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Capítulo 5 Operaciones con números fraccionarios

n su libro Álgebra,1 Moreno enfatiza el mani-pulo de los números fraccionarios, explicándo-

lo a través de muchos y muy bonitos dibujos. Este libro es recomendable para todo estudiante del álgebra. Su uso de la geometría como “el hilo que da coherencia al proceso de ir recorriendo el cono-cimiento matemático” ofrece una óptica especial-mente útil para cualquier estudiante que tenga aptitudes más visuales que numéricas.

En este capítulo: • La fracción como elemento

del idioma matemático − Significados visuales o geométricos − Significados numéricos

• Las operaciones con fracciones − Cómo usar la calculadora para comprobar cálculos con fraccio-

nes − La reducción de fracciones − La multiplicación − La división − La suma y la resta − La potenciación y radicación.

• Observaciones sobre fracciones algebraicas

• Ejercicios y resoluciones

• Resumen del capítulo

La fracción como elemento del idioma matemático De seguro reconoces que a muchas palabras en el idioma del español tienen múltiples definiciones o significados. Entonces, el lector u oyente de una palabra tal, tiene que (1) reconocer que sí, tiene múltiples signifi-cados, y (2) tomar en cuenta el contexto en el que lee o escucha la pa-labra para saber cuál significado tenga en el comunicado.

Aunque el idioma de las matemáticas es reducido y más preciso que el idioma español, puede ocurrir que un símbolo matemático tenga más

1. José Luis Moreno Aranda, Álgebra, McGraw-Hill Interamericana Editores, ISBN 970-10-3516-X, 2002.

E

Un repaso del álgebra

5-2

de un significado. Así es también en el caso de las fracciones. Entonces, antes de tratar las operaciones con fracciones, vale la pena examinar las múltiples ideas que pueden comunicarse escribiendo una fracción, o (la otra cara de la moneda) los múltiples significados que el lector pueda tener que tomar en cuenta al leer una fracción.

Sin embargo, ¡no temas! Las operaciones se efectuarán de la misma manera sin importar el significado de la fracción en cuestión. Significados visuales o geométricos Primero, tratamos los significados que probablemente aprendieras al presentarte por primera vez el concepto de una fracción en su niñez. Consideremos la fracción “¾”. ¿Qué son las ideas que pueden comuni-carse por medio de este símbolo? Una idea es “tres de las partes que resultan al dividir un objeto (digamos una galleta) en 4 partes iguales”. Por ejemplo, como en este dibujo: Una idea estrechamente relacionada a ésta sería “la porción de galleta que cada persona recibe al dividir 3 galletas igualmente entre 4 perso-nas”. Los dibujos correspondientes a esta idea son

Resulta que cada persona recibe ¾ de una galleta. Un puente entre significados geométricos o visuales, y significados numéricos Por supuesto, la manera que acabo de describir no es la única para re-partir 3 galletas entre 4 personas: también se puede hacerlo pulverizan-do las galletas, pesando el polvo, y repartiéndolo entre las personas. (Por pésimas que sean las buenas modales de esta técnica, la lógica y las matemáticas son impecables.)

Primero, de cada galleta se saca un cuarto.

Después, se arman las 3 piezas que sacamos para tener 4 porciones iguales: a saber, las tres galletas que mutilamos, más la porción que armamos.

Capítulo 5: Números fraccionarios

5-3

Digamos que cada galleta pesa 20 gramos. Entonces, 3 × 20 gramos = 60 gramos de polvo de galleta en total. Al repartirlo, cada persona reci-birá 60 ÷ 4 = 15 gramos de polvo, peso igual al de ¾ de una galleta. Significados numéricos Con decir “significados numéricos” de ninguna manera implico que no hay puntos de vista geométricos que corresponden a los conceptos que aporto a continuación. Moreno proporciona puntos de vista tales en su libro arriba mencionado.

Primeros, notemos que 34 = 3 ×

14

Es decir, por 3

4 puede substituirse 3 × 14 en cualquiera ocasión en la

que esta última nos convenga. Esta equivalencia es un ejemplo de una identidad que aprendimos en el Capítulo 2: ab = a × 1b .

También tenemos 34 = 3 ÷ 4

Es decir, 3

4 puede interpretarse como la división 3 ÷ 4, y ésta última

puede substituirse por la fracción 34 cuando esta substitución nos con-

venga. Además, cualquiera división a ÷ b puede escribirse como la frac-ción ab .

Por fin, tenemos 34 = 0.375

Es decir, el equivalente decimal de la fracción 34 es 0.375, el cual pue-de comprobarse efectuando la división 3 ÷ 4. (Por favor, hazlo en tu cal-culadora.) Entonces, el equivalente decimal de cualquiera fracción a

b puede encontrarse efectuando la división a ÷ b.

Cabe mencionar que estas equivalencias no son curiosidades, sino herramientas altamente útiles. Por conocerlas, el estudiante puede hallar una manera de resolver un problema aunque desconozca la manera “usual”. Por ejemplo, un alumno mío que todavía no sabía dividir frac-ciones entre números enteros se enfrentó un día con un problema pare-cido al siguiente:

2116 ÷ = ¿?


5-4

Desconociendo todavía la técnica más directa, él convirtió la fracción 611

en 6 × 111 , y convirtió el divisor 2 en el denominador de una fracción:

2116 ÷ =

21116 ×

Después, redujo esta “mega-fracción” a su mínima expresión sacando un factor de 2 en el numerador y en el denominador, y luego cancelan-do.

= 2

11163

/

×/ .

