capÍtulo 5 modelos dinÁmicos del sistema de rodillos …
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CAPÍTULO 5
MODELOS DINÁMICOS DEL SISTEMA DE RODILLOS DE UNA MÁQUINA DE
CONVERSIÓN DE PAPEL
En el presente capítulo se desarrollarán los modelos dinámicos propios del área crítica del
sistema. Como se determinó en el capítulo 4 son los desbobinadores de la línea de
conversión de papel.
Basados en las estadísticas y la experiencia de campo obtenidas, se determinó
realizar modelos dinámicos del área que comprende las bobinas madre, pasando por el
sistema de control de tensión en los desbobinadores hasta el inicio del gofrador.
Se ha observado que la mayor parte de las rupturas de guías se dan en el sistema de control
de tensión también conocido como balancín.
La estrategia que se utilizará para el desarrollo de los modelos dinámicos será
iniciando con modelos en los que no intervendrán el balancín finalizando con un modelo
que integré esté sistema de control de tensión.
5.1 Modelo dinámico de desbobinador con hoja de papel rígida.
La figura 5.1 muestra el sistema del desbobinador con la bobina y la hoja de papel como un
elemento rígido; la velocidad de la hoja de papel es constante w y el diagrama finaliza en
el gofrador, que gira con velocidad constante.
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Figura 5.1 Diagrama de desbobinador con hoja de papel rígida.
En dicho diagrama podemos observar que la bobina tiene representada su
excentricidad (e) y la velocidad angular de la misma por (w). También observamos
representada la velocidad de la hoja de papel como v, así mismo la fuerza de tensión en la
hoja como So y el momento generado en la bobina de papel Mo.
Se establecieron longitudes al cambio del radio de la bobina a través del tiempo,
1max *)( ϕerl +=Δ (5.1)
1min *)( ϕerl −=Δ (5.2)
Así mismo las ecuaciones de la velocidad angular del sistema,
ervw+
=max (5.3)
ervw−
=min (5.4)
De las ecuaciones 5.4 establecemos la excentricidad e en términos de sin wt por el
cambio de la excentricidad de la bobina a través del tiempo,
tervw
ωsin+= (5.5)
w S0
v=Const.e
R
r
M0
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Despejando v en la ecuación 5.5,
( )terwv ωsin+=
Derivando la ecuación despejada,
( )dtdterwv ωsin+= (5.6)
Teniendo que la excentricidad relativa ( )ε es variable con respecto a w obtenemos,
( ) ( ) 0cossin =++ twewter ωωε (5.7)
Despejando ε de la ecuación obtenida, y teniendo que la relación entre
excentricidad y radio se da de la siguiente forma, ⟨⟨Re 1 y tenemos que dicha relación se
encuentra de la siguiente forma, 04.0.1
.04.0.1.4
===m
mmcm
Re
tRew
tertew ω
ωωε cos
sincos 2
2
≅+
= (5.8)
Sustituyendo w con la ecuación 5.5, para finalmente obtener,
( )t
rev
tertev ω
ωωε cos
sincos
32
3
2
≅+
= (5.9)
Para la fuerza de tensión tenemos pues,
( ) εω IterS =+Δ sin (5.10)
Despejando ΔS de la ecuación anterior,
teSinrIS
ωε
+×=Δ (5.11)
Sustituyendo ε por la ecuación 5.8,
85
( )t
reIv
terteIvS ω
ωω cos
sincos
4
2
4
2
≅+
=Δ (5.12)
en donde tenemos para ΔS,
MINMAX SSS −=Δ (5.13)
Las ecuación 5.12 es introducida al simulador Powersim Constructor©;
adicionalmente se agregaron las siguientes ecuaciones al simulador para su correcto
funcionamiento,
El momento de inercia para un elemento cilíndrico,
8
2MDI = (5.14)
La fuerza de tensión máxima en el papel proveniente de la ecuación 5.12,
4
2
reIvSMAX ≅Δ (5.15)
Los esfuerzos ejercidos sobre la hoja de papel,
bhSMAX
MAXΔ
=σ (5.16)
Para el anális is en Powersim Constructor©, se establecieron las siguientes
variables como condiciones básicas del sistema:
M - masa de la bobina, (2000 kg.)
D - diámetro de bobina, (2 m.)
L - longitud total de la hoja de papel, (16.4 m.)
e - excentricidad de la bobina, (4 cm.)
E - módulo de Young del papel, (160 MPa)
b - ancho de la hoja de papel, (2.68 m.)
h - espesor de la hoja de papel, (0.15 mm.)
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De dicha simulación se establecen 3 parámetros críticos:
• ΔS, tensión ejercida sobre la cinta de papel como un elemento rígido sin
considerar el área transversal del papel.
• σ MAX esfuerzos ejercidos sobre la cinta de papel como un elemento rígido
considerando el área transversal del papel.
• Eps, porcentaje de elongación del papel.
Se estableció que para todos los modelos el rango de velocidades a analizar será de
VelMin = 6.5 m/s a VelMax= 480 [m/min] ya que es el rango de operación normal de la
máquina de papel.
La simulación genera gráficas del comportamiento de los parámetros críticos como
las que se muestran a continuación; que expresan el comportamiento del sistema a los 4 m/s
(o 240 m/min que es una velocidad media para la máquina convertidora de papel).
Figura 5.2 Diagramas de parámetros críticos S en N, σ MAX en Pa y E en porcentaje para
V=4m/s.
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De la figura 5.2 vemos que a 4 m/s tenemos los siguientes resultados aproximados:
NSMAX 700≅Δ
MPaMAX 5.1=σ
Realizando un análisis de los parámetros críticos del modelo 5.1, en el rango de
velocidad establecido se obtuvieron los siguientes resultados:
Para S se obtuvieron los siguientes resultados,
∆S Max
-500.00
0.00
500.00
1000.00
1500.00
2000.00
2500.00
18 42 72 96 120 180 240 300 360 420 474
Velocidad [m/min]
[N]
º
Figura 5.3 Comportamiento de la tensión al aumento de la velocidad.
Se observa en la figura 5.3 dos curvas la primera en naranja representa los valores
obtenidos de la simulación en PowerSim Constructor© y la segunda en amarillo, muestra la
gráfica de tendencia de los valores lo cual evidencia una parábola. Como se puede observar
la tendencia general es a la alza, teniendo entre los 240 m/min a 420 m/min la pendiente de
mayor pronunciación con 1500 N de aumento. Se observa el aumento de la tensión es
progresivo al aumentar la velocidad, lo cual no es un comportamiento real ni deseable en
una máquina de está naturaleza.
