8-1

Capítol 8

Materials semiconductors

8.1 Introducció

8.2 Diferències entre semiconductors i

conductors

8.3 Model d’enllaç covalent

8.4 Semiconductors intrínsecs i extrínsecs

8.4 Model de bandes d’energia

8.5 Llei d’acció de masses. Llei de

neutralitat elèctrica

8.6 Propietats del germani i del silici. Àtoms

donadors i acceptors per al germani i el

silici

8.7 Qüestions i problemes

Objectius• Descriure qualitativament el comportament dels

semiconductors.

• Justificar mitjançant el model d’enllaç covalent lescaracterístiques dels semiconductors intrínsecs i extrínsecs.

• Introduir el model de bandes d’energia.

• Definir portadors majoritaris i minoritaris, impuresesdonadores i acceptores, i les concentracions d’aquestes.

• Enunciar les lleis d’acció de masses i neutralitat elèctrica iaplicar-les al càlcul de concentracions de portadors.

8.1 IntroduccióAbans de començar amb la descripció dels materials semiconductors,

per a ressaltar-ne la importància en la tecnologia actual, vegem duesaplicacions senzilles i ben conegudes en electrònica i informàtica.

La primera d’aquestes és el dispositiu denominat rectificador de senyalsque transforma una diferència de potencial variable en una altra la polaritat dela qual siga sempre la mateixa. Aquest dispositiu es pot realitzar mitjançant la

8-2

utilització de quatre díodes en la configuració que indica la Figura 8.1 (circuitdenominat pont de díodes). Si, per exemple, entre A i B s’aplica una diferènciade potencial sinusoïdal, a l’eixida del pont, entre els punts C i D, obtenim unadiferència de potencial variable en la qual l’interval de polaritat negativa s’hatransformat en positiva, que manté la forma de l’ona sinusoïdal. Si afegim al’eixida un condensador, es pot arribar a allisar la diferència de potencial al’eixida fins a arribar a ser constant. Aquest dispositiu s’utilitza, per exemple, enles fonts d’alimentació dels ordinadors per a transformar la tensió alterna de laxarxa elèctrica en una tensió contínua, que és la utilitzada en l’electrònicadigital.

0

Vs Vm

T t0

Ve

-Vm

T tT/2 T/2R

D1 D2

D4D3

A

B

C DVs

Ve

Figura 8.1. Rectificació del corrent altern en un pont de díodes. A l’esquerra es representa la tensiód’entrada Ve que s’aplica en els punts A i B, i a la dreta la tensió d’eixida entre els punts C i D, Vs.

Una altra aplicació és la porta inversora, una porta lògica la taula deveritat de la qual és la que es mostra en la taula, i que es pot realitzarmitjançant el circuit de la Figura 8.2 que conté un transistor:

R1

R2

R3

C

AY

vi

vO

5V

0V0V

A Y

Y A=

INVERSOR

Entrada: A Eixida: Y10

01

Figura 8.2. Porta lògica inversora.

En aquests dos circuits apareixen el díode i transistor, components queactualment es construeixen utilitzant materials semiconductors. Elcomportament d’aquests elements es deu a la naturalesa d’aquests materials.Els exemples més característics de materials semiconductors són el Ge i Si, toti que n’hi ha molts d’altres: GaAs (arsenur de gal·li), GaP, InAs, InP, InGaAs,InGaAsP, GaAsP, SiC, ZnSe... En aquest tema descriurem les propietatsfonamentals dels materials semiconductors, i introduirem dos models (model del’enllaç covalent, i model de bandes d’energia) que ens permetran entendre’n elcomportament. Aquest estudi es realitzarà des d’un punt de vista puramentqualitatiu i descriptiu, ja que la comprensió completa de les característiques ipropietats dels materials semiconductors implicaria aprofundir en la física del’estat sòlid, la qual cosa queda lluny dels objectius del present llibre, i de lestitulacions a les quals s’adreça.

8-3

8.2 Diferències entre semiconductors i conductorsAnalitzarem les diferències fonamentals entre semiconductors i

conductors, per a després descriure els models de semiconductor que lesjustifiquen.

Conductivitat elèctricaUna diferència quantitativa fonamental entre conductors, semiconductors

i aïllants és la major o menor facilitat que presenten al pas del corrent elèctric,és a dir, la conductivitat que presenten els materials.

En la taula següent podem observar l’ordre de magnitud de laconductivitat per a materials aïllants, semiconductors i conductors.

CONDUCTIVITAT(Ωm)-1 Tipus de material Exemple

< 10-8 AÏLLANT quars, plàstic10-8 SEMICONDUCTOR PUR silici, germani10-8 - 106 SEMICONDUCTOR AMB IMPURESES Si, Ge dopats106 - 108 CONDUCTOR plata, coureTaula 8.1. Ordres de magnitud de la conductivitat per a materials aïllants, semiconductors i conductors.

Els semiconductors típics purs, germani i silici, tenen conductivitats queels situarien pròxims als aïllants. Però si hi introduïm petites quantitats, de voramilionèsimes parts, d’uns altres elements, la seua conductivitat pot augmentar isituar-se pròxima a la dels conductors. Aquesta modificació delssemiconductors purs es denomina dopatge, i es descriurà amb detall mésendavant.

Variació de la conductivitat amb la temperaturaEn les gràfiques de la Figura 8.1 podem veure com per al coure, igual

que tots els conductors, a temperatures baixes la conductivitat és gran, idisminueix en augmentar la temperatura, tot i que es manté en el mateix ordrede magnitud. Tanmateix, en el germani, com en tots els semiconductors purs, atemperatures molt baixes la conductivitat és pràcticament nul·la, i augmentaconsiderablement en augmentar la temperatura.

σ (Ω

m)-1

x 1

08

0 200 400 600 800 1000 1200

T (ºC)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 0 200 400 600 800 -200

T (K)

σ (Ω

m)-1

x 10

6

0 200 400 600 800 1000 1200

T (ºC)

0

1

2

3

4

5 0 200 400 600 800 -200

T (K)

Cu Ge

Figura 8.1. Comparació del comportament de conductors isemiconductors enfront de la temperatura.

8-4

Per al cas de semiconductors dopats, s’observa una variació de laconductivitat amb la temperatura diferent en el cas d’un semiconductor pur. Enla gràfica de la Figura 8.2 es compara la conductivitat del Si pur amb la del Sidopat amb dues concentracions d’impureses diferents. En el Si amb impuresess’observa com a temperatures molt baixes (pròximes al zero absolut) esprodueix un augment brusc de la conductivitat, després es manté constant, i hiapareix un nou augment de la conductivitat a temperatures més altes, anàleg alcas del Si pur.

0

1

2

0 100 200 300 400 500T (K)

Con

duct

ivita

t (Ω

−1m

-1)

Si pur

ND=5⋅1019 m-3

ND=1020 m-3

Figura 8.2. Variació de la conductivitat amb la temperatura per al Sipur i Si dopat amb diferents concentracions d’impureses.

Variació de la conductivitat amb la il·luminació del materialQuan s’il·lumina un semiconductor

amb una radiació lluminosa d’energiavariable, s’observa que la conductivitat delmaterial varia tal com mostra la gràfica dela Figura 8.1. En aquesta gràficaobservem dos aspectes destacables:1. Cal un valor mínim d’energia dels

fotons1 perquè la conductivitat delmaterial il·luminat varie, i s’observa amés en aquesta energia dels fotons unsalt brusc en la conductivitat.

2. Una variació en l’energia dels fotonsproporciona una variació en laconductivitat del material.

En realitzar la mateixa experiènciaamb un material conductor, no s’observavariació de la conductivitat en funció de l’energia dels fotons.

