos distribucioacuten de tamantildeo uniforme

Paraacutemetro Valor Paraacutemetro Valor Paraacutemetro Valor0527 242 0419 068 3053 2510-6

1481 4 0007 115 59 1454 36

1483 35 1463 86 0000 092 808 9

1530 89 1077 06 0959 5076295 28 1039 27 0000 102 388

0000 086 422 2 0507 127

La fraccioacuten volumeacutetrica de los 30 empaquetamientos (figura 6 a) puede considerarse alta [22] Otro descriptor de la ocupacioacuten del espacio es la fraccioacuten de volumen local (figura 6 b)

Los empaquetamientos son isotroacutepicos de acuerdo con (figura 7 a) que todos los valores-p estaacuten por encima de 005) y (figura 7 b) que todos los valores de estaacuten por debajo de 005) pero no lo son seguacuten las normales de contacto que no tienen coordenadas uniformes (figura 8 a) La conectividad que de alguna manera estaacute relacionada con la isotropiacutea se midioacute por el nuacutemero de coordinacioacuten (figura 8 b)

Fig 6 Fraccioacuten de volumen (FV) a) FV global b) FV local

Fig 7 Isotropiacutea a) Global b) Local error relativo de los valores propios del tensor de tejido



A pesar de que los empaquetamientos son aleatorios no deben considerarse homogeacuteneos ya que varios de ellos no tienen sus centros distribuidos uniformemente dentro del dominio (figura 9)

La distribucioacuten del tamantildeo de partiacutecula se muestra con los coeficientes de uniformidad y curvatura (figura 10) Se pue-de observar que estos coeficientes estaacuten proacuteximos a los valores teoacutericos 145 y 096 respectivamente correspondientes a la distribucioacuten uniforme continua en el intervalo

Fig 10 Caracterizacioacuten de la distribucioacuten del tamantildeo de par-tiacutecula a) Coeficiente de uniformidad b) Coeficiente de cur-vatura

CONCLUSIONESSe crea una metodologiacutea que incluye varias teacutecnicas de caracterizacioacuten de empaquetamientos Esta evaluacutea caracte-

riacutesticas como dimensiones y forma de las partiacuteculas ocupacioacuten del espacio homogeneidad conectividad e isotropiacutea La clasificacioacuten e integracioacuten de varias teacutecnicas de evaluacioacuten permite realizar una evaluacioacuten sisteacutemica de los empaque-tamientos de partiacuteculas con el fin de garantizar la calidad de los conjuntos iniciales de partiacuteculas para simulaciones de DEM tanto a nivel micro como macro

Se utilizan varias teacutecnicas para evaluar la ocupacioacuten del espacio se empean nuevas teacutecnicas para verificar la homo-geneidad y se realiza un uso sisteacutemico de las teacutecnicas de medicioacuten de conectividad e isotropiacutea Tambieacuten se han formu-lado nuevas teacutecnicas de evaluacioacuten del empaque entre ellas 1 La uniformidad de las coordenadas de los centros de las partiacuteculas 2 La uniformidad de los aacutengulos esfeacutericos del centro a las liacuteneas centrales La teacutecnica correspondiente a este uacuteltimo caso mejora las deficiencias existentes en teacutecnicas anaacutelogas Teacutecnicas existentes en otras aacutereas del cono-cimiento fueron adaptadas para evaluar sistemas de partiacuteculas

REFERENCIAS 1 Stoyan S Kendall WS Mecke J Stochastic geometry and its applications Chichester Inglaterra John Wiley and

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Press Taylor amp Francis 2011 3 He D Ekere NN Cai L New statistic techniques for structure evaluation of particle packing Materials Science and

Engineering 2001 A 298 pp 209-215

Fig 8 Isotropiacutea y conectividad a) Uniformidad de las coordenadas de las normales de contacto b) Nuacutemero de coordinacioacuten

Fig 9 Homogeneidad a) Uniformidad de los centros de las partiacutecu-las b) Coeficientes de autocorrelacioacuten



4 Stoyan D Random systems of hard particles models and statistics Chinese Journal of Stereology and Image Analy-sis 20027(1)

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sidad Central Marta Abreu de Las Villas 201216 Thornton C Liu L DEN simulations of uniaxial compression and decompression In Proceedings of International

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ticle Mechanics 20152(2)161-72