88
Para σ MAX se obtuvieron los siguientes resultados,
Esfuerzo en Papel
-1,000,000.00
0.00
1,000,000.00
2,000,000.00
3,000,000.00
4,000,000.00
5,000,000.00
6,000,000.00
18 42 72 96 120 180 240 300 360 420 474
Velocidad [m/min]
[Pa]
Figura 5.4 Comportamiento de los esfuerzos del papel en el área total al aumento de la
velocidad.
Al igual que en ∆SMAX se puede ver que en σ MAX el comportamiento es idéntico en
cuanto a su tendencia (gráfica en amarillo) , pero en la gráfica 5.4 se observa que los
esfuerzos a las que teóricamente la hoja estaría expuesta son simplemente imposibles de
soportar. También podemos ver que en esté caso las pendientes a la alza son de menor
grado aunque igualmente su aumento es progresivo al aumentar la velocidad.
En el caso del porcentaje de elongación %E se puede ver que el aumento es
progresivo pero en dicho caso se da en una magnitud de cambio mucho menor. Se concluye
de dicho modelo que el comportamiento mostrado no es el real para la hoja de papel, ya que
se obtuvieron tensiones imposibles de lograr con esté material. La utilidad de esté modelo
fue como pionero en la integración de las distintas variables con las que cuenta el
desbobinador y un entendimiento preliminar del comportamiento dinámico del sistema.
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5.2 Modelo dinámico de desbobinador con hoja de papel como un elemento flexible
La figura 5.6 muestra el sistema del desbobinador con la bobina y la hoja de papel como un
elemento flexible; la velocidad de la hoja de papel es constante y el diagrama finaliza en el
gofrador (punto A).
Figura 5.5 Diagrama de desbobinador con hoja de papel flexible.
En este modelo se pretende obtener la velocidad angular de la bobina cuando la hoja
de papel se comporta como un elemento flexible. La vibración generada en la hoja de papel
(η1) y el cambio de la tensión debida por la vibración en el papel ( SΔ ).
Para ello se establecerán las ecuaciones propias del modelo, tenemos pues que para
el cambio de radio de la bobina a través del tiempo tenemos, la elongación de la hoja de
papel se expresa de la siguiente forma,
rwvtl −=Δ (5.17)
donde wteRr cos+= , donde ϕ=wt
Ahora tenemos la misma ecuación establecida en términos del radio de la bobina,
( )ωϕcoseRvtl +−=Δ (5.18)
S0
RM0
e
r
v=Const.
w
η1
Punto A
k
90
Incluyendo la oscilación angular de la bobina de papel 1η ,
( ) 1cos ηϕeRll o +−Δ=Δ (5.19)
Partiendo de las ecuaciones de Lagrange,
( )[ ]21cos21 ηϕeRlkV o +−Δ= (5.20)
Derivando respecto a 1η ,
( )[ ] )cos(cos 11
ϕηϕη
eReRlkVo +−+−Δ=
∂∂ (5.21)
Ahora tenemos,
T= 2
121
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
o
oI ηω (5.22)
Teniendo la ecuación de momentos,
oo MVTTdtt
−=∂
∂+
∂
∂−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂∂
111 ηηη (5.23)
Donde, Mo=RSo y la tensión estática queda expresada como So = Mo / R
Ahora obtenemos,
11
1
ooo
o IIdttT
dtt ηηω
η=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂∂ (5.24)
01
=∂
∂
η
T (5.25)
( )[ ]11
cos)cos( ηϕϕη
eRlkeRVo +−Δ+−=
∂∂ (5.26)
Sustituyendo de ecuación 5.24 con ecuaciones 5.25 a 5.27,
91
( ) o
ooleRkMeRkI Δ++−=++ )cos(cos 01
21 ϕηϕη (5.27)
Para una excentricidad 0=e , tenemos,
kRMllkRM oo
00 0 =Δ→=Δ+− (5.28)
Quedando finalmente la siguiente ecuación,
( ) ϕϕϕηϕεη coscoscoscos 012
00
1 eSReMlkeRkI oo ==Δ=++ (5.29)
Sustituyendo tωϕ = ,
( ) wteStReMwtRkI coscoscos 01
00
1 ==++ ωηεη (5.30)
Teniendo que 22
002
τηωητ
ddwt =→= , en un nuevo tiempo, y derivando, para
solución numérica tenemos,
( )[ ] τω
ητω
η CoseSeCosRkIoo
*212
01
22
00
1 =++ (5.31)
Ahora contamos con las ecuaciones para el cálculo de las vibraciones en el sistema
(ecuación 5.24) y así como la del cálculo del cambio de la tensión (ecuación 5. 31), por
último tenemos la ecuación para el cálculo de la velocidad angular de la bobina la cual es,
IkRw
2
1 = (5.32)
Donde k es,
LAEk t= (5.33)
En la cual el momento de inercia quedo establecido de la siguiente forma, debido a la
geometría cilíndrica de la bobina,
92
2
2MRI = (5.34)
Para el análisis en Powersim Constructor©, se establecieron las siguientes variables
como condiciones básicas del sistema:
M - masa de la bobina, (2000 kg.)
R - diámetro de bobina, (1 m.)
S0 -Tensión inicial de la hoja de papel, (100 N)
L - longitud total de la hoja de papel, (16.4 m.)
e - excentricidad de la bobina, (4 cm.)
E - módulo de Young de la hoja de papel, (160 MPa)
b - ancho de la hoja de papel, (2.68 m.)
h - espesor de la hoja de papel, (0.15 mm.)
Igualmente que en el modelo 1 el rango de velocidades a analizar será de VelMin= 10
m/min a VelMax= 480 m/min ya que es el rango de operación normal de la máquina de
papel.
La simulación genera gráficas del comportamiento de los 3 parámetros críticos
anteriormente mencionados, como se muestra a continuación; estás expresan el
comportamiento del sistema de desbobinador a los 2m/s (o 120 m/min que es la velocidad
crítica de esté modelo).
Dicha velocidad fue determinada debido en que ella se observa la mayor variación
de la tensión.
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Figura 5.6 Diagramas de parámetros críticos η1 mostrada como x en [rads/s], ΔS en [N]y
w1 en [rads] a una V= 2m/s.
Realizando un análisis de los parámetros críticos de esté modelo, en el rango de
velocidad establecido se obtuvieron los siguientes resultados:
Para S obtuvimos,
S [N]
0.0020.0040.0060.0080.00
100.00120.00140.00160.00
18 42 72 120 180 240 300 360 420 474
Velocidad [m/min]
[N]
Figura 5.7 Comportamiento de la tensión al aumento de la velocidad.
