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4.1
Capítulo 4. INTERACCIÓN ENTRE PARTÍCULAS Y FLUIDOS
4.1. Introducción
En los Capítulos 2 y 3 hemos visto la caracterización de partículas, lo cual es
importante para la producción, manejo, almacenamiento, transporte y venta de
sistemas particulados. En un proceso que involucra sólidos, el primer paso es la
caracterización de las partículas, sin embargo el comportamiento dinámico de las
partículas en relación al fluido que las rodea es de suma importancia en la mayoría de
los procesos.
4.2. Fluidodinámica de partículas individuales
Cuando una partícula cae en un fluido viscoso, existen tres fuerzas que actúan
sobre ella (ver Figura 4.1):
La fuerza gravitacional (peso) que actúa hacia abajo (W).
La fuerza de empuje (U).
La fuerza de arrastre (FD).
Movimiento
x
Peso (W)
Arrastre (FD)
Empuje (U)
Movimiento
x
Peso (W)
Arrastre (FD)
Empuje (U)
Figura 4.1. Balance de Fuerzas
Para el sistema de la Figura 4.1, la ecuación de movimiento resulta:
madtdumFUW D ==−− (4.1)
4.2
donde m es la masa de la partícula, u la velocidad de la misma y a la aceleración. La
ecuación (4.1) puede reescribirse como sigue:
dtdumFgmmg D
f =−− (4.2)
donde mf es la masa de fluido desalojada por la partícula (es decir, la masa del fluido
que tiene igual volumen que la partícula).
Si las partículas son pequeñas se aceleran rápidamente hasta llegar a una
velocidad constante (se requiere sólo del orden de ms) definida como velocidad terminal, bajo estas condiciones la aceleración es nula y la ecuación (4.2) se
transforma en :
0Fgmmg Df =−− (4.3)
Para una esfera conocemos que su masa está dada por:
p3x
6m ρ
π= (4.4)
donde ρp es la densidad de la partícula (detalles de las propiedades de una partícula
individual se presentan en el Anexo A del presente capítulo). x representa el diámetro
de la partícula, si es una esfera x será su diámetro, en cambio si se trata de una
partícula no esférica en las ecuaciones (4.4) y (4.5) x es el dv (diámetro de una esfera
equivalente que tiene igual volumen que la partícula bajo análisis).
La masa del fluido desplazado está dada por:
f3
f x6
m ρπ
= (4.5)
donde ρf es la densidad del fluido donde se mueve la partícula. Teniendo en cuenta las
ecuaciones (4.3) a (4.5), la fuerza de arrastre puede escribirse como:
( ) 3fpD xg
6F ρ−ρ
π= (4.6)
Cuando se trata de partículas que son irregulares (no esféricas), el valor de x que debemos usar en la fuerza de arrastre es el dV, es decir el diámetro de una esfera que posee igual volumen que la partícula original (para que se mantenga
la masa de la partícula y la del medio desplazado).
4.3
La fuerza de arrastre está relacionada con un factor de fricción, que en este
caso se llama, factor de arrastre (CD). La fuerza de arrastre en términos del coeficiente
de arrastre es:
p2
fDD AuC21F ρ= (4.7)
donde Ap es el área proyectada de la partícula, en el caso de una esfera el área
proyectada de la partícula está dada por el área del círculo. Igualando las expresiones
(4.6) y (4.7), el CD puede expresarse como sigue:
( )p
2f
3fp
DAu
xg3C
ρ
ρ−ρπ
= (4.8)
Si consideramos que para una esfera 4xA
2p
π= , la ecuación (4.8) puede
reescribirse como:
( )2
f
fpD
u
xg34
Cρ
ρ−ρ= Esfera! (4.9)
Si se conoce el valor del factor de arrastre es posible determinar la velocidad
terminal. A partir de datos experimentales se ha comprobado que el coeficiente CD
(que es un factor adimensional) es función del número de Reynolds de la partícula, el
cual se define como:
μρ
=xuRe f
p Esfera! (4.10)
Obviamente si se trata de una esfera, x representa su diámetro.
El CD no puede calcularse teóricamente, las correlaciones que algunos autores
han desarrollado dependen del producto CD Rep, el cual se puede expresar como:
( )u
xg34
ReC2
fppD
μ
ρ−ρ= Esfera! (4.11)
4.2.1. Ley de Stokes
La Figura 4.2 muestra una tabla de datos experimentales, y su expresión gráfica.
Para números de Reynolds muy bajos se verifica que el producto de los grupos
4.4
funcionales CDRep resulta aproximadamente constante. Para esta condición se dice
que se verifica el régimen de Stokes, para el cual es válida la siguiente relación:
25.02.0ReparaRe24C p
pD −<= (4.12)
Reemplazando la ecuación (4.12) en la (4.11):
( )25.02.0Repara
18
xgu p
2fp
t −<μ
ρ−ρ= Esfera! (4.13)
donde ut es la velocidad terminal.
