caracol de pascal

7/23/2019 Caracol de Pascal

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Construccion Definicion Ecuacion Polar Ecuaciones Parametricas Ecuacion rectangular Triseccion del angulo

CARACOL DE PASCALConstrucion, sus ecuaciones y la triseccion

Julieth GaravitoSayda QuirogaSteven Jaimes

Stefany Tibocha

SSSJ

December 4, 2014

Julieth Garavito Sayda Quiroga Steven Jaimes Stefany Tibocha SSSJ CARACOL DE PASCAL 1/28
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Indice

1 Construccion

2 Definicion

3 Ecuacion Polar

4 Ecuaciones Parametricas

5 Ecuacion rectangular

6 Triseccion del angulo

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Indice

1 Construccion

2 Definicion

3 Ecuacion Polar






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Caracol de Pascal

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Indice

1 Construccion

2 Definicion

3 Ecuacion Polar





C t i D fi i i E i P l E i P t i E i t l T i i d l l
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Definicion como lugar geometrico

Definicion

El caracol de pascal es el lugar geometrico determinado por Pcuando Sse mueve sobre la

C, a

2


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Indice

1 Construccion

2 Definicion

3 Ecuacion Polar







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Ecuacion Polar

Ecuacion Polar

Ahora para hallar la ecuacion polar vamos a hallar OT, pues

necesitamos dicha longitud para trabajar con el OPT, peropodemos observar que OT =OC+ CT, de donde OC=a,entonces OT =a + CT.




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Para hallar CT, tomamos elCST, aplicando cos tenemos:

cos =a

2

CT

CT =a

2

cos

CT = a2sec

Conociendo CT , podemos decir que OT =a + a2sec

entonces OT =a(1 + 12sec ).


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Ahora, para hallar OP, en el OPTaplicamos cos

cos =OP

OT

Y as tenemos que cos OT =OP, entonces

a cos +a

2

Finalmente,

Ecuacion polar

r=OP=a cos +a

2


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g g

Indice

1 Construccion

2 Definicion

3 Ecuacion Polar





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g g

Hallando las ecuaciones parametrias

Ecuaciones parametricas

Ahora, como ya tenemos nuestra ecuacion polar vamos ahallar las ecuaciones parametricas, para esto tomamos elOPTaplicamos cos = OP

OT




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Ecuacion Parametrica en x

Trazamos una perpendicular a OT por Py llamamos al puntode interseccion K , de donde OK =x y KP=y

Para la coordenada de xdecimos que

cos =OX

OP

x= cos (a cos +a

2)


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Finalmente, la ecuacion parametrica para x es:

Ecuacion Parametrica en x

x=a cos2 +a

2cos


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Ecuacion parametrica en y

Para las coordenadas de y, usamos sin es decir:

=PK

OP

PK=OPsin

PK= sin (a cos +a

2)


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Como PK =y entonces

Ecuacion Parametrica en y

y=a sin cos +a

2


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Indice

1 Construccion

2 Definicion

3 Ecuacion Polar






C
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Coordenadas rectangulares



C d d l
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Para comenzar, nos centraremos en el OPKy en lo quehasta ahora hemos venido haciendo, entonces, en estetriangulo, tenemos que

r=x2 +y2

y ademas, en el mismo triangulo, tenemos que:

cos = OKOP

= xx2 +y2



C d d l
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Ahora, en la coordenada polar que inicialmente habamosobtenido(r=acos + a

2), reemplazamos estos valores obtenidos

para ry cos , es decir, vamos a obtener:

x2 +y2 =a

x

x

2

+y2

+a

2


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Finalmente, la ecuacion rectangular sera:

Ecuacion rectangular

(x2 +y2 ax)2 = a2

4(x2 +y2)



I di
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Indice

1 Construccion

2 Definicion

3 Ecuacion Polar






C t i d l t i i
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Construccion de la triseccion



D t i
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Demostracion

Para mostrar el metodo para trisecar un angulo con Elcaracol del Pascal, vamos a trabajar con el OPTy vamos atomar un punto A que pertenezca a la curva, en seguidatrazamos FAvamos a tener que:

OB=OP

Puesto que son radios de la

O, a, pero tambien vamos atener que:

AF =OB=OP

Esto por una propiedad que cumple el caracol de Pascal.


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Ahora bien, vamos a trazar una recta m tal que mFA por elpunto O, es decir, por el polo. Esta recta paralela, es la queempieza a trisecar al AOB.

Tambien tenemos que los FOP y OPA son isosceles, porconstruccion tenamos que el OFP= y como los triangulosson isosceles resulta que:

AOP= OAP


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Ademas, tenemos que: mAOP=mOAP=

2

Y por otro lado, mBOP= 2

De acuerdo a lo anterior tenemos:

mAOB=mBOPmAOP

Luego, al sustituir se obtiene:

mAOB= 2

2

mAOB= 32



Triseccion
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Triseccion

Y finalmente podemos concluir que

Triseccion del angulo

mOAP=mAOB

3

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caracol de pascal

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