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Capítulo 5 Anualidades. Hasta ahora solo hemos estudiado operaciones financieras que se componen de un capital único (capital inicial o monto), por ejemplo, podemos saber el valor presente de una suma de dinero en el futuro, sin embargo, hay operaciones que se componen de un gran número de capitales fijos en distintos puntos del tiempo, de ahí la necesidad de encontrar una serie de técnicas matemáticas para valuar el monto o el valor presente de dichas cantidades. Aunque no lo parezca, es sumamente común encontrarnos con anualidades en nuestra vida cotidiana, por ejemplo, el pago sucesivo de la renta de un local, o el pago en abonos de una compra a crédito. 5.1 Definición. Para no dar cabida a ambigüedades vamos utilizar la siguiente definición de anualidad: En general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos realizados a intervalos iguales de tiempo, cabe aclarar que los periodos entre pagos no siempre son anuales, pero se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema. En este capítulo, vamos a estar usando frecuentemente los siguientes términos: Periodo de pago de una anualidad: Es el tiempo que transcurre entre cada uno de los sucesivos pagos de la anualidad. Renta: es la cantidad que paga la anualidad en cada periodo. Plazo: es el tiempo en que se mantiene vigente la anualidad. Monto de la anualidad: Es el valor de todos los pagos de la anualidad valuados a la fecha de vencimiento de la operación (que en realidad es la suma de los montos individuales). Valor actual: (o valor presente) es la suma del valor presente de cada pago de la anualidad valuado en la fecha de inicio de la operación. Ejemplo 1. Algunos casos de anualidades. Una estilista renta un local para instalar su negocio, acuerda pagar $2,500 al principio de cada mes en un contrato con un año de vigencia. Es un ejemplo de anualidad porque se trata de 12 pagos sucesivos, es claro que la renta es de $2,500. El plazo de la anualidad es de un año y el periodo de pago es de un mes. Un trabajador deposita pagos constantes a su cuenta en un AFORE. En este caso, los pagos son la renta, y la cantidad de la que disponga cuando se retire será el monto de la anualidad.

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Page 1: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

Capítulo 5 Anualidades. Hasta ahora solo hemos estudiado operaciones financieras que se componen de un capital único

(capital inicial o monto), por ejemplo, podemos saber el valor presente de una suma de dinero en

el futuro, sin embargo, hay operaciones que se componen de un gran número de capitales fijos en

distintos puntos del tiempo, de ahí la necesidad de encontrar una serie de técnicas matemáticas

para valuar el monto o el valor presente de dichas cantidades.

Aunque no lo parezca, es sumamente común encontrarnos con anualidades en nuestra vida

cotidiana, por ejemplo, el pago sucesivo de la renta de un local, o el pago en abonos de una

compra a crédito.

5.1 Definición. Para no dar cabida a ambigüedades vamos utilizar la siguiente definición de anualidad:

En general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos realizados a intervalos

iguales de tiempo, cabe aclarar que los periodos entre pagos no siempre son anuales,

pero se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el tema.

En este capítulo, vamos a estar usando frecuentemente los siguientes términos:

Periodo de pago de una anualidad: Es el tiempo que transcurre entre cada uno de los

sucesivos pagos de la anualidad.

Renta: es la cantidad que paga la anualidad en cada periodo.

Plazo: es el tiempo en que se mantiene vigente la anualidad.

Monto de la anualidad: Es el valor de todos los pagos de la anualidad valuados a la fecha

de vencimiento de la operación (que en realidad es la suma de los montos individuales).

Valor actual: (o valor presente) es la suma del valor presente de cada pago de la anualidad

valuado en la fecha de inicio de la operación.

Ejemplo 1. Algunos casos de anualidades.

Una estilista renta un local para instalar su negocio, acuerda pagar $2,500 al principio de cada

mes en un contrato con un año de vigencia. Es un ejemplo de anualidad porque se trata de 12

pagos sucesivos, es claro que la renta es de $2,500. El plazo de la anualidad es de un año y el

periodo de pago es de un mes.