0.1
1
10
100
1000
10000
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 100000 1E+06
Rep
C d
Figura 4.2. Datos experimentales de la relación entre el coeficiente de arrastre y el
número de Reynolds para una esfera en un líquido. Fuente: Allen (2003).
4.2.2. Predicción del coeficiente de arrastre fuera del régimen de Stokes.
Fuera del régimen de Stokes (Rep> 0.2-0.25), el CD debe calcularse por
correlaciones. Para el rango de Rep<2 105, Haider y Levenspiel (1989) hallaron una
correlación adecuada para partículas no esféricas, relacionando el CD (además de con
el Rep) con el factor de esfericidad (ψ):
( ) ( )[ ] ( )ψ
ψ−ψ+ψ−
+++= 2122.6
p
p0748.5
5565.00964.0p
0655.4
pD
e378.5Re
Ree69.73Ree171.81
Re24C (4.14)
Si se conoce el factor de esfericidad de la partícula, la ecuación (4.14) se
puede combinar con la (4.9) (aunque esta ecuación es para esferas) para obtener la
velocidad terminal. La corrección de la “no esfericidad” está contenida en la correlación
(4.14).
Cuando las partículas son esféricas, la ecuación (4.14) se reduce a:
Re Cd CdRe0.01 2400 240.02 1200 240.05 484 24.20.08 304 24.320.1 244 24.40.2 123 24.60.5 51.4 25.70.8 33.3 26.641 27.2 27.22 15 305 7.12 35.610 4.35 43.520 2.74 54.850 1.56 78100 1.1 110200 0.808 161.6500 0.568 2841000 0.46 4602000 0.42 840
4.5
( )5.2682Re
Re4607.0Re3643.3
Re24C
p
p3471.0p
pD +
++= − (4.15)
Como puede observarse en la Figura 4.3, la predicción (4.15) es muy buena
para Rep < 2 105. Existen muchas correlaciones, incluso algunas que ajustan los datos
experimentales en estrechos rangos de Reynolds, proveyendo entonces muchas
expresiones que son función del valor del Rep.
0.1
1
10
100
1000
10000
0.01 1 100 10000 1000000
Rep
CD
Cd Haider/Levenspiel 1989
Cd exp
Figura 4.3. Comparación de datos experimentales de la relación entre el coeficiente de
arrastre y el número de Reynolds con los predichos por la ecuación de Haider and Levenspiel (1989).
La Figura 4.4 muestra CD vs Rep, donde se indican las siguiente regiones según el
grado de mezclado del medio.
Figura 4.4. CD vs Rep e identificación de zonas según el mezclado del medio. Fuente:
Allen (2003).
4.6
4.2.3. Cálculo de la velocidad terminal
La velocidad terminal puede calcularse a partir de la ecuación (4.8) como sigue:
( )pfD
3fp
t AC
xg3u
ρ
ρ−ρπ
= (4.16)
Si la ecuación (4.16) se aplica a una partícula esférica, resulta:
( )fD
fpt C
xg34u
ρ
ρ−ρ= Esfera! (4.17)
A partir de la ecuación (4.17), debido a que CD es función del Rep y a su vez
éste es función de ut, resulta claro comprender que el cálculo de la velocidad terminal
requiere un procedimiento iterativo. Por ejemplo puede realizarse con el solver del
Excel. En la página web: http://www.filtration-and-separation.com/settling/settling.htm
se pueden calcular velocidades terminales para esferas y en cualquier rango de Rep.
Siempre es preferible disponer de una expresión explícita que una implícita
para el cálculo de una variable. Por esta razón, varios autores han tratado de ajustar
correlaciones utilizando grupos funcionales especiales:
( )
2
3ffp2
pD
xg34
ReCμ
ρρ−ρ= Esfera! (4.18)
Como puede observarse el lado derecho de la ecuación (4.18) no depende de
la velocidad terminal. Otro grupo funcional de interés es:
( ) μρ−ρ
ρ=
g34
uCRe
fp
32f
D
p (4.19)
El lado derecho de la ecuación (4.19), no depende del diámetro de la partícula,
depende de la velocidad terminal.
Haider y Levenspiel (1989), propusieron los dos siguientes grupos funcionales
adicionales para obtener una correlación explícita:
( ) 3/13/1
2pD
3/1
2ffp* ArReC
43g
xx =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
μ
ρρ−ρ= (4.20)
donde x* es el diámetro adimensional, y Ar el número de Archimides.
