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Capıtulo 11

Lei da Inducao

Com as experiencias de Oersted, viu-se que correntes eletricas geram campos

magneticos. Ficou entao a seguinte duvida: Pode o campo magnetico gerar

corrente? Michael Faraday (1791-1867), um dos maiores fısicos experimen-

tais, interessou-se em descobrir e estudar essa relacao.

Em 1831, Faraday montou dois solenoides, com 70 metros de fio de co-

bre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado a um gerador,

enquanto o outro foi conectado a um galvanometro, como mostrado na Fi-

gura 11.1 .

Figura 11.1: Solenoides concatenados

195

196 CAPITULO 11. LEI DA INDUCAO

Notou-se quando uma corrente contınua passava pelo solenoide 1, o gal-

vanometro nao acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a

chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso le-

vou Faraday a supor que a forca eletromotriz no circuito 2 resultava de uma

variacao do campo magnetico no interior dos solenoides. Continuando seus

experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura 11.2 .

Figura 11.2: Experimento de Faraday

Quando um ıma era aproximado ou afastado do solenoide, observava-se

uma deflexao do galvanometro. Se o ıma permanecesse imovel em relacao ao

circuito, a deflexao era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a

area dos solenoides tambem influenciava na forca eletromotriz induzida.

Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matematicos da se-

guinte maneira:

�ind ∝dB

dt

�ind ∝ A

Para melhor compreender esse fenomeno, precisamos definir o que e fluxo

magnetico.

11.1 O Fluxo Magnetico

Vimos que a forca eletromotriz depende tanto da variacao do campo magnetico

quanto da area dos solenoides. A grandeza que relaciona o vetor �B e a area

11.2. A LEI DE LENZ 197

S permeada por esse campo e denominada de fluxo magnetico , e e definida

como:

φB = �B · �S = BS cos θ (11.1)

Ate agora, tendo em vista as constatacoes de Faraday, podemos dizer que:

|�ind| =dφB

dt(11.2)

Substituındo 11.1 em 11.2 :

|�ind| =dB

dtA cos θ +B

dA

dt− BA sen θ

dθ

dt(11.3)

Percebe-se entao que e possıvel induzir corrente em uma espira imersa em

um campo magnetico por meio dos seguintes metodos:

• variando a intensidade do campo.

• variando a area como tempo

• variando o angulo entre os vetores �A e �B com o tempo

Ainda podemos analisar o fenomeno da inducao levando em conta a cor-

rente induzida. Sabe-se que �ind = RIind, logo:

Iind =1

R

��dφB

dt

��

11.2 A Lei de Lenz

Vimos que a variacao do fluxo magnetico gera corrente eletrica em conduto-

res. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso e explicado

pela Lei de Lenz:

A corrente induzida produz um campo magnetico que tende

se opor a variacao do fluxo magnetico que a gerou


Considere o exemplo da Figura 11.3. Se o ıma aproxima-se da espira, o

fluxo magnetico no interior desta aumentara, entao deve surgir uma corrente

no sentido anti-horario para reduzir o fluxo. Caso o ıma afaste-se da espira, o

fluxo no interior desta diminuira, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente

no sentido horario.

Figura 11.3: Deflexao do galvanometro

Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2 , teremos a Lei de Faraday:

�ind = −dφB

dt(11.4)

O sinal negativo representa a resistencia que o circuito apresenta a va-

riacao do fluxo magnetico

E interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo eletrico

na espira, teremos:

�

Γ

�E · d�l = �ind (11.5)

Ora, vimos na eletrostatica que essa integral de linha deveria ser nula

sempre! Qual sera a inconsistencia?

Na verdade, nao ha inconsistencia. Ocorre que o campo eletrico estudado

na eletrostatica tem natureza diferente do campo eletrico induzido.