1 El comportament de la llum quan interacciona amb la matèria es descriu considerant la llumcomposta per paquets d’energia, denominats fotons. Un fotó té una energia E relacionada ambla freqüència f i la longitud d’ona λ de l’ona lluminosa, per l’equació E = h f = h c / λ, sent h laconstant de Planck i c la velocitat de la llum. Cada fotó pot interactuar amb una única partículaa la qual subministrarà la seua energia.

Freqüència de radiacióEnergia dels fotons

Foto

cond

uctiv

itat d

el G

e

Figura 8.1. Variació de la conductivitat amb lail·luminació.

8-5

Efecte HallLes propietats descrites anteriorment tenen la característica comuna que

en il·luminar o augmentar la temperatura del material, en realitat estem aportantenergia al semiconductor. L’experiència que es descriu a continuació ésconceptualment diferent a les anteriors.

L’efecte Hall (que serà estudiat amb detall en el tema 11 de campmagnètic) permet distingir el signe dels portadors de càrrega en un material.Mitjançant aquest efecte s’observa que en els materials conductors elsportadors de càrrega tenen signe negatiu, són els electrons lliures, mentre queen els semiconductors els portadors de càrrega poden tenir signe negatiu osigne positiu.

En un conductor pel qual circula un corrent, en presència d’un campmagnètic perpendicular al moviment de les càrregues, apareix una separacióde càrregues que dóna lloc a un camp elèctric en l’interior del conductorperpendicular al moviment de les càrregues i al camp magnètic aplicat, i enconseqüència una diferència de potencial entre els punts C i A de la Figura 8.1.

L’existència d’aquesta diferènciade potencial es posa demanifest experimentalment, encol·locar un voltímetre precísentre els punts A i C. Aquestadiferència de potencial sol serde l’ordre de microvolts. En elcas que considerem, iconnectant el positiu delvoltímetre al punt C i el negatiu

al punt A, el voltímetre ens proporcionaria una lectura positiva; és a dir, latensió en el punt C és superior a la tensió en el punt A.

Si substituïm el material conductor per una barra de silici dopat ambàtoms de fòsfor i repetim l’experiència, s’obté que, novament, apareix entre elpunt C i el A una diferència de potencial, que igual que en el cas de la barraconductora correspon a un valor de la tensió en C superior a la tensió en A; lalectura del voltímetre és novament positiva, tot i que ara és de l’ordre demil·livolts. Aquest resultat ens confirmaria que en el semiconductor dopat ambfòsfor els portadors de càrrega continuen sent els electrons lliures.

Si en lloc de dopar el silici amb àtoms de fòsfor (material pentavalent,cinc electrons en l’última capa), el dopem amb àtoms de gal·li, per exemple,(material trivalent) els resultats experimentals canvien. El voltímetre connectatentre els punts C i A ens indica que continua havent-hi una diferència depotencial de l’ordre de mil·livolts entre aquests dos punts, però ara aquestadiferència de potencial és negativa, i la tensió en el punt C és inferior a la tensióen el punt A. Recordem que no hem modificat ni el sentit del corrent, ni el delcamp magnètic. Com podem explicar aquesta diferència?

0

+ -

VH va

F

B

I

A

C

Figura 8.1. Efecte Hall en un metall o en un semiconductortipus n.

8-6

L’única explicaciópossible és que, en dopar ambgal·li, els portadors de càrregaresponsables del corrent elèctricsiguen càrregues positives. Així,en la part superior del materialapareix un excés de càrreganegativa i en la part inferior unadistribució de càrreguespositives. Aquestes distribucions

de càrrega proporcionen la diferència de potencial negativa que està mostradaen la Figura 8.2. En el cas dels conductors, el seu model de conduccióplantejava l’existència d’electrons lliures, que produïen el corrent elèctric, i ionspositius immòbils formats pels nuclis dels àtoms i els electrons d’orbitalsinteriors. Més endavant definirem el caràcter que tenen aquestes càrreguespositives mòbils.

8.3 Model d’enllaç covalent. Semiconductors intrínsecs i extrínsecs

Introducció. Configuració electrònica dels materials semiconductorsMoltes de les propietats macroscòpiques dels materials vénen donades

per l’estructura electrònica d’aquests, i més concretament per la configuracióelectrònica de l’última capa, denominada capa de valència. D’aquesta manera,per a entendre el comportament dels materials semiconductors cal conéixer-nela configuració electrònica. En aquesta secció descriurem qualitativament laconfiguració electrònica dels materials semiconductors.

Els àtoms estan formats per un nucli central constituït per protons ineutrons, i electrons al voltant d’aquest formant determinades òrbites. Aquestselectrons tenen una energia determinada per la suma de l’energia cinètica acausa del seu moviment i l’energia potencial a causa del potencial electrostàticcreat pel nucli. En resoldre l’equació de Schrödinger de la mecànica quàntica,s’obté que l’electró no pot tenir un valor qualsevol d’energia, sinó que presentauns valors discrets determinats formant una sèrie de nivells d’energia. Elsvalors d’energia que els electrons poden tenir en un àtom es coneixen comestats o nivells permesos, i poden situar-se diferent nombre d’electrons en cadanivell permés. Aquests estats o nivells permesos s’agrupen en el que esdenominen capes, cadascuna de les quals té diferent nombre de nivells.

Per exemple, l’àtom més senzill que hi ha és el d’hidrogen, constituït perun protó i un electró. En absència de camps magnètics externs, la principalinteracció present és la interacció elèctrica entre el protó del nucli i l’electró.Resolent l’equació de Schrödinger per al potencial de Coulomb, s’obté quel’energia de l’electró ve donada per

2220

4 eV6,132)4( nn

eEn −=−=hπε

µ

En aquesta expressió, µ és la massa reduïda del sistema, que en funcióde la massa de l’electró m i la massa del nucli M, ve donada per

0

+ -

-VH ⊕ va F

B

I

A

C

Figura 8.2. Efecte Hall en un semiconductor tipus p.

8-7

MmMm

+=µ

h és la constant de Planck dividida per 2π (h =h/2π = 1,06×10-34 Js), ε0és la permitivitat dielèctrica del buit, i n és un nombre natural (1, 2, 3,...)denominat “nombre quàntic principal”.

En la Figura 8.1 esrepresenta mitjançant una líniahoritzontal l’energia dels 10primers nivells energètics per al’àtom d’hidrogen. Observeuque els nivells més energèticsestan molt propers entre ells,de manera que en la gràficapràcticament s’encavalquen.

L’electró en l’àtomd’hidrogen se situarà en elnivell menys energètic, és a dir,en la capa n=1: es diu llavorsque l’àtom està en el seu estat fonamental. L’energia que té l’electró en l’àtomes denomina energia de lligadura: en l’àtom d’hidrogen, en el seu estatfonamental, aquesta energia és de –13,6 eV.

L’electró-volt (eV) és una unitat per a mesurar energia, molt utilitzada enfísica atòmica i nuclear. Es defineix com l’energia que adquireix un electró quans’accelera mitjançant una diferència de potencial d’1 V.