4.7
( ) 3/1p
3/1
D
p3/1
fp
2f*
Ar
ReCRe
34
guu =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
μρ−ρ
ρ= (4.21)
Utilizando datos experimentales, Haider y Levenspiel (1989), establecieron la
siguiente relación explícita (aproximada) con el objeto de determinar la velocidad
terminal para partículas esféricas ( )1=ψ .
( ) ( )
1
5.0*2**t
x
591.0
x
18u
−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+= (4.22)
Para partículas no esféricas se utiliza la siguiente correlación:
( ) ( )15.0para
x
744.1335.2
x
18u
1
5.0*2**t <ψ<
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ ψ−+=
−
(4.23)
La ecuación (4.23) no es válida para discos.
4.8
Figura 4.5. Visualización gráfica de la correlación de Haider y Levenspiel (1989). Fuente: Kunni y Levenspiel (1991). (dp*=x*; dp=x).
La Figura 4.5 representa en forma gráfica las ecuaciones (4.22) y (4.23).
Averiguar que son las Tablas de Heywood (Heywood Tables) para el cálculo de
velocidades terminales.
Ejemplo 4.1.
Calcular la velocidad terminal de una esfera que tiene una densidad de
partícula de 2650 kg/m3 en agua a 293 K. Las propiedades del agua a dicha
temperatura son: densidad= 998.2 Kg/m3, viscosidad= 1.002 10-3 Nsm-2. Considere
tres partículas de distinto diámetro: 100μm, 1mm, y 1cm. Utilice todos los métodos
(directos o iterativos) enseñados.
a) Método indirecto
b) Método indirecto: http://www.filtration-and-separation.com/settling/settling.htm
x1=1e-4 m ut= 0.0081 m/s
x2=1e-3 m ut= 0.156056 m/s
x3=1e-2 m ut= 0.743485 m/s
c) Método directo: Haider y Levenspiel (1989).
ρp= 2650 Kg/m3ρf= 998.2 Kg/m3μ= 1.00E-03 Nsm-2x1= 1.00E-04 m x2= 0.001 m x3= 0.01 m
Método Haider y Levenspiel (1989)
Para la partícula x1 Para la partícula x2 Para la partícula x3
ut propuesta, m/s Rep Cd ut, calc ut propuesta, mRep Cd ut, calc ut propuesta, mRep Cd ut, calc1.00E-01 9.96E+00 3.93E+00 0.023480978 1.00E-01 9.96E+01 9.39E-01 0.15185664 1.00E-01 9.96E+02 4.55E-01 0.68958746
0.023480978 2.34E+00 1.28E+01 0.013021439 0.151856642 1.51E+02 7.72E-01 0.16739035 0.68958746 6.87E+03 4.92E-01 0.663590890.013021439 1.30E+00 2.16E+01 0.010016028 0.167390346 1.67E+02 7.41E-01 0.17096204 0.66359089 6.61E+03 4.90E-01 0.664513760.010016028 9.98E-01 2.74E+01 0.00888467 0.17096204 1.70E+02 7.34E-01 0.17173196 0.66451376 6.62E+03 4.90E-01 0.66448001
0.00888467 8.85E-01 3.06E+01 0.008406801 0.171731961 1.71E+02 7.33E-01 0.17189559 0.66448001 6.62E+03 4.90E-01 0.664481240.008406801 8.37E-01 3.22E+01 0.00819426 0.171895594 1.71E+02 7.32E-01 0.17193027 0.66448124 6.62E+03 4.90E-01 0.66448119
0.00819426 8.16E-01 3.30E+01 0.008097468 0.171930266 1.71E+02 7.32E-01 0.17193761 0.66448119 6.62E+03 4.90E-01 0.66448120.008097468 8.07E-01 3.34E+01 0.008052906 0.171937608 1.71E+02 7.32E-01 0.17193916 0.6644812 6.62E+03 4.90E-01 0.66448120.008052906 8.02E-01 3.35E+01 0.0080322850.008032285 8.00E-01 3.36E+01 0.0080227220.008022722 7.99E-01 3.37E+01 0.0080182810.008018281 7.99E-01 3.37E+01 0.0080162180.008016218 7.99E-01 3.37E+01 0.0080152590.008015259 7.98E-01 3.37E+01 0.008014814
( )fD
fpt C
xg34u
ρ
ρ−ρ=( )
5.2682ReRe4607.0
Re3643.3Re24C
p
p3471.0p
pD +
++= −
μρ
=xuRe f
p
ρp= 2650 Kg/m3ρf= 998.2 Kg/m3μ= 1.00E-03 Nsm-2
x1= 1.00E-04 m x2= 0.001 m x3= 0.01 mx1∗= 2.52562885 x2∗= 25.2562885 x3∗= 252.562885
ut1*= 0.31311382 ut2*= 6.857900525 ut3*= 26.68789204ut1= 0.0079382 ut2= 0.17386448 ut3= 0.67660306
4.9
d) Comparación:
x, m Implícito, ut; m/s Web, ut; m/s Explícito, ut; m/s
1e-4 0.00801 0.0081 0.0079
1e-3 0.17193 0.156056 0.17386
1e-2 0.66448 0.743485 0.67660
4.2.4. Velocidad terminal para partículas no esféricas. Régimen de Stokes
Hemos ya visto que la fuerza de arrastre puede calcularse como lo expresa la