O campo eletrico oriundo de cargas eletricas sempre e conservativo, por

isso a integral de linha em um circuito fachado e nula. Mas, devido a equacao

11.5, nota-se que o campo eletrico induzido pela variacao de fluxo magnetico


nao e conservativo. Por isso, e importante distinguir os dois tipos campos

eletricos.

Seguem alguns exemplos da aplicacao da Lei de Lenz:

Exercıcio 11.1. Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre

um trilho condutor, em meio a um campo magnetico perpendicular ao plano

dos trilhos, conforme mostrado na Figura 11.4 . Calcule: a forca eletromotriz

induzida, a corrente induzida a forca magnetica e a velocidade da barra em

funcao do tempo.

Figura 11.4: Trilho magnetico

• Forca eletromotriz

Temos que o fluxo magnetico na barra e dado por:

φB = BA = Blx

portanto a forca eletromotriz e:

|�ind| =dφB

dt= Bl

dx

dt= Blv

• Corrente induzida:

Iind =�ind

R=

Blv

R

• Forca magnetica:

Temos que a forca em fios e dada por:


�F = I�l × �B = IindBl =B2l2v

R− i (11.6)

• Velocidade do fio:

Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equacao 11.6 :

mdv

dt=

B2l2v

R

Resolvendo essa equacao diferencial separavel:

� v(t)

v0

dv

v= −

� t

0

B2l2

Rmdt→ ln

�v(t)

v0

�

= −B2l2

Rmt

v(t) = v0e−

B2l2t/Rm

Vemos entao que a forca tende a frear a barra.

Exercıcio 11.2. Considere um campo magnetico uniforme que aponta pra

dentro da folha e esta confinado numa regiao circular de raio R. Suponha que

a magnitude de �B aumenta com o tempo. Calcule o campo eletrico induzido

em todo o espaco:

Figura 11.5: Campo magnetico

Vimos que o campo eletrico induzido pode ser calculado por:

�

Γ

�Eind · d�l = �ind = −dφB

dt


Entao precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo eletrico

induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunferencias de raio r.

• Para r < R :

Figura 11.6: Curva para calculo do campo induzido

Como a circunferencia aborda apenas uma porcao do campo, a variacao

fluxo no seu interior sera:

φB = Bπr2 →dφB

dt=

dB

dtπr2

Logo:

�

Γ

�Eind · d�l =dB

dtπr2

Eind2πr =dB

dtπr2 → Eind =

dB

dt

r

2

• Para r > R :

Como a circunferencia aborda todo o campo, a variacao fluxo no seu

interior sera:

φB = BπR2 →dφB

dt=

dB

dtπR2

Logo:


Figura 11.7: Curva para calculo do campo induzido

�

Γ

�Eind · d�l =dB

dtπR2

Eind2πr =dB

dtπR2 → Eind =

dB

dt

R2

2r

Sintetizando os resultados na forma de um grafico;

Figura 11.8: Campo induzido vs distancia

11.3 Geradores

As experiencias de Faraday lancaram os princıpios de funcionamento de mo-

tores eletricos e geradores de eletricidade.

Considere uma espira imersa em um campo magnetico �B rotacionando

com uma velocidade angular constante ω =θ

t. Substiuındo θ na equacao

11.3 , temos que:

11.4. EFEITOS MECANICOS 203

|�ind| = ωBA senωt

Em termos de corrente induzida:

Iind =ωBA

Rsenωt

Calculando a potencia gerada para N espiras:

P = I|εind| =(NBAω sin(ωt))2

R

Observa-se que a bobina gerara corrente alternada. Para evitar isso,

empregam-se comutadores no circuito.

Isso que foi visto e o princıpio de funcionamento de varios tipos de usinas

de geracao de energia, como as hidreletricas, termoeletricas, eolicas e nucle-

ares. Todas elas envolvem a transferencia de energia mecanica de um fluido

(agua, vento) para a bobina, fazendo-a girar.

