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Captulo 6

MOVIMIENTO FORZADOCARGA IMPULSIVA

6.1 INTRODUCCIN

Una carga impulsiva consta esencialmente de un impulso principal, el cual generalmente es de corta duracincomo el que se muestra en la Figura 6.1. Las explosiones y las rfagas de viento son excitaciones de este tipo, que

pueden ser idealizados por formas simples como se ver en prrafos posteriores.

La respuesta del sistema sujeto a carga impulsiva no llega a alcanzar el estado permanente de vibracin; debido a

que la respuesta mxima es alcanzada en un lapso corto de tiempo, antes de que la fuerza de amortiguamiento

pueda absorber gran parte de la energa de vibracin del sistema, solo se considera la respuesta no amortiguada

en esta seccin.

Utilizando ecuaciones diferenciales se determina la respuesta de un sistema sujeto a carga impulsiva en dos fases:

la fase de vibracin forzada, que abarca el tiempo de excitacin, y la fase en vibracin libre, que continua alfinalizar la accin de la carga impulsiva.

1. Excitacin del tipo carga impulsiva

6.2 CARGA IMPULSIVA RECTANGULAR

t

p(t)

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Vibracin forzada, carga impulsiva

El primer caso en analizar es la respuesta de la estructura sujeta a una carga impulsiva de tipo rectangular como la

que se muestra en la Figura 6.2. La ecuacin a resolver es:

)(tpkuum =+

1

1

tt

ttp

0

0( 6.0)

2. Impulso Rectangular

Con las condiciones iniciales en reposo 0)()( == tt uu , el anlisis es realizado en dos fases:

Fase I La fuerza es aplicada instantneamente y permanece constante durante esta fase. La solucin particular

para la ecuacin diferencial es:

k

p

u tp0

)( = (6.2)

Y la solucin complementaria es:

tsenBtAu nntc += cos)( (6.3)

Y la solucin total es la suma de ambas soluciones:

k

ptsenBtAu nnt

0)( cos ++= (6.4)

Aplicando las condiciones iniciales a la ecuacin 6.4 se determinan las constantes A y B, y la ecuacin de

respuesta para esta fase es:

Para: 10 tt ( )tk

pu nt cos1

0)( = (6.5)

Fase II La ecuacin de respuesta para la fase de vibracin libre esta dada por la ecuacin 4.5:

57

t

p

1

0

Fase I Fase II

1t-t

p(t)

t

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tsenu

tuu nn

nt

)0(

)0()( cos

+= (6.6)

Para: 01 tt )()(cos 1)(

1)()(1

1ttsen

uttuu n

n

t

ntt +=

(6.7)

Para este impulso rectangular es evidente que la respuesta mxima ocurrir siempre en la fase I, si21nTt

correspondiente a cargas de duracin larga1 y el factor de respuesta en este caso esRd=2:

k

pu 00 2= (6.8)

Para cargas de duracin corta, la respuesta mxima ocurre en la fase de vibracin libre y est dada por:

2)(

2

)(

0 1

1

tn

tuuu +

=

(6.9)

Con la velocidad final de lafase I 10

)( 1tsen

k

pu nnt = y

nTn

2= en la ecuacin 6.9 se tiene:

Para:21nTt

nT

tsen

k

pu 100 2

=

(6.10)

nd

T

tsenR 12

=

(6.11)

Por tanto se observa que el factor de respuesta dinmica vara como una funcin seno de la duracin del impulso

para21nTt , ver Figura 6.5.

6.3 CARGA IMPULSIVA TRIANGULAR

El segundo caso a analizar es el impulso triangular decreciente de la Figura 6.3, el anlisis de la respuesta se

realiza anlogamente al anlisis de la carga impulsiva rectangular.