A diferencia del modelo 1, podemos observar que en esté modelo el sistema tiene
una velocidad crítica que son los 2 m/s (en la cual se ve un pico de tensión a 150 N), y
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claramente se observa que antes y después de mencionada velocidad el cambio de la
tensión es mínimo en el orden de 5 N aproximadamente.
Al ser este pico mayor a la tensión inicial del sistema (100 N) el efecto real sobre la
hoja del sistema es crear una holgura en la hoja, en lugar de tener una hoja tensa. Por lo
tanto esté modelo es estable a todas las velocidades excepto a la velocidad media de
arranque de la máquina de 2 m/s. Esté problema puede ser solucionado a través de un
amortiguador. Dicha solución será expuesta en el siguiente modelo.
η1 en Power Sim
0.00000.00500.01000.01500.02000.02500.03000.03500.04000.0450
18 42 72 120 180 240 300 360 420 474
Velocidad [m/min]
rads
/s
Figura 5.8 Comportamiento de la amplitud de oscilación η1 al aumento de la velocidad.
Igualmente η1 tiene su pico a los 2 m/s aunque en el caso de la vibración no hay
problemas por dicho pico.
95
Figura 5.9 Comportamiento de la velocidad angular al cambio del radio.
Respecto a la velocidad angular de la bobina vemos que al disminuir el radio de la
bobina, es decir, cuando la bobina está siendo consumida, su velocidad angular aumenta.
Concluyendo de dicho modelo se ve que la tensión ha sido controlada
sustancialmente, del tener 6106× N en el modelo 1, a tener valores pico entre los 150 N,.
para el modelo 5.2; se observa un comportamiento más real de la situación ya que, muchos
de los parámetros del sistema de desbobinador son adoptados de los parámetros de
operación naturales de la máquina.
Así mismo el que la hoja de papel se considere como un elemento flexible, la acerca
a su comportamiento real.
5.3 Modelo dinámico de desbobinadores con sistema de control de tensión.
Como tercer modelo tenemos la incorporación del sistema de control de tensión conocido
como balancín. Se describirá el planteamiento y la resolución de dicho modelo,
correspondiente al análisis de los rodillos del desbobinador de una línea convertidora de
0.0000.5001.0001.5002.0002.5003.0003.5004.0004.5005.000
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Radio [m]
[rads/s]
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papel. Así mismo, se analizará el comportamiento del balancín, que es el punto de crítico
del control de tensión de la hoja de papel.
Para el análisis del sistema, se partió de un diagrama elemental de los componentes
que intervienen en el control de tensión de la hoja de papel. La figura 5.10 muestra un
esquema de dicho sistema:
Figura 5.10 Diagrama de desbobinador con sistema de control de tensión, el balancín
En donde,
w, velocidad angular. Rvw =∴
η1, desplazamiento angular de la bobina respecto al movimiento con velocidad constante w.
η2, desplazamiento lineal del balancín de la posición de equilibrio para la fuerza So.
η3, desplazamiento angular del balancín respecto al movimiento con velocidad angular
constante w2. brv
=∴ 2ω
η2 η3
rb
w+ η1
S01, k1 S02, k2
ΔL1
r
v=Const.
L3 k3
e
M
R
97
S01 - tensión de la hoja del segmento de la bobina al balancín.
S02 - tensión de la hoja del segmento del balancín al gofrador.
L1 - longitud de la hoja de la bobina al balancín.
L2 - longitud de la hoja del balancín al gofrador.
L3 - longitud de cambio para el segmento amortiguación del balancín.
k1 - coeficiente de rigidez segmento L1.
k2 - coeficiente de rigidez segmento L2.
k3 - coeficiente de rigidez en el balancín.
rb - radio del rodillo del sistema de balancín.
Se establecen las ecuaciones de cambios de longitud en los tres segmentos del
sistema, considerando los desplazamientos en el mismo, teniendo que para Δl1 se considera
el desplazamiento de la hoja de papel considerando los radios de la bobina y el rodillo del
balancín, así mismo el desplazamiento axial de η2,
Δl1 = Δl01 – (R + e cos wt) η1+ η2 + rb η3 (5.35)
Para Δl2 se consideran los cambios en el desplazamiento axial η2 del balancín así
mismo el efecto de desplazamiento con el radio del rodillo balancín η3.
Δl2 = Δl02 + η2 – rb η3 (5.36)
Por último tenemos Δl3 la cual considera únicamente el desplazamiento
axial del balancín.