De esta manera, obtuvo

= 1113× ,

la cual convirtió en

= 113

,

ya que ab y a × 1b son iguales. Sumamente inusual, hasta extraño, pero ingenioso, y lo que es más, completamente fundamentado en las propiedades de las fracciones, y por lo tanto,

¡CORRECTO! Operaciones con fracciones Cómo usar la calculadora para comprobar cálculos con fracciones Antes de tratar las operaciones con fracciones, vale la pena mostrarte cómo comprobar las respuestas usando la calculadora. Esto se hace con base en las equivalencias arriba mencionadas entre fracciones y los decimales que les corresponden.

Por ejemplo, supongamos que se te pidiera hacer la siguiente suma: 23 +

45 = ¿? ,

y que al efectuarla, ésta te saliera como


5-5

23 +

45 =

2215 .

Entonces, ¿cómo comprobarla?

Primero, se convierten los sumandos en sus equivalentes decima-

les, de 6 cifras, para luego sumarlos:

23 +

45

= 2 ÷ 3 + 4 ÷ 5 = 0.666667 + 0.800000 = 1.466667 . Ahora, se convierte la respuesta a comprobar, o sea 22

15 , en su forma decimal:

2215 = 22 ÷ 15 = 1.466667 .

Ya que ésta es igual a la suma de los equivalentes decimales de 23 y

45 , nuestra respuesta es correcta.

Como otro ejemplo, comprobemos la cuenta 25 · 37 = 635 :

25 ×

37

= 2÷5 × 3÷7 = 0.400000 × 0.428571 = 0.171428 .

Ahora, comparamos ésta con el equivalente decimal de la respuesta que comprobar:

635 = 6 ÷ 35 = 0.171429 .

Bueno, ésta no coincide exactamente con 0.171428. Entonces, ¿qué decir sobre si 25 · 37 es, en verdad, igual a 6

35 ? En pocas palabras, si el equivalente decimal difiere solamente en la última de las 6 cifras, o has-ta en las últimas dos de ellas, la respuesta está bien.

La reducción de fracciones Por lo general, se nos pide presentar un número fraccionario en su “mínima expresión”. ¿Qué quiere decir esto?

¿Qué hacer cuando el equivalen-te decimal de la respuesta no coincide exactamente con el resultado de la cuenta hecha con los equivalentes decimales de los sumandos, multiplicandos, etc.? Si el equivalente decimal difie-re solamente en los últimos dos de las 6 cifras, está bien.

El equivalente decimal de la fracción 2

3 es una cadena infinita de cifras “6”. O sea,

0.666666666666666666…

Sin embargo, es suficiente aproximarla con una precisión de 6 cifras:

0.666667 .


5-6

Consideremos la fracción 24 , y un dibujo que la corresponde:

Se ve —espero— que 24 es la misma fracción como 12 . Si lo dudamos, podemos verificar la equivalencia usando la calculadora:

24 = 2 ÷ 4 = 0.5, y 12 = 1 ÷ 2 = 0.5 también.

¿Por qué? En la siguiente sección, sobre la multiplicación de las fraccio-nes, aprenderemos que

12 · 22 = 24 ,

y ya que 22 = 1, se sigue que

12 · 1 =

24 ,

y puesto que

12 · 1 =

12 ,

12 = 24 .

Con base en las mismas propiedades de los números, podemos de-

cir que 24 =

1 · 22 · 2 =

1 · 2/ 2 · 2/

= 12 ,

o igualmente,

24 =

2 ÷ 24 ÷ 2 =

12 .

Estos son ejemplos de una regla general:

Cuando un número es un factor del numerador al igual que del de-nominador de una fracción dada, se puede “reducir” la fracción divi-diendo su numerador y denominador entre dicho “factor común”.

Después, se puede examinar la “fracción reducida” para saber si todavía tiene otro(s) factor(es) común(es). Si todavía tiene, se puede dividir el numerador y denominador entre ello(s). Este proceso se repite hasta que el numerador y denominador ya no tienen ningún factor común. Una vez alcanzada esta condición, se dice que la frac-ción está “en su mínima expresión”.

Una fracción está “en su mínima expresión” cuando su numerador y su denominador no tienen ningún factor común.


5-7

Otros ejemplos (deberías comprobar cada uno usando la calculado-

ra): 69 =

6 ÷ 39 ÷ 3 =

23 .

1216 =

12 ÷ 416 ÷ 4 =

34 .

4860 =

48 ÷ 1260 ÷ 12 =

45 .

¡Fíjate que no es necesario reducir la fracción dada, en un solo paso!

Por ejemplo, hagamos de cuenta que no notamos que la fracción 4860

(ésta fue el último ejemplo) puede reducirse en un solo paso a 45 . En

cambio, digamos que sólo notamos que 48 y 60 tienen 2 como un factor común. Así que hiciéramos

4860 = 48 ÷ 2

60 ÷ 2 = 2430 .

Ahora, se nota que 24 y 30 tienen el común factor 2:

2430 = 24 ÷ 2

30 ÷ 2 = 1215 .

Pero 3 es un factor común de 12 y 15, por lo que hicimos

1215 = 12 ÷ 3

15 ÷ 3 = 45 .

¡Ya obtuvimos el mismo resultado que antes! Favor de notar que pa-

ra reducir 4860 a 4

5 en un solo paso, tuvimos que dividir el numerador y denominador entre 12. En el camino que acabamos de seguir, dividimos sucesivamente entre 2, 2, y 3, el producto de los cuales es el mismo 12. Esto no es una coincidencia.

¿Cómo se multiplican las fracciones? ¡Es muy fácil! Lo que es más, la manera obvia es la correcta. Mira este ejemplo:

23 · 45 = 2 · 4

3 · 5 = 815 .

El denominador del producto es el producto de los denominadores.

El numerador del producto es el producto de los numeradores.


5-8

Vale la pena comprobar esta respuesta efectuando el mismo cálculo con los equivalentes decimales de las fracciones.

23 ×

45

= 2 ÷ 3 × 4 ÷ 5 = 0.666667 × 0.800000 = 0.533334 .