1 Referirse a la seccin 6.6

58

t

p

1

0

Fase I Fase II

1t-t

p(t)

t

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3. Impulso Triangular

Fase I La funcin que describe la carga durante esta fase es )1(1

0)( tt

t pp = . La solucin particular a laecuacin de movimiento para esta carga es:

)1(1

0)( t

ttp

kpu = (6.12)

Aplicando en la solucin general las condiciones iniciales en reposo se determinan las constantes de integracinA yB obteniendo la ecuacin de respuesta para esta fase:

+= 1cos

11

0)(

t

tt

t

tsen

k

pu n

n

nt

(6.13)

Fase II Evaluando la ecuacin 6.13 para el desplazamiento y la velocidad en t=t1 (fin de la primera fase) se

tiene:

= 1

1

10)( cos1 tt

tsen

k

pu n

n

nt

(6.14)

+

=

11

1

10)(

1cos1 t

tsent

t

k

pu

nn

n

nnt

Y sustituyendo en la ecuacin 6.6 se obtiene la respuesta en vibracin libre para la fase II. El mximo valor de

desplazamiento, u0, es calculado evaluando la ecuacin de respuesta para el tiempo en el cual la velocidad es

cero.

Para cargas de corta duracin (t1

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Para 10 tt( )

( )[ ]tsentsenk

pu nn

n

t

=2

0)(

1

1(6.15)

4. Impulso de una mitad de onda Sinoidal

Fase II El movimiento en vibracin libre que tiene lugar en esta fase depende del desplazamiento )( 1tu y de la

velocidad )( 1tu presentes al final de lafase Iy puede ser expresado como:

Para: 01 tt )()(cos 1)(

1)()(1 ttsen

uttuu n

n

t

ntt +=

(6.16)

Para el ingeniero estructural la respuesta mxima producida por la carga impulsiva es de mayor inters que el

histograma completo. El tiempo en el cual ocurre el desplazamiento mximo es calculado igualando a cero laprimera derivada de la ecuacin 6.15:

)coscos()(1

10

2

0tt

k

p

t

un

n

==

de donde:

tt n coscos =

y por tanto:

...3,2,1,02 == ntnt n (6.17)

esta expresin es vlida slo mientras t, es decir la respuesta mxima ocurre mientras la carga impulsiva esta

actuando. Para la condicin de carga en la que la frecuencia de excitacin se aproxima a la frecuencia natural, el

tiempo en el cual la respuesta mxima ocurre est dado adoptando n=1 y utilizando el signo negativo en la

ecuacin 6.17, lo cual da:

)(1

2

n

t+

= (6.18)

60

t

p

1

0

Fase I Fase II

1t-t

p(t)

t

p(t)=p0sen t

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la amplitud de respuesta mxima es obtenida reemplazando la ecuacin 6.18 en la ecuacin 6.15, el resultado es

vlido slo para t,para el cual 1n la respuesta mxima ocurre en la fase de vibracin libre. El desplazamiento inicial y lavelocidad inicial para esta fase se calcula reemplazando t1=en la ecuacin 6.15:

)0()(1

12

0)( 1

nnn

t senk

pu

=

(6.19)

)cos1()(1

2

0)( 1

nn

tk

pu

=

la amplitud de esta fase esta dada por la ecuacin 6.9, y sustituyendo los valores )t(u 1 y )t(u 1 en sta se tiene:

nnn

k

p

ou

cos22)(1 2

0

+=(6.20)

para 1>n , 1tt> el factor de respuesta de desplazamiento es:

nn

n

kpd

uR

==

2cos

)(1

2

2

0

0(6.21)

6.5 RESPUESTA AL MOVIMIENTO DEL SUELO.

La respuesta mxima, como se observa en prrafos anteriores, depende de la relacin de duracin del impulso

con el periodo natural de la estructura. Debido a esto es conveniente el graficar el factor de respuesta Rd en

funcin de nTt1 para varios tipos de carga impulsiva (Figura 6.5); este tipo de grafica es conocida como

espectro de repuesta de desplazamiento o espectro de respuesta para cargas impulsivas. Generalmente este tipo de

grficas son tiles para predecir los efectos mximos causados por cargas impulsivas que actan en una estructura

simple.