Δl3 = Δl03 - η2 (5.37)
Estableciendo la ecuación de Lagrange para el modelo 3 obtenemos,
V = ½ k1 [Δl01 – (R + e cos wt) η1+ η2 + rb η3 ]2 + ½ k2 [Δl02 + η2 – rb η3 ]2 +
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+ ½ k3 [Δl03 - η2 ]2 (5.38)
Derivando la ecuación anterior respecto a η1, η2 y η3, obtenemos,
=∂∂
1ηV - k1 (R + ecos wt) [Δl01 – (R + e cos wt) η1+ η2 + rb η3] (5.39)
=∂∂
2ηV k1 [Δl01 – (R + e cos wt) η1+ η2 + rb η3] + k2 [Δl02 + η2 – rb η3] - k3 [Δl03 - η2 ] (5.40)
=∂∂
3ηV k1 rb [Δl01 – (R + e cos wt) η1+ η2 + rb η3] – k2 rb [Δl02 + η2 – rb η3] (5.41)
Se establecen las ecuaciones de movimiento del sistema, donde Re=ε ,
I1oo
1η + k1 R2 (1+2ε cos wt) 1η - k1 R (1+ε cos wt) 2η +
- k1 r R (1+ε cos w0) 3η = k1 R (1+ε cos w0) Δl1 – Mo ≅ S01 Rε cos 0w t (5.42)
m2 oo
2η + (k1+ k2+ k3 ) 2η - k1 R (1+ε cos wt) 1η + rb (k1- k2) 3η = - k1 Δl1 – k2 Δl2 +
+ k3 Δl3 ≅ - S01 - S02 + S03 ≅ 0 (5.43)
I3 oo
3η + 2br
(k1 + k2) 3η - rb k1 R (1+ε cos wt) 1η + rb (k1- k2) 2η = - k1 rb Δl1 +
+ rb k2 Δl2 ≅ (- S0 + S0) rb ≅ 0 (5.44)
Así mismo las ecuaciones de tensión del sistema son establecidas,
ΔS1 = k1 [ – (R + ε cos wt) η1+ η2 + rb * η3] (5.45)
ΔS2 = k2 [η2 – rb η3] (5.46)
De las 3 ecuaciones de movimiento establecidas (5.42 a 5.44), se toma la
primer parte de la igualdad ordenando los componentes en base a η1 η2 η3, quedando
99
de la siguiente forma:
I1oo
1η + k1R2 (1+2ε cos wt) 1η - k1R (1+ε cos wt) 2η - k1 rb R (1+ε cos wt) 3η =
S01 R (ε cos wt ) (5.47)
-k1 R (1+ε cos wt) 1η + m2 oo
2η + (k1+ k2+ k3 ) 2η + rb (k1- k2) 3η = - S01 - S02 + S03 (5.48)
- rb k1 R (1+ε cos wt) 1η + rb (k1- k2) 2η + I3 oo
3η + 2br
(k1 + k2) 3η = - k1 rb Δl1
+ rb k2 Δl2 ≅ (- S0 + S0) rb (5.49)
En forma matricial obtenemos las siguientes ecuaciones,
[ ] [ ]{ } { }QkMoo
=+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ηη .. (5.50)
Donde,
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3
2
1
00
0
0
00
Im
IM (5.51)
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−+++
−
−−=
221
21
1
21
321
1
1
1
21
)()(
)( rkkrkk
rRk
rkkkkk
Rk
rRkRk
Rkk (5.52)
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
3
2
1
ηηη
η (5.53)
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
00
)cos(01 wtRSQ
ε (5.54)
Dicha matriz es transformada para obtener la(s) frecuencia(s) naturales del sistema
quedando de la siguiente forma:
100
Det = 0)()(
)()(
2321
221
1
21
22321
1
1
1
21
21
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−++−
−
−Ω−+++
−
−−
ΩΙ−+
ob
b
b
b Ikkrrkk
Rrk
rkkmkkk
Rk
rRkRk
Rk
Partiendo de dicha matriz determinante se encontrarán las frecuencias naturales del
sistema a distintos valores de R (Radio de la Bobina) con el fin de encontrar las frecuencias
naturales del sistema y como consecuencia las velocidades críticas del sistema en los
distintos momentos del proceso de consumo de la bobina de papel.
Tenemos que para efectos de cálculo las siguientes variables están establecidas con
los siguientes valores:
k1 = 45.8 kN/m
k2 = 4.3 kN/m
k2 = 10 KN/m
I3 = 0.07 kgm2
rb = 0.06 m
m2 = 40 kg.
Iniciaremos con el valor máximo de Radio de la Bobina; tenemos pues que para,
RMAX = 1m y su respectivo valor de momento de inercia I1 = 1000 kgm2, calculado de la
siguiente forma,
2
21
1RmI = (5.55)
La matriz determinante a resolver queda de la siguiente forma:
101
0*07.0)430042800(*)06.0(
06.0*)430042800(1*06.0*42800
06.0*)430042800(*40)10000430042800(
1*42800
1*06.0*428001*42800
*1000)1(*42800
22
2
22
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−+−
−
−Ω−++
−
−−
Ω−
Resolviendo la matriz,
Det = 0*07.056.169
23102568
2310*4057100
42800
256842800
*100042800
2
2
2
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−
−Ω−
−
−−
Ω−
tenemos, la siguiente ecuación:
( ) 0103.42.0109.21016.1 42413615 =×−Ω−Ω×+Ω×− −−
encontrando, srad6.0≅Ω
Teniendo que la frecuencia natural fue calculada la velocidad de resonancia
paramétrica de la siguiente forma:
RVR
Vcrit
crit Ω=→Ω= 22 (5.56)
La ecuación 5.56 muestra que la resonancia paramétrica ocurre cuando la frecuencia
natural de excitación es dos veces más grande que la frecuencia natural.
Resolviendo dicha ecuación tenemos,
smVcrit 2.1=
El segundo valor del radio de la bobina lo estipulamos a R = 0.75m y su respectivo
momento de inercia I1 = 562.5 kgm2, la matriz determinante a resolver queda de la siguiente
forma:
0*07.0)430042800(*)06.0(
06.0*)430042800(75.0*06.0*42800
06.0*)430042800(*40)10000430042800(
75.0*42800
75.0*06.0*4280075.0*42800
*75.393)75.0(*42800
22
2
22
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−+−
−
−Ω−++
−
−−
Ω−
102
Resolviendo la matriz,
Det = 0*07.056.169
23101926
2310*4057100
32100
192632100
*75.39324075
2
2
2
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−
−Ω−
−
−−
Ω−
tenemos, la siguiente ecuación:
( ) 0101.122.01015.41056.2 32413614 =×−Ω−Ω×−Ω×− −−
encontrando, srad7.0≅Ω
Teniendo que la frecuencia natural fue calculada la velocidad de resonancia
paramétrica utilizando la ecuación 5.56; resolviendo dicha ecuación tenemos,
smVcrit 05.1=
El tercer valor del radio de la bobina lo estipulamos a R = 0.5m y su respectivo
momento de inercia I1 = 125 kgm2, la matriz determinante a resolver queda de la siguiente
forma:
0*07.0)430042800(*)06.0(
06.0*)430042800(5.0*06.0*42800
06.0*)430042800(*40)10000430042800(
5.0*42800
5.0*06.0*428005.0*42800
*125)5.0(*42800
22
2
22
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−+−
−
−Ω−++
−
−−
Ω−
resolviendo la matriz,
Det = 0*07.056.169
23101284
2310*4057100
21400
128421400
*12510700
2
2
2
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−
−Ω−
−
−−
Ω−
tenemos, la siguiente ecuación:
( ) 0105.33.01088.11062.3 32413613 =×+Ω−Ω×−Ω×− −−
Encontrando, srad8.0≅Ω
103
Teniendo que la frecuencia natural fue calculada la velocidad de resonancia
paramétrica utilizando la ecuación 5.56; resolviendo dicha ecuación tenemos,
smVcrit 8.0=
Para el último valor del radio de la bobina lo estipulamos a R = 0.25m y su
respectivo momento de inercia I1 = 15.6 kgm2, la matriz determinante a resolver queda de la
siguiente forma:
0*07.0)430042800(*)06.0(
06.0*)430042800(25.0*06.0*42800
06.0*)430042800(*40)10000430042800(
25.0*42800
25.0*06.0*4280025.0*42800
*62.15)25.0(*42800
22
2
22
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−+−
−
−Ω−++
−
−−
Ω−
Resolviendo la matriz,
Det = 0*07.056.169
2310642
2310*4057100
10700
64210700
*62.152675
2
2
2
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω−
−Ω−
−
−−
Ω−
tenemos, la siguiente ecuación:
( ) 0108.202.11015.6101.1 22413612 =×−Ω−Ω×−Ω×− −−
encontrando, srad01.1≅Ω
Teniendo que la frecuencia natural fue calculada la velocidad de resonancia
paramétrica utilizando la ecuación 5.56; resolviendo dicha ecuación tenemos,
smVcrit 5.0=
Para el análisis en Powersim Constructor©, en las ecuaciones 5.47, 5.48 y 5.49 se
les agrego un coeficiente de amortiguamiento c1, c2 y c3, respectivamente, obteniéndose las
ecuaciones finales del sistema con los coeficientes de amortiguación ya integrados.