ecuación (4.6), donde se dejó en claro que el valor del tamaño que se debe usar es el
dV. La ecuación (4.6) puede reescribirse como sigue:
( ) 3VfpD dg
6F ρ−ρ
π= (4.24)
Recordemos también que la fuerza de arrastre está relacionada con el factor de
arrastre según la ecuación ya vista (4.7):
p2
fDD AuC21F ρ= (4.7)
donde Ap es el área proyectada de la partícula. La definición del área proyectada
merece una atención especial. La ecuación (4.7), para partículas no esféricas, debe
expresarse como sigue:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ πρ=
4d
uC21F
2d2
fDD (4.25)
donde dd es el diámetro equivalente de una esfera que posee el área proyectada de la
partícula en la dirección perpendicular al movimiento. Como ya se mencionara en el
capítulo 2, las partículas en régimen laminar se mueven al azar, mientras que en
régimen turbulento se orientan en la dirección que ofrece la mayor resistencia. El
diámetro de arrastre (dd) es prácticamente imposible de ser determinado. Sin embargo,
en régimen laminar, el diámetro dd tiende a ser igual al dS (diámetro de una esfera
equivalente que posee igual área externa que la partícula 2/1
SSd ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
π= ). Igualando las
expresiones (4.24) y (4.25) se obtiene:
4.10
( )2d
2f
3Vfp
Ddu
dg34
Cρ
ρ−ρ= (4.26)
Si se verifica el régimen laminar p
D Re24C = . El Rep para partículas no esféricas, Allen
(2003) propone calcularlo en el régimen laminar como μ
ρ= Sf
pud
Re ; reemplazando
la expresión de Cd para flujo laminar, la nueva definición de Reynolds en la ecuación
(4.26) resulta:
( )s
3Vfp
d18
dgu
μ
ρ−ρ= (4.27)
Recordemos que la esfericidad la podíamos calcular como:
S
V2
S
Vdd
o;dd
=ψ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=ψ (4.28)
Por lo tanto, la ecuación (4.27) también puede escribirse como:
( )μ
ψρ−ρ=
18dg
u2Vfp Régimen de Stokes, partícula no esférica! (4.29)
El diámetro de Stokes que definimos en el Capítulo 2 era:
( )2/1
fpSt g
u18d⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
ρ−ρμ
= (2.8)
Por lo tanto el diámetro de Stokes representa: 2/1
s
3
St d
dvd⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= (4.30)
4.2.5. Velocidad terminal de una partícula que está influenciada por otras
Cuando muchas partículas fluyen en un fluido, el movimiento de cada partícula
está influenciado por la presencia de las otras. La velocidad terminal obtenida para
una partícula que cae en un fluido “limpio” no es válida para modelar la caída de una
partícula cuando la rodea una suspensión.
4.11
Para una suspensión de partículas en un fluido la velocidad terminal de una
partícula disminuye por cambios de propiedades del fluido. Es necesario definir la
viscosidad y densidad del fluido efectivas:
Viscosidad efectiva: ( )εμ=μ f/e (4.31)
Densidad de la suspensión efectiva: ( ) pffe 1 ρε−+ρε=ρ (4.32)
donde ε representa la porosidad (volumen ocupado por el fluido dividido el volumen
total). Por ejemplo, para el régimen de Stokes, el coeficiente de arrastre debe
calcularse como sigue:
xu24
Re24C
fete
eep
D ρμ
== (4.33)
Si se reemplazan las propiedades efectivas en lugar de las del fluido en la
ecuación (4.13), resulta:
( ) ( )μ
εερ−ρ=
18
fxgu
2fp
t Esfera! (4.34)
Muchos autores han encontrado que:
( ) mf ε=ε (4.35)
Si tenemos en cuenta las definiciones (4.34) y (4.35), resulta:
( ) nttet ufuu ε=εε= (4.36)
De la ecuación (4.36) resulta claro que la velocidad terminal efectiva será
menor que la de una partícula aislada (recordar que la porosidad es siempre menor
que 1 y que los exponentes n resultan mayores que 1). La Tabla 4.1 muestra los
valores obtenidos por la correlación de Richardson-Zaki:
Tabla 4.1. Valores del coeficiente n (ecuación 4.26). Fuente: Seville et al. (1997).
