capÍtulo - utsvirtual.edu.co...básicos para el uso de éstas en los temas fundamentales de la...
TRANSCRIPT
1
2
3
CAPÍTULO 1
FUNDAMENTACIÓN BÁSICA PARA
LA MATEMÁTICA FINANCIERA
JUSTIFICACIÓN
En la actualidad el mundo de los negocios, ya sean personales o empresariales, se mueve
con la aplicación de la matemática financiera. El dominio de este conocimiento le
permitirá actuar eficiente y eficazmente en el manejo del efectivo y de los pasivos de su
empresa o entidad para la cual labora y cooperar como persona en el desarrollo social y
económico de su entorno inmediato, ciudad y región.
Como estudiante, ahora que tomaste la decisión de iniciar el estudio de la matemática
financiera, empezaremos por conocer las herramientas que le facilitarán el trabajo en la
solución de los problemas a los cuales debe dar respuesta en la vida como asistente
financiero o como empresario.
En el estudio de este mundo interesante y útil de la matemática financiera, también
recordaremos los conceptos de aritmética y álgebra para que pueda comprender
rápidamente el proceso de desarrollo de las ecuaciones que nos permitan llegar a los
resultados esperados.
4
I OBJETIVO GENERAL
Apropiarme y dominar los conceptos de fundamentación de la matemática financiera y de
las herramientas que me posibilitarán un desempeño eficiente y eficaz en la búsqueda de
alternativas de soluciones como respuesta a problemas financieros.
Fundamentar los estudiantes que ingresan al curso de matemática financiera, para hacer
la materia de fácil comprensión.
MIS OBJETIVOS
Dominar el manejo de la calculadora financiera como herramienta indispensable
en la solución de problemas financieros.
Desarrollar competencias en el manejo del Excel para dar solución a problemas
financieros y reconocer su importancia en el desarrollo empresarial.
Desplegar habilidades para el uso eficaz de las tablas financieras.
Revisar y dominar los fundamentos matemáticos necesarios para el aprendizaje de
la matemática financiera.
CONDUCTA DE ENTRADA
¿Conozco el manejo de una calculadora Financiera?
¿He utilizado el Excel como herramienta financiera?
¿Qué es un logaritmo?
¿Para qué se utiliza el logaritmo?
¿Qué aplicación tiene el logaritmo en la matemática financiera?
¿Qué es una ecuación de primer grado?
¿Cómo se despeja la incógnita en una ecuación?
¿Tengo un orden para la solución de ejercicios en las matemáticas?
¿Conozco cómo se determina el precio de venta de un producto?
¿Cómo se realizan los descuentos?
5
1.1 USO DE LA CALCULADORA
La calculadora es junto al computador, herramienta fundamental tanto en las actividades
académicas como laborales, dado que permite el desarrollo de ejercicios complejos de
forma rápida y exacta.
La calculadora financiera es muy utilizada en el medio empresarial y el mundo bancario y
bursátil, para este texto se utilizó la Hewlett - Packard 19B II, y la Casio FC 200.
En este capítulo no se busca mostrar el manual de las calculadoras sino explicar los puntos
básicos para el uso de éstas en los temas fundamentales de la matemática financiera.
Se recomienda en el momento de comprar su calculadora, estudiar detenidamente su
manual.
Antes de explicar los aspectos más importantes en el uso de la calculadora, es significativo
que el estudiante entienda que esta herramienta no reemplaza el proceso de
entendimiento para resolver los diferentes cuestionamientos financieros y mucho menos
la interpretación de los resultados.
En este primer capítulo se hace una explicación general sobre el uso de la calculadora y en
los siguientes capítulos se presenta la aplicación de ésta en cada uno de los temas tratados.
HEWLETT -PACKARD 19 B II
MODO PARA INICIAR LAS OPERACIONES.
El modo en el que debe estar la calculadora para el inicio de operaciones, es el algebraico,
el procedimiento para llegar allí es el siguiente:
Encienda la calculadora ON
Digite la tecla naranja
Pulse la tecla DISP
Aparece en el menú varias opciones entre ellas digite OTROS
En el siguiente menú digite ALG
Digite EXIT
Se encuentra listo para iniciar a efectuar las operaciones.
6
MENÚ PRINCIPAL
Para el inicio de las operaciones, la calculadora deberá estar en el menú principal (MAIN).
Para llegar al menú principal se pulsa la tecla EXIT, las veces que se requieran. O digitando
la tecla naranja y EXIT, o sea con MAIN, para hacerlo directamente.
ORDEN DE LAS OPERACIONES.
Al efectuar las operaciones se requiere claridad en cuanto al orden establecido, con el
propósito de asegurar la calidad del resultado.
Las operaciones que se realizan en primera instancia son las que están ubicadas
dentro de un paréntesis.
El segundo paso es el de las multiplicaciones y divisiones.
El tercero y último son las sumas y restas.
OPERACIONES BÁSICAS
Es importante señalar las operaciones fundamentales que se realizan en los problemas de
matemática financiera, ellos son: Potencias, raíces, porcentajes y memorias.
POTENCIAS Y RAÍCES.
Para elevar a una potencia se maneja la tecla [^], la cual se encuentra como segunda
función de la tecla [x].
La tecla de cambio está ubicada en el teclado de la pantalla en la segunda fila, su color es el
naranja. En el manual está señalada con el número cinco (5).Para digitar la potencia se
presiona la tecla de cambio y luego la tecla x, la cual tiene como función secundaria en
potencia.
EJEMPLO 1.1:
Se desea lograr el resultado de 3 5, se procede de la siguiente manera:
3 Tecla de Cambio ^x 5 = 243
Para el cálculo de raíces se utilizan las teclas [^] y [1/x] (segunda función de la tecla
[ ]). Por ejemplo, para obtener el resultado de la raíz cuadrada de 16, se sigue la siguiente
secuencia de tecleo:
16 Tecla de cambio ^x Tecla de cambio 1/𝑥
÷ 2 = 4
7
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Determine el resultado de 43
Calcule la raíz cúbica de 125
¿Cuál es el resultado de 54 ?
Obtenga la raíz quinta de 4.000
PORCENTAJES
La tecla % se requiere para obtener el porcentaje de un valor dado, para esto solo se digita
la tecla precedida por el correspondiente valor.
EJEMPLO 1.2:
Se quiere conocer el valor de la cuota inicial de un electrodoméstico cuyo valor total es de
$1.500.000=, se entrega financiado, la cuota inicial es del 30% del valor total.
1.500.000 * 30 % = 450.000
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Determine el valor de la cuota inicial de un vehículo, cuyo precio es de
$40.000.000 y para financiarlo se requiere pagar el 20% de cuota inicial.
¿Cuánto debe pagar inicialmente en la universidad si para financiar el semestre
debe abonar el 30%, el valor del semestre es de $600.000
CAMBIO DE SIGNO
La tecla [+/-] es para el cambio de signo, se emplea para cambiar el signo del número
exhibido en pantalla; también admite introducir números negativos directamente.
LOGARITMOS
Para calcular el logaritmo de un número se requiere entrar al menú MATH, el cual se
encuentra ubicado como función secundaria de %.
Una vez en el menú MATH, se observan los siguientes elementos:
8
RDN PI LOGS TRIG CONV PROB
Para efectuar una operación con cualquiera de estos elementos se digitan las teclas que
están debajo de cada uno de ellos.
Para el caso del logaritmo se digita la tecla que está debajo de LOGS, observándose el
menú de las funciones exponenciales y logarítmicas.
Los elementos que se utilizan son tres:
LOG: Logaritmo en base diez (10)
10 ^x: Antilogaritmo
LN: Logaritmo Natural.
EJEMPLO 1.3:
Calcular el Log de 2.
Tecla de cambio % LOGS 2 LOG = 0,30103
El Log de 2 es 0,30103
EJEMPLO 1.4:
Calcular el antilogaritmo de 0,69897
Tecla de cambio % LOGS 0,69897 10 x = 5
El antilogaritmo de 0,69897 es 5
NOTA: Para el LN es el mismo procedimiento sólo se modifica el elemento.
ANTILOGARITMO
Para el cálculo del antilogaritmo, se utiliza la tecla marcada como 10^x, y antilogaritmo
natural ex.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Obtenga el Log de 25
Calcule el LN de 30
Determine el antilogaritmo de 0,698970004.
Establezca el antilogaritmo natural de 0,69314718.
9
MEMORIA
Todas las calculadoras tienen por lo menos un registro de memoria, el utilizar las
memorias permite minimizar la probabilidad de error y la optimización del tiempo.
Esta calculadora posee 10 memorias disponibles, numeradas del 0 al 9, las cuales pueden
ser utilizadas para acumular números.
Para guardar el número que se muestra en pantalla en una memoria, se oprime la tecla
[STO] seguida de un número entre 0 y 9; para rescatar un número almacenado en una
memoria, se oprime la tecla [RCL] seguida del dígito en donde se encuentre el número que
deseamos recobrar. El número se muestra en la pantalla y continúa almacenado en la
memoria.
Por lo general, resulta innecesario borrar las memorias ya que un número nuevo
reemplaza al número almacenado anteriormente. Sin embargo, se puede borrar una
memoria almacenando en ella un 0; para borrar todas las memorias simultáneamente, se
teclea [STO] [DEL].
MENÚ FINANCIERO
Para la solución de ejercicios ya aplicados a la matemática financiera con la calculadora
HP, se sigue el siguiente procedimiento:
1. Ubíquese en el menú MAIN (principal). Allí se muestra un tablero de opciones
primarias. Los elementos de este menú son:
FIN: Menú Financiero
COM: Menú Comercial
SUMA: Menú Estadístico
CALEN: Reloj, Calendario y Cálculos con fechas.
RESOL: Programación de la calculadora
TEXTO: Agenda
2. Digite la tecla que se encuentra debajo del elemento FIN. El menú FIN (Finanzas) es el
más utilizado dentro del campo financiero, bancario y bursátil. Este menú contiene los
siguientes submenús:
VDT: Valor del Dinero en el Tiempo
CONVI: Conversión de Tasas de Interés.
10
F. CAJ: Manejo de fluidos de efectivo
BONO: Cálculos con Bonos
DEPRC: Cálculos de Depreciación
3. Presione la tecla que se encuentra debajo del elemento VDT. El menú VDT se utiliza
para llevar a cabo cálculos de interés compuesto y de anualidades. El menú se divide
en dos partes: primario y secundario. El menú primario contiene 6 elementos, que son
los siguientes:
N: Allí se almacena o calcula el número total de períodos de capitalización (o de pagos, en
una anualidad). N puede expresarse en cualquier período de tiempo.
%IA: Almacena o calcula la tasa de interés anual, en porcentaje.
V. A: Determina el capital o valor presente.
PAGO: Calcula la cantidad de cada pago periódico (anualidad).
V. F.: Se estima el valor futuro
OTRO: Pasa al submenú secundario, que se utiliza para modificar las condiciones de pago y
para presentar el menú de amortización.
Allí se muestra los siguientes elementos:
P/AÑO: Almacena el número de períodos de capitalización por año, importante la relación
con la tasa de interés.
INIC: Determina el modo inicial, el cual se utiliza cuando la anualidad es anticipada.
FINAL: Fija el modo final, el cual se utiliza cuando la anualidad es vencida.
AMRT: Muestra el menú para la amortización de una deuda a interés compuesto.
Para regresar al menú primario se oprime la tecla [EXIT].
Al utilizar el menú VDT es necesario que las cantidades monetarias sean ingresadas con el
signo adecuado, + (más) o - (menos), de acuerdo con la siguiente convención de signos:
dinero recibido se ingresa o se presenta en pantalla como un valor positivo, mientras que
el dinero cancelado se ingresa o se presenta en pantalla como un valor negativo.
Si los valores no se ingresan de manera adecuada atendiendo a su signo, la calculadora
podría mostrar el mensaje: “no hay solución”.
11
CASIO FC 200
MODO PARA INICIAR LAS OPERACIONES
Esta calculadora es un poco más sencilla que la HP, pero para nuestro texto es de gran
utilidad, además de ser más económica y estar al alcance de la mayoría de estudiantes.
Las operaciones se inician cuando el interruptor que se encuentra a la izquierda se deslice
hacia arriba y quede en ON.
Como la idea del texto no es reemplazar el manual de la calculadora sino destacar algunos
comandos, vamos a señalar algunas teclas claves para el estudiante de la matemática
financiera.
SELECCIÓN DE FUNCIONES
TECLA DE CAMBIO SHIFT
Esta tecla se digita para activar las funciones de color naranja ubicadas arriba de la tecla.
Al digitarla aparece en la pantalla la letra S.
INGRESO DE CARACTERES ALFABÉTICOS ALPHA
Para ingresar los caracteres de color rojo o las memorias se digita la tecla ALPHA.
MENÚ FINANCIERO
Para efectuar las operaciones financieras se digita la tecla MODE y el número 4.
Al realizar los diferentes cálculos se deben borrar las memorias financieras, se digita
SHIFT AC EXE AC. Cuando se encuentra en el menú financiero en la pantalla se muestra
FIN.
SELECCIÓN DEL TIPO DE INTERÉS
Para indicar el tipo de interés que se va a trabajar, se digita la tecla MODE y el número cero
(0), y la calculadora va cambiando el modo.
Para trabajar con el interés compuesto debe aparecer en la pantalla la letra C.
12
FUNCIONES
Las funciones son las siguientes:
PRN INT CFj Nj NPV IRR
COMP n i% PV PMT FV
Su forma de trabajar se explica en las páginas 121 a 123 del manual de su calculadora.
MEMORIA
El manejo de las memorias es fundamental para ganar tiempo en las operaciones y
minimizar el riesgo de equivocarse. La calculadora Fc 200 cuenta con veintiséis memorias
y están identificadas con las letras de A a Z de color rojo.
Es importante conocer el procedimiento de almacenamiento en la memoria, como la forma
de conocer la información guardada.
ALMACENAMIENTO
Para guardar información en la memoria la FC 200 cuenta con un gran número de celdas,
se identifican porque se les asignó las letras del alfabeto.
Para guardar en la memoria se digita STO ALPHA la letra de la casilla que se selecciona
(Ejemplo A) y EXE.
El procedimiento para guardar en la memoria el valor $1000 en la casilla A es el siguiente:
1000 - STO - ALPHA- A - EXE.
CONSULTA
Para consultar la memoria y recuperar la información guardada se digita RCL después
ALPHA y la letra donde se guardó la información.
Si se procede a recuperar la información guardada anteriormente el proceso es:
RCL - ALPHA - A - EXE.
Para un mejor estudio vaya a la página 133 y 134 del manual de su calculadora, donde
además aprenderá a efectuar operaciones con los resultados guardados en las memorias.
13
ENCENDIDO DE LA CALCULADORA
Pulse ON/OFF.
Si ha utilizado la tecla ON/OFF para apagar la calculadora, ésta volverá al modo de
calculadora estándar mostrando un valor de cero.
Se mantendrán todos los valores y parámetros de las hojas de trabajo, formatos de
número, unidades de ángulo, fechas, separadores y métodos de cálculo anteriores.
Si la calculadora se ha apagado por la acción de Automatic Power Down™ (APDTM),
al encenderla estará exactamente igual que cuando la dejó, sin que se hayan
perdido ninguno de los parámetros de visualización, memoria almacenada o
cualquier operación en curso o condición de error sin resolver.
SELECCIÓN DE FUNCIONES SECUNDARIAS
La función principal de una tecla es la que aparece sobre la propia tecla. Por ejemplo, la
función principal de la tecla ON/OFF es apagar y encender la calculadora.
La mayoría de las teclas incluyen una función secundaria impresa por encima de la tecla.
Para seleccionar una función secundaria pulse 2nd y la tecla correspondiente. (Cuando se
pulsa 2nd, el indicador 2nd aparece en la esquina superior izquierda de la pantalla).
Por ejemplo, al pulsar 2nd [OUIT] se sale de la hoja de trabajo seleccionada y la
calculadora regresa al modo estándar.
Nota: Para cancelar la acción después de pulsar 2nd, pulse 2nd de nuevo.
USO DE HOJAS DE TRABAJO: HERRAMIENTAS PARA SOLUCIONES FINANCIERAS
La calculadora contiene hojas de trabajo que llevan integradas las fórmulas con las que
podrá resolver problemas concretos. Solo tendrá que aplicar los parámetros o asignar los
valores conocidos a las variables de la hoja de trabajo, y calcular luego el valor
desconocido. El cambio de los valores permite formular preguntas hipotéticas de tipo qué
ocurre si y comparar los resultados.
Excepto para las variables de TVM, a las que se accede en el modo de calculadora estándar,
es necesario solicitar todas las demás variables.
Por ejemplo, para asignar valores a las variables de amortización deberá pulsar primero
2nd [AMORT] para acceder a la hoja de trabajo Amortización.
14
Cada hoja de trabajo es independiente de las demás: las operaciones realizadas en una
hoja de trabajo no afectan a las variables de las otras.
Al salir de una hoja de trabajo o apagar la calculadora, ésta retiene todos los datos de la
hoja de trabajo.
REINICIO DE LA CALCULADORA
Cuando se reinicia la calculadora:
Se borran la pantalla, las 10 memorias, los cálculos no finalizados y todos los datos
de las hojas de trabajo.
Se recuperan los valores de configuración predeterminados.
Se recupera el funcionamiento del modo de calculadora estándar.
La calculadora dispone de métodos alternativos que permiten borrar datos selectiva
mente, por lo que el reinicio de la misma deberá utilizarse con cuidado para evitar la
pérdida accidental de datos. (Consulte «Borrado de entradas y memorias de la
calculadora» en la página 8.)Por ejemplo, puede reiniciar la calculadora después de
utilizarla por primera vez, al iniciar un nuevo cálculo o cuando surja algún problema de
funcionamiento y no consiga resolverlo con ninguna de las otras posibles soluciones.
(Consulte «Si surge alguna dificultad» en la página 111.)
Pulsación de 2nd [RESET] ENTER
1. Pulse 2nd [RESET). Aparecen los indicadores R5T ? Y ENTER.
Nota: Para cancelar el reinicio, pulse 2nd [QUIT). Aparece el valor 0.00.
2. Pulse ENTER. Aparecen R5T y 0.00, lo que confirma que se ha reiniciado la calculadora.
Nota: Si se produce una condición de error, pulse CE/C para borrar la pantalla antes de
intentar reiniciar la calculadora.
1.2. GENERALIDADES DEL EXCEL
En la medida que se aumentan los negocios en el mundo, se han requerido instrumentos
mucho más rápidos que permitan la toma de decisiones en períodos breves, y mecanismos
que permita realizar comparaciones y elegir la mejor alternativa, sin tener que utilizar
constantemente la calculadora para revisar las operaciones efectuadas y el papel para
apuntar los resultados.
15
De allí partió la idea de crear un programa que permitiese anotar datos como en las hojas
de papel, en celdas o memorias y luego poder efectuar operaciones con ellos.
De esta forma las hojas de cálculo se han convertido en el instrumento perfecto para el
desarrollo financiero de las empresas, dado que su avance es tal que se permite hacer
simulaciones que son fundamentales en la solución de problemas.
Para el desarrollo del texto se va a utilizar el EXCEL, hoja de cálculo por excelencia en
estos momentos.
CARACTERÍSTICAS
La estructura principal que utiliza este tipo de software para almacenar y organizar la
información es un área de trabajo en forma de matriz, estructurada por un determinado
número de filas y columnas, denominadas hoja de cálculo.
Los comandos principales que constituyen el menú principal son: INICIO, INSERTAR,
DISEÑO DE PAGINA, FÓRMULAS, DATOS, REVISAR Y VISTA.
Para el caso de la matemática financiera es una herramienta fundamental, dada su
aplicación para el administrador financiero.
Las funciones que más se utilizan se encuentran en el comando FÓRMULA.
Una vez se ingresa a la opción de funciones, la hoja electrónica te muestra las diversas
alternativas que se tienen para trabajar, en el desarrollo de este texto se utilizarán
fundamentalmente tres: FINANCIERAS, LÓGICAS MATEMÁTICAS Y TRIGONOMÉTRICAS.
16
FUNCIONES FINANCIERAS
En este comando se encuentran las diferentes funciones utilizadas en las finanzas, dado
que allí ya están programados y organizados los procedimientos matemáticos.
Las operaciones de más uso son las siguientes:
INT. EFECTIVO: Calcula la tasa efectiva a partir de la nominal.
NOMINAL: Devuelve la tasa de interés anual nominal si se conoce la tasa efectiva.
NPER: Permite conocer el número de períodos que se requieren para pagar la totalidad de
una obligación, cuando las cuotas son pagos iguales.
PAGO: Esta función permite calcular el valor de una anualidad cuando se conoce el valor
presente o el valor futuro.
TASA: Con este comando se calcula el interés a partir del valor de las cuotas y el valor
futuro o presente.
TIR: Se halla la tasa de rentabilidad del flujo de caja de un proyecto.
VA: Conocemos el valor presente de unos pagos futuros.
VF: Determina el valor futuro a partir del valor presente o las anualidades.
VNA: Calcula el valor presente de un flujo de caja donde se tienen ingresos y egresos.
17
FUNCIONES MATEMÁTICAS Y TRIGONOMÉTRICAS
De igual forma en el menú funciones también se encuentran las matemáticas y
trigonométricas, donde se desarrollan temas como los logaritmos, y las lógicas que se
utilizan en el tema de amortizaciones y organización de los flujos de caja.
Las funciones que se muestran son las que se requieren:
LN: Calcula el logaritmo natural de un número.
LOG: Devuelve el logaritmo de un número en la base que se le indique.
LOG10: Determina el logaritmo en base diez de un número.
POTENCIA: Permite obtener el resultado de elevar un número a una potencia.
PRODUCTO: Multiplica una serie de números.
RAÍZ: Se obtiene la raíz cuadrada de un número.
SUMA: Suma una serie de números ubicados en un rango.
SUMAR.SI: Sólo suma los números que cumplen determinada condición.
MENÚ DE FUNCIONES LÓGICAS
SI: Se asigna un valor si cumple determinado criterio, sino se le asigna otro valor, se utiliza
en las condiciones de pago para las tablas de amortización.
Es importante en el manejo del Excel, enlazar todas las variables, porque es allí donde se
encuentra la ventaja de la hoja electrónica, dado que ante la modificación de cualquiera de
ellas, inmediatamente afecta el resultado sin volver a realizar las operaciones.
1.3 LAS TABLAS FINANCIERAS
Buscando optimizar el tiempo en el desarrollo de los ejercicios, se editaron tablas que
contienen el valor de un factor, que no es más que el resultado de las diferentes fórmulas
como VP, VF y ANUALIDADES, para diferentes períodos y tasas de interés.
Cada hoja muestra el resultado para determinada tasa de interés y seis columnas, cada
columna es el resultado de la deducción de una incógnita conociendo las demás variables.
La hoja está organizada de la siguiente forma:
18
TASA 3%
N PAGOS UNICOS ANUALIDADES GRADIENTES
F/P P/F A/F F/A A/P P/A P/G A/G
1 1.0300 0.9709 1.0000 1.0000 1.0300 .09709
2 1.0609 0.9426 0.49261 2.0300 0.52261 1.9135 0,9426 0,4926
F/P: Con el valor presente calcular el valor futuro.
P/F: Con el valor futuro calcular el valor presente.
A/F: Con el valor futuro calcular el valor de la anualidad.
F/A: Con una anualidad calcular el valor futuro.
A/P: Con un valor presente calcular el valor de la anualidad.
P/A: Con el valor de la anualidad calcular el valor presente.
P/G: Cálculo del valor presente con el factor de un gradiente aritmético.
A/G: Cálculo de la anualidad con el factor de un gradiente aritmético.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Determine el factor para determinar el valor presente con un futuro para N = 5 y
una tasa de interés del 3%.
¿Cuál es el factor para calcular una anualidad si se tiene un valor presente, con N
= 6 y una tasa del 2%?
1.4 FUNDAMENTACIÓN DE MATEMÁTICA BÁSICA
Para comprender la matemática financiera, el estudiante requiere recordar los
conocimientos básicos de las matemáticas básicas, este repaso va a permitir el
fortalecimiento de los conceptos para facilitar el desarrollo de la materia.
Los temas que se estudiarán son los siguientes:
Logaritmos
Sucesiones y Progresiones.
Ecuaciones.
19
Radicación
Exponenciación
Pasos para solución de problemas en las matemáticas.
LOGARITMOS
Atención: ¿para qué sirven los logaritmos?.
Son una herramienta muy útil que permite abreviar diversas operaciones aritméticas. En
un principio fueron utilizados para la realización de cálculos aritméticos complejos
principalmente en astronomía. Aun cuando hoy existen las calculadoras y los
computadores, los cuales facilitan los cálculos, los logaritmos tienen amplia aplicación en
muchas áreas de la ciencia, la tecnología, las finanzas, y otras.
DEFINICIÓN:
El logaritmo de un número es el exponente al cual se debe elevar un número llamado BASE
para obtener el número requerido.
ab = c
Base = a
Exponente = b
Número = c
EJEMPLO 1.5:
Log 10 100 = 2
10? = 100
¿A cuánto se debe potenciar 10 para que sea igual a 100? La respuesta es 2. Luego,
102 = 100
Loga b = c
¿A cuánto debo potenciar a “a” para que sea igual a “b”?
ac = b
Se debe potenciar C.
20
Si lo comprende, puede continuar.
Propiedades de los Logaritmos
Como el logaritmo es un exponente tiene las mismas propiedades de los exponentes.
1. El logaritmo de los números negativos y de cero no existe en el conjunto de los
números reales, es decir:
Loga N no existe para todo N menor o igual a cero
2. El logaritmo de uno, es igual a cero, es decir
Loga 1 = 0 Se sabe que todo número elevado a la potencia cero es igual a uno en el
conjunto de los números reales.
3. El logaritmo del número a en la base a es igual a 1, es decir:
Loga a = 1 porque a1 = a
4. El logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los
logaritmos de dichos números, es decir
Loga AB = loga A + loga B
Log (6) (5)= Log 6 + Log 5
5. El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numerador
menos el logaritmo del denominador, es decir
Loga A/B = Loga A - Loga B
Log 6/5= Log 6 - Log 5
6. El logaritmo de un número positivo elevado a un exponente es igual al exponente
multiplicado por el logaritmo del número, es decir:
Loga An = n loga A
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Calcular el Log de 45.
Determinar el Log de 4/3.
Estimar el Log 4*6.
BASES DE LOS LOGARITMOS
El logaritmo de un número depende de la base que se utilice. Cualquier número positivo
diferente de 1 puede ser usado como base de un sistema de logaritmos, luego el número de
21
sistemas de logaritmos es infinito. Sin embargo, los sistemas de logaritmos más utilizados
son el sistema de logaritmos decimales que emplea el número 10 como base y el sistema
de logaritmos naturales llamado también neperianos.
Sistema de logaritmos decimales
Este sistema es también llamado sistema de logaritmos comunes. El logaritmo decimal de
un número positivo A, se escribe como log10 A. Al trabajar con logaritmos decimales es
costumbre omitir el subíndice 10. De esta forma, log10 A es igual a log A.
Sistema de logaritmos naturales
También llamado sistema de logaritmos neperianos. Emplea como base un número
irracional representado por la letra “e” cuyo valor aproximado es 2.718281828459....
Se denomina “logaritmo de A en base “e” o “logaritmo natural o neperiano de A”, se
acostumbra escribir ln A en lugar de loge A. Al igual que para el cálculo del logaritmo
decimal, el logaritmo natural se puede obtener mediante el uso de tablas o de calculadora.
Se teclea el número y en seguida se oprime la tecla ln o se digita la tecla ln y en seguida se
escribe el número, según el tipo de calculadora que se tenga.
APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS EN LA MATEMÁTICA FINANCIERA.
Una de las aplicaciones más importantes de los logaritmos en las finanzas es la solución
de ecuaciones en que la incógnita aparece como un exponente. Este caso se presenta en el
cálculo del tiempo (n).
EJEMPLO 1.6:
Se realiza una inversión de $100 a una tasa del 6% bimestral, ¿en cuánto tiempo se tendrá
un valor de $150?
Utilizando la fórmula de valor presente, para obtener un valor futuro, tendríamos:
100*(1.06)N = 150 simplificando tenemos que
(1.06)N = 1.5
Se saca el logaritmo a ambos lados de la ecuación y se simplifica:
Log (1.06)N = log 1.5
N * log (1.06) = log 1.5
22
𝑁 = 𝑙𝑜𝑔 1,5
𝑙𝑜𝑔 1,06
N = 6,96
Respuesta:
Para alcanzar la inversión del valor de $150 debemos dejar los recursos 6.96 bimestres.
NOTA: Esta aplicación se entenderá mejor cuando el estudiante conozca la fórmula de
valor presente y valor futuro.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
¿Cuánto tiempo se requiere para tener el doble del capital actual si mensualmente
tiene una rentabilidad del 5%?.
Determine el número de meses que se requiere esperar para alcanzar $ 1.000.000
si hoy se tienen $800.000 y mensualmente tiene una rentabilidad del 2%.
USO DE LA CALCULADORA HP
Para el ejemplo que se está trabajando; el logaritmo de 1.5, se digita el número y
seguidamente la tecla ubicada debajo del elemento LOG así:
1.5 LOG = 0.176091259
Al digitar la tecla EXIT retorna al menú MATH, y al digitar nuevamente EXIT, se retorna al
menú principal MAIN.
Si para el ejemplo se requiere el Logaritmo Natural, el elemento marcado será LN, del
menú MATH.
Para el ejercicio se digita el 1.5 y a continuación se digita la tecla que se encuentra debajo
del elemento LN.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Calcular el Ln de 65.
Determinar el Log de 4.
Estimar el Log 8*6.
23
CÁLCULO DEL LOG EN EXCEL
Se va a calcular el Log de 1.5
Se ingresa por funciones (fx)
La categoría de la función es matemáticas y trigonométricas
Se busca el nombre de la función, para el ejercicio se tomó el LOG10
Una vez definida la función se señala el valor que se va a calcular.
NOTA: Si el cálculo fuese el Logaritmo Natural se seleccionaría LN.
SUCESIONES Y PROGRESIONES
SUCESIONES
Una sucesión es una lista ordenada de números.
Ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14 o 3, 6, 12, 24, 48
En la primera parte del ejemplo, el primer término es 2, el segundo 5, el tercero 8 ....
Cada término se obtiene sumando 3 al término anterior.
En la segunda parte del ejemplo, el primer término es 3, el segundo 6, el tercero 12, ... Cada
término se obtiene duplicando el anterior.
PROGRESIONES
DEFINICIÓN:
Una progresión es una sucesión de números relacionados de tal forma que cada número
es igual al anterior sumado o multiplicado por un valor constante.
Existen dos clases de progresiones; aritméticas y geométricas.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Se define como progresión aritmética a la sucesión cuya diferencia entre cualquier
término y el anterior es la misma a lo largo de toda la sucesión. Esta diferencia se
denomina diferencia común (DC).
La expresión queda así:
A+(A+DC) + (A+2DC) + (A+3DC) + (A+4DC) +.................+ (A+(N-1) DC).
24
Dónde:
A: Primer término.
DC: Diferencia común.
N: Número de términos.
UT: Último término.
La fórmula para calcular el último término es la siguiente: UT= A + (N-1)*DC
El valor de la sumatoria de la serie se determina mediante la siguiente fórmula:
Sumatoria Serie (SS) = 𝑁∗(𝐴+𝑈𝑇)
2
EJEMPLO 1.7:
EJEMPLO DE APLICACIÓN:
Se tiene la siguiente serie:
2, 5, 8, 11, 14, 17,20......... El total de términos es de 20. Calcular el UT y la Sumatoria de la
serie.
A: 2
DC: 3
N: 20
UT = 2+ (20 - 1) * 3
UT = 59
Sumatoria Serie (SS) = 20∗(2+59)
2
Sumatoria Serie = 610.
NOTA: Si se desea conocer un determinado término de la serie, por ejemplo el
término 15 del ejercicio anterior, en la fórmula del UT, se reemplaza el UT, por el
quince (15).
25
Aplicación en las finanzas:
EJEMPLO 1.8:
Se efectúa un crédito de $100 con un interés del 2% mensual. El cliente está de acuerdo en
pagar $10 a capital cada mes, más el interés.
Al finalizar el primer mes paga $10 más $2 de interés. El total del pago es de $12 y se
adeuda $90 al banco.
Para el segundo mes se paga $10 de capital más los intereses sobre $90, es decir; $1,80 por
lo tanto, el segundo pago sería de $11,80.
Para el tercer mes sería $10 de capital y $1,60 de interés
Para el cuarto mes sería $10 de capital y $1,40 de interés
Para el quinto mes sería $10 de capital y $1,20 de interés
Los pagos sucesivos serían: 12, 11.80, 11.60, 11.40, 11.20,.....10.20.
La diferencia común es 0.20 (20 centavos)
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Calcular el último término de la siguiente serie: 4, 9, 14,19.....................N
La serie tiene 15 términos.
Determinar la Sumatoria de la siguiente serie:
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35.
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO
Una progresión es geométrica (PG) cuando en una sucesión de términos, cada término es
igual al anterior multiplicado por una constante denominada RAZÓN.
Ejemplo: 2, 6, 18, 54, 162 2, 2x31, 2x32, 2x33, 2 x34
La RAZÓN es 3.
Si A es el primer término y r es la razón, los términos sucesivos de la progresión
geométrica (PG) son:
26
A, Ar, Ar2, Ar3
En esta PG se observa que la potencia de r en cualquier término es menor en uno al
número de términos (N).
Esto permite concluir que el último término o término n-ésimo se obtiene de la siguiente
forma: UT = a*rn-1
Para calcular la sumatoria de la serie, se aplica la siguiente fórmula:
Sumatoria Serie (SS) = r∗UT – A
r−1
EJEMPLO 1.9:
Se tiene la siguiente serie:
2, 4, 8, 16, 32, si la serie tiene 10 términos, calcule el último término, y la sumatoria de la
serie.
A = 2, r = 2, N = 10, UT=
UT = 2* 29
UT = 1024
El último término de la serie es 1024.
La sumatoria de la serie se calcula así:
Sumatoria serie (SS) = (2∗1.024)−2)
2−1
SS = 2.046
La sumatoria de la serie es de 2.046.
EJEMPLO 1.10:
APLICADO A LAS FINANZAS:
Se depositan $100 en una entidad financiera que paga 1% mensual. ¿Cuánto dinero se
tendrá al finalizar un año?
Los intereses se capitalizan cada mes.
Al finalizar el primer mes se tendría
27
100 + 100(0.01) = 101
El valor de la inversión para el segundo mes sería:
101 + 1% de 101 101 (1.01) esto es equivalente a 100(1.01)2
De igual forma el valor de la inversión para el tercer mes sería:
100(1.01)3
La sucesión sería 100, 100(1.01)1, 100(1.01)2, 100(1.01)3...
Demostrando la aplicabilidad de la progresión geométrica para el cálculo de resultados
donde se trabaja con el interés compuesto.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Determine el décimo término de la siguiente progresión:
2, 6, 18, 54,......................
Calcule la sumatoria de la siguiente serie, la cual está compuesta por 8 términos:
4, 8, 16, 32,............
ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad en la que existen una o varias cantidades desconocidas
denominadas incógnitas, y sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas.
GRADOS DE UNA ECUACIÓN
El grado de una ecuación está determinado por el mayor exponente de la incógnita en la
ecuación.
En una ecuación de primer grado el mayor exponente de X es 1.
Ejemplo: 2X+8= 20
En una ecuación de segundo grado el mayor exponente de X es 2.
Ejemplo: X2- + X + 15=0
En la matemática financiera, el uso de las ecuaciones se limita a ecuaciones de primer
grado con una incógnita, cuando se hace referencia a una incógnita se precisa que sólo se
desconoce una variable.
28
El éxito de un estudiante de matemática financiera radica en el buen planteamiento de la
ecuación, y éste se da cuando existe claridad en la ubicación de la incógnita.
EJEMPLO 1.11:
Determinar el precio de contado de un artículo que se financió de la siguiente forma cuota
inicial, 30% del valor de contado y $500.000 a 30 días (1 mes), con un interés del 2%
mensual.
La ecuación se plantea para el momento 0, porque es allí donde se quiere conocer el valor
de contado.
Valor de Contado = X
X = 0,3X+500.000/(1,02)
ANÁLISIS
El precio de contado es igual al 30% de ese valor, más los 500.000, pero trayéndolos al
momento cero, o sea, trayéndolos a valor presente.
SOLUCIÓN:
X-0,3X= 500.000 / 1.02
0,7X = 490.196,07
X = 490.196,07 /0,7
X = 700.280,11
RTA: El valor de contado del artículo es de $700.280,11
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Determine el valor de X de la siguiente ecuación:
10x – 5 = 4x + 20
Despeje el valor de X: 6𝑥
2+
8𝑥
4 = 120
29
RADICACIÓN
La raíz de un valor x, es aquel número que elevado a una potencia da como resultado el
valor inicial.
Ejemplo: La raíz de 16(dieciséis), su raíz cuadrada es 4(cuatro), porque al elevar 4 al
cuadrado, se obtiene la cifra inicial de 16.
El concepto de radicación se aplica en la matemática financiera para el despeje de la tasa
de interés cuando se conoce los valores presente y futuro y el número de períodos.
EJERCICIO DE APLICACIÓN:
La operación que regularmente se utiliza es la de supresión del índice y del exponente.
EJEMPLO 1.12:
(1+ i )3 -1=0, 08
(1+ i )3 = 1+0, 08
((1 + i) 3) 1/3 = (1,08)1/3
(1+ i) = 1,025985
i = 1, 025985-1
i =0,02598
RTA: El valor de i = 2,5985%.
Para despejar i se elevan las dos partes en (1/3) o expresado de otra forma se saca raíz
cúbica a ambos lados, con el propósito de eliminar el exponente 3, porque cuando el
exponente del radicando es igual al índice de la raíz, los dos valores se eliminan.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Determinar el valor del interés despejando la siguiente ecuación:
(1+ i)4 -1 = 16%
Calcular la tasa de interés de:
(1+ i)3 -1= 10%
30
EXPONENCIACIÓN
Un exponente se puede definir como el producto de un número real que se multiplica por
sí mismo un determinado número de veces.
EJEMPLO 1.13
X * X = X2
X * X * X = X3
La X se denomina base y el número al cual se encuentra elevado se denomina exponente.
El exponente indica el número de veces que la base se toma como factor.
Leyes Exponenciales:
PRODUCTO DE DOS EXPONENTES CON LA MISMA BASE:
El producto de dos exponentes con la misma base es equivalente a elevar la base a la suma
de los exponentes.
EJEMPLO 1.14:
54 * 52 = 54+2
COCIENTE DE DOS EXPONENTES CON LA MISMA BASE
El cociente de dos exponentes con la misma base es similar a elevar la base por la
diferencia del exponente del numerador menos el denominador.
EJEMPLO 1.15:
54 / 52 = 54 - 2
EXPONENTE DE UN EXPONENTE
Al elevar un exponente a otro exponente, se eleva la base al producto de sus exponentes.
EJEMPLO 1.16:
(54)2 = 54 * 2
EL EXPONENTE CERO
Cualquier base cuyo exponente sea igual a CERO, su resultado es 1.
31
EJEMPLO 1.17:
50 = 1
EXPONENTE NEGATIVO
Cuando la base tiene un exponente negativo éste es igual a 1 sobre esta misma base con
exponente positivo.
EJEMPLO 1.18
5-4 = 1 / 54
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Determine el resultado del producto de las siguientes potencias: X3 * X4
Calcule el resultado de la siguiente expresión: (52)3 + 44
Determinar el resultante de: (6 * 5)2
LOS DIEZ PASOS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA MATEMÁTICA FINANCIERA
La razón de existir este texto es la búsqueda de la forma para que el estudiante le
encuentre gusto a las matemáticas, en especial a la financiera, es tratar de sugerir unos
pasos estándar que se apliquen en la solución de cualquier problema matemático.
Los diez pasos que, con mucho respeto, le sugiero a un estudiante interesado en resolver
todo ejercicio que se le presente son los siguientes:
1. Piense que la matemática es muy fácil, es lógica, y exacta, que tú eres bueno para las
matemáticas.
2. Lea cuidadosamente el problema sin dejar escapar detalle alguno.
3. Trate de aplicarlo a la cotidianidad de su vida, si la realidad te presenta esta situación.
¿Cuál sería la forma de darle solución?
4. Tenga claridad en la pregunta del ejercicio.
5. Plantee el camino para encontrar la respuesta, aquí se utiliza el diagrama del flujo de
caja.
6. El diagrama del flujo de caja le orienta cuando ingresa dinero y en qué momento
efectúa erogaciones, de igual manera el período en el cual está ubicada la incógnita.
32
7. Plantee la ecuación que le va a permitir efectuar las operaciones requeridas en el
desarrollo del ejercicio.
8. Evalúe las operaciones efectuadas, quizás se haya equivocado en alguna, o digitó mal
la calculadora o el computador.
9. Revise si la repuesta está dentro de la lógica.
10. Interprete el resultado para saber dar respuesta a la pregunta.
1.5 FUNDAMENTACIÓN COMERCIAL
PORCENTAJE
Como porcentaje se define la proporcionalidad que se establece con relación a cada cien
unidades. Se describe con el signo %.
Si se expresa el 20%, esto quiere decir veinte unidades por cada 100, se representa de
otras formas como: 20/100, 0.20.
EJEMPLO 1.19:
La tasa de interés mensual es el 3%.
Esto significa que mensualmente por cada $100 que a usted le presten, debe pagar $3.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Determine el interés por un crédito de $1.000.000, si la tasa cobrada es 2%
mensual.
Para financiar un electrodoméstico se requiere pagar el 20% de cuota inicial, cual
será la cantidad de dinero a desembolsar, si el artículo tiene un valor de
$6.000.000=.
DESCUENTO COMERCIAL
El descuento comercial se define como una rebaja sobre el precio de lista de un artículo o
mercancía y se expresa como un por ciento del precio fijado.
Los descuentos en el comercio se dan por las siguientes razones:
POR VOLUMEN
33
PAGO DE CONTADO, O ANTES DEL VENCIMIENTO.
EJEMPLO 1.20:
Un almacén mayorista, vende mercancía a la empresa ABC por un valor de $10.000.000,
dado su volumen de compra, le concede un descuento del 10%, y si la empresa ABC paga
de contado le da un descuento del 5%.
Si ABC, pagó de contado determine el valor de la factura.
VALOR INICIAL DE LA
FACTURA $10.000.000
Descuento por volumen (10%)
Valor descuento 10.000.000 x 10%= 1.000.000
VALOR FACTURA $9.000.000
Descuento pago de contado (5%)
Valor descuento 9.000.000 x 5% = 450.000
VALOR FINAL DE LA
FACTURA $8.550.000
Aquí se observa que al efectuarse dos o más descuentos comerciales, éstos deben ser
sucesivos.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Determine el pago final de una factura, la cual tiene un valor de $30.000.000, por volumen
tiene un descuento del 15%, y por pago de contado de un 4%.
DETERMINACIÓN DEL PRECIO DE VENTA
Para determinar el precio de venta de un artículo, se debe conocer el costo y el margen de
utilidad.
La fórmula es la siguiente:
PRECIO DE VENTA = COSTO DE VENTA + UTILIDAD BRUTA
34
La utilidad bruta se determina como el margen de utilidad multiplicado por el precio de
venta.
EJEMPLO 1.21:
EJERCICIO DE APLICACIÓN
Cuál es el precio de venta de un artículo cuyo costo es de $5.000.000= y el margen de
utilidad que se espera obtener es del 30%.
Se reemplaza en la fórmula:
PV = 5.000.000 + 0, 3 * PV
0, 7 PV =5.000.000
PV = 5.000.000 / 0,7
PV =7.142.857
El precio al que se espera vender el artículo es de $7.142.857.
EJERCICIO DE PRÁCTICA
Usted inicia un negocio de ventas de empanadas, el costo unitario es de $400, si se
espera alcanzar un margen de utilidad del 50% determine el precio de venta de
cada empanada.
Si el costo de fabricar una carrocería es de $12.000.000, y el margen de utilidad
esperado es el 15%, determine el precio de venta de cada carrocería.
AUTOEVALUACIÓN
a. Cómo debo operar la calculadora financiera para obtener el 37.8% de 4’850.000.
b. Comente cuál es el proceso para trabajar las funciones financieras en Excel.
c. ¿Entiendo la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica?
d. En una ecuación de primer grado cuál es el mayor exponente de X.
e. En una operación matemática de exponenciales, cuál es el procedimiento para realizar
la siguiente operación:
(65)4.
35
f. ¿Cómo se determina el descuento comercial? ¿Tienen las grandes empresas ventajas
sobre las pequeñas, allí?
g. ¿Conociendo el margen de utilidad es suficiente para determinar el precio de venta de
un artículo?
GLOSARIO
AHORRO: Parte del ingreso que una persona o ente jurídico no gasta en consumo, sino lo
pospone para algún momento futuro.
COMERCIALIZACIÓN: Proceso mediante el cual los productos se trasladan de los
productores a los consumidores.
COMERCIO EXTERIOR: Intercambio de productos y servicios entre países.
DESCUENTO: Disminución del valor nominal de un título valor por pago anticipado.
ECUACIÓN: Es una igualdad de valores, que relacionan dos o más variables, y que permite
conocer los valores numéricos asignados a las letras.
FACTURA COMERCIAL: Documento en el que se fija el valor de la mercancía vendida.
FINANZAS: Rama de la administración de empresas que se preocupa por el flujo de fondos
que requiere la empresa para su funcionamiento y la generación de utilidades.
ÍNDICE: Indicador que tiene por objeto medir las variaciones de un fenómeno económico.
INGRESO: Remuneración percibida por un trabajador por los servicios prestados durante
un período de tiempo.
INSOLVENCIA: Incapacidad para pagar las deudas en la fecha fijada.
INSTITUCIÓN FINANCIERA: Empresa cuya actividad es la intermediación financiera.
INSTRUMENTO FINANCIERO: Documento que representa una deuda.
INVERSIÓN: Asignación de recursos económicos en determinado negocio cuyo propósito
es el de obtener ganancias en un período de tiempo.
INVERSIONISTA: Persona que emplea sus recursos económicos para adquirir activos
productivos o títulos valores en el mercado financiero y bursátil.
MARGEN DE INTERMEDIACIÓN FINANCIERA: Es la diferencia entre las tasas de interés de
colocación y de captación.
36
MARGEN DE UTILIDAD: Es el margen que desea obtener quien vende un producto, el cual
se determina restando al precio de venta el costo medio, y su resultado se divide por el
precio.
PRECIO: Cantidad de dinero que se paga por la adquisición de una mercancía o servicio.
PRÉSTAMO: Contrato mediante el cual una persona denominada prestamista entrega un
bien que le pertenece a otra persona llamada prestatario, con el propósito que éste lo
disfrute, pague un interés y se comprometa a devolverlo en un determinado período de
tiempo.
FÓRMULAS
F/P: Con el valor presente calcular el valor futuro.
P/F: Con el valor futuro calcular el valor presente.
A/F: Con el valor futuro calcular el valor de la anualidad.
F/A: Con una anualidad calcular el valor futuro.
A/P: Con el valor presente calcular el valor de la anualidad.
P/A: Con el valor de la anualidad calcular el valor presente.
P/G: Cálculo del valor presente con el gradiente aritmético.
A/G: Cálculo de la anualidad con el gradiente aritmético.
Factores para aplicar con las tablas financieras.
UT= A + (N-1)*DC
Cálculo del último término en una progresión aritmética.
Sumatoria Serie (SS) = 𝑁∗(𝐴+𝑈𝑇)
2
Cálculo del valor de la sumatoria de la serie de una progresión aritmética, donde:
A: Primer término.
DC: Diferencia común.
N: Número de términos.
UT: Último término.
37
UT = a*rn-1
Cálculo del último término en una progresión geométrica.
Sumatoria Serie (SS) = r∗UT – A
r−1
Cálculo del valor de la sumatoria de la serie de una progresión geométrica.
PRECIO DE VENTA = COSTO DE VENTA + UTILIDAD BRUTA
Determinación del precio de venta
38
CAPÍTULO 2
INTERÉS
JUSTIFICACIÓN
El concepto interés es la base donde se fundamenta la matemática financiera, cuantifica el
valor del dinero en el tiempo. En otras palabras, es la forma como el inversionista conoce
el valor que debe pagar como usuario del dinero, o la compensación que se da a la persona
que deja utilizarlo en el presente en aras de que otro lo haga.
En este capítulo se conocerán las diferentes formas como las entidades financieras cobran
y pagan por captar el dinero de los ahorradores y a su vez como lo prestan a los
inversionistas.
Así mismo, el estudiante o la persona común y corriente aprenderá a calcular el verdadera
rentabilidad o costo de su dinero, para que de esta forma tenga argumentos en el proceso
de seleccionar alternativas de inversión.
39
MIS OBJETIVOS
Como estudiante debo:
Comprender y manejar, como parte de mi profesión, el concepto valor del dinero
en el tiempo.
Entender y manejar con habilidad las tasas de interés.
Diferenciar interés simple e interés compuesto y saber con claridad cuándo es
preciso utilizarlos.
Distinguir tasa nominal y tasa efectiva, con la finalidad de realizar bien los cálculos
financieros que estén bajo mi responsabilidad.
Aprender a calcular una tasa efectiva, partiendo de una nominal.
Comprender la importancia de calcular tasas nominales, a partir de efectivas.
CONDUCTA DE ENTRADA
Amigo estudiante la evaluación de entrada le permitirá saber si cuenta con los
conocimientos y conceptos necesarios para continuar su estudio en finanzas. Así conocerá
sus deficiencias y podrá superarlas antes de empezar a estudiar esta nueva unidad.