11.4 Efeitos Mecanicos

A inducao magnetica, quando aliada a outros fenomenos fısicos, pode resultar

em efeitos interessantes. Vejamos alguns exemplos

11.4.1 As correntes de Foucault

Considere uma chapa metalica e um pente metalico, inicialmente em movi-

mento uniforme, entrando em cum campo magnetico, conforme esquemati-

zado na Figura 11.9 .

Experimentalmente, observa-se que o chapa metalica sobre uma reducao

de velocidade mais acentuada que o pente. Por que?

Isso ocorre pois, durante a imersao no campo magnetico, a variacao do

fluxo magnetico no interior da chapa e maior do que no pente. Logo a corrente


Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magnetico

induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa e superior. Mas a acao

do campo magnetico sobre a corrente induzida gera uma forca que tende a

frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior reducao de velocidade.

Figura 11.10: Correntes de Foucault

Pode-se dizer tambem que as correntes de Foucault resultam em uma

maior dissipacao por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um

campo magnetico.

11.4.2 Atrito Magnetico

Se uma espira condutora e solta em queda livre sobre um ima permanente, a

corrente induzida criara um dipolo magnetico que tende a ser repelido pelo

ima, produzindo uma forca de freamento da espira analoga a uma forca de

atrito viscoso (ver Figura 11.11) .

11.5. INDUTANCIA MUTUA 205

Figura 11.11: Comportamento da espira em queda

11.4.3 Canhao Magnetico

Considere um solenoide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse

mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo

do campo magnetico no interior da espira sera alterado. A corrente induzida

fara com que a espira seja lancada no sentido oposto ao do solenoide.

Figura 11.12: Canhao Magnetico

11.5 Indutancia Mutua

Induntancia mutua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um

circuito em funcao da passagem de corrente eletrica em um outro circuito.

Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I1 na

espira 1, ocorrera uma variacao do fluxo de campo magneticodφ21

dtna espira

2, surgindo entao uma forca eletromotriz induzida �2 dada por:


Figura 11.13: Exemplo de indutancia mutua

�2 = −dφ21

dt

Mas a variacao do fluxo do campo magnetico depende de uma variacao

de corrente na espira 1:

dφ21

dt∝

dI1dt

Entao podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por

meio da definicao da constante de inducao mutua M211:

dφ21

dt= M21

dI1dt

(11.7)

M21 =dφ21

dI1(11.8)

Experimentalmente, observa-se que a constante de inducao mutua de-

pende apenas da geometria das espiras e tambem da distancia entre elas.

Neumann deduziu uma formula que permite determinar essa constante.

Temos que o fluxo do campo magnetico pode ser calculado por:

1[M21] = H(henry) =Tm2

A


φ21 =

�

S2

��B · d�S2 =

�

S2

� ��∇× �A1

�· d�S2

Aplicando o Teorema de Stokes:

φ21 =

�

S2

� ��∇× �A1

�· d�S2 =

�

Γ2

�A1 · d�l2

Pela equacao 10.45 :

φ21 =µ0

4πI1

� �d�l1 · d�l2

r

φ21

dt=

µ0

4π

� �d�l1 · d�l2

r

dI1dt

(11.9)

Comparando as equacoes 11.9 e 11.7 encontramos a Formula de Neumann:

M21 =µ0

4π

� �d�l1 · d�l2

r(11.10)

Como podemos comutar os fatores da formula, conclui-se que:

M12 = M21 = M

Isso indica que, independentemente das formas e posicoes das espiras, o

fluxo atraves de 2 quando uma corrente I passa em 1 e identico ao fluxo

atraves de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2.

No entanto, ainda e mais interessante calcular M por meio da equacao

11.8 do que pela Formula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir.

Exercıcio 11.3. Calcule a indutancia mutua entre duas espirar coplanares

e concentricas de raios R1 e R2, com R1 >> R2.