Rep N
Rep≤0.2 4.6
0.2<Rep<1.0 4.4 Rep-0.033
1.0≤Rep<500 4.4 Rep-0.1
500≤Rep 2.4
4.12
El Rep se calcula utilizando las propiedades del fluido (sin considerar las
partículas).
Recordemos que determinamos la velocidad terminal de una partícula
seleccionada, sólo que en este caso se encuentra rodeada por otras.
4.3. Fluidodinámica de sistemas particulados. Lechos Fijos
La sección anterior se refirió exclusivamente a partículas individuales. Sin
embargo, como ya se ha comentado en capítulos anteriores es frecuente la existencia
de sistemas particulados. Por esta razón, a continuación se discutirán aspectos
fluidodinámicos relacionados con sistemas de múltiples partículas, con especial
énfasis en lechos empacados con sólidos.
Un lecho empacado, o también denominado lecho fijo, se refiere a un dado
recipiente (de cualquier forma o volumen) donde se ha “empacado” material sólido. La
Figura 4.6 muestra un ejemplo de un lecho fijo, donde se han empacado sólidos en
una unidad de geometría cilíndrica. El flujo de fluidos líquidos o gaseosos puede
circular en cualquiera de las direcciones. El ejemplo más sencillo de lechos fijos,
relacionado con nuestra vida cotidiana, es el filtro de agua potable. Algunas de las
propiedades relevantes de lechos fijos se presentan en el Anexo A.
Figura 4.6. Lecho empacado o fijo
4.13
4.3.1. Ley de Darcy
El francés Darcy realizó una serie de experimentos de filtración de aguas en 1856.
En la Figura 4.7 se muestra un esquema del aparato usado para calcular las leyes de
flujo de agua a través de arena pura.
Arena
h1 h2L
Δh
Líneade referencia
Figura 4.7. El experimento de Darcy
Darcy descubrió que la velocidad con que circulaba el agua por el lecho de
arena era directamente proporcional a la diferencia de alturas (carga hidráulica) e
inversamente proporcional a la longitud del lecho de arena. La expresión resultante es:
LhK
0LhhKu c
12c Δ
Δ−=−−−= (4.37)
donde, u= velocidad superficial (caudal/área transversal del tubo o lecho), m/s
Kc=conductividad hidráulica o permeabilidad, m/s
Δh=h2-h1= cambio de carga en la distancia L, m
El signo menos de la ecuación (4.37) indica que el fluido fluye en el sentido
contrario al aumento de altura. El caudal puede expresarse como:
LhhAKQ 12
c−
−= (4.38)
donde, Q= caudal, m3/s
A=área transversal (sin contar los sólidos!), m2
L
hh 12 − = gradiente hidráulico
Planteemos la ecuación de Bernoulli para los puntos 1 y 2 de la Figura 4.7:
1
2
4.14
f
22
f
22
21
f
11 H
g2v
gp
hg2
vg
ph =−
ρ−−+
ρ+ (4.39)
donde Hf representa las pérdidas de energía por fricción.
La Ley de Darcy es válida sólo para bajas velocidades de líquidos (flujo
laminar), por lo tanto puede asumirse que los términos de energía cinética son
despreciables frente a los de energía potencial y presión. Por lo tanto la ecuación
(4.39) se reduce a:
ff
22
f
11 H
gph
gph =
ρ−−
ρ+ (4.40)
Para el ejemplo de la Figura 4.7, las presiones manométricas en los puntos 1 y
2 son 0, de modo que la ecuación (4.40) se reduce a :
f21 Hhh =− (4.41)
El cambio de carga (h2-h1) de la ecuación (4.38) puede interpretarse como la
energía perdida como resultado de la fricción del agua que fluye a través del medio
poroso. La velocidad de Darcy, como ya dijimos es válida para líquidos circulando por
lechos fijos a muy baja velocidad. No es válida para gases a bajas o altas velocidades,
ya que se asume que la densidad del fluido no cambia en la ecuación (4.40).
La Kc es función de las propiedades del medio poroso, del tamaño de
partículas y de las propiedades del fluido. A modo de ejemplo se introducen las Tablas
4.2 y 4.3 donde se muestra la variación de los valores de Kc para distintos sólidos y
distintos fluidos, respectivamente.
4.15
Tabla 4.2. Valores típicos de permeabilidad. Fluido: Agua.
Material Permeabilidad, m/día
Arcilla 0.0004
Arena 40
Grava 4000
Grava y arena 400
Granito 0.0004
Tabla 4.3. Conductividades hidráulicas de diferentes
compuestos en un mismo tipo de suelo.