104
Dichos coeficientes de amortiguamiento son críticos para el análisis del sistema, ya
que nos permitirán controlar las variables críticas del mismo y obtener parámetros de
operación óptimos en todas las variables.
Con toda la explicación dada anteriormente las ecuaciones quedaron de la siguiente
forma,
I1oo
1η + k1 R2 (1+2ε cos wt) 1η + c1o
1η - k1 R (1+ε cos wt) 2η - k1 rb R (1+ε cos wt) 3η =
S01 Rε cos wt (5.57)
-k1 R (1+ε cos wt) 1η + m2 oo
2η + (k1+ k2+ k3 ) 2η + c2o
2η + rb (k1- k2) 3η =
- S01 - S02 + S03 = 0 (5.58)
- rb k1 R (1+ε cos wt) 1η + rb (k1- k2) 2η + I3 oo
3η + 2br
(k1 + k2) 3η + c3o
3η = - k1 rb Δl1
+ rb k2 Δl2 ≅ (- S0 + S0) rb 0≅ (5.59)
Así mismo se establecieron las siguientes variables como condiciones básicas del
sistema:
e - excentricidad de la bobina, (4cm.)
E - módulo de Young de la hoja de papel, (160 MPa.)
b - ancho de la hoja de papel, (2.68 m.)
h - espesor de la hoja de papel, (0.15 mm.)
k3 - coeficiente de rozamiento, (10 kN/m)
L1 - longitud de hoja de papel en el segmento 1, (1.5 m.)
L2 - longitud de hoja de papel en el segmento 2, (14.9 m.)
M - masa de la bobina de papel, (2000 kg.)
105
M2 - masa de rodillo loco, (35 kg.)
m3 -masa del rodillo balancín, (40 kg.)
S0 - Fuerza de Tensión del sistema en el momento inicial, (100 N)
R - Radio de la Bobina, (1 m.)
rb - radio del rodillo balancín, (0.06 m.)
v - Velocidad del sistema de rodillos, (Rango de 10 a 480 m/min.)
Se determinaron que las variables críticas en el sistema son las siguientes:
1. S01, fuerza de tensión del sistema en el segmento de la bobina al inicio del
balancín.
2. S02, fuerza de tensión del sistema en el segmento del inicio del balancín al inicio
del gofrador.
3. η1, desplazamiento angular respecto al movimiento de la bobina con velocidad
constante.
4. η2, desplazamiento de la posición de equilibrio del balancín para la fuerza So.
5. η3, desplazamiento angular del balancín respecto al movimiento con velocidad
angular constante.
Se realizaron distintos análisis en el sistema estudiando el comportamiento de las
variables críticas del sistema, a continuación se enumeran los análisis hechos:
1. Comprobación de las velocidades críticas del sistema.
a. Comportamiento de las variables críticas al cambio de radio. (4 radios
distintos)
2. Comportamiento de las variables críticas con:
106
a. Ausencia de amortiguamiento.
b. Amortiguamiento mejorable.
c. Amortiguamiento excedido.
d. Amortiguamiento óptimo.
3. Comportamiento de la excentricidad a velocidad crítica, R=1m. ∴ Vcrit =1.2 m/s
en tres casos distintos de comportamiento amortiguado.
4. Comportamiento de las variables críticas al cambio del coeficiente de
amortiguamiento, en cuatro velocidades distintas:
a. c1 –coeficiente de amortiguamiento para la bobina del sistema.-
b. c2.. –coeficiente de amortiguamiento para el balancín en sentido axial-
5.3.1 Análisis confirmatorio de las velocidades críticas del sistema.
Durante el desarrollo del cap. 5.3 se desarrollaron las ecuaciones para calcular las
frecuencias naturales con distintos radios de bobina (0.25m./0.5m./0.75m./1m.
respectivamente); con las cuales se obtuvieron los valores de las velocidades de resonancia
paramétrica, utilizando la ecuación 5.56.
A continuación se observan 2 gráficas, en la primera se tienen los resultados
concentrados de las frecuencias naturales del sistema; así mismo, la segunda expresa las
velocidades de resonancia paramétrica respectivas.
107
Tendencia de Vel. Angular al Cambio de R
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
0.25 0.5 0.75 1
Radio [m]
Vel.
Críti
ca [r
ad/s
]
Figura 5.11 Gráfica del comportamiento de la velocidad angular al cambio de radio.
Observamos que, la tendencia de la velocidad angular es a la baja al aumentar el
radio de la bobina.
Tendencia de Vel. Crítica al Cambio de R
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
0.25 0.5 0.75 1
Radio [m]
Vel.
Crít
ica
[m/s
]
Figura 5.12 Gráfica del comportamiento de la velocidad de resonancia al cambio de
radio.
108
Por otro lado, la velocidad crítica o de resonancia paramétrica aumenta al
incrementarse el radio de la bobina.
Se realizó un completo análisis de las 5 variables críticas establecidas durante todo
el rango de velocidades permisibles para la máquina convertidora de papel.
La forma en como se elaboró la recolección de datos para la elaboración de las
gráficas fue estableciendo en el modelo de Powersim Constructor© condiciones idénticas a
las mencionadas en el segmento 5.3 de dicho capítulo, respetando las siguientes
condiciones:
• Los coeficientes de amortiguamiento se mantendrían en cero.
• La excentricidad del sistema se estipularía a 4 cm.
• El rango de velocidades será de 0.2 a 8 m/s (o de 12 a 480 m/min).
• Se realizarán las pruebas del modelo a los 4 distintos radios de bobina en todo el
rango de velocidades.