1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J

Si per algun motius’aporta energia a l’àtom,l’electró podrà passar a un altrenivell més energètic, i llavorsl’àtom està en el que esdenomina un estat excitat. Alcap d’un període de temps,normalment molt curt, l’electróretornarà al nivell menysenergètic, i l’àtom torna al seunivell fonamental, i emet unaquantitat d’energia igual a ladiferència d’energia entre elsdos nivells. En la Figura 8.2 es mostra un exemple en el qual en incidir un fotóamb energia Eγ, l’electró passa a la tercera capa (n = 3, amb energia de – 1,51eV), i llavors el fotó perd una energia igual a la diferència d’energia dels dosnivells, és a dir 12,09 eV. Posteriorment, l’electró torna al seu estat fonamental,i emet un fotó amb una energia de 12,09 eV. Observeu que en tots aquestsprocessos es compleix el principi de conservació de l’energia.

Si l’energia que s’aporta a l’àtom és major que l’energia de lligadura del’electró, aquest podrà “alliberar-se” de l’àtom, i llavors es diu que l’àtom està

-14-12-10-8-6-4-20

E (e

V)

Figura 8.1. Energia dels 10 primers nivells energètics del’àtom d’hidrogen, amb un electró en el seu estat fonamental.

-14-12-10-8-6-4-20

E (e

V)

Fotón Eγ

Fotón Eγ-12,09 eV

Fotón 12,09 eV

Figura 8.2. Excitació-desexcitació d’un electró en l’àtomd’hidrogen.

8-8

ionitzat. Per aquest motiu, l’energia de lligadura es denomina també energiad’ionització.

Si es consideren unes altres interaccions que apareixen en l’àtomd’hidrogen (com la interacció entre el moment angular orbital de l’electró i elseu espín, o la interacció entre els moments magnètics del nucli i l’electró),l’expressió per al càlcul de l’energia de cadascun dels nivells és méscomplicada, i no ve determinada únicament pel nombre quàntic principal, sinóque intervenen uns altres nombres quàntics.

L’energia de l’electró no és l’única magnitud que està quantitzada dinsde l’àtom, sinó que també ho estan unes altres magnituds: el moment angular,el component Z del moment angular i el component Z de l’espín de l’electró.

D’aquesta manera, l’estat en què es troba l’electró en l’àtom vedeterminat pels valors d’aquestes magnituds físiques, que com s’ha comentat,presenten uns valors discrets, caracteritzats pel que es denominen nombresquàntics:

Nombre quàntic Magnitud física amb la qual es relacionan Nombre quàntic principal Energia de l’electróL Nombre quàntic azimutal Moment angular de l’electró

ml Nombre quàntic magnètic Component Z del moment angular del’electró

ms Nombre quàntic d’espín Component Z de l’espín de l’electróTaula 8.1. Nombres quàntics.

Els valors possibles d’aquests nombres quàntics són els següents:• n = 1, 2, 3, ... (infinits valors possibles de n)• l = 0, 1, 2, ..., n-1 (n valors possibles de l)• ml = -l, -l+1, ..., 0, ..., +l-1, l ( 2l + 1 valors possibles de ml )• ms = ± ½ (2 valors possibles de ms )

En la Taula 8.2 es mostren els valors possibles dels diferents nombres quànticsper als tres primers valors del nombre quàntic principal (n = 1, 2 i 3).

Nombrequàntic Valors possibles

N 1 2 3L 0 0 1 0 1 2ml 0 0 -1 0 1 0 -1 0 1 -2 -1 0 1 2ms ±½ ±½ ±½ ±½ ±½ ±½ ±½ ±½ ±½ ±½ ±½ ±½ ±½ ±½

Taula 8.2. Valors possibles dels diferents nombres quàntics per a les tres primeres capes d’un àtom.

Habitualment, a l’hora de representar l’estructura electrònica d’un àtom, elsnivells energètics es denoten pel nombre quàntic principal, i el nombre quànticazimutal l. Aquest últim es representa mitjançant lletres: s correspon a l=0, pper a l=1, d representa l=2, f per a l=3, etc.A la vista de la Taula 8.2 es comprova que els nivells s tenen dos estatspossibles, els nivells p sis estats possibles, els nivells d deu, etc.

Per a àtoms amb diversos electrons, a l’hora de calcular l’energia decadascun dels nivells de l’àtom, s’ha de considerar també la interacció entre els

8-9

diferents electrons que el constitueixen. A més, cal tenir en compte el principid’exclusió de Pauli que indica que “en un àtom multielectrònic, mai no hi podranhaver més d’un electró en el mateix estat quàntic”, és a dir, no hi podrà havermés d’un electró amb els mateixos nombres quàntics.

D’aquesta manera, els electrons d’un àtom se situen en els nivellsenergètics permesos, ocupen els nivells menys energètics i queden lliures elsde més energia, per a omplir així les capes inferiors de l’àtom. L’última capaque conté electrons es denomina capa de valència. Per exemple, en la Figura8.1 es representa l’estructura electrònica del silici i el germani. Es pot apreciarcom els electrons omplin els nivells permesos inferiors (menys energètics), iqueda la resta lliure. La capa de valència en el silici és la n=3, i en el germani lan=4.

La situació més estable és aquella en la qual l’àtom té un nombred’electrons tal que les seues capes inferiors estan completament plenes, iqueden les capes superiors completament buides. Aquest és el cas dels gasosnobles que presenten una reactivitat química pràcticament nul·la. La tendènciade la resta de materials és de combinar-se entre ells per a assolir aquestasituació, per la qual cosa guanyen o perden electrons de la seua capa devalència. Per exemple, la sal comuna (clorur sòdic, NaCl) està constituïda perl’enllaç d’àtoms de Cl als quals els falta un electró per a completar la seua capade valència, i àtoms de Na que tenen les capes inferiors completament plenes, iun únic electró en la capa de valència: el Na cedeix aquest electró al Cl, demanera que llavors ambdós àtoms queden amb les capes inferiorscompletament plenes, i donen lloc a un compost que és més estable que elsàtoms individuals que el constitueixen.

1s

2s

3s

4s

5s

6s

7s

2p

3p

4p

5p

6p

7p

3d

4d

5d

6d

4f

5f

Configuració electrònica del’àtom del Si

1s

2s

3s

4s

5s

6s

7s

2p

3p

4p

5p

6p

7p

3d

4d

5d

6d

4f

5f

Configuració electrònica del’àtom del Ge

Figura 8.1. Configuració electrònica del Si i el Ge. Les línies horitzontals representen els nivells energèticspermesos. Les fletxes representen els electrons situats en els diferents nivells energètics. En cada nivell

apareixen dos electrons, corresponents als dos valors possibles del nombre quàntic ms.

8-10

En el cas dels semiconductors purs, aquestspresenten una configuració electrònica comuna en laseua capa de valència: els falten quatre electrons pera completar-la. Per exemple, en la Figura 8.1 esmostra la configuració electrònica del Si i el Ge: elsilici té 14 electrons en total, i el germani 32 (vegeu laTaula 8.3), de manera que aquests àtoms necessitenquatre electrons per a completar la seua capa devalència (la 3s 3p per al Si i la 4s 4p per al Ge).Llavors, per a aconseguir omplir la capa de valència,en aquests materials cada àtom es combina ambquatre àtoms veïns, i amb cadascun d’aquests doselectrons, un del mateix àtom i un altre de l’àtom veí,de manera que tots aconsegueixen omplir la capa devalència.

Conducció intrínsecaAra explicarem el

comportament dels semiconductorsdenominats intrínsecs (germani isilici purs) a partir d’un modelqualitatiu: el model d’enllaç covalent.

Per a comprendre elcomportament elèctric d’aquestsmaterials, és important tenir encompte la seua estructura cristal·linacomentada anteriorment: cada àtomestà envoltat de quatre àtoms veïns,i amb cadascun d’aquestscomparteix dos electrons, un delmateix àtom i un altre de l’àtom veí, idóna lloc a una distribució espacial com la que es mostra en la Figura 8.1.Cada àtom de silici seria el centre d’un tetraedre en els vèrtexs del qual estanels quatre àtoms de silici amb els quals forma enllaços covalents.

