Capítulo 8

Estimación del Coeficiente de Transferencia de Caloren Intercambiadores de Calor Usando Observadores dePerturbación

Esteban Chávez Conde1

Jesús Carrillo Ahumada2

Álvaro Cabrera Amado3

Rafael Castillo Rincón4

Abstract: An approach to the estimation on-line heat transfer coeffi-cient in heat exchangers using a disturbance observer is presented, formonitoring and maintenance purposes. Heat exchangers are widelyused in the process industry and is common maintenance cleaningthe walls of the tubes, in order to maintain efficiency in the heattransfer. However, it is not possible to make a direct measurementof the coefficient of overall heat transfer in these equipments. As analternative, on-line estimation algorithm based partially on the Ge-neralized Proportional Integral Observer is proposed; which considersthe disturbance signal of interest as a bounded signal by a family ofTaylor polynomials time-varying and by an extension of Luenbergerobserver, the estimate is achieved. The numerical simulation resultsshow the satisfactory performance of the proposed strategy.

Keywords: Heat exchanger, on-line estimation, disturbance observer.

Resumen: Presentamos un acercamiento a la estimación en líneadel coeficiente de transferencia de calor en intercambiadores de calor

1echavez@unpa.edu.mx. Departamento de Mecatrónica, Universidad del Papaloapan2jcarrillo@unpa.edu.mx. Instituto de Química Aplicada, Universidad del Papaloapan3acabrera@unpa.edu.mx. Departamento de Mecatrónica, Universidad del Papaloapan4rcastillo@unpa.edu.mx. Departamento de Mecatrónica, Universidad del Papaloapan

129

130 Estimación del Coeficiente de Transferencia de Calor

usando un observador de perturbación, para fines de monitoreo ymantenimiento. Los intercambiadores de calor son muy utilizados enla industria de procesos y es común el mantenimiento de limpieza enlas paredes de los tubos, para mantener su eficiencia en la transfe-rencia de calor. Sin embargo, no es posible realizar una medición di-recta del coeficiente de transferencia de calor global en estos equipos.Como una alternativa, proponemos un algoritmo de estimación enlínea basado parcialmente en el Observador Proporcional Integral Ge-neralizado; que considera a la señal de perturbación de interés comouna señal acotada por una familia de polinomios de Taylor variantesen el tiempo y mediante una extensión del observador de Luenberger,se logra la estimación. Los resultados de simulación numérica mues-tran el desempeño satisfactorio de la estrategia propuesta.

8.1 Introducción

Los intercambiadores de calor son muy utilizados en la industria de procesos paratransferir energía de un fluido a otro a través de una pared [4]. En la práctica,a las paredes donde ocurre la transferencia de calor, se adhieren suciedades quereducen la eficiencia de transferencia de energía. Por esta razón, periódicamentese realiza un mantenimiento de limpieza para retirar las suciedades, con el finde que el intercambiador de calor opere eficientemente de acuerdo a las especi-ficaciones de diseño. Sin embargo, no es posible realizar una medición directadel coeficiente de transferencia de calor global en estos equipos. Por lo que re-sulta importante estimar en línea este coeficiente, para determinar un plan demantenimiento preventivo.

Algunos trabajos de investigación relacionados a la estimación del coeficientede transferencia de calor emplean métodos y estrategias en línea y fuera delínea, el uso de un modelo matemático, la medición de algunas variables y elconocimiento de parámetros que son posibles de determinar. Por ejemplo, Zhanget al. en [19], emplean el método de mínimos cuadrados recursivos multiva-riable para estimar parámetros del modelo que están relacionados al coeficientede transferencia de calor. Gudmundsson en [5], presenta estrategias en línea yfuera de línea para detectar ensuciamiento en las paredes del intercambiador decalor, mediante mediciones en operación normal y métodos basados en filtrosde Kalman y mínimos cuadrados, para estimar parámetros del modelo que rela-cionan al coeficiente de transferencia de calor. Astorga-Zaragoza et al. en [1],emplean un observador adaptable no lineal para estimar en línea el coeficientede transferencia de calor con el conocimiento de variables de entrada, salida yparámetros conocidos.