A continuación se muestran las gráficas en los 4 radios mencionados del Cap. 5.3.1,
109
Vel. Crítica al Cambio de Radio de Bobina
-50.00
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5
Velocidad [m/s]
S1 [N
]R=1mR=0.75mR=0.5R=0.25m
Figura 5.13 Gráfica del comportamiento de la amplitud de oscilaciones de la tensión 1,
1SΔ , al cambio de la velocidad a distintos radios.
Vel. Crítica al Cambio de Radio de Bobina
-50.00
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Velocidad [m/s]
S2 [N
]
R=1mR=0.75mR=0.5R=0.25m
Figura 5.14 Gráfica del comportamiento de la amplitud de oscilaciones de la tensión 2,
2SΔ , al cambio de la velocidad a distintos radios.
Los comportamientos para las figuras 5.14 y 5.15 corresponden a las tensiones S1 y
S2, que son muy similares en comportamiento. Se corroboran las velocidades de resonancia
paramétricas mostradas en la figura 5.12; a pesar de haber realizado el análisis en el rango
110
completo de operación (0.17 a 7.9 m/s) las gráficas muestran la velocidad hasta los 4.5 m/s
ya que no existen cambios significativos de la tensión a partir de los 2 m/s.
Por último es importante destacar que para las gráficas en azul correspondientes a
R=1m. la velocidad de resonancia genera un delta de tensión de 200 N. Dicho valor supera
la tensión inicial del sistema con lo cual está ocurriendo una holgura en la hoja de papel, lo
cual es indeseable, ya que, esté fenómeno es causante de rupturas de guía cuando la hoja
regresa a su estado optimo de tensión.
Vel. Crítica al Cambio de Radio de Bobina
-50.00
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Velocidad [m/s]
η1 [m
in] R=1m
R=0.75mR=0.5R=0.25m
Figura 5.15 Gráfica del comportamiento de la amplitud de oscilación de η1 al cambio de la
velocidad a distintos radios.
Vemos que, para η1 se respeta el valor de velocidad de resonancia paramétrica en
los 4 radios; también podemos ver que para 3 de los radios su valor pico es el mismo (300
min.) para la cuarta tenemos que es 200 min. Recordemos que η1 corresponde a la vibración
111
propia del segmento de la bobina al inicio del balancín y vemos que existe un rango de
radios en los que el valor pico de η1 es el mismo.
Vel. Crítica al Cambio de Radio de Bobina
-5.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
45.00
-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5
Velocidad [m/s]
η2 [m
m] R=1m
R=0.75mR=0.5R=0.25m
Figura 5.16 Gráfica del comportamiento de la amplitud de oscilación de η2 al cambio de la
velocidad a distintos radios.
Vel. Crítica al Cambio de Radio de Bobina
-500.00
0.00
500.00
1000.00
1500.00
2000.00
2500.00
3000.00
3500.00
4000.00
4500.00
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Velocidad [m/s]
η3 [m
in] R=1m
R=0.75mR=0.5R=0.25m
Figura 5.17 Gráfica del comportamiento de la amplitud de oscilación de η3 al cambio de la
velocidad a distintos radios.
112
Al igual que en demás variables η2 y η3 respetan los valores de velocidad de
resonancia paramétrica establecidos en la figura 5.12 y se observa que, a mayor radio η2 y
η3 aumentan en su velocidad de resonancia paramétrica.
Concluimos pues, de dicho que análisis que los valores pico para las 5 variables
críticas estudiadas están presentes cuando el radio de la bobina es el mayor igual a 1 m.
Con ello determinamos que los análisis posteriores considerarán el radio de bobina en 1m.,
ya que, dicho parámetro establece los valores extremos del sistema del desbobinador.
Respecto a las tensiones la conclusión fundamental se da en el hecho de que, no podemos
exceder un ΔS mayor a los 100 N. ya que estaríamos superando la tensión inicial del
sistema.
5.3.2 Análisis del impacto de los coeficientes de amortiguamiento y su ausencia
En esté segmento analizaremos el impacto de la ausencia o presencia a distintos valores de
coeficiente de amortiguamiento se mostrarán gráficas en donde se integrarán los 4 casos de
estudio realizados:
1. Sin amortiguamiento, donde, c1 =c2 =c3=0
2. Con amortiguamiento, donde, c1 =0.5 Nms, c2 =0.2 Ns/m y c3=0.2 Nms.
3. Con amortiguamiento, donde, c1 =50 Nms, c2 =0.2 Ns/m y c3=0.2 Nms.
4. Con amortiguamiento, donde, c1 =18 Nms, c2 =0.2 Ns/m y c3=0.2 Nms.
La forma en como se elaboró la recolección de datos para la elaboración de las
gráficas fue estableciendo en el modelo de Powersim Constructor© condiciones idénticas a
113
las mencionadas en el segmento 5.3 de dicho capítulo, respetando las siguientes
condiciones:
• La excentricidad del sistema se estipularía a 4 cm.
• El Radio de Bobina será de 1 m.
• El rango de velocidades será de 0.2 a 8 m/s (o de 12 a 480 m/min).
• Se realizarán las pruebas del modelo a los 4 distintos amortiguamientos en todo el
rango de velocidades.
A continuación se muestran las gráficas de los cuatro casos de estudio para la
tensión S1, las figuras 5.18 y 5.19 muestran el comportamiento de la tensión S1 sin
amortiguamiento y con amortiguamiento mejorable, podemos observar que en ambas se
supera el límite permisible de la tensión de 100 N. Como hemos explicado anteriormente,
esto se traduce en la generación de holgura que es abruptamente cambiado al aumentar la
velocidad. En ambas gráficas se tiene el valor crítico a los 1.2 m/s reconfirmando que es la
velocidad de resonancia paramétrica.
206.5 N
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
0.17 0.5 0.9 1.2 1.2 1.4 1.7 1.9 2.7 3.5 4.3 5.1 5.9 6.7 7.5
Velocidad [m/s]
[N]
Figura 5.18 Gráfica del comportamiento de S1 sin amortiguamiento, c1 =c2 =c3=0.
114
150 N
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
0.17 0.5 0.9 1.2 1.2 1.4 1.7 1.9 2.7 3.5 4.3 5.1 5.9 6.7 7.5
Velocidad [m/s]
[N]
Figura 5.19 Gráfica del comportamiento de S1 con amortiguamiento c1 =0.5 Nms, c2 =0.2
Ns/m y c3=0.2 Nms.
Para las gráficas 5.21 tenemos que el valor pico de tensión está por debajo del límite
permisible, pero esto es debido a un enorme coeficiente de amortiguamiento c1=50 Nms.