Para calcular a indutancia mutua, precisamos calcular uma relacao entre

a variacao de corrente em uma espira e a variacao do fluxo magnetico na


Figura 11.14: Espiras coplanares e concentricas

outra espira.

Sabemos que a campo magnetico no centro de uma espira circular e B =µ0I

2R1

. Como R1 >> R2, pode-se considerar que o campo no interior da espira

2 e constante, logo o fluxo no seu interior sera:

φ21 = BA =µ0I

2R1

πR22

Entao temos que:

dφ21

dI=

µ0

2R1

πR22

Logo a indutancia mutua e:

M =µ0

2R1

πR22

Exercıcio 11.4. Calcule a indutancia mutua entre dois solenoides concentricos

de desnsidades de espiras n1 e n2.


a variacao de corrente em um solenoide e a variacao do fluxo magnetico no

outro.

Sabemos que a campo magnetico no interior do solenoide 1 e B = µ0In1.

Como o campo no interior do solenoide 2 e constante, o fluxo no seu interior

sera:


Figura 11.15: Solenoides concentricos

φ21 = BAn2l = µ0In1n2lπR22

Entao temos que:

dφ21

dI= µ0n1n2lπR

22


M = µ0n1n2lπR22

Exercıcio 11.5. Calcule a indutancia mutua entre dois toroides concatena-

dos com N1 e N2 enrolamentos.

Figura 11.16: Toroides concatenados


a variacao de corrente em um toroide e a variacao do fluxo magnetico no

outro.


Sabemos que a campo magnetico no interior do toroide 1 e B =µ0N1I

2πr.

Considerando que o campo no interior do toroide apresenta simetria cilındrica,

o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:

Figura 11.17: Elemento de area na secao do toroide

φ21 = N2

��B1 · d�s2 = N2

b�

a

µ0N1I12πr

hdr

φ21 =µ0N1N2I1

2πh ln(

b

a)I

Entao temos que:

dφ21

dI=

µ0N1N2

2πh ln(

b

a)


M =µ0N1N2

2πh ln(

b

a)

11.6 Auto-Indutancia

Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente

I. Se ocorre alguma alteracao na corrente, o fluxo atraves da espira varia

11.6. AUTO-INDUTANCIA 211

com o tempo, entao, de acordo com a lei de Faraday, uma forca eletromotriz

induzida surgira para gerar um campo no sentido oposto a variacao do fluxo

de �B inicial. Entao podemos dizer que o proprio campo opoe-se a qualquer

mudanca da corrente, e assim temos o fenomeno da auto-indutancia.

Figura 11.18: Efeitos da auto-indutancia

Definimos matematicamente a auto-indutancia L2 da seguinte maneira:

dφB

dt=

dφB

dI

dI

dt= L

dI

dt

L =dφB

dI(11.11)

Do mesmo modo que a indutancia mutua, a auto indutancia depende

apenas de fatores geometricos da espira em questao.

Exercıcio 11.6. Calcule a auto-indutancia de um solenoide.

Figura 11.19: Solenoide

Para calcular a auto-indutancia, precisamos calcular como uma variacao

2[L] = H(henry)


de corrente no solenoide varia o fluxo magnetico no interior do proprio so-

lenoide.

Sabemos que a campo magnetico no interior desse objeto e B = µ0In.

Como o campo no interior do solenoide e constante, o fluxo no seu interior

sera:

φB = BAnl = µ0In2lπR2

Entao temos que:

dφB

dI= µ0n

2lπR2

Logo a auto-indutancia e:

L = µ0n2lπR2

Exercıcio 11.7. Calcule a auto-indutancia de um toroide de secao retangu-

lar.

Figura 11.20: Toroide

Para calcular a auto-indutancia, precisamos calcular como uma variacao

de corrente no toroide varia o fluxo magnetico no interior do proprio toroide.

Sabemos que a campo magnetico no interior desse objeto e B =µ0NI

2πr.