Responda estas preguntas y reflexione sobre sus respuestas y sobre sus fortalezas y
debilidades en este tema.
Haga más fuertes sus conocimientos y supere sus deficiencias de una vez, y el manejo
financiero será parte de su éxito.
1. ¿Podría describir la diferencia existente entre el uso de la calculadora financiera, el
Excel y las tablas financieras? ¡Inténtelo!
2. ¿Puede representar el proceso de llegar al menú financiero de la calculadora Hewlett -
Packard? ¡Por favor hágalo!
3. ¿Cuál sería el proceso utilizado en Excel para trabajar las funciones financieras?
4. ¿Puede hablar sobre el uso de los logaritmos en la matemática financiera? ¿Tienen
alguna importancia? ¿Cómo se usan?
5. ¿Cuándo una empresa ofrece descuentos por diferentes conceptos, para liquidar el
valor del descuento, se utiliza la misma base?
40
2.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Al ingresar ya en el campo financiero, el concepto más importante que debe tener claro el
estudiante tanto como el profesional en finanzas es la incidencia del tiempo en el valor del
dinero.
No es lo mismo disponer de un millón de pesos hoy que dentro de un año, ya que, si cuento
con el dinero hoy, lo puede usar en el momento, y aprovechar una oportunidad de negocio,
en segunda instancia, porque éste va perdiendo valor como consecuencia de la inflación, y
en tercera instancia, porque al prestar el dinero se está asumiendo el riesgo de que no sea
devuelto en la fecha fijada, o nunca regrese.
Por lo tanto, un millón de pesos en el momento actual será equivalente a un millón de pesos
más una cifra adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la que compensa la
pérdida de valor que sufre el dinero durante ese período, un ingreso por asumir el riesgo de
prestarlo y la utilidad de quien pospone su uso para cederle su derecho a otro.
Hay dos conceptos básicos:
Ante dos capitales de igual cuantía en momentos diferentes, se preferirá aquél que
sea más cercano al día de hoy.
Ante dos capitales de distinta cuantía en momentos diferentes, se prefiere el de
mayor valor pero comparado en un mismo momento.
Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de
los mismos en igual momento, y para ello se utilizan las fórmulas de matemática financiera.
EJEMPLO 2.1:
¿Cuál opción es preferible: disponer de cuatro millones de pesos dentro de un año o de
ocho millones dentro de cuatro años?
Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes en un
mismo instante.
Así, por ejemplo, si aplicando las fórmulas de matemática financiera con determinada tasa
de interés (25% anual), resulta que el primer valor equivale a 3,2 millones hoy y el
segundo equivale a 3,216 millones, veremos que es preferible elegir la segunda opción.
Se han calculado los valores equivalentes en el momento actual, pero se podría haber
elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 4 años, otro.), y el resultado
habría sido el mismo.
41
Las fórmulas que permiten calcular el equivalente de un capital en un momento posterior,
se llaman leyes de capitalización.
Estas leyes financieras, permiten sumar o restar capitales en distintos momentos.
EJEMPLO 2.2:
Si se va pagar 1 millón de pesos dentro de 6 meses y 2 millones dentro de 9 meses, no se
pueden sumar directamente, sino que se deben hallar sus equivalentes en un mismo
instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses...) Y entonces, si se podrá
efectuar la suma.
2.2 LA TASA DE INTERÉS
La tasa de interés, entendida como el costo del dinero en el tiempo, también se puede
definir como el ingreso que debe recibir su dueño por no hacer uso de él hoy, o el precio
que debe pagar alguien por tener acceso al dinero hoy.
Es quizás la variable que más incide en la toma de decisiones cuando se trata del manejo
de las finanzas.
Cuando usted acude a una entidad financiera debe tener en cuenta diferentes aspectos
para saber en definitiva cuál es el costo del crédito que va a solicitar o cuánto es lo que en
realidad va a ganar por dejar su dinero allí.
Para tener claridad sobre estas situaciones, se van a recordar conceptos como:
Interés Simple.
Interés Compuesto.
Tasa de Interés Nominal.
Tasa de Interés Efectiva.
EL INTERÉS SIMPLE:
Es una fórmula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un tiempo
futuro cuando no se capitalizan los intereses, es una ley que se utiliza exclusivamente en el
corto plazo (períodos menores de 1 año).
La fórmula que sirve para determinar los intereses que genera un capital (valor presente)
es la siguiente:
I = P * i * n
42
“I” Son los intereses que se generan.
“P” Es el capital inicial (en el momento n = 0), es decir, el valor presente.
“i” Es la tasa de Interés que se aplica.
“n” Es el tiempo que dura la inversión.
CARACTERÍSTICAS:
El capital inicial permanece constante durante el período de la operación
financiera, puesto que los intereses no se capitalizan.
El valor de los intereses es igual en todos los períodos.
No capitaliza sobre los intereses no pagados, la base de liquidación sigue siendo el
capital inicial. (Ver tabla pág.50)
EJEMPLO 2.3:
Determinar los intereses que generan cinco millones de pesos a una tasa del 15% anual en
un plazo de un año, y el valor a pagar una vez finalizado el período.
I = 5’000.000 * 0,15 * 1
I = 750.000 pesos
El valor de los intereses es de $750.000.
Una vez que se ha calculado el importe de los intereses se determina el valor futuro.
V. F = P + I
V. F = P + (P * i * n) (Sustituyendo “I” por su equivalente)
V. F = P * (1 + (i * n)) (Sacando factor común “P”)
V. F “Es el capital final con un interés simple”.
Para el ejemplo se tendría:
V.F = 5’000.000x (1+(0,15x1))
V.F = 5’750.000=
Nota: Es importante tener en cuenta que: el interés y el plazo deben referirse a la
misma medida de tiempo (si el interés es anual, el plazo debe ir en años, si el interés
es mensual, el plazo irá en meses.)
43
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Ahora, intentemos desarrollar el siguiente ejercicio, para estar seguros de la comprensión
del tema:
Si a usted le prestan $1.000.000= por 6 meses, a un interés simple del 2% mensual.
¿Cuánto dinero deberá desembolsar al finalizar el período?.
¿Puede dar respuesta al siguiente ejercicio? desarrollémoslo:
¿Cuál es el valor mensual que usted debe cancelar si le otorgan un préstamo de $500.000=
por un trimestre, si el interés es simple, con una tasa del 3% mensual?
INTERÉS COMPUESTO:
El interés compuesto es aquel que permite calcular el equivalente de un capital en un
futuro pero a diferencia del interés simple, los intereses pasan a ser parte del capital.
La diferencia entre el interés simple y el interés compuesto, radica en que en el interés
simple sólo genera interés el capital inicial, mientras que en el compuesto, se considera
que los intereses que va generando el capital inicial, van formando nuevo capital.
La fórmula de capitalización compuesta que permite calcular los intereses es la siguiente:
I = P * ((1 + i)n - 1)
“I” Son los intereses que se generan
“P” es el capital inicial (en el momento n = 0)
“i” es la tasa de interés del período de capitalización.
“n” es el tiempo que dura la inversión
EJEMPLO 2.4:
Continuando con el ejemplo 2.3, el valor de los intereses con interés compuesto sería el
siguiente:
I = 5.000.000 * ((1+0, 0125)12 -1)
I = 803.772,58
El total del interés es de $803.772,58
El valor futuro que tendría el inversionista sería de $5.803.772,58.
44
NOTA: Obsérvese que el interés que se aplicó fue el mensual, porque el período de
capitalización es el mes.
LIQUIDACIÓN COMPARATIVA EN EXCEL DEL INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO.
En el cuadro siguiente se va a mostrar el ejercicio realizado con las fórmulas, pero
mediante la liquidación periódica en la hoja electrónica.
El supuesto del ejercicio es que los créditos se realizan con la condición de que todo se
paga al finalizar el año.
En este cuadro es importante observar cómo en el interés compuesto periódicamente
aumenta el valor de los intereses, mientras que en el simple permanece constante. De igual
forma el capital adeudado es igual, mientras que en el compuesto va aumentando a
medida que se capitalizan los intereses.
El resultado obtenido es equivalente a lo mostrado mediante las fórmulas, donde se
muestra que el interés compuesto es el de mayor costo.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Ahora intentemos desarrollar los mismos ejercicios elaborados con el interés simple, pero
aplicando el interés compuesto, para comprender de mejor manera las diferencias.
Si a usted le prestan $1.000.000= por 6 meses, a un interés compuesto del 2% mensual.
¿Cuánto dinero deberá pagar al finalizar el período?
45
Intentemos, nuevamente con el segundo ejercicio:
Cuál es el valor mensual de interés que usted causa mensualmente, si le otorgan un
préstamo de $500.000= por un trimestre, el interés a cobrar es el compuesto, con una
tasa del 3% mensual y el compromiso es de pagar la totalidad de dinero al finalizar el
período?
2.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL (IN):
Es la que se declara en las operaciones financieras, equivale a la tasa de interés del período
(Ip) por el número de períodos. Siempre al enunciarla se le adiciona el período de
capitalización.
Nominal; significa aparente, es decir, no real, por lo tanto se debe convertir a efectiva.
¿Qué es el período de capitalización?
El período de capitalización, corresponde al tiempo en el cual se considera la ganancia de
interés del capital.
CLASIFICACIÓN DE LA TASA NOMINAL
La tasa de interés nominal se clasifica en vencida y anticipada.
Vencida: Cuando el interés se cobra o paga al vencerse cada uno de los períodos de
capitalización.
Anticipada: Cuando el interés se cobra o paga al iniciarse cada uno de los períodos de
capitalización.
EJEMPLOS DE TASA NOMINALE:
Vencida
24% anual mes vencido.
Tasa Nominal: 24%
Período de la tasa nominal: año.
Período de capitalización: mes vencido.
Anticipada
30% anual trimestre anticipado.
46
Tasa Nominal: 30%.
Período de la tasa nominal: Año
Período de capitalización: Trimestre anticipado
Nota: Se sabe que es una tasa nominal porque cuando hace referencia al tiempo, va
acompañado del período de capitalización, para el ejemplo era mes vencido y trimestre
anticipado.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Para una mejor comprensión los invito a indicar cuál es la tasa nominal, el período de la
tasa nominal y el período de capitalización.
30% anual trimestre vencido
12% semestral mes anticipado
2.4 TASA DE INTERÉS EFECTIVA:
Es aquella que indica cuál es el verdadero costo de un crédito o la verdadera rentabilidad
de una inversión. Como la tasa nominal está expresada en vencida y anticipada; las
siguientes son las fórmulas para hacer el cálculo del interés efectivo.
Fórmulas:
Interés Vencido:
Ie = (1+ ip)n -1
Interés Anticipado:
Ie = (1 - ip)-n -1
Antes de explicar el procedimiento de cómo se determina el interés efectivo, es importante
recordar cómo se determina el interés del período de capitalización (ip).
PROCESO PARA CALCULAR EL ip.
Se toma la tasa nominal
Se determina n. número de veces que está el período de capitalización en el
período del interés nominal.
Se divide el interés nominal en el valor de n, y es el ip
47
Cuando se dice ip se hace referencia al interés del período de capitalización.
𝑖𝑝 =𝐼𝑛
𝑛
Cálculo de la tasa de interés de los períodos de capitalización.
INTERÉS TIPO Ip
32% Anual mes vencido Nominal 2,66% mensual
16% Semestral trimestre vencido Nominal 8% trimestral
24% Anual Efectivo 24% anual
4% Bimestral Efectivo 4% bimestral
18% Semestral mes vencido Nominal 3% mensual
15% Semestral bimestre vencido Nominal 5% bimestral
24% Anual bimestre anticipado Nominal 4% bimes.anticipado
Nota: La tasa efectiva no hace referencia al período de capitalización. Ejemplo: 18% anual.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Para una mejor comprensión los invito a indicar de la tasa nominal, el interés del período
de capitalización.
36% Anual trimestre vencido.
15% Semestral mes vencido.
9% Trimestral mes vencido.
Cálculo del Interés Efectivo a partir de una tasa de Interés Nominal Vencida.
EJEMPLO 2.5:
24% anual mes vencido
Determine el interés efectivo del semestre.
PASOS:
Se determina el período de capitalización (MES)
48
Se establece el período de la tasa nominal (AÑO)
Se calcula el número de veces (n) que está el período de capitalización en el período de la
tasa nominal. (12)
Se divide la tasa nominal en n y se calcula el ip
ip = 24%/12
ip =2%
El interés del mes es del 2%.
Se señala el período de cálculo del interés efectivo (n), número de veces que está el
período de capitalización en el período de cálculo del interés efectivo (6).
n = 6 Porque en un semestre hay 6 meses.
Se aplica la fórmula.
Interés Efectivo Semestral
Ie = (1+0,24%/12)6 - 1
Ie = (1,02)6 - 1
Ie = 0.12616
Ie = 12.616 % Semestral
Ahora determine el interés efectivo del trimestre.
Interés efectivo trimestral
ip = 24%/12 = 2% mensual
n= 3 En un trimestre hay 3 meses.
Ie = (1 + 0,02)3 - 1
Ie = 6.1208 % Trimestral
EJEMPLO 2.6:
Con una tasa nominal del 18% semestral mes vencido, calcular:
Tasa Efectiva Semestre
ip = 18%/6 = 3% mensual
n = 3 En un semestre hay 6 meses.
Ie = (1 + 0,03)6 - 1
49
Ie = 19.40 % semestral
Tasa Efectiva Trimestral
ip = 18%/6 = 3% mensual
n = 3 En un trimestre hay 3 meses.
Ie = (1 + 0,03)3 - 1
Ie = 9.27% trimestral
Tasa Efectiva Bimestral
ip = 18%/6 = 3% mensual
n = 3 En un bimestre hay 2 meses.
Ie = (1 + 0,03)2 - 1
Ie = 6.09% bimestral
EJEMPLO 2.7:
Con una tasa del 36% anual bimestre vencido, calcular:
Tasa efectiva semestral
El período de capitalización es el BIMESTRE
ip = 36%/6 = 6% Bimestral
n = 3 En un semestre hay 3 bimestres.
Ie = (1 +0,06)3 - 1
Ie = 19.1% semestral
Tasa efectiva bimestral
ip = 36%/6 = 6% bimestral
n = 1 En un bimestre hay 1 bimestre.
Ie = (1 + 0,06)1 - 1
Ie = 6% bimestral
Tasa efectiva anual
ip = 36%/6 = 6% bimestral
50
n = 6 En un año hay 6 bimestres.
Ie = (1 + 0,06)6 -1
Ie = 41.8 % anual
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Evaluémonos antes de seguir con el siguiente tema, calcular las tasas efectivas anuales y
semestrales de las tasas nominales que se muestran a continuación:
36% anual bimestre vencido.
15% semestral trimestre vencido.
9% trimestral mes vencido.
Cálculo del Interés Efectivo a partir de una tasa de Interés Nominal Anticipado.
Existe interés anticipado cuando se paga el interés del primer período de capitalización
una vez que se efectúa el préstamo.
Por ejemplo si se efectúa un préstamo de $1.000.000= al 24% anual mes anticipado, en el
momento que le hacen el desembolso el usuario del crédito debe pagar de interés el 2%, es
decir $20.000=, y así sucesivamente el interés se va pagando al principio del mes.
Fórmula: Ie = (1 - ip)-n -1
Su cálculo es de la misma forma que el interés vencido, sólo se diferencia en la fórmula.
EJEMPLO 2.8:
Con una tasa nominal del 24% anual mes anticipado, determine el interés efectivo del año.
ip = 24%/12 = 2% mes anticipado
n = 12 En un año hay 12 meses.
Ie = (1 - 0.02)-12 - 1
Ie = 0.2743
Ie = 27.43% anual
El interés efectivo del año es el 27,43% anual.
EJEMPLO 2.9:
Conociendo la tasa nominal del 16% semestral bimestre anticipado, establezca el interés
efectivo semestral.
51
Ip = 16%/3 = 5,3% bimestre anticipado.
n = 3 En un semestre hay 3 bimestres.
Ie = (1 - 0.053)-3 - 1
Ie = 1.1774 - 1
Ie = 0.1774
Ie = 17.74% semestral
El interés efectivo del semestre es del 17,74%.
EJEMPLO 2.10:
Conociendo la tasa nominal del 16% semestral trimestre anticipado establezca el interés
efectivo anual.
ip = 16%/2 = 8% trimestre anticipado.
n = 4 En un año hay 4 trimestres.
Ia = (1 - 0.08)-4 -1
Ia = 0.3958
Ia = 39.58% anual
El interés efectivo del año es del 39,58%.
EJEMPLO 2.11:
Conociendo la tasa nominal del 4% bimestre anticipado, establezca el interés efectivo del
bimestre.
ip = 4%/1 = 4% bimestre anticipado.
n = 1 En un bimestre hay 1 bimestre.
Ib = (1 - 0.04)-1 - 1
Ib = 0.0416
Ib = 4.16 bimestral efectivo
El interés efectivo del bimestre es del 4,16%.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Al haber realizado varios ejercicios vamos a verificar que ya se ha adquirido agilidad en el
desarrollo de éstos.
52
Calcular el interés efectivo semestral y anual de las siguientes tasas nominales:
36% anual semestre anticipado
4% bimestral mes anticipado.
18% semestral trimestre anticipado.
9% trimestral mes anticipado.
2.5 TASAS EQUIVALENTES.
Se denomina equivalente al término que significa igual, es decir su resultado es el mismo,
para el caso de las tasas, es que a pesar de que se enuncien dos tasas de forma diferente el
costo efectivo es igual.
Cálculo del Interés Nominal Vencido partiendo de una Tasa Efectiva.
A pesar que el procedimiento es en sentido inverso al cálculo de la tasa efectiva a partir de
la nominal, el punto clave también es la determinación del ip.
Con esta fórmula se determina el interés del período de capitalización.
ip = (1 + Ie)(1/n) - 1
EJEMPLO 2.12:
Conociendo que la tasa efectiva es el 19.4% semestral. Se va a calcular la tasa semestral
mes vencido.
Pasos:
Se determina el período de capitalización de la tasa nominal (MES).
Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período
del interés efectivo. (6).
Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip.
imes = (1 + Isemestre)(1/6) - 1
53
i mes = (1 + 0,194)(1/6) - 1
i mes = 0,03
Una vez calculado el ip se multiplica por el número de veces que está el período de
capitalización en el período de la tasa de interés nominal (n)
3% = mensual
n = 6 En un semestre hay 6 meses.
3% x 6 = 18% semestral mes vencido
EJEMPLOS 2.13:
Conociendo la tasa efectiva del 41.8519% anual, establezca la tasa nominal anual bimestre
vencido.
PASOS:
Se determina el período de capitalización (BIMESTRE).
Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período
del interés efectivo. (6). En el año hay seis bimestres.
Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip
ibimestre = (1 + Iaño)(1/6) - 1
i bimestre = (1 + 0, 418519)(1/6) - 1
i bimestre = 0, 06
6% = bimestral
n = 6, En un año hay 6 bimestres.
Tasa Nominal = 6% x 6 = 36% anual bimestre vencido
EJEMPLOS 2.14:
Con un interés efectivo del 41.1581% anual, determine la nominal semestral trimestre
vencido.
PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Trimestre vencido
54
n = En el año hay 4 trimestres
Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip
itrimestre = (1 + Iaño)(1/4) - 1
i trimestre = (1 + 0, 411581)(1/4) - 1
i trimestre = 0, 09
9% = trimestral
n = 2, En un semestre hay 2 trimestres.
Tasa Nominal = 9% x 2 = 18% semestral trimestre vencido
EJEMPLO 2.15:
Con un interés efectivo del 34.4888% anual, determine la tasa nominal anual mes vencido.
PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Mes vencido
n = En el año hay 12 meses.
Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip
imes = (1 + Iaño)(1/12) - 1
i mes = (1 + 0,344888)(1/12) - 1
i mes = 0,025
2.5% = mensual
n = 12, En un año hay 12 meses.
2.5% x 12 = 30% anual mes vencido
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Ahora partiendo de las tasas efectivas, calculemos tasas nominales cuando el interés es
vencido.
36% anual, calcular nominal semestral mes vencido.
15% Semestral, calcular nominal semestral bimestre vencido.
9% trimestral, calcular nominal anual mes vencido.
55
Calcular el Interés Efectivo de un período a partir de otro Interés Efectivo.
Para este tipo de cálculo se emplean las dos fórmulas enunciadas anteriormente, lo
importante es tener claridad si el período de la tasa que se va a calcular es mayor o menor
al período de la tasa dada.
3. a. Cálculo del interés efectivo de un período mayor, con el interés efectivo de un
período menor.
Fórmula aplicada: Ie = (1 + ip)n - 1
NOTA: El ip, se asemeja a la tasa del interés efectivo del período menor, el Ie se
interpreta como el interés efectivo del período mayor, y el n, corresponde al número
de veces que está el período menor en el período mayor.
EJEMPLO 2.16:
Si el interés del semestre es 19.4052%, establezca el interés efectivo anual.
Ie (año) = (1 + isem)2 - 1
Ie (año)= (1 +0,194052)2 -1
Ie (año)=1,42576 - 1
Ie (año)=0,42576
El interés efectivo anual corresponde al 42,576%.
Cálculo del Interés Efectivo de un período menor, conociendo el Interés Efectivo de un
período mayor.
Fórmula aplicada: ip = (1 + Ie)1/n
Si el interés del semestre es 19.4052%, establezca el interés efectivo del bimestre.
(1/3)
ibim = (1+0, 194052) - 1
ibim = (1, 060899) - 1
ibim =0, 060899
El interés del bimestre es del 6,089 %.
56
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Ahora vamos a tener presente el procedimiento para calcular la equivalencia entre tasas
efectivas.
36% anual, calcular el interés semestral.
9% trimestral, calcular el interés semestral.
4% bimestral, calcular el interés mensual.
18% semestral, calcular el interés mensual.
Cálculo del Interés Anticipado para un período a partir del Interés Efectivo de ese mismo
período.
La fórmula para efectuar este cálculo es:
𝐼𝑎 =𝐼𝑒
(1 + 𝐼𝑒)
Ia = Interés anticipado.
EJEMPLO 2.17:
Si un prestamista que ofrece dinero al 3% mensual, pero desea que se le paguen los
intereses anticipadamente, sosteniendo que no hay aumento de tasa, cuál sería la tasa
equivalente.
Ia mes = 0,03 / (1 + 0,03)
Ia mes= 2,9126 %.
Cálculo del Interés Efectivo para un período partiendo del Interés Nominal anticipado de
ese mismo período.
𝐼𝑒 =𝐼𝑎
(1 − 𝐼𝑎)
Esta fórmula se sustenta con el ejercicio anterior pero partiendo del interés del 2,9126%
mes anticipado.
Ie mes = 0,029126 / (1 – 0.029126)
Ie mes = 3%
57
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Repasemos este concepto con un ejercicio.
Determine la tasa anticipada del mes si se va a pagar una efectiva del mes del 4%.
Calcular el interés efectivo del bimestre, si se tiene un interés del 3% bimestral
anticipado.
Calcular el Interés Nominal Anticipado a partir de una Tasa Efectiva.
De igual manera al vencido, el punto clave es la determinación del ip, la fórmula es la
siguiente:
ip = 1 - (1 + Ie)-(1/n)
Con esta fórmula se determina el interés del período de capitalización.
PASOS:
Se determina el período de capitalización (MES).
Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período
del interés efectivo. (6).
Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip
Una vez calculado el ip se multiplica por el número de veces que está el período de
capitalización en el período de la tasa de interés nominal (n), que determina la tasa
nominal.
EJEMPLO 2.18:
Con la tasa efectiva del 20,052% anual, establezca la tasa nominal anual bimestre
anticipado.
PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Bimestre anticipado
n = En el año hay 6 bimestres
ip = 1 - (1 + 0,20052)-(1/6)
3% = Bimestral anticipado
n = 6, En un año hay 6 bimestres.
58
Tasa nominal = 3% x 6 = 18% anual bimestre anticipado.
EJEMPLO 2.19:
Con la tasa efectiva del 27,4345212% anual, establezca la tasa nominal anual mes
anticipado.
PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Mes anticipado
n = En el año hay 12 meses
ip = 1 - (1 + 0,27435212)-(1/12)
2% = mensual anticipado
n =12, En un año hay 6 bimestres.
Tasa nominal = 2% x 12 = 24% anual mes anticipado
EJEMPLO 2.20:
Con la tasa efectiva del 4,6384526% trimestral, establezca la tasa nominal anual mes
anticipado.
PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: mes anticipado
n = En el trimestre hay 3 meses
ip = 1 - (1 + 0,046384526)-(1/3)
1,5% = mensual anticipado
n =12, En un año hay 12 meses.
Tasa nominal = 1,5% x 12 = 18% anual mes anticipado.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Para revisar este tema, realizo los siguientes ejercicios:
Si se cobra por un préstamo una tasa efectiva del 42% Anual, se quiere conocer su
expresión nominal anual capitalizada trimestralmente de forma anticipada.
Al tener una tasa efectiva del 8% trimestral, calcular su equivalencia con una tasa
nominal semestral mes anticipado.
59
Calcular el Interés Nominal Vencido partiendo de un Interés Nominal Anticipado.
EJEMPLO 2.21:
Si se tiene una tasa del 24% anual trimestre anticipado, determine la equivalencia en
nominal anual mes vencido.
Para desarrollar este ejercicio existen varias formas, con el propósito de facilitar el
aprendizaje, se utilizará el siguiente procedimiento:
Se determina la tasa efectiva del año.
Se calcula el interés del período de capitalización de la tasa nominal a encontrar.
Se halla la nueva tasa nominal
Desarrollo del ejercicio:
1. Tasa efectiva del año:
Ie año = (1 - 0.06)-4 - 1
Ie año = 28.082%
2. Interés del periodo
Como el período de capitalización de la tasa nominal a calcular es el mes vencido se
determina el interés del mes.
I mes = (1+0,280821431)(1/12)
I mes = 0,020839
3. Cálculo de la tasa nominal.
I Año mes vencido = 0,020839*12
I Año mes vencido = 25% nominal anual mes vencido.
Calcular el Interés Nominal Anticipado a partir de un Interés Nominal Vencido.
Los pasos que se deben seguir para efectuar este cálculo son iguales al procedimiento
anterior.
EJEMPLO 2.22:
Si se tiene una tasa del 24% anual mes vencido, determine la equivalencia en nominal
anual semestre anticipado.
60
1. Paso
Ie año = (1 + 0.02)12 - 1
Ie año = 26,824%
2. Paso
Como el período de capitalización de la tasa nominal a calcular es el semestre anticipado
se determina el interés del semestre anticipado, con la fórmula antes expuesta.
ip = 1 - (1 + Ie)-(1/n)
i semestre: 1- (1+0, 2682)-(1/2)
i semestre: 11, 2%
3. Paso
Cálculo de la tasa nominal.
Interés nominal anual semestre anticipado
11,2%*2= 22,4% anual semestre anticipado.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Con los siguientes ejercicios se hace un repaso completo del tema de conversión de tasas:
Si se tiene un crédito con una tasa del 18% anual mes anticipado, y se quiere pagar
anual trimestre vencido, determine su equivalencia.
Efectúe la conversión de una tasa del 24% semestral mes vencido a una tasa
nominal anual semestre anticipado.
USO DE LAS CALCULADORAS
H.P. 19BII
Mediante el siguiente procedimiento el estudiante puede hacer los cálculos en la
conversión de tasas.
FIN
Financiero
VDT CONVI F.CAJA BONO DEPR
EFECT CONT
%NOM %EFE P
61
CASIO FC 200
El proceso de conversión de tasas equivalentes se realiza digitando en el teclado las
funciones APR, que indica NOMINAL y EFF, EFECTIVA.
Para trabajar la segunda función se digita SHIFT.
TASA NOMINAL A EFECTIVA.
INTERÉS VENCIDO
EJEMPLO 2.23:
Volviendo al ejercicio inicial, se va a calcular el interés efectivo del año, si la tasa nominal
es del 24% anual mes vencido.
Como ya se enunció los fundamentos teóricos en el capítulo uno y el diagrama anterior, el
procedimiento es el siguiente:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II
FIN
CONVI
EFECT
CLEAR DATA
INPUT
24 %NOM
12 P
%EFE
MODE 4
SHIFT AC EXE AC
12 SHIFT EFF 24 EXE
2ND ICONV
NOM 24 ENTER
↓↓ 12 ENTER
↓↓ CPT
La respuesta que se obtiene es 26,8241% anual.
TASA EFECTIVA A NOMINAL
EJEMPLO 2.24:
Con la tasa efectiva del 41.8519% anual, establezca la tasa nominal anual bimestre
vencido.
62
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II
FIN
CONVI
EFECT
CLEAR DATA
INPUT
41.8519 %EFE
6 P
%NOM
MODE 4
SHIFT AC EXE AC
6 SHIFT APR
41.8519 EXE
2ND ICONV
↓
↓ 41.8519 ENTER
↓ 6 ENTER
↓ CPT
El resultado obtenido es el 36% anual al cual se le debe adicionar el período de
capitalización, para el ejercicio es bimestre vencido. La respuesta es 36% anual bimestre
vencido.
INTERÉS ANTICIPADO
La única diferencia radica en que al incluir el período se registra con el signo negativo.
EJEMPLO 2.25:
Con una tasa nominal del 24% anual mes anticipado, determine el interés efectivo del año.
H.P. 19 B II CASIO FC 200
FIN
CONVI
EFECT
CLEAR DATA
INPUT
24 %NOM
12+/- P
%EFE
MODE 4
SHIFT AC EXE AC
(-)12 SHIFT EFF 24 EXE
La respuesta que se obtiene es 27,43452% anual
NOTA: La hoja de cálculo de la calculadora Texas BA II, solo trabaja de vencido a vencido y
de año a año, por lo tanto para trabajar con tasas anticipadas este sería el procedimiento.
IP=J/N
IP= (0.24/12)*100
IP=2% MA
IPV= (IPA/(1-IP))/100
IPV=(0.02/1-0.02)*100
63
IPV= 2.04% MES VENCIDO
PROCEDIMIENTO CON LA CALCULADORA
2ND 2
NOM: 2.04*12 ENTER
C/Y : 12 ENTER
EFE CPT
EJEMPLO 2.26:
Con la tasa efectiva del 20,05205% anual, establezca la tasa nominal anual bimestre
anticipado.
H.P. 19 B II CASIO FC 200
FIN
CONVI
EFECT
CLEAR DATA
INPUT
20,05205 %EFE
6+/- P
%NOM
MODE 4
SHIFT AC EXE AC
(-)6 SHIFT APR 20,05205 EXE
El resultado obtenido es el 18% anual bimestre anticipado.
PROCEDIMIENTO TEXAS BA II
2ND 2
EFE: 20.05205 ENTER
C/Y 6 ENTER
NOM CPT
EL RESULTDO (18.5567) SE DIVIDE EN 6
Y este valor se remplaza en la fórmula para convertirlo anticipado.
IPA=IPV/(1-IPV)*100
El resultado se multiplica por 6 que es la capitalización.
64
CÁLCULO EN EXCEL
INTERÉS VENCIDO
DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVO
El procedimiento es el siguiente:
Fórmulas
Insertar Función
Categoría - Financieras
Int. Efectivo
En este cuadro se digita en el primer renglón el valor de la tasa nominal y en el segundo el
número de períodos de la tasa nominal.
EJEMPLO 2.27:
Cálculo de una tasa nominal a una efectiva, se realizará el mismo ejercicio anterior, es
decir con el 24% anual mes vencido, se va a calcular el interés efectivo del año.
65
El interés efectivo es del 26,824% anual.
EJEMPLO 2.28:
Calcular el interés nominal, a partir del 41,8519% efectiva a nominal anual bimestre
vencido.
DE INTERÉS EFECTIVO A NOMINAL VENCIDO
El procedimiento es el siguiente:
Fórmulas
Insertar Función
Financieras
Tasa Nominal
En este cuadro se digita en el primer renglón el valor de la tasa efectiva y en el segundo el
número de períodos de la tasa nominal.
El ejercicio es el mismo que se efectuó con la calculadora
66
El resultado obtenido es el 36% anual Bimestre vencido.
INTERÉS ANTICIPADO
DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVO
En Excel no existe una función directa que efectúe esta conversión, sin embargo se puede
realizar mediante la función de V.F.
El procedimiento es el que se muestra a continuación:
67
FÓRMULAS
INSERATAR FUNCIÓN
FINANCIERAS
VF
En el primer renglón se incluye la tasa de interés, es importante hacer énfasis en que la
tasa que se incluye es la del período de capitalización con signo negativo.
En el segundo renglón se digita el número de períodos con signo negativo.
En Pago se digita cero.
En Va se digita -1.
Para este caso en TIPO se omite
Una vez incluida la fórmula se debe restar por 1.
EJEMPLO 2.29:
Calcular la tasa efectiva anual si se tiene el 24% anual mes anticipado.
68
DE EFECTIVO A NOMINAL ANTICIPADO
Para calcular la tasa nominal anticipada mediante el uso del EXCEL, nos permite calcular
inicialmente la tasa PERIÓDICA, después simplemente se multiplica la tasa periódica por el
número de períodos que tiene la tasa nominal.
69
EJEMPLO 2.30:
Teniendo una tasa efectiva del 27,75% anual calcular la nominal anual bimestre
anticipada.
El resultado obtenido es el 4%, dado que se debe multiplicar por -1, ya con este resultado
se multiplica por 6 y se obtiene 24% anual bimestre anticipado.
70
2.6 TASAS COMBINADAS
La tasa combinada es una tasa efectiva equivalente al producto de la combinación de dos
tasas nominales o efectivas.
En este capítulo se explicarán cuando se utiliza el DTF y la UVR.
INTERÉS EFECTIVO CON EL D.T.F
El D.T.F (Depósito a Término Fijo), es un indicador que permite conocer el interés
promedio ponderado de captación de los intermediarios financieros, basados en los C.D.T
a 90 días. El Banco de la Republica lo expresa en trimestre anticipado.
Para aplicar los dos conceptos explicados anteriormente, haciendo referencia al interés
vencido y anticipado, los siguientes ejemplos se harán con cada uno de los tipos de interés.
NOTA: Es importante conocer la forma como cada banco expresa el DTF y los puntos que
se le adicionan, si como interés efectivo o como nominal.
EJEMPLO 2.31:
Con interés nominal vencido.
Determine el costo efectivo de un crédito si se financia al D.T.F + 5% anual mes vencido. El
D.T.F es del 8% anual.
1er. PASO
Se calcula la tasa nominal anual del D.T.F expresada en el período de capitalización del
interés que se le agrega al D.T.F.
i. Mes = (1,08)1/12 -1
i. Mes = 0,6434%
Tasa nominal = Interés período capitalización* número de períodos de capitalización del
período de la tasa nominal.
Interés anual mes vencido = 0,6434 % * 12
7,720836% anual mes vencido.
2do. PASO
Se procede a calcular la tasa nominal del crédito.
Como el D.T.F ya está expresado en el mismo período de tiempo, ahora se procede a
sumar.
71
Costo del crédito = 7,720836% anual mes vencido + 5% anual mes vencido.
Costo del crédito = 12,720836% anual mes vencido.
3 PASO
Se determina la tasa efectiva del año.
Como el período de capitalización es mensual, se determina el interés del mes.
i mes = 12,720836 / 12
i mes = 1,06%.
Conocido el interés del mes se procede a calcular el interés efectivo del año.
Interés efectivo del año = (1+0,0106)12 -1
Interés efectivo del año = 12,4893 % anual.
EJEMPLO 2.32:
Con interés nominal anticipado.
Determine el costo efectivo de un crédito si se financia al D.T.F + 5% anual trimestre
anticipado. El D.T.F es del 8% anual.
1.PASO
Se calcula la tasa nominal anual del D.T.F expresada en el período de capitalización del
interés que se le agrega al D.T.F.
Es importante recordar la fórmula del cálculo del interés efectivo, cuando la tasa nominal
es anticipada.
Ie = (1 - ip)-n -1
0,08 = (1-imes)-12-1
1,08 = (1-imes)-12
(1,08)(-1/12) = [(1-imes)-12](-1/12)
(1,08)(-1/12) = (1-imes)
0,993607102 = 1- i mes
i mes = 1- 0,993607102
i mes = 0,6392898%
72
Tasa nominal = Interés período capitalización* número de períodos de capitalización del
período de la tasa nominal.
Interés anual mes anticipado = 0,6392898% x 12 7,6714776% anual mes anticipado.
2. PASO
Se procede a calcular la tasa nominal del crédito.
Como el D.T.F ya está expresado en el mismo período de tiempo, ahora se procede a
sumar.
Costo del crédito = 7,6714776% anual mes anticipado + 5% anual mes anticipado.
Costo del crédito = 12,6714776% anual mes anticipado.
3. PASO
Se determina la tasa efectiva del año.
Como el período de capitalización es mensual, se determina el interés del mes.
i mes = 12,6714776 / 12
i mes = 1,055956468%.
Conocido el interés del mes se procede a calcular el interés efectivo del año.
Interés efectivo del año=(1-0,01055956468)-12
Interés efectivo del año = 13,585827 % anual.
NOTA: Se confirma que la tasa efectiva es mayor cuando se tiene una nominal
anticipada, respecto de una vencida.
EJEMPLO 2.33:
Cuando la DTF está expresada en nominal trimestre anticipado.
Calcule la tasa efectiva anual que le renta a un ahorrador si la entidad financiera le ofrece
el DTF T.A más 6 puntos.
La DTF es el 8% trimestre anticipado.
73
PROCEDIMIENTO
Como la DTF es una tasa nominal entonces se suman los puntos
DTF + 6 puntos Þ 8% + 6%
14% anual trimestre anticipado.
Se calcula el interés periódico:
14% / 4 = 3,5% trimestre anticipado.
La tasa efectiva anual sería: (1 – 0,035)-4 - 1
TASA EFECTIVA ANUAL: 15,31% anual.
Interés Efectivo Cuando Se Combina la Tasa con la Uvr.
Algunas entidades financieras, reconocen el interés tomando como referencia la UVR y
adicionando algunos puntos.
EJEMPLO 2.34:
Calcule la tasa de interés que cobra una entidad financiera, si está fijada a la unidad de
valor real más el 6,5%.
La UVR está fijada en el 12% efectivo anual.
PROCEDIMIENTO
Como las tasas de interés se fijan como efectivas, simplemente se realiza el siguiente
proceso:
Interés efectivo año: (1+ 0,12) x (1+0,065)
Interés efectivo año: 19,28%
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Para finalizar este capítulo revisemos con unos ejercicios el tema de las tasas efectivas
cuando se expresa con el DTF, y en UVR.
Determine el interés efectivo anual si se cobra una tasa del DTF más el 6% anual
mes vencido. El valor de la tasa del DTF es el 12% anual.
Cuál es el costo de un crédito si la entidad financiera fija una tasa del DTF más 4%
anual mes anticipado. La tasa del DTF es del 10% anual.
74
Determine el costo de un crédito que está fijado de la siguiente manera: UVR más
el 3% anual. La UVR es del 18% efectivo anual.
2.7 CÁLCULO DEL TIEMPO PARA ALCANZAR UNA TASA EFECTIVA
Al conocerse el interés periódico y se desea alcanzar una tasa efectiva, se requiere esperar
un determinado tiempo, las siguientes son las fórmulas para despejar el valor de n. Es
importante recordar que las fórmulas son diferentes cuando la tasa es vencida o
anticipada.
Tasa nominal vencida:
n = log(1+𝐼𝑒)
log(1+𝑖𝑝)
Tasa nominal anticipada:
n = −log(1+𝐼𝑒)
log(1−𝑖𝑝)
EJEMPLO 2.35:
Si usted desea alcanzar una tasa efectiva del 40%, cuanto tiempo debe ahorrar si
mensualmente le liquidan los intereses al 2,5%.
n = log(1+0,4)
log(1+0,025)
n = 13,62 meses
EJEMPLO 2.36:
Si usted como ahorrador desea alcanzar una tasa efectiva del 50%, cuánto tiempo debe
ahorrar si le liquidan los intereses al 15% anual mes anticipado.
Se determina el interés periódico, que para este ejercicio es el mes anticipado.
Imes anticipado =0,15 / 12 = 0,0125
n = −log(1+0,5)
log(1−0,0125) = 32,23 meses.
75
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Ahora practiquemos cómo se determina el tiempo de espera para alcanzar determinada
tasa efectiva.
Si al prestar un dinero me pagan al 1,2% mes vencido, cuánto tiempo debo esperar
para alcanzar una tasa efectiva del 60%.
Si la tasa de liquidación es el 1% mes anticipado, cuánto es el tiempo de espera,
para obtener un rendimiento efectivo del 40%.
2.8 RENTABILIDAD NETA
Es el resultado de deducir de la renta efectiva, la tasa impositiva.
Fórmula:
RN: Ie x (1 - ti)
ti: tasa impositiva
EJEMPLO 2.37:
Si a usted como ahorrador, una entidad financiera le reconoce por un CDT el 8% anual y le
descuenta sobre los rendimientos el 7%, determine cuál es su rentabilidad neta.
RN: 0, 08 x (1 - 0, 07)
RN: 7, 44% anual.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Ahora usted calcule la rentabilidad neta de dos inversionistas:
Pedro abrió una cuenta de ahorros, la cual le da un rendimiento del 9% anual y le
descuentan como impuesto el 7% sobre sus rendimientos, contémosle a Pedro, el
resultado obtenido.
Jesús en esta misma entidad financiera compró un CDT, por el cual recibía un
rendimiento anual del 8%, y también le descuentan el 7% de sus rendimientos
como impuestos, cuéntele cuál es la rentabilidad neta de dicho título.
76
2.9 RENTABILIDAD REAL
Es la capacidad de compra que obtiene el inversionista después de descontar la inflación
de la rentabilidad neta.
Fórmula:
RR = 𝑅𝑁−𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
1+𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
EJEMPLO 2.38:
Si usted quiere conocer cuál fue la rentabilidad real del CDT del ejemplo anterior, debe
conocer la inflación de dicho período, después de consultar conoció que la inflación fue del
6% anual, ahora se procederá a conocer su rentabilidad real.
RR = 0,0744 −0,06
1+0,06
RR = 0,01358 es decir el 1,358% anual fue el rendimiento real de su CDT.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Con base en los ejercicios anteriores explique a los inversionistas la rentabilidad real
obtenida en la entidad financiera, dado que la inflación fue del 5% anual.
EJERCICIOS:
Estos ejercicios nos permitirán desarrollar la habilidad necesaria en este tema. Recuerde
la experiencia y la habilidad que desarrollemos a través del estudio de estas matemáticas,
contribuirán al éxito de mis desempeños como profesional en el manejo de las finanzas.
¿Se ha preguntado qué tan hábil es frente a la solución de problemas? ¡Hágalo ahora y
póngase a prueba!
Desarrollemos estos ejercicios cuidadosamente y practiquemos nuestros conocimientos
con dedicación y esmero.
Si tiene complicaciones, no se preocupe aquí está su libro, el colaborará en sus respuestas.
1. Calcular el interés efectivo anual de las siguientes tasas nominales:
a. 18% anual mes vencido.
77
b. 18% anual mes anticipado.
c. 24% anual semestre vencido.
d. 24% anual semestre anticipado.
R: a. 19,56%, b.19, 88%, c. 25,44% d. 29,13%
2. Calcular el interés efectivo del semestre de las siguientes tasas nominales:
a. 15% Anual trimestre vencido
b. 15% Anual trimestre anticipado.
c. 12% Anual bimestre vencido.
d. 12% Anual bimestre anticipado.
R: a. 7,64%, b.7, 94%, c. 6,12% d. 6,24%
3. Con una tasa efectiva del 25% anual, calcular la tasa nominal de:
a. Anual mes vencido.
b. Anual mes anticipado.
c. Semestral mes vencido.
d. Semestral mes anticipado.
R: a. 22,52%, b. 22,1%, c. 11,26% d. 11,05%
4. Con una tasa nominal del 18% anual trimestre vencido, calcular la tasa nominal de:
a. Anual bimestre vencido
b. Anual bimestre anticipado.
c. Anual semestre vencido.
d. Anual semestre anticipado.
R: a. 17,86 % ABV, b. 17,35% ABA, c. 18,4% d. 16,85%
5. Con una tasa nominal del 12% semestral mes anticipado, calcular la tasa nominal de:
a. Anual mes anticipado.
b. Anual mes vencido.
c. Trimestral mes anticipado.
d. Trimestral mes vencido.
78
e. Anual trimestre anticipado.
R: a. 24 % AMA, b. 24,48% AMV, c. 6% TMA d. 6,12% TMV e. 23,52% ATA
6. Con una tasa efectiva del 20% anual, determine la tasa efectiva del:
a. Semestre
b. Trimestre
c. Bimestre.
d. Mes
R: a. 9,54%, b. 4,66%, c. 3,08% d. 1,53%
7. Con una tasa efectiva del 4% bimestral, establezca la tasa efectiva del:
a. Semestre
b. Año.
c. Mes
d. Trimestre
R: a. 12,49%, b. 26,53%, c. 1,98% d. 6,06%
8. Calcular la tasa efectiva anual de un crédito cuya condición de financiación es el D.T.F
más 6% A.T.V.
El D.T.F es igual al 8% anual.
R: 14,49% anual
9. Calcular la tasa efectiva anual de un crédito cuya condición de financiación es el D.T.F
más 6% A. B. A.
El D.T.F es igual al 11% anual
R: 18,02% anual
10. Determine la tasa mensual de un crédito cuyo costo está fijado por la UVR más 6%. La
UVR es del 15% anual.
R: 1,66% mensual
79
11. Si usted paga un interés del 18% semestral, determine la tasa de:
1. año
2. mes
3. bimestre
4. Trimestre.
R: 1.39, 24% 2. 2,79% 3. 5,67% 4. 8,62%
12. Con un interés del 3% mensual calcular:
1. Nominal anual mes vencido
2. Nominal anual mes anticipado
3. Nominal semestral bimestre vencido
4. Nominal trimestral mes anticipado.
R: 1. 36% anual mes vencido 2. 34,95% anual mes anticipado. 3. 18,27% semestral
bimestre vencido 4. 8,73% trimestral mes anticipado.
13. ¿Cuánto tiempo debe esperar un prestamista para alcanzar una tasa efectiva del 42%,
si presta dinero a?
1. 2,5% mes vencido
2. 2.2 % mes anticipado
3. 3% mes vencido
4. 2,8% mes anticipado.
R: 1. 14,2 meses 2. 15,76 meses 3. 11,86 meses 4. 12,34 meses
14. Determine la rentabilidad neta de cada inversionista, si sus rendimientos anuales y la
tasa impositiva son los siguientes:
1. 18% anual y el 7% de impuesto
2. 35% anual y el 15% de impuesto
3. 25% anual y el 12% de impuesto.
4. 36% anual y el 10% de impuesto.
R: 1. 16,74% anual 2. 29,75% anual 3. 22% anual 4. 32,4% anual
80
15. ¿Cuál es la rentabilidad real de los anteriores inversionistas si la tasa de inflación anual
es del 8%?
R: 1. 8,09% anual 2. 20,13% anual 3. 12,96% anual 4. 22,59% anual
AUTOEVALUACIÓN
¿Que entiendo por tasa de interés?
¿Las tasas de interés inciden en el rendimiento de mis negocios?
¿Qué diferencia en pago de intereses habría si me prestan $100.000= al 3% mensual
entre interés simple e interés compuesto?
¿Cuál es la diferencia entre una tasa nominal y una efectiva?
¿Cuándo la tasa nominal y la tasa efectiva son iguales?
¿Por qué se dice que una tasa del 2% mes anticipado es más costosa que el 2% mes
vencido?
¿Qué son tasas equivalentes?
¿Por qué algunas entidades financieras fijan el interés con base en el DTF?
¿Por qué la inflación incide en la rentabilidad real de un inversionista?
GLOSARIO
ANATOCISMO: Capitalización de intereses que a su vez son generadores de intereses.
CAPITALIZAR: Cuando los intereses pasan a hacer parte del capital, y sobre éstos se cobra
intereses.
CDT: Certificado de Depósito a Término, título valor cuyo vencimiento es superior a 30
días.
DEVALUACIÓN: Pérdida de valor del dinero de un país frente a una moneda extranjera.
DTF: El D.T.F (Depósito a Término Fijo), es un indicador que permite conocer el interés
promedio ponderado de captación de los intermediarios financieros, basados en los C.D.T
a 90 días.
FIDUCIA: Procedimiento mediante el cual, una persona transfiere sus bienes a otra para
que ésta los administre.
INFLACIÓN: Aumento sostenido del nivel general de precios, tiene como consecuencia la
pérdida del poder adquisitivo del dinero.
81
INTERÉS: Precio que se paga a un tercero por hacer uso de su dinero.
INTERÉS VARIABLE: Interés fijado de acuerdo con un tipo de referencia, por ejemplo, con
la tasa de inflación.
INTERÉS DE MORA: Intereses que se cobran adicionalmente a los fijados inicialmente para
compensar el no cumplimiento de los pagos en forma oportuna.
INTERMEDIARIO FINANCIERO: Ente jurídico que su objeto es el de captar recursos
financieros de los ahorradores para prestarlos a los inversionistas.
PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Es el período que enuncia la tasa nominal en el que se
liquidan los intereses, y éstos pasan a hacer parte del capital.
LIQUIDACIÓN DE INTERESES:
Momento en el cual se debe pagar el valor de los intereses, su valor se obtiene al
multiplicar el capital por la tasa de interés del período de capitalización.
SPREAD: Puntos adicionales cobrados por las entidades financieras sobre las tasas
principales.
Si la tasa principal se da como trimestre anticipado, el Spread se expresa como trimestre
anticipado, pero si la principal viene como efectiva el Spread también se utilizará como
efectivo.
