capitulo_2

DISEO DE CONTROLADORES

Contenido

1.

COMPENSACIN DE ADELANTO

Mejorar la respuesta transitoria readaptando el LGR del sistema original

El cero del compensador de adelanto readapta el lugar geomtricode las races, mientras que el polo se ubica lo suficientementelejos a la izquierda para no influir en la parte readaptada por el cero

Redes en adelanto pueden ser realizados por elementos electrnicos

Compensador electrnico

0

() = 4132 + 111 + 122 = +1

+ 1 = 22

11 < 1

Red de adelanto

Red de adelanto el polo esta a la izquierda del cero.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10.50.780.890.9450.9720.986

0.995

0.999

0.50.780.890.9450.9720.986

0.995

0.999

123456

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

ceropolo

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.50.760.86

0.94

0.985

0.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

0.511.525

System: sysGain: 0.416Pole: -1 + 0.815iDamping: 0.775Overshoot (%): 2.12Frequency (rad/sec): 1.29

0.160.340.50.64

Tcnicas de compensacin de adelanto basadas en el enfoque del lugar geomtrico de las races.

El enfoque del lugar geomtrico de las races es muy poderoso en el diseo cuando se dan las especificaciones en trminos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como:

Factor de amortiguamiento relativo Frecuencia natural no amortiguada

O los parmetros: Sobrepaso mximo Tiempo de levantamiento Tiempo de asentamiento

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

El procedimiento de diseo del compensador

1. Graficar el lugar de races del sistema2. A partir de las especificaciones de desempeo, determine la ubicacin

deseada para los polos dominantes en lazo cerrado3. En el grafico del LGR, compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no

por s solo producir los polos en lazo cerrado convenientes. Si no, calculela deficiencia angular

4. Suponga que el compensador de adelanto y determine el cero y polocorrespondiente

5. Verifique que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeo, si no cumple reajustar la ubicacin del cero y polo, y repetir los pasos.

() = + 1 + 1

se determina a partir del requerimiento de la ganancia en lazo abierto. (condicin magnitud)

Ejemplo 2.1

Dada la funcin de transferencia de lazo abierto de un sistema

Se desea modificar los polos en lazo cerrado para obtener una frecuencia natural no amortiguada y un factor de amortiguamiento relativo

Solucin La funcin de transferencia de lazo abierto y lazo cerrado del sistema son:

Lugar de races

Respuesta en el tiempo

= 4( + 2)

4 / 0.5 = 4

( + 2) = 42 + 2()() = ()1 + () = 4( + 1 + 3)( + 1 3)

Lugar geomtrico de races y respuesta en el tiempo del sistemaRoot Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0.140.220.320.420.56

0.74

0.9

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

0.070.140.220.320.420.56

0.74

0.9

0.07

System: sysGain: 1Pole: -1 + 1.73iDamping: 0.5Overshoot (%): 16.3Frequency (rad/sec): 2

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

A partir de los polos dominantes de LC del sistema:

Expresamos en funcin de sus parmetros:

Obteniendo para el sistema:

De las especificaciones de desempeo obtenemos las especificaciones para el sistema compensado:

Los polos deseados de lazo cerrado compensado (no pertenecen al LGRdel sistema)

()() = 4( + 1 + 3)( + 1 3)

= 1 3polos del sistema

= 1 2 = 0.5 = 2 / = 0.5 = 4 /

= 2.0000 .4641 polos deseados

El sistema tiene los polos con las siguientes caractersticas y deben cumplir las especificaciones de desempeo:

= 0.5 = 2 / = 0.5 = 4 /

() = + 1 + 1

LGR del sistema y el polo deseado para el sistema compensado

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

40.060.120.190.270.360.5

0.66

0.88

0.060.120.190.270.360.50.66

0.88

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

isx

PD

= 0.5 = 2 /

= 0.5 = 4 /

xPolo deseado

Polos de LC

Determinar la deficiencia angular a partir de la FTLA al polo deseado

A partir de la ecuacin:

La deficiencia angular:

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0.460.6

0.76

0.92

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.070.150.240.340.460.6

0.76

0.92

0.070.150.240.34

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

PD

4

( + 2)=2+2 3

= 180(2 + 1)= 120 90 = 210= 180(2 + 1) = 210 180 = 30

= = 30

El compensador a disear es compensador en adelanto para la deficiencia angular hallada