Aquesta distribució espacial pot simplificar-se mitjançant la representacióen dues dimensions mostrada en la Figura 8.2, on les esferes gransrepresenten els nuclis juntament amb les capes completes d’electrons, i lesesferes petites representen els electrons compartits.

51 Sb

50 Sn

49 In

33 As

32 Ge

31 Ga

15 P

14 Si

13 Al

7 N

6 C

5 B

Taula 8.3. Detall de la zona dela taula periòdica on es troben

el Si i el Ge.

Figura 8.1. Estructura cristal·lina d’un materialsemiconductor.

8-11

Aquesta estructura correspon a un cristallpur, i a temperatures molt baixes, properes alzero absolut, on tots els electrons de valència estroben lligats als seus àtoms.

Si la temperatura augmenta, aquestselectrons lligats poden arribar a tenir suficientenergia com per a trencar l’enllaç i esdevenirelectrons lliures dins del sòlid, és a dir, electronsde conducció, responsables de la conductivitatelèctrica. L’energia necessària per a trencar unenllaç es denomina energia d’ionització i és de0,7 eV per al germani, i 1,1 eV per al silici.

Amb aquest model s’explica perquè enaugmentar la temperatura o en il·luminar elsemiconductor, augmenta la conductivitat. Enproporcionar energia al semiconductor, estempermetent que un major nombre d’electronslligats esdevinguen electrons lliures, i contribuirals processos de conducció. A més, l’energiaque es proporcione als electrons ha de sersuperior a l’energia d’ionització, la qual cosas’entén perquè en ambdós casos hi ha un llindard’energia per sota del qual la conductivitat noexperimenta variació (per a temperatures baixes,Figura 8.1 i Figura 8.2, i energies de fotó petites,Figura 8.1)

D’altra banda, quan un electró abandonaun enllaç s’hi produeix una vacant denominadabuit. Aquest buit es comporta, amb caràcter general, com si d’una partículaamb càrrega positiva es tractara, ja que si apliquem un camp elèctric, elselectrons tendeixen a moure’s en sentit contrari al camp, i tot i que no siguenelectrons lliures sí que poden saltar d’un enllaç a un altre pròxim, i per fer-honecessiten una quantitat d’energia molt menor que la necessària per a trencarl’enllaç i crear el parell electró-buit. Laconseqüència d’aquests moviments és que elbuit s’ha traslladat, movent-se en la direcció i elsentit del camp. L’existència del buit com sid’una partícula real es tractara arriba fins i tot alpunt d’assignar-li una massa, que es denominamassa efectiva del buit que és del mateix rangque la massa de l’electró.

El procés de ruptura de l’enllaç covalentes denomina generació de parells electró-buit. D’altra banda, una vegada s’han generatparells electró-buit, és també possible el procésinvers en el qual un electró lliure ocupa un buit,passa a ser lligat, i allibera una determinadaquantitat d’energia. Aquest procés es denominarecombinació de parells electró-buit. Quan elsemiconductor està en equilibri la generació i la recombinació creen i fan

+4

+4 +4

+4 +4

+4

+4

+4

+4

Figura 8.2. Enllaços covalents a 0 K.

+4

+4 +4

+4 +4

+4

+4

+4

+4

buit

electróEnergia

Figura 8.3. Generació de parellselectró-buit, mitjançant l’aportació

d’una determinada quantitat d’energia(energia tèrmica, fotó...).

+4

+4 +4

+4 +4

+4

+4

+4

+4

buit

electróEnergia

Figura 8.4. Regeneració de parellselectró–buit, alliberant una

determinada quantitat d’energia.

8-12

desaparéixer el mateix nombre de parells electró-buit en el mateix temps, i pertant les concentracions d’ambdós portadors de càrrega es mantenen constantsi són idèntiques. A temperatura ambient les concentracions d’equilibri són devora 1019 - 1020 parells electró–buit/m3.

La conductivitat descrita, que recordem que es deu a la generació deparells electró-buit, es denomina intrínseca.

Dopatge d’un material semiconductorUna xarxa sòlida de semiconductor pur, per exemple de silici, consta

d’àtoms iguals tetravalents (quatre electrons en la seua capa de valència). Sien aquesta xarxa sòlida introduïm de manera controlada àtoms de similargrandària però amb cinc o tres electrons en la seua capa de valència, és a dir,àtoms pentavalents o trivalents, estarem introduint “impureses” que produiranuna variació dels portadors de càrrega en el material, sense perdre laneutralitat elèctrica d’aquest. Aquest procés es denomina “dopatge”, i laquantitat d’àtoms dopants que s’introdueixen en el semiconductor pur sol ser del’ordre de milionèsimes parts. D’aquesta manera, depenent del dopatge podemcontrolar la conductivitat i quin serà el portador majoritari de càrrega delsemiconductor.

Conducció extrínseca: semiconductor tipus nEn aquest cas substituïm en la xarxa

cristal·lina de l’element semiconductor algun delsseus àtoms per uns altres d’un material que,sent aproximadament de la mateixa grandària(radi atòmic similar), tinga cinc electrons enl’última capa, als quals es denomina “àtomsdonadors”. En aquesta situació es troba elfòsfor, arsènic i l’antimoni en una xarxa de silici,elements situats en la columna dreta del Si en lataula periòdica (vegeu la Taula 8.2).

L’electró que no forma part de l’enllaçcovalent, fins i tot a temperatures baixes estroba molt dèbilment atret, i amb energies del’ordre de 0,05 eV esdevé un electró deconducció (vegeu la Taula 8.4), per la qual cosa tenim un material els portadorsmajoritaris de càrrega del qual són partícules negatives (els electrons). Aquestselectrons no creen buits ja que no formen part de l’enllaç covalent entre elsàtoms. Com es veu, cal molt poca energia per a alliberar aquests electrons, laqual cosa justifica que en els semiconductors dopats, a temperatures moltbaixes, s’observe un augment brusc de la conductivitat, i es manté despréspràcticament constant, fins a una temperatura en la qual els processos degeneració de parells electró–buit es fan significatius i es produeix un altreaugment de la conductivitat (Figura 8.2).

D’altra banda, la pèrdua d’aquest electró per part de l’àtom donadororigina que aquest àtom adquirisca una càrrega positiva, ja que el nucli no s’hamodificat, i l’àtom té un electró menys. Es crea, per tant, un ió carregatpositivament immòbil, és a dir, no contribueix a la conducció.

+4

+4 +4

+4 +4

+4

+4

+4

+5

Àtomdonador

electró

Figura 8.1. Impuresa donadora en unaxarxa de silici.

8-13

El fenomen de generació de parells electró–buit es continua produint, perla qual cosa també apareixen buits en el material, que són els portadorsminoritaris.

Els semiconductors amb impureses donadors es denominen extrínsecstipus n (n de negatiu), ja que en aquests la concentració d’electrons és moltsuperior a la de buits. Per a fer-nos una idea de l’ordre de magnitud de lesconcentracions d’electrons i buits, en l’Exemple 8.1 es mostra un cas en què laconcentració d’electrons, n, és de vora 1022 electrons/m3 i la de buits, p, de vora1016 buits/m3.