En cambio, la forma decimal de la respuesta, o sea, 815 se encuentra

como 815 = 8 ÷ 15 = 0.533333 .

Ya que ésta difiere al 0.533334 solamente en la última de las 6 cifras, la cuenta está bien. Otros ejemplos:

25 · 37 = 2 · 3

5 · 7 = 635 4

9 · 57 = 4 · 59 · 7 = 20

63 58 · 34 = 5 · 3

3 · 4 = 1532 .

Todo esto es fácil, pero hay dos casos que ocasionan problemas a l@s alumn@s. Primero, ¿cómo multiplicar una fracción y un número en-tero?

3 · 45 = ¿?

Un consejo muy bueno de Polya es:

Al encontrarse ante un problema que no sabes resol-verlo, busca la manera de trasformarlo en un problema que sí sabes resolverlo.

Entonces, ¿puedes transformar esta multiplicación en una que sabes resolver? Por ejemplo, ¿hay multiplicaciones que sí sabes efectuar? Por supuesto: puedes multiplicar dos enteros, dos números decimales, o dos fracciones.

Posiblemente esta pregunta hiciera ocurrirte la posibilidad de trans-formar la cuenta 3 · 1

5 en un producto de dos números enteros. Es ra-zonable la idea, ya que 3 es un número entero. Sin embargo, parece no existir la manera de cambiar 15 en un número entero, por lo que bus-camos otra idea.

¿Que tal si transformamos la cuenta en un producto de dos números decimales? La forma decimal de la fracción 1

5 se encuentra con facili-

¿Cómo multiplicar una fracción y un número entero?


5-9

dad interpretando ésta como 1 ÷ 5, con el resultado de que 15 = 0.2. Así que

3 · 15 = 3 · 0.2 = 0.6 .

Esto es cierto, y no hay nada del malo en ello. Sin embargo, quisiéramos también encontrar una técnica que dé una respuesta en la forma de una fracción. Entonces consideramos la tercera posibilidad: la de transformar 3 · 15 en una multiplicación de fracciones. El factor 15 sí es una fracción, entonces sólo nos falta cambiar el 3 en una fracción. Pero, ¿cuál frac-ción?

Si estás pensando “62 ” , o algo por el estilo, ¡muy bien! Pero la posibi-

lidad más simple es la “fracción”

31 .

¡Ésta, sí, es una fracción!

Entonces,

3 · 15 = 31 · 15 = 35 . Al comprobar esta última interpretándola como 3 ÷ 5, se encuentra que la forma decimal de la respuesta 3

5 es 0.6, la cual obtuvimos antes

transformando el 15 en su equivalente decimal, o sea, 0.2. Practiquemos un poco esta técnica: 2 · 13 = 21 · 13 = 2 · 1

1 · 3 = 23 4 · 37 = 41 · 37 = 4 · 31 · 7 = 12

7 23 · 5 = 23 · 51 = 2 · 5

3 · 1 = 103

311 · 7 = 3

11 · 71 = 3 · 711 · 1 = 21

11 Un segundo caso que ocasiona problemas a alumn@s es la multipli-

cación de números mixtos. Por ejemplo, 11

2 · 213 = ¿ ? .

¿Cómo multiplicarlos? Otra vez, intentemos cambiar este problema en uno que sabemos resolverlo. Una manera de cambiarlo sería el de dar-nos cuenta que 1 12 = 1 + 12 , y 21

3 = 2 + 13 , de manera que

112 · 21

3 = (1 + 12 ) · [2 + 13 ] .

¿Cómo multiplicar números mixtos?


5-10

Posiblemente ya supieras que este último puede desarrollarse como

(1 + 12 ) · [2 + 13 ] = 1·2 + 1· 13 + 12 · 2 + 1

2 · 13 = 2 + 1

3 + 1 + 16

= 3 + 1

3 + 16 .

Ahora, podríamos encontrar la respuesta sumando 3, 13 , y 1

6 . Trataré cómo sumar y restar fracciones más tarde. Por lo pronto lo que nos im-porta es que sí hemos encontrado una técnica para multiplicar números mixtos, aprovechando nuestros conocimientos sobre las propiedades de los números reales.

Sin embargo, nuestra técnica es bastante molesta. Entonces, ¿po-demos encontrar una que sea más directa? Posiblemente ya hubieras estado pensando, “Logramos multiplicar fracciones con números enteros cambiando ellos en ‘fracciones’. A la mejor, podamos multiplicar fraccio-nes con números mixtos cambiando ellos, también, en fracciones.”

Si pensaste así, ¡qué bueno! Porque esto, sí, es lo que se hace: se cambia el número mixto en una fracción impropia. Entonces,

11

2 · 213 = 32 · 73

= 72

= 31

2 .

Hagamos una multiplicación más:

62

5 · 423 = 32

5 · 143

= 448

15

= 2913

15 .

¿Cómo se dividen las fracciones? Por lo general, se enseñan dos técnicas para dividir fracciones: “La Mul-tiplicación Cruzada” y “La Ley de la Torta” ( o de la Tortilla). Haremos la división

23 ÷ 45

de ambas maneras.

Primero, por multiplicar cruzado:

¿Cómo se cambia un número mixto en una fracción impropia?

Paso Ejemplo: 234

1. Multiplicar el entero por el numera-dor de la fracción.

El entero es 2. El denomina-dor es 4. En-tonces, 2 · 4 = 8.

2. Al resultado del primer paso, sumar el numera-dor de la fracción.

El resultado del primer paso fue 8. El numerador de la fracción es 3. Entonces, 8 + 3 = 11.

3. Escribir el resultado del Paso 2 sobre el de-nominador de la frac-ción. Ya tienes la fracción im-propia equi-valente al número mixto.