Compuesto Kc, m/s ( en arcilla
natural) Agua 7x10-7
Anilina 2.1x10-6
Acetona 1.1x10-7
Heptano 2.6x10-7
Xileno 3.3x10-7
La Ley de Darcy en su fórmula original es muy restringida y no es muy útil. Por
esta razón surgieron a partir del experimento de Darcy varios investigadores que
trataron de dar correlaciones que ampliaran la aplicabilidad de la Ley de Darcy. Antes
de discutir una de las correlaciones más usada, se trabajará sobre la definición de
distintas velocidades en medios porosos.
4.3.2. Velocidad Superficial vs. Intersticial
La pregunta básica que nos podemos hacer es ¿es la velocidad de Darcy la que
posee el fluido cuando circula por el medio poroso?. Consideremos la Figura 4.8,
donde se observa la sección transversal de un lecho fijo.
4.16
Figura 4.8. Flujo en medios porosos
El caudal que pasa por el área transversal del volumen de control debe ser
igual al caudal que pasa por los espacios libres entre las partículas, en otros términos:
Qsección vacía=Qárea libre de paso (4.42)
La ecuación (4.42) se puede reescribir como:
u A=up Ap (4.43)
donde u es la velocidad superficial (basada en el área del lecho A), mientras que up es
la velocidad intersticial (basada en el área libre de paso Ap; área negra en la Figura
4.8). Si la ecuación (4.43) se multiplica por el largo del lecho (L), resulta:
u A L=up Ap L (4.44)
Teniendo en cuenta que (A L) es el volumen del lecho (V), y (Ap L) es el
volumen de fluido contenido en el lecho resulta:
u =up εB (4.45)
donde εB es la porosidad del lecho, que posee unidades de 3B
3f m/m . Por lo tanto las
unidades estrictas de la velocidad intersticial (up) son sm/m 3B
4f o genéricamente
(m/s).
4.3.3. Ecuación de Ergun
Luego de varias correlaciones que evolucionaron de la Ley de Darcy (1856), Ergun
casi cien años después (1952) obtuvo una correlación que incorpora la porosidad del
lecho a los efectos de contabilizar la velocidad real del fluido en el medio poroso. Esta
correlación es ampliamente usada y sólo deja de ajustar datos experimentales para
valores de Reynolds muy elevados. La ecuación de Ergun para un sistema como el
4.17
mostrado en la Figura 4.9 constituido por partículas de igual tamaño, está dada por la
expresión (4.45):
p1 p2
L
p1 p2p1 p2
L
Figura 4.9. Definiciones de presiones en un lecho empacado
Para partículas de una misma medida, sistemas monodispersos:
( ) ( )
SV
2f
3B
B2SV
3B
2B12
d
u175.1
du1
150L
ppLP ρ
ε
ε−+
μ
ε
ε−=
−=
Δ− (4.45)
donde u es la velocidad superficial del fluido, μ y ρf la viscosidad y densidad del fluido,
εB la porosidad del lecho, p2 y p1 las presiones a la salida y entrada del lecho
respectivamente y dSV el diámetro de una esfera que posee la misma relación de
área/volumen que la partícula original. Con las definiciones del capítulo 2, es posible
verificar que:
VSV dd ψ= (4.46)
Por lo tanto, la ecuación (4.45) suele expresarse también en términos de la
esfericidad y el dV (diámetro de una esfera que posee igual volumen que la partícula).
( )( )
( )V
2f
3B
B2
V3B
2B12
du1
75.1d
u1150
Lpp
LP
ψρ
ε
ε−+
ψ
μ
ε
ε−=
−=
Δ− (4.47)
Dos lechos, uno relleno con partículas esféricas y otro con irregulares, tendrán
igual caída de presión si se conserva el área total superficial y la misma fracción de
vacíos (que es lo mismo que mantener el volumen de sólidos si la geometría del lecho
está definida). Por esta razón el diámetro equivalente que debemos usar es el dSV.
4.18
Para partículas de distinto tamaño, sistemas particulados generales:
( ) ( )
SV
2f
3B
B2SV
3B
2B12
x
u175.1
xu1
150L
ppLP ρ
ε
ε−+
μ
ε
ε−=
−=
Δ− (4.48)
donde xSV es el diámetro que mantiene la relación S/V de la población, también
llamado media aritmética en superficie o diámetro Sauter. Este diámetro también
coincide con el medio armónico determinado a partir de una distribución en volumen o
masa.
El primer término del lado derecho de la ecuación de Ergun representa el
componente laminar al gradiente de presión. El segundo término corresponde al
régimen turbulento. De manera que, en flujo laminar el gradiente de presión aumenta
de manera lineal con la velocidad. En cambio en el régimen turbulento, la caída de
presión aumenta de manera cuadrática y es independiente de la viscosidad del fluido.