TASA ACTIVA: Se denomina así a la tasa de colocación.
TASA ANTICIPADA: Hace referencia cuando el interés se cobra al inicio del período de
capitalización.
TASA COMBINADA: Se define así al documento o título valor que tiene dos parámetros
para conocer el interés efectivo, ejemplo, la UVR más 2 puntos o la DTF más 6 puntos.
TASA DE CAPTACIÓN: Es el interés que las entidades financieras pagan al ahorrador o
inversionista.
TASA DE COLOCACIÓN: Tasa a la cual las entidades financieras prestan el dinero a sus
clientes.
TASA NOMINAL: Tasa que se da para un período pero dentro de él existen períodos
inferiores de capitalización.
TASA EFECTIVA: Es la tasa que se cobra para un determinado período, regularmente es el
año.
TASA EQUIVALENTE: Son aquellas tasas que se encuentran expresadas bajo condiciones
diferentes, pero desde el punto de vista financiero, tienen el mismo efecto.
82
TASA PASIVA: Tasa de interés que se reconoce por la captación de recursos en una cuenta
de ahorros o en un CDT.
TCC: Tasa promedio ponderada de captación de recursos obtenidos por las corporaciones
financieras de CDT a 90 días, nominalmente se expresa en término de trimestre
anticipado.
FÓRMULAS:
Cálculo de una tasa efectiva cuando se tiene una nominal vencida
Ie = (1+ ip)n -1
Cálculo de una tasa efectiva cuando se tiene una nominal anticipada
Ie = (1 - ip)-n -1
Cálculo del interés periódico vencido a partir de una efectiva.
ip = (1 + Ie)(1/n)-1
Cálculo del interés periódico a partir de una tasa nominal.
Ip = In / n
Cálculo del interés anticipado a partir de una tasa efectiva para el mismo período.
Ia = Ie / (1 + Ie)
Cálculo del interés efectivo a partir de una tasa nominal anticipada para el mismo período.
Ie = Ia / (1 – Ia)
Cálculo del interés periódico anticipado a partir de una efectiva.
ip = 1 - (1 + Ie)-(1/n)
Cálculo del tiempo para alcanzar una tasa efectiva a partir de una nominal vencida.
83
n = log(1+𝐼𝑒)
log(1+𝑖𝑝)
Cálculo del tiempo para alcanzar una tasa efectiva a partir de una nominal anticipada.
n = −log(1+𝐼𝑒)
log(1−𝑖𝑝)
Cálculo de la rentabilidad neta al tener en cuenta la tasa de impuesto.
RN: Ie x (1 - ti)
Cálculo de la rentabilidad real.
RR = 𝑅𝑁−𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
1+𝐼𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
84
CAPÍTULO 3
FLUJO DE CAJA, VALOR PRESENTE
Y VALOR FUTURO
JUSTIFICACIÓN
Una vez comprendido el concepto de interés, es preciso descubrir cómo se integra en las
transacciones financieras.
Los inversionistas y empresarios deben saber muy bien la importancia de la liquidez en
los negocios y el manejo del flujo (las entradas y salidas) del dinero, tal conocimiento les
posibilita mantener la estabilidad económica de la empresa.
Así mismo, los inversionistas y empresarios deben poseer habilidades matemáticas y
desarrollar fuertes competencias para la identificación de situaciones o momentos
económicos difíciles, y para diseñar estrategias que eviten o minimicen la probabilidad de
una situación de iliquidez que pueda afectar el buen funcionamiento de la empresa.
Es importante reconocer que el flujo de caja permite prever y visualizar el
comportamiento financiero de los negocios y su control posibilita la toma de decisiones
para dinamizar o regular su comportamiento, y mantener la estabilidad financiera
empresarial.
MI OBJETIVO GENERAL
Como estudiante aprenderé a utilizar los flujos de caja y desarrollaré competencias para
calcular el valor presente, el valor futuro, la tasa de interés y el número de períodos, en
una transacción financiera que involucre estos conceptos.
85
MIS OBJETIVOS ESPECÍFICOS
En el estudio de esta unidad debo desarrollar competencias para:
Entender la importancia y manejar con habilidad el flujo de caja.
Diagramar un flujo de caja que permita identificar los problemas encontrados.
Comprender y aplicar con habilidad los conceptos de valor presente y futuro.
El uso adecuado de las fórmulas para despejar el valor presente, el valor futuro, el
número de períodos y la tasa de interés, en la solución de los ejercicios propuestos.
Resolver hábilmente las ecuaciones para despejar las incógnitas que se presentan
en el campo de los negocios; con base en el desarrollo de ejercicios modelos.
CONDUCTA DE ENTRADA
Identifiquemos nuestras deficiencias y superémoslas con un pequeño repaso antes de
empezar a estudiar el nuevo capítulo.
Responda estas preguntas y reflexionemos sobre lo aprendido
Fortalezca sus conocimientos y supere sus deficiencias ahora. Así disfrutará del dominio
del conocimiento en este campo.
1. ¿Cuál es tu opinión? ¿Por qué el préstamo del dinero debe generar un ingreso?
2. Con un ejemplo explique la diferencia entre interés simple y compuesto
3. ¿Cuál interés es más costoso el anticipado o el vencido? ¿Por qué? Sustente su posición
con un ejemplo.
4. ¿Podrías aclarar por qué se dice que la tasa nominal no muestra el verdadero interés
que se paga por el préstamo de un dinero?
5. ¿Cuál de las siguientes tasas es mayor:
24% anual mes vencido
24% anual trimestre vencido?
¿Por qué?
86
3.1. FLUJO DE CAJA
Se denomina flujo de caja, a las operaciones financieras, ingresos y pagos de dinero que
realiza un inversionista a lo largo del tiempo.
En términos sencillos, es el comportamiento que tiene una transacción financiera en el
tiempo que dura, por ejemplo, un crédito.
Con el objeto de visualizar dichas operaciones, los ingresos y egresos de dinero se
representan en una recta denominada línea de tiempo.
LÍNEA DE TIEMPO:
Corresponde a una recta dividida en intervalos, que representan el tiempo que dura la
transacción financiera y los períodos en que se efectúan los pagos, allí se ubican barras
verticales que indican los ingresos y las salidas de dinero.
CARACTERÍSTICAS:
Cuando se inicia la línea del tiempo se denota como período cero.
Las flechas verticales hacia abajo indican salida de efectivo de caja o de la billetera
de la persona, o una no entrada de dinero, por ejemplo, cuando se vende a crédito
un activo.
Las flechas verticales hacia arriba indican entrada de efectivo a caja o a la billetera
de la persona, o en un no desembolso de dinero, por ejemplo, cuando se compra a
crédito un activo.
Este diagrama es una representación gráfica que permite visualizar el problema y plantear
su solución; es fundamental para interpretar la información dada y definir claramente la
incógnita.
De igual manera es importante saber de quién es el flujo de caja que se gráfica, porque lo
que es una entrada de dinero para el inversionista, es una salida para con quien hizo la
transacción.
EJEMPLO 3.1:
0 1 2 3 4 5 6Tiempo 1'000.000 (egresos)
2'000.000 (ingresos)
87
En el período 1 salió de caja $1’000.000; en el período 2 ingresaron a caja $2’000.000.
EJEMPLO 3.2:
Usted, hoy deposita en una entidad financiera $500.000 y en seis meses retira 550.000,
construya el flujo de caja suyo, como ahorrador.
FLUJO DE CAJA DEL AHORRADOR
0 1 2 3 4 5 6
500.000
550.000
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Como el ahorrador saca $500.000 de su billetera para consignarlos en la entidad
financiera, para el ahorrador en un egreso.
A los seis meses retira de la entidad financiera los $550.000, que entran a su billetera, para
el ahorrador es un ingreso.
EJEMPLO 3.3:
Con el mismo ejercicio anterior grafique el flujo de caja para la entidad financiera.
FLUJO DE CAJA DE LA ENTIDAD FINANCIERA
0 1 2 3 4 5 6
500.000
550.000
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Como el ahorrador saca $500.000 de su billetera y los consigna en la entidad financiera,
para ésta es un ingreso porque entra a su caja. A los seis meses la entidad financiera saca
de su caja los $550.000, por ende, es un egreso.
88
3.2 VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
VALOR PRESENTE (VP):
Indica una cantidad de dinero que se invierte o se recibe en préstamo en el momento
actual, equivale a otra cantidad futura ubicada en un período posterior.
Fórmula: 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹
(1+𝐼)𝑛
VP: Valor o cantidad de dinero en un tiempo presente o cero
VF: Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro
i : Tasa de interés o tasa de retorno del período.
n : Número de períodos de interés.
EJEMPLO 3.4:
Usted debe cancelar dentro de dos años la suma de $3.000.000=, si el interés cobrado es
del 2% mensual, determine el valor inicial del crédito.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se sabe que en dos años se debe pagar $3.000.000, y que la tasa de interés
de financiación fue del 2% mes, por lo tanto, se tiene que determinar cuál fue el valor
prestado inicialmente.
PREGUNTA
Se debe determinar el VP
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
89
La incógnita está ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VF = 3.000.000
i = 2% mes
n = 24 meses
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
VP = 3.000.000 / (1 + 0.02)24
VP = 1.865.164,46
RESPUESTA
El valor inicial del crédito fue de $1.865.164,46=
APLICACIÓN MEDIANTE LAS TABLAS FINANCIERAS
Cálculo del valor presente cuando se tiene un valor futuro.
La expresión que se encuentra entre corchetes corresponde al factor de valor presente de
pago único denominado también factor (P/F, i%, n). Este factor determina el valor
presente P de una cantidad futura dada F, a una tasa de interés i después de n períodos de
tiempo. Al final se presenta la tabla financiera mediante la cual se puede calcular este
factor.
Para el ejemplo se busca en la tabla donde la tasa es el 2%, en la columna (P/F), y en la fila
donde n es 24, allí se encuentra el factor 0,621721.
Al multiplicar este factor por los $3.000.000= el resultado es de $1.865.163.
APLICACIÓN MEDIANTE CALCULADORA
HEWLECT PACKARD
Mediante el siguiente procedimiento el estudiante puede hacer el cálculo del valor
presente (VP).
90
INDICADOR
FIN
Financiero
VDT CONVI F. CAJA BONO DEPR Valor dinero en el tiempo
N %IA VA PAGO VF OTRO
Menú Ingreso de Datos
CASIO FC 200
Los siguientes son los comandos principales de esta calculadora, para ingresar los datos
no se requiere un orden específico, para el cálculo de la variable desconocida, se digita la
tecla COMP y la incógnita.
COMP n i% PV PMT FV
El procedimiento y orden es el siguiente:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II
FIN
VDT
CLEAR DATA
3000000 +/- VF
2% IA
24 N
VA
MODE 4
SHIFT AC EXE AC
24 n
2% i
-3000000 FV
COMP PV EXE
3000000 +/- FV
2 I/Y
24 N
CPT PV
El resultado es de $1.865.164,46
APLICACIÓN EN EXCEL
El cálculo mediante la hoja electrónica se realiza mediante dos formas:
a. Cuando se tiene un solo dato para llevarlo a valor presente.
b. Cuando se trae a valor presente más de un dato
a. Para un solo dato.
FÓRMULAS
INSERTAR FUNCIÓN
91
FINANCIERA
VA(Devuelve el valor presente de una inversión)
EJEMPLO 3.5:
Cuánto debe pagar una persona hoy si quiere adelantar el pago de una deuda de
$500.000= que se vence dentro de 2 meses y la cual tiene un costo de financiación del 2%
mensual.
PROCEDIMIENTO
FÓRMULAS
INSERTAR FUNCIÓN
FINANCIERA
VA(Devuelve el Valor presente de una inversión)
Tasa 2%
Nper 2
Pago
Vf 500.000
Tipo
NOTA: En la casilla Tipo; Si el interés es vencido se deja en blanco, si fuese anticipado se
señalaría 1.
92
Resultado: $480.584,39
Al efectuarse el pago hoy deberá cancelar $480.584,39
b. Cuando se trae a valor presente más de un dato, o se tienen valores positivos y
negativos.
FÓRMULAS
INSERTAR FUNCIÓN
FINANCIERA
VNA(Devuelve el valor presente de una inversión, a partir de una tasa de
descuento y una serie de pagos futuros)
EJEMPLO 3.6:
Qué pago único hoy es equivalente a efectuar los siguientes pagos; $500.000 en 1 mes,
400.000= en 3 meses, y $1.000.000= en 5 meses, si la tasa de interés que se cobra es del
2,5% mes.
PROCEDIMIENTO
FÓRMULAS
INSERTAR FUNCIÓN
FINANCIERAS
VA(Devuelve el valor presente de una inversión)
Tasa 2,5%
93
Valor 1 500000
Valor 2 0
Valor 3 400000
Valor 4 0
Valor 5 1000.000
Nota: si no se quiere escribir dato por dato, se puede en la casilla correspondiente al valor
1, cubrir todo el rango, teniendo en cuenta que en los períodos que no efectúa pagos, se
escribe cero.
94
Resultado: $1.743.099
Si se desea efectuar el pago de la deuda hoy, deberá cancelar $1.743.098,43.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Los invito a realizar los siguientes ejercicios para el cálculo del valor presente de las
diferentes formas expuestas anteriormente.
Determine el valor con el que su padre le abrió una cuenta de ahorros hace seis
meses, si hace tres meses retiró $200.000 y hoy $350.000, si todavía tiene un
saldo de $150.000, la entidad financiera le abona un interés del 15% anual.
Cuál sería el valor de compra de contado de un computador si de cuota inicial se
pagó $300.000 y al mes se abonó $500.000, a los dos meses $700.000 quedando
una deuda en ese momento de $1.000.000, si el interés de financiación es el 2,2%
mensual.
VALOR FUTURO (VF):
Muestra el valor que va a obtener una inversión actual en un período futuro, con un
determinado rendimiento.
Fórmula:
VF = VP * (1 + i)n
VP: Valor presente de una inversión.
i : Tasa de interés del período.
95
n: Número de períodos.
EJEMPLO 3.7:
Un inversionista deposita hoy la suma de $ 500.000 en una entidad financiera que paga un
interés en los CDT del 24% anual con capitalización mensual. Hallar la cantidad total
acumulada dentro de 5 años en la cuenta.
$500.000
i = 2% mesn = 60
VF=?
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio el inversionista quiere saber cuánto puede retirar en cinco (5) años, si la
entidad financiera le reconoce un interés mensual del 2%.
PREGUNTA
Se debe determinar el VF
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada en el mes sesenta (60).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP: 500.000
i : 2% mes
n: 60 meses.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
VF = VP * (1 + i )n
VF = 500000 * (1 + 0.02)60
VF = 1.640.515,39
96
RESPUESTA
La persona que deposita hoy $500.000 en una entidad financiera que paga el 2% mensual
de interés, dentro de 5 años tendrá la suma de $1.640.515,39.
APLICACIÓN MEDIANTE LAS TABLAS
De la fórmula
VP = 𝑉𝐹
(1+𝑖)𝑛 → P =
𝐹
(1+𝑖)𝑛 se deduce que F= P (1 + 𝑖)𝑛
El factor (1+ i)n se denomina factor de cantidad compuesta de pago único. Se hace
referencia a éste como el factor (F/P, i%, n). Este factor de conversión es el que, cuando se
multiplica por P, se obtiene la cantidad futura F de una inversión inicial P, a la tasa de
interés i, después de n períodos de tiempo.
Se procede a buscar en las tablas donde la tasa es el 2%, la columna F/P, y n es igual a 60.
El factor de conversión es 3,281031.
El resultado se obtiene de multiplicar: $500.000 x 3,281031, cuyo valor es: $1.640.515,5.
APLICACIÓN MEDIANTE LA CALCULADORA
El procedimiento y orden es el siguiente:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II
FIN
VDT
CLEAR DATA
500000 +/- VA
2% IA
60 N
VF
MODE 4
SHIFT AC EXE AC
60 n
2% i
-500000 PV
COMP FV EXE
500000 +/- PV
2 I/Y
60 N
CPT FV
Para obtener el mismo resultado de $1.640.515,39.
APLICACIÓN EN EXCEL
El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente:
FÓRMULAS
97
INSERTAR FUNCIÓN
FINANCIERAS
VF(Devuelve el valor futuro de una inversión)
Tasa 2%
Nper 60
Pago
Vp 500000
Tipo
98
R: $1.640.515,39
Al observar el resultado, lo muestra negativo, porque el valor presente se digitó positivo.
NOTA: Cuando se tienen varios datos, por Excel los llevas a valor presente y después con el
procedimiento enunciado anteriormente, se lleva a valor futuro.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Después de haber estudiado el tema, vamos a evaluar los conocimientos adquiridos.
Cuánto deberá pagar el usuario de un crédito hoy, si desea cancelar el saldo de una
deuda, cuyo desembolso fue hace dieciocho meses por un valor de $5.000.000, a
los seis meses abonó $2.000.000, y a los quince meses $2.000.000, el interés de
financiación es del 2,3% mensual.
Se están recogiendo fondos para una obra social, calcule los recursos disponibles a
la fecha, si se han consignado y retirado las siguientes sumas:
Hace diez meses, se recaudó $2.200.000, hace tres se recibió una donación por
$1.500.000, y hoy $3.200.000, el mes pasado se requirió gastar $400.000. Los dineros se
consignaron en una cuenta de ahorros que rentan el 1,2% mes.
99
3.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS.
Este tema es de gran importancia porque en muchas ocasiones un inversionista después
de haber efectuado algún negocio, conociendo los ingresos y pagos efectuados, quiere
conocer cuál fue su rentabilidad, y ésta se conoce despejando i.
Para determinar la tasa de interés, se debe recordar lo escrito en la aplicación de la
radicación, donde se saca raíz a ambos lados para despejar el valor de i.
La fórmula queda así:
i = (𝑣.ƒ
𝑣.𝑝)(1
𝑛)- 1
EJEMPLO 3.8:
Calcular la tasa interés ganada por un inversionista, que consignó en una entidad
financiera $800.000= y al cabo de 6 meses su saldo es de $1.000.000=
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio el inversionista quiere conocer la tasa de interés mensual que le
reconoció la entidad financiera.
PREGUNTA
Se debe determinar i.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita no está ubicada en un período determinado, sino durante todo el tiempo que
duró el dinero en la entidad financiera.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP: 800.000.
VF: 1.000.000
i :
100
n : 6 meses.
PROCEDIMIENTO
Se reemplaza en la fórmula
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
i = (𝑣.ƒ
𝑣.𝑝)(1
𝑛)- 1
i = (1.000.000
800.000)(1
6)- 1
i= 3,789% mes.
RESPUESTA
El interés mensual que reconoció la entidad financiera al inversionista fue del 3,789%.
APLICACIÓN MEDIANTE LA CALCULADORA
El procedimiento y orden a seguir es el siguiente:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II
FIN
VDT
CLEAR DATA
800000 +/- VA
6 N
%IA
MODE 4
SHIFT AC EXE AC
6 n
-800000 PV
1000000 FV
COMP i% EXE
800000 +/- PV
1000000 FV
6 N
CPT I/Y
La rentabilidad obtenida es del 3,789% mensual.
APLICACIÓN EN EXCEL
El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente:
FÓRMULAS
INSERTAR FUNCIÓN
FINANCIERAS
TASA (Devuelve la tasa de un crédito o la rentabilidad de una inversión)
101
Es importante resaltar que en este caso no existen anualidades en la casilla de pago se
debe escribir CERO.
Igualmente se puede observar que el valor presente se digitó negativo, esto es porque se toma los
$800.000= como una salida de dinero.
Se puede observar que el resultado obtenido es el 3,789% mensual.
102
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Al igual que las prácticas anteriores utilicemos las diferentes herramientas para el
desarrollo de los siguientes ejercicios:
Determine la rentabilidad mensual alcanzada por un inversionista que hace seis
meses compró un paquete de acciones es $10.000.000, y hoy las vendió en
$12.660.000, recibiendo adicionalmente $250.000 como dividendos.
Usted requirió de un crédito de $15.000.000, cuál es su costo si le debe devolver al
prestamista $17.000.000 en tres meses.
3.4. CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS
Cuando se habla de determinar n, se hace referencia al cálculo del número de períodos.
Para este caso se requiere el uso del logaritmo. Si se despeja n de la fórmula, ésta quedaría
así:
n= 𝐿𝑛 [
𝑉𝐹
𝑉𝑃]
𝐿𝑛(1+𝑖)
NOTA: Para la fórmula se utilizó el logaritmo natural, es indiferente si se aplica el
logaritmo en base cero.
EJEMPLO 3.9.
Cuánto tiempo debe esperar una persona que desea obtener $ 1.000.000 (valor futuro), si
hoy cuenta con $500.000, y la entidad financiera reconoce un interés del 2% mensual.
$500.000,=
2% Mensual
1.000.000
n = ?
Solución:
103
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio el inversionista quiere conocer el tiempo que debe esperar para tener en
su cuenta de ahorros la suma de $1.000.000.
PREGUNTA
Se debe determinar n.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada al finalizar el flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP: 500.000.
VF: 1.000.000
i : 2% mes
n:
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
n= 𝐿𝑛 [
𝑉𝐹
𝑉𝑃]
𝐿𝑛(1+𝑖)
n= 𝐿𝑛 [
1.000.000
500.000]
𝐿𝑛(1+0,02)
n= 0,69314718
0,019802627
n = 35 meses.
RESPUESTA
Se requiere de 35 meses para que al invertir $500.000=, al 2% mensual se retire
$1.000.000=
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA
El procedimiento y orden a seguir es el siguiente:
104
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II
FIN
VDT
CLEAR DATA
500000 +/- VA
1000000 VF
2% IA
N
MODE 4
SHIFT AC EXE AC
2% i
-500000 PV
1000000 FV
COMP n EXE
500000 +/- PV
1000000 FV
2 I/Y
CPT N
El resultado obtenido es 35 meses.
APLICACIÓN EN EXCEL
Ahora se va a realizar el mismo ejercicio en Excel, con la función NPER.
El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente:
FÓRMULAS
INSERTAR FUNCIÓN
FINANCIERAS
NPER
105
El inversionista debe esperar 35 meses.
EJEMPLOS VARIOS DE PRÁCTICA
EJEMPLO 3.10.
Dentro de cuánto tiempo se tendrá en una cuenta de ahorros un saldo de $2.000.000=
sabiendo que hoy se hace un depósito de $ 1.000.000 y luego retiros así:
$ 300.000 en el mes 7
$ 200.000 en el mes 11.
Tasa de interés 2% mensual.
FLUJO DE CAJA
0
$300.000,=
n = ?$1.000.000,=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
$200.000,=
$2.000.000,=
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio el inversionista quiere conocer el tiempo que debe esperar para tener en
su cuenta de ahorros la suma de $2.000.000, a pesar de que ha tenido que efectuar retiros
de su cuenta de ahorro.
106
PREGUNTA
Se debe determinar n.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada al finalizar el flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP0: 1.000.000.
RETIRO7 : 300.000
RETIRO11 : 200.000
VF: 2.000.000
i : 2% mes
n:
PROCEDIMIENTO
Para determinar n, se debe definir dónde va a quedar el valor presente como punto de
referencia. En este caso se estableció el mes cero. El tiempo se trabaja en meses.
PASOS
Se calcula el valor presente de los retiros en el período cero.
VP = 400.000/ (1.02)7+ 200.000/(1.02)11
VP= 348.224, 07+160.852, 6
VP= 509.076,67
Este valor se resta al consignado en el período cero, o sea a $1.000.000=
El valor presente para calcular n, sería: $1.000.000-509.076,67.
Valor presente = 490.923,32
Reemplazo en la fórmula
n= 𝐿𝑛 [
2.000.000
490.923,32]
𝐿𝑛(1+0,02)
n= 1,404614511
0,019802627 = 70,93 meses
107
RESPUESTA
Se tendrá en la cuenta los $2.000.000= pasados 70,93 meses a partir de la consignación
inicial de $1.000.000=
EJEMPLO 3.11.
Se prestan hoy $4.000.000 los cuales se van a cancelar en tres pagos a 6, 10, 15 meses;
cada uno de los pagos, equivale al 75% del pago anterior. Hallar los pagos.
i = 2% mensual
0
$4.000.000,=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x 0,75 x 0,75(0,75 x)
Solución:
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio el inversionista quiere conocer el valor de las cuotas de amortización del
crédito.
PREGUNTA
Se debe determinar el valor de X.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada en el período seis (6).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP = 4.000.000
i = 2% mes
n = El período está determinado por cada uno de los meses en que se efectúa la
amortización, de acuerdo al valor de la amortización quedaría así:
X = 6 mes
0,75 X = 10 mes
0,75 (0,75X) = 15 mes
X =?
108
PROCEDIMIENTO
Se plantea la ecuación; el monto del préstamo es igual a los pagos traídos a valor presente
en el momento cero descontados por el interés del 2% mensual.
Es importante que se tenga claro que la única incógnita es X, todo se relaciona con el
resultado de X.
4.000.000 = X + 0.75 X + 0.5625 X
(1.02)6 (1.02)10 (1.02)15
4.000.000 = 0.887971382X + 0.615261224X + 0.417945785X
4.000.000 = 1.921178391X
4.000.000 = X
1.921178391
X = 2.082.055,48 1er pago
0,75 * (2.082.055,48) = 1.561.541,6 2do pago
0,75 * (1.561.541,6) = 1.171.156,2 3er pago
RESPUESTA
El préstamo de $4.000.000, se va a pagar de la siguiente forma: 2.082.055,48 en el mes
seis (6), 1.561.541,6 en el mes diez (10) y 1.171.156,2 en el mes quince (15).
EJEMPLO 3.12.
Un inversionista abre hoy una cuenta de ahorros con $ 2.000.000; dentro de 6 meses
deposita su prima de navidad cuya cuantía es de $1.000.000= y en el mes 18 retira
$1.500.000=. Hallar el valor del saldo al finalizar el mes 24, si se paga un interés del 2%
mensual durante el primer año y el 2,5% mensual en el segundo año.
0 6 12 18 2421
1.500.000
2.000.000 1.000.000
2% 2,5%
109
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio el inversionista quiere conocer el saldo en su cuenta de ahorros al
finalizar el año dos, después de hacer una serie de consignaciones y retiros, se debe tener
en cuenta que la entidad financiera cobró dos tasas de interés diferentes.
PREGUNTA
Se debe determinar el VF.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada en el mes veinticuatro (24).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP0(consignación) = 2.000.000
VP6(consignación) = 1.000.000
VP18(Retiro) = 1.000.000
i = 2% mes
VF24 =?
PROCEDIMIENTO:
Aspectos para tener en cuenta:
Cambio en la tasa de interés en el mes doce, cuando en la línea de tiempo existen
dos o más tasas, siempre se tiene que llegar al período donde hay cambio de tasa,
una vez se tenga un valor, se calcula el valor futuro o presente, con la tasa
correspondiente al otro período.
PASOS
Se llevan los abonos al mes doce, porque allí hay cambio de tasa.
Una vez se tiene el total acumulado en el mes doce, se lleva al mes 24.
El retiro del mes 18 se lleva al mes 24.
El saldo se determina restando el retiro a las consignaciones en el mes 24.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
VF = VP * (1 + i)n
110
VALOR FUTURO DE LAS CONSIGNACIONES
VF12 = 2.000.000 * (1 + 0.02)12 + 1.000.000 * (1+0.02)6= 3.662.646
VF24 = 3.662.646 * (1 + 0.025)12 = 4.925.851,68
VALOR FUTURO DE LOS RETIROS
VF24 = 1.500.000 * (1 + 0.025)6 = 1.739.540,12
SALDO
V.F 24 Consignaciones- V.F 24 Retiros
4.925.851,68 - 1.739.540,12
3.186.311,56
RESPUESTA
En el mes 24 hay disponibles para retirar $3.186.311,56
EJEMPLO 3.13
Se compra un computador y se propone pagarlo de la siguiente forma: $ 600.000= De
cuota inicial, $ 800.000= en el mes 6 y $1.000.000= en el mes 12. Hallar el valor de
contado sabiendo que la financiación contempla una tasa del 2.5% mes, para los 1os 6
meses y del 3% mes de ahí en adelante.
Solución:
0
x
6 12
600.000 800.000 1.000.000
2,5 mes 3% mes
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio el vendedor del computador quiere conocer el precio de venta del
equipo, dado que está conociendo el valor y fecha de los pagos que propone el comprador,
así como el interés de financiación.
111
PREGUNTA
Se debe determinar el VP.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada en el momento cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP0(cuota inicial) = 600.000
VF6(primer cuota) = 800.000
VP12(segunda cuota) = 1.000.000
i(0-6) = 2,5% mes
i(6-12) = 3% mes
N(800.000) = 6
N(1.000.000) = 12
VPTOTAL =?
PROCEDIMIENTO:
En el período de análisis se encuentran dos tasas de interés.
PASOS:
El abono de $800.000= se lleva al período cero con la tasa de descuento del 2,5%.
El abono de $1.000.000= se lleva al período seis con la tasa del 3% y luego al
momento cero con la tasa del 2,5%.
Estos dos resultados se suman al valor de la cuota inicial y se determina el importe
de contado del computador.
Planteamiento de la ecuación:
La ecuación quedaría planteada de la siguiente forma:
𝑥 = 600.000 + 800.000
(1 + 0,02)6+ (
1.000.000
(1 + 0,02)6 ∗ (1 + 0,03)6)
La X es el valor de contado del computador.
112
La ecuación se explica de la siguiente forma:
El precio de contado es igual a la cuota inicial más las dos cuotas financiadas, traídas a
valor presente, en el período cero.
VP0 = 800.000 = 710.377,10
(1 + 0.02)6
VP0 = (1.000.000
(1+0,02)6∗(1+0,03)6) = 743.662
VP0 = 600.000 + 710.377,1+ 743.662
VP0 = 2.054.039
RESPUESTA
El precio de contado del computador es de $2.054.039=
EJEMPLO 3.14
Sus padres le depositan $ 1.000.000 en una cuenta de ahorros, que paga un interés del
1,5% mensual, al año le consignan $500.000=. En tres años retira la cuarta parte del
saldo en el momento, dos años más tarde le realizan un depósito igual a la mitad del saldo
existente y dos años después usted retira todo el dinero. Hallar los valores depositados y
retirados cada vez.
012 24 36 48 60 72 84
x
1/4 Saldo
$1.000.000 1/2 Saldo
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio usted debe hacer un seguimiento al saldo del dinero para determinar el
valor de las consignaciones y retiros.
PREGUNTA
Se debe estimar VF en cada momento que preguntan el saldo, para calcular el monto a
retirar o consignar.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
113
La incógnita está ubicada en el mes treinta y seis, sesenta y ochenta y cuatro.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP0(consignación inicial) = 1.000.000
VP12(segunda consignación) = 500.000
i = 1,5% mes
VF36 = ?
VF60 =?
VF84 =?
PROCEDIMIENTO
Para hacer el planteamiento de la ecuación, se requiere de un proceso que toma muchos
números, hecho que permite confundirse, para un mejor entendimiento, se explicarán los
pasos:
Mire dónde está la incógnita, está en el mes 84, en este momento usted está en
cero, o sea debe calcular un valor futuro.
Lleva las dos primeras consignaciones al mes 36 y las suma.
Al resultado le calcula la cuarta parte y se la resta.
La cuarta parte es la primera respuesta, es el primer retiro.
El saldo que queda está ubicado en el mes 36, se lleva a un futuro al mes 60.
Allí el saldo existente se le debe calcular la mitad, es la primera consignación.
El valor de la consignación se le suma al saldo y este total se lleva al mes 84, para
calcular el último retiro.
PASOS:
(1000.000 x (1.015)36+500.000x(1,015)24) = $ 2.423.890,94 valor futuro en el
mes 36 de las consignaciones.
¼ x 2.423.890,94= 605.972,73 el valor del primer retiro.
Queda un saldo en el mes 36 de $1.817.918,21.
Este saldo se lleva al mes 60: $1.817.918,21x (1,015)24= 2.598.719,19
A $ 2.598.719,19 se le calcula la mitad (1/2), dando un valor de $1.299.359,6. Este
es el valor de la consignación.
Para determinar el nuevo saldo en el mes 60, sumo las dos cifras $ 2.598.719,19 y
$1.299.359,6 dando un total de $3.898.078,8.
Se lleva el último saldo al mes 84; 3.898.078,8 x (1.015)24=5.572.314,6
114
El último valor a retirar es de $5.572.314,6.
RESPUESTA
El proceso de retiros y consignaciones que se debían calcular fue el siguiente:
En el mes treinta y seis se retira: $605.972,73
En el mes sesenta se consigna: $1.299.359,6
Y, en el mes ochenta y cuatro se retira $5.572.314,6
EJERCICIOS
1. Determine el importe de contado de un electrodoméstico cuyo sistema de financiación
es el siguiente:
Cuota inicial: 30% del precio de contado, el saldo en 3 cuotas; la primera en el mes 3 con
un valor de $600.000=, la segunda en el mes 5 por $800.000= y la última en el mes 6 por
$1.000.000=. El interés de financiación es el 24% anual.
R: El importe de contado del electrodoméstico es de $3.140.039,69
2. Cuánto tendrá usted ahorrado al finalizar el año, si se compromete a efectuar las
siguientes consignaciones, hoy $500.000=, $2.000.000= en el mes 6, y $600.000= en el
mes 10. La entidad financiera paga un interés del 6% trimestral.
R: Al finalizar el año Usted tiene ahorrado $3.502.204,66
3. Si su padre le consigna en su cuenta de ahorros, hoy la suma de $400.000= y en 6 meses
averigua el saldo, y tiene en su cuenta $437.377,3= cuál es la tasa de rentabilidad que paga
la entidad financiera.
R: La entidad financiera paga una rentabilidad del 1,5% mes.
4. Cuánto tiempo debe esperar usted para contar con $2.000.000=, si deposita en una
entidad financiera $1.200.000=, y esta reconoce un interés de 4% bimestral.
R: Para contar con $2.000.000 debe esperar 13 bimestres.
5. Pedro consignó en su cuenta de ahorros hoy, $1.000.000=, en el mes 3, consigna
$400.000=, cuánto debe consignar en el mes 9, si aspira a que en el mes doce pueda
retirar del banco, la suma de $3.000.000=, si la entidad paga un interés del 12% semestral.
R: Pedro para poder retirar en el mes doce $3.000.000, debe consignar en el mes nueve
$1.201.436,96
115
6. Al comprar una motocicleta por $6.000.000= usted debe determinar el valor de la cuota
inicial, si le aceptan pagar el saldo en 3 cuotas; la primera en el mes 1 por $2.000.000=, en
el mes 2; $1.000.000= y en el mes 3; $1.500.000=, si el interés de financiación es del 9%
trimestral.
R: Debe pagar de cuota inicial $1.736.320,27 por la compra a crédito de la motocicleta.
7. Cuál es el saldo que tiene en su cuenta de ahorro si hace 6 meses consignó $500.000=,
durante los 4 primeros meses el interés ganado fue del 3% bimestral, a partir de allí, la
tasa varió al 22% anual trimestre vencido.
R: El saldo en la cuenta después de seis meses es de $549.725,76
8. Determine el valor consignado por Jaime hace 6 meses, si este dinero le alcanzó para retirar
$2.400.000= hace 3 meses y hoy retiró el saldo por $3.100.000=; la rentabilidad del ahorrador
es del 22% anual bimestre vencido.
R: Jaime consignó hace seis meses $5.056.359,87
9. En cuánto le colaborará su Papá para completar el monto de la matrícula universitaria,
si debe cancelar el valor del semestre dentro de 3 meses por $1.500.000=, usted ahorró
hace dos meses $400.000= y hoy puede asignar para este mismo propósito $600.000=, la
rentabilidad de su dinero es del 6% trimestral.
R: Su padre debe colaborarle con $423.205,23 el día de la matrícula.
10. Usted planea ir de vacaciones al final de año (Diciembre), para lo cual presupuesta un
valor de $12.000.000=, consigna hoy (Período cero) ese valor, en el mes 8, se le presenta
un imprevisto para lo cual debe retirar $3.000.000=, cuánto será el faltante en el
momento de tomar las vacaciones, si la rentabilidad es el 11% semestral.
R: El faltante para cancelar los $12.000.000 en el mes de diciembre es de $430.952
11. Alfredo proyecta comprar un vehículo cuyo importe es de $30.000.000=, para su
adquisición él cuenta hoy con $10.000.000= y un título valor por $15.000.000= el cual
puede hacer efectivo dentro de 3 meses, determine si Alfredo puede adquirir este vehículo
si el precio se lo sostienen por un tiempo de 9 meses y la rentabilidad de su dinero es del
3.5% bimestral.
R: Su dinero no le alcanza para comprar el vehículo dado que sólo dispone de
$28.305.087,6
12. Un ahorrador consigna $500.000=, durante los primeros seis meses, su rentabilidad es
del 8% trimestral, si en el mes 18, cuenta con $700.000=, determine el interés en este
último período.
116
R: La rentabilidad en el último año fue del 20,02%
13. Pedro consigna hoy $300.000=, su propósito es completar el valor de $1.200.000=
dentro de 15 meses, en el mes 6 ahorra $400.000=, determine la consignación que realizó
en el mes 10 para cumplir su meta, si las tasas de interés fueron del 15% semestral, en los
primeros 6 meses, 3% bimestral, hasta el mes 12, y el 30% anual mes vencido a partir de
allí.
R: Pedro debe consignar en el mes diez $291.492,89.
14. Calcular el precio de contado de un TV, cuya cuota inicial es de $300.000=, un cuota en
el mes 3 por $500.000=, y el saldo en el mes 6 por un valor al 30% del valor de contado.
El interés de financiación fue del 15% semestral bimestre vencido.
R: El precio de contado del televisor es de $1.032.213,86
15. Determine cuál de las siguientes deudas presenta un mayor valor en el momento cero:
Tres pagos iguales de $500.000= en los meses 3,6 y 9, con una tasa de interés del
9% trimestral.
Dos pagos, el primero por $1.000.000= en el mes 4 y $500.000= en el mes 8, la
tasa es del 18% semestral.
R: La segunda deuda es mayor, dado que su valor a precios de hoy es de $1.296.511,21
16. Usted tiene una deuda, y como respaldo firmó dos pagarés el primero por $2.000.000
con vencimiento en tres meses, y un segundo por $5.000.000, con vencimiento en un año,
va a sustituir estos compromisos por un solo pago en el mes nueve (9), determine el valor
por el cual firma el pagaré, si la tasa de interés es del 8% trimestral.
R: El valor que usted debe pagar en el mes nueve es de $6.962.429,63
17. Si usted consigna en dos cuentas de ahorro diferentes, $1.000.000 en cada una,
determine el valor del saldo después de un año en cada una de ellas, si en la entidad
financiera A gana un interés del 5% bimestral y en la entidad financiera B el interés es del
8,5% trimestral.
R: En A tiene un valor de $1.340.095,64 y en B $1.385.858,7
18. Usted tiene un saldo en la cuenta de $3.000.000, su hermano le había consignado hace
un año $1.000.000, hace seis meses le había efectuado otra consignación; determine el
valor de ésta, si el interés de la entidad financiera es el 1% mensual.
R: Su hermano le consignó hace seis meses $1.764.615,55
117
19. Con el mismo ejercicio anterior, determine el valor de la consignación en el mes seis,
pero usted retiró en el mes diez, $500.000.
R: Al haber retirado $500.000 en el mes diez y contar con un saldo de $3.000.000 al final
del año es porque su hermano le consignó en el mes seis $2.245.105,72.
20. Con base en el ejercicio dieciocho estime el valor consignado en el mes seis pero la tasa
que reconoce la entidad financiera fue del 1% mensual para el primer semestre y del 1,2%
durante el segundo semestre.
R: Al tener una rentabilidad del 1,2% durante el segundo semestre su hermano le consignó
$1.731.269,2
21. Determine el valor de apertura de una cuenta de ahorros que a los quince meses
presenta un saldo de $4.000.000, y tuvo el siguiente movimiento:
Consignaciones de $500.000 y $2.000.000= en los meses tres y diez respectivamente, y
retiros por $1.000.000 y $3.000.000, en los meses nueve y doce. El interés de la entidad
financiera es del 9% semestral.
R: El valor de apertura de la cuenta fue de $4.417.182,18.
22. Si la entidad financiera del ejercicio anterior hubiese reconocido un interés del 9%
semestral para el primer semestre y el 1,7% mensual de ahí en adelante, determine el
valor de apertura de la cuenta.
R: Al modificarse la tasa de interés el valor de apertura de la cuenta fue de $4.318.742,66
23. Pedro abrió una cuenta de ahorros hace tres meses con $1.000.000, si hace un mes
debió retirar $100.000, y hoy debe retirar $300.000, cuánto tiempo debe esperar para
volver a tener el millón de pesos si la entidad financiera le reconoce un interés del 1,2%
mes.
R: Para volver a tener el millón de pesos debe esperar 38 meses a partir de hoy.
24. Con base en el ejercicio anterior despeje n, pero Pedro recibe dentro un mes $150.000,
que los depositará en la cuenta de ahorros.
R: Recibiendo los $150.000 dentro de un mes, para volver a tener el millón de pesos debe
esperar 20,45 meses a partir de hoy.
25. Usted propone sustituir tres obligaciones de $1.000.000 para hoy, $2.000.000 para
dentro de tres meses y $1.500.000 para dentro de seis meses, por un solo pago dentro de
un año. Su acreedor le acepta la propuesta con la siguiente condición: Las tres obligaciones
118
iniciales tenían un interés del 1,5% mensual, el interés de la refinanciación es del 2%
mensual.
Como usted acepta el nuevo interés determine el valor del pago único.
R: El pago que debe realizar dentro de un año es de $5.433.715,1
26. Al ofrecer su automóvil se reciben varias ofertas de las cuales usted va a optar por la
mejor:
Pedro le ofrece $25.000.000 de contado, Enrique le da tres cheques por $9.000.000 cada
uno, el primer cheque lo cobra en el momento y los otros a 30 y 60 días, Su jefe le ofrece
$5.000.000 en el momento y un cheque por $23.000.000 a 90 días, si su tasa de
oportunidad es del 9% trimestral,¿Cuál opción escoge?
R: Le vende el carro a Enrique. Su equivalencia en valor presente ($26.242.651,5)
27. Determine el saldo en la cuenta si la abrió hace diez meses con $1.000.000, durante el
primer trimestre el banco reconoció como interés el 3% trimestral y a partir de ese
momento su tasa fue del 3,1% trimestral.
R: La cuenta tiene un saldo después de 10 meses de $1.106.048,34
28. Usted compra un lote de terreno en $10.000.000 con el propósito de construir su
vivienda, pasado un año usted no consiguió el dinero de la construcción por lo tanto toma
la decisión de venderlo en $12.000.000, si en sus actividades comerciales normalmente se
gana el 3% mensual, ¿hizo un buen o mal negocio?
R: La rentabilidad en este negocio sólo fue del 1,53% mes, o sea que no hizo un buen
negocio respecto de los que usualmente realiza.
29. Un inversionista en finca raíz, compra un apartamento en $60.000.000, lo vende en
$65.000.000 a los 3 meses, con este dinero compra una casa y al mes la vende en
$72.000.000. ¿Cuál es la tasa mensual de rentabilidad de esta persona?
R: La rentabilidad mensual del inversionista es del 4,66%.
30. Un comerciante cuenta con $50.000.000, compra un vehículo y a los dos meses lo
vende en $56.000.000, con este dinero adquiere un apartamento con el cual tuvo
inconvenientes en su venta y a los seis meses de haberlo comprado sólo lo pudo vender en
$55.000.000, cuál fue su rendimiento mensual?
R: La rentabilidad durante los 8 meses fue del 1,198 % mes.
31. Abro una cuenta con 100 pesos al finalizar en el mes 6 consigno 80 pesos, en el mes 9
retiro 60 pesos. Determine en qué momento dispongo de 3 veces el valor de la
119
consignación inicial si hasta el mes 10 es del 2% mensual y de ahí en adelante es de 3%
mensual.
R: 17,68
32. Se abre una cuenta con 300 pesos, en el mes 6 retiro la mitad, en el mes 9 retiro 50
pesos, hasta el mes 10 la tasa del interés es el 2% mensual, si en el mes 30 vuelvo a
disponer del capital inicial cuál fue la tasa de rentabilidad en el mes 10 al 30.
R: 3,44%
AUTOEVALUACIÓN
¿Por qué se dice que el diagrama del flujo de caja representa el planteamiento del
problema?
¿Es importante la dirección de las flechas?
Teniendo dos valores futuros iguales, cuál de estos tiene un menor valor presente,
el primero cuya tasa de descuento es el 2% mes o un segundo con una tasa del 3%
mes. ¿Por qué?
¿En qué difiere un valor presente de un valor futuro?
Al traer a valor presente un determinado valor futuro, si se requiere calcular un
menor valor presente, se debe aumentar o disminuir la tasa de descuento, ¿Por
qué?
Explique la manera como se determina el tiempo requerido para alcanzar un valor
futuro conociendo el valor presente y la tasa de interés.
Cuál es el proceso para calcular el rendimiento de una inversión, conociendo el
valor de compra, venta y el tiempo que tuvo el activo.
GLOSARIO
DESCUENTO: Procedimiento de calcular el valor presente de uno o más pagos futuros,
aplicando determinada tasa de interés.
DEUDA: Es una obligación, normalmente de tipo económico de una persona natural o
jurídica con otra.
DINERO: Instrumento de cambio, de aceptación generalizada.
FLUJO DE CAJA: Procedimiento que muestran los ingresos y egresos de efectivo en un
período de tiempo.
120
INVERSIÓN: Es el esfuerzo de posponer el consumo para un período futuro con el
propósito de recibir un mayor valor.
PERÍODO: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro.
PRECIO DE COMPRA: Es la cantidad de dinero que se paga por la adquisición de un bien.
PUNTO DE EQUILIBRIO: Cuando los ingresos son iguales a los egresos.
SUSTITUIR: Reemplazar
TASA DE DESCUENTO: Tasa de interés mediante la cual se determina el valor presente de
una cifra futura.
TASA DE OPORTUNIDAD: Es la tasa de rentabilidad que un inversionista sacrifica con el
objetivo de realizar un proyecto.
VALOR ACTUAL: Valor de un bien en el momento, en los flujos de caja normalmente se
denomina valor inicial o valor presente.
VALOR FINAL: También se denomina valor futuro, en algunas ocasiones resultantes de un
acumulado o suma en una fecha posterior.
FÓRMULAS:
Cálculo del valor futuro cuando se tiene un valor presente.
VF = VP * (1+ i)n
Cálculo del valor presente cuando se tiene un valor futuro.
𝑉𝑃 =𝑉𝐹
(1 + 𝑖)𝑛
Cálculo de la tasa de interés cuando se tiene un valor presente y un valor futuro.
𝑖 = (𝑣. ƒ
𝑣. 𝑝)(1𝑛)
Cálculo del tiempo cuando se tiene un valor presente y un valor futuro.
𝑛 =𝐿𝑛 (
𝑉𝐹𝑉𝑃)
𝐿𝑛 (1 + 𝑖)
NOTA: Es indiferente el tipo de logaritmo, puede ser el logaritmo natural o el base cero.
121
CAPÍTULO 4
ANUALIDADES
JUSTIFICACIÓN
En el desarrollo de la vida, las personas requieren con cierta frecuencia utilizar créditos o
financiamiento en la compra de bienes para el hogar, o en la actividad productiva o
comercial que desarrollan como medio económico de subsistencia o para el
financiamiento de un servicio que le posibilitará su existencia o una mejor calidad de vida
ya sea un viaje, una cirugía o la matrícula de estudios.
Por los motivos expuestos es preciso que estudiemos este capítulo donde podremos
entender el procedimiento utilizado en las entidades financieras para determinar el valor
de las cuotas de los pagos que se deberán hacer para cancelar un préstamo que nos ha sido
otorgado para satisfacer nuestras necesidades, cuando no contamos con los recursos
suficientes para adquirir los bienes o servicios de contado.
Estos pagos de las cuotas del préstamo tienen la característica de ser iguales para todos
los períodos de tiempo ya sean meses o años.
MI OBJETIVO GENERAL
Debo comprender los procedimientos utilizados por las entidades financieras para
calcular o encontrar el valor equivalente en una serie uniforme periódica a un valor
presente o futuro.
MIS OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Debo desarrollar fuertes competencias para:
Apropiarme con claridad la noción de anualidad
Adquirir el dominio sobre los conceptos de clasificación de las anualidades.
Comprender el cálculo de las anualidades con un valor presente o un valor futuro;
de manera que me permita demostrarlo y aplicarlo o en otros casos revisarlo e
interpretarlo.
122
Determinar el valor presente y futuro a partir de la anualidad.
Conocer el tiempo que se demora en gastar una persona unos recursos (ahorros),
proyectando gastos fijos periódicos.
Saber el tiempo que requiere un ahorrador para alcanzar determinada suma de
dinero en un tiempo futuro.
Calcular con precisión el interés que gana un ahorrador o que se cobra en una
financiación.
Comprender el concepto de anualidad diferida y perpetua.
Desarrollar destreza y habilidad en el uso de las fórmulas, tablas financieras,
calculadoras Hewlett Packard, Casio Fc 200 y la hoja electrónica EXCEL para los
cálculos del valor equivalente en una serie uniforme periódica a un valor presente
o futuro.
CONDUCTA DE ENTRADA
Antes de iniciar mi proceso de aprendizaje debo conocer como están mis conocimientos y
qué me obligo a reforzar para abordar este nuevo e importante tema de las finanzas.
Identificar mis deficiencias me dará la oportunidad de superarlas con un pequeño repaso.
Responderé estas preguntas y reflexionaré sobre lo aprendido.