El resultado de paso 2 fue 11. El denomina-dor de la frac-ción es 4. Entonces, la fracción im-propia equiva-lente a 23

4 es

114 .


5-11

23 ÷ 45 = 2

3 45 = 2 · 53 · 4 = 10

12 , la cual, al reducirla,

= 56 .

Y ahora, por La Ley de la Torta:

23 ÷ 45 = 2

3 · 54

= 2 · 53 · 4 = 10

12 = 56 .

Comprobemos esta respuesta:

23 ÷

45 =

= 2 ÷ 3 ÷ 4 ÷ 5 = 0.666667 ÷ 0.800000 = 0.833334 ,

y 56 = 5 ÷ 6 = 0.833333. Ya que éstas se discrepan solamente en la últi-

ma de las 6 cifras, la cuenta está bien.

Intentamos unas cuantas más. Favor de comprobar los resultados con la calculadora.

3 ÷ 15 = 31 15 = 3 · 51 = 15

11

2 ÷ 213 = 32

73 = 3 · 3

2 7 = 914 .

El denominador del producto es el producto de los números azules.

El numerador del producto es el producto de los números rojos.

Se cambia la división en una multiplicación.

Se voltea el divisor (o sea, la segunda frac-ción).

OTRA VEZ¿Cómo se cambia un número mixto en una fracción impropia?

Paso Ejemplo: 234

1. Multiplicar el entero por el denomi-nador de la fracción.

El entero es 2. El denomina-dor es 4. En-tonces, 2 · 4 = 8.

2. Al resultado del primer paso, sumar el numera-dor de la fracción.

El resultado del primer paso fue 8. El numerador de la fracción es 3. Entonces, 8 + 3 = 11.

3. Escribir el resultado del Paso 2 sobre el de-nominador de la frac-ción.

Ya tienes la fracción im-propia equiva-lente al núme-ro mixto.

El resultado de paso 2 fue 11. El denomina-dor de la frac-ción es 4. Entonces, la fracción im-propia equiva-lente a 23

4 es

114 .


5-12

325 ÷ 42

3 = 175 ·

143 = 17 · 3

5 · 14 = 5170

¿Cómo se suman las fracciones? Tratemos un problema específico:

12 +

13 = ¿?

Cuando trato este problema en la sala, uso un juego de círculos de fiel-tro cortados en mitades, tercios, cuartos, quintos, sextos, octavos, etc. Este juego me permite ilustrar la suma 1

2 + 13 uniendo los pedazos de

fieltro que corresponden a estas fracciones:

Entonces ¿cuál es la fracción que corresponda a la “unión”, o sea, a la suma? Pensándolo un poco, parece razonable intentar saberla pregun-tando, “¿Cuál es la parte de un círculo que falta para que la ‘unión’ sea un círculo completo?”

Jugando un poco con los fieltros, se encuentra por tantear y fallar que la parte faltante es igual a una de las piezas de fieltro que represen-tan sextos:

O igualmente, que esa “unión” de la mitad y del tercio puede ser cubierta

exactamente con cinco de los sextos: De manera que

+ =13

12

16

+ =13

12

56

16

16

16

16

16


5-13

Entonces, un medio más un tercio es cierta cantidad de sextos. ¿Cómo puede ser así? Y ¿cómo podemos encontrar la manera de entenderlo?

Ya que la suma de 12 y 13 es cierta cantidad de sextos, es razona-

ble intentar entenderlo por convertir 12 y 13 en sextos también. Jugando un poco más con los fieltros, se encuentra que un medio son tres sextos, y un tercio son dos sextos, de modo que

36 +

26 =

56

Esto también puede verificarse usando la calculadora para hacer la misma suma con los números decimales correspondientes a 12 y

13 :

12 +

13 =

= 1÷2 + 1÷3 = 0.500000 ÷ 0.333333 = 0.833333 , y 56 = 5 ÷ 6 = 0.833333 .

Bueno, los fieltros nos sirvieron bien, pero no se puede contar con tener un juego de fieltros que trate toda fracción posible, por lo que pretende-mos usar estas observaciones y resultados para desarrollar un sistema para sumar fracciones.

Primero, ya sabemos que se tiene que cambiar las fracciones por sumar en fracciones que tienen el mismo denominador. Esta observa-ción cuadra con lo que mencioné en Capítulo 2: la suma de fracciones se apoya en la propiedad distributiva. En este caso,

36 + 26 =

16 ·(3 + 2) = 16 · 5 =

56 .

Resulta que el denominador que buscamos debe ser un múltiplo común de los denominadores de las fracciones a sumar. Una vez encontrado un denominador adecuado, ambas fracciones por sumar se cambian en “fracciones equivalentes” que tienen dicho denominador. Después, se suman los numeradores de las “fracciones equivalentes”, y de ser nece-sario, se reduce la fracción respuesta.

Trataremos cada paso a continuación.

Los pasos en la suma de fracciones de nu-meradores distintos 1. Se busca un múltiple común

de los denominadores de las fracciones por sumar.

2. Una vez encontrado este múltiple, ambas fracciones por sumar se cambian en “fracciones equivalentes” que tienen dicho múltiple como denominador.

3. Se escribe la “fracción res-puesta”. Como denominador de la “fracción respuesta”, se apunta el múltiple encontrado en Paso 1. Como el numera-dor de la “fracción respuesta”, se apunta la suma de los nu-meradores de las “fracciones equivalentes” que se encon-traron en el Paso 2.

4. De ser necesario, se reduce la fracción respuesta.

+ =


5-14

1. Encontrar un común múltiplo de los dos denominadores Por lo general, se les enseña a l@s alumn@s buscar el mínimo común múltiplo. La verdad es que cualquier múltiplo común funcionaría. Pero es cierto que con frecuencia, se simplifican los cálculos usando el míni-mo.