INTRODUCCIOacuteNLos conjuntos de partiacuteculas dan lugar a patrones geomeacutetricos complicados que habitualmente requieren ser anali-

zados con modelos matemaacuteticos apropiados El campo de investigacioacuten que busca proporcionar tales modelos es la llamada Geometriacutea Estocaacutestica [1] Dentro de esa disciplina cientiacutefica la investigacioacuten se centra principalmente en los procesos puntuales y tal disciplina es faacutecilmente extensible a una aplicacioacuten al caso de las partiacuteculas En [2] se definen varias estadiacutesticas que pueden describir la forma geomeacutetrica y la variabilidad espacial de los sistemas de par-tiacuteculas (homogeneidad isotropiacutea etc) Sin embargo se pueden desarrollar nuevas teacutecnicas y todas pueden utilizarse de manera unificada

Las simulaciones numeacutericas con el Meacutetodo de Elementos Discretos (DEM) estaacuten estrechamente relacionadas con las teacutecnicas de evaluacioacuten de empaquetamientos de partiacuteculas ya que estos uacuteltimas garantizan parcialmente el eacutexito de la simulacioacuten En varias investigaciones anteriores se han desarrollado o aplicado muchas teacutecnicas separadas pero el problema necesita ser abordado de una manera sisteacutemica Varias teacutecnicas separadas para evaluar embalajes de partiacuteculas son tratadas en la literatura cientiacutefica [3-11] Estas pueden agruparse en las dos categoriacuteas siguientes Teacutecnicas que dependen (directamente o no) de la geometriacutea de las partiacuteculas y teacutecnicas que no dependen en absoluto de la geometriacutea de las partiacuteculas El primer grupo incluye fraccioacuten de volumen porosidad isotropiacutea aleatoriedad de las aacutereas formadas por interseccioacuten con planos de corte covarianza distribucioacuten de contacto esfeacuterica funcioacuten de cova-rianza y coeficiente de autocorrelacioacuten etc Las teacutecnicas que no dependen de la geometriacutea de las partiacuteculas incluyen el tejido tensor el nuacutemero de coordinacioacuten la homogeneidad de los centros de las partiacuteculas y la aleatoriedad del centro a las liacuteneas centrales que unen a las partiacuteculas en contacto entre otras teacutecnicas Otra mejor clasificacioacuten seriacutea tener en cuenta la funcioacuten que tiene la teacutecnica como el llenado del espacio la homogeneidad la isotropiacutea la conectividad y las caracteriacutesticas de las partiacuteculas individuales Una de las teacutecnicas descritas es la homogeneidad de los centros de par-tiacuteculas que se mide en [3] comprobando la uniformidad del nuacutemero de centros en las ceacutelulas de una particioacuten espacial regular Esta manera de medir la homogeneidad tiene la desventaja de depender del tamantildeo de la celda y se propone un mejor enfoque en el presente trabajo

Las teacutecnicas de evaluacioacuten de empaquetamientos que dependen de las formas de partiacutecula existen principalmente para el caso maacutes simple que son esferas Dichas teacutecnicas deben generalizarse a otras formas de partiacuteculas con el fin de evaluar empaquetamientos de formas distintas de las esferas que se utilizaraacuten en simulaciones de DEM Se han lle-vado a cabo estudios con cierto grado de completitud para algunos empaquetamientos [6] empleando algunas teacutecnicas aisladas Un anaacutelisis estadiacutestico espacial para esferas con radio y posicioacuten aleatoria se presenta en [6] Sin embargo las teacutecnicas se aplican alliacute sin un enfoque sisteacutemico A veces es conveniente poder cuantificar la aleatoriedad de un sistema de cuerpos por ejemplo si es necesario realizar una simulacioacuten DEM de un material isotroacutepico es conveniente que el empaque desde el cual comience la simulacioacuten sea lo maacutes homogeacuteneo posible Varias teacutecnicas para evaluar la aleato-riedad de los sistemas de partiacuteculas para simulaciones computacionales se presentan en [3] El enfoque solo se aplica a las partiacuteculas esfeacutericas En otras investigaciones se han implementado enfoques maacutes completos y se han utilizado maacutes teacutecnicas (como la verificacioacuten de la uniformidad de las coordenadas de los centros) En otras investigaciones como [8] se han utilizado algunos paraacutemetros de caracterizacioacuten como el radio medio y el tensor de tejido Este uacutel-timo radio medio se define como la media cuadraacutetica (cuacutebica) en 2D (3D) y el tensor del tejido tiene la propiedad de que sus valores propios son iguales en una media completamente isotroacutepica Las caracteriacutesticas del espacio vaciacuteo entre las esferas reordenadas por gravedad se ha estudiado con Delaunay Tesselations [11] La estructura vaciacutea se ha cuantificado con funciones de densidad de probabilidad y con funciones de conectividad Seguacuten los autores de [11] seraacute necesario como parte de una investigacioacuten futura relacionar cuantitativamente las medidas obtenidas de morfologiacutea y topologiacutea con las propiedades de transporte del material

