capitulo4 centro de masa y teorema de pappus
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Centro de masa y teorema de Pappus
0.1. Centro de masa
Definimos las cordenadas del centro de masa como (x, y) de tal forma que:
x =My
m
y =Mx
m
Donde Mx y My son momentos de la forma:
Mx =∫
rpydA
My =∫
rpxdA
Centroide
El centroide de una region es el punto que define su centro geometrico Como la masa esel producto de la dencidad por el area( m = dA), tenemos:
x = My
A=
∫R
xdA
A
y = Mx
A=
∫R
ydA
A
Ahora bien, si x se calcula en terminos de y, el x esta dado por el punto medio de la region
es decirf(y) + g(y)
2y el area tambien en terminos de y:
x =
∫ d
c
(f(y) + g(y)
2
)[f(y)− g(y)]dy
A
Ahora bien, si y se calcula en terminos de x, el y esta dado por el punto medio de la
region es decirf(x) + g(x)
2y el area tambien en terminos de x:
y =
∫ b
a
(f(x) + g(x)
2
)[f(x)− g(x)]dx
A
1
Ejemplo:Calcular el centroide de la region acotada por:x = 0x = 2y = 0y = 2
A simple vista sabemos que el centroide esta en el punto (1, 1) ahora demostremolo porintegrales:
x en terminos de x
x =My
A=
∫RxdA
4=
∫ 2
0x(2)dx
4=x2|204
=4
4= 1
En terminos de y
x =My
A=
∫RxdA
4=
∫ 2
0
(2 + 0
0
)2dy
4=
2y|204
=4
4= 1
y en terminos de y
y =Mx
A=
∫RydA
4=
∫ 2
0y(2)dy
4=y2|204
=4
4= 1
En terminos de x
y =Mx
A=
∫RydA
4=
∫ 2
0
(2 + 0
0
)2dx
4=
2x|204
=4
4= 1
comprobamos que el centroide es (1, 1)
2
0.2. teorema de Papus
El volumen V , de un solido de revolucion generado mediante la rotacion de un area planaalrededor de un eje externo, es igual al producto del area, A, por la distancia, d recorridapor su centroide en una rotacion completa alrededor del eje.
VR = 2πdA
Donde:d: Distancia ade la recta de giro al centro de masa o centroide de la region.A: Area de la region a rotar.
Ejemplo:Hallar el volumen del solido de revolucion generado al rotar la region limitada por (x−5)2 +y2 = 16 al rededor de:a) eje yb) la recta x = −2
alrededor del eje y:
En primer lugar calculamos el area de la figura, en este caso un a circuferencia de radio4. y luego obtenemos las cordenadas del centride:
A = 16πx = 5y = 0
Ademas observamos que la distancia a la recta de giro es 5.Aplicamos la Pappus:
Vy = (2π)(5)(16π) = 160π2u2
3
Al rededor de la recta x = −2
calculamos la distancia del centroide a la recta de giro y luego aplicamos Pappus:
Vy = (2π)7(16π) = 224π2u2
Universidad de La Frontera Agosto - Diciembre 2010Autores: Nicolas Carrasco - Francisco Lopez - Francisco Llanquipichun
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