61

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

Razon de impulso, t /T

Factordemagnificaciondinamica,D

1

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5. Espectro de respuesta de desplazamiento para tres tipos de impulso (espectro de

choque).

Este tipo de espectro de respuesta tambin sirve para indicar la respuesta de la estructura a un impulso de

aceleracin aplicada en su base. Si la aceleracin aplicada en la base es g(t), sta produce una carga impulsiva

efectiva depeff(t)= -mg(t). Si la aceleracin mxima en la base es denotado porg0 el impulso efectivo mximo esp0eff= -mg0. El factor de deformacin toma la forma de:

kp

st

d

u

u

uR

0

0

0

0

)(==

reemplazando por effp0 :

0

02

0

0

g

n

g

du

u

kum

uR

=

=

(6.22)

alternativamente esta ecuacin puede ser reescrita como:

0

0

gd

u

uR

= (6.23)

donde 0u es la aceleracin mxima total de la masa 2. Es evidente que el espectro de respuesta de la Figura 6.5puede ser usado para predecir la respuesta de aceleracin mxima de la masa, m, a un impulso de aceleracin

aplicada en la base, tambin como la respuesta de desplazamiento mxima debido a carga impulsiva. Cuando es

utilizada la Figura 6.5 para este propsito es generalmente designada como espectro de choque.

6.6 ANLISIS APROXIMADO DE RESPUESTA PARA CARGAIMPULSIVA.

El anlisis del espectro de respuesta presentado en la Figura 6.5 conduce a dos conclusiones generales acerca dela repuesta de una estructura sujeta a carga impulsiva:

1. Para cargas de larga duracin, por ejemplo, 11 >nTt , el factor de respuesta depende principalmentedel valor del incremento de la carga hasta su valor mximo.

2. Para cargas de corta duracin, por ejemplo, 41

1

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A continuacin es desarrollado un procedimiento aproximado para evaluar la respuesta mxima de un sistema

sujeto a una carga impulsiva de corta duracin. De acuerdo a la segunda ley de Newton si una fuerzap acta en el

cuerpo de masa m, el valor del cambio de momento del cuerpo es igual al valor de la fuerza aplicada, esto es:

pt

um=

)(

(6.24)

para una masa constante esta ecuacin es:

pum = (6.25)

integrando ambos lados con respecto de t:

==2

1

)( 12

t

t

umuumpdt (6.26)

la integral en el lado izquierdo de esta ecuacin es la magnitud del impulso, y el producto de la masa por la

velocidad es el momento, esta ecuacin establece que la magnitud del impulso es igual al cambio de momento.

Este resultado es aplicable a un sistema simple, y debido a que la fuerza acta por un infinitsimo periodo detiempo los componentes de elasticidad y amortiguamiento no tienen tiempo de responder; es as que se tiene la

respuesta despus de la fase de excitacin, es decir la respuesta en vibracin libre:

)()(cos 1)(

1)()(1

1ttsen

uttuu n

n

t

ntt +=

en la cual el termino )( 1tu es despreciable por ser extremadamente pequeo y la velocidad uu t =)( 1 , por

tanto la ecuacin anterior se puede escribir como:

)(1

1

0

)()(

1

ttsendtpm

u n

t

tn

t

=

(6.27)

63

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6.7 EJEMPLOS

Ejemplo 6.1 Respuesta mxima

Hallar la respuesta mxima para la carga impulsiva tipo sinoidal, Figura 6.4, en los siguientes casos:

a) La carga es un impulso de larga duracin, considerando que: /n= 2/3 t1=3/4 Tn.

b) La carga es un impulso de corta duracin con: /n= 4/3 t1=3/8 Tn.

c) La carga impulsiva resonante: =n.