Un trabajador deposita pagos constantes a su cuenta en un AFORE. En este caso, los pagos son

la renta, y la cantidad de la que disponga cuando se retire será el monto de la anualidad.

Page 2: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

5.2 Clasificación de las anualidades. Existen varias formas de clasificar las anualidades: de acuerdo al plazo, de acuerdo al momento en

que se lleven a cabo los pagos y de acuerdo al momento en que inicie la anualidad.

a) Por el plazo.

1. Ciertas.

2. Contingentes.

b) Por el momento del pago.

1. Anticipadas.

2. Vencidas.

c) Por el memento en que inicia la anualidad.

1. Inmediatas.

2. Diferidas.

d) Intereses.

1. Simples.

2. Generales.

A diferencia de las anualidades ciertas, el pago de las anualidades contingentes depende de la

ocurrencia de un evento (contingente) que determina si la anualidad se paga o no, por ejemplo,

una pensión que se paga si la persona está viva, entonces la discontinuidad del pago de la pensión

(anualidad) depende de la muerte del individuo (evento contingente). Cuando se trata de

anualidades ciertas se conocen las fechas de todos los pagos de la anualidad, es decir, hay

certidumbre en los pagos, de ahí el nombre de “anualidades ciertas”.

Si los pagos de una anualidad se efectúan al principio de cada periodo, entonces se trata de una

anualidad anticipada, si por el contrario, los pagos se efectúan al final de cada periodo, entonces

es una anualidad vencida.

Cuando estamos lidiando con anualidades diferidas, los pagos de la anualidad comienzan tiempo

después de haber pactado el convenio, por ejemplo, si se compra un electrodoméstico a crédito, y

el comprador acuerda pagar los abonos mensualmente, pero hasta seis meses después de haber

adquirido el aparato, entonces se trata de una anualidad diferida. En cambio con las anualidades

inmediatas, los pagos comienzan en el momento en que el convenio se pacta.

Cuando decimos anualidad simple, no nos estamos refiriendo a que los cálculos se hacen con

interés simple, es más bien que los periodos de capitalización del interés compuesto coinciden con

los periodos de los pagos de la anualidad. En general, en todos los cálculos que se hacen para

anualidades utilizamos interés compuesto.

En una anualidad general, los periodos de capitalización no coinciden con los periodos de pago de

la anualidad, es por ello que se trata de “un caso más general” de la anualidad.

Hasta este punto combinando todas las variantes, llevamos 16 tipos de anualidades, estos tipos de

anualidades son los casos mas estudiados, sin embargo, existe otra variante en las anualidades:

Page 3: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

anualidades de rentas variables, que se da cuando los pagos no son constantes, casos de rentas

variables mas aplicados son cuando los pagos se encuentran en progresión aritmética y, por

supuesto, progresión geométrica.

Ejemplo 2. Algunos casos de anualidades.

Un padre de familia, preocupado por sus hijos compra un seguro de vida, en caso de morir se

pagará la cantidad de $10,000 mensuales durante 2 años.

Este es un ejemplo de anualidad Contingente, ya que no tenemos certidumbre sobre la fecha

de los pagos de la anualidad.

El Sr. Pérez compra una televisión a crédito, el aparato cuesta $10,000 la tienda exige el pago

del 20% de enganche, y el resto lo paga en abonos mensuales durante un año.

Este es un ejemplo de anualidad simple, cierta, vencida e inmediata. Es vencida porque los

pagos son al final de cada mes (el enganche no se considera parte de la anualidad). Es

inmediata porque no hay periodo de espera para comenzar los pagos de la anualidad.

La Sra. María renta un departamento por un año, y acuerda pagar al arrendador la cantidad

de $4,500 al principio de cada mes mientras dure el contrato.

Ahora se trata de una anualidad cierta, inmediata y anticipada, porque la renta se paga de

manera anticipada (al inicio de cada mes).

