capítulo 4: transformada de laplace - u-cursostulo 4: transformada de laplace...
TRANSCRIPT
Capítulo 4: Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Andrés Iturriaga J.
Departamento de Ingeniería MatemáticaUniversidad de Chile
Primavera 2012
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 1 / 37
Contenidos
1 Definiciones y ejemplos
2 Propiedades básicas de la transformada de Laplace
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 2 / 37
DefiniciónDada f : [0,+∞)→ R se llama transformada de Laplace de f a lafunción
L[f ](s) =
∫ +∞
0e−stf(t)dt (1)
que asocia a s ∈ R el valor L[f ](s) cuando la integral converge. Si latransformada de Laplace de una función existe para s > c, a la mínimacota “c” se le llama asíntota de la transformada.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 3 / 37
Ejemplos
f(t) = 1⇒ L[1](s) =1
s,
para s > 0 (la asíntota es c = 0).
f(t) = sin(wt)⇒ L[sinwt](s) =w
s2 + w2.
f(t) = cos(wt)⇒ L[coswt](s) =s
s2 + w2.
f(t) = eat ⇒ L[eat](s) =1
s− a.
f(t) = tk, k ∈ N⇒ L[tk](s) =k!
sk+1, s > 0.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 4 / 37
La Transformada de Laplace es lineal
Proposición 1.1La transformada de Laplace es un operador lineal. Es decir, si λ ∈ R ysi f y g son funciones de [0,+∞) en R tales que L[f ](s) y L[g](s)existen, entonces
L[f + λg](s) = L[f ](s) + λL[g](s).
Con esta propiedad se puede calcular fácilmente la transformada deLaplace de sinh(at) y de cosh(at).
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 5 / 37
Funciones continuas por trozos
DefiniciónUna función f tiene una discontinuidad de salto en a ∈ dom(f) silos límites laterales lımx→a+ f(x) y lımx→a− f(x) existen, son finitos ydistintos.
DefiniciónUna función f : [0,+∞)→ R se dice continua por pedazos si tieneun número finito o numerable de discontinuidades de salto en [0,+∞),pero sobre cada subintervalo acotado de [0,+∞) tiene a lo más unnúmero finito de éstas.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 6 / 37
Función Onda Cuadrada
La función
f(t) = (−1)[t] =
{1 0 ≤ t < 1−1 1 ≤ t < 2
extendida periódicamente a [0,∞) con período 2, se llama ondacuadrada y es continua por pedazos.
Figura: Función de onda cuadrada.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 7 / 37
Función onda de dientes de sierra
La función f(t) = t− [t] o bien f(t) = t, 0 ≤ t < 1 extendidaperiódicamente a [0,∞) con período 1, llamada onda de dientes desierra, es continua por pedazos.
Figura: Función onda de dientes de sierra.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 8 / 37
Ejemplos de funciones que no son continuas por pedazos
La función f(t) = tan(t) no es continua por pedazos pues
lımt→π
2+
tan(t) = −∞ y lımt→π
2−
tan(t) = +∞.
La función
f(t) =
{1t t 6= 00 t = 0
tampoco es continua por pedazos.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 9 / 37
Funciones de orden explonencial
DefiniciónUna función f : [0,+∞)→ R es de orden exponencial si existenα ∈ R y M > 0 tales que |f(t)| ≤M eαt para todo t ≥ 0. Al menor detales α se le llama orden exponencial de f . Gráficamente, el hecho detener orden exponencial significa que la función está encerrada entreM eαt y −M eαt.
DefiniciónEl espacio Cα es el conjunto de las funciones f : [0,+∞)→ R que soncontinuas por pedazos y de orden exponencial α. Es un subespaciovectorial del espacio de todas las funciones de [0,+∞) en R.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 10 / 37
Observemos que si f ′ ∈ Cα entonces
|f(x)| ≤ |f(0)|+∫ x
0|f ′(s)|ds
≤ |f(0)|+ M
αeαx
≤ Meαx,
de modo que f ∈ Cα.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 11 / 37
Proposición 1.2Si f ∈ Cα entonces para todo s > α, existe L[f ](s) (y convergeabsolutamente). Además
|L[f ](s)| ≤ M
s− α
para todo s > α. En particular, lıms→+∞ L[f(t)](s) = 0.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 12 / 37
Función de Heaviside
La funcíon escalón de Heaviside se define como
Ha(t) =
{0 t < a1 t ≥ a
Figura: Funcíon escalón de Heaviside.
Observemos que si a ≥ 0, entonces Ha(t) = H0(t− a). La transformadade Laplace de Ha, con a ≥ 0 es
L[Ha](s) =
∫ ∞0
e−stHa(t) dt =
∫ ∞a
e−st dt =1
se−as
para s > 0.Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 13 / 37
Función Pulso
Si a < b definimos el pulso entre a y b como
Pab(t) =
0 t < a1 a ≤ t < b0 t ≥ b.
Figura: Función pulso.