En este trabajo proponemos un algoritmo de estimación en línea basado par-

8.2. MODELO MATEMÁTICO DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR 131

cialmente en el Observador Proporcional Integral Generalizado (Observador GPI)(ver [16], [17] y [15]). Consideramos a la señal de perturbación de interés comouna señal acotada por una familia de polinomios de Taylor variantes en el tiempoy mediante una extensión del observador de Luenberger, se logra la estimaciónde la perturbación y por consiguiente, del coeficiente de transferencia de calor.El contenido del trabajo está organizado de la siguiente forma: en la Sección8.2 describimos el modelo matemático del intercambiador de calor en estudio; enla Sección 8.3 y 8.4 se encuentra el diseño del observador de perturbación parados casos de estudio, en el primero se considera la razón de flujo constante, yen el segundo la razón de flujo es variante. En ambos casos, los términos nolineales son estimados vía el observador de perturbación; entre estas variables yparámetros se encuentra el coeficiente de transferencia de calor, el cual puede serdeterminado. Los resultados de simulación numérica se muestran en la Sección8.5. Finalmente, presentamos las conclusiones en la Sección 8.6.

8.2 Modelo matemático del intercambiador de calor

El intercambiador de calor en estudio corresponde a uno del tipo recuperativo[4], ya que los fluidos intercambian calor a través de una pared que los separa.Además, los fluidos circulan en direcciones opuestas, es decir, a contra flujo.

En la Figura 8.1 mostramos un diagrama esquemático simplificado de unintercambiador de tubo y coraza, donde Thi y vh representan la temperatura yla razón de flujo del flujo caliente a la entrada de la coraza; Tho representa latemperatura del flujo caliente a la salida de la coraza; Tci y vc representan latemperatura y la razón de flujo del flujo frío a la entrada de los tubos, y Tcorepresenta la temperatura del flujo a la salida de los tubos.

Figura 8.1: Diagrama esquemático de un intercambiador de calor de tubo y coraza.

El modelo matemático del intercambiador de calor puede obtenerse a partirde la ley de enfriamiento de Newton, mediante un balance de energía (ver [10],[1] y [11]), basado en las siguientes consideraciones:

132 Estimación del Coeficiente de Transferencia de Calor

1. No existe transferencia de calor con los alrededores.

2. Las propiedades termofísicas de los fluidos permanecen constantes.

3. Los fluidos son incompresibles.

4. No existe almacenamiento de energía en las paredes del intercambiador.

5. Para el objetivo del presente trabajo no se considera la transferencia decalor axial.

El balance de energía del flujo frío es el siguiente:

Acumulación de energía en el flujo frío= Energía que entra en en el flujo frío− Energía que sale en el flujo frío+ Energía que gana el flujo frío.

ρccpcVc[Tc|t+∆t − Tc|t] =

(ρccpc∆t)vcTci − (ρccpc∆t)vcTco + (UA∆t)∆T. (8.2.1)

Y el balance de energía del flujo caliente es:

Acumulación de energía en el flujo caliente= Energía que entra en el flujo caliente− Energía que sale del flujo caliente− Energía que pierde el flujo caliente.

ρhcphVh[Th|t+∆t − Th|t] =

(ρhcph∆t)vhThi − (ρhcph∆t)vhTho − (UA∆t)∆T (8.2.2)

Simplificando las ecuaciones (8.2.1) y (8.2.2) obtenemos el modelo matemáticodel intercambiador de calor, dado por:

Tco =1

Vc

[vc(Tci − Tco) +

UA

cpcρc∆T

], (8.2.3)

Tho =1

Vh

[vh(Thi − Tho)−

UA

cphρh∆T

], (8.2.4)

8.3. CASO DE ESTUDIO 1: FLUJOS CONSTANTES 133

donde, Tco y Tho son las razones de cambio respecto del tiempo de las temperatu-ras de salida del flujo frío y caliente, respectivamente; U representa el coeficientede transferencia de calor global; A es el área de la superficie de transferencia decalor; cpc y cph son el calor específico en el flujo frío y caliente, respectivamente;ρc y ρh son el calor específico en el flujo frío y caliente, respectivamente; Vc y Vhson el volumen en el flujo frío y caliente, respectivamente; y,

∆T = ∆Tl ,(Tho − Tci)− (Thi − Tco)

ln(Tho−TciThi−Tco

) .

Siendo ∆T la media logarítmica de la diferencia de temperatura (LMTD) (ver[7]). Debido a la indeterminación de la media logarítmica de la diferencia de latemperatura, consideramos que (ver [1]):

∆T =

{∆Tl, si Tho − Tci 6= Thi − Tco,∆T0, si Tho − Tci = Thi − Tco = ∆T0.