5.3 Deducción de la formula del monto de una anualidad simple, cierta,

vencida e inmediata y despeje de sus literales. Cuando calculamos el monto de una anualidad lo que estamos haciendo es calcular la suma de

cada monto (individual) que conforma la anualidad, valuando cada pago en la fecha donde

termina la anualidad, gráficamente se vería así:

P 1

Iniciot=0

Periodo 1t=1

Periodo 2t=2

Periodo 3t=3

Periodo nt=n

P 2

P 3

P n

Ejemplo 3. Determine el monto.

Page 4: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

Un empleado de una fábrica gana $14,000 mensuales, un contador le recomienda que ahorre el

10% de su salario en una cuenta bancaria que paga el 1.5% de interés efectivo mensual. Si el

empleado sigue este consejo, ¿a cuánto ascendería su cuenta al final del cuatrimestre?

Solución:

Evidentemente se trata de una anualidad cierta, vencida e inmediata, con pagos periodos

mensuales entre los pagos.

Con las técnicas de matemáticas financieras que hemos estudiado hasta ahora, tendríamos que

obtener el monto de cada depósito y luego sumarlos para hacer el cálculo final.

P 1

Iniciot=0

Mes 1t=1

Mes2t=2

Mes 3t=3

Mes 4t=4

P 2

P 3

=$1,400 =$1,400 =$1,400 =$1,400

M =1 400(1+i) =1 421.00

M =1 400(1+i) =1 442.31

M =1 400(1+i) =1 463.94

P 4

1

2

3

3

2

1

La siguiente tabla muestra el monto de cada depósito y la suma:

Mes Cantidad Monto

1 $1,400 𝑀1 = 1 400 1 + 𝑖 3 = 1 463.94 2 $1,400 𝑀2 = 1 400 1 + 𝑖 2 = 1 442.31 3 $1,400 𝑀3 = 1 400 1 + 𝑖 1 = 1 421.00 4 $1,400 𝑀4 = 1 400 1 + 𝑖 0 = 1 400.00

Total $5,727.26

Entonces, al final de los cuatro meses el empleado tendrá $5,727.26 en su cuenta.

Si en el ejemplo 1 no tomamos en cuenta solo el primer cuatrimestre, sino un año completo o

varios años, calcular cada monto resulta bastante engorroso, es por ello que necesitamos una

técnica más sencilla de calcular las anualidades.

Supongamos que necesitamos saber la cantidad de dinero que acumulará una cuenta que paga a

una tasa de interés efectiva 𝑖, después de estar depositando una cantidad fija de dinero 𝑅 (renta),

durante 𝑛 periodos, podemos calcular el monto total en la cuenta a través de la suma:

𝑀 = 𝑅 + 𝑅 1 + 𝑖 + 𝑅 1 + 𝑖 2 + 𝑅 1 + 𝑖 3 + ⋯+ 𝑅 1 + 𝑖 𝑛−1

Page 5: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

En esta suma tenemos escritos desde el último término hasta el primer término (que se acumula

n+1 periodos), como estamos valuando el monto en la fecha donde se deposita el último pago

(primer término), entonces éste no genera intereses.

Claramente, la suma anterior es la suma de los primeros 𝑛 términos de una progresión geométrica

cuyo primer término es 𝑅, y la razón es (1 + 𝑖). Recordemos que podemos calcular este tipo de

sumas con la ecuación:

𝑆𝑛 =𝑎1 1 − 𝑟𝑛

1 − 𝑟

Aquí 𝑆𝑛 representa el monto de la anualidad; sustituyendo las variables tenemos la siguiente

expresión:

𝑀 =𝑅 1 − 1 + 𝑖 𝑛

1 − 1 + 𝑖

𝑀 = 𝑅 1 − 1 + 𝑖 𝑛

−𝑖

Multiplicando por el factor −1

−1

𝑀 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖

Es la fórmula que usaremos para calcular el monto de una anualidad.

Ejemplo 4. Determine el monto.