Este valor se traduce en un alto valor económico de los componentes para dicho
amortiguamiento.
60 N
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
0.17 0.5 0.9 1.2 1.4 1.7 2.3 3.1 3.9 4.7 5.5 6.1 6.9 7.5
Velocidad [m/s]
[N]
Figura 5.20 Gráfica del comportamiento de S1 con amortiguamiento c1 =50 Nms, c2 =0.2
Ns/m y c3=0.2 Nms.
115
Finalmente, tenemos que la gráfica (figura 5.21) que muestra un amortiguamiento
que permite trabajar en los límites permisibles de tensión trabajando con un coeficiente de
amortiguamiento aceptable.
100 N
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
0.17 0.5 0.9 1.2 1.2 1.4 1.7 1.9 2.7 3.5 4.3 5.1 5.9 6.7 7.5
Velocidad [m/s]
[N]
Figura 5.21 Gráfica del comportamiento de S1 con amortiguamiento c1 =18 Nms, c2 =0.2
Ns/m y c3=0.2 Nms.
Para S2 se tiene un comportamiento idéntico así mismo las observaciones y
conclusiones son idénticas por lo cual, no se incorporarán las gráficas al capítulo; para su
consulta dirigirse al Apéndice 8.
Continuando con el análisis de las variables críticas mostraremos las gráficas de
comportamiento obtenidas para η1.
116
0.00
100.00
200.00
300.00
400.00
500.00
600.00
0.17 0.5 0.9 1.2 1.4 1.7 1.9 2.7 3.5 4.3 5.1 5.9 6.7 7.5
Velocidad [m/s]
[min
]
Figura 5.22 Gráfica del comportamiento de η1 sin amortiguamiento c1 =c2 =c3=0
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
300.00
350.00
0.17 0.5 0.9 1.2 1.4 1.7 1.9 2.7 3.5 4.3 5.1 5.9 6.7 7.5
Velocidad [m/s]
[min
]
Figura 5.23 Gráfica del comportamiento de η1 con amortiguamiento c1 =0.5 Nms, c2 =0.2
Ns/m y c3=0.2 Nms.
Observando las figuras 5.23 y 5.24 vemos que, sobrepasan el límite permisible, que
para η1 se localiza a los 210 min. Se observa en la figura 5.24 que al tener c1=0.5 Nms. no
hay mucho efecto de amortiguamiento casi como si no existiese.
117
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
0.17 0.5 0.9 1.2 1.4 1.7 1.9 2.7 3.5 4.3 5.1 5.9 6.7 7.5
Velocidad [m/s]
[min
]
Figura 5.24 Gráfica del comportamiento de η1 con amortiguamiento c1 =50 Nms, c2 =0.2
Ns/m y c3=0.2 Nms.
0.00
50.00
100.00
150.00
200.00
250.00
0.17 0.5 0.9 1.2 1.4 1.7 1.9 2.7 3.5 4.3 5.1 5.9 6.7 7.5
Velocidad [m/s]
[min
]
Figura 5.25 Gráfica del comportamiento de η1 con amortiguamiento c1 =18 Nms, c2 =0.2
Ns/m y c3=0.2 Nms.
118
Observando la figura 5.25 vemos el mismo efecto de amortiguamiento utilizando
una c1=50 Nms, lo cual no es factible en el sistema del desbobinador por el gasto
económico así mismo por el rediseño que implicaría que lo hace poco atractivo.
Por otro lado, tenemos la figura 5.26 en la cual vemos que únicamente existe un
pico a los 1.2 m/s el cual está dentro de los límites permisibles del sistema. Vemos que
después de los 2.3 m/s η1 no presenta efecto significativo.
η2 y η3 presentan un comportamiento idéntico que η1, difiriendo de está por el límite
permisible que para η2 = 21 mm. y η3 = 2100 min. Favor de revisar el Apéndice 8 para la
revisión puntual de algún caso.
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
0.17 0.5 0.9 1.2 1.4 1.7 1.9 2.7 3.5 4.3 5.1 5.9 6.7 7.5
Velocidad [m/s]
[mm
]
Figura 5.26 Gráfica del comportamiento de η2 con amortiguamiento c1 =18 Nms, c2 =0.2
Ns/m y c3=0.2 Nms.
119
0.00
500.00
1000.00
1500.00
2000.00
2500.00
0.17 0.5 0.9 1.2 1.4 1.7 1.9 2.7 3.5 4.3 5.1 5.9 6.7 7.5
Velocidad [m/s]
[min
]
Figura 5.27 Gráfica del comportamiento de η3con amortiguamiento c1 =18 Nms, c2 =0.2
Ns/m y c3=0.2 Nms.
5.3.3 Análisis del impacto del cambio en la excentricidad con los coeficientes de
amortiguamiento y su ausencia
En este segmento de la tesis se realizará un análisis del comportamiento de la excentricidad
a velocidad crítica Vcrit =1.2 m/s ∴ R=1m., en tres casos distintos de comportamiento
amortiguado:
a. Sin amortiguamiento, en donde, c1 =c2 =c3=0
b. Amortiguamiento, en donde, c1 =18 Nms, c2 =0.2 Ns/m y c3=0.2 Nms
c. Amortiguamiento, c1 =50 Nms, c2 =0.2 Ns/m y c3=0.2 Nms
Se decidió trabajar a está velocidad, ya que, como hemos visto en el desarrollo del
este capítulo, es la velocidad a la que se presentan valores extremos de comportamiento de
120
las variables críticas, las figuras 5.29 y 5.30 muestran, el comportamiento de las tensiones
del sistema desde excentricidades de 0.01m. a 0.08m.
Comportamiento S1 a distintas excentricidades en Vcrit
0.00
100.00
200.00
300.00
400.00
500.00
600.00
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
Excentricidad [m]
S1 [N
] Sin amortiguamientoAmortiguadoSobreamortiguado
Figura 5.28 Gráfica del comportamiento de la tensión S1 al aumento de la excentricidad.
Comportamiento S2 a distintas excentricidades en Vcrit
0.00
100.00
200.00
300.00
400.00
500.00
600.00
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
Excentricidad [m]
S2 [N
] Sin amortiguamientoAmortiguadoSobreamortiguado
Figura 5.29 Gráfica del comportamiento de la tensión S2 al aumento de la excentricidad.