Así que, las ecuaciones (8.2.3) y (8.2.4) describen la dinámica del intercam-biador de calor. Es importante comentar que el coeficiente de transferencia decalor está en función de las razones de flujo (frío y caliente), de un factor deensuciamiento y de parámetros de diseño (ver [4], [10] y [7]). Es decir, una vezdiseñado y construido el intercambiador de calor, al existir un cambio en las ra-zones de flujo o del factor de ensuciamiento, cambia el coeficiente de transferenciade calor. Para mayor detalles de esto, puede revisar las referencias [13], [6], [14]y [11].

A partir de la ecuación (8.2.3) que describe la dinámica parcial del intercam-biador de calor, se desarrollan dos estrategias para la estimación del coeficientede transferencia de calor global U .

8.3 Caso de estudio 1: Flujos constantes. Temperatu-ras del flujo frío Tci como entrada y Tco como salida

A partir de la ecuación (8.2.3), se diseña un observador de perturbación paraestimar el coeficiente de transferencia de calor global U . Considerando comoconstantes la razón de flujo de la corriente fría vc y caliente vh; y como variablesde entrada y salida del sistema, las temperaturas del flujo frío Tci = u y Tco = y,respectivamente. Así también, consideramos que están disponibles las medicionesde las temperaturas del flujo caliente (Thi y Tho). Reescribiendo la ecuación(8.2.3) en términos de las variables de entrada y salida, tenemos:

y = αu− αy + βU∆T, (8.3.1)

134 Estimación del Coeficiente de Transferencia de Calor

donde, α = vcVc

y β = AVccpcρc

.La ecuación (8.3.1) es una ecuación diferencial no lineal, debido al término

∆T que incluye a la media logarítmica de la diferencia de temperaturas de losflujos a la entrada y a la salida del intercambiador de calor. Consideramos queel término βU∆T es la dinámica no lineal que deseamos estimar mediante elobservador de perturbación, para determinar el coeficiente de transferencia decalor global U . Para esto, consideramos que ξ(t) = βU∆T es una señal acotadapor una familia de polinomios de Taylor variantes en el tiempo (ver [18], [2] y[3]), de la forma:

ξ(t) ≈ p0 + p1t+ p2t2, (8.3.2)

siendo p0, p1, p2 constantes reales desconocidas. Expresamos como un sistemadinámico en variables de estado a la señal de perturbación dada por la ecuación(8.3.2),

ξ1 = ξ2,

ξ2 = ξ3, (8.3.3)ξ3 = 0,

donde ξ1 = ξ(t), ξ2 = ξ(t), ξ3 = ξ(t). Ahora, la dinámica extendida del sistemalineal perturbado se obtiene considerando las ecuaciones (8.3.1) y (8.3.3),

y = αu− αy + ξ1,

ξ1 = ξ2,

ξ2 = ξ3, (8.3.4)ξ3 = 0.

El sistema lineal perturbado extendido dado por la ecuación (8.3.4), es deestado completamente observable5 con la salida y = Tco. A partir de la ecuación

5El concepto de observabilidad es útil al resolver el problema de reconstruir variables deestado no medibles, a partir de variables que sí lo son en el tiempo mínimo posible. Un sistemaes observable en el tiempo t0 si, con el sistema en el estado x(t0), es posible determinar esteestado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito (ver [12]).R. Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad en sistemas dinámicoslineales (ver Kalman et. al, en [8]), que son propiedades importantes en el diseño de sistemasde control en el espacio de estados.

8.3. CASO DE ESTUDIO 1: FLUJOS CONSTANTES 135

(8.3.4) se propone un observador de Luenberger6 extendido de la forma:˙y = αu− αy + ξ1 + λ3(y − y),

˙ξ1 = ξ2 + λ2(y − y),

˙ξ2 = ξ3 + λ1(y − y), (8.3.5)˙ξ3 = λ0(y − y).