Solucin

a) La respuesta mxima ocurre durante la fase de excitacin, para este caso la ecuacin 6.18 da:

54

)2/3(1

2=

+=t

con este valor sustituyendo en la ecuacin 6.15 tenemos:

77.1)()3/4(1

15

63

25

42

)(

0

=

== sensenRu

d

k

p

t

b) La respuesta ocurre en la fase de vibracin libre, para este caso la ecuacin 6.21 da:

31.1)(2

cos)(1

)(2

342

34

34

=

=

dR

c) Con similar procedimiento, la mxima respuesta a la carga resonante, =n, se puede hallar de la ecuacin

6.14 (ecuacin de resonancia). En este caso la mxima respuesta ocurre al final de la carga impulsiva:

nTt 21

1 = nnT

2=

de estas dos ecuaciones se tiene: =1

t , reemplazado este valor en la ecuacin 6.14:

)cos(21)(

0

== senRu

d

k

p

t

5712

.Rd ==

64

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Ejemplo 6.2 Espectro de choque

Como un ejemplo del uso del espectro de choque para evaluar la respuesta mxima en sistemas simples sujetos a

cargas impulsivas considerar el sistema mostrado en la Figura 6.6 lo cual representa una estructura simple

sometida una carga explosiva.

6.

Solucin:

079909811700

27022

2.

kg

WT

nn =

===

La razn de impulso es:

625007990

0501 ..

.

T

t

n

==

De la Figura 6.5 el factor de respuesta de deformacin es: 311.Rd = por tanto el desplazamiento mximo es:

3470

1700

450311

00 ..

k

pRu d ===

y la fuerza elstica mxima que se desarrolla es:

590347017000 === .ukf max,s [t]

Si el impulso debido a la explosin fuese de una duracin t1=0.005 seg., El factor de deformacin, Rd para esta

razn de impulso, t1/Tn = 0.062 es: Rd = 0.24 y por tanto la fuerza elstica resistente: fs=198 [t]. Evidentemente

65

(t)Peso total W=270 [ton]

Resistencia elstica:fs=kv

Rigidez lateral total:

k=1700 [ton/cm]

450[

ton]

t1=0.05 [seg]t

Carga explosiva p(t)

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para cargas impulsivas de muy corta duracin, gran parte de la fuerza aplicada es resistida por la inercia de la

estructura y el esfuerzo producido es muy pequeo que aquel debido a cargas de larga duracin.


Considerar el prtico de la Figura 6.7, que esta constituido por columnas metlicas de seccin W8x18 y una viga

rgida, el cual tiene un periodo natural Tn=0.5 seg.

Despreciando el amortiguamiento determinar la mxima respuesta del prtico sujeto a una carga impulsiva

rectangular de amplitud 1800 kg. y una duracin t1=0.2 seg.

7.

Solucin:

4050

201 ..

.

T

t

n

==

90214022 1 ..senT

tsenR

n

d ==

=

24507400

4725762100000232

33.

.

L

EIkk coltot =

=== [kg/cm]

55324507

180000 ..k

p

)u( st === [cm]

756902155300 ...)u(Ru std === [cm]

El momento flexionante se encuentra a partir de la fuerza esttica equivalente:

66

W8x18

Resistencia elstica

W8x18

Viga rgida

4 m

p(t)

(a) (b) (c) (d)

u0 6847.2 [kg m]

2749 [kg/cm2]

fs=k u

W8x18

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634231800902100

00..pR

k

pRkukf dds ===== [kg]

debido a que las columnas son idnticas en seccin y longitud se puede obtener el momento flexionante en la

parte superior de las columnas.

2684742

63423

2.

.h

fM s === [kgm]

el esfuerzo flexionante es grande en las fibras extremas del perfil de las columnas en la parte superior:

27.4908249

26447=====

=

.

.

s

MMM

I

yM

cI

yI

[kg/cm2]


Determinar la respuesta mxima, y su respectivo tiempo para el sistema de la Figura 6.8a, sujeto a una carga

impulsiva mostrada en la Figura 6.8b.