Hay muchas y muy bonitas maneras de encontrarlo, pero la más simple es hacer una lista de los múltiplos del uno y del otro numerador de las fracciones a sumar. Después, se buscan entre dichas listas los múltiplos comunes. En el caso presente, se hacen las siguientes listas:

Los múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, y así en adelante. Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, y así en adelante.

Estas listas de múltiplos, por breves que sean, contienen dos múlti-

plos comunes, precisamente 6 y 12. Ya que 6 es el mínimo múltiplo común, vamos a usarlo como el denominador de las “fracciones equiva-lentes”. 2. Cambiar ambas fracciones por sumar en “fracciones equivalentes” que tienen como denominador al común múltiplo que acabamos de encontrar. La técnica para hacer esto tiene aplicación en otros campos de las ma-temáticas y en la física, por lo que vale la pena explicar no solamente cómo hacerlo, sino por qué funciona también.

Ya encontramos que

12 =

36 , y

13 =

26 .

Parece que cambiamos 12 multiplicándola por 33 : 12 · 33 =

36

y que cambiamos 13 multiplicándola por 22 :

13 · 22 =

26 .

En efecto, ¡así es! Entonces, ¿por qué lo hicimos, y por qué funciona?

En cuanto a por qué funciona, favor de notar que 33 al igual que 22 son

formas “disfrazadas” del famoso número “1”. Ya que el producto de 1 y cualquier otro número es ese mismo otro número, 1

2 · 33 es igual a 1

2 todavía, pero ya es una fracción de denominador 6. En cierto sentido, podemos describir lo que hicimos de la siguiente manera:

Puede ser ventajoso usar el mínimo común múltiple como denominador, pero no es necesa-rio—cualquier múltiple común funcionará.


5-15

12 · =

12 ·

33 =

36 .

De la misma manera, en cuanto a 13 , 13 · =

13 ·

22 =

26 .

El o la alumn@ puede comprobar, usando la calculadora, que 12 = 36

y 13 = 26 .

3. Escribir la respuesta: Como denominador de la “fracción respuesta”, se apunta el múltiplo encontrado en el Paso 1. Como numerador de la “fracción respuesta”, se apunta la suma de los numeradores de las “fracciones equivalentes” encontradas en el Paso 2.

La “fracción respuesta” es 3 + 2

6 , o sea, 56 .

4. De ser necesario, reducir la fracción respuesta. Ya que el numerador (5) y el denominador (6) no tienen ningún factor común, la fracción 56 no se puede reducir. Hagamos cuatro ejemplos más. Primero, sumemos 18 y 38 .

Ejemplo: 18 +

58

Paso Cómo se hace 1. Encontrar un común múltiplo de los

denominadores. Ambas fracciones tienen el mismo denomi-nador, luego no es necesario hacer nada en este paso.

2. Cambiar ambas fracciones por su-mar en “fracciones equivalentes” que tienen como denominador al común múltiplo encontrado en el primer paso.

Ambas tienen el mismo denominador, luego no es necesario hacer nada en este paso.

Una versión “dis-frazada” de 1




36 +

26 =

3 + 26 , o sea,

56 .


5-16

3. Escribir la “fracción respuesta”: Como denominador, se apunta el múltiplo encontrado en el Paso 1. Como numerador, se apunta la su-ma de los numeradores de las “fracciones equivalentes” encon-tradas en el Paso 2.

El denominador es 8, y la suma de los nu-meradores es 6, luego la “fracción respues-ta” es 18 + 58 =

1 + 58 = .

68 .

4. De ser necesario, reducir la “frac-ción respuesta”.

El numerador y el denominador tienen un factor común: 2. Entonces, se dividen am-bos: 68 =

6 ÷ 28 ÷ 2 =

34 .

Ahora, sumemos 38 y 5

16 .

Ejemplo: 38 +

516


denominadores. 16 es un múltiplo de 8 y de 16 mismo (16 = 1×16). Entonces el múltiplo común es 16.


No es necesario hacer nada con 516 , ya

que ésta ya tiene el denominador común. En cuanto a 38 ,

38 · 22 =

616 .


El denominador es 16, y la suma de los numeradores es 5 + 6 =11, luego la “frac-ción respuesta” es 516 + 6

16 = 5 + 6

16 = 1116 .


El numerador y el denominador no tienen ningún factor común. Entonces, no es ne-cesario hacer nada en este paso, por lo que la respuesta queda como 11

16 .

Ahora, sumemos 19 y 56 .

Ejemplo: 19 +

56


denominadores. Los múltiplos de 9 son 9, 18, 27, 36, etc. Los de 6 son 6, 12, 18, 24, 30, 36, etc. Estas listas breves contienen 2 multiples comunes (a saber, 18 y 36). Usamos el menor, o sea, 18.


5-17


Queremos que el denominador de ambas fracciones sea 18, entonces 19 · 22 =

218 , y

56 · 33 =

1518 .


El denominador es 18, y la suma de los numeradores es 17, luego la “fracción res-puesta” es

218 + 15

18 = 2 + 15

18 = 1718 .


El numerador y el denominador no tienen ningún factor común. Entonces, no es ne-cesario hacer nada en este paso, por lo que la respuesta queda como 17

18 .

Y por fin, sumemos 23 y 34 .

Ejemplo: 23 +

34


denominadores. Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, etc. Los de 4 son 4, 8, 12, etc. Estas listas contienen múltiplo común: 12.



812 , y

34 · 33 =

912 .


El denominador es 12, y la suma de los numeradores es 17, luego la “fracción res-puesta” es

812 + 9

12 = 8 + 9

12 = 1712 .


El numerador y el denominador no tienen ningún factor común. Sin embargo, esta respuesta es una fracción impropia. En la forma de un número mixto, la respuesta sería 1 5

12 .