Si fortalezco mis conocimientos y elimino mis deficiencias, podré disfrutar del dominio de
la teoría en este campo.
1. Puedo diagramar un flujo de caja y señale la ubicación del VP y el VF, mostrando como
un ingreso el VP y como egreso el VF.
2. Que variable es la que pudo haber afectado el ahorro de una misma cantidad de dinero
en dos entidades diferentes, pero que en la entidad A alcanzó un mayor valor que B, si
el tiempo fue el mismo.
3. En qué entidad alcanzará un mayor valor sus ahorros, la que paga el 2% mes
anticipado o el 2% mes vencido ¿por qué?
4. En cuánto tiempo se triplica una cantidad de dinero si la entidad financiera reconoce el
30% anual.
5. Cuál será el interés pagado a un inversionista si en dos años duplicó el valor invertido
inicialmente.
123
4.1 SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES
Anualidad:
Se entiende por anualidad a un método utilizado por las personas ya sea para ahorrar o
retirar una cantidad igual de dinero durante un determinado tiempo. En el flujo de caja se
muestra como una serie de entradas o salidas de dinero iguales y periódicos. El concepto
anualidad indica que los pagos son periódicos y no cada año. Los períodos pueden ser
diarios, quincenales, mensuales, bimestrales, trimestrales, semestrales, entre otros.
CARACTERÍSTICAS:
Para que una serie de pagos se considere anualidad cumple con las siguientes condiciones:
Los pagos son iguales.
El período de los pagos son iguales.
El número de pagos es igual al número de períodos.
En el período se cobra igual tasa de interés.
CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES.
La anualidad se divide en vencida, anticipada, diferida y perpetua de acuerdo en el
momento en que se efectúe el pago.
Anualidades Vencidas: Las anualidades vencidas son aquellas en las que el pago se
hace al final del período. Ejemplo: Salario de un trabajador.
Anualidades Anticipadas: Se dice que hay anualidad anticipada cuando se efectúan
los pagos al principio del período, el ejemplo típico es el pago de arrendamiento.
Anualidad Diferida: Se denomina así, aquella anualidad en la que el primer pago se
efectúa algunos períodos después de haber concretado o proyectado iniciar la
transacción financiera.
Anualidad Perpetua: Se denomina anualidad perpetua, al flujo de caja que por la
característica del proyecto no existe un último pago.
124
4.2. ANUALIDADES VENCIDAS:
VALOR PRESENTE
Se denomina valor presente de una anualidad, a la sumatoria de los valores que la
conforman, traídos a un período antes del primer ingreso o pago.
En los casos de la vida real ejemplos de valor presente de una anualidad, es el monto
solicitado o entregado de un crédito, o el precio de contado de un bien.
0
VP
1 2 3 4 5 6
A
FÓRMULA:
La fórmula para calcular el valor presente es la siguiente:
𝑉𝑃 = [(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖(1 + 𝑖)𝑛]
VP: En las anualidades el VP puede ser el precio de un bien que se va a financiar, se puede
definir como la cantidad de dinero que se va a diferir en pagos iguales, su ubicación es un
período antes de la primera cuota.
i: Es la tasa de interés de financiación, debe ser congruente con el período de las
anualidades, por ejemplo, si los períodos son bimestrales, la tasa de interés debe ser
bimestral.
n: Es el número de cuotas que conforman la serie.
A: Es el valor de cada cuota.
EJEMPLO 4.1:
Cuál es el precio de contado de un electrodoméstico si financiado a 6 meses en cuotas
iguales, con un interés del 2%, se paga $250.000= por cuota.
VP 6
$250.000=
125
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se quiere determinar el precio de compra del electrodoméstico si se tuviesen los recursos
para pagarlo de contado, dado que se conoce el número y valor de las cuotas, así como la
tasa de financiación.
PREGUNTA
Se va a calcular un VP
UBICACIÓN INCÓGNITA
La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
A= 250.000
n= 6
i = 2 %
VP =?
PROCEDIMIENTO
En este ejercicio, simplemente se reemplaza en la fórmula y se despeja el valor presente.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
Se aplica la fórmula, y se reemplaza cada una de las variables:
𝑉𝑃 = 250.000 [(1+0,02)6−1
0,02(1+0,02)6] = 1.400.357,7
RESPUESTA
El precio de contado del electrodoméstico es de $1.400.357,7.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Determine el valor del crédito que le pueden aprobar si usted le comentó al asesor
comercial que su capacidad de pago es de $350.000 mensuales, teniendo en cuenta
que la tasa de interés es del 2,4% mes y el plazo es de dieciocho meses.
De cuánto debe ser el precio de un T.V. que usted compra si el plazo de
financiación es de 12 meses y su capacidad de pago es de $200.000 de cuota inicial
126
y mensual de $60.000. El proveedor cobra una tasa de financiación del 2,5%
mensual.
CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CON EL VALOR PRESENTE
El cálculo de la anualidad cuando se tiene un valor presente es de gran utilidad en el
campo financiero, dado que se utiliza en determinar las cuotas de financiación de créditos
ya sea de dinero, de vivienda o de electrodomésticos principalmente, también es muy
utilizado por los fondos de pensiones porque de acuerdo al valor aportado durante la vida
laboral, la persona podrá gozar de cierto nivel de jubilación mensual.
FÓRMULA:
𝐴 =𝑉𝑃
[(1 + 𝑖)𝑛 − 1𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 ]
EJEMPLO 4.2:
Calcule el valor de las cuotas si se financia un electrodoméstico a seis meses, su precio de
contado es de $1.000.000, y de cuota inicial se paga el 20%.
El interés es del 2 % mensual.
1.000.000
1 2 3 4 5 6
200.000 A=Incógnita
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se quiere determinar el valor a pagar por cada una de las seis cuotas para cancelar el
electrodoméstico, cuyo precio de contado es de $1.000.000= y se paga de cuota inicial
$200.000, con un interés del 2% mensual.
127
PREGUNTA
Se va a calcular A
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita se encuentra ubicada en los períodos uno al seis.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP= 1.000.000
C.I = 200.000
n= 6
i= 2 %
A =?
PROCEDIMIENTO
En este ejercicio, se descuenta al valor de contado, la cuota inicial y se reemplaza en la
fórmula para calcular A.
PASOS:
Para determinar la cuantía de las cuotas se calcula el saldo a financiar.
Al valor del electrodoméstico se le resta el pago de la cuota inicial. Al $1.000.000=
se le resta los $200.000=
Una vez se tiene el VP se procede a reemplazar en la fórmula.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
𝐴 =800.000
[(1 + 0,02)6 − 1
0,02 ∗ (1 + 0,02)6]
𝐴 = (800.000
5,60143)
A = $ 142.820,64
El valor de la cuota es de $142.820,64
128
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Cuál es el valor que usted debe pagar mensualmente si le aprueban un crédito por
$600.000 para cubrir en cinco meses, el costo del semestre en la universidad, la
tasa de interés es del 2% mes.
Usted compra a crédito una motocicleta cuyo precio de contado es de $5.000.000,
las condiciones en la financiación fueron: el 20% como cuota inicial, plazo 24
meses y va a efectuar un abono extraordinario en el mes doce por $1.000.000.
Determine el valor de cada cuota si el interés de financiación es del 2,5% mes.
FORMA DE CÁLCULO MEDIANTE EL USO DE LAS TABLAS.
Reemplazando las dos fórmulas anteriores, cuando se hace uso de las tablas, se deben
buscar los factores, que permitan calcular el VP cuando se tienen las anualidades o las
anualidades cuando se conoce el VP.
Los factores y su uso para encontrar el VP y la A. Las denominaciones establecidas para
estos dos factores son (P/A, i%, n), que haciendo una mejor explicación, se dice que
teniendo una anualidad se va a calcular un VP. Y (A/P, i%, n) que se ilustra indicando que
se va a calcular la A, teniendo un valor presente.
Al final del libro se presentan estas tablas.
EJEMPLOS:
Se efectuarán los mismos ejemplos realizados con las fórmulas:
Para el primer ejemplo, se busca el factor que se encuentra en la tabla donde el interés es
del 2 %, se busca la columna, P/A, y la fila donde esta N = 6
El factor es 5,601431.
VP = 250.000* 5,601431.
VP = $1.400.357,7
Para el segundo ejemplo, el factor se encuentra en la misma tabla donde el interés es del
2%, se busca en la columna A/P, y en la fila donde N = 6
El factor es 0,178526
A = 800.000*0,178526
A = $142.820,8
129
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA
H.P.19 BII
Para resolver problemas de anualidades vencidas utilizando la calculadora HP, se deben
seguir los siguientes pasos:
Si está situado en el menú principal (MAIN), presione FIN y después VDT. El menú VDT
(Valor del Dinero en el Tiempo) se utiliza para resolver problemas de interés compuesto y
anualidades.
En el menú primario aparece el elemento PAGO. Este almacena o calcula la anualidad o
pago periódico. En el menú secundario se muestra el elemento FINAL, el cual se utiliza
para el cálculo de anualidades vencidas u ordinarias.
Recuerde que al utilizar el menú VDT es necesario que las cantidades monetarias sean
ingresadas con el signo adecuado, + (más) o - (menos), de acuerdo con la siguiente
convención de signos: dinero recibido se ingresa o se presenta en pantalla como un valor
positivo, mientras que el dinero pagado se ingresa o se presenta en pantalla como un valor
negativo.
CASIO FC 200
Para efectuar cálculos con anualidades en la Casio Fc 200 se requiere de la tecla PMT. Es
importante conocer si se está trabajando con anualidades vencidas o anticipadas, cuando
se conoce que son anticipadas, se utiliza el menú BGN el cual se activa como segunda
función de MODE, para lo cual se digita SHIFT MODE.
Los pasos para desarrollar los ejemplos 4.1 y 4.2 son los siguientes:
CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II
FIN
VDT
CLEAR DATA
250000 +/- PAGO
2% IA
6 N
VA
MODE 4
SHIFT AC EXE AC
-250000 PMT
2 i%
6 n
COMP PV EXE
6 N
2 I/Y
250000 +/- PMT
CPT PV
El valor del electrodoméstico es de $1.400.357,72
130
CÁLCULO DE LA ANUALIDAD
Para calcular el valor de la cuota del ejercicio modelo, solamente se le va a modificar el
interés.
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II
FIN
VDT
CLEAR DATA
800000 +/- VA
2% IA
6 N
PAGO
MODE 4
SHIFT AC EXE AC
-800000 PMT
2 i%
6 n
COMP PMT EXE
6 N
800000 +/- PV
2 I/Y
CPT PMT
El Valor de la cuota es de $142.820,64
APLICACIÓN EN EXCEL.
Para el desarrollo del ejercicio con Excel se le modificó la tasa al 2,5% Mes.
VALOR PRESENTE
Los pasos en la hoja de cálculo son:
FÓRMULAS
INSERTAR FUNCIÓN
FINANCIERAS
VA(Devuelve el valor presente de una inversión)
Tasa 2,5%
Nper 6
Pago 250.000
Vf
Tipo
131
Resultado: $1.377.031,34
El precio de contado del electrodoméstico es de $1.377.031,34
CÁLCULO DE LA ANUALIDAD
Los pasos a seguir en la hoja de cálculo es el siguiente:
FÓRMULAS
132
INSERTAR FUNCIÓN
FINANCIERAS
PAGO
Una vez en la función Pago se digita:
Tasa de interés, número de Períodos y el valor actual (presente).
133
El valor de la cuota con un interés del 2,5% mensual es de $145.239,97
VALOR FUTURO
El valor futuro de una anualidad es la sumatoria de la serie de pagos o retiros uniformes,
llevados a una fecha posterior o a la fecha del último pago o retiro.
Al igual que en el caso anterior es utilizado por los fondos de pensiones para determinar el
nivel de ahorro durante la vida laboral.
1 2 3 4 5 6
VF
0
FÓRMULA:
𝑉𝐹 = 𝐴 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖]
VF: Es la sumatoria de los pagos que conforman la serie llevados al momento del último
pago.
A: Es el valor de cada cuota
i: La tasa de interés de la serie, recordemos que se debe expresar de acuerdo al período.
n: Número de cuotas que conforman la serie.
EJEMPLO 4.3:
Durante 6 meses se hacen depósitos por mes vencido de $ 120.000 cada uno, en una
institución de ahorro que paga un interés del 3,0% mensual.
Calcular la suma total acumulada al final del período.
FLUJO DE CAJA
V.F
1 2 3 4 5 60
$120.000=
134
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se quiere determinar el total ahorrado en los seis meses con los intereses que ganaba este
dinero.
PREGUNTA
Se va a calcular un VF
UBICACIÓN INCÓGNITA
La incógnita se encuentra ubicada en el mes seis (6).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
n (meses) = 6
A = 120.000
i mes = 3%
VF =?
PROCEDIMIENTO
En este ejercicio, simplemente se reemplaza en la fórmula y se despeja el valor futuro.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
𝑉𝐹 = 120.000 [(1 + 0,03)6 − 1
0,03]
VF = $776.209,18
RESPUESTA
El valor acumulado al final del 6 mes es de $776.209,18
CÁLCULO CON LAS TABLAS FINANCIERAS
Al igual que los casos anteriores, el factor se busca en la terminología (F/A, i, N), teniendo
el monto de la anualidad se va a calcular el valor futuro.
Ejemplo:
Para dar respuesta al ejemplo modelo, se busca en la tabla donde el interés es del 3%, en la
columna de F/A, y en el renglón donde N= 6.
El factor es 6,468410.
Se multiplica $ 120.000* 6,468410= $776.209,2
135
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA
Para la aplicación en la calculadora y en Excel se realiza el mismo ejercicio pero con la tasa
del 2,5%.
El procedimiento es muy similar solamente cambia en el último factor.
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II
FIN
VDT
CLEAR DATA
120000 +/- PAGO
2,5% IA
6 N
VF
MODE 4
SHIFT AC EXE AC
-120000 PMT
2,5 i%
6 n
COMP FV EXE
6 N
120000 +/- PMT
2,5 I/Y
CPT FV
El valor obtenido es de $766.528,4 es importante recordar que la tasa de interés es
diferente.
APLICACIÓN EN EXCEL.
Aquí se aplica el mismo procedimiento anterior pero se modifica la última función, siendo
para este caso, VF.
136
La respuesta es la misma que se obtuvo con la calculadora financiera, $766.528,4 es el
saldo acumulado al final del sexto mes.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Cuál es el saldo que usted tiene en una cuenta de ahorros después de seis meses, si
consigna periódicamente el 20% de su salario, su salario es de $1.000.000 y la
entidad financiera reconoce una tasa de interés del 2% mes.
Determine el saldo de una cuenta de ahorro si usted durante los seis meses que
estuvo laborando ahorró $600.000 mensuales, y a partir de allí han transcurrido
seis meses en los que retira mensualmente $400.000. El interés que reconoce la
institución financiera es del 1,1% mes.
CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CON EL VALOR FUTURO
Conociendo el valor futuro y queriendo determinar el monto del pago, se modifica la
incógnita, se busca la anualidad.
Se aplica cuando teniendo un saldo se quiere determinar el valor ahorrado
periódicamente, o cuando se proyecta tener una suma en determinado tiempo cuál debe
ser el ahorro periódico.
FÓRMULA:
137
𝐴 = 𝑉𝐹 ∗ 𝑖
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
EJEMPLO 4.4:
Su hermano ahorró una determinada cantidad igual de dinero mensualmente durante 4
meses en una entidad financiera que reconocía el 1% mensual, si al finalizar el 4 mes su
saldo es de $900.000= cuánto es el valor de lo consignado en cada período.
FLUJO DE CAJA
1 2 3 40
900.000
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio, se busca determinar el valor consignado en cada período porque se
conoce el total ahorrado en los cuatro meses.
PREGUNTA
La anualidad.
UBICACIÓN INCÓGNITA
Las consignaciones se hicieron en los períodos uno al cuatro.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN:
VF = $900.000
i (MES) = 1%
n = 4
A =?
PROCEDIMIENTO
El único procedimiento es reemplazar en la fórmula
𝐴 =900.000∗0,01
(1+0,001)4− 1 =>$221.652, 98
RESPUESTA:
Su hermano ha consignado mensualmente $221.652,98
138
APLICACIÓN CON LAS TABLAS FINANCIERAS
Como la incógnita es A, entonces para buscar el factor se debe buscar la siguiente
nomenclatura (A/F, i %, N). Conociendo el valor futuro se requiere calcular A.
Se busca en la tabla donde el interés es del 1%, la columna donde se encuentra (A/F), la
fila correspondiente a N = 4, obteniéndose 0,246281.
Para obtener el resultado se procede a multiplicar el valor futuro por el factor.
A = 900.000 * 0,246281 => $221.652,9
Se obtuvo el mismo resultado de $221.652,9.
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA
Recordemos que el ejercicio modelo se modifica en la tasa de interés para comparar sólo
dos formas y mirar cómo se modifica la respuesta al cambiar la tasa.
El proceso es el siguiente:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 900000 VF 1,5% IA 4 N PAGO
MODE 4 SHIFT AC EXE AC 900000 FV 1,5 i% 4 n COMP PMT EXE
900000 +/- FV 1,5 I/Y 4 N CPT PMT
El valor consignado mensualmente es de $220.000=
APLICACIÓN EN EXCEL
Se utiliza la función PAGO.
139
Al ser la tasa del 1,5% mensual, su hermano ha consignado periódicamente $220.000=
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Si su padre requiere para pagar el semestre $700.000, Cuánto debe ahorrar
mensualmente si dentro de seis meses debe efectuar dicho pago. La entidad
financiera le paga un interés del 15% anual mes vencido.
140
Un empleado cobra sus comisiones de venta semestralmente, si al finalizar el
primer semestre recibió $2.000.000 determine el valor de las comisiones
mensuales si la empresa reconoce un interés del 15% semestral.
CÁLCULO DEL SALDO
La anualidad ha sido el procedimiento de financiación con un alto índice de utilización, de
ahí la necesidad de conocer en un momento dado el valor del saldo de la deuda.
Para calcular el saldo, sólo se procede a calcular el VP de las cuotas que faltan por cancelar,
descontadas por la misma tasa de interés.
EJEMPLO 4.5:
Su mejor amiga adquirió una motocicleta cuyo precio de contado hace un año era de
$5.000.000, se la financiaron de la siguiente forma: 20% de cuota inicial y el saldo a 36 cuotas,
con un interés del 2,5% mensual. Ella quiere que usted le ayude a calcular el valor de la deuda
después de un año de pago cumplido.
FLUJO DE CAJA
12
5.000.000
1.000.000
24 36
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio, se busca determinar el valor del saldo después de haber pagado doce
cuotas del monto del crédito, pero antes se debe calcular la cuantía de las cuotas.
PREGUNTA
Se busca determinar la anualidad y el saldo faltando dos años para finalizar el pago del
crédito.
UBICACIÓN INCÓGNITA
Inicialmente es el valor de la cuota y después en el período doce.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN:
VP = $4.000.000
i (MES) = 2,5%
141
n = 36
A =?
SALDO12=?
PROCEDIMIENTO
El procedimiento inicial es reemplazar en la fórmula para calcular la anualidad
cuando se conoce el valor presente.
Se reemplaza en la fórmula:
𝐴 = 4.000.000
[(1 + 0,025)36 − 1
0,025 ∗ (1 + 0,025)36]
A = $169.806,3
La cuota mensual que está pagando su amiga es de $169.806,3
Conociendo el monto de la cuota se procede a calcular el valor presente, teniendo
en cuenta que faltan por cancelar veinticuatro cuotas.
Se reemplaza en la fórmula del cálculo del VP cuando se conoce la anualidad.
VP=169.806,3 [(1+0,025)24−1
0,025(1+0,025)24]
VP = $3.036.983,27
El valor de la deuda faltando dos años para terminar de pagar el crédito es de
$3.036.983,27.
CÁLCULO DEL NÚMERO DE CUOTAS
Cuando se va a estimar el número de cuotas se hace referencia al número de
consignaciones iguales realizadas para alcanzar determinado saldo, o el número de cuotas
en que se financia determinado crédito.
CON UN VALOR PRESENTE
La fórmula para el cálculo de n, sería la siguiente:
142
𝑛 =
𝐿𝑂𝐺 [1
1 − 𝑣𝑝 ∗ 𝑖
𝑎
]
𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖)
Es indiferente el tipo de logaritmo a utilizar, lo importante es emplear el mismo logaritmo
en el numerador como en el denominador.
EJEMPLO 4.6:
Determine el número de cuotas en que se financió un televisor cuyo valor de contado es de
$2.500.000= y no exigen cuota inicial, el monto de la cuota mensual es de $250.000 y el
interés de financiación es del 3% mensual.
FLUJO DE CAJA
$2.500.000
0 1 2 3 n
250.000
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se conoce el valor de contado del electrodoméstico y la cuantía de las
cuotas mensuales, se requiere saber el tiempo de financiación.
PREGUNTA
La incógnita es n
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada al final del flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP = 2.500.000
A = 250.000
143
i = 3%
n = ?
PROCEDIMIENTO
Para estos ejercicios el único procedimiento es reemplazar en la fórmula.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
𝑛 =
𝐿𝑂𝐺 [1
1 − 2.500.000 ∗ 0,03
250.000
]
𝐿𝑂𝐺 (1 + 0,03)
𝑛 = 𝐿𝑂𝐺 1,428571429
𝐿𝑂𝐺 1,03
𝑛 = 0,15490196
0,012837224
N = 12
RESPUESTA
El período de financiación del televisor es de 12 meses.
NOTA: No se va a explicar con las tablas, dado que no es muy práctico, porque se debe dar
el factor para buscar n.
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA
El proceso es el siguiente:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 2500000 VA 3% IA 250000 +/- PAGO N
MODE 4 SHIFT AC EXE AC 2500000 PV 3 i% -250000 PMT COMP n
2500000 PV 250000 +/- PMT 3 I/Y CPT N
La respuesta es al igual que en la fórmula 12 meses.
144
APLICACIÓN EN EXCEL
Como la función a determinar es n, en Excel se conoce como NPER, es importante que
cualquiera de las variables ya sea el valor presente o la cuota debe digitarse con signo
negativo, para el ejemplo se señalará la cuota.
Se asignan los diferentes valores, para cada una de las variables, Tasa, Pago, Va, se deja en
blanco la de valor futuro.
145
El tiempo de financiación es de 12 meses.
CON UN VALOR FUTURO
Al igual que para el valor presente, se despeja el valor de n, con la fórmula de valor futuro
y anualidad.
Con fórmula:
𝑛 =𝐿𝑂𝐺 [
𝑉𝐹 ∗ 𝑖𝐴
+ 1]
𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖)
EJEMPLO 4.7:
Si usted desea comprar una motocicleta cuyo valor durante este año es de $6.000.000=, y
mensualmente puede ahorrar $600.000, para este propósito en cuánto tiempo puede
adquirirla, si el interés es del 2% mensual.
FLUJO DE CAJA
6.000.000
0 1 2 3 n
600.000
4
146
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca calcular en cuanto tiempo la persona puede reunir los recursos
necesarios para adquirir la motocicleta.
PREGUNTA
La incógnita es n
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada al final del flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN:
VF = 6.000.000
A = 600.000
i(mes) = 2%
n(mes) = ?
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
𝑛 =𝐿𝑂𝐺 (
6.000.000 ∗ 0,02600.000 + 1)
𝐿𝑂𝐺 (1 + 0,02)
𝑛 =𝐿𝑂𝐺 1,2
𝐿𝑂𝐺 1,02
𝑛 =0,079181246
0,00860017176
n = 9,2 meses
RESPUESTA
Se demoraría en tener el dinero requerido para comprar la motocicleta 9,2 meses.
147
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 6000000 VF 2% IA 600000 +/- PAGO N
MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6000000 FV 3 i% -600000 PMT COMP n
6000000 FV 600000 +/- PMT 2 I/Y CPT N
La incógnita sigue siendo N, pero ahora el valor dado es la cuota y el valor futuro.
El número de períodos esperado es 9,2 meses.
APLICACIÓN EN EXCEL
Al igual que en el ejercicio anterior, la función que permite conocer el número de períodos
en la hoja electrónica es NPER, pero aquí se le asigna la cifra al valor futuro y no al valor
actual.
Al valor actual se le digita cero, y la cuota se digita con valor negativo.
148
El resultado obtenido es: para comprar la motocicleta debe esperar 9,2 meses.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Su proyecto para este año es comprar un computador portátil cuyo valor es de
$3.500.000, y se lo sostienen hasta el 31 de diciembre.
Usted cuenta al iniciar el año con $1.000.000, y puede ahorrar $200.000 cada mes,
si el dinero le renta el 1,2% mes, ¿Usted puede comprar el computador este año?
Una entidad de servicio público financia una factura debido a que el suscriptor
ante el alto consumo registrado en un período y su situación de iliquidez requiere
de financiación. Dado que el valor del recibo es de $5.000.000, en cuánto tiempo le
deben diferir la deuda si la capacidad de pago máxima es de $500.000 mensuales y
como cuota inicial puede pagar $1.000.000, la tasa de financiación es del 30%
anual mes vencido.
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS
Para evaluar las opciones de financiación el factor determinante es la tasa de interés de las
diferentes opciones, en esta parte se aprenderá a conocer la tasa de interés cuando se
conocen el monto de las cuotas, el período de financiación y el valor presente o futuro.
149
CUANDO SE TIENE UN VALOR PRESENTE
Para estimar la tasa de interés mediante la fórmula no existe una forma directa, dado que
es complejo despejar la variable i, por lo tanto se acude al método de interpolación, el cual
se explicará con el ejemplo modelo:
EJEMPLO 4.8:
Se financia un computador, cuyo valor de contado es de $2.000.000= en 6 cuotas
mensuales de $355.850, calcular el interés de financiación.
Las variables serían las siguientes:
FLUJO DE CAJA
$2.000.000=
0 1 2 3
355.850
4 5 6
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el valor de contado del
computador, el número de cuotas financiadas y su cuantía.
PREGUNTA
La incógnita es i.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP = $2.000.000
A = $ 355.850
n(mes) = 6
i(mes) = ?
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA:
La fórmula quedaría así:
150
2.000.000 = 355.850 ∗ ((1 + 𝑖)6 − 1
𝑖(1 + 𝑖)6)
PROCEDIMIENTO:
Se empiezan a probar diversas tasas hasta encontrar que el resultado de la fórmula
con el valor asignado a i, multiplicado con $355.850 dé los $2.000.000=
Cómo encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante
tiempo, entonces se busca una tasa que estando cerca, su resultado este por
encima de los $2.000.000= y otra que igualmente estando cerca su resultado este
por debajo de los $2.000.000=, para que mediante la interpolación se encuentre el
valor exacto.
Se va a iniciar la prueba con el 2%.
El resultado es de $1.993.269,18
Como el resultado obtenido es inferior a $2.000.000=, se debe bajar la tasa de
interés para que suba, dado que a menor tasa de descuento el valor presente es
mayor.
Se va a experimentar con el 1,8%
El resultado obtenido es $2.006.792,86
Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma:
2% 1.993.269,18
X % 2.000.000
1,8% 2.006.792,86
Con el 2%, se obtiene un valor presente menor a $2.000.000, y con el 1,8% un valor
superior, esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1,8% y el 2% mensual.
La forma más fácil de recordar siempre el método de interpolación es relacionar los
rangos de ambos lados, tanto los del interés como el valor absoluto:
(𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠) = (
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠)
Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales:
(0,02 − 0,018
0,02 − 𝑋) = (
1.993.269,18 − 2.006.792,86
1.993.269,18 − 2.000.000)
151
(0,002
0,02−𝑋) = (
− 13.523,68
− 6.730,82)
0,002
0,02−𝑋= 2 Pasa el denominador (0,02-X) a multiplicar a 2
Queda así: 0,002 = 2*(0,02- X)
Pasa el dos como denominador de 0,002.
= 0.02 - X 0,001 = 0,02 -X
Se pasa X a sumar
X + 0,001= 0,02
Se despeja X X = 0,02-0,001
X = 0,019
RESPUESTA
La tasa de financiación del computador es del 1,9% mensual.
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA.
Para realizar el cálculo con la calculadora financiera el proceso es muchísimo más ágil,
sólo se le incluyen las variables de la siguiente forma:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 2000000 VP 355850 +/- PAGO 6 N % IA
MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6000000 PV -355850 PMT 6n COMP i% EXE
2000000 PV 355850 +/- PMT 6 N CPT I/Y
El resultado obtenido debe ser el 1,9% mensual.
APLICACIÓN EN EXCEL
La incógnita es el interés, en Excel se trabaja con la función TASA. Una vez en la función
tasa se procede a incluir el número de períodos, el pago y el valor actual, uno de estos dos
últimas cifras debe ir con signo negativo.
152
Se confirma el resultado dado del 1,9% mes.
CUANDO SE TIENE UN VALOR FUTURO.
Para calcular el interés cuando se conoce el monto de las cuotas y el valor futuro, se utiliza
un procedimiento similar, simplemente se cambia la fórmula.
𝑉𝐹 = 𝐴 [(1+𝑖 )𝑛−1
𝑖]
153
EJEMPLO 4.9:
Si deposito $321.046 mensualmente, y a los seis meses puedo retirar de la cuenta
$2.000.000, cuál es el valor de la tasa de interés que me reconoce la entidad financiera.
FLUJO DE CAJA
2.000.000
0 1 2 3
321.046
4 5 6
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el valor ahorrado, el
número de consignaciones y su cuantía.
PREGUNTA
La incógnita es i.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser el interés la incógnita, está en el total del flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VF = 2.000.000
A = 321.046
n = 6
i = ?
SE REEMPLAZA EN LA FÓRMULA:
2.000.000 = 321.046 ∗ [(1 + 𝑖 )6 − 1
𝑖]
PROCEDIMIENTO:
Se empieza a probar diversas tasas para buscar que el resultado de la fórmula con
el valor asignado a i, multiplicado con $321.046 de los $2.000.000=
154
Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante
tiempo, entonces se busca una tasa que su resultado esté por encima de los
$2.000.000= y otra que igualmente su resultado esté por debajo de los
$2.000.000=, para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto.
Se va a iniciar la prueba con el 2%.
El resultado es de $2.025.197.
Como el resultado obtenido es superior a $2.000.000=, se debe bajar la tasa de
interés para que disminuya, dado que a menor tasa de descuento el valor futuro es
inferior.
Se va a experimentar con el 1 %
El resultado obtenido es $1.975.079,8
Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma:
2% 2.025.197
X % 2.000.000
1 % 1.975.079,8
Con el 2%, se obtiene un valor futuro mayor a $2.000.000, y con el 1 % un monto inferior,
esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1 % y el 2% mensual.
Recordando el método de interpolación, relacionando los rangos de ambos lados, tanto los
del interés como el valor absoluto:
(𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠) = (
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠)
Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales:
(0,02−0,01
0,02−𝑋) = (
2.025.197−1.975.079,8
2.025.197−2.000.000)
0,01
0,02 − 𝑋=
50.117,2
25.197
0,01
0,02−𝑋= 1,989 Pasa el denominador (0,02-X) a multiplicar a 1,989
Quedando así: 0,01 = 1,989*(0,02- X)
Pasa el 1,989 como denominador
155
0,01
1,989 = 0.02 - X 0,005 = 0,02 -X
Se pasa X a sumar
X + 0,005= 0,02
Se despeja X X = 0,02-0,005
X = 0,015
La tasa de interés que paga la entidad financiera es del 1,5% mensual.
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA.
Para realizar el cálculo con la calculadora financiera el proceso se le incluyen las variables
de la siguiente forma:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 2000000 VF 321046 +/- PAGO 6 N % IA
MODE 4 SHIFT AC EXE AC 2000000 PV -321046 PMT 6n COMP i% EXE
2000000 PV 321046 +/- PMT 6 N CPT I/Y
El resultado obtenido debe ser el 1,5% mensual
APLICACIÓN EN EXCEL
La función que se va a utilizar es la función TASA.
156
El interés de financiación es del 1,5% mensual.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
La matrícula en la universidad tiene un valor de $1.000.000, y se la financian en
seis cuotas, determine el interés cobrado si cada cuota equivale a $184.597,5.
Usted piensa salir de vacaciones al finalizar el año, este viaje tiene un costo de
$10.000.000, determine la rentabilidad de su ahorro si puede lograr el propósito
consignando $673.194 mensualmente, durante todo el período.
157
4.3. ANUALIDADES ANTICIPADAS
VALOR PRESENTE
La fórmula para calcular el valor presente de una anualidad anticipada es igual a la
vencida pero multiplicándola por (1+ i).
En el gráfico del flujo de caja la diferencia radica en el momento del pago.
VP
0 1 2 3
A
4 5 6
La fórmula quedaría de la siguiente forma:
𝑃 = 𝐴(1 + 𝑖) [(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖(1 + 𝑖)𝑛]
EJEMPLO 4.10:
Determine el valor de un fondo cuyo propósito es el de pagar el arriendo mensual de un
local por 4 meses, cuyo costo mensual es de $200.000, las cuotas son anticipadas y el
interés es del 2% mensual.
FLUJO DE CAJA
VP
0 1 2 3
200.000
4
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el valor que se debe disponer para cubrir los cuatro meses de
arriendo.
PREGUNTA
158
La incógnita es el VP
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Está ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
A = 200.000
n = 4
i = 2 %
VP =
PROCEDIMIENTO
Se reemplaza en la fórmula.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA:
𝑃 = 200.000(1 + 0,02) [(1+0,02)4−1
0,02(1+0,02)4]
P = 776.776,65
RESPUESTA
Para cubrir el canon de arrendamiento en los 4 meses, el fondo debe tener $776.776,65
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H.P.19 B II
Para el cálculo del valor presente el proceso es similar, sólo se agrega después del
comando CLEAR DATA, el comando 1 PGOS/AÑO: MODO INIC.
CASIO FC 200
Recordemos que para las anualidades anticipadas, se debe digitar el comando BGN la cual
aparece como segunda función del comando MODE. En la pantalla debe aparecer la
palabra BGN.
El resultado obtenido es el mismo expuesto anteriormente $776.776,65
159
APLICACIÓN EN EXCEL
El comando para utilizar es el mismo VA, por esto sólo se mostrará el segundo cuadro
donde se le asigna 1 a la función tipo.
Se confirma el valor del fondo de $776.777
CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE.
Para calcular la cuantía de la cuota, se despeja en la fórmula indicada para el cálculo del
valor presente, el valor de A.
𝑨 =𝑽𝑷
(𝟏 + 𝒊) [(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊(𝟏 + 𝒊)𝒏 ]
EJEMPLO 4.11:
Se compra un electrodoméstico, cuyo precio es de $600.000, se financia en 6 cuotas
mensuales a una tasa del 2,5% mensual, las cuotas son anticipadas, determine el valor de
las cuotas.
160
$600.000
0 1 2 3
A = ?
4 5 6
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el valor de las cuotas, dado que se conoce el precio de contado del
electrodoméstico, el tiempo de financiación y la tasa de interés.
PREGUNTA
La incógnita es A
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Está ubicada en el período de la transacción.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP = 600.000
n = 6
i = 2,5%
A= ?
PROCEDIMIENTO
Se reemplaza en la fórmula
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA:
A =600.000
(1 + 0,025) [(1 + 0,025)6 − 10,025(1 + 0,025)6]
RESPUESTA:
El valor de cada una de las cuotas para adquirir el electrodoméstico es de $106.273.
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA
El procedimiento es el siguiente:
161
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 600000 VA 2,5%IA 6N PAGO
MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN 600000 PV 2,5i% 6n COMP PV EXE
600000 +/- PV 6N 2,5 I/Y CPT PMT 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT PMT
El resultado es de $106.273.
APLICACIÓN EN EXCEL
Aquí se trabaja con la función pago, la única diferencia cuando la anualidad es vencida,
está en la función tipo, por esto sólo se presenta el segundo cuadro.
El resultado obtenido al igual que con los otros métodos el valor es de $106.273
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Se toma en arriendo un local comercial, dado la imposibilidad de conseguir
codeudores se tomó la decisión de cancelar un semestre por anticipado, determine
el canon del arriendo mensual si el valor del pago por el semestre fue de
$6.000.000, la tasa de interés del 2% mes.
Usted arrienda un apartamento y estos ingresos los dedica para la financiación del
estudio de su hijo, si el apartamento lleva arrendado 18 meses, durante el primer
162
año el canon de arrendamiento era de $350.000 y a partir del año aumentó en el
6%, cuánto tiene ahorrado a la fecha, si la entidad financiera reconoce el 2,2% mes.
VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA.
El valor futuro de una anualidad anticipada difiere con el de la vencida, porque esté en el
flujo de caja ya no está sobre la última anualidad sino un período después, e igualmente en
la fórmula se le adiciona a la fórmula de anualidad vencida la multiplicación por (1+ i).
0 1 2 3
En este flujo de caja el valor de n es 3, pero el valor futuro de esta anualidad está en el
período 3, a pesar de que el último pago se ubica en el período 2, por ser anualidad
anticipada.
FÓRMULA
𝑭 = 𝑨 [(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊] (𝟏 + 𝒊)
EJEMPLO 4.12 :
Usted arrienda su apartamento en $400.000 mensuales, y consigna su ingreso en una
cuenta de ahorros en una entidad financiera que le paga un interés del 1,5% mensual, si su
propósito es ahorrar para disfrutar de unas vacaciones dentro de 6 meses, ¿De cuánto
dinero puede disponer?
0 1 2 3
400.000
4 5 6
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el monto ahorrado en el mes seis (6), dado que se conoce el valor
consignado mensualmente y el número de cuotas.
PREGUNTA
La incógnita es VF.
163
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser el VF la incógnita está en el mes seis (6).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se le asignan los valores a las variables:
A = 400.000
n = 6
i = 1,5%
VF =?
PROCEDIMIENTO
Se reemplaza en la fórmula de VF.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
F = 400.000 ∗ [(1 + 0,015)6 − 1
0,015] ∗ (1 + 0,015)
VF = 2.529.197,67
RESPUESTA
Para disfrutar de sus vacaciones usted puede disponer de $2.529.197,67
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA
El procedimiento es el siguiente:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 400000 +/- PAGO 1,5%IA 4N VF
MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN -400000 PMT 1,5i% 4n COMP PV EXE
400000 +/- PMT 6 N 1,5 I/Y CPT FV 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT FV
El resultado es de $2.529.197,67
APLICACIÓN EN EXCEL
La función que se utiliza es la de VF
164
Se confirma el resultado de $2.529.197,67
CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CUANDO SE CONOCE EL VALOR FUTURO
Para el cálculo de la anualidad sólo se realiza el despeje de la fórmula y el procedimiento
es el siguiente:
𝑨 =𝑽𝑭
(𝟏 + 𝒊) [(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊 ]
EJEMPLO 4.13:
Se arrendó un apartamento por un año, el dueño del apartamento ahorraba mensualmente
el valor del arriendo, si al finalizar el año disponía de $8.000.000, determine la cuantía que
recibía mensualmente por el arriendo si el interés era del 9% trimestral mes vencido.
0 1 2 3
A
4 5 6 7 8 9 10 11 12
8.000.000
165
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el valor consignado mensualmente para que en el mes doce (12), se
tengan $8.000.000.
PREGUNTA
La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita es el valor de cada una de las consignaciones.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se le asignan los valores a las variables:
A =?
n = 12
i = 3%
VF = 8.000.000
PROCEDIMIENTO
Se reemplaza en la fórmula de cálculo de la anualidad anticipada si se conoce el valor
futuro.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
A =8.000.000
(1 + 0,03) [(1 + 0,03)12 − 1
0,03]
A = 547.278
RESPUESTA
El valor del arriendo mensual es de $547.278.
CÁLCULO DEL SALDO
El cálculo del saldo no es más que determinar el valor presente de las cuotas que faltan por
pagar.
166
DETERMINACIÓN DEL VALOR DE n
Cuando se va a estimar el número de cuotas, al igual que con las vencidas, se hace
referencia al número de consignaciones iguales realizadas para alcanzar determinado
saldo, o el número de cuotas en que se financia el crédito.
TENIENDO UN VALOR PRESENTE
La fórmula para el cálculo de n, sería la siguiente:
Se despeja el valor de n, basados en la fórmula de cálculo de valor presente cuando la
anualidad es anticipada.
𝒏 =
𝒍𝒐𝒈 [𝟏
𝟏 −𝒑 ∗ 𝒊
𝒂(𝟏 + 𝒊)
]
𝒍𝒐𝒈(𝟏 + 𝒊)
EJEMPLO 4.14:
Un crédito de $3.000.000 se financia con cuotas anticipadas de $401.498, si el interés es
del 2%, cuál es el número de cuotas que se deben cancelar.
401.498
0 1 2 3 4 N
$3.000.000
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el número de cuotas del crédito, dado que se conoce el monto del
préstamo, el valor de cada cuota y la tasa de interés.
PREGUNTA
La incógnita es n
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Está ubicada en el final del flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP = 3.000.000
167
A = 401.498
i = 2%
n = ?
PROCEDIMIENTO
Se reemplaza en la fórmula
𝑛 =
𝑙𝑜𝑔 [1
1 −3.000.000 ∗ 0,02
401.498(1 + 0,02)
]
𝑙𝑜𝑔(1 + 0,02)
𝑛 =𝐿𝑂𝐺 1.171660087
𝐿𝑂𝐺 1.02
RESPUESTA
El crédito se financió a 8 meses.
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA
El procedimiento es el siguiente:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 3000000 VA 2%IA 401498 +/-PAGO N
MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN -3000000 PV 2i% -401498 PMT COMP n EXE
3000000 PV 401498 +/- PMT 2 I/Y CPT N 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT N
El resultado obtenido es de 8 cuotas.
APLICACIÓN EN EXCEL
La función utilizada es NPER, la diferencia fundamental está en el submenú tipo, se le
asigna el valor de 1, por ser anualidades anticipadas.
168
El tiempo de financiación es de 8 meses.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Un inversionista del sector inmobiliario dedica el 30% de sus ingresos para la
construcción de un nuevo edificio, cuánto tiempo requiere para la terminación de
este si el proyecto tiene un valor de $300.000.000 y a su vez el recibe
mensualmente $80.000.000. La rentabilidad de su dinero es del 30% anual.
Un padre de familia decide enviar a estudiar a su hijo a otra ciudad, dada su
imposibilidad de viajar permanentemente toma la decisión de abonar
anticipadamente la pensión a la institución, si su pago fue de $2.000.000, para
cuánto tiempo le alcanza, si la matrícula tiene un valor de $400.000 y la
mensualidad de $300.000, el interés es del 9% trimestral.
TENIENDO UN VALOR FUTURO
CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS
La fórmula para despejar el valor de n es la siguiente:
𝑛 =𝐿𝑂𝐺 [
𝑉𝐹 ∗ 𝑖𝐴(1 + 𝑖)
+ 1 ]
𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖)
169
EJEMPLO 4.15:
Cuantas consignaciones mensuales anticipadas de $250.000= debo efectuar a partir de
hoy para poder reunir $5.000.000, si la entidad financiera me reconoce un interés mensual
del 1,5%
0 1 2 3
250.000
4 n
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el número de cuotas del crédito, dado que se conoce el valor que se
quiere ahorrar, la cuantía de cada consignación y la tasa de interés que reconoce la entidad
financiera.
PREGUNTA
La incógnita es n
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Está ubicada en el final del flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
A = 250.000
VF = 5.000.000
i = 1,5%
n =?
PROCEDIMIENTO
Se reemplaza en la fórmula
𝑛 =𝐿𝑂𝐺 [
5.000.000 ∗ 0,015250.000(1 + 0,015)
+ 1 ]
𝐿𝑂𝐺 (1 + 0,015)
𝑛 =0,11245971
0,006466==> 17,39
n = 17,39 consignaciones.
RESPUESTA
170
Debería efectuar 17,39 consignaciones de $250.000, para poder reunir los $5.000.000=.
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA
El procedimiento es el siguiente:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 5000000 VF 1,5%IA 250000 +/-PAGO N
MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN -5000000 FV 1,5i% -250000 PMT COMP n EXE
250000 +/- PAGO 5000000 FV 1,5 I/Y CPT N 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT N
APLICACIÓN EN EXCEL
En Excel se aplica la función NPER.
El número de consignaciones que debo realizar es de 17,39
171
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERES
Para determinar la tasa de interés se utiliza el procedimiento de prueba y error, y luego la
interpolación.
Con el siguiente ejemplo se explica la manera:
EJEMPLO 4.16:
Determinar el interés de financiación de un crédito de $5.000.000 a 8 meses con cuotas
mensuales anticipadas de $664.690.
0 1 2 3 4
$5.000.000
664.690
5 6 7 8
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el monto del crédito, el
número de cuotas a pagar y su valor.
PREGUNTA
La incógnita es i.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP = 5.000.000
A = 664.690
n = 8
i =?
Se reemplaza en la fórmula:
𝑉𝑃 = 𝐴(1 + 𝑖) [(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖(1 + 𝑖)𝑛]
172
5.000.000 = 664.690(1 + 𝑖) [(1+𝑖)8−1
𝑖(1+𝑖)8]
PROCEDIMIENTO:
Se empiezan a probar diversas tasas buscando que el resultado de la fórmula con
el valor asignado a i, multiplicado con $664.690 de los $5.000.000=
Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante
tiempo, entonces se busca una tasa que estando cerca, su resultado esté por
encima de los $5.000.000= y otra que también cerca, por debajo de los
$5.000.000=, para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto.
Se va a iniciar la prueba con el 2%.
El resultado es de $4.966.557,74
Como el resultado obtenido es inferior a $5.000.000=, se debe bajar la tasa de
interés para que suba, dado que a menor tasa de descuento el valor presente es
mayor.
Se va a experimentar con el 1,5%
El resultado obtenido es $5.050.456,83
Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma:
2% 4.966.557,74
X % 5.000.000
1,5% 5.050.456,83
Con el 2%, se obtiene un valor presente menor a $5.000.000, y con el 1,5% una cifra
superior, esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1,5% y el 2% mensual.
La forma más fácil de recordar siempre el método de interpolación es relacionar los
rangos de ambos lados, tanto los del interés como el valor absoluto:
[𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠] = [
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠]
[0,02 − 0,015
0,02 − 𝑋] = [
4.966.557,74 − 5.050.456,83
4.966.557,74 − 5.000.000]
[0,005
0,02 − 𝑋] = [
−83.899,09
−33.443,09]
0,05
0,02−𝑋 = 2,5 Pasa el denominador (0,02-X) a multiplicar a 2,5
Quedando así: 0,005 = 2,508*(0,02- X)
173
Pasa el 2,5 como denominador de 0,005.
0,05
2,508 = 0.02 - X 0,002 = 0,02 -X
Se pasa X a sumar
X + 0,001993= 0,02
Se despeja X X = 0,02-0,001993
X = 0,01798
La tasa de financiación del computador es del 1,798% mensual.
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA
El procedimiento es el siguiente:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 5000000 VA 8 N 664690 +/-PAGO %IA
MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN 5000000 FV 8n -664690 PMT COMP i% EXE
5000000 PV 664690 +/- PMT 8 N CPT I/Y 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT I/Y
La tasa de financiación es 1,798% mes.
APLICACIÓN EN EXCEL.
174
La tasa de interés es de 1,7989% mes
EJEMPLO 4.17:
Determine la tasa de interés mensual que paga una entidad financiera si al consignar
mensualmente el canon del arriendo de su apartamento de $502.268=, si al finalizar el 6
mes, el saldo es de $3.300.000.
0 1 2 3 4 5 6
502.268
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el saldo de lo ahorrado
crédito, el número de cuotas consignadas y su valor.
PREGUNTA
La incógnita es i.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
175
VF = 3.300.000
A = 502.268
n = 6
i =
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA:
𝑉𝑃 = 𝐴 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖] (1 + 𝑖)
3.300.000 = 502.268 [(1 + 𝑖)6 − 1
𝑖] (1 + 𝑖)
PROCEDIMIENTO:
Se empieza a probar diversas tasas para buscar que el resultado de la fórmula con
el valor asignado a i, multiplicado con $502.268 dé los $3.300.000=
Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante
tiempo, entonces se busca una tasa que esté cerca, por encima de los $3.300.000=
y otra que igualmente esté cerca por debajo de los $3.300.000=, para que
mediante la interpolación se encuentre el valor exacto.
Se va a iniciar la prueba con el 2%.
El resultado es de $3.231.734,64.
Como el resultado obtenido es inferior a $3.300.000=, se debe subir la tasa de
interés para que suba el valor futuro, dado que a mayor tasa de descuento el valor
futuro es superior.
Se va a experimentar con el 2.5 %
El resultado obtenido es $3.288.564,64
Como el resultado sigue siendo inferior a 3.300.000, se explora con el 3%.
El resultado obtenido es de $3.346.341,55
Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma:
2,5% 3.288.564,64
X % 3.300.000
3 % 3.346.341,55
Con el 2,5%, se obtiene un valor futuro menor a $3.300.000, y con el 3 % un valor
superior, esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 2,5 % y el 3% mensual.
176
Con el método de interpolación, se relacionan los rangos de ambos lados, tanto los del
interés como el valor absoluto:
[𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠] = [
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑜𝑠𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜𝑠]
Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales:
[0,025 − 0,03
0,025 − 𝑋] = [
3.288.564,64 − 3.346.341,55
3.288.564,64 − 3.300.000]
−0,005
0,025 − 𝑋=
−57.776,91
−11.435,36
0,005
0,025−𝑋 = 5,052478453 Pasa el denominador (0,025-X) a multiplicar a 5,052478453
Quedan así: -0,005 = 5,052478453 *(0,025- X)
Pasa el 5,052478453 como denominador de -0,005.