La dinámica de error del observador se obtiene restando la ecuación (8.3.5)de la ecuación (8.3.4),

e1 = −αe1 + ez1 − λ3e1,

ez1 = ez2 − λ2e1,

ez2 = ez3 − λ1e1, (8.3.6)ez3 = −λ0e1,

donde, e1 = y − y, ez1 = ξ1 − ξ1, ez2 = ξ2 − ξ2, ez3 = ξ3 − ξ3. Y la ecuacióncaracterística de la dinámica de error del observador está dada por:

s4 + (α+ λ3)s3 + λ2s2 + λ1s+ λ0 = 0. (8.3.7)

Para el diseño de las ganancias del observador λ0, . . . , λ3, se propone un poli-nomio característico deseado pd(s) de la forma7:

pd(s) = (s2 + 2ζωns+ ω2n)2 = 0, (8.3.8)

con ζ, ωn > 0, tal que sea Hurwitz 8. Por lo que las ganancias del observadorquedan definidas como:

λ0 = ω4n,

λ1 = 4ζω3n,

λ2 = 4ζ2ω2n + 2ω2

n, (8.3.9)λ3 = 4ζωn − α.

Una vez obtenido ξ1 y considerando el conocimiento de los parámetros cons-tantes vc,Vc,A,cpc,ρpc y la media logarítmica de la diferencia de temperaturas ∆T ,se puede estimar el coeficiente de transferencia de calor global U como sigue:

U =1

β ∆Tξ1. (8.3.10)

6Luenberger propuso una metodología de diseño de observadores de estado para sistemaslineales (ver [9] y [12]).

7Es la forma canónica de un sistema de segundo orden, en términos de la razón de amor-tiguamiento ζ y la frecuencia natural ωn, descrito en variable compleja s (ver Ogata en [12]).

8El criterio de estabilidad de Hurwitz establece que un sistema lineal de una entrada y unasalida es estable, si y solo si, los polos del sistema se encuentran en el semiplano izquierdo delplano complejo s (ver [12]).

136 Estimación del Coeficiente de Transferencia de Calor

La ecuación (8.3.10) será entonces una fórmula para estimar en línea el coe-ficiente de transferencia de calor global U , a partir de la estimación de la pertur-bación ξ1 dado por el observador de perturbación de la ecuación (8.3.5).

8.4 Caso de estudio 2: Flujo de la corriente fría vccomo entrada. Temperaturas del flujo frío Tco comosalida y Tci constante

A partir de la ecuación (8.2.3), diseñamos un observador de perturbación paraestimar el coeficiente de transferencia de calor global U . Considerando comoconstantes las temperaturas a la entrada de los flujos frío y caliente, Tci y Thi,respectivamente; y como variables de entrada y salida del sistema, el flujo dela corriente fría vc = u y la temperatura a la salida del flujo frío Tco = y,respectivamente. Así también, consideramos que están disponibles las medicionesde las temperaturas del flujo caliente (Thi y Tho). Reescribiendo la ecuación(8.2.3) en términos de las variables de entrada y salida, tenemos:

y = γ1u− γ2uy + βU∆T, (8.4.1)

donde, γ1 = TciVc

, γ2 = 1Vc

y β = AVccpcρc

. La ecuación (8.4.1) es una ecuacióndiferencial no lineal, debido a los términos −γ2uy+ βU∆T (siendo ∆T la medialogarítmica de la diferencia de temperaturas de los flujos a la entrada y a la salidadel intercambiador de calor). Consideramos que esos términos son la dinámicano lineal que deseamos estimar mediante el observador de perturbación, con lafinalidad de determinar el coeficiente de transferencia de calor global U . Paraesto, consideramos que ξ(t) = −γ2uy + βU∆T es una señal acotada por unafamilia de polinomios de Taylor variantes en el tiempo (ver [18], [2] y [3]), de laforma:

ξ(t) ≈ p0 + p1t+ p2t2, (8.4.2)

siendo p0, p1, p2 constantes reales desconocidas. Nuevamente expresamos comoun sistema dinámico en variables de estado a la señal de perturbación dada por

8.4. CASO DE ESTUDIO 2: FLUJOS VARIANTES 137

la ecuación (8.4.2),

ξ1 = ξ2,

ξ2 = ξ3, (8.4.3)ξ3 = 0,

donde ξ1 = ξ(t), ξ2 = ξ(t), ξ3 = ξ(t). Ahora, la dinámica extendida del sistemalineal perturbado se obtiene considerando las ecuaciones (8.4.1) y (8.4.3),

y = γ1u+ ξ1,

ξ1 = ξ2,

ξ2 = ξ3, (8.4.4)ξ3 = 0.

