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CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -1-
Capítulo 9
Cargas no aplicadas en los nudos
9.1- Cargas en el interior de un tramo
Hasta ahora sólo se consideraron casos en que las cargas exteriores están aplicadas sobre
los nudos; en el caso que actúen cargas concentradas sobre las barras como en la Figura 9.1, se
podría definir un nudo en los puntos donde están aplicadas las cargas y aplicar el procedimiento
visto hasta ahora.
Figura 9.1
De esta manera se agregarían en este ejemplo seis nuevas incógnitas, tres por cada nuevo
nudo que se ha introducido.
Evidentemente este tratamiento del problema no es conveniente a menos que el número
de cargas en el interior de los tramos sea reducido. Tampoco resulta adecuado en el caso de
CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________
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cargas distribuidas, las cuales, para ser aproximadas, deberían ser descompuestas en un conjunto
de cargas concentradas que sean equivalentes.
Suponiendo que, como se lo ha venido haciendo hasta aquí, el sistema es lineal se puede
descomponer el estado de cargas de la Figura 9.1 en la suma de dos estados:
Figura 9.2
En el Estado I se supone que los nudos no se desplazan ni giran, condición que se
denomina como “empotramiento perfecto”. Para lograr esta situación resulta necesario agregar
en los extremos de cada barra (no sobre los nudos), fuerzas iguales a las reacciones de
empotramiento perfecto que no forman parte de las verdaderas cargas exteriores aplicadas a los
nudos. El análisis de los esfuerzos en este Estado I debe realizarse en forma separada para cada
barra. En el caso de la barra vertical 1-2 se tiene:
Figura 9.3
Las fuerzas que se aplican en los extremos de la barra se denominan "fuerzas de
empotramiento".
Para el caso de la barra horizontal 2-3 se procede de manera similar:
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Figura 9.4
Las reacciones de apoyo de una viga biempotrada para los tipos habituales de cargas están
disponibles en tablas y manuales de cálculo de estructuras, por lo que en general no es necesario
efectuar el análisis local de cada barra (por ejemplo, con la solución de la ecuación diferencial de
la elástica del tramo en estudio). En algún caso particular que no figure en tablas ni pueda
expresarse como combinación de casos que figuren en ellos, deberá resolverse la ecuación
diferencial de la elástica con las cargas dadas y los nudos fijos. Como ya fue indicado al deducir
la matriz de rigidez una barra genérica en coordenadas locales, el efecto axial está desacoplado y
es un problema de una sola incógnita que puede resolverse en forma independiente del problema
de flexión para las cargas transversales al eje de la barra. Para la solución de la parte flexional se
requiere calcular las fuerzas transversales y los momentos en los extremos de la barra, que se
denominan habitualmente “fuerzas de empotramiento perfecto”.
Una vez conocidas las fuerzas de empotramiento perfecto, el trazado de los diagramas de
esfuerzos internos resulta de aplicar las reglas conocidas de la estática. Para la barra horizontal
2-3 se tiene:
Figura 9.5
En el Estado II se aplican sobre los nudos cargas iguales y opuestas a las agregadas en
el Estado I, de manera que, al superponer ambos estados, se anulan las cargas nodales que no
existen en el problema inicial y sólo quedan las fuerzas exteriores aplicadas. De esta manera se
ha transformado el problema inicial de cargas en el interior de los tramos en otro problema de
cargas equivalentes en los nudos, pero que requiere la superposición de los Estados I y II para
obtener los esfuerzos finales en cada barra.
.8
VF l .8
VF l
2
VF2
VF2
hF2
hF
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Figura 9.6
Solución del Estado I:
Resulta importante reconocer que una vez determinadas por cualquier método (tablas,
trabajos virtuales, etc.) las "fuerzas de empotramiento", los diagramas se reducen a un problema
de estática. Cada barra queda "biempotrada" y no transmite al nudo ninguna fuerza, por lo que
los desplazamientos nodales del Estado I son todos nulos.