−0,005
5,052478453 = 0.025 - X
-0,00098961332 = 0,025 -X
Se pasa X a sumar
X - 0,00098961332 = 0,025
Se despeja X X = 0,025+0,00098961332
X = 0,025986
La tasa de interés que paga la entidad financiera es del 2,5986% mensual.
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA.
El procedimiento es el siguiente:
H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC 3300000 VA 6 N 502268 +/-PAGO %IA
MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN 3300000 PV 6 n -502268 PMT COMP i% EXE
3300000 FV 502268 +/- PMT 6 N CPT I/Y 2nd BGN 2nd SET 2nd QUIT CPT I/Y
La tasa de financiación es 2,59% mes.
177
APLICACIÓN EN EXCEL.
Se calcula con la función TASA
El resultado se aproxima a 2,6% mensual, la tasa de interés reconocida por la entidad
financiera.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Determine la tasa de interés que gana una institución educativa durante todo el
período académico en una entidad financiera, si consigna sus excedentes
mensuales de las pensiones por un valor de $5.000.000 mensuales y al final de año
cuenta en su saldo con $72.000.000.
Usted como rector de un colegio organiza un portafolio de inversión con el
propósito de comprar un vehículo para el transporte escolar con el dinero que
ahorra mensualmente por este mismo concepto. Si durante diez meses,
periódicamente aumentó su inversión en $5.500.000 y logró su propósito a pesar
de que el costo del vehículo fue de $60.000.000, determine el rendimiento de su
dinero.
178
4.4 ANUALIDAD DIFERIDA:
VALOR PRESENTE
Como se había enunciado en la definición, la anualidad diferida tiene como característica
que la serie uniforme comienza unos períodos después de concretarse la transacción, por
lo tanto, para el cálculo del valor presente, se aplica inicialmente la fórmula del valor
presente de una anualidad y luego se lleva al momento de la transacción con la fórmula de
valor futuro a presente.
GRÁFICO:
0 1 2 3 4 5 6
A
VP
EJEMPLO 4.18:
Determine el precio de contado de una lavadora que se financia en seis cuotas de $300.000
mensuales, pero el vendedor acepta que la primera cuota se pague en el tercer mes, el
interés de financiación es del 2% mensual.
FLUJO DE CAJA:
0 1 2 3 4 5 6
A
VP7 8
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el importe de contado de la lavadora, con el sistema de financiación y
el momento del pago de la primera cuota.
PREGUNTA
La incógnita es el VP
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Está ubicada en el período cero (0).
179
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
A = 300.000
n anualidad = 6 . Este el número de cuotas en que se financió la lavadora.
n v.p= 2. Este es el número de meses transcurridos entre el momento que se realiza la
transacción y el inicio del pago de la primera cuota.
i = 2 %
VP =
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA:
𝑉𝑃 = 𝐴 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖(1 + 𝑖)𝑛]
𝑉𝑃2 = 300.000 [(1 + 0,02)6 − 1
0,02(1 + 0,02)6]
VP2 = 1.680.429,26
Con el valor presente en el período 2 se pasa al período cero (0).
VP0 = 1.680.429,26
(1,02)2
VP0 = 1.615.176,15
RESPUESTA
El valor de contado de la lavadora es de $1.615.176,15.
VALOR FUTURO:
Para el cálculo del valor futuro, se aplica la fórmula normal de una anualidad para calcular
el valor futuro.
EJEMPLO 4.19:
Determine la cuantía ahorrada por un trabajador que logró un contrato de prestación de
servicios durante 8 meses, dado sus deudas sólo comenzó a consignar en la cuenta a partir
del mes cuatro la suma de $600.000. El interés que gana periódicamente es del 1,2%
mensual.
FLUJO DE CAJA:
180
0 1 2 3 4 5 6
600.000
VP7 8
VF
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se busca determinar el valor ahorrado en el mes ocho, conociendo la cuantía consignada
mensualmente.
PREGUNTA
La incógnita es el VF
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Está ubicada en el período ocho (8).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
A = 600.000
n anualidad = 5 . Este el número de cuotas que consigna.
i = 1,2 %
VF =
PROCEDIMIENTO
Se calcula el valor futuro en el período ocho
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA:
𝑉𝐹 = 𝐴 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖]
VF8 = 600.000
VF8 = 3.072.869,2 [(1+0,012)5−1
0,012]
RESPUESTA: El trabajador con esta orden de prestación de servicio durante ocho meses
pudo ahorrar para el tiempo que va a estar desempleado $3.072.869,2
181
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Una vivienda de interés social tiene un costo de $20.000.000, determine el valor de
las cuotas de financiación para un crédito a 36 meses si el comprador de lo único
que dispone en el momento es de $1.200.000 de ahorro programado y del subsidio
que da el gobierno por un valor de $7.000.000, el beneficiario solicita que se le
empiecen a cobrar las cuotas a partir del mes cuatro. El interés de financiación
es del 2% mes.
Usted va a realizar un curso de inglés cuyo precio es de $3.000.000, paga como
cuota inicial el 30%, y solicita que el saldo se lo difieran en nueve cuotas pero la
primera a partir del mes tres, como interés de financiación le cobran el 2,2% mes.
Determine el valor de cada cuota.
4.5. ANUALIDAD PERPETUA
Se llama perpetua a una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y continúa para
siempre, es decir, no existe un pago último.
En la práctica las situaciones que se ajustan a anualidades perpetuas, se ajustan a obras de
infraestructura, tales como carreteras, puentes, entre otras.
Al considerar el caso de una anualidad perpetua cuyos pagos tienen un valor $A y una tasa
de interés i % por período. Para este tipo de anualidad no existe el valor futuro y solo
existe el valor presente. Su representación gráfica es como sigue:
0 1 2 3
A
N
P
Para el estudio de la anualidad perpetua también debe clasificarse en vencida y anticipada.
ANUALIDAD PERPETUA VENCIDA
VALOR PRESENTE
Para calcular el valor presente de una anualidad perpetua vencida, se determina mediante
la siguiente fórmula:
182
𝑃 = 𝐴
𝑖
EJEMPLO 4.20:
Para el mantenimiento de una carretera se requiere de 100.000.000 anuales, de cuánto
debe ser el valor de un fondo para cubrir el mantenimiento si el interés que reconoce la
entidad financiera es del 20% anual.
FLUJO DE CAJA
0 1 2 3
100.000.000
N
VP
4
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo los recursos que periódicamente se requieren indefinidamente, se busca el
valor del fondo que gane los intereses suficientes para que éste se sostenga.
PREGUNTA
La incógnita es el VP.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
A = 100.000.000
i (año) = 20%
VP =
PROCEDIMIENTO:
Se reemplaza en la fórmula
VP = 100.000.000
0,2 500.000.000
RESPUESTA
183
El fondo debe abrirse con $500.000.000, para que al desembolsar $100.000.000 anuales
tenga vida a perpetuidad.
ANUALIDAD
Para el cálculo de la anualidad, se despeja de la fórmula enunciada anteriormente.
A = VP * i
EJEMPLO 4.21:
Usted le regaló a su padre $100.000.000= para que se jubile, sin tener que trabajar más,
de cuánto puede disponer su padre mensualmente para mantener sus recursos si la
entidad financiera le reconoce el 1,2% mensual.
0 1 2 3
A
N
100.000.000
4
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo el valor inicial del fondo, se busca el valor que se debe gastar mensualmente
para que el fondo se mantenga.
PREGUNTA
La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada en todo el flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP = 100.000.000
i (mes) = 1,2%
A =
PROCEDIMIENTO:
Se reemplaza en la fórmula
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
184
A = 100.000.000 * 0,012
A = 1.200.000
RESPUESTA
Su padre puede gastar $1.200.000= mensuales para no afectar el fondo.
ANUALIDAD PERPETUA ANTICIPADA
VALOR PRESENTE
Cuando la anualidad perpetua es anticipada, a la fórmula de vencida se le suma una
anualidad, quedando de la siguiente forma:
𝑃 = 𝐴 +𝐴
𝑖
EJEMPLO 4.22:
Un inmueble requiere para su mantenimiento $400.000 mensuales, cuánto deberá tener
un fondo para cubrir este gasto si se deben hacer los trabajos al iniciar el mes, el interés es
del 1,5% mensual.
0 1 2 3
400.000
N4
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo el valor del gasto mensual, se busca el valor del fondo que gane los intereses
suficientes para que se sostenga.
PREGUNTA
La incógnita es el VP.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
A = 400.000
i (mes) = 1,5%
VP =
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA:
185
P = 400.000 + 400.000
0,015
P = 27.066.666,67
El pago que me debe realizar el día de hoy por arrendar el inmueble a perpetuidad debe
ser de $27.066.666,67.
ANUALIDAD
Para determinar el valor de la anualidad, se despeja A, de la siguiente forma:
𝐴 = 𝑃
[1 +1𝑖]
EJEMPLO 4.23:
Determine el valor que mensualmente debe recibir un asilo a partir de este momento,
dado que ha recibido una donación de $50.000.000, y la condición con la fiduciaria es que
este fondo debe permanecer a perpetuidad, el interés reconocido es del 1,2% mensual.
0 1 2 3
A
N4 5
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo la cifra inicial de la donación al asilo, se busca el valor que debe recibirse
mensualmente para que el fondo se mantenga a perpetuidad.
PREGUNTA
La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada en todo el flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
VP = 50.000.000
186
i (mes) = 1,2%
A =?
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
𝐴 = 50.000.000
[1 +1
0,012]
A = 592.885,37
Al asilo la fiduciaria le debe entregar mensualmente $592.885,37.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Un magnate antes de morir quiere dejar unos recursos para una fundación que se
encarga de desarrollar programas para los niños afectados por la violencia en el
mundo, si el donante desea que mensualmente esta institución reciba
$100.000.000 a perpetuidad cual debe ser el valor a donar si el rendimiento de los
dineros es del 1,1% mes.
Los cultivadores en una región agrícola se comprometen con el estado a costear el
mantenimiento de una represa que les permita irrigar sus cultivos, si este les
aporta el 50% del valor de la construcción. Los beneficiados del proyecto son 50
cultivadores y cada uno de ellos se comprometió a aportar por una vez a este
fondo $3.000.000, para que con sus rendimientos se efectúe el mantenimiento.
Determine el valor anual que se tendría si la rentabilidad que ganan estos dineros
es del 18% anual.
4.6. FLUJO DE CAJA CON VARIAS TASAS DE INTERÉS
En diversas situaciones, durante el tiempo que se realiza una transacción financiera, las
variables económicas se van modificando, entre estas, la tasa de interés.
En esta parte del capítulo, vamos a aprender a calcular el valor presente o futuro o las
anualidades, cuando varían las tasas de interés en el flujo de caja.
Como un principio para facilitar la comprensión en los ejercicios, es fundamental que el
estudiante tenga claro donde termina una tasa de interés y a partir de que momento se
187
inicia la otra, en este punto donde se modifica, necesariamente tiene que calcularse ya sea
un valor presente o futuro.
EJEMPLO 4.24:
Un reloj tiene un precio de $ 1.500.000 y el distribuidor lo vende financiado con el
siguiente plan: cuota inicial del 30% del valor de contado y el saldo a 12 cuotas mensuales
iguales. Si la tasa de interés es del 2,5% mensual, durante los seis primeros meses y del
2% mensual de allí en adelante. Hallar el valor de las cuotas.
0 1 2 3
A
4 5 6 7 8 9 10 11 12
450.000
1.500.0002%2,5%
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Con el precio de contado que se debe pagar por los equipos, el valor de la cuota inicial, el
número de cuotas a financiar y las tasas de interés del período, se busca la cuantía de la
cuota.
PREGUNTA
La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser A la incógnita, esta está ubicada en cada uno de los períodos.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se le da valor a las variables.
VP = 1.500.000
CI = 450.000
I mes (0-6) = 2,5%
I mes (6-12) = 2 %
n ( meses) = 12
188
La incógnita es A, para definir cuál fórmula utilizar, se analiza qué datos se tienen, en este
caso, se tiene valor presente, entonces se va a calcular A, con la fórmula de valor presente
y anualidad.
PROCEDIMIENTO:
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
Precio del reloj = Cuota inicial + valor presente de las doce cuotas.
NOTA: Como existen dos tasas de interés, para llevar a valor presente, se debe realizar lo
siguiente:
PASOS:
Las cuotas del rango de los períodos 0-6, se llevan a cero con el interés del 2,5%
Las cuotas del rango de los meses 6-12, se llevan primero a valor presente al mes 6
con la tasa del 2%, luego se lleva a cero con la tasa del 2,5%, se toma el resultado
como un futuro y se lleva a un presente.
1.500.000 = 450.000 + 𝐴 [(1 + 0,025)6 − 1
0,025(1 − 0,025)6] + 𝐴
[ (1 + 0,02)6 − 10,02(1 + 0,02)6
(1 + 0,025)6
]
Se resuelven las fórmulas, queda así:
1.500.000 = 450.000 + A * 5,508125361+ A * 4,830096302
Se va a despejar la fórmula
1.500.000-450.000 = A * 10,33822166
𝐴 =1.050.000
10,33822166
A = 101.564,85
RESPUESTA
El valor pagado mensualmente es de $101.564,85
189
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:
Su hijo le solicita que le colabore en su propósito de reunir fondos para comprar
un computador, en el momento El cuenta con $400.000, y usted se compromete a
regalarle $100.000 mensuales por un año, determine la cantidad de que dispone el
joven al final del año si durante los seis primeros meses de su ahorro su dinero
rentaba al 1% mensual y los siguientes seis al 1,2% mes.
La universidad está promocionando una especialización en el área administrativa,
el valor de la matrícula es de $4.000.000 y el plazo para registrarse es de seis
meses, usted empezó a ahorrar $200.000 mensuales en una entidad financiera que
le reconoce el 15% anual y su padre le deposita $2 por cada peso que usted ahorre
en otro banco que paga un interés del 12% anual ¿Podrá usted completar el valor
de la matrícula?
EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO
EJEMPLO 4.25:
Una empresa debe comprar nuevos equipos para modernizar su maquinaria y las
condiciones son:
Cuota inicial del 40% del precio de contado y el resto en seis pagos trimestrales de
$5.000.000= cada uno. Determinar el precio de contado si se sabe que en la financiación
se pactó un interés del 3% mensual.
0 3 6 9 12
0.40 X
15 18
X
5.000.000
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo el valor trimestral que se debe pagar por los equipos, y el porcentaje de cuota
inicial, se busca el precio de contado.
PREGUNTA
190
La incógnita es VP.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
La incógnita está ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Como los períodos son trimestrales y el interés es mensual éste se debe pasar a trimestral.
Interés trimestre = (1,03)3 - 1 9,2727 trimestral.
Entonces:
A = 5.000.000
i (Trim) = 9,2727 %.
n (Trim) = 6
VP = X
PROCEDIMIENTO
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
Como la incógnita está en el VP, este es el punto de referencia, entonces la ecuación se
plantearía de la siguiente manera.
El precio de contado = cuota inicial + anualidades traídas a valor presente.
𝑋 = 0,4𝑋 + 𝐴 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖(1 + 𝑖)𝑛]
𝑋 = 0,4𝑋 + 5.000.000 [(1 + 0,092727)6 − 1
0,092727(1 + 0,092727)6]
El valor de X (valor de contado) es igual a la cuota inicial (40% del valor de
contado) más el valor financiado (6 cuotas de $10.000.000=) traído a valor
presente al mes cero.
Resolviendo la segunda parte de la ecuación se tiene:
El valor presente en el período cero de la financiación es de $22.248.395,42,
quedando la ecuación así:
X = 0,4X + 22.248.395,42
para calcular el valor de contado se despeja el valor de X
191
X - 0,4X = 22.248.395,42
0,6X = 22.248.395,42
𝑋 =22.248.395,42
0,6
Se hace la operación, resultado $37.080.659
RESPUESTA
El importe de contado de los nuevos equipos es de $37.080.659
EJEMPLO 4.26:
Usted ahorra mensualmente $ 50.000 durante el primer semestre, en una entidad que
paga un interés del 24% anual capitalizado mensualmente; a partir del segundo semestre
empieza a retirar $ 30.000 por mes vencido. Hallar el saldo en la cuenta de ahorros al
finalizar el año.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
30.000
50.000
Saldo
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo el monto ahorrado mensualmente en los seis primeros meses, el valor de los
retiros mensuales en los seis meses siguientes, la tasa de interés del período, se busca la
cuantía del saldo al finalizar el año.
PREGUNTA
La incógnita es VF.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser VF la incógnita, está ubicada en el mes doce (12).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Dado que la tasa está dada como anual nominal mes vencida, se pasa a mensual, el
procedimiento es dividir el 24% entre 12 meses, dando como resultado el 2%.
24/12 = 2% mensual
Se asignan valores a las variables:
192
i (mes) = 2%
n (meses) = 12
A ingresos (0-6) = 50.000
A egresos (6-12) = 30.000
V.F =
PROCEDIMIENTO
Como la pregunta es el saldo en el mes doce, la incógnita es un valor futuro, esto indica que
se utilizara la fórmula de anualidades y valor futuro.
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
SALDOMES 12 = CONSIGNADOLLEVADO AL MES DOCE - RETIRADOLLEVADO AL MES DOCE
SALDOMES 12 = 50.000 [(1+0,02)6−1
0,02] *(1,02)6 – 30.000 [
(1+0,02)6−1
0,02]
PASOS
Se lleva el valor de las consignaciones al mes seis.
VF6 = 50.000 [(1+0,02)6−1
0,02] 315.406
El saldo de las consignaciones en el mes seis es de 315.406, entonces se lleva al
mes doce, con la fórmula de VF y VP.
VF12 = 315.406* (1.02)6 355.198,38
El valor de lo consignado en el mes doce es de $355.198,38, ahora se lleva al mes
doce el valor de los retiros.
VF12 = 30.000 [(1+0,02)6−1
0,02] 189.243,63
El monto de los retiros en el mes doce es de $189.243,63, para conocer el saldo
solo se requiere restar al valor de lo consignado, los retiros.
SALDO = 355.198,38 - 189.243,63
SALDO = 165. 954, 75
RESPUESTA
193
Al finalizar el año, usted puede disponer en la cuenta de ahorros de $165.954,75
EJEMPLO 4.27:
Un automóvil tiene un precio de contado de $30.000.000 puede adquirirse con una cuota
inicial del 30% del valor de contado y el resto financiado en 8 cuotas trimestrales iguales,
pero la primera cuota la paga en el mes seis, si la tasa de interés que se cobra por la
financiación es de 30 % anual. Hallar el monto de las cuotas.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
30.000.000
9.000.000
Trimestres
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conocido el precio del automóvil, el valor de la cuota inicial, el número de pagos
trimestrales, y la tasa de interés del período, se busca el valor de las cuotas.
PREGUNTA
La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser A la incógnita, está ubicada en cada uno de los trimestres.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Al analizar el ejercicio se observa que los períodos son trimestrales, por lo tanto el interés
debe ser trimestral, como la tasa dada es una efectiva anual, hay que calcular la efectiva
trimestral.
IETRIMESTRE = (1+0,3)1/4 - 1
IETRIMESTRE = 6,779%
Se asignan los valores a las variables.
VP = 30.000.000
CI = 9.000.000
ITRIMESTRE = 6,779%
n = 8
194
A =
Como la incógnita es A, y se tiene como valor presente el importe del automóvil, se utiliza
la fórmula de anualidad y valor presente, teniendo en cuenta que el valor presente de una
anualidad está ubicado un período antes de la primera anualidad, el valor presente de las
cuotas, se debe llevar al período cero.
PROCEDIMIENTO
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
Valor del automóvil = cuota inicial + cuotas llevadas al período cero.
30.000.000 = 9.000.000 + A [
(1+0,06779)8−1
0,006779 (1+0,06779)8
(1+0,06779)8]
PASOS
Se determina el saldo que se va a financiar, el cual es de $21.000.000
Se lleva al primer trimestre, dado que la primera cuota se paga en el 2 trimestre.
V/R FINANCIAR = 21.000.000 * (1,06779)
Una vez se establece el valor financiado, o sea 22.423.590 se procede a calcular el
valor de la cuota.
22.423.590 = A ((1,06779)8
0,06779(1,06779)8)
22.423.590 = A * 6,022778377
A = 3.723.130,52
RESPUESTA
El valor de cada cuota es de $3.723.130, 52
EJEMPLO 4.28:
Un electrodoméstico tiene un precio de contado de $ 1.200.000 y puede adquirirse
financiado con el siguiente plan: Cuota inicial: $ 350.000; doce cuotas mensuales iguales; y
2 abonos extraordinarios de $200.000 en los meses tres y seis. Hallar el valor de las
cuotas, si el interés de financiación es el 2.2% mensual.
195
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
$1.200.000
A350.000
200.000
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conocido el precio del electrodoméstico, el valor de la cuota inicial, el monto de los abonos
extraordinarios, la tasa de interés del período, y el número de cuotas, se busca la cuantía
de las doce cuotas ordinarias.
PREGUNTA
La incógnita es A. Valor de cada una de las cuotas ordinarias.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Por ser A la incógnita, está ubicada en cada uno de los doce meses.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se asignan los valores a las variables:
VP = 1.200.000
CI = 350.000
ABONOS EXTRAORDINARIOS
MES3 = 200.000
MES5 = 200.000
I mes = 2.2%
A =
PROCEDIMIENTO
La incógnita es A, como punto de referencia está el valor de contado del electrodoméstico,
al que se le tiene que descontar el pago de la cuota inicial y los abonos extraordinarios
llevados al período cero.
Los abonos extraordinarios se pueden llevar a VP en el momento cero como anualidad;
dado que estos abonos se hacen en dos trimestres, se calcula la tasa de interés trimestral.
I trimestre = (1,022)3 -1 6,7462 %
196
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
Valor del electrodoméstico = Cuota inicial + VP0 de los abonos extraordinarios + VP0 de
las doce cuotas.
1.200.000 = 350000 + 200.000 + A ((1+0,06746)2−1
0,06746(1,06746)2) + 𝐴 (
(1+0,022)12
0,022(1,022)12)
PASOS
Se resta la cuota inicial al precio del electrodoméstico, para saber el monto inicial a
financiar, dando como resultado 850.000
Para determinar el valor de la cuota, a los 850.000, se le debe restar los abonos
extraordinarios en el momento cero.
VP abonos ext = 200.000 ((1+0,06746)2−1
0,06746(1,06746)2)
VP abonos ext = 362.879,38
El valor presente de los abonos extraordinarios es de $362.879,38
El valor presente de los abonos extraordinarios se le descuenta a los 850.000, para
definir el saldo a financiar.
VALOR A FINANCIAR = 850.000 - 362.879,38
VALOR A FINANCIAR = 487.120,61
Conocido el valor a financiar, ahora se determina la cuantía de la anualidad.
487.120,61 = A ((1+0,022)12−1
0,022(1,022)12)
487.120,61 = A x 10,4466
A = 46.629,56
RESPUESTA
El valor a pagar mensualmente en la financiación del electrodoméstico es de $46.629,56.
EJEMPLO 4.29
Usted consigue un contrato de un año y se propone ahorrar mensualmente $600.000 al
mes, en una cuenta de ahorros que paga un interés del 1,8% mensual, si usted demora 6
197
meses en volver a conseguir trabajo, ¿cuánto puede ser su gasto mensual, para que le
alcance lo ahorrado?
0 6
600.000
12
13 14 15 16 17 18
A
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conocido el valor del ahorro mensual, el tiempo que efectuó las consignaciones y la tasa de
interés del período, se busca el valor que puede gastar la persona cada mes para cubrir los
seis meses sin recibir ingresos.
PREGUNTA
La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Para este ejercicio la incógnita A, está ubicada en cada uno de los meses del trece al
dieciocho.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se asigna valor a las variables:
AAHORRO = 600.000
I MES = 1,8%
AGASTO =
La incógnita está en el gasto mensual que debe realizar en los seis meses, para poderlos
cubrir con lo ahorrado durante el año. Se debe llevar al mes 12 lo ahorrado, y allí se toma
este valor como un presente, para calcular la cuantía de las cuotas.
PROCEDIMIENTO
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
VF12 de los 600.000 ahorrados mensualmente = VP12 de los gastos durante los 6 meses
600.000 ((1+0,018)2−1
0,018) = 𝐴 (
(1+0,018)6−1
0,018(1+0,018)6)
PASOS
Se lleva a valor futuro en 12 las cuotas ahorradas
198
VF12 = 600.000 ((1+0,018)12−1
0,018)
VF12 = 7.957.351
El total ahorrado es de $7.957.351, disponibles para gastarlos en los seis meses
que no tiene acceso al mercado laboral. Ahora se procede a calcular el valor del
gasto mensual.
7.957.351 = A ((1+0,018)6−1
0,018(1+0,018)6)
7.957.351 = A* 5,639434775
A = 1.411.019,24
RESPUESTA
Usted durante los seis meses que no tiene trabajo puede gastar $1.411.019,24
mensualmente.
EJEMPLO 4.30:
Ante el vencimiento de una obligación dentro de 30 días de $20.000.000= y la incapacidad
para pagarlos, Se solicita refinanciar el crédito que además tiene otro cumplimiento en el
mes seis por 15.000.000. Este crédito tenía un interés del 34,49% anual, se propone
refinanciarlo en 12 cuotas mensuales iguales, el banco le aprueba pero el interés varía al
2,8% mensual, determine el valor de las cuotas.
VENCIMIENTO ACTUAL
i=34,49% Anual
0 1 2 3 4 5 6
$15.000.000$20.000.000
PROPUESTA DE REFINANCIACIÓN
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
i=2,8% mes
A
199
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo el valor y el momento de los pagos del compromiso inicial, se debe totalizar la
deuda, para calcular la cuantía de las cuotas de la refinanciación.
PREGUNTA
La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Para este ejercicio la incógnita A, está ubicada en cada uno de los meses en el flujo de caja
de la refinanciación.
PROCEDIMIENTO
Para determinar la cuantía de las nuevas cuotas, el primer paso es calcular el valor
presente de la deuda actual, es decir, traer a valor presente los cumplimientos del
mes uno y seis.
VALOR DEUDA = VALOR PRESENTE DE LOS CUMPLIMIENTOS
Como la tasa está efectiva anual, se pasa a mensual
imes = (1+0,3449)1/12 -1
imes = 2,5%
Ahora se procede a calcular el VP para conocer el total de la deuda.
𝑉𝑃 = (20.000.000
(1,025)) + (
15.000.000
(1,025)6 )
VP = 32.446.648,11
Conociendo el monto de la deuda, se procede a calcular el valor de las cuotas, es
importante recordar que la tasa de interés es mayor.
32.446.648,11 = A (1,028)12−1
0,028(1,028)12)
32.446.648,11= A * 10,07389772
A = 3.220.863,36
RESPUESTA
El valor de cada cuota que debe pagar por la refinanciación es de $3.220.863,36
200
EJEMPLO 4.31:
Su hijo comenzará estudios universitarios dentro de tres años, para esa fecha usted aspira
a tener ahorrados 12.000.000=; con este propósito se quiere averiguar cuánto deberá
ahorrar mensualmente durante los tres años en una cooperativa que paga un interés del
1.5% mensual durante el primer año, 1,8% mensual en el segundo y 2% mensual en el
tercer año.
12 24 36
12.000.000
1,5% 1,8% 2%
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Conociendo la cifra a la que se quiere llegar dentro de tres años, y las tasas que paga en
cada uno de los años, se calcula el valor de las cuotas mensuales.
PREGUNTA
La incógnita es A.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Para este ejercicio la incógnita A, está ubicada en cada uno de los meses del flujo de caja.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se asigna valor a las variables
VF = 12.000.000
i1 AÑO = 1,5% mes
i2 AÑO = 1,8% mes
i3 AÑO = 2% mes
n total = 36
PROCEDIMIENTO
Como el interrogante está en el valor de las cuotas, pero el punto de referencia es el saldo
al finalizar el tercer año, se utiliza la fórmula de VF y anualidades.
Como varían las tasas de interés, en el momento que cambian se toma como un puerto
donde debes llegar para tomar el otro camino, o sea que para este caso se calcula el valor
futuro de la anualidad del período donde está la primer tasa, a partir de allí se toma como
un presente se lleva al mes 24 con la tasa del 1,8%, y de allí al mes 36 con la tasa del 2%.
201
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
Valor Futuro del Ahorro mensual = Saldo disponible en el mes 36
𝐴 ((1 + 0,015)12 − 1
0,015) (1 + 0,018)12 (1 + 0,02)12 + 𝐴 (
(1 + 0,018)12 − 1
0,018)(1 + 0,02)12
+ 𝐴((1 + 0,02)12 − 1
0,02) = 12.000.000
PASOS
El primer paso es calcular el factor que permite llevar al mes 12, la primera
anualidad.
𝐴 ((1+0,015)12−1
0,015) (1 + 0,018)12 (1 + 0,02)12 +
El primer factor es 20,48770599, o sea que el valor de las cuotas del primer año se
deben multiplicar por esta cifra para llegar al mes 36.
Se busca el factor para las cuotas correspondientes al segundo año.
𝐴((1+0,018)12−1
0,018) (1 + 0,02)12
El segundo factor es 16,81974196, el monto de las cuotas del segundo año, se
multiplica por el factor obtenido para saber su valor futuro en el mes 36.
Se determina el factor para las cuotas del tercer año.
𝐴 ((1+0,02)12−1
0,02)
El factor es 13,41208973, con el cual se lleva a futuro en el período 36, las cuotas
del tercer año.
Se suman los tres factores, para determinar el valor de A
A* 20,48770599 + A* 16,81974196 + A * 13,41208973 = 12.000.000
A * 50,71953768 = 12.000.000
A = 236.595,21
RESPUESTA
Para que usted pueda reunir los $12.000.000= debe consignar mensualmente
$236.595,21.
202
EJEMPLO 4.32:
Pedro Pérez compra un microbús, es financiado de la siguiente forma: Cuota inicial 30%
del valor de contado, el saldo a sesenta meses con cuotas mensuales iguales y un interés
del 2.5% mensual. Después de 30 meses de estar pagando las cuotas, decide pagar el saldo
de la deuda que era de $ 30.000.000 (a esa fecha). Determine el precio de contado del
microbús.
X
0,30X
i=2,5%
10 20 30
$30.000.000
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Este ejercicio busca determinar el precio del microbús, conociendo el porcentaje de cuota
inicial y el valor presente de treinta cuotas iguales de financiación, con el interés del 2,5%
mes.
PREGUNTA
Este ejercicio presenta dos incógnitas, la del pago mensual A, y el VP de todo el flujo.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
Para este ejercicio la incógnita A, está ubicada en cada uno de los meses del flujo de caja, y
el VP en el momento cero.
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se asigna valores a las variables:
i mes = 2,5%
N financiación = 60
X = Valor microbús
A = Valor cuotas
PROCEDIMIENTO
Este ejercicio es bien interesante porque tenemos dos incógnitas para calcular el importe
del microbús, Su valor en sí (X), y el valor de las cuotas (A).
Pero se tiene la información necesaria para calcular en primera instancia el valor de las
cuotas y después el importe del vehículo.
203
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
Precio del vehículo = Cuota inicial + 30 cuotas canceladas llevadas a valor presente +
30.000.000 llevados a valor presente en el período cero.
𝑋 = 0,3𝑋 + 𝐴 [(1 + 0,025)30 − 1
0,025(1 + 0,025)30] +30.000.000
(1,025)30
PASOS
Antes de reemplazar en la ecuación, se debe calcular el valor de A. Este se puede
estimar, dado que se sabe que faltaban 30 cuotas y que el valor presente es de
30.000.000, entonces se procede a despejar A.
30.000.000 = 𝐴 [(1 + 0,025)30 − 1
0,025(1 + 0,025)30]
30.000.000 = A * 20,93029259
A = 1.433.329,22
La cuantía de las cuotas es de 1.433.329,22, esta cifra permite calcular el valor
presente de las cuotas pagadas hasta el momento, si se verifica que se está en la
mitad del período de financiación, entonces el valor presente de la cuotas pagadas
en el momento cero, es equivalente a 30.000.000, por lo tanto no hay necesidad de
efectuar la operación, si no fuese así, simplemente se calcula el valor presente de
las cuotas pagadas con la cuota, de $1.433.329,22
Se reemplaza en la ecuación
X = 0,3X+ 30.000.000 + 30.000.000
(1,025)30
X - 0,3X = 44.302.280,56
X = 63.288.972,22
RESPUESTA
El valor del microbús es de $63.288.972,22.
204
EJEMPLO 4.33:
Usted planea realizar unas vacaciones en el exterior, va a ahorrar durante dos años.
Mensualmente apropia $ 200.000; cada semestre de sus primas efectúa un ahorro
adicional de $ 500.000. Determinar el valor disponible en el momento que desea tomar
las vacaciones, si el interés que renta su dinero es del 1,5% mensual.
FLUJO DE CAJA
12 240 6 18
200.000
500.000
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Este ejercicio busca determinar el valor ahorrado durante dos años, habiendo efectuado
consignaciones periódicas mensuales y extraordinarias semestrales, y conociendo la tasa
de interés.
PREGUNTA
La incógnita es el VF.
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
El VF se debe calcular en el mes veinticuatro (24).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Se asigna valor a las variables:
A mes = 200.000
A semestre = 500.000
n mes = 24
n semestre = 4
i mes = 1,5%
i semestre = 9,3443%
VF =
205
COMENTARIO
El valor a calcular es el total ahorrado dentro de 2 años, por lo tanto la incógnita es el VF,
existen dos anualidades, la mensual de $200.000 y la semestral de $500.000, por esto se
calculó el interés del semestre.
PROCEDIMIENTO
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
𝑉𝐹 = 200.000 [(1 + 0,015)24 − 1
0,015] + 500.000 [
(1 + 0,093443)4 − 1
0,093443]
PASOS
Se calcula el valor futuro de las anualidades
VF = 5.726.704,16 + 2.298.201
Se suman las dos cantidades y se determina el total ahorrado.
VF = 8.024.905,19
RESPUESTA
El total ahorrado es de $8.024.905,19.
4.7 EJERCICIOS
Estos ejercicios permitirán desarrollar las competencias necesarias para mi desempeño
eficiente y eficaz.
RECUERDE: La experiencia y la habilidad que desarrolle a través del
estudio de las matemáticas financieras, contribuirán al éxito de mis
desempeños como profesional en el manejo de las finanzas.
¿Se ha preguntado qué tan hábil es frente a la solución de problemas? Hágalo ahora y
póngase aprueba, ¡desarrolle estos ejercicios cuidadosamente!
Si tiene complicaciones, no se preocupe, aquí está su texto, él colaborará en sus respuestas.
1. Determine el precio de contado de una motocicleta que se financia de la siguiente
forma:
206
Cuota inicial 30% del valor de contado, el saldo en12 cuotas mensuales de $400.000=
cada una, el interés de financiación 20% anual.
R: La motocicleta tiene un precio de contado de $6.168.636,25
2. Cuánto tendrá un ahorrador dentro de un año, si hoy consigna en una entidad
financiera $500.000=, y mensualmente deposita $200.000=, el interés es del 3%
bimestral.
R: El ahorrador tendrá dentro de un año $3.203.651,93
3. Determine el valor de la consignación inicial de un ahorrador, si durante los primeros
seis meses depositó en su cuenta de ahorros $300.000= mensuales y en los seis meses
siguientes retiró $400.000= y su saldo en el mes doce es de $2.000.000=. La
rentabilidad es del 24% anual bimestre vencido.
R: La consignación inicial que hizo el ahorrador fue de $1.892.266,654.
4. Pedro deposita cierta cantidad de dinero, con el objeto de que estos recursos le puedan
alcanzar para la vejez de su padre, las expectativas de vida del Padre de Pedro son 12
años, y sus gastos mensuales son de $600.000=, el interés de la entidad financiera son
del 30% anual, determine la cantidad depositada inicialmente.
R: Pedro debe depositar $25.978.786,86 para que su padre tenga durante doce años
ingresos por $600.000.
5. Juan compró un taxi, mensualmente el carro le producía $900.000, y los gastos de
mantenimiento y combustible son de $500.000=, determine la cantidad de dinero que
dispone Juan al finalizar el semestre, si vende el carro en $27.000.000= y el interés es
del 4% bimestral.
R: Juan dispone de $29.522.007,94 después de vender el taxi.
6. Usted trabaja en una empresa durante 3 años, mensualmente ahorra el 10% de su
sueldo, el primer año recibe mensualmente $800.000= y anualmente aumentó en el
12%.Cuánto tendrá ahorrado al finalizar el período si la rentabilidad de su ahorro es el
9% trimestral.
R: Al finalizar los tres años usted tiene ahorrado $5.454.826,859
7. Un empleado consigna mensualmente el 20% de sus ingresos, siendo estos de
$1.000.000=, labora durante un año y al momento de liquidar el contrato recibe una
bonificación de $700.000=, durante cuánto tiempo le alcanzarán los ahorros si sus
gastos mensuales son de $400.000=, el interés es 18% semestral mes vencido.
R: Le alcanza al empleado a cubrir sus gastos por 10,43 meses
207
8. Si usted es un comerciante en finca raíz y compró un apartamento en $60.000.000=, y
se demoró en venderlo 6 meses, los costos de servicios y administración son de
$300.000=, lo vendió en 62.000.000=, perdió o ganó en el negocio y cuánto si el
interés es del 1,8% mensual.
R: En este negocio perdió $6.661.663,99, dado que para alcanzar la rentabilidad del
1,8% mensual debía haber vendido en $68.661.663,99.
9. Al cotizar las vacaciones de fin de año, estas tienen un valor de $6.000.000=, si ahorro
mensualmente $400.000= y en el mes 6 y 12 ahorro adicionalmente $500.000=
¿Puedo disfrutar de ellas? ¿Cuánto sería el excedente para gastos varios, si el dinero me
renta el 1,5% mes?
R: Si puede disfrutar de sus vacaciones y tiene un excedente para gastos varios de
$263.206,2.
10. Se va a sustituir una deuda cuyo convenio fue el siguiente: $500.000= dentro de 2
meses, $1.000.000= en el mes 6 y $1.500.000= en el mes 9, por 12 cuotas iguales a
partir del próximo mes, el interés es del 18% semestral, defina el valor de las cuotas.
R: El valor de cada cuota es de $247.212
11. Se compró un apartamento, la cuota inicial fue el 40% del valor de contado, el saldo se
financió a 60 meses, si el valor de la cuota es de $480.000 mensuales, y el interés de
financiación es del 1.8% mensual, determine el valor del apartamento.
R: El valor del apartamento es de $29.205.643,3
12. Determine el valor de un crédito de fomento, cuyas condiciones fueron las siguientes:
Período de gracia 6 meses (sin pago de intereses) plazo 36 meses, interés 1,5%
mensual, Valor de la cuota trimestral $750.000=.
R: El valor del crédito fue de $5.914.793,98
13. Calcular el valor de la cuota trimestral para un crédito de $12.000.000=a 60 meses si
el interés de financiación es del 20% anual para los primeros 2 años, y el 12%
semestral de ahí en adelante.
R: $965.500,27
14. Si me financian un televisor cuyo valor de contado es de $2.000.000= a 24 meses, con
cuotas de $109.000= mensuales, debo conocer el interés de financiación.
R: 2,27% mensual es el interés de financiación del televisor.
15. Se compró un reloj que tiene un precio de contado de $1.200.000= y puede adquirirse
financiado con el siguiente plan: Cuota inicial 30%, doce cuotas mensuales iguales, la
primer cuota debe pagarse dentro de tres meses, y un último pago dentro de 18 meses
208
de $300.000=. Determine el valor de las cuotas si el interés es del 3,5% mensual en el
primer año, y el 42% anual mes vencido en el siguiente período.
R: El valor de cada cuota es de $75.215,46
16. Usted firmó dos pagarés, uno por $3.000.000= para dentro de seis meses y otro por
$2.000.000= para dentro de un año, el interés de cada pagaré es del 28% anual.
El banco le da la alternativa de pagar esta deuda en 24 cuotas mensuales, para el
primer año la tasa es del 2,5% mensual y para el segundo es del 36% anual mes
vencido. ¿Cuál es el valor de las cuotas?
R: El valor de las cuotas es de $238.638,71
17. Una deuda de $10.000.000= de hoy debe financiarse a tres años con cuotas mensuales
iguales y un interés del 24% anual capitalizado trimestralmente, durante el primer
año, y del 36% anual mes vencido, durante los dos años siguientes. La primer cuota la
paga en el mes seis. (29 cuotas)
R: $518.233,9
18. Que cantidades iguales en los años uno, dos y tres, son equivalentes a una serie de
pagos uniformes de $450.000= mensuales durante 24 meses, si el primero se realiza
en el mes tres, el interés es del 9% semestral mes vencido.
R: Los pagos que se deben realizar anualmente son de $4.125.011,68
19. Determine el valor ahorrado al finalizar un año, si consignaba $300.000 que recibía del
arriendo de un apartamento, y pagó de impuesto al finalizar el mes de junio $400.000,
el interés es del 1.3% mensual.
R: El valor ahorrado al finalizar el año es de $3.436.655,39
20. Usted ahorra mensualmente $350.000, si al final del año, el saldo en su cuenta es de
$4.000.000, usted efectúo un retiro o una consignación adicional en el mes de junio,
dado que la entidad financiera reconoce un interés del 1.2% mes.
R: Efectuó un retiro en el mes de Junio por $488.593,2
21. Si un padre de familia que lleva su hijo a otra ciudad para que realice sus estudios
universitarios y decide pagar anticipadamente el canon del arriendo del semestre,
determine el monto del pago si el alquiler de la habitación es de $250.000, y el mes se
paga anticipadamente. La tasa de descuento es del 18% semestral.
R: El padre de familia cancela anticipadamente $1.401.594,12 por los seis meses de
arriendo.
209
22. Si usted gana 700.000 mensuales y espera tener un saldo ahorrado durante el año de
$1.000.000, determine el porcentaje de sus ingresos que deberá consignar en la
entidad financiera mensualmente, si el interés que gana es el 1.5% mes.
R: Deberá ahorrar el 10,954% de sus ingresos
23. Un ahorrador tiene como disciplina consignar mensualmente $200.000 y
trimestralmente hace depósitos adicionales iguales, si al finalizar el año el saldo es de
$5.000.000, determine el valor ahorrado trimestralmente, si se le reconoce un interés
del 8% trimestral.
R: El ahorrador efectúa depósitos trimestrales de $493.877,63
24. Su hermano piensa comprar un electrodoméstico cuyo valor de contado es de
$6.000.000, hoy tiene disponible $2.000.000, en seis meses y un año puede hacer
abonos extraordinarios de $900.000, si el ingreso mensual de el es de $1.200.000 y
sólo puede disponer del 20% de sus ingresos para abonar a la deuda, podrá adquirir el
bien si el tiempo máximo de financiación son 12 meses y el interés es del 2,5%
mensual.
R: No podría adquirir el electrodoméstico.
25. Con el ejercicio anterior si no puede adquirir el bien con esas condiciones, cuánto
tiempo requeriría para poder cumplir con la totalidad del pago.
R: Su hermano tendría que hacer un pequeño esfuerzo adicional porque con este plan
requeriría 12,53 meses para pagar la totalidad de la deuda.
26. Usted ahorra mensualmente el 30% de sus ingresos, si sus ingresos mensuales son de
$3.200.000, y usted tiene esta disciplina desde hace quince meses, cuánto dinero le
hace falta para comprar el carro de sus sueños si este tiene un precio de $35.000.000.
Su dinero renta una tasa del 15% anual.
R: En este momento sólo tiene $15.642.971,91 esto quiere decir que su faltante es de
$19.357.028.09
27. Con base en el ejercicio anterior, podrá comprarlo dentro de un año si el precio del
carro se incrementa un 5% y su sueldo en un 10%?.
R: No alcanza a comprarlo dado que sus ahorros llegan a $35.196.686,8 pero el carro
ya tiene un valor de $36.750.000.
28. Su padre compra con su tarjeta de Crédito los regalos de navidad por una cuantía de
$2.000.000 y autoriza que le descuenten en 12 cuotas, la tasa de interés de financiación
es del 2,5% mes, cuando le llega el recibo de descuentos y observa que este fue de
$300.000 en el mes, le solicita a usted que vaya a reclamar a la entidad financiera y allí
210
le informan que el mismo dia de las compras de navidad, usaron la tarjeta para otro
servicio, determine el valor del servicio.
R: El servicio que se pagó con la tarjeta tuvo un valor de $1.077.329,37
29. Usted ingresó al sistema de ventas piramidales y mensualmente le ingresan $200.000,
de igual forma semestralmente recibe una bonificación de $300.000, cual será el valor
ahorrado en tres años, si la rentabilidad de su dinero fue del 15%, 18% y 16% anual
respectivamente para cada año.
R: En tres años usted a ahorrado $11.283.516
30. Determine el dinero disponible al finalizar un año si usted invirtió sus recursos en dos
fondos de inversión, en el primero consignó $3.000.000 al iniciar el período y la misma
suma en los meses tres, seis y nueve.
En un segundo fondo invierte mensualmente a partir del primer mes $500.000. ¿Cuál
será el monto total de los recursos disponibles si los fondos han tenido una
rentabilidad del 1,1% y 1,25% mes respectivamente.
R: En el primer fondo tiene disponible $12.936.994,36 mientras que en el segundo
cuenta con $6.430.180,7, es decir en total usted ha ahorrado $19.367.175
31. Un comprador de lotería se ha ganado el premio mayor por un valor de $200.000.000,
determine el dinero que le queda disponible, si toma la decisión de pagar dos créditos
que estaba pagando.
En el primer crédito le faltaban 6 cuotas de $2.000.000 cada una, en el segundo el saldo
era de 15 cuotas de $1.500.000 cada una, los intereses que debía pagar eran del 2,2% y
2,3% respectivamente.
R: El pago de los créditos le equivale a $29.975.902,71, es decir que le queda
disponible $170.024.097,3
32. Sus padres se fueron para el exterior y dejaron un administrador para que arrendara
tres apartamentos, el valor de los arriendos debía consignarlos en una cuenta de
ahorros una vez descontado $100.000 mensuales por la administración, el saldo al
finalizar un año en la cuenta es de $15.500.000, determine el canon mensual en que
estaban arrendados los apartamentos si la entidad financiera renta un interés del 15%
anual. (Recordemos que en los arriendos el pago es anticipado).
R: El valor que se recibe por el arriendo de los tres apartamentos es de $1.296.524,23
33. La fundación del grupo económico más grande de Colombia, realiza un aporte cuyo
beneficiario recibirá a perpetuidad $300.000 mensuales, determine el valor de la
donación si el dinero renta un interés del 12% anual mes vencido.
211
R: La donación fue de $30.000.000
34. La fundación de investigación de la vacuna contra el SIDA ha recibido tres donaciones
de diferentes artistas como apoyo para alcanzar la cura contra esta enfermedad, si el
aporte fue de $500.000.000 para que su duración sea a perpetuidad, con cuántos
recursos cuenta mensualmente si rentan anualmente el 18%
R: La fundación dispone mensualmente para sus gastos con esta donación de
$6.944.215,17
35. Si la fundación le solicita a la entidad financiera el pago anticipado. ¿Cual sería su
valor?
R: El valor del que dispondría mensualmente es de $6.849.092
36. Un electrodoméstico tiene un importe de contado de $5.000.000, paga el 20% de cuota
inicial, el saldo en doce cuotas, las seis primeras tienen un valor de $500.000,
determine el valor de las siguientes seis cuotas iguales con las que termina de cancelar
el bien, si el interés es del 9% trimestral mes vencido.
R: Las últimas seis cuotas tienen un valor de $284.650.
37. Se compra una motocicleta en $ 10.000.000 se financia a 36 meses con una tasa de 2
% mensual.
Determine el valor de la cuota
Si trascurrido un año requiere refinanciar la deuda y esta es aprobada con la siguiente
condición: solo puede cancelar periódicamente el 60% de la cuota que pagaba pero el
interés de financiación sube al 2.2. Determine en cuanto tiempo pago la motocicleta.
R: el valor de la cuota es $ 392.328,526 y duraría 54 meses en pagar la motocicleta.
AUTOEVALUACIÓN
Reflexione sobre lo aprendido y compare con los conocimientos expuestos en este
capítulo, confrontándolos con sus respuestas en la solución de los ejercicios realizados. A
partir de esta reflexión observe sus progresos y planee cómo superar sus debilidades.
El concepto de anualidad significa que los pagos o ingresos se efectúan
anualmente, si, no y ¿por qué?
Si los períodos de las anualidades son trimestrales en qué período se debe
expresar la tasa de interés.
¿Cuándo se determina el valor presente de una anualidad su cálculo se realiza en el
momento del primer pago?
212
En que momento se halla el valor futuro de una anualidad ¿este se calcula un
período antes de la última anualidad?
¿Cuál es la diferencia entre la anualidad diferida y la perpetua?
Para estimar los recursos para financiar el mantenimiento de una vía que tipo de
anualidad se utiliza.
GLOSARIO
ANUALIDAD: Conjunto de ingresos o pagos que se realizan en intervalos iguales de tiempo.
ANUALIDAD ANTICIPADA: Cuando los pagos se realizan al principio de cada período.
ANUALIDAD DIFERIDA: Cuando el primer pago se efectúa después de transcurrido
determinado número de períodos.
ANUALIDAD VENCIDA: Cuando los pagos o ingresos se suceden al final de cada período.
ANUALIDAD INFINITA: Cuando los pagos uniformes tienen una duración indefinida.
CUOTA INICIAL: Es el pago que se realiza en el momento de la compra de un activo
cuando éste se adquiere financiado.
CRÉDITO: Obtención de recursos o bienes sin desembolsar inmediatamente la totalidad de
su valor, con el compromiso de restituirlo en un futuro pagando una compensación
(interés) por el uso del dinero.
