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Capítulo 7: Distribuciones muestrales
Recordemos:
Parámetro es una medida de resumen
numérica que se calcularía usando todas
las unidades de la población.
Es un número fijo.
Generalmente no lo conocemos.
Estadística es una medida de resumen
numérica que se calcula de las unidades
de la muestra.
El valor de la estadística se conoce
cuando tomamos una muestra,
pero varia de muestra en muestra �
variación muestral
Inferencia estadística: es el proceso de
sacar conclusiones de la población
basados en la información de una muestra
de esa población.
Objetivos de la inferencia:
� estimación de parámetros,
� intervalos de confianza y
� docimasia, test de hipótesis o pruebas
de significación estadística.
Distribuciones muestrales
Una estadística muestral proveniente de
una muestra aleatoria simple tiene un
patrón de comportamiento (predecible) en
repetidas muestras. Este patrón es
llamado la distribución muestral de la
estadística.
Si conocemos la distribución muestral
podemos hacer inferencia.
Las distribuciones muestrales adoptan
diferentes formas según las estadísticas
investigadas y las características de la
población estudiada.
7.1 Distribución muestral
de una
proporción muestral
La distribución muestral de la
proporción muestral es la distribución
de los valores de las proporciones
muestrales de todas las posibles muestras
del mismo tamaño n tomadas de la
misma población.
Suponga que estamos interesados
en conocer la proporción de mujeres en
Chile. Nuestro parámetro de interés
es:
Chileen habitantes de número
Chileen mujeres de número=P
La población es demasiado grande. Hacer un
censo sería demasiado caro. Decidimos
estimar el verdadero parámetro a partir de
una muestra.
La proporción muestral sería:
muestra la de tamaño
muestra laen mujeres de númeroˆ =p
Supongamos que sabemos que 5,0=P ¿Qué
pasa si tomamos una muestra tamaño 20=n ?
Muestra #1:
H M H H H M M M H H H M H M M H H M H M
Proporción de mujeres $p=9/20=0,45
Muestra #2:
M M H M H M M H H H H M H H M M M H M M
Proporción de mujeres $p=11/20=0,55
Muestra #3:
H H M M M H H M H M H M H M M H H M M H
Proporción de mujeres $p=10/20=0,50
En la práctica el investigador toma una
muestra. El conocimiento de la
distribución muestral nos servirá de base
teórica para hacer inferencia estadística.
Para conocer la distribución muestral de
una estadística deberíamos considerar
todas las posibles muestras de un tamaño
n, de una población.
En la práctica, podemos simular la
distribución muestral aproximada o
empírica, de la siguiente manera:
1. Seleccione "muchas" muestras
aleatorias de mismo tamaño de una
población.
2. En cada muestra calcule el estadístico
muestral
3. Determine la distribución muestral
aproximada
Recuerden que al analizar una
distribución nos interesa:
1. Forma (simétrica o sesgada)
2. Posición central - la media de una
distribución muestral nos dice si el
estadístico es un "buen" (insesgado)
estimador del parámetro o es sesgado.
3. Dispersión - nos da una idea del error
de muestreo.
¿cuál es la proporción de números
pares de la tabla de números aleatorios?
Usando tabla de números aleatorios.
Asumamos que el 50% de la población es
par, es decir 5,0=P
Vamos a tomar 50 muestras de tamaño 4=n de esta población.
Seleccionamos un punto de partida y
elegimos 4 números.