Considerando que o campo no interior do toroide apresenta simetria cilındrica,

o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:

11.7. ASSOCIACAO DE INDUTORES 213

Figura 11.21: Elemento de area na secao do toroide

φB = N

��B · d�s =

b�

a

µ0N2I

2πrhdr =

µ0N2I

2πh ln(

b

a)

Entao temos que:

dφ21

dI=

µ0N2

2πh ln(

b

a)

Logo a auto-indutancia e:

L =µ0N

2

2πh ln(

b

a)

11.7 Associacao de Indutores

Indutores sao componentes eletronicos que apresentam elevada indutancia.

Devido a Lei de Lenz, tais elementos evitam variacoes bruscas de corrente,

sendo essa uma das principais funcoes desempenhadas pelos indutores em

circuitos eletronicos. Sabe-se que a diferenca de potencial nos terminais de

um indutor tem a mesma magnitude da forca eletromotriz induzida nele, ou


seja:

V = LdI

dt(11.12)

Quando um circuito apresenta mais de um indutor associado, e possıvel

substituı-los por um indutor equivalente, a fim de simplificar os futuros

calculos relativos ao circuito. Mas para calcular a indutancia equivalente, de-

vemos levar em conta tanto os efeitos de auto-inducao quanto de indutancia

mutua entre os componentes da associacao.

Faremos, como exemplo, a associacao de dois indutores em serie e dois

indutores em paralelo.

11.7.1 Dois indutores em serie


Em uma associacao em serie, a corrente e a mesma em todos os indutores.

LdI

dt= L1

dI

dt+M

dI

dt+ L2

dI

dt+M

dI

dt= (L1 + L2 + 2M)

dI

dt

11.7. ASSOCIACAO DE INDUTORES 215

Observe que o primeiro e o terceiro termo referem-se as auto-indutancias

de 1 e 2, respectivamente, ja o segundo e o quarto termo referem-se as in-

dutancias mutuas. Segue entao que:

L = L1 + L2 + 2M (11.13)

11.7.2 Dois indutores em paralelo


Em uma associacao em paralelo, a diferenca de potencial e a mesma para

todos os indutores. Calculando a ddp para cada ramo:

V1 = L1dI1dt

+MdI2dt

(11.14)

V2 = L2dI2dt

+MdI1dt

(11.15)

Multiplicando as duas equacoes pela constante de indutancia mutua:

V1M = L1MdI1dt

+M2dI2dt

(11.16)

V2M = L2MdI2dt

+M2dI1dt

(11.17)

Multiplicando agora a equacao 11.14 por L2 e a 11.15 por L1:


V1L2 = L1L2dI1dt

+ML2dI2dt

(11.18)

V2L1 = L2L1dI2dt

+ML1dI1dt

(11.19)

Mas, da associacao em paralelo, temos que:

V = V1 = V2

I = I1 + I2

Logo, subtraındo 11.16 de 11.19 e 11.17 de 11.18, encontramos que:

V (L1 −M) = L1L2dI2dt

−M2 dI2dt

(11.20)

V (L2 −M) = L1L2dI1dt

−M2 dI1dt

(11.21)

Somando as equacoes 11.20 e 11.21:

V (L1 + L2 − 2M) =�L1L2 −M2

� dI

dt

L =L1L2 −M2

L1 + L2 − 2M(11.22)

Nota-se que, se desconsiderarmos os efeitos da indutancia mutua, a asso-

ciacao de indutores e identica a associacao de resistores.

11.8 Circuito R-L

Considere o circuito da Figura 11.24, com as condicoes iniciais:

11.8. CIRCUITO R-L 217

Figura 11.24: Circuito R-L

t = 0 , I(t) = 0

t =∞ , I(t) =V

R

A equacao do circuito e:

V −RI − LdI

dt= 0 (11.23)

V

R− I =

L

R

dI

dtt�

0

−R

Ldt =

I(t)�

0

dI

I − VR

ln

�

I −V

R

�I(t)

0

= −R

Lt

I(t)−V

R= −

V

R

−

R

Lt


I(t) =V

R

�1− e−

R

Lt�

(11.24)

Quanto maior for a indutancia L do indutor no circuito, maior sera o

tempo para a corrente se aproximar da maxima Imax = V/R.