¿Cómo se restan las fracciones? Por supuesto, la resta de fracciones tiene mucho en común con la suma de ellas—por ejemplo, se necesita tener un denominador común. Sin embargo, hay unos cuantos tipos de problemas que suelen confundir a l@s alumn@s. Trataremos estos después de tratar una resta “normal”.

¿Cómo se cambia una fracción impro-pia en un número mixto?

Paso Ejemplo: 114

1. Dividir el numerador entre el de-nominador.

El numerador es 11. El de-nominador es 4. Entonces, 11 ÷ 4 = 2, residuo 3.

2. Un número mixto tiene dos partes: un número entero, y una fracción propia. El número en-tero sería cuántas ve-ces entro el denomina-dor en el numerador en el Paso 1.

El denomina-dor, 4, entro 2 veces en el numerador, 11. Entonces, el número entero es 2.

3. En cuanto a la parte que es una frac-ción propia, su numera-dor es el re-siduo que resultó en el Paso 1, y su denomina-dor es el de la fracción impropia con la cual empezamos.

Ya tienes el número mixto equivalente a la fracción impropia.

El residuo fue 3. El denomina-dor de la frac-ción con la cual empeza-mos fue 4. Entonces, la fracción propia es 34 , de manera que el número mixto es

234 .


5-18

Ejemplo: 12 -

13


denominadores El mínimo común múltiplo es 6.



36 , y

13 · 22 =

26 .

3. Escribir la “fracción respuesta”: Como denominador, se apunta el múltiplo encontrado en el Paso 1. Como numerador, se apunta el re-sultado de la resta de los numera-dores de las “fracciones equivalen-tes” encontradas en el Paso 2.

El denominador es 6, y el resultado de la resta de los numeradores de las “fracciones equivalentes” es 1, luego la “fracción res-puesta” es

3 6 - 2

6 = 3 - 2

6 = 1 6 .

4. De ser necesario, reducir la fracción respuesta.

El numerador y el denominador no tienen ningún factor común, luego no es necesario hacer nada en este paso.

Y ahora, tratemos un ejemplo de un problema que suele confundir a l@s alumn@s:

13 - 12 = ¿?

Al seguir los pasos arriba señalados, se encuentra que la respuesta es

13 - 12 = -16 .

Ésta es correcta, pero por lo general, no se deja la respuesta en esta forma. En cambio, se la escribe como -1

6 con base en las siguientes equivalencias:

-ab = - ab ; a

-b = - ab ; y también -ab = a-b .

Como un ejemplo de otra clase de problema que extraña a much@s alumn@s, presento el siguiente:

413 - 21

2 = ¿?

Una resta tal se escribe con frecuencia de forma vertical:

413

- 212

3 equivalencias útiles:

1. -ab = -

ab ;

2. a-b = -

ab ; y también,

3. -ab =

a-b , ya que ambos son

iguales a - ab .


5-19

Se restan las fracciones, y luego los enteros. Pero en este caso, la frac-ción a restar (o sea, 1

2 ) es mayor que la fracción a la que se pretende

restarla (o sea, 13 ). Entonces, ¿cómo encontrar la respuesta? Hay varias técnicas, pero vamos a inventar una propia nuestra para

poder entender mejor la técnica “normal”. Primero, cambiamos 413 en 4

+ 13 , y 212 en 2 + 12 , de esa manera convirtiendo la cuenta en

4 + 13 - (2 + 12 )

= 4 - 2 + 13 - 12 .

Para poder efectuar la resta de las dos fracciones, tenemos que cam-biarlas en fracciones que tienen un denominador común, por ejemplo, 6:

4 - 2 + 26 - 36 .

Ya que 26 es menor que 36 , “se presta un entero” al 4, de modo que la cuenta sea

3 - 2 + 12

6 - 36 .

Por fin, se cambia 126 en la fracción impropia 86 , y se efectúa la resta:

3 - 2 + 8

6 - 36

= 1 + 5

6

= 156 .

Por supuesto, todo esto puede hacerse también de forma vertical:

413 42

6 4/ 2/ 6 4/ 2/

6

- 212 - 23

6 - 236 - 23

6

156

Y es así que se nos enseña hacerlo en las escuelas. ¿Cómo se encuentran potencias y raíces de fracciones? Este tema ejemplifica una verdad que repito con frecuencia a mis alumn@s:

83 83

4 - 2 + 26 - 36 = 3 + 1 - 2 + 26 - 36

= 3 - 2 +126 - 36

= 3 - 2 + 86 - 36

= 1 + 8 - 36

= 1 + 56

= 156 .


5-20

Al practicar las matemáticas, es obligato-rio obrar con apego a las propiedades de los números, pero podemos hacerlo con imaginación también. Por ejemplo, ¿cómo desarrollar una fórmula conveniente para encontrar

n

b

a⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

? Para hacernos una idea, empecemos con un caso específico y

simple: 2

4

3⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

. Por la definición de la cuadrada,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×4

3

4

3

4

32

.

Pero como ya aprendimos,

44

33

4

3

4

3

×

×=× ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,

y ya que 2

2

4

3

44

33=

×

× , podemos decir que

2

2

4

3

4

32

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

.

De manera parecida,

n

b

a⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅b

a

b

a

b

a

b

aL , n veces.

Según la técnica que aprendimos para multiplicar fracciones,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅⋅b

a

b

a

b

a

b

aL , n veces, =

veces

veces

n

n

,bbbb

,aaaa

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

L

L

= n

n

ba

.

Entonces,

n

b

a⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= n

n

ba

.

Por ejemplo,

n

ba⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= n

n

ba

.


5-21

3

2

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 3

3

2

1 =

81

.

Y en cuanto a la n-ésima raíz de una fracción, o sea, n

b

a , ¿cuál

sería? Consideremos un caso específico: 16

9 . Por la definición de la

raíz cuadrada, 16

9 es el número el que al multiplicarlo por si mismo, da

916 como resultado. Entonces, puede ser útil preguntarnos, “¿cuál frac-

ción, al multiplicarla por si mismo, da 916 como resultado?