Supongamos que el punto de partida es Fila
20:
columna
fila
1 10480 15011 01536 02011 81647 91646 69179 14194 62590 36207 20969 99570
2 22368 46573 25595 85393 30995 89198 37982 53402 93965 34095 52666 19174
3 24130 48360 22527 97265 76393 64809 15179 24830 49340 32081 30680 19655
4 42167 93093 06243 61680 07856 16376 39440 53537 71341 57004 00849 74917
5 37570 39975 81837 16656 06121 91782 60468 81305 49684 60672 14110 06927
6 77921 06907 11008 42751 27756 53498 18602 70659 90665 15053 21916 81825
7 99562 72905 56420 69994 98872 31016 71194 18738 44013 48840 63213 21069
8 96301 91977 05463 07972 18876 20922 94595 56869 69014 60045 18425 84903
9 89579 14342 63661 10228 17453 18103 57740 84378 25331 12566 58678 44947
10 85475 36857 53342 53988 53060 59533 38867 62300 08158 17983 16439 11458
11 28918 69578 88231 33276 70997 79936 56865 05859 90106 31595 01547 85590
12 63553 40961 48235 03427 49626 69445 18663 72695 52180 20847 12234 90511
13 09429 93969 52636 92737 88974 33488 36320 17617 30015 08272 84115 27156
14 10365 61129 87529 85689 48237 52267 67689 93394 01511 26358 85104 20285
15 07119 97336 71048 08178 77233 13916 47564 81056 97735 85977 29372 74461
16 51085 12765 51821 51259 77452 16308 60756 92144 49442 53900 70960 63990
17 02368 21382 52404 60268 89368 19885 55322 44819 01188 65255 64835 44919
18 01011 54092 33362 94904 31273 04146 18594 29852 71585 85030 51132 01915
19 52162 53916 46369 58586 23216 14513 83149 98736 23495 64350 94738 17752
20 07056 97628 33787 09998 42698 06691 76988 13602 51851 46104 88916 19509
21 48663 91245 85828 14346 09172 30168 90229 04734 59193 22178 30421 61666
22 54164 58492 22421 74103 47070 25306 76468 26384 58151 06646 21524 15227
23 32639 32363 05597 24200 13363 38005 94342 28728 35806 06912 17012 64161
24 29334 37001 87637 87308 58731 00256 45834 15398 46557 41135 10367 07684
25 02488 33062 28834 07351 19731 92420 60952 61280 50001 67658 32586 86679
26 81525 72295 04839 96423 24878 82651 66566 14778 76797 14780 13300 87074
27 29676 20591 68086 26432 46901 20849 89768 81536 86645 12659 92259 57102
28 00742 57392 39064 66432 84673 40027 32832 61362 98947 96067 64760 64584
29 05366 04213 25669 26422 44407 44048 37937 63904 45766 66134 75470 66520
30 91921 26418 64117 94305 26766 25940 39972 22209 71500 64568 91402 42416
31 00582 04711 87917 77341 42206 35126 74087 99547 81817 42607 43808 76655
32 00725 69884 62797 56170 86324 88072 76222 36086 84637 93161 76038 65855
33 69011 65795 95876 55293 18988 27354 26575 08625 40801 59920 29841 80150
34 25976 57948 29888 88604 67917 48708 18912 82271 65424 69774 33611 54262
35 09763 83473 73577 12908 30833 18317 28290 35797 05998 41688 34952 37888
41-45 46-50 51-55 56-601-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40
Resultados si el punto de partida es Fila 20:
Muestra Estadístico
1 0705 2/4
2 6976 4/4
3 2833 2/4
4 7870 2/4
5 9998 1/4
6 4269 3/4
7 8066 4/4
8 9176 1/4
9 9881 2/4
10 3602 3/4
11 5185 1/4
12 1461 2/4
13 0488 4/4
14 9161 1/4
15 9509 1/4
16 2562 3/4
17 5581 1/4
18 0448 4/4
19 6639 2/4
20 1245 2/4
21 8582 3/4
22 8143 2/4
23 4609 3/4
24 1723 1/4
25 0168 3/4
Muestra Estadístico
26 9022 3/4
27 9047 2/4
28 3459 1/4
29 1932 1/4
30 2178 2/4
31 3042 3/4
32 1616 2/4
33 6699 2/4
34 9043 2/4
35 2812 4/4
36 5416 2/4
37 4584 3/4
38 9222 3/4
39 4217 2/4
40 4103 2/4
41 4707 2/4
42 0253 2/4
43 0676 3/4
44 4682 4/4
45 6384 3/4
46 5815 1/4
47 1066 3/4
48 4621 3/4
49 5241 2/4
50 5227 2/4
Tabla:
Número de
pares
Proporción
muestral
Frecuencia
Proporción de
todas las
muestras
0 0/4 = 0,00 0
1 1/4 = 0,25 10
2 2/4 = 0,50 20
3 3/4 = 0,75 14
4 4/4 = 1,00 6
Total
a) ¿Cuál fue la proporción más frecuente?
b) Dibuje la distribución muestral
empírica. ¿Qué forma tiene?
Cada vez que tomamos una muestra tenemos
una estimación para el parámetro P .
Estas estimaciones varían entre muestras �
variación muestral
Se puede demostrar que si tomamos una
m.a.s. de tamaño n de una población con
parámetro P , la desviación estándar de $p
es:
que depende de la verdadera proporción P y
del tamaño muestral n .
Si el tamaño muestral es 4=n y la
proporción en la población es 5,0=P
entonces la desviación estándar de $p es:
n
PPp
)1(ˆ
−=σ
25,04
)5,01(5,0)1(ˆ
=−
=−
=n
PPpσ
¿Que pasa si aumentamos el tamaño muestral?
¿Que pasa con P ? ¿Cómo afecta el valor de
P en la desviación estándar?