Se puede decir como conclusiones geneacutericas que las teacutecnicas de evaluacioacuten de empaquetamientos encontradas en la literatura solo se han aplicado a casos especiacuteficos No existe una formulacioacuten general y sisteacutemica aplicada a la eva-luacioacuten de los empaquetamientos Ademaacutes las teacutecnicas para la caracterizacioacuten local que dependen de las formas de las partiacuteculas no han sido analizadas estadiacutesticamente y ni siquiera han sido estudiadas con estadiacutestica descriptiva Tenien-do en cuenta las conclusiones geneacutericas anteriores y el estado del arte del tema es obvio que es necesario establecer un enfoque general y sisteacutemico para evaluar y caracterizar los sistemas de partiacuteculas

MATERIALES Y MEacuteTODOSComo se ha expresado anteriormente en este trabajo se han clasificado las teacutecnicas de evaluacioacuten en dos grandes

grupos Teacutecnicas que dependen de las formas de las partiacuteculas teacutecnicas que no lo hacen Se propone una clasificacioacuten auacuten maacutes integral mediante la cual las teacutecnicas se agrupan seguacuten su funcioacuten Esta clasificacioacuten permite tener un enfoque sisteacutemico para evaluar y caracterizar las empaquetaduras de partiacuteculas Las teacutecnicas de evaluacioacuten pueden ser utiliza-













d Vv = π

613

(1)














[13]

Curtosis ( ) [13]





φ = - log2 dmm (2)




FV

Vvi

ni

p

= =sum 1

(3)


eVVv

p= (4)



n Fv= 1- (5)


nVVv= (6)


e nn

=1-

(7)



Sean


+

le le=

1

- (8)


- m x - - =

le le1

1 (9)





nnD cn+ +

gt012 011

1 -α

(11)




ZNNc

p= 2 (12)



ZN N

N N Nm

c p

p p p

=+( )

21

1 0

-

-

(13)

Donde N0p y N1



m NVvc=

2 (14)









Ckj

m kj j k

j

mj

=( )( )

( )= +

=

sumsum1

1

2

- - -

-

θ θ θ θ

θ θ

(15)



φijc

Nic

jcc n n

n= =sum 1

(16)



x xr r

y yr r

z zr r12

12

1 212

12

1 212

12

1 2

=+

=+

=+

(17)










0542 343 4863 46 0000 855 317 0457 657 0780 697 0373 209 0843 85 0008 802 89 0000 855 317

1459 86 0936 745 0854 76

1033 58 1273 56 0204 594 1044 81 1970 95 1460 31 6378 82 0626 791 0964 001












1481 4 0007 115 59 1454 36

1483 35 1463 86 0000 092 808 9

1530 89 1077 06 0959 5076295 28 1039 27 0000 102 388

0000 086 422 2 0507 127

















































d Vv = π

613

(1)














[13]

Curtosis ( ) [13]





φ = - log2 dmm (2)




FV

Vvi

ni

p

= =sum 1

(3)


eVVv

p= (4)



n Fv= 1- (5)


nVVv= (6)


e nn

=1-

(7)



Sean


+

le le=

1

- (8)


- m x - - =

le le1

1 (9)





nnD cn+ +

gt012 011

1 -α

(11)




ZNNc

p= 2 (12)



ZN N

N N Nm

c p

p p p

=+( )

21

1 0

-

-

(13)

Donde N0p y N1



m NVvc=

2 (14)









Ckj

m kj j k

j

mj

=( )( )

( )= +

=

sumsum1

1

2

- - -

-

θ θ θ θ

θ θ

(15)



φijc

Nic

jcc n n

n= =sum 1

(16)



x xr r

y yr r

z zr r12

12

1 212

12

1 212

12

1 2

=+

=+

=+

(17)










0542 343 4863 46 0000 855 317 0457 657 0780 697 0373 209 0843 85 0008 802 89 0000 855 317