Conducció extrínseca: semiconductor tipus pUna situació diferent a l’anterior s’obté

substituint àtoms del material semiconductor peràtoms amb un electró menys en l’última capa.En aquesta situació es troba el bor, l’alumini, elgal·li i l’indi en una xarxa de silici, elementssituats a l’esquerra del Si en la taula periòdica(vegeu la Taula 8.2). Els elements amb treselectrons en la capa de valència es denominenacceptors. Els semiconductors amb impuresesacceptores es denominen extrínsecs tipus p. Enaquests casos, la concentració de buits és moltsuperior a la d’electrons. En l’Exemple 8.1apareix una situació on, amb un dopatge d’unàtom d’antimoni per cada 1,1·106 àtoms degermani, la concentració de buits es fa molt superior a la d’electrons: p ≅ 1022 in ≅ 1016.

En aquest cas un electró d’un enllaç pròxim pot ocupar aquest buit ambmolt poca energia, de vora 0,05 – 0,16 eV en el Si, i s’hi crea un buit que potmoure’s per la xarxa (el moviment del buit,igual que en els semiconductors intrínsecs,serà conseqüència del moviment delselectrons d’enllaços pròxims que van ocupantsuccessivament buits). Igual que en elssemiconductors n, cal molt poca energiaperquè hi aparega aquest buit, la qual cosajustifica l’augment brusc de la concentració debuits i, per tant, de la conductivitat delssemiconductors amb impureses acceptoresdes de baixes temperatures (Figura 8.2).

Hi ha, per tant, un buit per cada àtomd’impureses que pot moure’s pel cristall.Aquests buits són els portadors majoritaris, iactuen com a partícules amb càrrega positiva.També hi apareixeran electrons procedents dela ruptura d’enllaços covalents, que seran elsportadors minoritaris.

El guany d’un electró per part de l’àtomd’impuresa trivalent origina que aquest àtom adquirisca una càrrega negativa,

+4

+4 +4

+4 +4

+4

+4

+4

+3

Àtomacceptor

buit

Figura 8.1. Impuresa acceptora en unaxarxa de silici.

+4

+4 +4

+4 +4

+4

+4

+4

+3

Moviment del buit

–

Àtom d’impuresa ionitzada immòbil

Figura 8.2. Els buits es mouen per lacaiguda successiva d’electrons en

aquests.

8-14

ja que el nucli no s’ha modificat, i l’àtom té un electró més. Es crea, per tant, unió negatiu immòbil, és a dir, que no contribueix a la conducció.

Els semiconductors amb impureses acceptores es denominen extrínsecstipus p (p de positiu), ja que en aquests la concentració de buits és moltsuperior a la d’electrons. Els ordres de magnitud de les concentracionsd’electrons i buits són semblants als dels semiconductors tipus n, però per alsportadors de càrrega contraris.

8.4 Model de bandes d’energiaLa configuració electrònica d’un material, i en particular dels materials

semiconductors, descrita en la secció 8.3, varia quan els àtoms es troben enuna xarxa cristal·lina, a causa de la interacció entre els àtoms de la xarxa. Defet, aquesta configuració és vàlida únicament per a àtoms aïllats, o àtoms en ungas on la distància de separació entre els àtoms és molt gran comparada ambles distàncies interatòmiques. Tanmateix, si la distància entre els àtomsdisminueix fins a valors de l’ordre de magnitud de les distàncies interatòmiques,com passa en un cristall, els electrons estan sotmesos no sols al camp elèctriccreat pel seu mateix nucli, sinó també als camps elèctrics creats per tots elsàtoms del voltant. A més, el cristall es comporta com un sistema únic, en elqual els electrons hauran d’obeir el principi d’exclusió de Pauli.

Els nivells d’energia de les capes inferiors no es veuen modificatsapreciablement, mentre que els nivells de la capa de valència canvienextraordinàriament, ja que els electrons situats en aquests nivells senten demanera més dèbil l’atracció electrostàtica del seu mateix nucli, i més fort la denuclis veïns, comparat amb els electrons de les capes inferiors.

D’aquesta manera, per a obtenir els nivells energètics en un cristalls’haurà de resoldre l’equació de Schrödinger per a un potencial igual a la sumadels potencials individuals de cada nucli (potencial de Coulomb per a cadanucli).

Per exemple, en la Figura 8.1 es mostra la forma del potencial per al cassimplificat d’una distribució de vuit àtoms alineats l’un a continuació de l’altre.Els màxims del potencial indiquen la situació dels nuclis.

0 2 4 6 8

Posició dels nuclis

Pote

ncia

l ele

ctro

stàt

ic

Figura 8.1. Potencial electrostàtic creat per vuit àtoms alineats.

8-15

D’aquesta manera, en resoldre l’equació deSchrödinger per al potencial mostrat en la Figura 8.2,per a àtoms d’un material semiconductor, com perexemple el Si, s’obté el resultat següent per als nivellsenergètics de l’última capa (la capa 3 per al cas delSi):

• Hi apareix un conjunt de 4×8 (4 × nombred’àtoms) nivells permesos en la zona demenor energia: és el que es denomina bandade valència.

• Després hi apareix una regió d’energies en lesquals no apareix cap nivell energètic permés:és el que es denomina banda prohibida ogap.

• A continuació hi apareix una regió amb un totalde 4×8 (4 × nombre d’àtoms) nivells permesos,denominada banda de conducció.

Atés que el material té un total de 4×8 electrons en l’última capa, totsaquests se situen en la banda de valència, i omplin per complet tots elsnivells d’aquesta banda, i la banda de conducció queda completamentbuida.

El mateix passa per al Ge, i la resta de materials semiconductors, quetenen tots una estructura de bandes molt pareguda.

D’aquesta manera, en general, els vuit nivellsenergètics de l’última capa per a cada àtom (3s 3p peral Si i 4s 4p per al Ge mostrats en la Figura 8.1), en elcristall amb N àtoms, es converteixen en 8N nivellsamb energies diferents. Aquest nombre elevat denivells d’energia discrets estretament espaiats esdenomina banda d’energia. Aquesta reordenaciódels nivells energètics es produeix de la manerasegüent (vegeu la Figura 8.3):

• Hi apareix una primera banda, denominadabanda de valència, amb 4N nivells, que pertant estarà plena amb els quatre electronsde l’última capa de cada àtom.

• Hi apareix també una segona banda,denominada banda de conducció amb 4Nnivells que a temperatures molt baixes està buida. Els electronssituats en aquesta banda de conducció són els responsables de laconductivitat elèctrica.

• Entre ambdues bandes hi ha una zona prohibida denominada bandaprohibida o gap.

Aquesta estructura en bandes descrita per als materials semiconductorses produeix també, amb algunes diferències notables, en materials aïllants iconductors. En la Figura 8.4 es mostra un esquema simplificat del diagrama debandes d’energia descrit per a materials semiconductors, com també per a

3s

3p

Bandadevalència

Bandadeconducció

Bandaprohibidao “gap”

Figura 8.2. Nivells energèticsde l’última capa de l’àtom de Si

aïllat (esquerra), i de vuitàtoms de silici formant una

hipotètica estructura cristal·linade vuit àtoms (dreta). La

separació entre els nivellsenergètics és merament

il·lustrativa i no està dibuixadaa escala.

3s

3p

Bandadevalència

Bandadeconducció

Bandaprohibidao “gap”

Figura 8.3. Nivells energèticsde l’última capa de l’àtom de Siaïllat (esquerra), i d’un cristallsemiconductor. La separacióentre els nivells energètics ésmerament il·lustrativa i no està

dibuixada a escala.