Figura 11.25: Grafico de corrente de um circuito R-L

11.9 Circuito L-C

Considere o circuito da Figura 11.26, com o capacitor inicialmente carregado

com uma carga Q0, ou seja, as condicoes iniciais:

t = 0 , Q(t = 0) = Q0

t = 0 , I(t = 0) = 0

A equacao do circuito e:

Q

C− L

dI

dt= 0 (11.25)

Como o capacitor esta descarregando, I = −dQ/dt, e portanto:

11.9. CIRCUITO L-C 219

Figura 11.26: Circuito L-C

d2Q

dt2+

1

LCQ = 0 (11.26)

Que e a equacao de um oscilador harmonico, cuja solucao e:

Q(t) = Q0 cos(ωt) (11.27)

Onde:

ω2 =1

LC

I(t) = −dQ

dt= ωQ0 sen(ωt)

I0 = Q0ω

Analise de energia:


Figura 11.27: Grafico de corrente e carga no capacitor em um circuito L-C

UE = Ucapacitor =1

2CV 2 =

Q2

2C

UE =Q2

2Ccos2(ωt)

UB = Uindutor =1

2LI2 =

L

2I20 sin

2(ωt) =LQ2

0ω2

2sen2(ωt) =

Q20

2Csen2(ωt)

U = UE + UC =Q2

2C

Figura 11.28: Energia em um circuito L-C

11.10. ANALOGIA COM SISTEMA MECANICO 221

11.10 Analogia com sistema mecanico

Analogia com sistema mecanico massa-mola:

d2x

dt2+

K

Mx = 0

d2Q

dt2+

1

LCQ = 0

U =1

2mv2 +

K

2x2 U =

1

2LI2 +

1

2CQ2

Figura 11.29: Analogia do circuito LC com sistema mecanico.

m L

1/k C

x Q

v = x I = Q

mv2/2 LI2/2kx2

2Q2

2C


md2x

dt2= −kx+mg L

dI

dt+Q

C= V

x(t) = h+ A cos(ω0t) q(t) = q1 + (q0 − q1) cos(ω0t)

x(0) = h+ A q(0) = q0

x(0) = 0 q(0) = 0

Molas em serie Capacitores em paralelo

x = x1 + x2 = F�

1K1

+ 1K2

�q = ε(C1 + C2)

Molas em paralelo Capacitores em serie

11.11 Circuito R-L-C

Considere o circuito da Figura 11.30, com o capacitor inicialmente com carga

Q0. A equacao do circuito e:

Q

C−RI − L

dI

dt= 0

11.11. CIRCUITO R-L-C 223

Figura 11.30: Circuito R-L-C

Fazendo I = −dQ

dt:

d2Q

dt2+R

L

dQ

dt+

Q

LC= 0 (11.28)

Com a condicao inicial: Q(0) = Q0

O analogo mecanico a este circuito e o oscilador amortecido:

d2x

dt2+ 2β

dx

dt+ ω2

0x = 0 (11.29)

Cuja solucao e dada por:

x(t) = e−βt

�

A1 exp(�β2 − ω2

0t) + A2 exp(−�β2 − ω2

0t)

�

(11.30)

A analise deve ser dividida em tres casos:

• ω20 > β: subcrıtico

• ω20 = β: crıtico

• ω20 < β: supercrıtico


Figura 11.31: Comportamentos do oscilador amortecido.