DEVENGAR: Derecho que se adquiere que permite obtener una retribución por un servicio
o el haber otorgado un crédito.
PERÍODO DE GRACIA: Cuando la amortización de una deuda no se inicia desde el primer
período.
PERÍODO DE GRACIA CON CUOTA REDUCIDA: Período en el cual sólo se pagan intereses y
no se amortiza capital.
PERÍODO DE GRACIA MUERTO: Período donde hay ningún pago de intereses, pero éstos se
capitalizan.
RIESGO DE TASA DE INTERÉS: Es la posibilidad de que los cambios en la tasa de interés
afecten su estabilidad financiera.
213
FÓRMULAS:
Cálculo del valor presente conociendo la anualidad vencida.
𝑉𝑃 = [(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖(1 + 𝑖)𝑛]
Cálculo de la anualidad vencida conociendo el valor presente.
𝐴 =𝑉𝑃
[(1 + 𝑖)𝑛 − 1𝑖 ∗ (1 + 𝑖)𝑛 ]
Cálculo del valor futuro cuando se tiene una anualidad vencida.
𝑉𝐹 = 𝐴 [(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖]
Cálculo de la anualidad vencida cuando se tiene un valor futuro.
𝐴 = 𝑉𝐹 ∗ 𝑖
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
Determina el número de períodos cuando se conoce un valor presente y la anualidad
vencida.
𝑛 =
𝐿𝑂𝐺 [1
1 − 𝑣𝑝 ∗ 𝑖
𝑎
]
𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖)
Determina el número de períodos cuando se conoce un valor futuro y la anualidad vencida.
𝑛 =𝐿𝑂𝐺 [
𝑉𝐹 ∗ 𝑖𝐴 + 1]
𝐿𝑂𝐺 (1 + 𝑖)
Cálculo del valor presente cuando la anualidad es anticipada.
𝑃 = 𝐴(1 + 𝑖) [(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖(1 + 𝑖)𝑛]
Cálculo del valor presente cuando la anualidad es perpetua.
214
𝑃 =𝐴
𝑖
Cálculo del valor presente cuando la anualidad es perpetua y anticipada.
𝑃 = 𝐴 +𝐴
𝑖
215
CAPÍTULO 5
GRADIENTES
JUSTIFICACIÓN
Al observar la realidad que vivimos día a día, los créditos personales para la adquisición de
bienes y servicios con fines que van desde la simple subsistencia de las personas hasta la
compra de materias primas para la producción de bienes y servicios como actividad
económica de los individuos y de las empresas, son fundamentales para el crecimiento de
un país. Esta situación de la dinámica económica nos ha permitido considerar el pago de
la deuda mediante cuotas iguales.
Después de aprender y experimentar con el método para calcular el pago de los créditos
mediante cuotas iguales, es muy importante explorar un nuevo sistema mediante el cual el
valor de las cuotas va aumentando o disminuyendo por un valor o porcentaje uniforme.
Este procedimiento matemático busca facilitar el pago del crédito por parte de los
usuarios.
Considerando como supuesto que los ingresos van aumentando por lo menos en el índice
inflacionario, se ha considerado tener en cuenta este indicador en las transacciones
financieras, aplicándolo especialmente en la financiación de vivienda.
MI OBJETIVO GENERAL
Dominar la aplicación de los métodos y factores que inciden en los sistemas de
financiación por cuotas que varían uniformemente.
216
MIS OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Con el estudio y aprendizaje de los gradientes debo desarrollar competencias que
posibiliten mi desempeño futuro en el campo financiero, para:
Determinar el valor presente y futuro de una serie que crece o decrece
uniformemente.
Dominar el cálculo del valor o porcentaje que varía periódicamente la cuota de
pago de un préstamo.
Establecer el valor de la primera cuota en una serie variable uniforme.
CONDUCTA DE ENTRADA
Recordemos, la evaluación de entrada le permitirá autoevaluar los conocimientos y
conceptos que ya posees para continuar su estudio en finanzas. Al identificar sus
deficiencias podrá superarlas para poder iniciar el estudio de esta unidad.
La inteligencia se mide por la capacidad para resolver problemas. Entre más ejercicios
resuelvas más desarrollará su inteligencia.
Probemos nuestra propia capacidad, y comprobemos de paso nuestra potencialidad para
apropiar conocimientos, y desarrollemos competencias para resolver problemas y tomar
decisiones en el campo de las finanzas.
Resolvamos estos problemas y reflexionemos sobre los procedimientos y respuestas.
Después desarrollemos un plan de acción para mejorar el aprendizaje de las finanzas.
1. Diagramar un flujo de caja y señalar la ubicación del valor presente, la anualidad y el
valor futuro, mostrar: el valor presente como un ingreso y la anualidad y el valor
futuro como egresos.
2. Definir en qué transacciones financieras se aplican las anualidades y cuáles son sus
características.
3. Presentar las diferencias entre la ubicación del cálculo del valor presente y futuro de
una anualidad respecto de la serie uniforme.
4. Calcular el valor de la cuota de pago de un crédito de $1.000.000, para un plazo de
financiación de seis meses y con un interés del 2,5% mes.
5. Describir la diferencia existente entre una anualidad diferida y una perpetua.
¿QUÉ TAL LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN?
217
Ahora que se siente seguro podemos iniciar este nuevo e interesante tema.
5.1 GRADIENTES
Se denomina gradiente a una sucesión de valores, que crecen o decrecen de manera
uniforme, ya sea en un valor absoluto o en un porcentaje.
¿PARA QUÉ SIRVEN LOS GRADIENTES?
Los gradientes son modelos matemáticos que se utilizan para liquidar créditos de
amortización que permita al prestatario iniciar con cuotas bajas y que vayan creciendo de
acuerdo con el aumento de los ingresos.
De igual forma se utilizan para calcular en un período determinado los gastos de operación
de una empresa o el mantenimiento de su maquinaria, los cuales varían periódicamente en
cantidades o porcentajes iguales.
TIPOS DE GRADIENTES
Existen dos tipos de gradientes: EL GRADIENTE ARITMÉTICO y el GRADIENTE
GEOMÉTRICO.
5.2 GRADIENTE ARITMÉTICO:
En este tipo de gradiente, Los valores aumentan o disminuyen una cantidad igual de
manera uniforme, ya sea un ingreso o un desembolso.
CONFORMACIÓN DEL GRADIENTE
Para que un flujo de caja se pueda definir como un gradiente, y se pueda calcular su valor
presente o futuro, debe presentar las siguientes condiciones:
Los pagos o ingresos deben realizarse con la misma periodicidad.
El aumento o disminución es constante y su valor se denomina G.
El primer dato de la serie se denomina cantidad base y se representa con la letra A.
Por la tendencia en la variación, el gradiente se clasifica en ascendente y
descendente.
5.3 GRADIENTE ARITMÉTICO ASCENDENTE
Se denomina así porque periódicamente los ingresos o egresos aumentan.
218
VALOR PRESENTE
Como valor presente se puede definir, la equivalencia de la sumatoria de una serie que
aumenta uniformemente en un valor determinado y descontado con una tasa de interés
hasta el momento actual.
La fórmula para calcular el valor presente de un gradiente es la siguiente:
V P = A +
Definición de variables:
VP = Valor Presente
A = Cantidad Base
n = Número de períodos
i = Tasa de interés del Período
g = Valor constante de aumento o disminución del flujo de caja.
EJEMPLO 5.1:
Determine el valor presente de un flujo de caja que en el primer período consigna $200, y
que mensualmente aumenta sus ahorros en $100 durante tres meses más, el interés es del
1,96% mensual.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se quiere determinar el valor presente equivalente, dado que se conoce el número y valor
de las cuotas, así como la tasa de financiación.
PREGUNTA
Se va a calcular un VP
UBICACIÓN INCÓGNITA
La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Los datos son los siguientes:
A = $200
219
g = 100
n =4 meses
i = 1,96% mensual.
PROCEDIMIENTO
En este ejercicio sólo se procede a reemplazar en la fórmula.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
VP = 200
VP = 762.2855395 + 562.467477551020
VP = 1324.753017
RESPUESTA:
El valor presente equivalente al ahorro realizado en 4 meses es de $1324.75
VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO INFINITO
El gradiente aritmético infinito tiene sentido cuando se calcula el VP, su principal aplicación
está en el mercado bursátil, para determinar el costo de capital de una inversión en acciones.
La fórmula para calcular el valor presente de un gradiente aritmético infinito es la siguiente:
VP =
EJEMPLO 5.2:
Determine el valor que se debe invertir en un proyecto que se propone generar ingresos
en el primer año $1.000.000 y aumentarlos anualmente en $100.000, la tasa de
rendimiento es del 15% anual.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se quiere determinar el valor presente de una serie infinita.
PREGUNTA
Se va a calcular un VP
UBICACIÓN INCÓGNITA
La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
220
Los datos son los siguientes:
A = $1.000.000
g = 100.000
i = 15% anual.
PROCEDIMIENTO
En este ejercicio sólo se procede a reemplazar en la fórmula.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
VP =
VP = 11.111.111,11
El valor que se debe invertir en el proyecto es de $11.111.111,11
FORMA DE CÁLCULO MEDIANTE EL USO DE LAS TABLAS.
Para explicar el uso de las tablas en el cálculo del valor presente de un gradiente, es
preciso entender como está estructurado un gradiente aritmético.
La forma de un gradiente aritmético está dada por las dos partes siguientes:
Cantidad base, se configura como una anualidad y está determinada por el valor
que da inicio a la serie y termina cuando se llega a la n donde finaliza.
Cantidad Gradiente: Es la cantidad que va aumentando o disminuyendo en la serie
uniforme.
La variación es la cantidad Gradiente.
NOTA: Las tablas tienen la limitante de que el valor del interés debe estar contemplado en
la tabla de factores.
EJEMPLO 5.3:
Se va a calcular el valor presente de los anteriores gradientes con un interés del 2% mes.
GRADIENTE ASCENDENTE
PREGUNTA
Se va a calcular un VP
UBICACIÓN INCÓGNITA
La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
221
Los datos son los siguientes:
A = $200
g = 100
i = 2% mes.
n=4
PROCEDIMIENTO
En este ejercicio se procede a reemplazar en la fórmula, pero haciendo uso de las tablas.
V. P = 200 (P/A, 2%,4)+100(P/G, 2%,4)
V. P = 200* 3,8077 + 100* 5,6173
V. P = 1323,27
GRADIENTE DESCENDENTE
PREGUNTA
Se va a calcular un VP
UBICACIÓN INCÓGNITA
La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Los datos son los siguientes:
A = $500
g = 100
i = 2% mes.
n=4
PROCEDIMIENTO
En este ejercicio se procede a reemplazar en la fórmula, pero haciendo uso de las tablas.
V. P = 500 (P/A, 2%, 4) - 100(P/G, 2%, 4)
V. P = 500* 3, 8077 - 100* 5, 6173
V. P = 1342, 12
222
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H.P
Las calculadoras no traen la función que desarrolle un ejercicio de gradiente de forma
directa, para hacerlo la H.P. permite que se construya la fórmula, los pasos que se deben
seguir son los siguientes:
Si está situado en el menú principal (MAIN), presione RESOL, una vez allí se construye la
fórmula y se le da un nombre seguido por dos puntos, digita INPUT para que se ubique
en la memoria del RESOL.
CONSTRUCCIÓN DE LA FÓRMULA
Para ingresar la fórmula la calculadora muestra en la pantalla el mensaje VERIFICANDO
FÓRMULA.... indica el trabajo que realiza.
Si la FÓRMULA presenta algún error y no se puede interpretar muestra la frase FÓRMULA
INCORRECTA, y el cursor se ubica donde factiblemente está el error.
La fórmula del gradiente aritmético ascendente se construye en la calculadora de la
siguiente manera:
GRARITAS: PGA : A x ((1+ i)^n - 1)/(i x (1 + i)^n)+ (G/i) x (((1+i)^n-1)/(i x (1+i)^n)-
n/(1+i)^n)
Se Digita INPUT
En el menú quedan las siguientes opciones:
CALC EDTAR ELIM
CALC
Con la opción CALC se muestran las opciones de las variables para asignar valores, para
esta fórmula quedaría así:
PGA A I N G
Se digita primero el valor de cada variable y después la letra correspondiente.
EDTAR
Esta opción se utiliza para cuando se va a realizar alguna modificación a la fórmula,
cuando se corrige una fórmula regularmente se debe insertar algún signo o letra, para
crear el espacio se utiliza la tecla INS.
223
ELIM
Se utiliza para la eliminación de la fórmula.
APLICACIÓN AL GRADIENTE ASCENDENTE DEL EJEMPLO 5.2
RESOL
Se ubica GRARITAS
CALC
500 A
2% I
4 N
100 G
PGA
La Pantalla muestra PGA = 1342,12
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS BA II PLUS PROFESSIONAL
Al igual que la HP la BA II no trae la función que desarrolle un ejercicio de gradiente de
forma directa, para hacerlo seleccionamos la hoja de trabajo Flujo de caja con la opción CF,
la pantalla nos muestra CFo=, como vamos a hallar el valor presente este espacio queda
vacio y continuamos el proceso de la siguiente manera:
Pulse 500 ENTER Como este valor es para un solo periodo F01 queda como el
predeterminado 1, pulse de nuevo 400 ENTER 300 ENTER 200 ENTER.
Para acceder a la variable de la tasa de interés pulse NPV e ingrese el valor del interés que
para el caso es 2 ENTER CPT. La pantalla muestra 1342.13.
APLICACIÓN EN EXCEL
El Excel no tiene dentro de sus funciones un formato directo para el cálculo del gradiente
aritmético, por esto se hace el cálculo de cada uno de los factores, como lo muestra la
siguiente figura:
NOTA: Es importante dejar el valor de cada variable en una casilla única, para evitar que
quede como texto y que sea susceptible de ser modificada.
De igual manera se debe tener cuidado en la organización de los paréntesis.
224
Este mismo procedimiento se utiliza para el cálculo del VP de un gradiente aritmético
descendente o el VF.
En el Capítulo siete aprenderemos la ventaja de trabajar con el EXCEL, haciendo uso de las
herramientas TABLA y BUSCAR OBJETIVO.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Veamos si el tema quedó entendido:
Cuál es el valor de contado de un vehículo que lo compró financiado a 36 meses,
pagó de cuota inicial $5.000.000, por la primer cuota debe consignar $200.000 y a
partir de allí cada cuota debe aumentar $40.000, la tasa de interés es del 30% anual.
Se aportó recursos a un fondo por $60.000.000, su propósito es asistir a un
orfanato por tiempo indefinido, cada año la asistencia debe aumentar en $300.000,
determine el valor para el primer año, si la tasa de interés de rentabilidad del
fondo es del 20% anual.
VALOR FUTURO
El valor futuro es la sumatoria de una serie que uniformemente va aumentado una
determinada cantidad, en una fecha posterior.
La fórmula para calcular el valor futuro de un gradiente aritmético ascendente es:
F = A +
EJEMPLO 5.2:
Cuánto se tendrá disponible para ir a vacaciones al finalizar el mes seis si se inicia ahorrar
este mes $100.000, y se aumenta $50.000 mensuales. El interés es del 1,5% mensual.
NOTA: Se trabajará en miles (000).
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se quiere determinar el valor futuro, proveniente de una serie de consignaciones en forma
de gradiente aritmético.
PREGUNTA
Se va a calcular un VF
UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA
225
La incógnita se encuentra ubicada en el período seis (6).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
A = 100
g = 50
n =6 meses
i = 1,5 % mes
PROCEDIMIENTO
En este ejercicio sólo se requiere reemplazar en la fórmula de VF cuando se tiene un
gradiente aritmético:
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
F=100+
F = 100 x 6,229550929 + 3333,33 x 0,229550929
F = 622,9550929 + 765,1697633
F = 1.388,124
Respuesta: Recordemos que se trabaja en miles. Se tiene ahorrado al finalizar el mes seis
(6), $1.388.124.
DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n.
Determinar los valores en un gradiente aritmético es muy fácil, pero en aras de aprovechar
el tiempo, cuando se tienen períodos largos, se debe utilizar una fórmula para mayor
rapidez.
Por ejemplo, si en el primer caso no se habla de 4 períodos, sino se quiere conocer el valor
del egreso en el mes quince, se hace un poco largo realizarlo uno por uno, por esto el
cálculo se realizaría de la siguiente forma:
FÓRMULA
Valor(n)= A + g x (n-1)
EJEMPLO 5.5:
Si el caso del ejemplo 5.2 es un ahorro permanente, determine el valor que consigna en el
mes quince (15).
226
Valor (15)=200+100 * (15-1)
Valor (15)=1.600
5.4 GRADIENTE ARITMÉTICO DESCENDENTE
Se denomina así porque periódicamente los ingresos o egresos disminuyen.
VALOR PRESENTE
Cuando el gradiente aritmético es descendente, la fórmula se modifica en su parte central
donde en vez de sumar su segunda parte, pasa a restar.
VP = A-
EJEMPLO 5.6:
Cuánto dinero debo tener hoy para pagar una deuda cuya forma de pago es la siguiente:
4 cuotas mensuales, la primera de $500.000 y disminuye cada mes en $50.000, si el interés
es del 2% mensual.
Se trabaja en miles (000).
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se quiere determinar el valor presente, que es la cuantía equivalente a los futuros
compromisos de pago, en forma de gradiente aritmético descendente.
PREGUNTA
Se va a calcular un VP.
UBICACIÓN INCÓGNITA
La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
A = 500
g = 50
n =4 meses
i = 2 % mes
PROCEDIMIENTO
227
Se reemplaza en la fórmula de cálculo de VP cuando el flujo de caja conforma un gradiente
aritmético descendente.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
VP = 500 -
VP = 500 x 3,807728699 - 2500 x 0,112346994
VP = 1903,86435 - 280,867485
VP = 1622,996
Respuesta: Como se trabajó en miles, El dinero requerido para pagar la deuda es de
$1.622.996
VALOR FUTURO
Consiste en calcular la cuantía equivalente de una serie de pagos periódicos que
disminuyen en una cantidad constante, en una fecha posterior.
La fórmula para calcular el valor futuro del gradiente descendente es la siguiente:
VF = A -
EJEMPLO 5.7:
Determine el total gastado al final de 6 meses en el mantenimiento de una vía si el primer
mes requirió $5.000.000=, mensualmente se le invertía $500.000 menos. El interés es del
3% mes.
GRÁFICO: Miles (000) de $
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se quiere determinar el valor presente, que es el monto equivalente a los futuros pagos,
los cuales tienen forma de gradiente aritmético descendente.
PREGUNTA
Se va a calcular un VP.
UBICACIÓN INCÓGNITA
La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).
228
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
A = 5.000
g = 500
n =6 meses
i = 3 % mes
PROCEDIMIENTO
Se reemplaza en la fórmula de VP, cuando se tiene un gradiente aritmético descendente.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
VF = 5.000 -
VF = 5.000 x 6,468409884 - 16.666,66 x 0,468409884
VF = 32.342,049 - 7.806,8314
VF = 24.535,218
Respuesta: El dinero gastado en el mantenimiento de la vía alcanza al final del mes seis a
$24.535.218.
DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n.
Para la determinación del valor en un gradiente aritmético descendente para un
determinado período la FÓRMULA es la siguiente:
Valor(n)= A - g x (n-1)
EJEMPLO 5.8:
Si se tiene un flujo de caja cuyo primer dato es $5.000 y disminuye periódicamente $50,
determine el valor del período 24.
Valor(24)= 5.000 - 50 x (24-1)
Valor(24)= 3.850
El valor en el período 24 es de $3.850.
EJEMPLO 5.7:
229
Usted ahorrará $ 10.000 mensuales durante doce meses, pero mensualmente aumenta en
$2000=, en una corporación que le paga el 18% semestral mes vencido. Su primer ahorro
lo hará dentro de tres meses. ¿Cuánto tendrá ahorrado después de efectuar su última
consignación?
18/6 = 3% mensual
FLUJO DE CAJA (miles (000))
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
El planteamiento que realiza quien debe calcular el total ahorrado dentro de catorce
meses, es que debe calcular un valor Futuro. Además se debe tener en cuenta que
comienza a efectuar las consignaciones en el mes 3.
Pregunta: Valor ahorrado
Ubicación Incógnita: Mes catorce (14).
Organización de la Información:
A = 10.000
g = 2.000
n =14 meses
i = 3 % mes
VF = ?
PROCEDIMIENTO:
Con la fórmula de VF de un gradiente aritmético ascendente, se calcula el total
ahorrado.
Se reemplaza en la fórmula:
VF = 10.000 +
VF = 10.000 x 14,192 + 66.666,66 x 2,192
VF = 141.920 + 146.133,32
VF = 288.053,32
230
Respuesta: El saldo que tiene el ahorrador en el mes 14 es de $288.053,32
EJEMPLO 5.10:
Usted hace el siguiente ahorro: dentro de dos meses consigna $4.000 y aumenta en $4.000
cada mes hasta el mes seis; a partir de allí consigna la misma suma hasta el mes diez, de
ahí en adelante disminuye $4.000 hasta el mes catorce.
Calcular el valor presente hoy, y el valor que tiene ahorrado al mes quince.
La tasa de interés es de 19.4% semestral.
i = 19.4% semestral
i mes = (1 + 0.194)1/6 - 1 = 3 %
i = 3% mensual
FLUJO DE CAJA
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se tienen 3 tipos de flujos de caja, gradiente aritmético ascendente,
anualidades y gradiente aritmético descendente.
La tasa de interés dada fue una efectiva semestral, y los períodos son mensuales.
Pregunta: Equivalencia del valor ahorrado en el momento cero y en el período quince.
Ubicación Incógnita: Mes cero (0) y mes quince (15).
Organización de la Información:
Gradiente aritmético ascendente.
A = 4.000
g = 4.000
n =4 meses
i = 3 % mes
VP =?
Anualidad.
A = 20.000
n =5 meses
231
i = 3 % mes
VP =?
Gradiente aritmético descendente.
A = 16.000
g = 4.000
n =4 meses
i = 3 % mes
VP =?
PROCEDIMIENTO:
El flujo de caja para efectos del desarrollo del ejercicio se puede dividir en tres
partes: El gradiente aritmético ascendente, la anualidad y el gradiente aritmético
descendente.
Con la fórmula de VP de un gradiente aritmético ascendente, se calcula la
equivalencia del monto ahorrado del gradiente aritmético ascendente. Como el
primer pago lo efectuó en el mes 2, el valor presente se calcula en el mes uno (1),
por lo tanto se debe llevar a cero (0), con la fórmula de futuro a presente.
La anualidad se lleva a VP al mes cinco (5), con la fórmula de VP de una anualidad
y de allí se lleva a cero (0), con la fórmula de futuro a presente.
El gradiente aritmético descendente se lleva a VP al mes diez (10), con la fórmula
de VP, de allí se lleva a cero (0) con la fórmula de futuro a presente.
Se suman los tres VP obtenidos, y se determina el VP total.
Para calcular el monto ahorrado en el mes quince, se lleva el VP total al mes quince
(15).
Se reemplaza en la fórmula:
1. GRADIENTE ARITMÉTICO ASCENDENTE
Se determina el valor presente en el período uno (1).
V P1 = 4.000 +
VP1 = 4.000 x 3,717098403 + 133.333, 33 x 0,163150211
VP1 = 14.868,39 + 21.753,36
232
VP1 = 36.621,75
Como está en el período uno (1), ahora se lleva al período cero (0).
VP0 =
VP0 = 35.555
El valor presente en el momento cero del gradiente aritmético ascendente es $35.555.
2. ANUALIDAD
Se calcula el VP en el período cinco.
V P5 = 20.000
VP5 = 91.594,14
Ahora se debe llevar a cero (0).
VP0 =
VP0 = 79.009,9
El valor en el período cero de las anualidades es de $79.009,9
GRADIENTE ARITMÉTICO DESCENDENTE
Se lleva a valor presente en el período diez (10).
VP10 = 16.000 -
VP10 =16.000 x 3,717098403 - 133.333,33 x 0,163150211
VP10 = 59.473,57 - 21.753,36
VP10 = 37.720,21
El valor presente en el período diez (10) es de $37.720,21, ahora se debe llevar a cero (0).
VP0 =
VP0 = 28.067,38
El valor en el período cero es de $28.067,38.
CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE LO AHORRADO EN EL PERÍODO CERO.
233
Para dar respuesta al primer interrogante, el monto equivalente de lo ahorrado en el
período cero (0), se suman los tres valores presentes calculados anteriormente.
VPTOTAL = 35.555 + 79.009,9 + 28.067,38
VPTOTAL = 142.632,28
Respuesta: El equivalente al valor ahorrado en el período cero (0), es de $142.632,28
SALDO DE LO AHORRADO EN EL MES QUINCE
Para determinar la cifra ahorrada en el mes quince, simplemente se llevan los 142.632,28
a un futuro en el período quince (15).
VF15 = 142.632,28 x (1,03)15
VF15 = 222.216,44
Respuesta: El saldo en la cuenta de ahorros en el mes quince es de $222.216,44.
EJEMPLO 5.11:
¿Cuál fue la cuantía de apertura de una cuenta, la cual se realizó al finalizar el primer mes
si al terminar el semestre se tiene un saldo en la cuenta de ahorro de $10.000.000, y
periódicamente aumentaba los depósitos en $200.000=. El interés es del 2,5% mes.
FLUJO DE CAJA
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca calcular el valor de la primera consignación. Mediante el despeje
de A en la fórmula de gradiente aritmético ascendente.
Pregunta: Valor consignado en el primer mes, es decir el valor de A.
Ubicación incógnita: Mes uno (1).
Organización de la información:
A =
g = 200.000
n =6 meses
i = 2,5 % mes
VF = 10.000.000
234
PROCEDIMIENTO:
En este ejercicio se reemplaza en la fórmula de VF para un gradiente aritmético
ascendente y se despeja A.
Se reemplaza en la fórmula:
10.000.000 = A +
10.000.000 = A x 6,387736728 + 8.000.000 x 0,387736728
10.000.000 = 6,387736728 A + 3.101.893,82
= A
A = 1.079.898,32
Respuesta: El valor de la primera consignación fue de $469.636,43.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA:
Usted espera reunir $10.000.000 para el próximo año (dentro de 12 meses), con el
propósito de regalarle un viaje a sus padres en su aniversario de bodas, en el
momento cuenta con $2.000.000, y espera disponer de $500.000 en el primer mes
y aumentar esta cifra en $200.000 cada mes, si estos recursos rentan al 3%
mensual, determine cuánto dinero le hizo falta en la fecha prevista o por el
contrario cuánto es el valor adicional.
Su padre le pide que le calcule la cuantía con el que debe abrir una cuenta de
ahorros con la cual usted debe asumir los gastos durante el semestre de
universidad, El le fija el gasto del primer mes en $300.000 y se asume que éstos le
aumentan en $30.000 mes, la entidad donde deja el dinero le reconoce un interés
del 14% anual, ¿cuál es el dato a entregarle?, tenga cuidado porque Él no le volverá
a consignar ningún valor.
5.5 CÁLCULO DEL SALDO DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO
El cálculo del saldo se utiliza para conocer el monto de la deuda después de haber
efectuado determinada cantidad de pagos, el procedimiento es muy sencillo, simplemente
traer a valor presente las cuotas por pagar.
El método es idéntico para el gradiente aritmético ascendente como para el descendente,
tenga en cuenta la FÓRMULA respectiva.
235
EJEMPLO 5.12:
Con el ejercicio anterior, determine el saldo una vez se ha pagado la primer cuota.
4 cuotas mensuales, la primera de $500.000 y disminuye cada mes en $50.000, si el interés
es del 2% mensual.
Se trabaja en miles (000).
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se quiere determinar el valor presente, de las tres cuotas que quedan por pagar.
PREGUNTA
Se va a calcular un VP.
UBICACIÓN INCÓGNITA
La incógnita se encuentra ubicada en el período uno (1).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
El valor de A es la cifra del siguiente pago que se debía realizar si se cumple con el flujo de
caja proyectado inicialmente.
A = 450
g = 50
n =3 meses
i = 2 % mes
PROCEDIMIENTO
Se reemplaza en la fórmula de cálculo de VP cuando el flujo de caja conforma un gradiente
aritmético descendente.
REEMPLAZO EN LA FÓRMULA
VP = 450 -
VP = 450 * 2,883883273 - 2500 * 0,056916269
VP = 1297,747473 - 142,2906725
VP = 1155,456
236
Respuesta: Como se trabajó en miles, El saldo de la deuda una vez pagada la primera cuota
es de $1.155.456
5.6. GRADIENTE GEOMÉTRICO
Se considera gradiente geométrico a una serie de ingresos o pagos periódicos en la cual
cada uno es igual al del período inmediatamente anterior incrementado en un mismo
porcentaje.
La variación porcentual de cada pago puede aumentar o disminuir, dando origen al
gradiente geométrico ascendente o descendente.
5.7 GRADIENTE GEOMÉTRICO ASCENDENTE
Como se enunció anteriormente el gradiente es ascendente cuando en una serie de pagos o
ingresos éstos van aumentando en un mismo porcentaje.
En el siguiente flujo se muestra un gradiente cuyo primer pago es de $100, y aumenta el
2% mensual, hasta el mes cinco.
FLUJO DE CAJA
Los valores serían los siguientes:
VALOR PRESENTE
La fórmula para determinar el valor presente del gradiente geométrico ascendente es la
siguiente:
VP =
Definición de Variables:
VP = Valor Presente
A = Cantidad Base
n = Número de períodos
237
i = Tasa de interés del Período
j = Porcentaje de aumento o disminución del gradiente.
EJEMPLO 5.13:
Determine el valor presente del flujo de caja cuyo primer pago es $100 y aumenta el 2%
mes hasta el período cinco (5), si el interés es del 3% mensual.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca calcular el valor presente de una serie de pagos que
periódicamente aumentan un porcentaje.
Pregunta: Valor presente.
Ubicación Incógnita: Mes cero (0).
Organización de la Información:
A = 100
j = 2%
n =5 meses
i = 3 % mes
PROCEDIMIENTO
Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un gradiente
geométrico ascendente.
Se Reemplaza en la fórmula:
VP =
VP = 10.000 x 0,0476102
VP = 476,1
RESPUESTA
El valor presente es de $476,1.
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H.P
CONSTRUCCIÓN DE LA FÓRMULA
238
La fórmula del gradiente geométrico ascendente se construye en la calculadora de la
siguiente manera:
GRAGEAS: PGGA : A /(i - j) x (1-((1+i)/(1+j))^n)
Se Digita INPUT
En el menú quedan las siguientes opciones:
CALC EDTAR ELIM
APLICACIÓN AL EJEMPLO 5.10
RESOL
Se ubica GRAGEAS
CALC
100 A
3% I
2% J
5 N
PGGA
La Pantalla muestra PGA = $476,1
APLICACIÓN CON LA CALCULADORA BA II PLUS PROFESSIONAL
Tomando como base que los pagos aumentan en un 2% mensual, el valor de los
desembolsos seria:
• 100
• 102
• 104,04
• 106,1208
• 108,243216
CONTRUCCION DE LA FORMULA
CF
100 ENTER
102 ENTER
104,04 ENTER
239
106,1208 ENTER
108,243216 ENTER
NPV 3 ENTER CPT
La pantalla muestra NPV= 476,10
APLICACIÓN EN EXCEL
Al igual como se había explicado para el gradiente aritmético, Excel no presenta una
función directa, por lo tanto se construye la fórmula.
Para este caso se subdividió en dos elementos con el propósito de que se disminuya la
probabilidad de equivocarse, quien tiene facilidad la puede calcular completa.
El resultado obtenido comprueba el realizado manualmente.
VALOR PRESENTE CUANDO I = J
Cuando en un gradiente geométrico ascendente la tasa de interés es igual al porcentaje de
aumento del gradiente, la fórmula es la siguiente:
VP =
EJEMPLO 5.14
Cuál fue la cantidad de dinero que le consignó su padre si usted pudo efectuar retiros
durante 6 meses, el comportamiento de los retiros fue el siguiente: $100.000 el primer
mes y a partir de allí aumentaron mensualmente en el 2%. La tasa de interés de la entidad
financiera es del 2% mensual.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca calcular el valor presente de una serie de pagos que
periódicamente aumentan un porcentaje del 2%.
Pregunta: Valor Presente.
Ubicación Incógnita: Mes cero (0).
Organización de la Información:
A = 100.000
240
j = 2%
n =6 meses
i = 2 % mes
PROCEDIMIENTO
Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un gradiente
geométrico ascendente, pero que la tasa de interés es el mismo valor que aumentaron los
retiros.
Se reemplaza en la fórmula:
VP =
VP = 588.235,29
RESPUESTA
Su padre le consignó para los gastos del semestre $588.235,29
VALOR FUTURO
Para calcular el valor futuro de un gradiente ascendente se utiliza la siguiente fórmula:
VF =
EJEMPLO 5.15:
Determinar la cantidad ahorrada por un grupo de estudiantes que desean realizar una
excursión al finalizar el mes seis, si en el primer mes ahorran $100.000 y va aumentando
mensualmente sus ahorros en un 6%, el interés es del 2% mes.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca calcular el valor Futuro de una serie de consignaciones que
periódicamente aumentan un porcentaje del 6%.
Pregunta: Valor Futuro.
Ubicación Incógnita: Mes seis (6).
Organización de la Información:
A = 100.000
j = 6%
241
n =6 meses
i = 2 % mes
PROCEDIMIENTO
Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VF cuando se tiene un gradiente
geométrico ascendente.
Se reemplaza en la fórmula:
VF =
VF = 730.891,73
RESPUESTA
Los estudiantes tienen disponible para la excursión $730.891,73.
VALOR FUTURO CUANDO I = J
Cuando i = j, la fórmula para calcular el valor futuro del gradiente ascendente es:
VF = n A ( 1+ i )n-1
EJEMPLO 5.16:
Determine el valor Futuro del siguiente flujo de caja, cuando el interés es del 2% mes.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca calcular el valor futuro de una serie de pagos que
periódicamente aumentan un porcentaje del 2%.
Pregunta: Valor Futuro.
Ubicación Incógnita: Mes seis (6).
Organización de la Información:
A = 100
j = 2%
n =6 meses
i = 2 % mes
PROCEDIMIENTO
242
Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VF cuando se tiene un gradiente
geométrico ascendente, pero que la tasa de interés es el mismo valor que aumentaron las
consignaciones.
Se reemplaza en la fórmula:
VF = 5 x 100 ( 1 + 0,02 )5-1
VF = 541,21
RESPUESTA
El valor futuro es de $541,21.
DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n.
Para la estimación del valor de un pago en un determinado período en un gradiente
geométrico ascendente se requiere de la FÓRMULA siguiente:
FÓRMULA
Valor(n)= A x ( 1 + j )n-1
EJEMPLO 5.17:
Para un gradiente cuyo primer pago es de $100, y aumenta mensualmente el 3%,
determine el valor del pago en el mes diecinueve (19).
Organización de la Información:
A = 100
j = 3%
n =19 meses
Reemplazo en la fórmula:
Valor(19)= 100 x ( 1 + 0,03 )19-1
Valor(19)= 170,24
RESPUESTA
El valor del pago en el mes 19 es de $170,24
243
5.8 GRADIENTE GEOMÉTRICO DESCENDENTE
Se presenta el gradiente geométrico cuando en una serie de ingresos o pagos periódicos,
cada valor disminuye en un mismo porcentaje respecto del inmediatamente anterior.
DIAGRAMA DEL FLUJO DE CAJA
VALOR PRESENTE
La fórmula de valor presente es la siguiente:
VP =
EJEMPLO 5.18:
Determine el valor presente de un flujo de caja cuyo primer pago es de $100 y va
disminuyendo cada pago en el 5% mes, hasta el mes cinco, la tasa de interés es del 2%
mes.
Los valores de cada pago serían los siguientes:
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca calcular el valor presente de una serie de pagos que
periódicamente disminuyen un porcentaje del 5%.
Pregunta: Valor presente.
Ubicación Incógnita: Mes cero (0).
Organización de la información:
A = 100.000
j = 5%
n =5 meses
i = 2 % mes
PROCEDIMIENTO
244
Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un gradiente
geométrico descendente.
Se reemplaza en la fórmula:
VP =
VP = 1.428,57 x 0,143972635
VP = 205,67
El valor presente es de $205,67.
VALOR PRESENTE CUANDO I = J
Para este tipo de gradiente no existe fórmula especial cuando i = j
VALOR FUTURO
La fórmula para determinar el valor futuro es la siguiente:
VF =
EJEMPLO 5.19:
Hallar el saldo en una cuenta de ahorros en el mes cinco (5), si en el primer mes se
consigna $100.000 y mensualmente disminuye el valor consignado en un 4%. La tasa de
interés que paga la entidad financiera es del 1% mes.
Organización de la Información:
A = 100.000
j = 4%
n =5 meses
i = 1 % mes
FLUJO DE CAJA
En Miles (000)
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca calcular el valor futuro de una serie de consignaciones que
periódicamente disminuyen un porcentaje del 1%.
245
Pregunta: Valor Futuro.
Ubicación Incógnita: Mes cero (0).
Organización de la información:
A = 100.000
j = 5%
n =5 meses
i = 2 % mes
PROCEDIMIENTO
Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VF cuando se tiene un gradiente
geométrico descendente.
Se reemplaza en la fórmula:
VF =
VF = 471,274
Respuesta
El dinero ahorrado en el mes cinco (5), alcanza un valor de $471.274
VALOR FUTURO CUANDO I = J
Cuando i = j, la fórmula para calcular el valor futuro del gradiente descendente es igual a
cuando las tasas son diferentes.
DETERMINACIÓN DEL VALOR DEL GRADIENTE EN UN PERÍODO n
Para hallar el valor de un pago en un determinado período de un gradiente geométrico
descendente se requiere de la fórmula siguiente:
Valor(n)= A x ( 1 - j )n-1
EJEMPLO 5.20:
Para un gradiente cuyo primer pago es de $100, y disminuye mensualmente el 3%,
determine el valor del pago en el mes quince (15).
Organización de la Información:
A = 100
246
j = 3%
n =15 meses
Reemplazo en la fórmula:
Valor (15)= 100 x (1 - 0,03)15-1
Valor (15)= 65,28
El valor del pago en el mes 15 es de $65,28
5.9 CÁLCULO DEL SALDO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO
El procedimiento para calcular el saldo en un flujo de caja cuyo comportamiento se
configura con el gradiente geométrico es exactamente igual al del gradiente aritmético,
sólo se debe tener cuidado en aplicar la fórmula correcta.
Es decir que el saldo de un gradiente geométrico, no es más que estimar el VP de las cuotas
que faltan por cancelar.
EJEMPLO 5.21
Su hermano obtuvo un crédito por $3.000.000, si se comprometió a pagarlo en seis meses
y aumentar su abono periódico en el 5% determine el valor del primer pago, y el saldo
después de haber abonado dos cuotas. La tasa de interés de la entidad financiera es del 2%
mensual.
FLUJO DE CAJA
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca calcular el primer pago de una serie de pagos que
periódicamente aumentan un porcentaje del 5%, y posteriormente se estima el saldo una
vez haya abonado dos cuotas.
Pregunta: Valor de A, y el saldo en el mes dos
Ubicación Incógnita: El valor de la primera cuota en el mes uno (1), y el saldo una vez
pagada la segunda cuota.
Organización de la Información:
VP = 3.000.000
247
A =
j = 5%
n =6 meses
i = 2 % mes
PROCEDIMIENTO
Se debe reemplazar en la fórmula de determinar el VP cuando se tiene un
gradiente geométrico ascendente.
Se reemplaza en la fórmula:
3.000.000 =
A = 473.767,55
El primer pago es de $473.767,55.
Se determina el valor del pago que debía hacerse en el mes tres.
Cuota del mes tres = 473.767,55 * (1,05)2
Cuota del mes tres = $522.328,72
Ahora se estima el saldo, calculando el VP, reemplazando en la fórmula del
gradiente geométrico.
VP =
VP = $2.140.706
El saldo de la deuda una vez pagada la segunda cuota es de $2.140.706.
5.10 GRADIENTE ESCALONADO:
Se denomina gradiente escalonado a una serie de ingresos o pagos que permanecen
constantes durante un período de tiempo (normalmente un año), y aumenta para el
siguiente período en un valor o en un porcentaje.
El gradiente escalonado se subdivide en:
Gradiente Lineal Escalonado
Cuando los pagos aumentan una cantidad fija en cada período.
Gradiente Geométrico Escalonado
Cuando los pagos aumentan una tasa fija en cada período.
En este texto se va a explicar el de más uso, el gradiente geométrico escalonado.
248
VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ESCALONADO:
Este tipo de gradiente es de los más utilizados en la financiación de vivienda, para
determinar el valor de las cuotas mensuales.
Se caracteriza por tener dos períodos en la conformación de la fórmula. Un Período mayor
(tiempo que comercialmente es un año) y un período menor que usualmente es el mes.
El diagrama en el flujo de caja es el siguiente:
FÓRMULA:
VP = A
VP = Valor presente
A = Valor de la cuota durante el primer período.
i= tasa de interés del período menor
Ie= Tasa de interés efectiva equivalente a la tasa periódica.
n= número de períodos (regularmente meses) dentro del período mayor (año).
N= número de períodos del período mayor.
j=Porcentaje de aumento para el siguiente período
EJEMPLO 5.22:
Usted y su esposa planean comprar vivienda, les gusta un apartamento cuyo costo es de
$120.000.000, y disponen de $30.000.000 como cuota inicial, el sistema de financiación es
el gradiente geométrico escalonado, y anualmente la cuota aumentará en un 10%, el plazo
es de 15 años y el interés, 1,8% mes.
Usted debe calcularles el valor de la cuota para el primer año.
FLUJO DE CAJA:
i=1,8% mes.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
249
En este ejercicio se busca conocer el valor de la cuota a pagar durante el primer año, por
el crédito de $90.000.000= a quince años, y con una tasa de interés del 1,8% mes.
Pregunta: Valor de la cuota en el primer año.
Ubicación Incógnita: La anualidad del primer año. (12 cuotas del primer año).
Organización de la Información:
VP = 90.000.000
A =
j = 10%
n =12 meses
N = 15 años.
i = 1,8 %
PROCEDIMIENTO
Para determinar el valor de A, se reemplaza en la fórmula de VP de un gradiente
geométrico escalonado.
Reemplazo en la fórmula:
90.000.000 = A
90.000.000 = A * 13,26225175*5,99493164
1.131.985,87 = A
DETERMINACIÓN DEL SALDO EN UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ESCALONADO:
Para conocer el saldo de la deuda en un momento determinado, cuando se financia por el
sistema de gradiente geométrico escalonado el procedimiento a seguir es el siguiente:
Se toma el valor de la cuota (Subcuota) del primer período
Conociendo la cantidad que aumenta anualmente se determina el valor de la cuota
al iniciar el período donde está ubicado el momento en el cual se desea conocer el
saldo.
Del plazo del período mayor, se ubica el número del período (Subperíodo) en el
cual se desea conocer el saldo.
Se determina el saldo al iniciar el período del momento a encontrar.
250
Se calcula el valor futuro de los pagos realizados durante el período de la fecha del
saldo, o el valor presente de las cuotas que faltarían por pagar al iniciar el período
donde está ubicada la incognita.
Se descuenta el valor de los pagos realizados durante el último período, al saldo
del inicio de período.
EJEMPLO 5.23:
Sus padres al recibir una herencia toman la decisión de cancelar la totalidad de la deuda
del apartamento para el cual le habían financiado $90.000.000, por el sistema de
gradiente geométrico escalonado. En estos momentos se encuentran en la cuota veintiséis,
y usted debe determinar el monto a pagar.
FLUJO DE CAJA:
i=1,8% mes.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca conocer el valor del saldo por el crédito de $90.000.000= a quince
años, una vez cancelada la cuota veintiséis (26).
Pregunta: Valor del saldo en el mes veintiséis (26).
Ubicación Incógnita: Tercer Período, Mes veintiséis.
Organización de la Información:
VP = 90.000.000
A = 1.131.985,87
j = 10%
n =12 meses
N = 3 años.
i = 1,8 %
PROCEDIMIENTO
La cuota durante el primer período es 1.131.985,87
La cuota para el tercer período es de $1.369.702,9
251
Para determinar el valor de saldo al cancelar la cuota 24, se reemplaza en la fórmula
de VP de un gradiente geométrico escalonado, tomando como A, $1.369.702,9
Reemplazo en la fórmula:
Saldo al finalizar el Segundo año:
1.369.702,9 *
Saldo al finalizar el segundo año = 1.369.702,9 * 13,26225175*5,66948245
Saldo al finalizar el segundo año es de $102.988.102,9
Una vez determinado el saldo en el mes 24 se proyecta al mes 26, con la fórmula de
valor futuro.
102.988.102,9 * (1,018)2 = 106.729.042,7
Se calcula en el mes 26 el valor de los pagos realizados en este período, con la
fórmula de VF cuando se tiene una anualidad.
Valor Pago realizado en el tercer período en el mes veintiséis (26):
1.369.702,9*
$2.764.060,452
Se descuenta el valor proyectado del saldo al mes 26, el valor proyectado al mes 26
de los pagos realizados en el tercer período.
Saldo en el mes 26= 106.729.042,7 - 2.764.060,52
Saldo en el mes 26 = 103.964.982,2
RESPUESTA:
Como sus padres desean pagar la totalidad de la deuda en el mes veintiséis, la suma a
cancelar es de $103.964.982,2
NOTA: El saldo de la deuda aumentó, porque solo los intereses de la deuda de
$90.000.000, son de $1.620.000 mes, y las cuotas pagadas mensualmente presentan un
valor inferior.
APLICACIÓN Y COMPROBACIÓN CON EL EXCEL MEDIANTE UNA TABLA DE
AMORTIZACIÓN.
Ahora se muestra la Tabla de amortización del crédito, el sentido de su elaboración es
comprobar que el saldo en el mes 26 es igual al mostrado por la fórmula.
252
Ahora se muestra la Tabla de amortización del crédito, el sentido de su elaboración es
comprobar que el saldo en el mes 26 es igual al mostrado por la fórmula.
TABLA DE AMORTIZACIÓN
VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO ESCALONADO:
El valor futuro de un gradiente geométrico escalonado es el resultante de ahorrar o pagar
un valor uniforme durante un determinado período y luego incrementado en un
porcentaje para el período siguiente.
El diagrama en el flujo de caja es el siguiente:
FÓRMULA:
VF = A
VF = Valor futuro.
A = Valor de la cuota durante el primer período.
i= tasa de interés del período menor
Ie= Tasa de interés efectiva equivalente a la tasa periódica.
n= número de períodos (regularmente meses) dentro del período mayor (año).
N= número de períodos del período mayor.
j=Porcentaje de aumento para el siguiente período
EJEMPLO 5.25:
Los trabajadores de una empresa proyectan hacer un viaje al extranjero en dos años, para
esto mensualmente cada uno deposita en el fondo de empleados $500.000, si para el año
siguiente se incrementa el aporte en el 10%, de cuánto dispondrá cada funcionario para su
viaje, si el fondo les reconoce un interés del 1% mensual.
El diagrama en el flujo de caja es el siguiente:
253
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca conocer el monto disponible por cada empleado para el viaje al
finalizar el segundo año, conocido el valor aportado mensualmente durante el primer año,
el porcentaje de aumento en la cuota para el segundo, y la tasa de interés que reconoce el
fondo.
Pregunta: Valor Ahorrado al finalizar el segundo año.
Ubicación Incógnita: El VF en el mes veinticuatro (24).
Organización de la Información:
VF =
A = 500.000
j = 10%
n =12 meses
N = 2 años.
i = 1,0 %
PROCEDIMIENTO
Para determinar el valor futuro, se reemplaza en la fórmula de VF de un gradiente
geométrico escalonado.
Reemplazo en la fórmula:
VF = 500.000 *
VF = $14.120.857,58
RESPUESTA:
Cada funcionario tendría disponible para viajar al final de los dos años $14.120.857,58.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Un padre de familia crea un fondo para pagar la universidad de su hijo, en estos
momentos el joven apenas va ingresar a sexto, Los ingresos del padre son de
$2.000.000 mensuales, de los cuales el 20% los asigna a este propósito, si él estima
que su salario aumentará el 6% anual y el dinero ahorrado renta a una tasa del
254
15% anual, cuál será el valor del fondo cuando el estudiante termine su
bachillerato.
Cuál debe ser el pago que debe hacerse en el primer año si se proyecta pagar en 3
años una máquina cuyo precio de compra fue de $6.000.000, y anualmente se
aumenta la cuota en el 12%. Interés de financiación, 20% anual.
5.11 EJEMPLOS VARIOS DE PROFUNDIZACIÓN
EJEMPLO 5.25:
Determinar el valor de contado de una motocicleta que se financió de la siguiente forma:
1.500.000 de cuota inicial, seis cuotas mensuales a partir del primer mes, así: 500.000 la
primera y aumentando periódicamente el 3%, y un último pago en el mes nueve (9) por
$1.000.000= Interés, 1,8% mes.
Diagrama del Flujo de Caja:
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca conocer el precio de la motocicleta, mediante el cálculo del valor
presente.
Pregunta: Valor de contado de la motocicleta.
Ubicación Incógnita: Mes cero (0).
Organización de la Información:
Cuota Inicial: 1.500.000
Gradiente Geométrico ascendente.
A = 500.000
j = 3%
i = 1, 8%
n =6 meses
Valor futuro en el mes nueve (9) = 1.000.000
PROCEDIMIENTO:
255
El precio de contado de la motocicleta, es la sumatoria del monto de la cuota inicial, el
valor presente en cero (0) de las cuotas que conforman un gradiente geométrico, y el
valor presente en cero (0) del pago en el mes nueve.