El sistema lineal perturbado extendido dado por la ecuación (8.4.4), es deestado completamente observable con la salida y = Tco. A partir de la ecuación(8.4.4) proponemos un observador de Luenberger extendido de la forma:

˙y = γ1u+ ξ1 + λ3(y − y),

˙ξ1 = ξ2 + λ2(y − y),

˙ξ2 = ξ3 + λ1(y − y), (8.4.5)˙ξ3 = λ0(y − y).

La dinámica de error del observador se obtiene restando la ecuación (8.4.5)de la ecuación (8.4.4),

e1 = ez1 − λ3e1,

ez1 = ez2 − λ2e1,

ez2 = ez3 − λ1e1, (8.4.6)ez3 = −λ0e1,

donde, e1 = y − y, ez1 = ξ1 − ξ1, ez2 = ξ2 − ξ2, ez3 = ξ3 − ξ3. Y la ecuacióncaracterística de la dinámica de error del observador está dada por:

s4 + λ3s3 + λ2s

2 + λ1s+ λ0 = 0. (8.4.7)

Para el diseño de las ganancias del observador λ0, ..., λ3, proponemos un poli-nomio característico deseado pd(s) de la forma:

pd(s) = (s2 + 2ζωns+ ω2n)2 = 0, (8.4.8)

138 Estimación del Coeficiente de Transferencia de Calor

con ζ, ωn > 0, tal que sea Hurwitz. Por lo que las ganancias del observadorquedan definidas como:

λ0 = ω4n,

λ1 = 4ζω3n,

λ2 = 4ζ2ω2n + 2ω2

n, (8.4.9)λ3 = 4ζωn.

Una vez obtenido ξ1 y considerando el conocimiento de los parámetros cons-tantes Tci,Vc,A,cpc,ρpc y la media logarítmica de la diferencia de temperaturas∆T , se puede estimar el coeficiente de transferencia de calor global U comosigue:

U =1

β ∆T(ξ1 + γ2uy). (8.4.10)

La ecuación (8.4.10) será entonces una fórmula para estimar en línea el coe-ficiente de transferencia de calor global U , a partir de la estimación de la pertur-bación ξ1 dado por el observador de perturbación de la ecuación (8.4.5).

8.5 Resultados de simulación

Los resultados de simulación numérica fueron obtenidos con el programa deMATLAB/SimulinkTM , empleando el método numérico Runge-Kutta con pasode integración de 1 [ms]. Se programaron las ecuaciones (8.2.3), (8.2.4), (8.3.5),(8.4.5), (8.3.10) y (8.4.10); que corresponden a la dinámica del intercambiadorde calor, a los observadores de perturbación y a las fórmulas para la estimaciónde los coeficientes de transferencia de calor, de ambos casos de estudio.

En la Tabla 8.1 mostramos los parámetros considerados para los dos casosde estudio, que corresponden a los de un prototipo experimental (intercambiadorde calor del tipo recuperativo a contra flujo) empleado en [1]. El coeficiente detransferencia de calor global de diseño del prototipo experimental corresponde aU = 160 [ J

m2K s].

En las Figuras 8.2, 8.3 y 8.4 mostramos los resultados de simulación numéricadel Caso de estudio 1, donde se han considerando constantes las razones de flujo vcy vh (de los flujos frío y caliente); y como variables de entrada y salida del sistema,las temperaturas del flujo frío a la entrada Tci y a la salida Tco, respectivamente.

Las condiciones iniciales de la temperatura a la salida de los flujos caliente yfrío fueron: 325.38 [K] y 306.82 [K], respectivamente. Observamos en la Figura8.2 que la temperatura del flujo caliente aumenta, debido a que la temperatura ala entrada es de Thi = 338 [K], alcanzando una temperatura en estado estable de

8.5. RESULTADOS DE SIMULACIÓN 139

Parámetro ValorA 0.633 [m2]

ρh, ρc 1000 [ kgm3 ]

Vc 6.05× 10−3 [m3]Vh 3.2× 10−3 [m3]

cpc 1910 [ JK kg ]

cph 1590 [ JK kg ]

U 160 [ Jm2K s

]Tci 298 [K]Thi 338 [K]

vc 3.15× 10−4 [m3

s ]

vh 1.9× 10−4 [m3

s ]

Tabla 8.1: Parámetros del intercambiador de calor.

327.3 [K]; y la temperatura del flujo frío desciende, debido a que la temperaturaa la entrada es de Tci = 298 [K], alcanzando una temperatura en estado establede 303.4 [K]. Presentamos el estado transitorio del sistema, en el intervalo detiempo de 0 a 80 [s].