Pensándolo un poco, encontramos que 34 · 34 = 916 , luego

16

9 = 34 ,

o sea, 16

9 =

16

9 . Con base en este caso, podemos conjeturar que

n

b

a = n

b

na

. Pero, ¿podemos demostrar que esto es cierto?

En un intento por encontrar un camino, es razonable suponer que

n

b

a es alguna fracción; para luego investigar sobre qué características

ésta tendría. Entonces, supongamos que n

b

a es alguna fracción pq ; es

decir, que

n

b

a =

q

p ,

donde pq se encuentra en su mínima expresión.

¿Qué serían las características de pq ? Una, claro, es que por la de-finición de la n-ésima raíz,

n

q

p⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= b

a , de modo que

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅q

p

q

p

q

p

q

pL , n veces, =

b

a.

Entonces, según la técnica que aprendimos para multiplicar fraccio-

nes,


5-22

veces

veces

n

n

,qqqq

,pppp

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

L

L =

b

a, luego

n

n

q

p =

b

a,

la cual nos indica que pn = a, y qn = b. Pero por la definición de la n-

ésima raíz, este resultado quiere decir que p = n a y q = n b , luego

n

b

a = n

n

b

a .

Observaciones sobre fracciones algebraicas La observación más importante es que Todo lo que aplica y se verifica para frac-ciones “normales”, también aplica a y se verifica para fracciones algebraicas.

Por ejemplo, en cuanto a la multiplicación,

xx + 1 · 2x

x + 3 = x · (2x) (x + 1) · (x + 3) = 2x2

(x + 1) · (x + 3) .

En cuanto a la división, se multiplica cruzada, o se usa la Ley de la Torta:

xx + 1 ÷ 2x

x + 3 = xx + 1 2x

x + 3 o, según la Ley de la Torta,

= xx + 1 · x + 3

2x .

En ambos casos,

x

x + 1 ÷ 2xx + 3 = x · (x + 3)

(x + 1) · 2x = x(x + 3) 2x(x + 1) ,

la cual puede reducirse “cancelando” el factor común, x:

x/ (x + 3) 2x/ (x + 1) = x + 3

2(x + 1) .

nba

= n

n

ba

.

1

1

La multiplicación de fraccio-nes algebraicas.

La multiplicación de fraccio-nes algebraicas.

La reducción de fracciones algebraicas.


5-23

Para sumar y restar reacciones algebraicas, se necesita cambiarlas en fracciones que tienen el mismo denominador:

x3 + x2 = x3 · 22 + x2 · 33 = 2x

6 + 3x6 = 5x

6 . Con frecuencia, es posible simplificar el resultado. Por ejemplo, x - 1 x + 1 + 1

x = x - 1 x + 1 · x

x + 1 x ·

x + 1 x + 1

= x2 - x

x(x + 1) + x + 1 x(x + 1) = x

2 - x + x +1 x(x + 1) = x2 +1

x(x + 1) .

La potenciación y la radicación de fracciones algebraicas siguen las mismas reglas que desarrollamos para fracciones “normales”. Por ejem-plo,

2

1

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

+

x

x=

( )( )2

2

1

1

−

+

x

x, y

1

1

−

+

x

x =

1

1

−

+

x

x .

Ejercicios y resoluciones Ejercicios

1. 37 + 27 = 2. 37 - 27 = 3. 37 × 27 = 4. 37 ÷ 27 =

5. 29 + 49 = 6. 29 - 49 = 7. 29 × 49 = 8. 29 ÷ 49 =

9. 23 + 16 = 10. 23 - 16 = 11. 23 × 16 = 12. 23 ÷ 16 =

13. 34 + 16 = 14. 34 - 16 = 15. 34 × 16 = 16. 34 ÷ 16 =

17. 29 + 512 = 18. 29 - 5

12 = 19. 29 × 512 = 20. 29 ÷ 5

12 =

21. 2a + 1b = 22. 2a - 1b = 23. 2a × 1b = 24. 2a ÷ 1b =

25. xa + yb = 26. xa - yb = 27. xa · yb = 28. xa ÷ yb =

29. 1x + 1x2 = 30. 1x - 1

x2 = 31. 1x · 1x2 = 32. 1x ÷ 1

x2 =

33. 1x2y + 1

xy2 = 34. 1x2y -

1xy2 = 35. 1

x2y · 1

xy2 = 36. 1x2y ÷ 1

xy2 =

37. 1x + 1x + 1 = 38. 1x - 1

x + 1 = 39. 1x · 1x + 1 = 40. 1x ÷ 1

x + 1 =

41. 23x + 2

2x + 1 = 42. 23x -

22x + 1 = 43. 2

3x · 22x + 1 = 44. 2

3x ÷ 22x + 1 =

La suma y resta de fracciones algebraicas.

n

ba⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= n

n

ba

.

nba

= n

n

ba

.


5-24

45. ( )49

2 = 46. 4

9 = 47. ( )x3

2 = 48. x2

16 =

49. ( )xa

2 = 50. ( )x + 1

1 - z2 = 51. ( )xa 2

= 52. x2

a2 =

53. ( )x + 11 - z

2 = 54. (2x + 1)2

(y - 8)2 =

Resoluciones

1. 37 + 27 = . 2. 37 - 27 = .

3. 37 × 27 = = . 4. 37 ÷ 27 = 3 × 77 × 2 = 3 × 7―1

7―1 × 2 = = .

5. 29 + 49 = = = 3―1 × 23―1 × 3 = = 6. 29 - 49 = = = - .

7. 29 × 49 = = . 8. 29 ÷ 49 = 2 × 99 × 4 = 2─1 × 9―1

9―1 × 4─2 = = .