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
VP0 = 1.500.000
++
VP0 = 1.500.000 + 3.035.177, 32 + 766.416,73
VP0 = 5.301.594,05
Respuesta: El precio de contado de la motocicleta es de $5.301.594,05
EJEMPLO 5.26:
Determine el saldo que habrá en una cuenta de ahorros al finalizar el año, si se deposita
$200.000 el primer mes, aumentando $50.000 mensuales hasta el mes seis, a partir de allí
retira $250.000 y los retiros van disminuyendo el 3% mensual hasta el mes doce. El
interés es del 2% mensual.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca calcular el saldo disponible en el mes doce, después de haber
efectuado seis depósitos y seis retiros. Se debe llevar los depósitos y retiros a valor futuro.
Los depósitos fueron realizados bajo la forma de un gradiente aritmético ascendente y los
retiros de la forma gradiente geométrico descendente.
Pregunta: Saldo disponible.
Ubicación Incógnita: Mes doce (12).
Organización de la Información:
Gradiente Aritmético ascendente.
A = 200.000
g = 50.000
n =6 meses
i = 2 %
Gradiente Geométrico descendente.
A = 250.000
256
j = 3%.
n =6 meses
i = 2 %
PROCEDIMIENTO:
Se debe llevar lo ahorrado y retirado al mes doce.
El flujo del ahorro tiene la forma de gradiente aritmético ascendente, se utiliza la
fórmula de VF, para llevarlo al mes seis, de allí se toma como un presente y se lleva
a futuro al mes doce (12).
El flujo de los retiros tiene la forma de gradiente geométrico descendente, con la
fórmula de VF se lleva al mes doce.
Una vez se tiene lo ahorrado y retirado en el mes doce (12), se saca la diferencia, y
se determina el valor del saldo.
PLANTEAMIENTO DE LA ECUACIÓN
Saldo12 = Ahorrado12 -Retirado12
VALOR DE LO AHORRADO EN EL MES DOCE
Con la fórmula de valor futuro se lleva al mes seis.
VF6 = 200.000 +
VF6 = 200.000 x 6,308120963 + 2.500.000 x 0,308120963
VF6 = 1.261.624,19 + 770.302,4
VF6 = 2.031.926,59
Teniendo el valor en el mes seis (6), se lleva al mes doce
VF12 = 2.031.926,59 x (1+0,02)6
VF12 = 2.288.279,37
El valor de lo ahorrado en el mes doce sería de $2.288.279,37
VALOR DE LO RETIRADO EN EL MES DOCE.
257
Para estimar el valor de los retiros en el mes doce se determina el VF del gradiente
geométrico descendente.
VF12 =
VF12 = -25.000.000 x -0, 067889877
VF12 = 1.697.246,93
El valor de lo retirado en el mes doce equivale a $1.697.246,93
SALDO DISPONIBLE
Para determinar el saldo disponible en el mes doce se resta al total ahorrado lo retirado en
el mes doce.
SALDO12 = 2.288.279,37 -1.697.246,93
SALDO12 = 591.032,44
Respuesta: El saldo disponible para retirar al finalizar el año es de $591.032,44
EJEMPLO 5.27:
Usted se compromete a pagar una deuda de $9.000.000= en diez cuotas mensuales, si la
primera cuota la paga al finalizar el primer mes y su valor es de $500.000, en qué tasa debe
aumentar los pagos mensuales para cancelar el crédito, si la tasa de interés es del 2%
mensual.
FLUJO DE CAJA:
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca conocer el porcentaje de aumento mensual en las cuotas para
pagar el crédito de $9.000.000= en diez meses, si el primer pago fue de $500.000=.Se
debe utilizar la fórmula de VP de un gradiente geométrico ascendente despejando el valor
de j.
Pregunta: Porcentaje de aumento de la cuota.
Ubicación Incógnita: No tiene ubicación en un período dado por ser una tasa.
Organización de la Información:
258
VP = 9.000.000
A = 500.000
j =
n =10 meses
i = 2 %
PROCEDIMIENTO
Para determinar el valor de j, se reemplaza en la fórmula de VP de un gradiente
geométrico ascendente.
Para esta ecuación no se puede realizar el despeje de j directamente, entonces se
debe acudir al método de interpolación.
Se busca una tasa (j) que su resultado sea mayor a 9.000.000 y a otra tasa que sea
menor.
Una vez conocidas las tasas, se procede a calcular la j que hace que el flujo de caja
sea igual a 9.000.000.
Reemplazo en la fórmula:
9.000.000 =
Se inicia probando con una j del 15%.
Con un j = 15% resulta un VP de $8.918.332,34
Como el resultado es inferior a $9.000.000 pero estando muy cerca se prueba con el 16%
Con un j = 16% el VP es $9.353.261,66
Se procede a la interpolación:
8.918.332,3415%
9.000.000 j
9.353.261,6616%
=
=
0,187772118 * -0,01 = 0,15 - j
j - 0,00187721189 = 0,15
j = 0,151877721
259
Respuesta: el aumento mensual en el valor de las cuotas debe ser del 15,187%.
EJEMPLO 5.28:
Usted abre una cuenta de ahorros con $500.000, en el mes 3 consigna $100.000 y a partir
de allí aumenta en $20.000 las consignaciones hasta el mes seis cuando éstas disminuyen
mensualmente el 3% hasta el mes nueve. Determine el valor de una serie de retiros
mensuales iguales durante los meses diez, once, doce y trece si al finalizar el mes quince
sólo se disponía de $600.000, el interés es del 30% anual.
Nota: Para facilitar las operaciones se trabajará en miles de $.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
En este ejercicio se busca saber el valor de los retiros en los meses diez, once, doce y trece,
después de efectuar una serie de consignaciones y de conocer el valor disponible en el mes
quince.
Para calcular la Anualidad se debe determinar un valor presente o futuro de la serie, el
cual es el resultante de la suma de las consignaciones menos el saldo disponible, para el
ejercicio se llevará todo al mes nueve.
Aquí se aplican los conceptos de valor futuro, gradiente aritmético, gradiente geométrico y
anualidades.
Pregunta: Valor de los retiros.
Ubicación Incógnita: los meses diez al trece.
Organización de la información:
Consignación inicial: $500
Gradiente Aritmético:
Tipo: Ascendente
A: $100
g:$20
V.F6:
Gradiente Geométrico:
Tipo: Descendente
260
j:3%
A: El valor de A, se debe estimar basado en la consignación del período seis, el cual es de
$160, dado que conocemos el gradiente aritmético, su cálculo se da dividiendo $160 entre
1.03, el cual da como resultado $155,3.
V.F9:
i: Como es una tasa efectiva del 30% anual, se calcula la tasa mensual, da como resultado el
2,21% mes.
PROCEDIMIENTO
El resultante de la suma de las consignaciones menos el saldo disponible para
determinar el valor de A, se va a calcular en el mes nueve.
Se lleva al mes nueve la cuantía de apertura de la cuenta.
VF9: 500 x (1,0221)9 : 608,73
Los $500 de apertura de la cuenta equivalen a $608,73 en el mes nueve
Se calcula el valor futuro del gradiente aritmético, y se lleva al mes nueve.
F = 100 + x
x (1,0221)3
F = (413,46 + 121,77) x 1,06779
F = 571,5
Las consignaciones de los meses tres al seis equivalen en el mes nueve a $571,5
Se calcula el valor futuro del gradiente geométrico.
VF =
VF = 462,3
Las consignaciones de los meses siete al nueve equivalen a $462,3 en el mes nueve.
Se suma el equivalente al valor consignado en el mes nueve.
El resultado es: 608,73+571,5+462,3 = 1642,53
Se procede al cálculo del equivalente al saldo disponible en el mes nueve.
VP9: = 526,23
El equivalente al saldo disponible es de $526,23 en el mes nueve.
261
Para calcular el valor de A se determina un VP en el mes nueve, restando del total
de las consignaciones el monto del saldo disponible.
Cantidad para calcular los retiros de los meses diez al trece: 1642,53-526,23=1.116,3
Se determina A, con la fórmula de la anualidad conociendo el valor presente.
A == 294,6
RESPUESTA: El valor de cada retiro en los meses diez al trece es de $294.600, recordemos
que se trabajó en miles.
EJERCICIOS
La experiencia y la habilidad adquirida a través de la solución de problemas, nos permitirá
desarrollar las competencias necesarias para respaldar nuestro desempeño laboral futuro
en el campo de las finanzas.
Resolvamos estos problemas cuidadosamente y utilicemos nuestros conocimientos
adecuadamente. Si se presentan dificultades podemos recurrir al tema en el libro donde
encontraremos las aclaraciones.
Éxitos!
1. ¿Cuál será el valor de los ahorros en el mes 12 de un estudiante que consigna en una
cooperativa $100.000= en el mes 1, si aumenta el valor de la consignación en
$20.000= mensuales, y el interés es del 1.5% mensual?
R: El estudiante al finalizar el mes doce tiene en ahorros $2.692.403
2. Un Segundo estudiante tiene el mismo propósito que el anterior pero su plan es el
siguiente, $100.000= el primer mes y aumenta en el 3% mensual, ¿cuál es el valor
ahorrado?¿su saldo es mayor que el del estudiante anterior?
R: Este estudiante alcanza un nivel de ahorro inferior al primero, puesto que sólo
alcanza a reunir $1.283.256,48.
3. Determine el saldo para el mes 18 en una cuenta de ahorros, si usted consigna
$500.000 hoy, y aumenta mensualmente sus ahorros en el 3%, hasta el mes 10, a partir
de allí retira mensualmente $400.000= hasta el mes 15. el interés es del 12%
semestral mes vencido.
R: El saldo en la cuenta de ahorros en el mes dieciocho es de $5.533.754,86
4. Un ahorrador efectuó una serie de consignaciones en el primer semestre del año, así:
$500.000= en el primer mes se incrementó mensualmente este valor en $100.000=,
262
hasta el mes seis, a partir del mes siete retira 200.000, aumentó los egresos en un 5%
mes, hasta el mes 12, si en ese momento en la cuenta todavía hay un saldo de
$5.000.000=, ¿Cuál fue el valor de apertura de la cuenta en el momento cero, si el
interés es del 30% anual?
R: El valor de apertura de la cuenta fue de $812.787,5
5. Un dueño de Taxi, quiere determinar cuál es el valor de su ahorro en 3 años, si
proyecta realizar 500 carreras mensuales con un promedio de $3.000= por carrera,
los gastos de mantenimiento del vehículo y los personales alcanzan $1.000.000=.en el
primer mes, y aumentan mensualmente en el 1%.
Los ingresos duran constantes durante el primer año, momento en el cual aumenta en
el 10% y así permanece para el segundo año, para el tercero sus ingresos aumentan en
el 12% hasta finalizar el período. La tasa de interés es del 2,5% bimestral.
R: El dueño del taxi al finalizar el tercer año, tiene ahorrado $21.087.879,5
6. Cuantifique el valor de los ingresos de una empresa al terminar el año, si durante los 6
primeros meses su producción fue de 1000 unidades y su precio para el primer mes
fue de $1000/unidad, aumentando mensualmente $10, en el segundo semestre la
producción disminuyó a 900 unidades por mes pero los precios tuvieron el mismo
comportamiento.
El interés es del 8% trimestral.
R: El valor de los ingresos de la empresa durante el primer año fue de $13.899.007,68.
7. Determine el saldo en una cuenta de ahorro al finalizar el año si en el mes de enero
deposita $500.000 y aumenta mensualmente sus depósitos en un 5% hasta el mes de
junio, a partir del mes de Julio retira $500.000, disminuye mensualmente sus retiros en
$30.000. El interés que paga la entidad financiera es el 24% anual Semestre Vencido.
R: El saldo de la cuenta al finalizar el año es de $1.226.904,8
8. Si al finalizar el semestre de Universidad un estudiante tiene en su cuenta de ahorro,
$1.500.000, determine el valor consignado en el primer mes, si mensualmente
aumentaba su depósito en $50.000= y la entidad financiera reconoce un interés del
1,2% mes.
R: El valor consignado para el primer mes es de $119.343,8
9. Si va a financiar un computador, cuyo importe de contado es de $5.000.000, y paga de
cuota inicial $1.000.000=, y el saldo lo paga en 9 cuotas mensuales, determine el valor
de la primera cuota si el proveedor le acepta que mensualmente la cuota le aumente en
el 5%. El interés de financiación es del 2,5% mes.
263
R: El valor de la primera cuota es de $412.894,7
10. Pedro necesita reunir $3.000.000 para dentro de 6 meses pagar la matrícula de la
universidad, su padre le regala el día de hoy $500.000, con este dinero abre una cuenta
de ahorros, si al finalizar el mes deposita $300.000, en qué porcentaje debe aumentar
sus depósitos mensuales para reunir la cifra requerida si la entidad bancaria le
reconoce el 1% mensual.
R: Pedro debe aumentar sus depósitos en el 11,7% mensualmente.
11. Si usted desea cancelar la totalidad de una deuda hoy, determine el valor a
desembolsar, si los compromisos son los siguientes: hoy $500.000, seis cuotas
mensuales iguales de $300.000=, y a partir de allí las cuotas disminuyen 2% mensual
hasta el mes doce (12). Interés 30% anual.
R: Para cancelar la totalidad de la deuda hoy, el valor a desembolsar es de $3.534.647,9
12. Juan debe efectuar un pago de $11.000.000= al finalizar el año, si al inicio del año tiene
en su cuenta de ahorros $600.000, y tiene ingresos mensuales en el año de
$2.000.000= y gastos de $1.000.000= el primer mes, si éstos aumentan $50.000 en el
mes, determine si pudo ahorrar la suma requerida, o por el contrario le hizo falta
dinero, si es así cuánto. El interés es del 8% trimestral.
R: Juan puede efectuar el pago dado que el valor ahorrado para final de año fue de
$11.085.683,7
13. La industria XYZ compra 10 toneladas mensuales de insumos importados, el precio de
la tonelada es US $300, Determine hoy el valor de los egresos por las importaciones
del semestre en pesos si la tasa de cambio es de $2.700 por Dólar y la devaluación esta
proyectada al 3% mensual, la industria tiene un interés del 2% mensual .
R: El valor de los egresos por las importaciones al finalizar el semestre es de
$54.990.800,5
14. Una empresa quiere determinar el valor presente de su nómina para el cuatrienio, el
costo de ésta para el primer año es de $60.000.000 y aumenta anualmente en el 10%,
adicionalmente en el año dos (2) y cuatro (4), contrata personal temporal por
$10.000.000 cada año. El interés es del 1,5% mensual.
R: El valor presente de la nómina para el cuatrienio es de $286.976.882.
15. Pedro quiere saber qué saldo tendrá al finalizar el mes de diciembre, si realiza las
siguientes transacciones, consigna al finalizar el mes de enero $800.000 y aumenta sus
depósitos en un 2%, hasta finalizar el mes de Junio, en Septiembre consigna
264
$1.000.000, y a partir de octubre retira $900.000 mensuales. El interés es del 15%
semestral.
R: Pedro tendrá al finalizar el mes de diciembre ahorrado un valor de $4.456.308
16. Determine la cuantía que le consignaron hace un año, si usted al realizar las siguientes
transacciones, hoy tiene un saldo en la cuenta de $10.000.000=.En el primer mes
consignó $2.000.000=, disminuyendo el valor consignado en el 3% mensual hasta el
mes seis. Durante el segundo semestre retiró mensualmente $900.000 y
adicionalmente en el mes nueve retiró $2.000.000=. El interés es del 4% bimestral.
R: El valor que le consignaron en la cuenta hace un año fue de $3.643.702,6
17. Un empresario proyecta sus utilidades para los próximos tres años, supone que
mensualmente en el primer año serán de $600.000, para el segundo año
mensualmente se aumentarán en el 3% y para el tercer año por causas de la apertura
económica, disminuirán mensualmente en $30.000.
Determine el valor presente del flujo de caja si el interés es del 8% trimestral.
R: El valor equivalente de las utilidades para los próximos tres años en el momento
cero es de $15.235.768,4
18. El empresario del ejercicio anterior, se fijó que una vez transcurridos los tres años, el
50% de las utilidades obtenidas en este tiempo era para comprar nueva maquinaria,
Determine la suma disponible para cumplir este propósito.
R: El dinero destinado para la compra de la maquinaria una vez transcurridos los seis
años es de $19.183.128,35.
19. Un padre de familia tiene presupuestado para los gastos estudiantiles de su hijo al final
del año en $12.000.000= si para el primer mes le envía $700.000, en que porcentaje le
debe aumentar su envío mensual para que este dinero le pueda cubrir el período. El
interés es del 15% semestral mes vencido.
R: El padre de familia debe aumentar el valor de las consignaciones en un 4,07%
mensualmente.
20. Usted desea reunir $15.000.000 para dentro de quince (15) meses poder ir de
vacaciones a disfrutar de las bellezas del territorio colombiano, si hoy tiene
$1.000.000= y al finalizar el mes consigna $300.000, en cuánto debe aumentar los
depósitos mensualmente para alcanzar la cifra esperada, y poder cumplir su sueño. El
interés, 30% anual mes vencido.
R: Usted debe aumentar mensualmente las consignaciones en $132.500.
265
21. Resolver el problema anterior pero en los meses seis (6) y doce (12) consigna
adicionalmente $500.000 en cada período.
R: Con las consignaciones adicionales, usted debe aumentar el ahorro en $117.465.
22. Una niña al cumplir sus 15 años recibe de regalo $2.000.000, valor con el cual abre un
CDT que le renta el 18% anual, como ella aspira a tener $25.000.000 dentro de tres
años para efectuar un viaje al exterior abre una cuenta de ahorro al finalizar el mes con
$100.000 y a partir de esa fecha aumenta sus depósitos mensuales en el valor
necesario para lograr la meta prevista, el interés que le reconocen en la cuenta de
ahorros es del 14% anual. Determine el valor mensual de aumento.
R: La niña debe aumentar las consignaciones mensualmente en $22.131.
23. Determine el tiempo de financiación de un crédito de $2.000.000= en cuotas
mensuales que aumenten en el 4% cada mes, la primera cuota es de $200.000 y el
interés de financiación es del 30% anual.
R: El tiempo de financiación es de 9,48 meses
24. Cuánto es el valor de contado de un T.V si el proveedor lo entregó financiado a dos
años, con las siguientes condiciones: cuota inicial 20% del valor de contado, el primer
mes 100.000 aumentando mensualmente $40.000. La tasa de financiación para el
primer año es del 2,5% mensual y para el segundo año el 3% mensual.
R: El T.V tiene un valor de contado de $11.223.672,3
25. Resolver el problema anterior pero el aumento en las cuotas mensuales es del 5% y no
de $40.000.
R: El valor del televisor es de $3.842.948.
26. Un trabajador ahorra 1 mes de sueldo al año durante quince años, determine el valor
ahorrado en este período si el primer año ganaba $400.000 y el incremento salarial
durante los primeros 5 años fue del 15% y a partir de allí el 12%. La tasa de interés de
la entidad financiera es del 1% mensual.
R: El valor ahorrado durante quince años es de $17.148.324,7.
27. Un grupo de amigos se reúnen para formar una empresa y se propusieron no distribuir
utilidades antes de los 3 años, al cumplirse el tiempo, y si el comportamiento
financiero fue el siguiente, determine el valor que cada uno recibirá:
Ingresos para el primer año $5.000.000 mensuales y $3.800.000 como egresos
mensuales, la tasa de crecimiento anual de los ingresos para el segundo y tercer año
fue del 15% y 20% respectivamente, mientras que para los egresos fue del 10% y 9%
respectivamente.
266
El interés del dinero se fijó en el 24% anual mes vencido.
R: Al finalizar el tercer año el valor equivalente a las utilidades de la empresa
corresponden a $84.027.604,7. Esto quiere decir que a cada socio le distribuyen
$28.009.201,6.
28. Una pareja de novios, se proponen tener su apartamento antes de contraer
matrimonio, El apartamento tiene actualmente un costo de $50.000.000 y su importe
aumentará en el 10% para el próximo año.
Se proyecta consignar mensualmente los siguientes valores, inician con $1.800.000
mensuales en el primer año, para el segundo año aumentan el valor en el 10%, si
adicionalmente realizan un portafolio de inversión con dichos recursos y éstos le
generan un rendimiento del 40% anual, ¿la pareja podrá comprar el apartamento y por
ende tomar la decisión de casarse?
R: Al finalizar el año dos la pareja ha ahorrado $ 63.299.695,5, como el apartamento
para el segundo año tiene un precio de $55.000.000, esto quiere decir que pueden
comprar el apartamento y toman la decisión de casarse.
29. La pareja del ejercicio anterior al final de mucho esfuerzo logró comprar el
apartamento y para su mayor comodidad compraron un automóvil, el que sacaron a
crédito, el valor del vehículo fue de $36.000.000, abonaron de cuota inicial el 10% de
su valor y el saldo a 60 meses, el sistema de financiación seleccionado fue el gradiente
geométrico escalonado, aumentando las cuotas anualmente en el 12%, Usted debe
determinar el valor de las cuotas para el primer año, si el interés fue del 30% anual.
R: El valor de las cuotas mensuales durante el primer año es de $817.950,7
30. Sus padres todavía están preocupados por las cuotas mensuales que amortizan
mensualmente al banco que les financió la vivienda, el costo de ésta fue de
$25.000.000, hace doce años, usted como buen hijo les va a pagar el saldo de la deuda,
determine el valor de su regalo, si el plazo del crédito era de quince años, con la tasa de
financiación del 1,5% mes y las cuotas aumentaban el 12% anual.
R: El saldo de la deuda es de $27.751.434.
31. Usted tenía planeado realizar una especialización la cual comienza en quince meses y
tiene un valor de $7.000.000, en el momento cuenta con $1.000.000, y mensualmente
pensabas ahorrar $300.000, en qué porcentaje debe aumentar mensualmente sus
aportes para alcanzar dicho propósito si el dinero le renta el 15% anual.
R: Debe aumentar el ahorro mensualmente en el 2,49%.
267
32. A usted le tocó asumir la deuda de un compañero de estudio al cual le había hecho el
favor de ser su codeudor, si la deuda inicial era de $3.000.000, y le han descontado de
su salario 6 cuotas, la primera fue de $400.000, y a partir de allí el valor descontado ha
aumentado en el 5%, determine cuánto le falta por descontar o si por el contrario ya
canceló la totalidad. El interés era del 24% anual.
R: En el momento le falta por cancelar $501.102,29
33. Determine el valor de un bien que se compró financiado con las siguientes condiciones:
el 10 % del valor de contado como cuota inicial, 10 pagos mensuales, el primero a
partir del mes 3 por un valor de $1.000.000 disminuyendo $20.000 cada mes. En los
trimestres 3, 6, 9 y 12 se realizan pagos extraordinarios por $400.000 cada mes.
Interés 1,5% mes.
R: 10.667.437,67
34. A partir del mes 15 hasta el 24 vamos a gastar $400.000 mensuales. Hoy tengo un
ahorro de $500.000 si mensualmente realizo consignaciones la primera por $100.000,
en cuanto debe aumentar si estas se realizan hasta el mes 12. Interés 18% semestral.
R: -2.958,439303.
35. Necesitamos reunir $10.000.000 dentro de 15 meses; hoy dispongo de $500.000, en el
mes 1 consigno $ 100.000 que aumenta $20.000 mes hasta el mes 5. A partir de allí
consigna igual valor hasta el mes 9. Al siguiente mes disminuye sus consignaciones en
$5.000 hasta el mes 12. Si con este dinero no alcanza a cumplir la meta el se
comprometería a hacer 5 abonos trimestrales iguales (3, 6, 9, 12, 15) determine su
valor si el interés es 1,5% mes
R: Los abonos trimestrales serian de $1.310.465,23 cada uno
VERIFICACIÓN DE LA AUTOEVALUACIÓN
Compare el conocimiento aprendido con lo expuesto en este módulo y confróntelo con las
aplicaciones que desarrolló en la solución de los problemas, y observe sus progresos y sus
debilidades.
A partir de su observación realice un plan de estudio para superar sus debilidades.
AUTOEVALUACIÓN
¿Qué es un gradiente?
268
¿Qué diferencia existe entre un gradiente aritmético y un gradiente geométrico?
¿Qué relación tienen los gradientes con el concepto de series y progresiones, vistos
en el capítulo uno?
En los gradientes en que se diferencia el ascendente del descendente.
Que aplicación tienen los gradientes en el manejo financiero.
En el gradiente geométrico ¿cómo se define la i y la j?
En el procedimiento de CÁLCULO del VP o VF, ¿qué diferencia existe entre las
anualidades y los gradientes?
¿Qué utilidad tiene el gradiente geométrico escalonado?
GLOSARIO
ESCALONAMIENTO: Flujo de caja con pagos iguales durante cierto tiempo, momento en el
cual se incrementan y vuelven a quedar constantes durante un período igual al anterior.
FONDO DE AMORTIZACIÓN: Fondo de ahorros que se crea con el objetivo de cumplir con
una obligación financiera en el futuro.
GRADIENTE: Serie de ingresos o pagos que varían con base en una ley de formación, la
cual puede ser de comportamiento aritmético o geométrico.
MERCADO PRIMARIO: Colocación de títulos que salen por primera vez al mercado.
MERCADO SECUNDARIO: Compra y venta de títulos ya emitidos.
SUBCUOTA: En un gradiente escalonado se denomina así a las cuotas
SUBPERÍODO: Tiempo que transcurre entre las subcuotas en un gradiente escalonado.
SUBTASA: Tasa de interés entre los subperíodos en un gradiente escalonado.
FÓRMULAS:
Cálculo del valor Presente de un gradiente aritmético ascendente.
Valor(n)= A + g x (n-1)
Determinación del valor del gradiente en un período n, en un gradiente aritmético
ascendente.
269
Cálculo del valor presente de un gradiente aritmético descendente.
Cálculo del valor futuro de un gradiente aritmético ascendente.
Cálculo del valor futuro de un gradiente aritmético descendente.
Valor(n)= A - g x (n-1)
Determinación del valor del gradiente en un período n, en un gradiente aritmético
descendente.
Cálculo del VP de un gradiente geométrico ascendente.
Cálculo del VP de un gradiente geométrico ascendente, cuando i = j
Cálculo del VF de un gradiente geométrico ascendente.
VF = n A ( 1+ i )n-1
Cálculo del VF de un gradiente geométrico ascendente, cuando i = j
Valor(n)= A x ( 1 + j )n-1
Determinación del valor del gradiente en un período n, en un gradiente geométrico
ascendente.
Cálculo del VP de un gradiente geométrico descendente.
Cálculo del VF de un gradiente geométrico descendente.
Valor(n)= A x ( 1 - j )n-1
Determinación del valor del gradiente en un período n, en un gradiente geométrico
descendente.
Cálculo del valor presente para un gradiente geométrico escalonado.
270
Cálculo del valor futuro para un gradiente geométrico escalonado.
CAPÍTULO 6
AMORTIZACIÓN, SISTEMA
UVR Y LEASING
JUSTIFICACIÓN
El objetivo fundamental del sector financiero es la intermediación de recursos económicos
o monetarios entre las personas que están en capacidad de ahorrar una parte de sus
ingresos o empresas que disponen de excedentes operacionales y quienes requieren de
estos recursos para consumo o para invertirlos en una actividad en el sector productivo.
El profesional de las ciencias administrativas y contables debe desarrollar competencias
para cuantificar los ingresos de un inversionista, su rentabilidad y para diseñar la
amortización más favorable de un crédito, acorde con las necesidades de financiación y
capacidad de pago de la persona o entidad que lo requiere.
Es importante tener en cuenta además de las tablas de amortización, las comisiones
bancarias y los seguros.
OBJETIVO GENERAL
Desarrollar competencias para liquidar y amortizar un crédito comercial de UVR y para
asesorar o tomar decisiones sobre la conveniencia o no del sistema de financiación
mediante el leasing.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
271
Adquirir y dominar los conocimientos sobre amortización, sistema UVR y leasing y
desarrollar competencias que posibiliten mi desempeño futuro en el campo financiero,
para:
Determinar el valor de los intereses y amortización a capital, para los diferentes
sistemas de financiación.
Calcular el valor de las cuotas cuando se compromete el deudor a realizar abonos
extraordinarios.
Conocer los diferentes sistemas de financiación de vivienda.
Elaborar tablas de amortización.
Graficar el comportamiento de la cuota y el saldo en los diferentes sistemas de
crédito de vivienda.
CONDUCTA DE ENTRADA
La conducta de entrada me permite autoevaluar los conocimientos y conceptos que me
apropié en los capítulos que antecedieron, identifica mis deficiencias para poder
superarlas y así abordar el estudio de esta nueva unidad.
Sólo es útil el conocimiento que nos hace mejores.
Sócrates.
Voy a resolver estas preguntas y problemas y después reflexionaré sobre los
procedimientos y respuestas. Con los resultados de esta autoevaluación realizaré un plan
de estudio para superar mis deficiencias y mejorar mi dominio de las finanzas.
1. Diferencie un gradiente aritmético de un gradiente geométrico
2. Calcular el valor de la primera cuota si se va a pagar un crédito de $3.000.000 en
veinticuatro meses, si aumenta las cuotas $100.000 mensuales, el interés es del 9%
trimestral.
3. Realizar el mismo ejercicio pero al 1% mensualmente.
4. Explique el funcionamiento de un sistema de financiación por medio del gradiente
geométrico escalonado.
6.1. AMORTIZACIÓN
DEFINICIÓN
Es el proceso mediante el cual se salda o cancela una deuda y sus intereses, con una serie
de pagos parciales en determinados períodos de tiempo.
272
TABLA DE AMORTIZACIÓN
La tabla de amortización es un formato mediante el cual se muestra el proceso de
cancelación del crédito, ésta debe contemplar cuantía de la cuota, fechas de vencimiento,
valor de los intereses, amortización a capital y saldo.
6.2 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITOS
Un sistema de amortización de crédito se puede definir como las condiciones que debe
seguir el deudor en la cancelación de una obligación.
Los aspectos básicos que se requieren en la liquidación de un crédito son los siguientes:
VALOR DEL CRÉDITO, PLAZO, TASA Y FORMA DE PAGO.
Cuando se hace referencia a la forma de pago, debe determinarse si las cuotas son iguales,
crecientes o decrecientes, y si existen períodos de gracia.
PRINCIPALES SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITOS
Los sistemas más utilizados tanto en el mercado bursátil, como en el área comercial, y en
los sectores cooperativo y financiero son los siguientes:
PAGO ÚNICO
CUOTA FIJA
CUOTA FIJA CON ABONOS EXTRAORDINARIOS
CON PERÍODO DE GRACIA
CON CUOTA FIJA AMORTIZANDO CAPITAL.
DE PAGO ÚNICO
Es un sistema donde el deudor se compromete a pagar intereses periódicos y el capital al
final del tiempo fijado.
Es muy utilizado en la emisión de bonos, donde el emisor se compromete a pagar un
cupón (interés) periódicamente y el capital es amortizado en el momento del vencimiento
del título valor.
EJEMPLO 6.1:
273
Una compañía, emite bonos por $600.000 c/u, con vencimiento a un año, y paga intereses
bimestrales a una tasa del 4%.
Efectuar la tabla de amortización de esta financiación para un inversionista que compra un
bono.
PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS:
La cifra de $24.000, pagada bimestralmente es el resultante de multiplicar el valor
de cada bono por la tasa de interés bimestral.
Los intereses son fijos durante todos los períodos.
El saldo no tiene ninguna variación hasta el momento de vencimiento del bono.
DE CUOTA FIJA
Para este tipo de crédito se aplica el concepto de anualidad visto anteriormente. Aquí se
calcula el valor de la cuota, la cual contempla intereses y amortización a capital.
Se utiliza en el sector cooperativo, financiero, para los créditos de libre inversión, de
consumo, o en el sector comercial.
En este tipo de liquidación el plazo varía de acuerdo al propósito del crédito, Por ejemplo,
para educación algunas entidades sólo prestan por 6 meses, otras líneas son a 12, 24 y
hasta 36 meses.
EJEMPLO 6.2:
Liquidar un crédito de vehículo cuyo importe es de $20.000.000= , el plazo es de 36
meses, y el interés es del 2% mensual.
En Excel, se utiliza la función PAGO para determinar el valor de la cuota. Para calcular la
amortización a capital, se resta del monto de la cuota, los intereses del período.
La cuantía que debe pagar el comprador del vehículo durante 36 meses es de $784.657,05.
PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS
El valor de la cuota se determina mediante la fórmula de anualidad
La tabla tiene cuatro columnas, PERÍODO, INTERÉS, AMORTIZACIÓN Y SALDO.
En el período cero (0), el saldo es el monto total del crédito.
274
La columna de interés se determina multiplicando el saldo del período anterior
por la tasa de interés.
El monto que se amortiza es el resultante de restar al valor de la cuota los
intereses causados para ese período.
El saldo se actualiza restando al saldo anterior el valor a amortizar en el período
presente.
CUOTA FIJA CON ABONOS EXTRAORDINARIOS.
Este sistema al igual que el anterior, las cuotas periódicas son uniformes, la diferencia
radica en que al realizarse abonos extraordinarios, éstos se traen a valor presente, y restan
al valor del crédito para efectos de la liquidación de la cuota.
El propósito fundamental del deudor al requerir este sistema de liquidación es disminuir
el valor de la cuota, comprometer recursos que no le llegan periódicamente, pero que en
un momento determinado puede contar con ellos.
EJEMPLO 6.3:
Para una mejor explicación se utilizará el mismo ejercicio anterior, con la diferencia que el
deudor se compromete con la entidad financiera a amortizar cuotas extraordinarias en el
mes 12 y 24 por un valor de $3.000.000= cada una.
PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS
Se calcula el valor presente de los $3.000.000= que se abonan en el mes 12 y 24.
La cifra obtenida de $4.230.643,99. se le resta a los $20.000.000=, valor del
crédito.
El resultado de la resta es el que se utiliza para liquidar el valor de la cuota.
Una vez conocido el monto de la cuota se realiza la tabla de amortización, teniendo
presente adicionar la columna de los abonos extraordinarios.
El resultado final es que valor de la cuota se disminuyó a $618.676,82. Situación que en un
momento dado permita que el interesado pueda acceder al crédito y por ende al vehículo.
CON PERÍODO DE GRACIA
275
Es importante que se tenga claro que el período de gracia hace referencia al tiempo en que
no se amortiza la deuda, sólo se paga intereses.
Para liquidar el monto de la cuota, el total del crédito se toma como un valor presente, un
período antes de empezar a amortizar la deuda.
EJEMPLO 6.4
Se realiza un crédito para financiar la cosecha a un agricultor, por un valor de
$10.000.000=, el plazo es de 24 meses, con un período de gracia de 6 meses, el interés es
del 1.9% mensual.
PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS:
Durante los primeros 6 meses, sólo se liquidan los intereses de $10.000.000=,
A partir del mes 7 se paga la cuota que se liquidó, teniendo como plazo 18 meses,
dado que 6 fueron de gracia.
Se elabora la tabla de amortización con cuatro columnas, PERÍODO, INTERÉS,
AMORTIZACIÓN Y SALDO.
El valor de la cuota de $661.170,74 se empieza a pagar a partir del mes séptimo.
La amortización es el resultante de restar el valor de la cuota a los intereses.
AMORTIZACIÓN FIJA A CAPITAL
Este tipo de liquidación es utilizado usualmente en los créditos de vivienda en pesos, la
cuota total es variable y disminuye periódicamente.
El valor de amortización de capital, se calcula dividiendo la cuantía del crédito en el plazo.
EJEMPLO 6.5
Para efectos de comparación se utilizará el mismo ejemplo del caso anterior.
La amortización fija a capital es de $416.666,67.
PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS:
El valor que amortiza capital se determina dividiendo el monto del crédito en el
números de cuotas a pagar.
Se elabora la Tabla de amortización.
276
Se construyen las cuatro columnas, PERÍODO, INTERÉS, AMORTI-ZACIÓN Y
SALDO.
El interés se calcula multiplicando el saldo del período anterior por la tasa.
El valor de la cuota es el resultante de sumar a la amortización de capital y los
intereses.
CRÉDITO CON EL SISTEMA U.V.R.
El sistema colombiano de ahorro y vivienda si bien es cierto opera dentro del marco de la
libertad de empresa, el gobierno fija unos parámetros en determinados sectores
fundamentales para el logro de las metas en su política económica y social.
La vivienda es un punto fundamental en los programas de cualquier gobierno, en Colombia
hubo necesidad de modificar el anterior sistema UPAC, precisamente por llegar a una
situación de encarecimiento de la vivienda por el aumento en las cuotas y la poca capacidad
de pago por parte de los deudores.
Esta problemática afectó tanto al sector financiero, al gremio de la construcción y a la
población en general que tuvieron que observar como perdían sus viviendas por una mala
planeación del sistema y de las políticas gubernamentales, como del sector financiero.
Antes de explicar los sistemas de amortización se realizará una breve explicación sobre el
funcionamiento de la UVR, como instrumento para la financiación de vivienda en Colombia.
¿Qué es la UVR?
La unidad de valor real, es la unidad de cuenta que se utiliza en los créditos para la
financiación de vivienda, por disposición de la Ley 546 de 1999, su valor en pesos se fija
con base en la inflación, a la variación del índice de precios al consumidor, IPC, certificado
por el DANE.
¿Quién determina el valor de la UVR?
En virtud de la autonomía dada por la constitución política al Banco de la República, es la
junta directiva de éste la competente para determinar el valor en pesos de la UVR.
¿Cómo se determina el valor de la UVR?
La UVR se fija diariamente durante el período de cálculo, de acuerdo con la siguiente
metodología:
277
Períodos de cálculo: es el comprendido entre el día 16 de un mes inclusive, hasta el día 15
del mes siguiente inclusive.
Es el número de días (calendario) comprendidos entre el inicio de un período de
cálculo hasta el día de cálculo de la UVR. De esta forma, t presenta valores entre 1 y
31 según el número de días (calendario) del período de cálculo respectivo.
Es el valor en pesos de la UVR del día t del período de cálculo.
Es el valor en pesos de la UVR el día 15 de cada mes.
Es la variación mensual del índice de precios al consumidor certificada por el
DANE durante el mes calendario inmediatamente anterior al mes del inicio del
período de cálculo.
Es el número de días calendario del respectivo período de cálculo.
De la aplicación de la fórmula anterior resultan los valores en pesos para la unidad de
valor real, UVR que son publicados mes a mes por el Banco de la República.
¿Qué es la corrección monetaria?
El término genérico hace referencia al proceso de ajustar o actualizar una obligación
dineraria con el índice de inflación.
¿Por qué los créditos de vivienda utilizan la UVR?
Por expresa disposición de la ley de vivienda los créditos de vivienda deben ser
denominados en esta unidad, para evitar que su saldo crezca por encima de la inflación; no
obstante lo anterior, la ley también permite que los créditos de vivienda sean
denominados en pesos siempre que se cumplan ciertas condiciones.
¿Cuándo y cómo se determina la equivalencia en las UVR del dinero dado en préstamo?
Al momento del desembolso del dinero objeto del crédito de vivienda se determina su
equivalencia en UVR, es decir se establece a cuántas unidades UVR equivalen los pesos
otorgados en préstamo según la cotización del día.
Ejemplo:
Crédito aprobado:
$ 100.000.000
Fecha de desembolso:
Julio 9/2004
Valor de la UVR al 9 de Julio de 2004:
$ 144,3246
278
Cantidad de unidades UVR al día 9 de Julio de 2004:
692.882,57 UVR. Este resultado se obtiene de dividir $ 100.000.000 entre 144,3246.
¿Por qué un crédito en UVR cuando el sistema es de cuota baja, aumenta inicialmente su
valor en pesos?
Porque el valor de la UVR en pesos refleja el crecimiento de la inflación y por lo tanto, en
esa misma proporción se reajusta las cuotas mensuales en pesos y el saldo del crédito
también aumenta.
En un momento determinado, aproximadamente en el año 7, el saldo en pesos comienza a
disminuir, porque la disminución del saldo en UVR, es mayor que el ajuste de la inflación.
¿En qué se diferencia la UVR de la UPAC?
Con el tiempo las normas que establecieron la metodología para la determinación de los
valores en moneda legal de la UPAC permitieron que ésta reflejase los movimientos de la
tasa de interés en la economía, mientras que la Ley 546 de 1999 establece claramente que
la UVR se debe actualizar teniendo en cuenta única y exclusivamente la inflación, la cual se
mide de acuerdo con la variación del índice de precios al consumidor, IPC.
¿Quién y cómo se establece el índice de precios al consumidor, IPC?
El IPC (Índice de precios al consumidor) es calculado mensualmente por el DANE y se basa
en la variación que sufren los precios de la “canasta familiar” compuesta por una serie de
productos y servicios considerados como de primera necesidad para la población, ellos
son: alimentos, vivienda, vestuario, salud, educación, cultura, recreación, transporte, y
otros.
*Fuente: Página súper bancaria.
6.3 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITO DE VIVIENDA EN UVR
Existen cinco tipo de liquidaciones aprobados por la superintendencia bancaria, de estos
tres se liquidan en UVR y dos en Pesos.
Es importante tener en cuenta que existen dos aspectos muy importantes en este tipo de
liquidación:
La tasa de interés y la tasa de inflación.
279
Con la tasa de interés se liquidan los intereses del saldo del crédito en UVR, y la inflación
se utiliza para proyectar el valor de la UVR.
Los sistemas son los siguientes:
CUOTA BAJA
CUOTA MEDIA
CUOTA CÍCLICA POR PERÍODOS ANUALES
AMORTIZACIÓN CONSTANTE A CAPITAL EN PESOS.
CUOTA CONSTANTE EN PESOS.
NOTA: Los siguientes ejemplos, explicarán los tres primeros sistemas dado que los dos
últimos se explicaron anteriormente.
CUOTA BAJA
Este tipo de liquidación determina una cuota fija en UVR, se calcula como una anualidad,
teniendo como referencia el saldo inicial en UVR, y la tasa mensual de interés.
PASOS
Se determina la información básica:
Valor crédito
Plazo (meses)
Inflación proyectada
Tasa de interés mes
Valor de la UVR
Se calcula el valor del crédito en UVR
Con base en el valor del crédito en UVR, se liquida la anualidad, siendo n, los
ciento ochenta meses, y el interés mensual.
El resultado obtenido, es el valor a pagar en UVR en el mes, durante los ciento
ochenta meses. La cuota es fija en UVR.
Se organiza la tabla de amortización, con las siguiente información:
El período
Valor mensual de la UVR
Saldo del crédito en UVR
Valor de los intereses en UVR
280
Valor de la amortización en UVR
Valor de la cuota en pesos ($).
Valor del saldo del crédito en pesos ($).
Se ordena la columna de períodos, comenzando por cero (0), momento de
desembolso hasta el mes 180, si son quince años.
Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito, con
base en la inflación estimada.
Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR, con el valor inicial del crédito
en el período cero. (0).A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior se le
resta la amortización.
En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR, el valor de la deuda por la
tasa de interés mensual. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la
inflación.
En la columna del valor de la amortización en UVR, es donde se resta al total de la
cuota en UVR el valor de los intereses en UVR.
Con el monto de la cuota en UVR, se calcula en pesos ($), multiplicando el valor fijo
de la cuota mensual en UVR, por el equivalente mensual de la UVR.
La última columna es la del saldo en $, ahí se observa el comportamiento periódico
de la deuda. Resulta de multiplicar el saldo en UVR, por el valor de la UVR.
EJEMPLO 6.6
El siguiente ejemplo, muestra la liquidación de un crédito con cuota baja, sus condiciones
son:
VALOR: $70.000.000=
PLAZO (meses): 180
TEA: 13.91%
INFLACIÓN ANUAL 6%
CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA BAJA Y DEL SALDO
Se va a explicar el comportamiento de la cuota en UVR y en pesos de la cuota baja, y del
saldo en pesos.
CUOTA EN UVR
281
El valor de la cuota es constante en UVR, se caracteriza por ser una cuota de intereses
decrecientes y abono a capital creciente.
CUOTA EN PESOS
El comportamiento de la cuota en pesos es creciente, no teniendo en cuenta el seguro su
aumento está dado de acuerdo a la inflación.
Separando el interés de la amortización, la tendencia de la amortización es ascendente
mientras que los intereses es descendente.
SALDO EN PESOS
El saldo aumenta hasta el mes setenta y dos, a partir de allí comienza a disminuir.
CUOTA MEDIA
En este tipo de liquidación, el deudor se compromete a efectuar amortizaciones en UVR
mensualmente en valores iguales durante el plazo del crédito.
La cuota de amortización en UVR, se determina al dividir el valor del crédito en UVR entre
el tiempo del crédito, para el caso del ejercicio se divide 488.657,56 en 180 meses.
El interés se calcula multiplicando la tasa por el saldo, y para conocer el valor total de la
cuota se suma la amortización al capital y el interés.
El siguiente ejemplo se realiza con los mismos datos utilizados para el tipo de liquidación
en cuota baja.
PASOS
Se determina la información básica:
Valor crédito
Plazo (meses)
Inflación proyectada
Tasa de interés mes
Valor de la UVR
Se calcula el valor del crédito en UVR
282
Con base en el valor del crédito en UVR, se liquida la cuota de amortización
mensual en UVR, dividiendo el valor del crédito en UVR sobre el tiempo del crédito
en meses.
El valor obtenido, es el monto que amortiza mensualmente al saldo de la deuda en
UVR.
El pago total de la cuota es el resultado de sumar el valor que amortiza capital y los
intereses mensuales en UVR.
Se organiza la Tabla de amortización, con las siguiente información:
El período
Valor de la UVR
Saldo del crédito en UVR
El valor de los intereses en UVR
Total valor de la cuota en UVR
Valor de la cuota en pesos ($).
Monto del saldo del crédito en pesos ($).
Se ordena la columna del períodos, comenzando por cero (0), momento de
desembolso, hasta el mes 180, si son quince años.
Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito, con
base en la inflación estimada.
Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR, estando el total del crédito en
el período cero. (0).A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior se le
resta el valor fijo de amortización mensual.
En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR, el valor de la deuda por la
tasa de interés mensual. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la
inflación.
En la columna del valor de la cuota en UVR, es donde se suma al monto fijo de la
cuota de amortización de capital en UVR el valor de los intereses en UVR.
Teniendo El valor de la cuota en UVR, se calcula en pesos ($), multiplicando el
monto fijo de la cuota mensual en UVR, por el valor mensual de la UVR.
La última columna es la del saldo en $, ahí se observa el comportamiento periódico
de la deuda. Resulta de multiplicar el saldo en UVR, por el valor de la UVR.
EJEMPLO 6.7
283
CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA MEDIA Y DEL SALDO
Al igual que en la cuota baja, se va a explicar el comportamiento de la cuota en UVR y en
pesos de la cuota media, y del saldo en pesos.
CUOTA EN UVR
Su tendencia es decreciente.
CUOTA EN PESOS
El comportamiento de la cuota en pesos es creciente, hasta el mes sesenta y siete,
momento en el que empieza a disminuir.
Separando el interés de la amortización, la tendencia de la amortización es ascendente
mientras que los intereses es descendente.
SALDO EN PESOS
El saldo aumenta hasta el mes setenta y dos, a partir de allí comienza a disminuir.
CUOTA CÍCLICA POR PERÍODOS ANUALES
Este es un método combinado, donde se liquida una cuota anual fija en UVR, que se
distribuye en cuotas mensuales en UVR, pero éstas disminuyen mensualmente de acuerdo
al índice de inflación durante el año, momento en el cual se aumenta nuevamente de tal
forma que la primera cuota de cada año en UVR es igual a la primera cuota del año
anterior.
PASOS
Se determina la información básica:
Valor crédito
Plazo
Inflación proyectada
Tasa de interés
Valor de la UVR
Se calcula el valor del crédito en UVR
284
Con base en el valor del crédito en UVR, se liquida la anualidad, siendo n, los
quince años, y el interés (13,91%), la tasa efectiva Anual.
El valor obtenido, es el valor a pagar en UVR en el año, durante los quince años.
Una vez se obtiene el valor a pagar en UVR al año, se procede a calcular el valor de
las cuotas mensuales en UVR para cada uno de los meses del año.
Se determina la primera cuota mensual, recordar que para este sistema se aplica el
gradiente geométrico descendente, la tasa de disminución es la inflación mensual.
Se recuerda la fórmula de valor futuro de un gradiente geométrico descendente.
El VF es el valor de la anualidad calculado anteriormente, o el valor a pagar cada
año en UVR.
VF =
Una vez calculado A, primera cuota de cada año en UVR, durante los quince años.
El valor de A mensualmente se va disminuyendo por el valor de la inflación del
mes hasta terminar el año.
Una vez terminado el año, se inicia nuevamente el proceso.
Se organiza la tabla de amortización, con las siguiente información:
El período
Valor de la UVR
Saldo del crédito en UVR
El valor de los intereses en UVR
Valor de la cuota en UVR
Valor de la cuota en pesos ($).
Valor del saldo del crédito en pesos ($).
Se ordena la columna del período, comenzando por cero (0), momento de
desembolso, hasta el mes 180, si son quince años.
Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito, con
base en la inflación estimada.
Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR, con el total del crédito en el
períodos cero. (0). A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior le suma
los intereses y le resta la amortización.
En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR, el valor de la deuda por la
tasa de interés mensual. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la
inflación.
285
En la columna del valor de la cuota en UVR, es donde se organizan los resultados
del gradiente geométrico descendente. En el período 1 se ubica el valor de A y a
partir de allí disminuye el valor de la inflación mensual, hasta el mes doce (12).
Una vez ordenado el primer año, los demás se repiten, de ahí el nombre de cíclico
Teniendo el valor de la cuota en UVR, se calcula en pesos ($).
La última columna es la del saldo en $, ahí se observa el comportamiento periódico
de la deuda.