8-16

materials aïllants, i conductors. En el cas dels aïllants l’amplària de la bandaprohibida és tan gran que és molt difícil que els electrons de la banda devalència passen a la banda de conducció, per la qual cosa tenen unaconductivitat elèctrica negligible. En els conductors les bandes de valència i deconducció estan superposades, de manera que no cal una aportació d’energiaper a tenir electrons en la banda de conducció, per la qual cosa aquestsmaterials presenten una conductivitat molt gran. Els semiconductors purs tenenuna amplària del gap intermèdia entre les situacions anteriors, per la qual cosatenen valors de conductivitat intermedis entre conductors i aïllants. Aquestsvalors de conductivitat es van mostrar en la Taula 8.1.

BV

BC

Eg = 10 eV

BV

BC

Eg = 1 eV

BV

BC

Aïllant Semiconductor Conductor

Figura 8.4. Bandes d’energia en distints materials.

Amplària de la banda prohibida eneVSilici 0,7Germani 1,1Arsenur de gal·li 1,4

Taula 8.1. Amplària de la banda prohibida per a diversosmaterials semiconductors.

En els semiconductors l’amplària de la banda prohibida és petita (vegeula Taula 8.1), de manera que aportant al material una petita quantitat d’energia,hi haurà electrons que podran passar de la banda de valència a la deconducció: aquest procés és equivalent a la ruptura d’un enllaç covalent descriten el model de l’enllaç covalent. Aquesta amplària de la banda prohibidacoincideix amb l’energia d’ionització comentada en el model de l’enllaçcovalent. L’aportació d’energia a cada electró ha de ser superior a l’amplada dela banda prohibida perquè es produïsca el salt, la qual cosa justifica que per atemperatures baixes i energies de fotó petites no s’observe una variació de laconductivitat (vegeu la Figura 8.1, la Figura 8.2 i la Figura 8.1). Aquestaaportació d’energia pot aconseguir-se augmentant la temperatura, il·luminant elmaterial o aplicant un camp elèctric.

Al mateix temps, els electrons que han passat a la banda de conducciódeixen un buit en la banda de valència, que pot moure’s pel material com unapartícula de càrrega positiva. En aquest procés es generen, llavors, parellselectró–buit.

8-17

Quan afegim impureses donadores a un material semiconductor, en lesproximitats de la banda de conducció apareix una nova banda molt estreta onse situen els electrons addicionals dels àtoms donadors. L’energia d’aquestselectrons es troba molt prop del nivell inferior de la banda de conducció (ambuna separació de vora 0,01 – 0,05 eV, Taula 8.4), la qual cosa significa queamb una aportació d’energia molt petita aquests electrons poden passar a labanda de conducció, i augmentar d’aquesta manera la conductivitat delmaterial. Segons la concentració d’impureses que s’afegeixen es potaconseguir diferents valors de la conductivitat (vegeu la Taula 8.1). D’altrabanda, la generació de parells electró–buit es produeix de la mateixa maneraque en un material semiconductor pur.

tipus n tipus p

Entre0,01 i0,16 eV

Entre0,01 i

0,05 eV

Figura 8.5. Bandes d’energia en semiconductors amb impureses.

Si dopem un semiconductor amb impureses acceptores, en lesproximitats de la banda de valència apareix una nova banda molt estreta buida.Alguns electrons de la banda de valència poden passar a aquests nivellsacceptors, i deixar buits en la banda de valència. Aquests buits són elsresponsables de la conducció en el material. Novament, el procés de generacióde parells electró–buit també es produeix.

Veiem doncs com mitjançant aquest model es justifica que per alssemiconductors dopats, amb una aportació molt reduïda d’energia, es produeixun augment brusc de la conductivitat, tal com s’ha observat en la gràfica de lavariació de la conductivitat amb la temperatura de la Figura 8.2.

Per a acabar la descripció dels models de l’enllaç covalent i de bandesd’energia, es mostra un esquema amb totes les partícules presents en elssemiconductors de distint tipus, tenint present que el nombre de partículesrepresentat és merament simbòlic. Per a fer-nos una idea del nombre real departícules involucrades, podem dir que en el Ge pur a temperatura ambient, pothaver-hi de l’ordre d’un parell electró-buit a causa de l’agitació tèrmica per cada1.000 milions d’àtoms. Si dopem el germani amb antimoni en una concentracióde 4·1022 m-3 (Exemple 8.1, apartat b) suposa introduir un àtom de Sb per cadamilió d’àtoms de Ge, i la concentració d’electrons de conducció passa a ser del’ordre d’un electró per cada milió d’àtoms, i la de buits de conducció d’un buitper cada 1.000 milions d’àtoms de Ge.

8-18

tipus p Tipus n

Ions de semiconductor (IMMÒBIL) Ions de semiconductor (IMMÒBIL)

Ions d’impuresa acceptora (IMMÒBIL) Ions d’impuresa donadora (IMMÒBIL)

Buit aportat per impuresa (MÒBIL) Electró alliberat per donador (MÒBIL)

Electró tèrmic (MÒBIL) Electró tèrmic (MÒBIL)

Buit tèrmic (MÒBIL) Buit tèrmic (MÒBIL)

Taula 8.2. Esquema amb totes les partícules presents en els semiconductors.

8.5 Llei d’acció de masses. Llei de neutralitat elèctricaCom s’observa dels apartats anteriors, un paràmetre molt important per

a estudiar les propietats dels materials semiconductors és la contracciód’electrons i buits. No ens estendrem en l’obtenció de les expressions que enspermeten calcular aquestes concentracions, i es poden obtenir en alguns delsllibres citats en la bibliografia (J. Llinares i A. Page o S.M. Sze, per exemple).

Les expressions són:

( )kTEENn fcc /)(exp −−= ( )kTEENp vfv /)(exp −−−=

on, Nc i Nv són dues funcions conegudes de la temperatura. Ef, Ec i Ev són tresconstants que depenen del material utilitzat. Ef depén de les concentracionsd’impureses donadores i acceptores en el semiconductor, i es denominaenergia de Fermi. Ec representa el valor mínim d’energia en la banda deconducció, i Ev el valor màxim d’energia que pot tenir un electró en la banda devalència.

Si multipliquem aquestes dues expressions de les concentracionsd’electrons i buits en un semiconductor, obtenim una tercera expressió que és

( )kTENNpn gvc /exp −=⋅ Equació 8.1

On ha desaparegut el terme Ef que depenia de les concentracionsd’impureses, i queda sols la dependència amb la temperatura. El valor de Eg és

Eg = Ec - Evque correspon a l’amplària de la banda prohibida o energia del gap. L’expressióanterior pot escriure’s com

n·p = ni2

Equació 8.2

8-19

on ni és una funció de la temperatura, que es denomina concentracióintrínseca, que a partir de l’Equació 8.1, substituint els valors de les funcions Nci Nv (vegeu, per exemple, J. Llinares i A. Page o S.M. Sze) ve donada per:

( )kTETAn gi /exp 03

02 −= Equació 8.3

on A0 és una constant que depén del material, i Eg0 és l’amplària de la bandaprohibida a la temperatura del zero absolut. En la Figura 8.1 es representa laconcentració intrínseca del germani i el silici com a funció de la temperatura.

0

10

20

30

40

50

250 275 300 325 350 375 400T (K)

Con

cent

raci

ón in

tríns

eca(

·1018

m-3

)

Ge

Si

Figura 8.1. Concentració intrínseca del germani i el silici a distintes temperatures.

D’aquesta manera veiem que per a un valor fix de la temperatura, elproducte de les concentracions d’electrons i buits és sempre constant iindependent del fet que siga intrínsec, extrínsec tipus n o tipus p. La relacióanterior, donada per l’Equació 8.2, es denomina llei d’acció de masses.