Un empleado de una fábrica gana $14,000 mensuales, un contador le recomienda que ahorre el

10% de su salario en una cuenta bancaria que paga el 1.5% de interés efectivo mensual. Si el

empleado sigue este consejo, ¿a cuánto ascendería su cuenta al cabo de dos años?

Solución:

Se trata del ejemplo 1, pero con dos años de vigencia, entonces en total serán 24 meses en que

estará depositando a la cuenta. Para calcular el monto vamos a utilizar la expresión:

𝑀 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖

Sustituyendo queda…

𝑀 = 1 400 1 + 0.015 24 − 1

0.015

Al evaluar la expresión tenemos que

Page 6: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

𝑀 = $40,086.92

Es el monto que tendrá después de depositar $1,400 mensualmente durante dos años.

Ejemplo 5. Determine el monto.

Un estudiante está por entrar a la universidad y solicita una beca que pagará la cantidad de $1,500

al final de cada mes durante todo el semestre, sin embargo aún no termina de tramitar su

certificado de estudios de bachillerato, el departamento de servicios escolares le informa que el

documento estará listo cinco meses después de que ingrese a la universidad. El estudiante expone

el problema al jefe del departamento de becas de la universidad y éste le explica que la beca tiene

la característica de ser retroactiva, esto significa que en el momento en que el presente todos los

documentos correspondientes le entregan el monto de todas las mensualidades atrasadas,

mientras tanto, el dinero se deposita en una cuenta que paga el 15% de interés anual capitalizable

mensualmente. ¿Cuál será el monto total que recogerá el estudiante cuando le entreguen su

certificado?

Solución:

Podemos identificar que se trata de una anualidad cierta, vencida e inmediata, estamos

interesados en saber el monto de los pagos hasta el quinto mes, en primer lugar, necesitamos

conocer la tasa de interés efectiva:

𝑖′ =𝑖

12=

0.15

12= 0.0125

Ahora solo resta aplicar la fórmula para encontrar el monto de la anualidad:

𝑀 = 𝑅 1 + 𝑖′ 𝑛 − 1

𝑖

Sustituyendo queda…

𝑀 = 1 500 1 + 0.0125 5 − 1

0.0125

Al evaluar la expresión tenemos que

𝑀 = $7,689.85

Es el monto que recibirá si entrega su certificado en el quinto mes.

Supongamos ahora que, en el caso de una anualidad cierta, vencida e inmediata, conocemos el

monto, periodos y tasa de interés, pero no conocemos la renta, para calcularla, tenemos que

despejar la variable R de la ecuación:

Page 7: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

𝑀 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖

𝑅 =𝑀

1 + 𝑖 𝑛 − 1𝑖

𝑅 =𝑀𝑖

1 + 𝑖 𝑛 − 1

Es la fórmula que utilizamos para calcular la renta.

Ahora, si lo que se desconoce es la cantidad de periodos de la anualidad, la variable que tenemos

que despejar en n, de la siguiente manera.

𝑀 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖

𝑀𝑖

𝑅= 1 + 𝑖 𝑛 − 1

1 +𝑀𝑖

𝑅= 1 + 𝑖 𝑛

Aplicando la función logaritmo natural en ambos miembros de la ecuación, queda:

ln 1 +𝑀𝑖

𝑅 = ln 1 + 𝑖 𝑛

ln 1 +𝑀𝑖

𝑅 = 𝑛 ∙ ln 1 + 𝑖

ln 1 +𝑀𝑖𝑅

ln 1 + 𝑖 = 𝑛

Entonces para calcular el tiempo, aplicamos la fórmula:

𝑛 =ln 1 +

𝑀𝑖𝑅

ln 1 + 𝑖

Ejemplo 6. Determine la Renta.