EJEMPLO 6.8
CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA DEL SISTEMA VARIACIÓN CÍCLICA ANUAL Y
DEL SALDO.
CUOTA EN UVR
Como se explicó anteriormente, la tendencia descendente de cada año se repite, por ser las
cuotas anuales de UVR constantes.
CUOTA EN PESOS
La cuota aunque trata de ser ligeramente estable durante el año, anualmente aumenta de
acuerdo a la inflación, pero mensualmente dentro cada año la tendencia es levemente
descendente.
SALDO
El saldo aumenta en los primeros años de vigencia del crédito hasta el mes setenta y tres
(73), momento en el cual empieza a disminuir.
6.4. LEASING
DEFINICIÓN
El leasing se puede definir como una transacción financiera en la cual una persona le
alquila a otra un bien para que lo utilice libremente por un período de tiempo
determinado.
Para ello se firma un contrato a través del cual se adquiere el derecho a utilizar el bien a
título de arrendamiento, por la cual, se conviene un canon (bien por pago anticipado o por
pago vencido, mensual o trimestral).
286
Finalmente, la transacción incluye que de antemano se fije o no la opción de compra, que
normalmente se sitúa entre el uno y el diez por ciento del valor de adquisición del equipo.
CLASIFICACIÓN DEL LEASING
Las exigencias del mercado han hecho que las entidades financieras desarrollen diferentes
variantes de leasing, pero podemos destacar tres clasificaciones, el leasing operativo,
financiero y el lease back.
LEASING OPERATIVO: Se denomina así al leasing que no tiene opción de compra.
LEASING FINANCIERO: Este sistema si da la opción de compra.
LEASE BACK: Sistema mediante el cual el dueño de un activo que requiere recursos le
traspasa la propiedad de un activo a la compañía de leasing, la que a su vez se lo alquila
por un tiempo, al final el activo regresa a su dueño inicial.
PROCESO Y FINANCIACIÓN MEDIANTE EL LEASING COMERCIAL
Usted define la maquinaria que requiere para el desarrollo de su negocio y el
proveedor.
La empresa de LEASING adquiere del proveedor escogido por usted, los equipos
que su empresa necesita.
La firma se los entrega en arriendo durante un plazo convenido, tiempo durante el
cual usted pagará un canon de arriendo en forma periódica.
Al finalizar el plazo le permitirá adquirir el bien por un porcentaje de su valor
inicial (opción de compra), previamente establecida en el contrato de arriendo
EJEMPLO 6.9
Efectuar la Tabla de amortización para el arrendamiento de un vehículo avaluado en
$50.000.000, se fijó como valor residual el 20% del valor de contado, se determinó un
plazo de 120 meses y una tasa efectiva del 20,5%
PROCEDIMIENTO Y ANÁLISIS:
Para el cálculo del valor de la cuota que el tomador del leasing debe pagar se requiere
seguir el siguiente procedimiento:
Se liquida la cuota como una anualidad, tomando como valor presente el precio del
activo descontado por el valor residual. Este resultado se denomina cuota sin los
intereses del valor residual. El resultado para el ejemplo fue de $741,301.78.
287
Se liquida los intereses del valor residual. Para el caso, el resultado es de
$156,613.37.
La cuota a pagar mensualmente es el resultante de la suma de la cuota después de
descontarse el valor residual y los intereses de éste.
El valor resultante es $897,915.15.
Se elabora la Tabla de amortización, organizando cuatro columnas; PERÍODO,
INTERÉS, AMORTIZACIÓN Y SALDO. La amortización se presenta si el arrendatario
toma la opción de comprar el activo pagando el valor residual.
Para adquirir el bien se debe pagar el valor residual, es decir los $10,000,000.
VENTAJAS DEL LEASING
Los arrendatarios, sin importar el monto del patrimonio bruto, que durante los
años 2004 y 2005, adquieran activos que generen de renta a través del Leasing
Financiero, pueden registrar como gasto deducible la totalidad del canon de
arrendamiento causado.
No se requiere registrar el activo, ni el pasivo en la contabilidad; cuando los
contratos cumplan con los plazos mínimos establecidos:
- Vehículos de uso productivo y equipos de cómputo: 24 meses.
- Maquinaria, equipos, muebles y enseres: 36 meses.
- Inmuebles: 60 meses.
Algunas importaciones de maquinaria industrial y equipos no producidos en el
país están excluidos de IVA y Aranceles.
Las empresas mantienen su nivel de endeudamiento, para efectos de capacidad de
crédito.
Es de gran importancia para las empresas con problemas de liquidez y para
aquellas que requieren tecnología de punta.
6.5 LEASING HABITACIONAL
Es un contrato mediante el cual se adquiere la posesión de un inmueble con destino a
vivienda, a cambio del pago de un canon mensual con opción de comprarlo o devolverlo
una vez termine el plazo convenido.
Al vencimiento del contrato el inmueble se devuelve a su propietario o se transfiere, si se
decide ejercer la opción de compra pactada y paga el valor restante.
288
Este sistema tiene como ventaja que el tomador del leasing vivirá en calidad de
arrendatario, al tiempo que abona una parte del precio de la misma con el pago de un
canon mensual, sin necesidad de cancelar la cuota inicial, por el contrario se cancela un
valor al final, cuando se ejerza la opción de compra.
Existen dos modalidades de financiación; la cuota baja y media.
CUOTA BAJA
Se va a efectuar la Tabla de amortización del sistema de adquisición de vivienda mediante
el leasing habitacional, para el ejemplo que se ha trabajado inicialmente.
PASOS
Se determina la información básica:
Valor crédito en pesos y en UVR
% del valor residual
Valor residual en pesos y en UVR
Plazo
Inflación proyectada
Tasa de interés
Valor de la UVR
Se calcula el valor de la cuota en UVR.
Con base en el valor del crédito en UVR, se liquida la anualidad, siendo n, ciento ochenta
meses, y el interés (0,949%), la tasa mensual.
Se organiza la tabla de amortización, con las siguiente información:
El período
Valor de la UVR
Saldo del crédito en UVR
El valor de los intereses en UVR
El valor que amortiza en UVR
Valor de los intereses en pesos ($).
289
Valor de la cuota en pesos ($).
Valor del saldo del crédito en pesos ($), si toma la opción de compra.
Se ordena la columna del período, comenzando por cero (0), momento de
desembolso, hasta el mes 180, si son quince años.
Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito, con
base en la inflación estimada.
Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR, estando el total del crédito en
el período cero. (0).A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior le resta
la amortización.
En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR, el valor de la deuda por la
tasa de interés mensual. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la
inflación.
El valor de amortización se da descontando al monto de la cuota, los intereses.
El interés del valor residual en pesos se determina, multiplicando el valor residual
en UVR, por la tasa de interés mensual, por el valor de la UVR.
El valor de la cuota en pesos, es calculada multiplicando el monto de la cuota en
UVR multiplicada por la UVR más el valor de los intereses del valor residual.
El saldo en pesos esta dado por el saldo en UVR multiplicado por la UVR del
período.
VALOR FINAL RESIDUAL EN $ 16,768,964.4
Características del Comportamiento de la Cuota del Sistema de Leasing dn Cuota
Baja y del Saldo.
CUOTA EN PESOS
Va aumentando por el índice de Inflación.
EL SALDO
El saldo tiene un comportamiento ascendente hasta el mes sesenta y seis donde comienza
a disminuir, es importante recalcar que al finalizar el plazo del leasing, si se desea adquirir
el bien se debe pagar el valor residual.
CUOTA MEDIA
290
Una vez estudiada la Tabla de amortización por el sistema de cuota baja, se va a realizar el
mismo ejercicio para la cuota media.
PASOS
Se determina la información básica:
Valor crédito en pesos y en UVR
% del valor residual
Valor residual en pesos y en UVR
Plazo
Inflación proyectada
Tasa de interés
Valor de la UVR
Con base en el valor del crédito en UVR, se liquida la cuota de amortización
mensual en UVR, dividiendo el valor del crédito en UVR sobre el tiempo del crédito
en meses.
El monto obtenido, es el valor que amortiza mensualmente al saldo a la deuda en
UVR.
El valor total de la cuota es el resultado de sumar el valor que amortiza capital y
los intereses mensuales en UVR.
Se organiza la Tabla de amortización, con las siguiente información:
El período
Valor de la UVR
Saldo del crédito en UVR
El valor de los intereses en UVR
El valor de la cuota en UVR
Valor de los intereses del valor residual en pesos ($).
Valor de la cuota en pesos ($).
Valor del saldo del crédito en pesos ($), si toma la opción de compra.
Se ordena la columna del período, comenzar por cero (0), momento de
desembolso, hasta el mes 180, si son quince años.
Se proyecta el valor de la UVR para cada mes en el total de tiempo del crédito, con
base en la inflación estimada.
291
Se organiza la columna del saldo del crédito en UVR, con el total del crédito en el
período cero. (0). A partir del mes uno se determina así: Al saldo anterior se le
resta el valor fijo de amortización mensual.
En la siguiente columna se liquida los intereses en UVR, el valor de la deuda por la
tasa de interés mensual. Es importante recalcar que esta tasa no tiene en cuenta la
inflación.
En la columna del valor de la cuota en UVR, es donde se suma al valor fijo de la
cuota de amortización de capital en UVR el valor de los intereses en UVR.
El interés del valor residual en pesos se determina, multiplicando el valor residual
en UVR, por la tasa de interés mensual, por el valor de la UVR correspondiente al
periodo.
Con el dato de la cuota en UVR, se calcula en pesos ($), multiplicando el valor fijo
de la cuota mensual en UVR, por el valor mensual de la UVR.
La última columna es la del saldo en $, ahí se observa el comportamiento periódico
de la deuda. Resulta de multiplicar el saldo en UVR, por el valor de la UVR.
VALOR FINAL RESIDUAL 16,768,964 EN $
CARACTERÍSTICAS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CUOTA DEL SISTEMA DE LEASING EN CUOTA
MEDIA Y DEL SALDO.
CUOTA EN PESOS
Va aumentando hasta el mes cien (100) y a partir de allí comienza a disminuir.
EL SALDO
El saldo tiene un comportamiento descendente, es importante recalcar que al finalizar el
plazo del leasing, si se desea adquirir el bien se debe pagar el valor residual, para este
ejercicio sería $ 16, 768,964, resultante de multiplicar el valor residual en UVR, por la UVR
del último mes.
VENTAJAS DEL LEASING HABITACIONAL
El Leasing habitacional está diseñado para las familias que no tienen los recursos
suficientes para una cuota inicial, amortizando gradualmente su vivienda mientras
paga un canon de arrendamiento, en cuyo caso la opción de adquisición no podrá
292
ser superior al 30 por ciento del valor comercial del bien en pesos o en unidad de
valor real (UVR).
Los usuarios del leasing pueden deducir la parte correspondiente a los intereses
y/o corrección monetaria o costo financiero que haya pagado durante el
respectivo año.
Las personas asalariadas pueden optar por disminuir la base mensual de retención
en la fuente por concepto de pago de intereses y corrección monetaria
6.6. AMORTIZACIÓN DE UN CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA
En el momento de pensar en la opción de financiarse en moneda extranjera, se debe
conocer varios factores que van a incidir en la ventaja o desventaja de haber tomado esta
opción, ellos son:
Tasa de interés del banco en el exterior
Tasa de devaluación
TASA DE INTERÉS EN MONEDA EXTRANJERA
Las tasas sobre la cual se fijan los créditos en moneda extranjera son: La PRIME RATE y la
LIBOR
PRIME RATE
Está fijada como el costo que cobra la banca en los EE.UU, a las empresas de este país. Los
intereses de los créditos se fijan con algunos puntos sobre la Prime.
Estos puntos se denominan SPREAD. El SPREAD varía de acuerdo como esté calificado el
riesgo que para la banca represente el país del usuario del crédito.
LIBOR
Sigla de la London Inter Bank Offer Rate. Es la tasa promedio ofrecida en el mercado
interbancario de Londres.
TASA DE DEVALUACIÓN
Por devaluación se puede definir como la evolución de la tasa de cambio o paridad
cambiaria de la moneda local frente a unas monedas fuertes.
El comportamiento de la devaluación hace que el costo del crédito se haga barato o por el
contrario bastante oneroso.
TASA EFECTIVA DEL CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA
293
La tasa efectiva de un crédito en moneda extranjera es la resultante de multiplicar la tasa
de interés cobrada por el Banco extranjero con la tasa de devaluación.
EJEMPLO 6.10
Determinar el costo de un crédito en moneda extranjera, si la tasa de interés es la Prime
más dos puntos y la devaluación proyectada es del 10% anual.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Para calcular el costo del crédito se debe conocer la tasa Prime. Se consultó y la tasa Prime
está en el 6% anual.
Es decir, la tasa que cobra el banco extranjero es el 8% anual.
Como la tasa de devaluación esperada es del 10%, el interés efectivo sería el siguiente.
I efectivo = (1,08 x 1,1) - 1
I efectivo = 0,188
RESPUESTA
El interés efectivo del crédito en moneda extranjera es del 18,8% anual.
EJEMPLO 6.11:
Se requiere $500.000.000, para financiar un estudio de factibilidad para la construcción
de una hidroeléctrica, se quiere analizar el costo de dicho financiamiento y como sería la
tabla de amortización.
El banco extranjero cobra la tasa Prime más dos puntos y el pago en cuotas trimestrales
iguales. El plazo del crédito son tres años. Como períodos de gracia un año, y el abono a
capital se realiza en ocho cuotas iguales.
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Para efectuar la Tabla de amortización de un crédito en moneda extranjera se debe
conocer la tasa de cambio, y la devaluación esperada, porque en el momento del
desembolso y de los pagos, la empresa beneficiaria requiere pesos para el caso
colombiano para reunir los dólares u otra moneda para efectuar los abonos o pagos de las
cuotas.
PROCEDIMIENTO
294
PASOS:
Al conocer la tasa de cambio se calcula la necesidad de recursos en dólares.
Conociendo la devaluación esperada, y que los pagos son trimestrales se calcula la
tasa de devaluación trimestral.
Se hace lo mismo con la tasa de interés.
Se organiza la Tabla de amortización. Las columnas son las siguientes:
PERÍODOS, TASA DE CAMBIO, INTERÉS US$, AMORTIZACIÓN US$, TOTAL PAGO EN $,
SALDO EN US $.
La tasa de cambio se proyecta multiplicando la tasa de cambio del trimestre
anterior por la devaluación proyectada del trimestre.
El interés es el resultante de multiplicar el saldo anterior por la tasa del crédito.
La amortización que se inicia a pagar a partir del segundo año, resulta de dividir el
total del crédito en ocho cuotas.
El total de pago en pesos es el resultado de multiplicar la tasa de cambio con la
suma entre los intereses y la amortización en dólares.
El saldo empieza a disminuir a partir del segundo año, al saldo anterior se le resta
el valor a amortizar en dólares.
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
La realización de estos ejercicios permitirá desarrollar las competencias necesarias para
respaldar nuestro desempeño laboral en el campo de las finanzas, así como adquirir la
experiencia y habilidad necesaria para identificar y formular problemas, proponer
soluciones alternativas y asesorar o tomar decisiones.
Analicemos cuidadosamente estos problemas y de nuestros conocimientos con el uso
adecuado démosle una solución adecuada y eficaz.
Si tenemos complicaciones para resolver alguno de ellos, podemos recurrir al tema de este
capítulo del libro donde encontramos los conocimientos, métodos y procedimientos
adecuados para dar las soluciones requeridas.
¡Adelante y muchos éxitos!
1. Liquidar un crédito de $10.000.000 a 36 meses con un interés del 2,2% mensual por el
sistema de:
PAGO ÚNICO
CUOTA FIJA.
295
CUOTA FIJA CON AMORTIZACIÓN DE CAPITAL
2. El mismo ejercicio anterior, con el sistema de cuota fija pero con abonos
extraordinarios de $1.000.000 en el mes seis, doce, dieciocho, veinticuatro y treinta.
3. El ejercicio número uno con un período de gracia de seis meses.
4. Liquidar un crédito de vivienda de $200.000.000, con una tasa de interés efectiva anual
del 20% y una inflación proyectada del 6% anual. Suponga que el valor de la UVR
inicial es de 150,3148, el cliente quiere analizar los siguientes sistemas de financiación:
CUOTA BAJA
CUOTA MEDIA
CUOTA CÍCLICA POR PERÍODOS ANUALES
5. Analice el ejercicio anterior pero con el leasing habitacional, se estudiará los sistemas
de cuota baja y media. El valor residual es del 10%.
6. Realice la Tabla de amortización si deseo adquirir un camión por el sistema de leasing,
el valor del vehículo es de $220.000.000 y el valor residual es del 20%, la tasa de
interés del 25% anual. El plazo es de 24 meses.
7. Determine el costo de un crédito de $800.000.000 en US $, la tasa del banco extranjero
es el Prime más tres puntos. Las condiciones son las siguientes:
Plazo: 10 semestres
Período de gracia: un año.
Abono a capital: 8 cuotas semestrales iguales.
La tasa de cambio es de $2.600, y se espera una devaluación anual del 10%.
La tasa Prime es del 5,8% anual.
GLOSARIO
AMORTIZACIÓN: Pago de un crédito mediante el abono de cuotas en un período
predefinido.
BONO: Título crediticio emitido por un gobierno o una empresa mediante el cual el emisor
se compromete a pagar unos intereses (cupón) en unas fechas fijadas y a reembolsarlo en
el momento de su vencimiento.
296
COSTO DE CAPITAL: Tasa de interés que paga un empresario para financiarse.
COTIZACIÓN: Expresión de uso bursátil para señalar el valor de las acciones.
DEVALUACIÓN: Pérdida de valor de la moneda nacional frente a la de otro país.
FECHA DE EMISIÓN: Fecha a partir del cual se crean los títulos y se colocan en el mercado.
FONDOS DE INVERSIÓN: Ente financiero que recibe dinero de pequeños inversionistas
para invertirlos en un mercado más grande y brindarles una mejor rentabilidad y menor
riesgo a sus inversores.
RIESGO DE LA TASA DE CAMBIO: Posibilidad de pérdida por variación inesperada en las
tasas de cambio.
TABLA DE AMORTIZACIÓN: Tabla en la que se describe la forma de cancelación de un
crédito, descomponiendo la suma que paga por intereses y la que se abona a capital.
TASA DE DEVALUACIÓN: Indicador de la pérdida de valor de una moneda frente a una
extranjera.
TASA LIBOR: Tasa promedio ofrecida en el mercado interbancario de Londres.
TASA PRIME RATE: Tasa de interés para créditos corporativos calculado por el Banco de la
reserva federal en los Estados Unidos.
297
CAPÍTULO 7
EVALUACIÓN DE INVERSIONES
JUSTIFICACIÓN
Cuando el estudiante cuestiona sobre el uso de estos conocimientos en su vida práctica, el
docente le explica su aplicabilidad en casi todas las decisiones que se toman en el actuar
cotidiano.
Sin embargo, para abordar este tema será imprescindible conceptualizar los términos
“Evaluación económica” e “Inversión”
Ricardo Fernández autor del Dictionary of Modern Bussines de Limusa en 1992, define
Evaluar: Determinar el valor de una cosa. Acto de investigar el valor relativo de algunos
servicios, organizaciones o mercancías.
El Diccionario Económico Financiero de Puntos Suspensivos Editores Consultores define
Evaluación Económica: Metodología que permite establecer el valor económico de una
empresa, de un factor productivo o de un proyecto de inversión. (...) Permite calcular los
beneficios y los costos de una inversión, determinándose así su rentabilidad.
El Diccionario de Términos Financieros del autor Rafael Barandiarán de Editorial Trillas,
1990; define Evaluación de Proyectos: Técnica moderna que permite verificar excedente y
ex - post la bondad de las inversiones financieras;...
Ahora conceptualicemos “inversión”;
La Federación Latinoamericana de Bancos en su publicación Introducción a la
Terminología Financiera del autor Robert Marcuse define la Inversión: Colocación de
dinero con el propósito de obtener del mismo un rendimiento satisfactorio o una ganancia
de capital. Invertir presupone la compra de algo con la intención de guardarlo sólo
mientras resulta beneficioso, o para venderlo en una fecha posterior para hacer una
ganancia..
El Diccionario Económico Financiero de Puntos Suspensivos Editores Consultores la
define:
298
Es la aplicación de recursos económicos al objetivo de obtener ganancias en un
determinado período.
De la observación de este tema podemos concluir que el propósito de este capítulo es el de
compartir las técnicas utilizadas para evaluar y seleccionar la mejor alternativa de
inversión.
OBJETIVO GENERAL
Dominar el conocimiento y uso de las técnicas para evaluar y seleccionar alternativas de
inversión que posibiliten mi desempeño futuro como asesor en el campo financiero.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
La comprensión y aprehensión de los conocimientos sobre la evaluación y selección de
alternativas de inversión me permitirán el desarrollo de habilidades y destrezas en la
evaluación de inversiones posibilitándome ser más competitivo y eficaz en mis asesorías y
decisiones financieras:
Manejo adecuado del concepto de tasa de oportunidad.
Cálculo del valor presente neto en un flujo de caja.
Determinar la tasa interna de retorno.
Dominar el método del costo anual uniforme equivalente.
Comprender acertadamente el análisis de sensibilidad y sus ventajas en la toma de
decisiones
EVALUACIÓN DE ENTRADA
Es importante tener en cuenta que la evaluación de entrada permite apreciar los
conocimientos y conceptos aprendidos y los que ya poseo, para continuar mi estudio de
finanzas.
Esta autoevaluación o reflexión deja identificar mis deficiencias para poder superarlas, e
invita a iniciar el estudio de esta unidad.
“Cuando la lucha de un hombre comienza dentro de sí, ese hombre vale algo.”
Robert Browning
299
1. Exponga detalladamente algunos métodos de sistemas de financiación comercial.
2. Explique las ventajas de cada uno de ellos.
3. ¿Por qué en el sistema de la UVR, el saldo de la deuda inicialmente aumenta y después
comienza a disminuir?
4. ¿Qué ventajas tiene el uso del leasing?
5. ¿Por qué alguien que desee adquirir vivienda utilizaría el sistema de leasing
habitacional y no los otros sistemas de financiación?
7.1. TASA DE OPORTUNIDAD
La tasa de oportunidad es la mínima que el inversionista desea ganar en el proyecto a
invertir, con base en ella se toma la decisión de asignar determinada cantidad de dinero.
Entre mayor sea la tasa que el inversionista desea ganar, el precio por el bien comprado es
menor.
EJEMPLO 7.1
Si un inversionista A desea comprar un título cuyo valor nominal es de $1.000.000= y su
vencimiento es dentro de un año, ¿cuál debe ser el precio de compra si desea una
rentabilidad del 22% anual?
TASA DE OPORTUNIDAD PARA A: 22% Anual.
VALOR INVERTIDO POR A = = 819.672,13
Para que el inversionista A, tenga una rentabilidad del 22%, compraría el título en
$819.672,13.
Si existe un inversionista B, pero desea una rentabilidad del 25% anual, ¿cuál sería
el valor a pagar por este mismo título?
TASA DE OPORTUNIDAD PARA B: 25% anual.
VALOR INVERTIDO POR B = = $800.000
300
Para que el inversionista A, tenga una rentabilidad del 25%, compraría el título en
$800.000=
El inversionista B pagaría menos por el título dado que su tasa de descuento es mayor.
7.2.VALOR PRESENTE NETO
Es el resultado de calcular la diferencia del valor presente de los ingresos y egresos del
flujo de caja del proyecto que se va a evaluar, en el período cero.
La cifra estimada mide el proyecto en pesos de hoy, frente a la tasa de oportunidad del
inversionista.
DECISIÓN DE INVERSIÓN:
Si el resultado es positivo o sea mayor que CERO, indica que el proyecto es viable,
puesto que su rentabilidad es superior a la tasa de oportunidad del inversionista.
Si es negativo, o sea, menor que CERO, indica que el proyecto es inviable, puesto
que el inversionista prefiere invertir en los negocios que le garantizan la actual
tasa de oportunidad.
Si el resultante es CERO, quiere decir que es indiferente invertir en este proyecto,
o en los que se encuentra invirtiendo en el momento.
EJEMPLO 7.2:
Se compra un taxi en $30.000.000, el cual se espera que mensualmente deje libre de
gastos $1.000.000= a los tres meses lo vende en $31.000.000=; Si la tasa de oportunidad
del inversionista es el 3% mensual, ¿qué tan buen negocio se realiza?
VPN = -30.000.000 + + +
VPN = -30.000.000 + 970.873,78 + 942.595,9 + 29.284.533,1
VPN = -30.000.000 + 31.198.002,78
VPN = 1.198.002,78
Se realiza un buen negocio porque el VPN es mayor que CERO o sea, el inversionista tiene
una rentabilidad superior al 3%.
301
EJEMPLO 7.3
Un estudiante compra una motocicleta en $5.000.000= para realizar mensajería, si
mensualmente le queda libre de gastos $100.000= y a los seis meses la vende en el mismo
valor que la compró, determine si fue un buen negocio, la tasa de oportunidad es del 2,5%
mensual.
Se va a utilizar la fórmula de anualidades.
VPN = -5.000.000 + 100.000 x +
VPN = -5.000.000 + 550.812,53 + 4.311.484,33
VPN = -137.703,13
RESPUESTA: No fue un buen negocio para el estudiante, dado que su valor presente neto
es inferior a cero, esto quiere decir que la rentabilidad del proyecto fue inferior al 2,5%
mes.
CÁLCULO DEL VPN CON LA CALCULADORA FINANCIERA HP
Para desarrollar el anterior ejercicio con la calculadora, el procedimiento es el siguiente:
FIN
F: CAJA
CLEAR DATA, SI
5.000.000 +/- INPUT
100.000 INPUT
5 INPUT
5.100.000 INPUT INPUT
CALC 2,5 % I
VAN
VAN = -137.703,13
CÁLCULO DEL VPN EN EXCEL
Como se ha enunciado anteriormente se entra por el menú de funciones financieras, y se
busca VNA.
302
Es importante observar el rango que se toma para determinar el VPN. El valor del período
cero (0) no hace parte de este rango.
El resultado obtenido es el VP del flujo de caja del período uno (1) al seis (6), para
determinar el VPN, se le debe sumar al resultado obtenido el valor de la inversión, que en
el cuadro se observa en la casilla B5.
En este cuadro se observa el VPN de -$137.703,13, resultante de sumar la inversión inicial
D5 y el valor presente del flujo de los períodos 1 al 6 (D15).
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Un grupo de estudiantes conforman una sociedad y crean un negocio de servicio
de Internet, su inversión fue de $15.000.000, y sus ingresos y gastos mensuales
fueron de 4.000.000 y $2.500.000 respectivamente durante el primer año, para el
segundo año sus ingresos aumentaron el 15% y sus gastos el 12%, al finalizar el
segundo año venden el negocio en $25.000.000, determine si les fue bien en el
proyecto dado que los socios esperaban una rentabilidad del 3,5% mes.
Su mejor amigo le consulta sobre la viabilidad del negocio de fotocopias que tiene
en la universidad, para prestar un buen servicio invirtió en equipos $12.000.000,
mensualmente le ingresa por fotocopias $5.000.000 y de gastos $2.000.000,
trimestralmente el mantenimiento de las máquinas tiene un costo de $300.000, la
vida útil sin ocasionar mayores molestias es de tres años, momento en el cual hace
reposición de equipos y le reciben sus anteriores máquinas por el 30% del valor de
compra. Si la tasa de rentabilidad esperada es del 3,8% mes, asesore a su amigo
sobre el negocio.
7.3. TASA INTERNA DE RETORNO - TIR
Es la tasa de interés que hace que el valor presente de los ingresos sea igual al valor
presente de los egresos, es decir, que el VPN sea igual a CERO (0).
O, es la tasa de interés que devengan los dineros que permanecen invertidos en un
proyecto.
303
El cálculo de la tasa interna de retorno, para efectuarlo manualmente es un poco
dispendioso dado que se utiliza el método de prueba y error, buscando que las tasas
estimadas totalicen los valores del flujo de caja por encima y por debajo de la inversión.
Una vez se tienen los valores aproximados mediante el método de interpolación se calcula
el resultado definitivo.
DECISIÓN DE INVERSIÓN:
Si la TIR es mayor que la tasa de oportunidad del inversionista, se acepta el
proyecto.
Si la TIR es menor que la tasa de oportunidad del inversionista, se rechaza el
proyecto.
Si la TIR es igual a la tasa de oportunidad, es indiferente la inversión en el
proyecto.
EJEMPLO 7.4:
Se invierte en un negocio $5.000.000=, presenta unos ingresos netos de la siguiente
manera:
Año
1 2.000.000
2 2.200.000
3 3.000.000
4 3.100.000
5 3.200.000
El interrogante es la tasa interna de rentabilidad de la Inversión.
VALOR DE LA INVERSIÓN
5.000.000
304
FLUJO DE CAJA
2.000.000/(1+i)1+2.200.000/(1+i)2+3.000.000/(1+i)3+3.100.000/(1+i)4+3.200.000/(
1+i)5
MÉTODO DE PRUEBA Y ERROR
Para mayor facilidad se va a trabajar en miles de $.
Se inicia con una tasa del 40%
5.000=2.000/(1,4)1+2.200/(1,4)2+3.000/(1,4)3+3.100/(1,4)4+3.200/(1,4)5
5.000= 5.046,26
Como el resultado obtenido es mayor que 5.000, se debe buscar una tasa superior al 40%,
para que el valor presente del flujo de caja sea inferior a 5.000.
Como el resultado anterior dio una cifra cercana el aumento en la tasa debe ser pequeño,
se estimará el 42%.
5.000=2.000/(1,42)1+2.200/(1,42)2+3.000/(1,42)3+3.100/(1,42)4+3.200/(1,42)5
5.000= 4.764,761
INTERPOLACIÓN
5.046,26 40%
5.000 X
4.764,761 42%
PROCEDIMIENTO:
Para no olvidar la forma de interpolar, lo importante es aplicar la relación existente entre
los valores y los porcentajes, de la siguiente forma:
=
=
=
305
0,164334509 x -2 = 40-x
-0,328669018= 40-x
x = 40 + 0,328669018
x = 40,328 % Anual
La tasa interna de retorno del proyecto es del 40,328% anual.
CÁLCULO DE LA TASA INTERNA
DE RETORNO CON LA
CALCULADORA H.P
Para calcular la TIR con la calculadora financiera se sigue el siguiente procedimiento:
FIN
F: CAJA
CLEAR DATA, SI
5.000.000 +/- INPUT
2.000.000 INPUT INPUT
2.200.000 INPUT INPUT
3.000.000 INPUT INPUT
3.100.000 INPUT INPUT
3.200.000 INPUT INPUT
CALC
% TIR
%TIR = 40,49604
Este es el resultado mostrado por la calculadora.
CÁLCULO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO EN EXCEL
Para el cálculo de la TIR en la hoja electrónica el procedimiento a seguir es muy similar a
lo expuesto anteriormente, por las funciones financieras, se va a realizar el mismo
ejercicio que se efectuó manualmente.
306
En este cuadro se señaló el rango donde se encuentran los valores y en estimar se le da
cualquier cifra para que comience a buscar el resultado.
El resultado fue una TIR del 40,49% anual, resultado más exacto que el estimado con
interpolación.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Calcule la TIR de los ejercicios de práctica del tema de VPN.
7.4. COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE
Es un método útil para evaluar proyectos que fundamentalmente constituyen fuente de
egresos, con él se toman decisiones pues se selecciona la alternativa que representa un
menor costo para la empresa.
PROCEDIMIENTO
El procedimiento es llevar a anualidad los valores presente y futuro del flujo de caja.
Las fórmulas a utilizar serían las siguientes:
A = V. P x
A = V. F x
EJEMPLO 7.5
Un municipio desea evaluar la compra de una máquina para mantenimiento de sus vías,
se le presentan dos alternativas:
La alternativa A es comprar un equipo cuyo valor es de $50.000.000, presenta una vida
útil de 6 años, el mantenimiento anual tiene un costo de $3.000.000=, y el valor de
salvamento es de $8.000.000=.
307
La alternativa B es un equipo de $40.000.000, con vida útil de 6 años. El costo de
mantenimiento anual es de $4.000.000, y el valor de salvamento es de $5.000.000=, la tasa
de oportunidad es del 25% Anual.
Alternativa A =50.000.000
+ 3.000.000 - 8.000.000 x
Alternativa A = 16.940.974,93 + 3.000.000 - 710.555,98
CAUE para la alternativa A es 19.230.418,94
Alternativa B =40.000.000 + 4.000.000 - 5.000.000 x
Alternativa B = 13.552.779,95 + 4.000.000 - 444.097,49
CAUE para la alternativa B es 17.108.682,46
La alternativa seleccionada debe ser la B, dado que el CAUE es menor.
VIDA ÚTIL DIFERENTE
Si los proyectos fuesen de diferente vida útil, por ejemplo, si la alternativa A fuese a 4 años
y la B a 6 años, el planteamiento sería el siguiente:
Se determina el mínimo común múltiplo, para el ejercicio sería doce (12), La operación
matemática es:
Alternativa A=50.000.000
+ 3.000.000 - 8.000.000 x
Alternativa A = 13.422.378,85 + 3.000.000 - 147.580,61
CAUE para la alternativa A es 16.274.798,24
Alternativa B =40.000.000
308
+ 4.000.000 - 5.000.000 x
Alternativa B = 10.737.903,08 + 4.000.000 - 92.237,88
CAUE para la alternativa B es 14.645.665,2
La alternativa seleccionada debe ser la B, dado que el CAUE es menor.
7.5. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Cuando se evalúa un proyecto de inversión se obtiene un resultado, donde, de acuerdo a lo
alcanzado se da viabilidad o no a la ejecución del plan.
Ningún evaluador puede afirmar que X o Y proyecto es factible, sin antes agregar la
siguiente frase:
Si se cumplen los parámetros establecidos en el flujo de caja para la evaluación, el
proyecto es o no factible.
La herramienta que presenta el Excel, precisamente permite calcular los resultados
obtenidos si se varían dos factores utilizados en la evaluación.
EJEMPLO 7.6:
Se va a determinar la rentabilidad de un proyecto de una empresa de confección de
camisas, el precio de las camisas es de $40.000= y aumenta el precio 5% anual, el costo
variable de cada camisa es $20.000 y los costos fijos $5.000.000= mensuales, se espera
vender 4.000 camisas el primer año y aumentar las ventas en 10% anual.
La inversión requerida para el proyecto es de $60.000.000 y la vida útil de la maquinaria
es de 5 años, momento en el que su valor de salvamento es de $15.000.000=.
Este proyecto no es factible con los parámetros que inicialmente se trabajaron, dado que la
TIR es sólo del 14%, y el VPN se estimó con una tasa de oportunidad del 20%, presenta un
resultado negativo.
MODIFICACIÓN DE SUPUESTOS
Se va a revisar el estudio, modificando el C.V.U inicial, y el volumen de ventas con que
arranca el proyecto.
309
Los C.V.U iniciales para analizar serían: $15.000, $16.000, $17.000, $18.000, $19.000 y
$20.000.
El volumen de ventas iniciales 5.500, 5.600, 5700, 5800, 5900 y 6000 unidades anuales.
PROCEDIMIENTO
Se construye la Tabla donde se va a efectuar la sensibilidad, como el parámetro de
evaluación es la TIR, este resultado se lleva a la casilla donde se fija la fila y la columna de
las variables a modificar (A29), con el más (+), luego se sombrea la Tabla, como se señala
en el siguiente cuadro y se ingresa por DATOS, ANÀLISIS Y SI, TABLA DE DATOS se
señalan las casillas donde están ubicadas las variables a cambiar.
En el caso del volumen inicial de camisas, la casilla B4, y el C.V.U inicial la casilla B7.
En este cuadro se observa los diferentes resultados de la TIR, si varía el supuesto volumen
inicial de camisas y costo variable unitario inicial.
Ejemplo:
Si el costo variable unitario inicial es de $18.000= y las ventas para el primer año son de
5.500 unidades, sin modificarse los demás supuestos la TIR sería el 29% anual.
7.6. CÁLCULO DEL VALOR DE UNA VARIABLE PARA UN RESULTADO
DETERMINADO
Al realizar operaciones con ecuaciones se vuelve un poco más complejo determinar el
valor de una de variable específica para que se obtenga un resultado determinado.
Excel presenta esta herramienta excelente para quien trabaja la matemática financiera la
cual se denomina BUSCAR OBJETIVO.
USOS:
Cálculo de todas las incógnitas que se trabajaron en el libro: VP, VF, Períodos, tasas de
interés, anualidades, y gradientes, cuando en un ejercicio se presentan algunas de estas
formas de flujos de efectivo.
EJEMPLO 7.7:
310
Determine el valor de la consignación hecho a un estudiante por su Padre quien vive en
otra ciudad para que pague sus estudios si este requiere de 1.000.000 para la matrícula y
250.000 mensuales para sus gastos de vivienda y alimentación. El interés es del 1,1% mes.
NOTA: Para explicar la herramienta BUSCAR OBJETIVO, después de obtener el resultado,
nos vamos a preguntar cuánto debía gastar mensualmente el estudiante si el padre de
familia sólo tiene $2.000.000=
ANÁLISIS DEL EJERCICIO
Se quiere determinar el valor de la consignación, conociendo el valor de la matrícula, el
gasto mensual, el número de meses y la tasa de interés.
PREGUNTA
Se va a calcular un VP
UBICACIÓN INCÓGNITA
La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0).
ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
A = 250.000
n= 6
i = 1,1 % mes
VP. Matrícula = 1.000.000
VP. Consignación =
ECUACIÓN:
V/R CONSIGNACIÓN: Valor matrícula + Valor presente de los gastos mensuales.
Se procede a dar respuesta al segundo interrogante, cuanto debe gastar mensualmente si
el padre de familia sólo dispone de $2.000.000=
Se procede a aplicar la función BUSCAR OBJETIVO de la siguiente manera:
De la siguiente manera: DATOS, ANÁLISIS Y SI, BUSCAR OBJETIVO
311
PROCEDIMIENTO:
Se define la celda B7 porque es la limitante, dado que el padre de familia sólo
cuenta con $2.000.000.
Con el valor $2.000.000=
Para cambiar la celda B4.
El estudiante sólo puede gastar $173.141,8.
Las modificaciones se podían haber realizado con el valor de la matrícula o con los
períodos y tasas de interés.
EJERCICIOS
Estos ejercicios me permitirán desarrollar la habilidad u destreza necesaria en la
evaluación de inversiones desde diferentes aspectos o puntos de vista.
La experiencia y la habilidad que desarrolle a través de la solución de estos ejercicios y del
estudio de la matemática financiera, contribuirán al éxito de mis desempeños en el manejo
financiero.
1. Determine la rentabilidad de un inversionista que compró un bono en $500.000 y
recibió intereses mensuales por $10.000 durante 6 meses momento en el cual lo vende
a un precio de $490.000.
R: La rentabilidad alcanzada por el inversionista es del 1,68% mensual.
2. ¿Qué rentabilidad hubiese tenido el inversionista anterior si logra vender el bono en
$510.000?
R: La rentabilidad alcanzada por el inversionista si vende el bono en $510.000 es del
2,31% mensual.
3. Determine la rentabilidad de un proyecto, que tiene una vida útil de diez años, La
inversión inicial es de $50.000.000=, el primer año el proyecto genera $1.000.000, a
partir del segundo año hasta el quinto periodo su rentabilidad anual es de $6.000.000,
y entre los años seis y 10 genera $12.000.000 anuales, al finalizar el proyecto vende la
maquinaria en $30.000.000.
R: El proyecto presenta una rentabilidad del 12,46% anual.
4. Determine el VPN del ejercicio anterior si la tasa de oportunidad del inversionista es
del 20% anual y dé un concepto sobre la factibilidad del proyecto.
R: Con una tasa de oportunidad del 20% anual el proyecto muestra un valor presente
de -16.955.506,9, hecho que para el inversionista no sería factible realizarlo.
312
5. ¿Qué cambios se produce en la tasa de rentabilidad si se produjo un error en la
estimación del ingreso de tres millones de pesos para los primeros 5 años y la cifra
real es de $4.000.000, para el primer año y de $9.000.000 para los años dos al cinco?
R: La tasa de rentabilidad pasaría a ser del 16,27% anual.
6. ¿El proyecto pasaría a ser factible para el inversionista?
R: No, dado que la tasa de oportunidad del inversionista es del 20% anual.
7. Se organiza una empresa cuya inversión inicial fue de $30.000.000, durante el primer
año no generó ingresos, por el contrario, se le invirtió $5.000.000, a partir del segundo
año hasta el quinto año generó $10.000.000 anuales y a partir del sexto año disminuye
sus ingresos a $6.000.000 anuales, el empresario la vende al finalizar el año 10 en
$80.000.000, determine su rentabilidad.
R: El proyecto presenta una tasa de rentabilidad del 24,18% anual
8. Si el empresario tenía una tasa de oportunidad del 28% anual, cual fue su VPN.
R: El VPN es de -5.200.961 dado que la tasa de rentabilidad es inferior a la tasa de
oportunidad.
9. Si el empresario hubiese vendido la empresa en $100.000.000, ¿cuál hubiese sido su
rentabilidad? ¿Ésta es superior a su tasa de oportunidad?
R: Si el empresario vende la empresa en $100.000.000 tampoco alcanza su tasa de
oportunidad, dado que la rentabilidad del proyecto llegaría al 25,57% anual.
10. ¿En cuánto debiese haber vendido la empresa para haber alcanzado exactamente su
tasa de oportunidad?
R: El empresario deberá vender la empresa en $141.402.114. Para alcanzar su tasa de
oportunidad.
11. Un inversionista compró un paquete de acciones de la empresa XYZ y cada acción tenía
un valor de $20.000, le entregaron dividendos así: el primer semestre $150 por acción
y en el segundo semestre $180 por acción, el paquete de acciones fue vendido una vez
recibidos los dividendos del segundo semestre y cada acción la vendió en $25.200=
determine la rentabilidad del inversionista.
R: La rentabilidad del inversionista fue del 13,03% semestral.
12. Si la tasa de oportunidad del inversionista es del 30% anual, determine si realizó un
buen negocio con esta acción.
R: No fue un buen negocio para el inversionista porque con una rentabilidad del
13,03% semestral la rentabilidad anual equivalente es del 27,7%.
313
13. ¿Cuál hubiese sido la rentabilidad del inversionista si el precio de la acción hubiese
caído a $19.900?
R: La rentabilidad para el inversionista hubiese sido sólo del 0,58% semestral.
14. Determine la mejor alternativa de una empresa para mejorar su producción, si las dos
máquinas para adquirir van a tener el mismo nivel de producción. La primera
alternativa es comprar una máquina A cuyo costo es de $50.000.000 y los gastos de
mantenimiento son de $100.000 mensuales, su vida útil es de 4 años y tiene un valor
de salvamento de $10.000.000.
La máquina B tiene un precio de $30.000.000, sus costos de mantenimiento es de
$200.000 mensuales, su vida útil también es de 4 años y su valor de salvamento es de
$8.000.000.
Determine la mejor alternativa por el método del CAUE si el empresario tiene una tasa
de oportunidad del 2,5% mes.
R: La mejor alternativa es la B dado que A presenta un CAUE de $2.010.359 mientras
que B 1.368.227.
15. ¿En cuánto compró un inversionista un bono si recibió intereses trimestrales por
90.000 durante el año y lo vendió en $1.050.000 y obtuvo una rentabilidad del 42%
anual?
R: El inversionista compró el bono en $1.029.976,6.
16. Determine el valor en que un inversionista debe comprar un bono cuyo valor es de
$1.000.000 y reconoce un interés del 20% anual, el bono se redime en cinco años, y El
espera ganar un interés del 24% anual.
R: El inversionista debe comprar el bono en $890.184,6.
17. Una papelería debe definir entre dos alternativas de fotocopiadoras, ambas tienen
igual velocidad, la primera tiene un valor de $8.000.000 y un costo anual de
mantenimiento de $1.000.000, tiene una vida útil optima de 2 años, momento en el que
se vende en $3.000.000.
La segunda opción tiene un precio de $12.000.000, el costo de mantenimiento anual es
de $600.000 y su vida útil óptima es de tres años, su precio de venta en ese momento
es de $4.000.000.
Utilice el método del CAUE para definir la mejor alternativa, la tasa de oportunidad es
del 2% mensual.
R: Se decide por la opción A dado que ésta presenta un CAUE de $2.922.049 mientras
que la opción B presenta un CAUE de $3.404.799.
314
18. Una entidad financiera le efectúa un préstamo de $500.000 a seis meses, cobra interés
mensual vencido del 2%. Y usted se compromete a amortizar el capital en el momento
del vencimiento. Si en el momento de desembolsarle su dinero le descuenta $20.000,
por papelería, determine el verdadero costo del crédito.
R: El costo verdadero del crédito es del 2,73% mensual.
19. Usted compra un apartamento en $60.000.000, durante el primer mes pagó 150.000
por costos de servicio y administración, dado que estuvo vacío, lo arrendó en $400.000
en los siguientes once meses, para el segundo año el canon de arrendamiento se
aumentó en el 6%, si al finalizar el segundo año de arrendado lo vende en $70.000.000,
determine la rentabilidad del negocio. El arriendo se paga mes anticipado.
R: La rentabilidad es del 1,25%.
20. Si el inversionista hubiese abierto un CDT que le reconocía el 15% anual, en vez de la
compra del apartamento, ¿hubiese hecho un mejor negocio?
R: El CDT solo le reconoce el 1,17% mensual, mientras que el apartamento le renta el
1,25% mes.
21. Determine la rentabilidad del inversionista del ejercicio 17, si en los meses seis y
dieciocho de haber comprado el apartamento pagó impuestos por $200.000 por el
primer año y $250.000 para el segundo año.
R: La rentabilidad se disminuye al 1,22%.
22. Usted es un prestamista, dispone de $10.000.000, tiene dos alternativas para prestar
su dinero, el cliente A le reconoce el 30% anual y le entrega la totalidad del dinero al
finalizar el período. El cliente B le amortiza $3.500.000 trimestrales en el año.¿ Cual es
su mejor opción?
R: Indudablemente la opción B, la cual renta a una tasa del 14,96% trimestral.
23. Determine la rentabilidad de un proyecto para dictar charlas de capacitación a
trabajadores de las empresas de la ciudad durante un año.
Para esto se tomó arrendado un salón por todo el año cuyo valor se pagó
anticipadamente para ser de uso exclusivo, su valor fue de $10.000.000=, El valor de
cada día de capacitación para 25 personas es de $1.050.000=.
El portafolio consiste en 8 horas de conferencia, 2 refrigerios, almuerzo y material de
consulta. A los conferencistas se les debe pagar a $50.000 hora, y el costo del almuerzo
y refrigerios es de $10.000 por persona, el del material de consulta $2.500 carpeta.
Determine la rentabilidad del proyecto si el costo fijo salarial es de $3.000.000
mensuales, y se espera dictar 12 jornadas al mes.
315
R: La rentabilidad del proyecto es del 3,75%. Mes.
24. Determine el valor presente neto si la tasa de oportunidad es del 3% mensual
R: El valor presente de la inversión es de $451.704, indicando que renta a una tasa
superior que la tasa de oportunidad.
25. Realice el análisis de sensibilidad si varía los precios de las conferencias con valores de
$1.000.000, $1.050.000, $1.080.000, $1.100.000, $1.120.000, $1.150.000 y $1.200.000
y el número de jornadas al mes: 8, 10,12, 14 y 16.
El indicador de factibilidad será la TIR.
26. Efectúe el análisis de sensibilidad del ejercicio anterior si se modifican los precios de
las conferencias y el costo de hora del conferencista entre $40.000, $45.000, $50.000,
$55.000 y $60.000 por hora.
GLOSARIO
FLUJO DE CAJA LIBRE DEL INVERSIONISTA: Flujo de caja donde sólo se tiene en cuenta el
capital aportado por el inversionista.
PRECIO DE REGISTRO: Es el valor que tiene un documento según el sistema de
información de la Bolsa de Valores.
TIR: Tasa a la cual el VPN es igual a cero.
TRM: Tasa representativa del mercado, se obtiene del promedio de la tasa de compra y
venta de divisas del sistema financiero, sin incluir las transacciones por ventanilla.
VALOR NOMINAL: Es el valor que se encuentra impreso en el título valor.
VALOR DE MADURACIÓN: Valor al vencimiento de los activos financieros.
VALOR DE CESIÓN: Valor que el propietario de un título entrega a la Bolsa de Valores para
su transacción.
VALOR DE SALVAMENTO: Valor en que puede ser vendido un activo, cuando ya ha
cumplido su tiempo normal de uso.
VIDA ÚTIL: Tiempo que transcurre entre el momento que se empieza a utilizar un activo
hasta cuando llega su valor residual.
316
BIBLIOGRAFÍA
ÁLVAREZ Alberto A. Matemáticas Financieras, Mc Graw Hill, 2000.
BACA Currea Guillermo. Matemática Financiera, Fondo Educativo Panamericano, 2002.
BLANK y Tarquín. Ingeniería Económica, Mc Graw Hill, Quinta Edición, 2003
GARCÍA Jaime A. Matemáticas Financieras. Tercera Edición, 1997
GUTIÉRREZ Marulanda Luis Fernando, Finanzas Prácticas para Países en Desarrollo,
Norma, 1994
JARAMILLO Vallejo Felipe, Matemáticas Financieras Básicas Aplicadas, Alfaomega. Primera
edición, 2004.
MEZA Orozco Jhonny de Jesús, Matemáticas Financieras Aplicadas, Ecoe Ediciones.
Segunda edición, 2003.
Vidaurri Aguirre Héctor M, Matemáticas Financieras, Thomson Learnig. Segunda edición.