Solución del Estado II:
El Estado II sólo contiene cargas en los nudos. Éstas resultan las fuerzas nodales del
problema original, a las que deben sumarse las fuerzas equivalentes en los nudos. Las fuerzas
equivalentes en un nudo se determinan como la suma, cambiada de signo, de todas las fuerzas de
empotramiento de los extremos de las barras que concurren a dicho nudo.
La solución del Estado II se determina mediante el procedimiento descrito en el capítulo
anterior, es decir resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas de equilibrio del conjunto de
la estructura con las condiciones de vínculo originales. Una vez calculados los desplazamientos
nodales de la solución del Estado II, se determinan barra por barra las fuerzas en sus extremos, y
con esos valores se trazan los diagramas de esfuerzos correspondientes a este estado. Las
reacciones se calculan sumando las fuerzas de extremo de barra de todas las barras que
concurren al apoyo.
Solución del problema original:
Se obtiene superponiendo las soluciones de los Estados I y II.
.8
P h
.8
VF l2
VFQ 2
VF
2 2
hP F 2
hF
. .8 8
VP h F l
2P
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a) Los desplazamientos nodales son directamente los correspondientes al Estado II, dado
que en el Estado I son todos nulos.
b) Los diagramas finales de esfuerzos internos se obtienen sumando los diagramas del
Estado II (del tipo de las Figura 8.11, Figura 8.12 y Figura 8.14) con los diagramas de barras
biempotrados del Estado I (del tipo de las Figura 9.3 y Figura 9.5 de este capítulo).
Como ejemplo considérense los diagramas de esfuerzos de la barra horizontal 2-3.
Figura 9.7
9.2- Efectos térmicos
Las estructuras están sometidas frecuentemente a variaciones de temperatura. Los efectos
que provocan dichos cambios de temperatura dependen tanto de su magnitud como también del
material de la estructura y, fundamentalmente, del grado de hiperestaticidad.
Ya se ha visto que las estructuras hiperestáticas pueden sufrir esfuerzos por cambios
térmicos al estar impedidas de deformarse libremente. En el caso de la estructura hiperestática de
la Figura 9.8.a, un aumento uniforme de temperatura Δt en la barra 2-3 produce la deformada
indicada en línea de trazos, además de tensiones en todas las barras. Por el contrario, para el caso
particular de la Figura 9.8.b, sólo se produce un alargamiento (no restringido) de las barras
verticales que no genera tensiones.
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Figura 9.8
La forma de analizar este fenómeno es idéntica a la ya vista para el caso de cargas en el
interior de tramos. Se debe primero determinar las "fuerzas de empotramiento" causadas por el
cambio de temperatura, y aplicar las fuerzas equivalentes en el Estado II de una manera similar a
la utilizada para las cargas en el interior de las barras.
Un procedimiento tentativo para encontrar las fuerzas de empotramiento en coordenadas
locales consiste en: empotrar el nudo "i" y resolver el problema por el Método de las Fuerzas. En
el Estado 0, sólo se generan distorsiones térmicas , ,t t etc , y es necesario luego resolver las
ecuaciones de compatibilidad asociadas al empotramiento en el nudo "j".
11 1 12 2 13 3 10
21 1 22 2 23 3 20
31 1 32 2 33 3 30
000
X X XX X XX X X
Con los resultados de esas ecuaciones se obtienen las reacciones en el apoyo "i" a través
de las ecuaciones de equilibrio.
El estado final resulta:
t
t
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Existe un caso muy frecuente que consiste en una variación térmica uniforme a través de
la longitud de la barra, debido a la diferencia de temperatura entre las caras superior e inferior de
la viga (asumida de variación lineal en altura).
Figura 9.9
Donde:
. . .2
s it tF A E
; . . .s it tM E I
h
(Ec. 9.1)
En el caso de la Figura 9.9 , la viga no presenta ninguna deformación transversal a causa
de que el momento flector es constante, y por lo tanto la curvatura por flexión es igual y opuesta
a la curvatura térmica, también constante. Por lo tanto, el efecto del gradiente térmico constante
en toda la barra no produce curvatura en la misma para la condición de nudos fijos o empotrados.