Un grupo de jóvenes quieren formar una banda de Rock, para ello, necesitan comprar una Batería

que cuesta $7,500.00 por el momento no tienen dinero, y le piden a la tienda que se las venda a

crédito, el gerente les explica que no puede concederles el crédito porque no puede comprobar

ingresos, entonces les propone que al final de cada mes entreguen una cantidad a la tienda, para

Page 8: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

que se vaya acumulando y dentro de cinco meses cuando completen el monto, les entrega la

batería. ¿De cuánto tendrá que ser el pago si el gerente de la tienda ofrece un interés efectivo

mensual del 1%?

Solución:

El ejercicio nos proporciona los siguientes datos:

𝑛 = 5

𝑖 = 1% = 0.01

𝑀 = $7,500

Solo hace falta aplicar la fórmula para calcular la renta de la anualidad.

𝑅 =𝑀𝑖

1 + 𝑖 𝑛 − 1

Sustituyendo…

𝑅 = 7 500 0.01

1 + 0.01 5 − 1= 1 470.29

Entonces el grupo pagará la cantidad de $1,470 mensuales para tener su batería en cinco meses.

Ejemplo 7. Determine el número de periodos.

Un padre de familia desea comprar un fideicomiso para asegurar los estudios universitarios de su

hija recién nacida. El padre calcula que su hija ingresará a la universidad a los 19 años, y que

necesitará alrededor de $500,000 para cubrir los gastos de la universidad. Para constituir el fondo

el padre está dispuesto a depositar $900 mensualmente en una cuenta desde mucho tiempo antes

de que su hija entre a la universidad. ¿Con cuanta anticipación deberá empezar a depositar en una

cuenta bancaria que paga 1.2% mensual, para que cuando su hija tenga 19 años, el fondo ascienda

al menos a $500,000?

Solución:

Es claro que se trata de una anualidad simple, vencida e inmediata; entonces procedemos al

cálculo utilizando la ecuación que dedujimos para el cómputo del número de periodos:

𝑛 =𝑙𝑛 1 +

𝑀𝑖𝑅

𝑙𝑛 1 + 𝑖

Sustituyendo…

Page 9: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

𝑛 =𝑙𝑛 1 +

500 000 0.012900

𝑙𝑛 1 + 0.012 = 170.756

Es claro que no pagará un “número fraccionado” de meses; entonces para constituir el fondo, el

padre debe comenzar a pagar con 171 meses de anticipación, que se traduce en 14 años y 3 meses,

o sea, deberá depositar el primer pago al final del mes en que la hija cumpla 4 años 9 meses.

5.4 Deducción de la formula del valor actual de una anualidad simple,

cierta, vencida e inmediata. Suponga ahora que estamos interesados en conoces el valor actual (valor presente) de una

anualidad con 𝑛 pagos constantes 𝑅, con una tasa de interés 𝑖. Para conocer el valor actual de la

anualidad sumamos el valor actual (de la misma manera como calculamos el capital inicial) de

cada pago. Entonces, tenemos que calcular el valor de la siguiente suma.

𝐶 = 𝑅 1 + 𝑖 −1 + 𝑅 1 + 𝑖 −2 + 𝑅 1 + 𝑖 −3 + ⋯+ 𝑅 1 + 𝑖 −𝑛

Donde C es el valor actual de la anualidad. En esta suma, los términos están ordenados desde el

primero hasta el último pago, como lo muestra la ilustración.

R

Iniciot=0

Periodo 1t=1

Periodo 2t=2

Periodo 3t=3

Periodo nt=n

....

V =R(1+i) -1

1

V =R(1+i) -2

V =R(1+i) -3

V =R(1+i) -n

n

....