Si el semiconductor és intrínsec tenim que n = p, per la qual cosa n = p= ni, d’on es dedueix que la concentració intrínseca representa la concentracióde portadors en un semiconductor intrínsec en equilibri.

Si el semiconductor és extrínsec, per a determinar la concentració deportadors necessitem també una relació entre aquestes concentracions i laconcentració d’impureses donadores i acceptores. Aquesta relació esdenomina llei de neutralitat elèctrica, i es basa en el fet que, encara que afegimimpureses en un semiconductor, aquest continua sent elèctricament neutre.Així, les concentracions de càrregues positives i negatives són iguals:

(càrregues positives) = (càrregues negatives)El nombre de càrregues positives presents en el semiconductor ve donat

per la suma del nombre total de buits i el nombre d’àtoms donadors (cada àtomdonador cedeix un electró, per la qual cosa poseeix una càrrega positiva). Elnombre de càrregues negatives és igual a la suma dels electrons lliures i laquantitat d’impureses acceptores (cada impuresa acceptora té un electró enexcés, per la qual cosa té una càrrega negativa). Dividint pel volum, aquestarelació entre càrregues esdevé una relació entre concentracions:

8-20

ND + p = NA + n Equació 8.4

En aquesta expressió, ND i NA representen, respectivament, laconcentració d’impureses donadores i acceptores.

8.6 Propietats del germani i del silici. Àtoms donadors i acceptors per algermani i el siliciEn les taules següents podem observar les propietats més importants

dels semiconductors intrínsecs més característics, Ge i Si (Taula 8.1), elsàtoms donadors i acceptors per al Ge i el Si (Taula 8.2 i Taula 8.3), i la seuaenergia d’ionització (Taula 8.4).

Propietats del germani i del siliciGe Si

Nombre atòmic 32 14

Massa atòmica (g/mol) 72,6 28,08

Radi atòmic (nm) 0,137 0,132

Estructura electrònica [Ar]4s23d104p2 [Ne]3s23p2

Densitat (kg/m3) 5323 2330

Temperatura de fusió 937,4 ºC 1410 ºC

Calor específica (J/kg ºC) 309 677

Concentració atòmica (at/m3) 4,42·1028 4,96·1028

Concentració intrínseca a 300 K 2,36·1019 m-3 1,5·1016 m-3

Constant A (m-3 K-3/2) 1,91·1021 4,92·1021

Amplària de banda prohibida a 300 K 0,67 eV 1,12 eV

Mobilitat d’electrons a 300 K 0,39 m2/Vs 0,135 m2/Vs

Mobilitat de buits a 300 K 0,182 m2/Vs 0,05 m2/Vs

Resistivitat intrínseca a 300 K 0,47 Ωm 2300 Ωm

Difusivitat d’electrons 10,1·10-3 m2/s 3,5·10-3 m2/s

Difusivitat de buits 4,9·10-3 m2/s 1,3·10-3 m2/s

Permitivitat elèctrica 15,7 12

Massa efectiva d’electrons 0,5 m0 1,1 m0

Massa efectiva de buits 0,37 m0 0,59 m0

Taula 8.1. Propietats del germani i del silici

8-21

1

H1,008

2

He4,003

3

Li6,941

4

Be9,012

5

B10,811

6

C12,011

7

N14,007

8

O15,999

9

F18,998

10

Ne20,183

11

Na22,990

12

Mg24,305

13

Al26,982

14

Si28,086

15

P30,974

16

S32,064

17

Cl35,453

18

Ar39,948

19

K39,10

20

Ca40,08

...30

Zn65,37

31

Ga69,72

32

Ge72,59

33

As74,92

34

Se78,96

35

Br79,91

36

Kr83,80

37

Rb85,47

38

Sr87,62

...48

Cd112,40

49

In114,82

50

Sn118,89

51

Sb121,75

52

Te127,60

53

I126,90

54

Xe131,30

55

Cs132,91

56

Ba137,33

...80

Hg200,59

81

Tl204,37

82

Pb207,19

83

Bi208,98

84

Po(210)

85

At(210)

86

Rn(222)

Taula 8.2. Àtoms donadors i acceptors per al Si. Donadors: P, As i Sb (negre sobreblanc en la taula). Acceptors: B, Al, Ga i In (blanc sobre negre en la taula).

1

H1,008

2

He4,003

3

Li6,941

4

Be9,012

5

B10,811

6

C12,011

7

N14,007

8

O15,999

9

F18,998

10

Ne20,183

11

Na22,990

12

Mg24,305

13

Al26,982

14

Si28,086

15

P30,974

16

S32,064

17

Cl35,453

18

Ar39,948

19

K39,10

20

Ca40,08

...30

Zn65,37

31

Ga69,72

32

Ge72,59

33

As74,92

34

Se78,96

35

Br79,91

36

Kr83,80

37

Rb85,47

38

Sr87,62

...48

Cd112,40

49

In114,82

50

Sn118,89

51

Sb121,75

52

Te127,60

53

I126,90

54

Xe131,30

55

Cs132,91

56

Ba137,33

...80

Hg200,59

81

Tl204,37

82

Pb207,19

83

Bi208,98

84

Po(210)

85

At(210)

86

Rn(222)

Taula 8.3. Àtoms donadors i acceptors per al Ge. Donadors: Li, P, As, Sb i Bi (negresobre blanc en la taula). Acceptors: B, Al, Ga, In i Tl (blanc sobre negre en la taula).

8-22

Si Ge

ÀtomEnergia

d’ionització(eV)

ÀtomEnergia

d’ionització(eV)

Donadors

PAsSb

0,0450,0540,043

PAsSbBiLi

0,0130,0140,0100,0130,093

Acceptors

BAlGaIn

0,0450,0720,0740,157

BAlGaInTl

0,0110,0110,0110,0120,013

Taula 8.4. Energia d’ionització dels àtoms donadors i acceptors per al Si i el Ge.

Exemple 8.1

Calculeu la concentració d’electrons i buits en el germani en lescircumstàncies següents:a) Germani pur a 300 K (ni (300 K) = 2,36·1019 m-3)b) A 300 K dopat amb antimoni en una concentració de 4·1022 m-3

c) A 300 K dopat amb indi en una concentració de 3·1022 m-3

d) Germani pur a 500 K (ni (500 K) = 2,1·1022 m-3)e) A 500 K dopat amb antimoni en una concentració de 3·1022 m-3.f) A 500 K dopat amb indi en una concentració de 4·1022 m-3

Solució

a) La llei d’acció de masses indica que el producte entre les concentracionsd’electrons i de buits és igual a la concentració intrínseca al quadrat, és adir,

n·p = ni2

on la concentració intrínseca a 300 K per al germani és igual a 2,36·1019m-3.

Per al cas d’un semiconductor pur, les concentracions d’electrons i buits sóniguals, de manera que,

n = p = ni = 2,36·1019 e-h/m3

b) Per raó que la concentració d’impureses és molt més gran que laconcentració intrínseca, i atés que l’antimoni és un àtom donador per algermani, la concentració d’electrons és aproximadament igual a laconcentració d’impureses:

n ≈ 4·1022 electrons/m3

i aplicant la llei d’acció de masses, la concentració de buits serà,316

2

buits/m1039,1 ⋅≈=nn

p i

8-23

c) En aquest cas, atés que l’indi és una impuresa acceptora per al germani,tenim:

p ≈ 3·1022 buits/m3

3162

melectrons/1086,1 ⋅≈=pn

n i

d) Igual que en l’apartat a, per al cas d’un semiconductor pur, lesconcentracions d’electrons i buits són iguals a la concentració intrínseca a latemperatura indicada, de manera que,

n = p = ni = 2,1·1022 e-h/m3

e) En aquest cas, l’aproximació utilitzada en els apartats b i c no pot serusada perquè la concentració d’impureses no és molt més gran que laconcentració intrínseca. Per això, juntament amb la llei d’acció de massess’haurà d’utilitzar també la llei de neutralitat elèctrica:

ND + p = NA + non ND i NA són respectivament les concentracions d’impureses donadores iacceptores. En aquest cas, atés que l’antimoni és una impuresa donadoratindrem que NA = 0, i ND = 3·1022 m-3.