Ejemplo 4.2 Una solución de densidad 1100 Kg/m3 y viscosidad 2E-3 Pa s fluye a través de
un lecho empacado. El diámetro del lecho es de 0.2 m y tiene un largo de 0.5 m. Las
partículas son cilíndricas con un diámetro de 1 mm y una longitud de 2 mm. La
porosidad del lecho es del 30%.
a) La bomba que impulsa el fluido admite una caída de presión total de
alrededor de 1 atmósfera, estime cual es el caudal máximo que puede
hacer circular por este lecho.
b) Dibujar la caída de presión en función de la velocidad superficial del fluido.
Datosρf= 1100 Kg/m3μf= 2.00E-03 Pa s
dcilindro= 0.001 mLcilindro= 0.002 m
Dlecho= 0.2 mLlecho= 0.5 m
εB= 0.3
Calculo del dSV
S cilindro= 7.85398E-06 m2V cilindro= 1.5708E-09 m3S/V= 5000 m-1
dsv= 0.0012 m
SV6dSV =
4.19
( ) ( )
SV
2f
3B
B2SV
3B
2B12
x
u175.1
xu1
150L
ppLP ρ
ε
ε−+
μ
ε
ε−=
−=
Δ−
0
100
200
300
400
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
u, m/sA
P/L,
AP/L completoAP/L laminarAP/L turbulento
Cálculo del delta P como función de la velocidadu, m/s (-AP/L), KPa/m laminar turbulento
0.001 3.822453704 3.7808642 0.041589510.003 11.71689815 11.3425926 0.374305560.005 19.94405864 18.904321 1.039737650.007 28.50393519 26.4660494 2.03788580.009 37.39652778 34.0277778 3.368750.011 46.62183642 41.5895062 5.032330250.013 56.17986111 49.1512346 7.028626540.015 66.07060185 56.712963 9.357638890.017 76.29405864 64.2746914 12.01936730.019 86.85023148 71.8364198 15.01381170.021 97.73912037 79.3981481 18.34097220.023 108.9607253 86.9598765 22.00084880.025 120.5150463 94.5216049 25.99344140.027 132.4020833 102.083333 30.318750.029 144.6218364 109.645062 34.97677470.031 157.1743056 117.20679 39.96751540.033 170.0594907 124.768519 45.29097220.035 183.277392 132.330247 50.94714510.037 196.8280093 139.891975 56.9360340.039 210.7113426 147.453704 63.25763890.041 224.927392 155.015432 69.91195990.043 239.4761574 162.57716 76.89899690.045 254.3576389 170.138889 84.218750.047 269.5718364 177.700617 91.87121910.049 285.11875 185.262346 99.85640430.051 300.9983796 192.824074 108.1743060.053 317.2107253 200.385802 116.8249230.055 333.755787 207.947531 125.808256
4.20
APÉNDICE A: PROPIEDADES DE PARTÍCULAS INDIVIDUALES Y SISTEMAS PARTICULADOS
A.1. Densidad de la partícula (ρp)
La Figura A.1 muestra una partícula irregular con poros internos. La densidad
de la partícula se define como:
p
pp V
m=ρ (A.1)
donde pm es la masa de la partícula (g), pV es el volumen de la partícula completo
(sin restarle los poros) (cm3partícula) y pρ es la densidad de la partícula y tiene unidades
de g/ cm3partícula.
Figura A.1. Partícula irregular porosa.
A.2. Densidad del sólido (ρs)
La densidad del sólido se define como:
s
ps V
m=ρ (A.2)
donde pm es la masa de la partícula (g), sV es el volumen de la partícula sólida
(descontando los poros) (cm3sólido) y sρ es la densidad del sólido y tiene unidades de g/
cm3sólido.
4.21
A.3. Porosidad de la partícula (εp)
La porosidad de la partícula representa la fracción del volumen total de la
partícula que ocupan los poros, se define como:
p
spp V
VV −=ε (A.3)
La porosidad de la partícula tiene unidades de cm3vacíos /cm3
partícula. Esta variable
permite relacionar la densidad de la partícula con la del sólido:
( )psp 1 ε−ρ=ρ (A.4)
A.4. Densidad del lecho (ρB)
En la Figura A.2 se muestra un tubo empacado con partículas sólidas, esta
configuración se denomina lecho empacado o lecho fijo.
Figura A.2. Esquema de un tubo relleno con partículas sólidas porosas (lecho fijo o
empacado).
La densidad del lecho se define como sigue:
4.22
3B
BmKg
=ρ (A.5)
donde mB representan metros del lecho (bed). Esta densidad es el peso del sólido por
unidad de volumen de la unidad donde se encuentran empacados los sólidos. Una
manera práctica de determinar esta densidad es empacar la unidad seleccionada con
las partículas (puede lograse diferentes grados de compactación, por ejemplo
golpeando las paredes del recipiente) y luego pesar la unidad empacada. Haciendo el
cociente del peso del material sólido dividido el volumen interno de la unidad se
establece la densidad del lecho.