R R R

2

3

Claramente podemos ver que se trata de la suma de los primeros n términos de una progresión

geométrica cuyo primer término es 𝑅 1 + 𝑖 −1, y la razón es 𝑅 1 + 𝑖 −1; por lo tanto, para

encontrar la suma, podemos aplicar la fórmula:

𝑆𝑛 =𝑎1 1 − 𝑟𝑛

1 − 𝑟

Sustituyendo queda…

𝐶 =𝑅 1 + 𝑖 −1 1 − 1 + 𝑖 −𝑛

1 − 1 + 𝑖 −1

𝐶 =𝑅 1 − 1 + 𝑖 −𝑛

1 + 𝑖 1 − 1 + 𝑖 −1

Page 10: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

𝐶 = 𝑅 1 − 1 + 𝑖 −𝑛

1 + 𝑖 − 1+𝑖1+𝑖

𝐶 = 𝑅 1 − 1 + 𝑖 −𝑛

1 + 𝑖 − 1

𝐶 = 𝑅 1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝑖

Entonces, para encontrar el valor presente de la anualidad, simplemente aplicamos la fórmula:

𝐶 = 𝑅 1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝑖

Una manera alterna para llegar a la expresión anterior, es “traer a valor presente el monto de la

anualidad”, es decir, podemos multiplicar el monto por 1 + 𝑖 −𝑛 , y queda de la siguiente manera:

𝐶 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1

𝑖 1 + 𝑖 −𝑛

𝐶 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛 1 + 𝑖 −𝑛 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝑖

𝐶 = 𝑅1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝑖

Que es la misma expresión que habíamos encontrado anteriormente.

Ejemplo 8. Determine el valor actual.

Encuentre el valor actual de una sucesión de pagos anuales de $100,000 a una tasa efectiva de 7%

durante seis años.

Solución:

Datos:

𝑅 = $100,000

𝑖 = 7% = 0.07

𝑛 = 6 𝑎ñ𝑜𝑠

Aplicando la fórmula para encontrar el valor actual:

𝐶 = 𝑅1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝑖

Sustituyendo:

Page 11: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

𝐶 = 100 0001 − 1 + 0.07 −6

0.07= $476,653.96

Es el valor presente (o valor actual) de la anualidad.

Ejemplo 9. Determine el valor actual.

Un empresario, al ver un catálogo de artículos para oficina, observa que hay un nuevo modelo de

computadora que le interesa adquirir. El catálogo anuncia un plan de crédito con el que pagará

sólo $390 mensuales durante 2 años, además también publica que están cobrando una tasa de

interés de solamente 1% mensual, sin embargo el catálogo no dice el precio de contado del equipo.

Usando los datos que el empresario tiene, calcule el precio de contado de la computadora.

Solución:

En esencia, lo que tenemos que calcular es el valor actual de los abonos que se pagan por el

equipo.

Datos:

𝑅 = $390

𝑖 = 1% = 0.01

𝑛 = 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 2 𝑎ñ𝑜𝑠

Utilizamos la fórmula para calcular el valor actual de una anualidad:

𝐶 = 𝑅1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝑖

Sustituyendo…

𝐶 = 2901 − 1 + 0.01 −24

0.01= 8 284.921

Entonces el valor presente del equipo de cómputo es de $8,284.92

Supongamos ahora, que conocemos el valor presente, el interés y el número de pagos de una

anualidad simple, cierta, vencida e inmediata, y necesitamos conocer la renta (o el pago), basta

con despejar la variable R.

𝐶 = 𝑅1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝑖

𝐶𝑖 = 𝑅 1 − 1 + 𝑖 −𝑛

Page 12: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

𝐶𝑖

1 − 1 + 𝑖 −𝑛= 𝑅

Entonces, para calcular el valor de la renta de una anualidad, conociendo el interés, valor actual y

periodos, aplicamos la fórmula:

𝑅 =𝐶𝑖

1 − 1 + 𝑖 −𝑛

Algunas veces es necesario calcular el número de periodos que tendrá una anualidad, si se

conocen los otros datos (valor actual, interés y renta) para ello, tenemos que despejar la variable 𝑛

de la ecuación:

𝐶 = 𝑅1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝑖

𝐶𝑖 = 𝑅 1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝐶𝑖

𝑅= 1 − 1 + 𝑖 −𝑛

𝐶𝑖

𝑅− 1 = − 1 + 𝑖 −𝑛

Podemos multiplicar por (-1) en ambos miembros de la ecuación

1 −𝐶𝑖

𝑅= 1 + 𝑖 −𝑛

Aplicamos la función logaritmo natural.