En la Figura 9.10 se presenta un ejemplo ilustrativo.
Figura 9.10
Las fuerzas de empotramiento de la (Ec. 9.1) se encuentran en un sistema local, y deben
transformarse al sistema global para tener las fuerzas equivalentes en el Estado II TlP R P .
st
it
st
it
0s i
m
t tt
1X
2X
3X
( )st
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De aquí en más, el procedimiento es exactamente igual al caso de cargas en el interior de
los tramos.
Efectos térmicos en un reticulado:
En el caso de la Figura 9.11, en donde la diagonal que se indica sufre un aumento de
temperatura t , no hay restricción al alargamiento de la barra. El estado final de deformación es
el correspondiente al Estado II y no hay tensión en ninguna barra en el estado original.
Figura 9.11
En el Estado I sólo se tiene la barra indicada comprimida por una fuerza F t AE , y
en el Estado II, esta fuerza es totalmente absorbida por la diagonal traccionada por la fuerza F.
Figura 9.12
Por el contrario, en el caso de la Figura 9.12, la carga equivalente en los nudos es
absorbida por todo el marco cerrado indicado en la Figura 9.13 y por lo tanto hay esfuerzos en
todas las barras de dicho marco. La barra que sufre el t está comprimida en el Estado I y
traccionada en el Estado II. En este caso particular, luego de la superposición estará comprimida.
Figura 9.13
t VFHF
HF
VF
t
VF
HF
HF VF
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9.3- Desplazamientos prefijados
Aunque las estructuras están básicamente diseñadas para resistir cargas, puede ocurrir que
ciertos desplazamientos impuestos, aunque pequeños, produzcan esfuerzos importantes.
A los nudos cuyos desplazamientos son conocidos se los conoce normalmente como
“apoyos”, y en ellos no se conoce a priori la fuerza (reacción de apoyo). Los nudos restantes
donde se conoce la fuerza exterior se llaman nudos libres, y en ellos no se conoce a priori el
desplazamiento.
Los desplazamientos prefijados se originan por diversas causas. Por ejemplo, en caso del
cedimiento de un apoyo de la fundación de un edificio, se estima el desplazamiento máximo
producido por el mismo, pudiendo analizarse si la deformabilidad de la estructura permite ese
desplazamiento sin fallar.
En el caso de una viga continua, se estiman los desplazamientos relativos máximos que
podrían sufrir los apoyos. La mayoría de las veces, el desplazamiento prefijado no es algo que
necesariamente vaya a ocurrir, sino que se pretende tener una idea de los esfuerzos que se
generan si un "cierto desplazamiento" llegara a producirse.
El procedimiento de superposición desarrollado en este capítulo también permite tratar el
problema de desplazamiento prefijado. Sólo deben desplazarse los nudos cuyo desplazamiento se
"conoce", empotrando todos los restantes nudos de la estructura para obtener el Estado I.
Obsérvese que la aplicación del procedimiento descripto para este caso requiere que se "relaje" la
condición de empotramiento perfecto de los nudos en el planteo del Estado I.
Figura 9.14
Las fuerzas de empotramiento de una barra con desplazamientos prefijados en alguno de
sus nudos se obtienen fácilmente empleando las ecuaciones fuerza-movimiento de dicha barra
((Ec. 8.22), (Ec. 8.33) y (Ec. 8.34)).
A manera de ejemplo, considerando desacoplado el efecto axial en la barra 2-3 de la
Figura 9.14, y empleando la (Ec. 8.22), se obtiene el siguiente sistema:
3V 2M
2yP 3M
3yP
3V
32
.6. . VE Il
33
.12. . VE Il
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1 2 1 2 2 1 3
2 3 2 3 2 2 3
1 2 1 2 3 3 1 3
2 3 2 3 3 2 3
02 0
.
2 0
y V
V
V y V
V
K K K K P KK K K K M KK K K K P K
K K K K M K
(Ec. 9.2)
En el caso de una barra inclinada, conviene usar la (Ec. 8.22) que corresponde a
coordenadas locales para facilitar el trazado de los diagramas de esfuerzos del Estado I. Las
fuerzas de extremo se transforman luego al sistema global para obtener las fuerzas equivalentes
del Estado II.