Vemos que en las dos figuras anteriores, para los tres casos de amortiguamiento se
rebasa el límite permisible de tensión (100 N) a los 0.02 m. para el caso sin
amortiguamiento, 0.045 m. para el caso de amortiguamiento óptimo y 0.55 m. para el caso
de sobreamortiguado; en los tres casos no sé observa una tendencia a la alza de dichas
121
tensiones, por lo cual se concluye que en el rango de excentricidades escogido, el aumento
de la tensión es directamente proporcional al aumento de la excentricidad de la bobina.
Cabe aclarar que el rango típico de excentricidades en una bobina para el caso de
estudio oscila entre los [0 - 0.04] m. con lo cual vemos que nuestro control óptimo
realmente está funcionando apropiadamente.
En las figuras 5.31 y 5.32 se observan los comportamientos de η1 y η2 que son muy
similares, ambos rebasan el límite permisible (210 min. y 21 mm.) en el caso sin
amortiguamiento a los 0.2m de excentricidad. Para el caso con amortiguamiento óptimo
vemos que ambas oscilaciones lo realizan a los 0.04m y para el caso de
sobreamortiguamiento ocurre a los 0.53 m. Las tendencias en cualquiera de los casos es a la
alza en el rango que se escogido monitorear.
Comportamiento η1 a distintas excentricidades en Vcrit
0.00
200.00
400.00
600.00
800.00
1000.00
1200.00
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Excentricidad [m]
η1 [m
in] Sin amortiguamiento
AmortiguadoSobreamortiguado
Figura 5.30 Gráfica del comportamiento de las vibraciones η1 al aumento de la
excentricidad.
122
Comportamiento η2 a distintas excentricidades en Vcrit
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
Excentricidad [m]
η2 [m
m] Sin amortiguamiento
AmortiguadoSobreamortiguado
Figura 5.31 Gráfica del comportamiento de las vibraciones η2 al aumento de la
excentricidad.
Por último, en la figura 5.33, para η3 tenemos que los 3 casos rebasan el límite permisible
(2100 min.) a los 0.015m. para el caso sin amortiguamiento, 0.035m. para el caso con
amortiguamiento óptimo y 0.045 m. para el caso con sobreamortiguamiento. A pesar de
que se rebasa el límite permisible en el caso de amortiguamiento óptimo antes del valor
máximo de excentricidad de operación normal (0.04m.) hay que considerar que dicha
variable puede es controlable a través de la disminución en la vibración de η2, por tanto se
considera óptima dichos valores de coeficientes de amortiguamiento.
Finalmente e idénticamente como las 4 variables anteriores la tendencia de los tres
casos es a la alza al aumentar la excentricidad.
123
Comportamiento η3 a distintas excentricidades en Vcrit
0.00
2000.00
4000.00
6000.00
8000.00
10000.00
12000.00
14000.00
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
Excentricidad [m]
η3 [m
in] Sin amortiguamiento
AmortiguadoSobreamortiguado
Figura 5.32 Gráfica del comportamiento de las vibraciones η3 al aumento de la
excentricidad.
5.3.4 Análisis del impacto del cambio en los coeficientes de amortiguamiento de
manera aislada.
En está parte se revisará el comportamiento de las variables críticas al cambio de los
coeficientes de amortiguamiento, de manera aislada, es decir modificando una sola de las c
a la vez, en cuatro velocidades distintas, [0.17, 1.2, 4, 7.9] m/s., con el fin de entender su
comportamiento e impacto sobre mencionadas variables.
Tenemos que para c1 se realizo el análisis en el rango de 1 a 1000. Para estos casos
los valores quedaron establecidos para c2 =0.2 Ns/m; c3=0.2 Nms.
124
Comportamiento S1 al cambio de c1
18
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
160.00
0 200 400 600 800 1000
c1
[N]
Vel. 7.9 m/sVel. 4 m/sVel. 1.2 m/sVel. 0.17 m/s
Figura 5.33 Gráfica del comportamiento de S1 al aumento c1, donde c2 =0.2 Ns/m; c3=0.2
Nms.
Observando la figura 5.34, podemos ver que el valor de c1=18 Nms, es el
permisible para los valores de operación de la máquina, a la velocidad de resonancia
paramétrica – que es la mayor de todas -, ya que, se encuentra cercano al límite permisible
de 100 N.
Las cuatro variables restantes se observa una curva idéntica de comportamiento
respetando en c1=18 Nms. como valor de operación óptimo y que se encuentra cercano al
límite permisible de operación. No se incluirán dichas gráficas en el capítulo, para mayor
detalle de las mismas dirigirse al apéndice 9.
Se concluye que, el establecimiento de c1=18 Nms., es adecuado ya que controla las
distintas variables críticas del sistema en el rango de velocidad de operación de la máquina
125
convertidora de papel. Si tenemos valores menores de c1=18 Nms. los cambios en el
amortiguamiento no son perceptibles de manera sustancial que nos lleve a escogerán valor
menor al estipulado.
Para c2 el rango de análisis cubrió de valores c2 entre 0.2 a 200.. Para estos casos los
valores quedaron establecidos para c1 =18 Nms., c3=0.2 Nms. En la figura 5.35 se observa
que los valores entre los 20 a 50 [Ns/m] en c2 superan el límite permisible de tensión 100
N. Entre los 50 y 100 de c2 se disminuye casi un 50% dicha tensión, pero no podemos
tomar valores en dicho rango por dos razones principalmente:
1. Dicho amortiguamiento c2 es dado por un pistón neumático el cual, permite valores
de amortiguamiento muy bajos.
2. Por otro lado el costo beneficio de colocar un c2 entre los 50 y 100 [Ns/m] no es
atractivo.
Comportamiento S1 al cambio de c2
0.2
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
0 50 100 150 200
c2
[N]
Vel. 7.9 m/s Vel. 4 m/sVel. 1.2 m/sVel. 0.17 m/s
Figura 5.34 Gráfica del comportamiento de S1 al aumento c2, donde c1 =18Nms
c3=0.2 Nms
126
Las cuatro variables restantes se observa una curva casi idéntica de comportamiento,
respetando la mismo patrón en el comportamiento; respetando en c2=0.2 Ns/m como valor
de operación óptimo y que se encuentra cercano al límite permisible de operación. No se
incluirán dichas gráficas en el capítulo, para mayor detalle de las mismas dirigirse al
apéndice 9.
Se concluye pues que el valor de operación para c2 puede ser fijado a 0.2 Ns/m. el
cual será el utilizado para el resto de la tesis. En lo que respecta a los restantes coeficientes
de amortiguamiento quedarán fijados en los siguientes valores:
• c1= 18 Nms.
• c3 = 0.2 Nms.