11.11.1 Subcrıtico

ω21 = ω2

0 − β2, ω21 > 0

Q(t) = e−βt [A1 exp(iω1t) + A2 exp(−iω1t)]

A solucao pode ser reescrita como:

Q(t) = Ae−βt cos(ω1t− δ)

Que corresponde a uma oscilacao de frequencia angular ω1, com uma

amplitude decrescente com o tempo de um fator e−βt.

11.11.2 Crıtico

Q(t) = (A+Bt)e−βt

11.11.3 Supercrıtico

Q(t) = e−βt [A1 exp(ω2t) + A2 exp(−ω2t)]

11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNETICOS 225

Figura 11.32: Oscilador amortecido subcrıtico.

11.12 Energia em Campos Magneticos

Vimos anteriormente que a energia eletrica podia ser escrita em termos do

campo eletrico, o que nos fornecia a interpretacao da energia armazenada no

campo. Agora vejamos como seria a energia magnetica em termos do campo.

Sabemos que:

φB = LI

Por outro lado:

φB =

�

S

�B · d�s =

�

S

(�∇× �A) · d�s

Aplicando o Teorema de Stokes:


�

S

(�∇× �A) · d�s =

�

Γ

�A · d�l

φB =

�

Γ

�A · d�l = LI

A energia magnetica e dada por:

U =1

2LI2 =

I

2

�

Γ

�A · d�l

Sabendo que Id�l = �Jdv:

U =I

2

�

V

( �A · �J)dv

Mas �∇× �B = µ0�J , entao:

U =1

2µ0

�

V

�A · (�∇× �B)dv

Utilizando a identidade:

�∇ · ( �A× �B) = �B · (�∇× �A)− �A · (�∇× �B)

�A · (�∇× �B) = �B · (�∇× �A)− �∇ · ( �A× �B) = �B · �B − �∇ · ( �A× �B)

Temos:

U =1

2µ0

�

V

�B · �B −

�

V

�∇ · ( �A× �B)dv


Aplicando o teorema da divergencia:

U =1

2µ0

�

V

�B · �B −1

2µ0

�

S

( �A× �B)d�s

Fazendo V → todo espaco, o segundo termo tende a zero, portanto:

UB =1

2µ0

�

R3

B2dv (11.31)

A densidade de energia do campo magnetico e dado por:

uB =B2

2µ0

(11.32)

Note a similaridade das energias dos campos eletrico e magnetico:

UE = 12

�

V

ρV dv =ε

2

�

3

E2dv

UB = 12

�

V

��A · �J

�dv =

1

2µ0

�

3

B2dv

Exemplo 11.1. Cabo coaxial.

Calcular a energia armazenada em uma secao de comprimento l.

Resolucao. Pela lei de Ampere, o campo magnetico no cabo e dado por:


��B · d�l = µ0I

B2πr = µ0I

B =µ0I

2πr

B =

µ0I

2πrθ , a < r < b

0 , r < a ou r > b

A densidade de energia e dada por:

u =B2

2µ0

=µ2

0I2

2µ04π2r2=

µ0I2

8π2r2

A energia armazenada em um trecho sera:

U =

��µ0I

2

8µ0π2r2rdθdrdz,

0 ≤ θ ≤ 2π

a ≤ r ≤ b

0 ≤ z ≤ l

U =µ0I

2

8π22πl

b�

a

1

rdr =

µ0I2

4πl ln

�b

a

�

Pelo metodo anterior, terıamos que, primeiro, calcular a auto-indutancia:


φ =

��B · d�s =

��µ0I

2πrdrdz,

�a ≤ r ≤ b

o ≤ z ≤ l

φ =µ0I

2πl ln

�b

a

�

L =dφ

dI=

µ0l

2πln

�b

a

�

A energia armazenada sera entao:

U =LI2

2

U =µ0I

2

4πl ln

�b

a

�

cap´ıtulo11 leidaindu¸cão · figura11.15: solenóidesconcêntricos φ21 =ban2l=µ0in1n2lπr...

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