Debe destacarse que una vez obtenidos los desplazamientos del Estado II, se obtienen los
esfuerzos barra por barra en la forma habitual (recordar que, en el Estado II, 3 0yU ), y luego se
superponen los esfuerzos del Estado I (causados por 3 3y VU ).
Un procedimiento alternativo para abordar el caso de un desplazamiento prefijado sin
recurrir al principio de superposición se logra generalizando la (Ec. 8.42). En efecto, el sistema
global de ecuaciones de equilibrio se puede particionar en tres, reordenando filas y columnas,
quedando de la siguiente forma:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
.0
K K K U PK K K RK K K R
(Ec. 9.3)
: Desplazamientos prefijados
:R Reacciones de apoyo asociadas a esos desplazamientos
:R Reacciones en los puntos con desplazamiento nulo
Desarrollando la (Ec. 9.3) se obtienen tres sistemas de ecuaciones de equilibrio:
11 12 13 0K U K K P 11 12K U P K (Ec. 9.4)
21 22 230K U K K R 21 22K U K R (Ec. 9.5)
31 32 33 0K U K K R 31 32K U K R (Ec. 9.6)
En primer lugar se resuelve el sistema de la (Ec. 9.4) donde se observa que el efecto de
los desplazamientos prefijados introduce una modificación del término de cargas. Una vez
calculados los U , se calculan las reacciones de apoyo efectuando los productos indicados en
(Ec. 9.5) y (Ec. 9.6). Este procedimiento, que resulta más directo, requiere almacenar la matriz
completa antes de aplicar las condiciones de contorno, además de las técnicas de partición, por lo
que debe realizarse un ordenamiento sistemático de la información.
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La diferencia entre ambas técnicas radica en que la primera determina las fuerzas de
empotramiento barra por barra según la ecuación fuerza-desplazamiento de cada barra (como en
la expresión (Ec. 9.2)), y se agregan al vector de cargas, cambiadas de signo, mientras que la
segunda modifica el vector de cargas utilizando la submatriz 12K .
A modo de ejemplo, se desarrolla el segundo procedimiento para el pórtico de la Figura
9.14. Por simplicidad, no se consideran los apoyos con desplazamiento nulo, es decir que no se
tienen en cuenta las últimas filas y columnas de la (Ec. 9.3).
21 2 1 2
232 3 3 2
2
3
31 2 1 2
332 2 3
0 0000
0 02 .00 0 0 000 00
0 02
a b a a b
xa a b a b b b
yba a b a b b
xb b
Vb b b b
bb b b
A K B C KUB D K E K K KUKC E K K K K
UK KK K K K
KK K K
(Ec. 9.7)
Intercambiando las filas quinta y sexta, lo mismo que las columnas quinta y sexta, se llega
a la partición (Ec. 9.3). El sistema del tipo (Ec. 9.4) a resolver resulta:
2
1 32
2 311 2
3
2 33
0
.0
x
b Vy
b V
x
b V
UKUKK
UK
(Ec. 9.8)
Nótese que el vector de carga en la (Ec. 9.8) coincide con las cargas en el Estado II de la
Figura 9.14, que son las fuerzas de empotramiento calculadas en (Ec. 9.2) cambiadas de signo.
Para calcular la reacción vertical en el apoyo 3 se utiliza la (Ec. 9.5) :
21 22 230K U K K R
2
2
1 2 2 1 3 32
3
3
0 0
x
y
b b b b V y
x
UU
K K K K RU
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9.4- Defectos de montaje
Durante la fabricación y montaje de los elementos estructurales suelen ocurrir errores
inevitables que pueden ocasionar esfuerzos internos o deformaciones iniciales. Si la estructura es
hiperestática, el montaje en tales condiciones producirá la aparición de esfuerzos internos y/o
externos para compensar los errores o imprecisiones geométricas.