P P(1-P)
0,1 0,09
0,2 0,16
0,3 0,21
0,4 0,24
0,5 0,25
0,6 0,24
0,7 0,21
0,8 0,16
0,9 0,09
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
P
P(1-P)
Sesgo y Precision
Cuando estimamos un parámetro de la
población a partir de una estadística
muestral, nos va a interesar que la
estimación no tenga sesgo y sea precisa.
La figura ilustra la diferencia entre sesgo y
precisión.
Distribución muestral de
una proporción
Si P representa la proporción de elementos
en una población con cierta característica de
interés, es decir, la proporción de “éxitos”,
donde “éxito” corresponde a tener la
característica.
Si sacamos muestras aleatorias simples de
tamaño n de la población donde la
proporción de “éxitos” es P , entonces la
distribución muestral de la proporción
muestral tiene las siguientes propiedades:
1. El promedio de todos los valores
posibles de $p es igual al parámetroP . En
otras palabras, $p es un estimador insesgado
de P .
P=p̂
µ
2. Error estándar de la proporción
muestral: Es la desviación estándar de las
posibles proporciones muestrales y mide
la dispersión de la proporción muestral.
3. Si n es “suficientemente” grande, la
distribución de la proporción muestral es
aproximadamente Normal:
))1(
,(~ˆn
PPPNp
−&
cuando nP ≥ 5 y n(1-P) ≥ 5
n
PPp
)1(ˆ
−=σ
Sangre
En Chile el 5,3% de la población tiene sangre factor
Rh(-). En una muestra aleatoria de 400 sujetos de esa
población, se encuentra que un 8,8% tiene factor
Rh(-).
a) ¿cuál es el valor del parámetro?
b) ¿cuál es el valor de la estadística?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en una nueva
muestra aleatoria de tamaño 400 de esa
población contenga al menos un 8,8% de
personas con sangre factor Rh(-)?
( ) =≥ 8,8p̂P
d) Suponga que se toma una muestra aleatoria
simple de tamaño 10 de la misma población.
Queremos calcular la probabilidad de que 8,8%
o más tenga sangre factor Rh(-).
Distribución muestral de la
media muestral
La distribución muestral de la media
muestral es la distribución de los valores de
las medias muestrales de todas las posibles
muestras del mismo tamaño n tomadas de la
misma población.
Considere una población cuya variable
aleatoria X es discreta y con la siguiente
distribución:
La media de la población esµ =
Suponga que no conocemos la población o el
valor de µ . Podemos tomar una m.a.s. de
tamaño n=2 de esta población.
¿Cuál sería una muestra de tamaño n=2 de esta
población?
¿Cuál sería la media muestral?
¿Es igual a la media de la población?
Si tomamos otra muestra de tamaño n=2,
¿obtendríamos la misma media muestral?
Distribución muestral de la media muestral
Si sacamos muestras aleatorias de tamaño n de
una población con media µ y desviación
estándar σ, entonces la distribución muestral de
la media muestral tiene las siguientes
propiedades:
1. El promedio de todos los valores posibles de
medias muestrales es igual al parámetro µ. En
otras palabras, la media muestral X es un
estimador insesgado de µ.
µµ =x
2. Error estándar de la media muestral: Es la
desviación estándar de las posibles medias
muestrales.
n=
x
σσ
El error estándar disminuye si el tamaño de la
muestra aumenta.
3. Si la población original tiene distribución
Normal, entonces para cualquier tamaño
muestral n la distribución de la media
muestral es también Normal:
),(~ ),(~ Sin
NxNX σµσµ ⇒
4. Si la población de origen no es Normal,
pero n es “suficientemente” grande la
distribución de la media muestral es
aproximadamente Normal:
Aún si X no es:),(~ ),(n
NxN σµσµ &⇒
Nota:
- Un tamaño de 30 es considerado suficiente.
- El resultado en (4) se conoce como el
Teorema del Límite Central.
Suponga que X = peso de carga de
camionetas en kilos, tiene distribución
normal con media = 300 k y varianza = 25.
Se toma una muestra aleatoria de 25
camionetas cargadas y se calcula la media
muestral.
Esquema de las distribuciones de la variable
aleatoria X y de la media muestral:
Distribution of X
=30µµµµ
Distribution of XN(300,25)
N(300, 1 )
305295290285 310 315300
Suponga que X = la edad de las madres
en los nacimientos en Chile el año 1995,
tiene distribución normal con media = 26,5
años y desviación estándar 6,3 años.
a) Describa la distribución de la edad de la
madre.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una
madre elegida al azar tenga más de 30
años?
c) Suponga que tomamos una muestra
aleatoria de n=25 madres ¿cuál es la
probabilidad de que la media muestral
sea mayor a 30?
d) ¿porqué las respuestas en (b) y (c) son
distintas?