Notar que Pab(t) = Ha(t)−Hb(t). Luego, para 0 ≤ a < b
L[Pab(t)](s) = L[Ha(t)](s)− L[Hb(t)](s)
=1
s(e−as − e−bs) para s > 0.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 14 / 37
Contenidos
1 Definiciones y ejemplos
2 Propiedades básicas de la transformada de Laplace
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 15 / 37
Transformada de una derivada
Proposición 2.1Sea f ∈ Cα. Si f es derivable
L[f ′](s) = sL[f ](s)− f(0+) para s > α.
Si f es n veces derivable
L[f (n)](s) = snL[f ](s)−n−1∑k=0
skf (n−k)(0+).
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 16 / 37
Transformada de una primitiva
Proposición 2.2Sea f ∈ Cα localmente integrable, a ∈ R y
F (t) =
∫ t
af(u)du.
EntoncesL[F ](s) =
1
sL[f ](s)− 1
s
∫ a
0f(u)du,
para s > α. Más aún
L
∫ t
a. . .
∫ t
a︸ ︷︷ ︸n veces
f(u)du
(s) =1
snL[f ](s)−
n∑k=1
1
sk
∫ a
0
∫ t
a. . .
∫ t
a︸ ︷︷ ︸n− k veces
f(u)du.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 17 / 37
Traslaciones
Proposición 2.3Si f ∈ Cα y a ∈ R, la función f trasladada hacia la derecha se define entodo [0,∞) como H(t− a)f(t− a). Se tiene entonces que
L[H(t− a)f(t− a)](s) = e−saL[f(t)](s).
Por otro lado,
L[f(t)](s− a) = L[eatf(t)](s).
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 18 / 37
Inyectividad de la transformada de Laplace
Teorema 2.4 (Lerch)Si f, g ∈ Cα y L[f ](s) = L[g](s) para todo s > α entonces f(t) = g(t)para todo t ≥ 0, salvo en la unión de las discontinuidades de f y g.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 19 / 37
Ejemplo
Consideremosy′(t)− ay(t) = 0, y(0) = 1.
Podemos aplicar L a la EDO y obtenemos
sL[y(t)](s)− f(0+)− aL[y(t)](s) = 0,
es decirL[y(t)](s) =
1
s− a.
PeroL[eat](s) =
1
s− a,
y luego de la inyectividad de la transformada de Laplace concluímosque y(t) = eat.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 20 / 37
Convolución
Para f y g en Cα, el producto de convolución entre f y g de definecomo
(f ∗ g)(t) =
∫ t
0f(s)g(t− s)ds.
Proposición 2.5El producto de convolución es conmutativo, asociativo y distribuye conrespecto a la suma en Cα.
Teorema 2.6Sean f, g ∈ Cα. Entonces
L[(f ∗ g)](s) = L[f ](s) · L[g](s).
En palabras, la transformada de la convolución es el producto de lastransformadas.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 21 / 37
Convergencia Uniforme
Sean f ∈ Cα y M > α0 > α. Definimos
Φ(s) =
∫ ∞0
e−stf(t)dt y Φn(s) =
∫ n
0e−stf(t)dt,
con s ∈ I = [α0,M ].
Teorema 2.7{Φn}n converge uniformemente en I a Φ.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 22 / 37
Diferenciabilidad de la Transformada
Proposición 2.8Sea f ∈ Cα.
d
dsL[f(t)](s) = −L[tf(t)](s).
Más aún,dn
dsnL[f(t)](s) = (−1)nL[tnf(t)](s).
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 23 / 37
Integrabilidad de la Transformada
Proposición 2.9Sea f ∈ Cα, entonces∫ ∞
0L[f(t)](u)du =
∫ ∞0
f(t)
tdt.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 24 / 37
Antitransformadas y aplicaciones
Una función f (en el dominio temporal) es antitransformada de unafunción ρ (en el dominio de Laplace) si se cumple que L[f ] = ρ. Sedenota como f(t) = L−1[ρ](t).
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 25 / 37
Descomposición en fracciones Parciales I
Supongamos se tiene la expresion racionalp(x)
q(x), donde p y q son
polinomios a coeficientes reales tales que gr(p) < gr(q). Se quiere
escribirp(x)
q(x)como una suma de expresiones más simples.
1 q(x) tiene n raíces reales distintas y simples:q(x) = (x− a1) . . . (x− an), con ai 6= aj si i 6= j. Hacemos
p(x)
q(x)=
A1
x− a1+ · · ·+ An
x− an2 q(x) tiene una raíz real de multiplicidad n: q(x) = (x− a)n.
Hacemos
p(x)
q(x)=
A1
x− a+
A2
(x− a)2+ · · ·+ An
(x− a)n.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 26 / 37
Descomposición en fracciones Parciales II
3 q(x) tiene 1 raíz compleja simples. Entonces su conjugado tambiénes raíz simple, de modo que q(x) = ax2 + bx+ c = (x− z)(x− z),z ∈ C \ R. Hacemos
p(x)
q(x)=
Ax+B
ax2 + bx+ c.