En el caso (b) de la Figura 9.15, donde una barra resultó corta, sólo se altera la geometría
teórica pero no se producen esfuerzos.
Figura 9.15
En el caso (c), aparecerán esfuerzos además de las distorsiones geométricas. Se puede
descomponer el problema de una barra "larga" en un Estado I, en que la misma está comprimida
con una fuerza tal que la lleve a su longitud teórica, y un Estado II en el que se transforman las
fuerzas de empotramiento del Estado I en fuerzas exteriores actuando en los nudos que une dicha
barra. Estas cargas tendrán el mismo módulo y dirección que las del Estado I, pero de sentido
contrario.
Figura 9.16
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Ejercicio Nº 1:
En la barra de la figura se pide trazar los diagramas de ,M Q y N sabiendo que:
a) El nudo 1 está empotrado.
b) Mediante una fuerza vertical 2yP y un momento 2M aplicados en el nudo 2 se desplaza
dicho nudo hasta 2*.
2 0xP 2 ??yP 2 ??M
2 4 622 ; 4 ; 2,1 10 kgA cm I cm E
cm
Cálculo de los coeficientes de la matriz de rigidez en coordenadas globales.
1/22 21 2
80 6080 60 100 ; 0,8 ; 0,6100 100
L
1 2 33 2
. . . .42000 ; 12. 100,8 ; 6. 5040 ; 4. 336000A E E I E I E IK K K Kl l l l
26916 ; 20111 ; 3024 ; 15184 ; 4032A B C D E
1
2
0, 2
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_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -14-
Cálculo del giro del extremo 2:
60arctan 36,87º80
2 35 36,87 (horario)
2 0,03264rad
Cálculo del desplazamiento horizontal 2 *U :
Si se conoce la fuerza 2 0xP entonces se desconoce el desplazamiento 2xU .
2
/ / / / / / / / / / / / 0 ?/ / / / / / / / / / / / 0 ?/ / / / / / / / / / / / 0 ?
./ / / / / / 26916 20111 3024 0/ / / / / / / / / / / / 0, 2 ?/ / / / / / / / / / / / 0,03264 ?
xU
226916 . 0 20111 0, 2 3024 0,0326xU
2 0,14577xU
Cálculo de las fuerzas de extremo (coordenadas globales):
/ / / / / / 26916 20111 3024 0 0/ / / / / / 20111 15184 4032 0 237/ / / / / / 3024 4032 168000 0 673
./ / / / / / 26916 20111 3024 0,1457/ / / / / / 20111 15184 4032 0, 2/ / / / / / 3024 4032 336000 0,03264
00
23712213
CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -15-
Fuerzas de extremos en el sistema local:
0,8 0,6 0 142.
0,6 0,8 237 189
lR P P
Fuerzas de extremo de barra:
Diagramas:
SistemaGlobal
CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -16-
Ejercicio Nº 2:
Analizar la estructura del croquis bajo la acción de un efecto térmico en la cara superior
de las dos barras.
4 61 2 2
2 51 2
1000 ; 30º ; 2,1 10
160 ; 30 ; 1,1 10º
skgI I cm t C E
cm
A A cm h cmC
Fuerzas de empotramiento en el Estado I:
. . . 20790 kgmF t A E
. . . 23100 kg.cmstM E Ih
Cargas nodales equivalentes en el Estado II:
stst
st
CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -17-
Matriz de rigidez de la barra 1 - Sistema Global:
1 2 33 2
. . . .315000 ; 12. 393,75 ; 6. 78750 ; 4. 21000000A E E I E I E IK K K Kl l l l
1
1
2
/ / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / // / / / / / 315000 0 0/ / / / / / 0 393,75 78750/ / / / / / 0 78750 21000000
2
Matriz de rigidez de la barra 2 - Sistema Global:
1 2 33 2
. . . .252000 ; 12. 201,6 ; 6. 50400 ; 4. 16800000A E E I E I E IK K K Kl l l l
1 20,6 ; 0,8
90849,02 ; 120863, 23 ; 40320,00 ; 161352,57 ; 30240,00A B C D E 2
2
3
90849 120863 40320 / / / / / /120863 161352 30240 / / / / / /
40320 30240 16800000 / / / / / // / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / // / / / / / / / / / / /
3
Sistema de ecuaciones de equilibrio, una vez impuestas las condiciones de borde de
apoyos empotrados 1 y 3.