ln 1 −𝐶𝑖

𝑅 = ln 1 + 𝑖 −𝑛

ln 1 −𝐶𝑖

𝑅 = −𝑛 ∙ ln 1 + 𝑖

ln 1 −𝐶𝑖𝑅

− ln 1 + 𝑖 = 𝑛

Entonces, para calcular el número de periodos de la anualidad, conociendo los demás datos

aplicamos la fórmula:

𝑛 = −ln 1 −

𝐶𝑖𝑅

ln 1 + 𝑖

Ejemplo 10. Determine la renta.

Page 13: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

Un banco ofrece préstamos a empresas cobrándoles una tasa de interés de 13% anual. La empresa

XX solicita un préstamo por la cantidad de $2,000,000 y va a solventar la deuda con pagos anuales

durante 10 años. ¿Cuál es la cantidad anual que tendrá que pagar la empresa XX?

Solución:

Tenemos que encontrar la renta de la anualidad teniendo en cuenta los siguientes datos:

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝐶 = $2,000,000

𝑛 = 10 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑖 = 0.13

Utilizamos la ecuación:

𝑅 =𝐶𝑖

1 − 1 + 𝑖 −𝑛

Sustituyendo…

𝑅 = 2 000 000 0.13

1 − 1 + 0.13 −10= 368 579.11

Entonces los pagos anuales para amortizar la deuda serán de $368,579.11.

Ejemplo 11. Determine el número de periodos.

El Sr. Ramírez pretende comprar una televisión en una tienda que ofrece planes de crédito muy

versátiles, si lo paga de contado el televisor costará $19,299.00 el Sr. Ramírez explica al vendedor

que quiere pagar el televisor con abonos mensuales de no mas de $1,200.00. Si la tienda ofrece un

interés mensual efectivo de 1.8%, ¿Cuántos meses estará abonando el pago el Sr. Ramírez?

Solución:

Primero, vamos a suponer que todos los pagos son de $1,200; entonces procedemos a calcular el

número de periodos (meses) que abonará, utilizando la siguiente fórmula:

𝑛 = −𝑙𝑛 1 −

𝐶𝑖𝑅

𝑙𝑛 1 + 𝑖

Sustituyendo los valores queda…

𝑛 = −𝑙𝑛 1 −

19 299 0.0181 200

𝑙𝑛 1 + 0.018 = 19.15

Page 14: Capítulo 5 Anualidades. - unid.edu.mx

Obviamente no habrá periodos fraccionados, entonces solo pueden ser 19 o 20 meses, si pagara 19

meses, entonces no terminaría de cubrir el costo total ya que el valor actual de 19 pagos de $1,200

es de $19,156.86 si pagara por 20 meses, entonces el valor de los pagos rebasaría el costo del

aparato ya que el valor actual de 20 pagos es de $20,005.75 entonces lo que generalmente se hace

es tomar en cuenta 19 pagos de $1,200 y un vigésimo pago menor a los anteriores, pero, ¿Cómo

calcular ese pago?, para calcular ese pago se utiliza una ecuación de valor de la siguiente forma:

𝑉.𝐴 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 19 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑑𝑒 1 200 + 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 20° 𝑝𝑎𝑔𝑜

Como vimos anteriormente el valor actual de 19 pagos de $1,200 es de $19,156.86 y para calcular

el valor actual del 20° pago utilizamos la expresión 𝑋 1 + 𝑖 −20 donde X es el monto del 20° pago

(lo que queremos encontrar), como i=0.018.

19 299 = 19156.86 + 𝑋 1 + 𝑖 −20

En esta ecuación conocemos el valor de 𝑖, entonces solo resta despejar X.

19 299 = 19156.86 + 𝑋 1.018 −20

133.13 = 𝑋 1.018 −20

𝑋 = 133.13 1.018 20 = 190.21

En conclusión el Sr. Ramírez pagará $1,200 durante 19 meces y en el 20° mes pagará $190.21.