4 Si q(x) tiene 1 raíz compleja de multiplicidad n:q(x) = (ax2 + bx+ c)n = (x− z)n(x− z)n con z ∈ C \ R. Hacemos
p(x)
q(x)=
A1x+B1
ax2 + bx+ c+
A2x+B2
(ax2 + bx+ c)2+ · · ·+ Anx+Bn
(ax2 + bx+ c)n.
5 Cualquier combinación de estos casos.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 27 / 37
Descomposición en fracciones Parciales III
Una vez descompuesta la expresión original, se deben encontrar losvalores de los coeficientes de la parte derecha. Existen varias formas deencontrarlos, veremos 2 métodos:
Método 1: Multiplicar por q(x) a ambos lados y evaluar raíz porraíz (sirve cuando las raíces son simples).Método 2: Desarrollar la suma de la parte derecha e igualarcoeficientes.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 28 / 37
Ejemplos
Ejemplo 2.10Descomponer la expresión
s
s2 − 3s+ 2.
En efecto, ss2−3s+2
= As−1 + B
s−2 . Aplicando el método 1 (es decir,multiplicando por q(s)) se tiene
s = A(s− 2) +B(s− 1).
Evaluando se concluye que A = −1 y que B = 2.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 29 / 37
Ejemplos
Ejemplo 2.11Descomponer la expresión
1
s2((s− a)2 + b2).
En efecto, 1s2((s−a)2)+b2 = A
s + Bs2
+ C+Ds(s−a)2+b2 . Aplicando el método 2:
1
s2((s− a)2) + b2=As((s− a)2 + b2) +B((s− a)2 + b2) + (C +Ds)s2
s2((s− a)2) + b2.
Igualando términos:A = 2a
(a2+b2)2; B = 1
a2+b2; C = 3a2−b2
(a2+b2)2; D = −2a
(a2+b2)2.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 30 / 37
Aplicación a la EDO lineal de orden n I
Se tiene la siguiente EDO a coeficientes constantes:
P (D)y(t) = Q(t)
con P (D) un operador diferencial de orden n normalizado (an = 1) yQ(t) combinación lineal de funciones en Cα. Aplicando L a ambos ladosde la EDO, se obtiene:
L
n∑j=1
ajDjy
(s) = L[Q](s)
n∑j=1
ajL[Djy
](s) = L[Q](s).
Pero se sabe que
L[Djy
](s) = sjL[y](s)−Rj(s),
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 31 / 37
Aplicación a la EDO lineal de orden n IIdonde
Rj(s) =
j−1∑k=0
sky(j−k−1)(0+).
Con esto la ecuación queda n∑j=1
ajsj
L[y](s)−n∑j=1
ajRj(s) = L[Q](s).
Escribimos entonces
L[y(t)](s) =R(s)
P (s)+L[Q(t)](s)
P (s),
donde
P (s) =
n∑j=1
ajsj y R(s) =
n∑j=1
ajRj(s).
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 32 / 37
Aplicación a la EDO lineal de orden n III
Llamando yh(t) e yp(t) a la funciones tales que
L[yh](s) =R(s)
P (s)y L[yp] =
L[Q](s)
P (s)
se tiene queL[ y ] = L[ yh ] + L[ yp ].
Luego
yh(t) = L−1[R
P
](t) e yp(t) = L−1
[L[Q]
P
](t).
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 33 / 37
Aplicación a la EDO lineal de orden n IV
Para encontrar yp(t), consideremos G(t) = L−1[
1
P
](t). Tenemos
yp(t) = L−1[L[G(t)](s)L[Q(t)](s)
](t)
= L−1[L[(G ∗Q)(t)](s)
](t)
= (G ∗Q)(t)
=
∫ t
0G(t− θ)Q(θ)dθ.
Todo se reduce entonces a encontrar antitransformadas de funciones dela forma
R(s)
P (s), donde R y P son polinomios y gr(P ) > gr(R).
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 34 / 37
Ejemplo 2.12Resolver ahora el problema de Cauchy
y′′ + 2y′ + 2y = 0y(0) = 1y′(0) = 1
utilizando la transformada de Laplace.
En efecto, notemos que
L[y′′ + 2y′ + 2y](s) = s2L[y](s)− sy(0+)− y′(0+)
+2(sL[y](s)− y(0+)) + 2L[y](s)
= (s2 + 2s+ 2)L[y](s)− s− 3.
Luego, L[y](s) = s+3s2+2s+2
.
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 35 / 37
Por otra parte,
s+ 3
s2 + 2s+ 2=
s+ 1
(s+ 1)2 + 1+
2
(s+ 1)2 + 1.
Dado que L[e−xcos(x)](s) = s+1(s+1)2+1
y L[e−xsen(x)](s) = 1(s+1)2+1
setiene que
L[y](s) = [e−xcos(x)](s) + 2L[e−xsen(x)](s)
= L[e−xcos(x) + 2e−xsen(x)](s).
Entoncesy(x) = e−x(cos(x) + 2sen(x)).
Andrés Iturriaga J. (DIM) Primavera 2012 36 / 37