9. 23 + 16 (Uso 6 como el denominador común) = = + = . También, se puede usar cualquier otro múltiplo común de 3 y 6. Por ejem-plo, su producto, o sea 18: 23 + 16 = = = 3―1 × 5

3―1 × 6 = = .

10. 23 - 16 = = = 3―1 × 13―1 × 2 = = .

11. 23 × 16 = 2―1

3 × 16―3

= = . 12. 23 ÷ 16 = = 2 × 6―2

3―1 × 1 2 21 1 = = 4.

13. 34 + 16 (El mínimo común denominador es 12) =

= + = .

Si usamos como el denominador común, el producto de 4 y 6, a saber, 24, 34 + 16 = = + = = 2 × 11

2 × 12 = 2―1 × 112―1 × 12 = 1 × 11

1 × 12 = .

14. 34 - 16 = - = . 15. 34 × 16 = 3―1

4 × 16―2

= = .

16. 34 ÷ 16 = = 3 × 6―3

4―2 × 1 = = .

17. 29 + 512 (El mínimo común denominador es 36)

29 + 5

12 = + = .

Si usamos como el denominador común, el producto de 9 y 12, a saber, 108, 29 + 5

12 = + = = = .

18. 29 - 512 = - = = = - .

19. 29 × 512 = 2―1

9 × 512―6

= = . 20. 29 ÷ 512 = = 2 × 12―4

9―3 × 5 = .


5-25

21. 2a + 1b En muchos problemas reales, es perfectamente aceptable, o aun

preferible, dejar la suma como la misma 2a + 1b . Pero si uno quiere sumar las fracciones, puede usar el denominador común ab: 2a + 1b = = .

22. 2a - 1b = . 23. 2a × 1b = . 24. 2a ÷ 1b = = (si uno quiere) 2 .

25. xa + yb = · · = Pero otra vez, es aceptable dejarla

como xa + yb .

26. xa - yb = . 27. xa · yb = .

28. xa ÷ yb = = · también, si uno quiere.

29. 1x + 1x2 = · + = . 30. 1x - 1

x2 = .

31. 1x · 1x2 = ·· = . 32. 1x ÷ 1

x2 = ·· = = x .

33. 1x2y + 1

xy2 (Uso x2y2 como el denominador común)

1x2y + 1

xy2 = · · (Para poner los literales en orden

alfabético.)

34. 1x2y -

1xy2 = . 35. 1

x2y · 1

xy2 = ·· · · .

36. 1x2y ÷ 1

xy2 = = · ·· · = x―1·( y―1·y)( x―1 ·x)· y―1 = · ·· · = .

37. 1x + 1x + 1 [Uso el denominador común x(x + 1) ]

= · · .

38. 1x - 1x + 1 = = . 39. 1x · 1

x + 1 = .

40. 1x ÷ 1x + 1 = . A menudo, queremos trasformar esta última de la siguiente

manera: = 1 + .

41. 23x + 2

2x + 1 [Usar el denominador común 3x(2x+1) ]

23x + 2

2x + 1 = + = = ,

la que se puede dar en su forma “desarrollada” también: .

42. 23x -

22x + 1 = = = (también) .

43. 23x · 2

2x + 1 = · = = (también) .


5-26

44. 23x ÷ 2

2x + 1 = · = 2―1(2x+1)3x· 2―1

= . A menudo, queremos trasformar

esta última: = + = .

45. ( )49

2 En un problema real, es aceptable, y a veces aconsejable, dejarla así.

Comento esta opción al fin de la resolución. Si uno quiere “desarrollar” la

expresión , puede hacerlo de dos formas. La primera, parte de la defini-

ción de la cuadrada: = · = ·· = . La segunda, parte de una

identidad que aprendimos en este capítulo: ≡ . Por lo tanto, =

= .

En cuanto a la opción de no desarrollar , podemos notar también,

que 4 = 22, y que 9 = 32, por lo que = . Ahora, aprovechamos de

nuevo la identidad ≡ . Toda identidad se verifica en ambos sentidos,

por lo que también. Por lo tanto, = . Así que

= = . Cuando estudiemos los exponentes, aprenderemos la identidad (am)n = am·n. Por ejemplo, (72)3 = 72·3 = 76. Con base en esta iden-

tidad, (o sea, es igual a ·

= . A propósito, esta última es

igual a .

Entonces, contamos con la opción de escribir la misma cantidad de

cualquiera de las siguientes cinco formas: , , , , y .

46. 49 = √√ = , o 4

9 = = . 47. ( )x

32 = = , o = = .

48. x2

16 = √ = , o x2

16 = = .

49. ( )xa

2 = . Pero es aceptable dejarla como .

50. ( )x + 11 - z

2 Otra vez, es aceptable dejarla así. Además, se puede

trasformarla en , la cual es igual a .

51. ( )xa 2 = (¡Que no lo hagas difícil! Como siempre, la operación “raíz

cuadrada” anula a la operación “elevar a la cuadrada”, y ya.)

52. x2

a2 = = , o también, x2

a2 = = .

53. ( )x + 11 - z

2 La raíz y la cuadrada se anulan, por lo que ( )x + 1

1 - z2= .


5-27

54. (2x + 1)2

(y - 8)2 = = , o también, (2x + 1)2

(y - 8)2 = = .

Resumen del capítulo • La fracción como elemento

del idioma matemático − Significados visuales o geométricos − Significados numéricos.

• Las operaciones con fracciones − Cómo usar la calculadora para comprobar cálculos con frac-

ciones − La reducción de fracciones − La multiplicación − La división − La suma y la resta − La potenciación y radicación.

• Observaciones sobre fracciones algebraicas − Todo lo que aplica y se verifica para fracciones “normales”,

también aplica a se verifica para fracciones algebraicas.

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