(*) 2
2 2
2
405849,02 120863, 23 40320 8316120863, 23 161745,98 48510 .
40320 48510 37800000 0
x
y y
UU R
Al imponer la condición de apoyo 2 0yU se obtiene un sistema de 2 x 2.
2
2
405849,02 40320 8316.
40320 37800000 0
xU
2
2
0,02049254980,0000218587
xU
El cálculo de la reacción vertical en el apoyo 2, puede obtenerse empleando la segunda
ecuación del sistema (*).
CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -18-
2 120863.(0,02049) 48510.(0,00002186) 2475,7yR
Cálculo de las fuerzas en el extremo de la barra (1) en coordenadas locales.
/ / / / / / 315000 / / 0 0 6455,2/ / / / / / 0 / / 78750 0 1,7/ / / / / / 0 / / 10500000 0 229,5
./ / / / / / 315000 / / 0 0,020492 6455,2/ / / / / / 0 / / 78750 0 1,7/ / / / / / 0 / / 21000000 0,00002185 459,0
El cálculo de las fuerzas de extremo de la barra (2) en coordenadas locales se realiza
transformando los desplazamientos del nudo 2 al sistema local de la barra (2).
0,6 0,8 0,0204925 0,0122955.
0,8 0,6 0 0,0163904
lRU U
252000 0 0 / / / / / / 0,0122955 3098,50 201,6 50400 / / / / / / 0,0163940 2, 20 50400 16800000 / / / / / / 0,000021858 459
.252000 0 0 / / / / / / 0 3098,50 201,6 50400 / / / / / / 0 20 50400 8400000 / / / / / / 0
, 2642,6
CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -19-
El equilibrio del nudo 2 en el sistema global se verifica transformando las fuerzas de
extremo de la barra (2) al sistema global.
0,6 0,8 3098,5 1860,8.
0,8 0,6 2,2 2477,5
TlR P P
Equilibrio del nudo 2:
642,6
CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20-
Ejercicio Nº 3:
Calcular los desplazamientos en el pórtico de la figura y trazar los diagramas de M y Q .
Matriz de rigidez de las barras:
Barra 1:
1 2 33 2
. . . .35000 ; 12. 560 ; 6. 84000 ; 4. 16800000A E E I E I E IK K K Kl l l l
1 3
1
3
35000 0 0 35000 0 00 560 84000 0 560 840000 84000 16800000 0 84000 8400000
35000 0 0 35000 0 00 560 84000 0 560 840000 84000 8400000 0 84
000 16800000
Barra 2:
1 2 33 2
. . . .42000 ; 12. 1260 ; 6. 126000 ; 4. 16800000A E E I E I E IK K K Kl l l l
2 3
2
3
1260 0 126000 1260 0 1260000 42000 0 0 42000 0
126000 0 16800000 126000 0 84000001260 0 126000 1260 0 1260000 42000 0 0 42000 0
126000
0 8400000 126000 0 16800000
200
50
P kgkgqm
4 21 1 1
4 22 2 2
:300 ; 600 ; 5
200 ; 400 ; 4
Barra 1l cm I cm A cmBarra 2 :l cm I cm A cm
CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -21-
2
3
3
3
16800000 126000 0 8400000 1667,67126000 36260 0 126000 50
.0 0 42560 84000 1008400000 126000 84000 33600000 5833,3
x
y
UU
2
3
3
3
0,00003036550,0020708150,002016577
0,000168743
x
y
UU
. 7500 .8
P l kg cm
1002P kg .
8P l
. 502
q l Kg
2.24q l
2. 1666,67 .12q l kg cm
.8
P l. 2q l
2P
CAPITULO 9 CARGAS NO APLICADAS EN NUDOS ____________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -22-
Diagramas de M y Q :
1666,671666,67
1666,67