8.

Solucin

La respuesta mxima es la mayor de las respuestas de las tres fases:

FASE I2500 1 .t seg.

FASE II5020 1 .t. seg.

FASE III 501 .t seg.

FASEI. La ecuacin de equilibrio es:

)t(pukum =+

Dividiendo entre la masa m y reemplazadomk

n =2

se tiene:

67

Peso W= 30 [ton]

t

1.1

5g

0.2 seg

k=3 [ton/cm]

Fase I

0.3 seg

Fase II Fase III

g

(a) (b)

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k

puu

n)t(

n

2

2

=+

De la ecuacin de la recta ascendente se tiene:1tt

o)t( pp = , reemplazando este valor en la anteriorecuacin tenemos:

1

202

tk

tpuu nn

=+

Resolviendo esta ecuacin se tiene:La solucin complementaria es:

tsenBtcosAu nnc +=La solucin particular es:

1

0

t

t

k

pup =

La solucin total es la suma de ambas:

1

0

tt

kptsenBtcosAu nn)t( ++=

Las constantes son determinadas a partir de las condiciones iniciales en reposo: 000 == )()( uu :

0=A

01

1

0 =++=tk

ptcosBtsenAu nnnn)t(

1

0 1

tk

pB

n =

Por tanto:

1

0

1

0 1tt

kptsen

tkpu n

n)t( +=

= tsent

tk

pu n

n

)t(

1

1

0

Para hallar la mxima respuesta:

2

3

1

=

=

t

tsen

n

n

476.0905.92

3

2

3=

=

=

n

t [seg]

1tt>

0.476 > 0.2 seg. La respuesta mxima se da en le tiempo t=0.2 seg.

k

p...sen

..

.k

pu ).(

0020 5370209059

9059

120

20=

=

= tcos

tk

pu n

n

n)t(

1

1

0

68

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( )k

p...cos

.k

pu ).(

0020 99462090591

20=

=

FASEII. La ecuacin de equilibrio:

k

puu

n)t(

n

22

=+

De la ecuacin de la recta descendente se tiene: 002

ppptt

)t( += , reemplazando este valor en laanterior ecuacin tenemos:

=+

2

202

1t

t

k

puu nn

Resolviendo esta ecuacin se tiene:

La solucin complementaria es:

tsenBtcosAu nnc +=

La solucin particular es:

=

2

0 1t

t

k

pup

La solucin total es la suma de ambas:

++=

2

01

t

t

k

ptsenBtcosAu nn)t(

Las constantes son determinadas a partir de las condiciones iniciales, condiciones de la FASE I

k

puu t

0)()0( 537.01 ==

k

puu t

0)()0( 994.61 ==

k

p

k

pAu 00)0( 537.0=+=

k

pA 0463.0=

k

p

tk

pBu n

0

2

0)0( 994.6=

=

+= 3.01

994.6905.9

0

k

p

B k

p

B0

043.1=

++=

2

0)( 1043.1cos463.0

t

ttsent

k

pu nnt

01

cos043.1463.02

0)( =

+=

tttsen

k

pu nnnnt

Resolviendo para nt:

69

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15/15


nt= 0.729 t=0.0761 seg.

t=-0.190 t=0.178 seg

++==

3.0

178.01178.0905.9043.1178.0905.9cos463.0

0)178.0(max sen

k

puu

kpu 0max 519.1=

FASEIII. Vibracin libre:

2)0(

2

)0(

0 uu

un

+

=

de la fase anterior:

k

p.uu ).()(

0300 6330==

k

p.uu ).()(

0300 73912==

k

p

k

p

k

pu 0

2

0

2

00 433.1633.0

905.9

739.12=

+

=

Para hallar la mxima respuesta:

22

000max

905.9

15.0519.1519.1519.1519.1

gu

k

um

k

pu

gg ==

==

278.2max =u [cm]

378.02.0178.0 =+=t [seg]

70

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