D’aquesta manera tenim un sistema de dues equacions amb duesincògnites,

+==⋅

pNnnnp

D

i2

la solució de les quals ve donada per,n = 4,08·1022 electrons/m3

p = 1,08·1022 buits/m3

f) En aquesta situació, atés que l’indi és una impuresa acceptora, tindremque ND = 0, i NA = 4·1022 m-3. D’aquesta manera tenim un sistema de duesequacions amb dues incògnites,

+==⋅

nNpnnp

A

i2

la solució de les quals ve donada per,

p = 4,90·1022 buits/m3

n = 2,10·1022 electrons/m3

8.7 Qüestions i problemes

1. Citeu dues diferències entre materials conductors i semiconductors.

8-24

2. Indiqueu si són vertaderes o falses les afirmacions següents:• La conducció en semiconductors es deu sols al moviment d’electrons.• Els buits són l’absència d’un electró en un enllaç covalent.• Els buits es comporten com una partícula carregada positivament en

l’interior del semiconductor.

Els semiconductors intrínsecs:• Són cristalls de semiconductor pur.• Tenen major nombre d’electrons que de buits.• No tenen càrrega neta.

Els semiconductors extrínsecs:• Tenen càrrega neta.• Els tipus n estan carregats negativament.• Els àtoms donadors cedeixen un electró lliure.• Els acceptors esdevenen ions negatius.• En semiconductors tipus n la concentració d’electrons lliures és superior i

la de buits superior que en l’intrínsec.

3. Escriviu la llei d’acció de masses i la de neutralitat elèctrica i especifiqueuclarament quines són les magnituds que intervenen.

4. Descriviu una experiència que permeta distingir si un semiconductor és tipusp o tipus n.

5. Quin tipus d’impureses s’han d’afegir a un semiconductor intrínsec per aconvertir-lo en un semiconductor extrínsec de tipus n? I en un altre de tipus p?Justifiqueu les respostes.

6. Representeu el diagrama de bandes d’energia per a un semiconductor: a)intrínsec, b) extrínsec tipus p, i c) extrínsec tipus n.

7. Un cristall de germani es contamina amb antimoni, que té 5 electrons enl’última capa electrònica. Assenyaleu si augmenten, disminueixen o esmantenen constants les magnituds següents:a) La conductivitat.b) La concentració d’electrons.c) La concentració de buits en el cristall.

Justifiqueu breument les respostes.

8. Expliqueu la generació d’un parell electró–buit en un semiconductor segonsla teoria de les bandes d’energia.

9. Un semiconductor extrínsec tipus n està format per silici amb un dopatge de1017 àtoms d’antimoni/cm3. Tenint en compte que la concentració intrínseca delsilici a 300 K és ni=1,5·1010 partícules/cm3 , quina és la concentració de buits id’electrons en aquest semiconductor a 300 K?

8-25

10. Expliqueu les diferències que es produeixen en realitzar l’experiència deHall a un semiconductor extrínsec de tipus n i a un de tipus p. Justifiqueu laresposta.

11. Calculeu la concentració d’electrons i buits en el silici en les circumstànciessegüents:a) Silici pur a 300 Kb) A 300 K dopat amb arsènic en una concentració de 5·1020 m-3

c) A 300 K dopat amb gal·li en una concentració de 2·1020 m-3

d) Silici pur a 500 K (ni (500 K) = 3,7·1020 m-3)e) A 500 K dopat amb gal·li en una concentració de 5·1020 m-3

f) A 500 K dopat amb arsènic en una concentració de 2·1020 m-3

GLOSSARI

Buit: És l’absència d’un electró quan es produeix una rupturad’enllaç covalent. Es comporta com si d’una partícula real estractara: té càrrega (la fonamental), i massa efectiva i mobilitatdel mateix ordre de magnitud que les de l’electró.

Semiconductor intrínsec: Format exclusivament per àtoms desemiconductor. La concentració de buits és igual a la d’electronslliures.

Conducció intrínseca: Conducció produïda pels parells electró–buit lliures generats en quantitats iguals en un semiconductor peraportació d’energia.

Concentració de portadors de càrrega: Denominem n laconcentració d’electrons lliures i p la concentració de buits.

Concentració intrínseca ni: Concentració d’electrons i buits enun semiconductor intrínsec.

Dopatge: Procés pel qual afegim àtoms (pentavalents otrivalents) de semblant radi atòmic a un semiconductor pur.

Acceptor: Àtom d’impuresa, que introduït en una xarxacristal·lina de semiconductor, aporta un electró menys que elsàtoms de la xarxa, ionitza amb càrrega negativa i produeix unbuit.

Donador: Àtom d’impuresa, que introduït en una xarxacristal·lina de semiconductor, aporta un electró més que elsàtoms de la xarxa, ionitza amb càrrega positiva i produeix unelectró.

8-26

Semiconductor tipus p: Semiconductor amb buits com aportadors majoritaris. S’ha format aportant impuresesacceptores.

Semiconductor tipus n: Semiconductor amb electrons com aportadors majoritaris. S’ha format aportant impureses donadores.

Pauli, principi d’exclusió: Principi bàsic de la física quàntic queafirma que no pot haver-hi dos electrons en un mateix nivellenergètic.

Banda de valència: Conjunt dels nivells energètics molt pròximsocupats per electrons de l’última capa dels àtoms d’una xarxacristal·lina.

Banda conducció: Conjunt dels nivells energètics molt pròximsocupats únicament pels electrons lliures d’una xarxa cristal·lina.

Banda prohibida: Interval d’energia entre la banda de valència ila banda de conducció que no pot ser ocupat pels electronsd’una xarxa cristal·lina.

Bibliografia:

• M. Robles, F. Romero, E. Bonet, M. L. Jorda, J. Mas i J. M. Meseguer, Física básica desemiconductores, editorial Paraninfo, Madrid, 1993.

• N. Garcia i A. Damask, Physics for Computer Science Students, editorial Springer-Verlag.Nova York, 1991.

• R. Eisberg i R. Resnick, Física cuántica, editorial Limusa, Mèxic, 1986.

• Galindo i P. Pascual. Mecánica cuántica, vol. I i I, Eudema Univer., 1989.

• J. Millman, Microelectrónica. Circuitos y sistemas analógicos i digitales, ed. HispanoEuropea, 1989.

• R. Boylestad, L. Nashelsky, Electrónica. Teoría de circuitos, Prentice Hall Iberoamericana,1997.

• J. Millman, C.C. Halkias, Electrónica integrada. Circuitos y sistemas analógicos y digitales,Ed. Hispano Europea, 1981.

• R. Boylestad, L. Nashelsky, Electronic devices and circuit theory, Prentice HallIberoamericana, 1987.

• S.M. Sze, Semiconductor devices. Physics and Technology, John Wiley & Sons, 1985.

• J. Llinares i A. Page, Curso de física aplicada. Electromagnetismo y semiconductores,Servei de Publicacions UPV, ref 87-331, 1987.

8-27

• http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/index.html