0 20 40 60 80 100 120325

325.5

326

326.5

327

327.5

(a) Temperatura de salida del flujo caliente, Tho

tiempo [s]

tem

pera

tura

[K]

0 20 40 60 80 100 120303

303.5

304

304.5

305

305.5

306

306.5

307

(b) Temperatura de salida del flujo frio, Tco

tiempo [s]

tem

pera

tura

[K]

Figura 8.2: Resultados de simulación del Caso 1: Temperaturas de salida, Tho y Tco.

En la Figura 8.3 se muestra la estimación de la dinámica no lineal del sistemaconsiderada como perturbación, ξ1 = ξ(t) = βU∆T , que converge en un tiempot < 1 [s]. La diferencia de la perturbación real ξ1 con la perturbación estimada ξ1

nos da información del error de la estimación de la perturbación (e = ξ1− ξ1), conun valor aproximadamente de cero, e ≈ 0. Las ganacias del observador de pertur-bación (λ0, . . . , λ3) dadas en la ecuación (8.3.9), fueron definidas considerando losparámetros ζ = 2 y ωn = 100; para el observador de perturbación de la ecuación

140 Estimación del Coeficiente de Transferencia de Calor

(8.3.5).

0 20 40 60 80 100 1200.2

0.21

0.22

0.23

0.24

0.25

0.26

0.27

0.28

0.29

(a) Estimacion de la perturbacion, ξ1

tiempo [s]

ener

gia

[J]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2(b) Error de la estimacion de la perturbacion

tiempo [s]

ener

gia

[J]

Perturbacion real, ξ1

Perturbacion ξ1 estimada

Figura 8.3: Resultados de simulación del Caso 1: Estimación de la perturbación ξ1.

Debido a que las razones de flujo se mantienen constantes, el coeficiente detransferencia de calor también se mantiene constante. Una vez estimada la per-turbación, es posible estimar el coeficiente de transferencia de calor U mediantela ecuación (8.3.10).

En la Figura 8.4 se observa que la estimación del coeficiente de transferenciade calor U converge rápidamente a 160 [ J

m2K s], en un tiempo t < 1 [s], con un

error de aproximadamente cero.

0 20 40 60 80 100 120150

152

154

156

158

160

162

164

166

168

170Estimacion del coeficiente de calor, U

tiempo [s]

[J/(

m2 .K

.s)]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Error de la estimacion del coeficiente de calor

tiempo [s]

[J/(

m2 .K

.s)]

Coeficiente U realCoeficiente U estimado

Figura 8.4: Resultados de simulación del Caso 1: Estimación del coeficiente de transferenciade calor U .

En las Figuras 8.5, 8.6 y 8.7 se muestran los resultados de simulación numéricadel Caso de estudio 2, donde se han considerando constantes las temperaturasa la entrada de los flujos frío y caliente, Tci y Thi, respectivamente; y variantesen el tiempo, las razones de flujo de los flujos frío y caliente, vc y vh, respectiva-

8.5. RESULTADOS DE SIMULACIÓN 141

mente. Como variables de entrada y salida del sistema, la razón de flujo vc y latemperatura a la salida del flujo frío Tco, respectivamente.

0 20 40 60 80 100 120325

325.5

326

326.5

327

327.5

(a) Temperatura de salida del flujo caliente, Tho

tiempo [s]

tem

pera

tura

[K]

0 20 40 60 80 100 120302

302.5

303

303.5

304

304.5

305

305.5

306

306.5

307

(b) Temperatura de salida del flujo frio, Tco

tiempo [s]

tem

pera

tura

[K]

Figura 8.5: Resultados de simulación del Caso 2: Temperaturas de salida, Tho y Tco.

Las condiciones iniciales de la temperatura a la salida de los flujos caliente yfrío fueron: 325.38 [K] y 306.82 [K], respectivamente. Observamos en la Figura8.5 que la temperatura del flujo caliente aumenta, debido a que la temperatura ala entrada es de Thi = 338 [K]; y la temperatura del flujo frío desciende, debidoa que la temperatura a la entrada es de Tci = 298 [K]. Observamos un cambiode temperatura a la salida de los flujos caliente y frío, en el intervalo de tiempode 60 [s] a 120 [s]; debido a un cambio en la razón de flujo del fluido frío vc, de3.15× 10−4 [m

3

s ] a 4.567× 10−4 [m3

s ], en el intervalo de tiempo de 60 [s] a 80 [s].