A.5. Porosidad del lecho (εB)
3B
3partícula
B
3B
3f
3B
3vacios
B
m
m1
m
m
m
m
=ε−
==ε
(A.6)
La porosidad del lecho se define como el volumen vacío de la unidad respecto
al volumen total de la misma. La Figura A.3 ilustra en la zona gris el volumen de
vacíos del lecho.
Figura A.3. La zona gris representa el volumen de vacíos del lecho
De acuerdo a las definiciones anteriores, surgen la siguiente relación entre las
densidades del lecho y partícula con la porosidad del lecho:
( ) 3B
3partícula
3B
3partícula
PBBm
Kg
mKg
m
m1 ==ρε−=ρ (A.7)
4.23
A.6. Cálculo de porosidad del lecho para sistemas particulados (εB)
La porosidad del lecho para partículas de igual tamaño y con formas regulares ha
logrado correlacionarse con cierto éxito, sin embargo cuando el lecho está relleno con
partículas irregulares y de distinto tamaño es difícil obtener correlaciones adecuadas.
En la medida de lo posible conviene determinarla experimentalmente, por ejemplo
conociendo la densidad de la partícula y la del lecho (ver ecuación A.8).
Para comprender el problema de la porosidad observemos las Figura A4a y b que
representan las porosidades de un lecho empacado con esferas de igual tamaño y
con una mezcla binaria de esferas de distinto tamaño. Puede observarse, que para el
volumen de control seleccionado, la porosidad del lecho es mayor para el caso que se
utilizan partículas de igual tamaño. Cuando se combinan partículas de diferente
diámetro la porosidad desciende. Sin embargo, esta conclusión aparentemente clara
debe analizarse con cuidado ya que la segregación de partículas es factible.
Figura A.4a. Sistema monodisperso
Figura A.4a. Sistema bidisperso
εs
εb
Xb,min ,εav,min
εav
Xb0 1
εs
εb
Xb,min ,εav,min
εav
Xb0 1
Figura A.5. Porosidad promedio en función la fracción volumétrica de las partículas
grandes de una mezcla binaria. Esferas. Adaptado de Yang (2003).
4.24
La Figura A.5. muestra la porosidad promedio de un lecho en función de Xb
que representa la fracción volumétrica de las partículas de mayor tamaño. Las
porosidades εs y εb indican las porosidades del lecho si estuviera relleno solamente
con partículas pequeñas o grandes, respectivamente. Cuando Xb<Xb,min las partículas
grandes están distribuidas al azar junto con las pequeñas, se considera que el estado
del lecho es de mezclado completo. Sin embargo cuando Xb>Xb,min, disminuye la
cantidad de las partículas pequeñas, las cuales pueden segregar ocasionando un
aumento de la porosidad promedio.
Hasta el momento hemos visto sólo la complejidad que introduce mezclar sólo
esferas de dos tamaños distintos. Ahora tengamos en cuenta el grado de
compactación del lecho. Si el lecho no se hace vibrar o asentar, la porosidad del lecho
será mayor. Cuando se somete el lecho a un proceso de vibración, se permitirá el
acomodamiento de las partículas, y exceptuando que la segregación sea de
importancia, la porosidad disminuirá.
Podemos concluir claramente que es muy difícil contar con valores de
porosidad del lecho confiables de correlaciones disponibles de la literatura. Como se
ha dicho, será conveniente la evaluación de la porosidad de manera experimental, ya
sea por la ecuación de Ergun o por la relación A8.
Aquí sólo se incluirá las correlaciones para esferas de un solo tamaño. Dixon
en 1988 presentó las siguientes relaciones:
536.0Dd
1Dd
2Dd
667.01
536.0Dd
5.05.0Dd
464.2528.0
5.0Dd
Dd
412.0Dd
05.04.0
p5.0
p3
pB
ppB
p2
ppB
>⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=ε
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=ε
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=ε
−
(A.8)
donde dp es el diámetro de la esfera y D es el diámetro del lecho.
La Figura A.6 muestra la porosidad de un lecho de D=0.2 m para
distintos tamaños de partículas. Puede observarse que aunque el lecho esté lleno de
partículas monodispersas y esféricas, cuando el diámetro de las partículas se acerca
al diámetro del ducto, la porosidad es menor que en el caso que el lecho se empacara
con partículas pequeñas. La Figura A.7 ayuda a comprender este fenómeno.
4.25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
d/D
Por
osid
ad c
on m
onod
ispe
rsas
Figura A.6. Representación de la ecuación (A.8) para distintos tamaños de partículas
esféricas y para un único D=0.2 m.
Figura A.7. Ductos empacados con partículas de diámetro próximo a D vs lechos
rellenos con partículas pequeñas.