1459 86 0936 745 0854 76

1033 58 1273 56 0204 594 1044 81 1970 95 1460 31 6378 82 0626 791 0964 001












1481 4 0007 115 59 1454 36

1483 35 1463 86 0000 092 808 9

1530 89 1077 06 0959 5076295 28 1039 27 0000 102 388

0000 086 422 2 0507 127













































[13]

Curtosis ( ) [13]





φ = - log2 dmm (2)




FV

Vvi

ni

p

= =sum 1

(3)


eVVv

p= (4)



n Fv= 1- (5)


nVVv= (6)


e nn

=1-

(7)



Sean


+

le le=

1

- (8)


- m x - - =

le le1

1 (9)





nnD cn+ +

gt012 011

1 -α

(11)




ZNNc

p= 2 (12)



ZN N

N N Nm

c p

p p p

=+( )

21

1 0

-

-

(13)

Donde N0p y N1



m NVvc=

2 (14)









Ckj

m kj j k

j

mj

=( )( )

( )= +

=

sumsum1

1

2

- - -

-

θ θ θ θ

θ θ

(15)



φijc

Nic

jcc n n

n= =sum 1

(16)



x xr r

y yr r

z zr r12

12

1 212

12

1 212

12

1 2

=+

=+

=+

(17)










0542 343 4863 46 0000 855 317 0457 657 0780 697 0373 209 0843 85 0008 802 89 0000 855 317

1459 86 0936 745 0854 76

1033 58 1273 56 0204 594 1044 81 1970 95 1460 31 6378 82 0626 791 0964 001












1481 4 0007 115 59 1454 36

1483 35 1463 86 0000 092 808 9

1530 89 1077 06 0959 5076295 28 1039 27 0000 102 388

0000 086 422 2 0507 127








































FV

Vvi

ni

p

= =sum 1

(3)


eVVv

p= (4)



n Fv= 1- (5)


nVVv= (6)


e nn

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(7)



Sean


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(11)




ZNNc

p= 2 (12)



ZN N

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Donde N0p y N1



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(16)



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1 212

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1 212

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(17)










0542 343 4863 46 0000 855 317 0457 657 0780 697 0373 209 0843 85 0008 802 89 0000 855 317

1459 86 0936 745 0854 76

1033 58 1273 56 0204 594 1044 81 1970 95 1460 31 6378 82 0626 791 0964 001












1481 4 0007 115 59 1454 36

1483 35 1463 86 0000 092 808 9

1530 89 1077 06 0959 5076295 28 1039 27 0000 102 388

0000 086 422 2 0507 127







































nnD cn+ +

gt012 011

1 -α

(11)




ZNNc

p= 2 (12)



ZN N

N N Nm

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21

1 0

-

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(13)

Donde N0p y N1



m NVvc=

2 (14)









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m kj j k

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(16)



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12

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(17)










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1459 86 0936 745 0854 76

1033 58 1273 56 0204 594 1044 81 1970 95 1460 31 6378 82 0626 791 0964 001












1481 4 0007 115 59 1454 36

1483 35 1463 86 0000 092 808 9

1530 89 1077 06 0959 5076295 28 1039 27 0000 102 388

0000 086 422 2 0507 127









































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m kj j k

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(15)



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(16)



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(17)










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1459 86 0936 745 0854 76

1033 58 1273 56 0204 594 1044 81 1970 95 1460 31 6378 82 0626 791 0964 001












1481 4 0007 115 59 1454 36

1483 35 1463 86 0000 092 808 9

1530 89 1077 06 0959 5076295 28 1039 27 0000 102 388

0000 086 422 2 0507 127











































0542 343 4863 46 0000 855 317 0457 657 0780 697 0373 209 0843 85 0008 802 89 0000 855 317

1459 86 0936 745 0854 76

1033 58 1273 56 0204 594 1044 81 1970 95 1460 31 6378 82 0626 791 0964 001












1481 4 0007 115 59 1454 36

1483 35 1463 86 0000 092 808 9

1530 89 1077 06 0959 5076295 28 1039 27 0000 102 388

0000 086 422 2 0507 127










































1481 4 0007 115 59 1454 36

1483 35 1463 86 0000 092 808 9

1530 89 1077 06 0959 5076295 28 1039 27 0000 102 388

0000 086 422 2 0507 127





































caracterización y evaluación sistémica de empaquetamientos

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