0 20 40 60 80 100 120−24

−23

−22

−21

−20

−19

−18

−17

−16

−15

−14

(a) Estimacion de la perturbacion, ξ1

tiempo [s]

ener

gia

[J]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2(b) Error de la estimacion de la perturbacion

tiempo [s]

ener

gia

[J]

Perturbacion real, ξ1

Perturbacion ξ1 estimada

Figura 8.6: Resultados de simulación del Caso 2: Estimación de la perturbación ξ1.

Así también, en la Figura 8.6 mostramos la estimación de la dinámica nolineal del sistema considerada como perturbación, ξ1 = ξ(t) = −γ2uy+βU∆T , yque converge en un tiempo t < 1 [s], con un error de aproximadamente cero. Dela misma manera notamos que la perturbación tiene una variación en el intervalo

142 Estimación del Coeficiente de Transferencia de Calor

de tiempo de 60 [s] a 80 [s], debido al cambio que ocurre en la razón de flujodel fluido frío vc. Sin embargo, el error de estimación de la perturbación ξ1 seconserva en aproximadamente cero. El diseño de las ganancias λ0, . . . , λ3, dadasen la ecuación (8.4.9) para el observador de la ecuación (8.4.5), fueron definidascon los mismos valores de los parámetros del Caso de estudio 1.

0 20 40 60 80 100 120155

160

165

170

175

180(a) Estimacion del coeficiente de calor, U

tiempo [s]

[J/(

m2 .K

.s)]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2(b) Error de la estimacion del coeficiente de calor

tiempo [s]

[J/(

m2 .K

.s)]

Coeficiente U realCoeficiente U estimado

Figura 8.7: Resultados de simulación del Caso 2: Estimación del coeficiente de transferenciade calor U .

Al existir un aumento en la razón de flujo del fluido frío vc, se espera tam-bién un cambio en el coeficiente de transferencia de calor U . En la Figura 8.7,mostramos la estimación del coeficiente de transferencia de calor U (considerandola ecuación (8.4.10), una vez estimada la perturbación ξ1), que converge en untiempo t < 1 [s] y con un error de estimación de aproximadamente cero. Se ob-serva que a pesar del cambio que ocurre con el coeficiente de transferencia decalor U de 160 [ J

m2K s] a 176 [ J

m2K s], en el intervalo de tiempo de 60 [s] a 80 [s],

el error de estimación se conserva en aproximadamente cero.

8.6 Conclusiones

Revisamos dos casos de estudio de un intercambiador de calor del tipo recuper-ativo a contraflujo, para la estimación del coeficiente de transferencia de calorglobal vía observadores de perturbación basados en el modelo.

Es importante comentar que utilizamos la dinámica parcial no lineal del sis-tema, es decir, solamente una ecuación de la dinámica completa del intercam-biador de calor. La metodología del observador de perturbación empleada, esaplicable solamente a sistemas lineales; por tal motivo, los terminos no linealesse consideraron como la perturbación de interés a estimar, y entre esas variablesy parámetros se encuentra el coeficiente de transferencia de calor U .

La perturbación de interés fue considerada como una señal acotada por unafamilia de polinomios de Taylor variantes en el tiempo de segundo grado y, a partir

8.6. CONCLUSIONES 143

de la dinámica extendida del sistema lineal perturbado, se diseñó un observadorde Luenberger para estimar en línea el coeficiente de transferencia de calor.

En el primer caso de estudio, consideramos que la temperatura del flujo fríoTci, fue la entrada del sistema; y se mantuvieron constantes a las razones de flujode los flujos frío y caliente, por lo que el coeficiente de transferencia se mantuvoconstante. En el segundo caso de estudio se consideró a la razón de flujo delflujo frío vc, como la entrada al sistema; habiendo sido variantes en el tiempolas razones de flujo de los flujos frío y caliente, por lo cual, el coeficiente detransferencia de calor también se comportó variante en el tiempo.

Los resultados de simulación numérica de ambos casos de estudios han sidosatisfactorios. Sin embargo, el segundo caso de estudio es el que ocurre confrecuencia en la industria de procesos, que por aspectos prácticos, las razones deflujo son factibles de ser variantes en el tiempo, y las temperaturas a la entradadel flujo frío y caliente, tengan comportamientos considerados como constantes.

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