Determinar las ubicaciones del cero, el polo y la ganancia delcompensador de adelanto, existe varias posibilidades para elegirtales ubicaciones- Mtodo de la bisectriz- Ubicacin debajo del polo deseado- Ubicado cancelando un polo o cero

() = + 1 + 1

A partir de la deficiencia angular, utilizando el mtodo de bisectriz

Construimos en la figura Por geometra podemos determinar

la ubicacin del polo y cero

La FT del compensador:

Donde: -6 -5 -4 -3 -2 -1 00

1

2

3

4

5

60.160.340.50.64

0.76

0.86

0.94

0.985 1

2

3

4

5

Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

polo cerox o

Polo deseado

x

= 30 2 = 15

bisectriz: = 5.4641: = 2.9282 = + 1

+ 1 = + 2.9282 + 5.4641 = 0.3415 = 0.5359

Funcin de transferencia del sistema compensado

La ganancia K se calcula a partir de la condicin de magnitud, evaluada en PD

El valor de K y Kc

= 4

=22 3 = + 2.9282 + 2 + 5.4641=22 3 = 1

= 18.9282 = 18.92824 = 4.7321

= + 1 + 1 = + 2.9282 + 5.4641

= + 2.9282 + 2 + 5.4641

La funcin de transferencia LA del sistema compensado queda:

La funcin de transferencia de lazo cerrado:

= 4.7321 + 2.9282 + 5.4641 4 + 2 = 18.9282 + 55.42563 + 7.46412 + 10.9282()() = 1 + = 18.9282 + 2.92823 + 7.46412 + 10.9282 + 18.9282 + 55.4256

La grafica del LGR races del los sistemas no compensado y compensado

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

40.060.120.190.270.360.5

0.66

0.88

0.060.120.190.270.360.50.66

0.88

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

sys ncsys c

La grafica de la respuesta en el tiempo de los sistemas no compensado y compensado

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

lclcc

En simulink

num(s)

s+5.4641Transfer Fcn2

4

s +2s2

Transfer Fcn1

4

s +2s2

Transfer Fcn

Step1

Step

Scope

En Labview

Ejemplo 2.2

Disee un compensador de adelanto tal que los polos dominantesen lazo cerrado se ubiquen en = 2 2 3 . La funcin detransferencia de lazo abierto es:

Solucin: La FT de lazo abierto:

La FT de lazo cerrado:

= 5(0.5 + 1)

= 5(0.5 + 1) = 10.5 5(0.50.5 + 10.5) = 10( + 2) = 102 + 2

() = 1 + = 102 + 2 + 10







() = + 1 + 1


Paso 1. Graficar el lugar de races del sistema

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

40.060.120.190.270.360.5

0.66

0.88

0.060.120.190.270.360.50.66

0.88

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

40.060.120.190.270.360.5

0.66

0.88

0.060.120.190.270.360.50.66

0.88

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Paso 2. A partir de las especificaciones de desempeo, determine la ubicacin deseada para los polos dominantes en lazo cerrado

Dato

Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados Calcule la deficiencia angular

= 2 .4641 xPolos deseados

Deficiencia angular



-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

40.060.120.190.270.360.5

0.66

0.88

0.060.120.190.270.360.50.66

0.88

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

10

( + 2)=2+2 3

= 180(2 + 1)x

90 120

= 120 90 = 210= 180(2 + 1)= 210 + = 180(2 + 1)

= = 30 = 30

Paso 4. Suponga que el compensador es en adelanto y determine el polo y cero correspondiente

Si la deficiencia angular es:

El cero = 2 El polo = 4

() = + 1 + 1

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

40.120.240.360.480.620.76

0.88

0.97

0.120.240.360.480.620.76

0.88

0.97

12345

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

x

= = 30 30x

El compensador queda:

El sistema compensado es:

Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (2 +.4641)

Obtenemos

= + 1 + 1 = + 2 + 4

= ( + 2)( + 4) ( + ) = 1 + 4 10 = 1( + 4) = 10 = 1( + 4)

2+3.4641 = 116 = 1 = 16 = 1.6

El sistema compensado queda:

= ( + 1) + 1 10 + 2= 1.6 ( + 2)( + 4) 10 + 2 = 16( + 4) = 162 + 4

La grafica del LGR del sistema compensado:

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

40.120.240.360.480.620.76

0.88

0.97

0.120.240.360.480.620.76

0.88

0.97

12345

System: sysGain: 0.995Pole: -2 + 3.45iDamping: 0.501Overshoot (%): 16.2Frequency (rad/sec): 3.99

sncsc

Respuesta en el tiempo del sistema no compensado y el compensado

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

sncsc

Ejemplo 2.3

Considere un sistema con una planta inestable, como el de la figura

Se desea lo siguiente: Factor de amortiguamiento relativo del sistema en lazo cerrado sea Frecuencia natural no amortiguada sea

= (1 + ) = 110000(2 1.1772)

= 0.7 = 0.5 /.

G(s)Gc(s)







() = + 1 + 1


Solucin Paso 1. Graficar el lugar de races del sistema La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema

La funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema

= 110000 2 1.1772 = 0.00012 1.1772()() = 1 + = 0.0001( + 1.0849)( 1.0849)

La grafica del LGR y respuesta en el tiempo del sistema sin compensar

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.50.640.76

0.86

0.94

0.985

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.160.340.50.640.76

0.86

0.94

0.985

0.160.34

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

0 2 4 6 8 10 12 140

200

400

600

800

1000

1200Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Paso 2. A partir de las especificaciones de desempeo, determine la ubicacin deseada para los polos dominantes en lazo cerrado

Dato

Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados. Calcule la deficiencia angular-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.50.640.76

0.86

0.94

0.985

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.160.340.50.640.76

0.86

0.94

0.985

0.160.34

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is xPolos deseados

= 0.7 = 0.5

1,2 = 1 21,2 = 0.35 .3570

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.50.640.76

0.86

0.94

0.985

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.160.340.50.640.76

0.86

0.94

0.985

0.160.34

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Deficiencia angular



0.0001

2 1.17720.350.3570 = 180(2 + 1)

x

25.90

166.03

= 166.0295 25.9065= 191.936 = 180(2 + 1) = 191.936 180 = 11.936

= = 11.936

PD

Paso 4. Suponga que el compensador de adelanto y determine el cero y polo correspondiente. La deficiencia puede ser dada por:

Compensador PD.

A partir de la deficienciaangular, el aporte del cero:

El cero esta ubicado

= (1 + ) = = 11.936

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.50.220.420.60.740.84

0.92

0.965

0.99

0.220.420.60.740.84

0.92

0.965

0.99

0.511.525

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is x

o

= 2.0388166.03

25.90

El compensador PD dado

El sistema compensado es

Ganancia K, de la condicin de magnitud en PD

= ( + 1) .= (0.4906)( + 2.0388) . = ( + 2.0388)2 1.1772 = 0.4906

= ( + 2.0388)2 1.17720.350.3570 = 1

= 1 + = ( + 1) = 2.0388PD

= (0.4906)/10000

Obtenemos

El compensador

El sistema compensado

= 0.7 = 14268.24 = 1 + = + 1= 14272(0.4906) + 2.0388

= 7001.8432 + 2.0388 = ( + 1) 110000 2 1.1772= 7001.8432 + 2.0388 0.00001

2 1.1772

Funcin de transferencia de LA del sistema compensado

Funcin de transferencia de LC del sistema compensado

= 1.4273(1 + 0.496)2 1.1772 = 0.72 + 1.42732 1.1772()() = 1 + = 0.72 + 1.42732 + 0.72 + 0.2501

La grafica del LGR del sistema no compensado y compensado:

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.50.84

0.92

0.965

0.99

0.220.420.60.740.84

0.92

0.965

0.99

0.511.525

0.220.420.60.74

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

sncsc


0 5 10 15 20 25 30 35-1

0

1

2

3

4

5

6x 10

13

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

sncsc

Respuesta en el tiempo del sistema compensado

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

1

2

3

4

5

6Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Ejemplo 2.4

Considere el sistema de la figura. Disee un compensador tal que los polos dominantes en lazo cerrado se ubiquen en = 1

Solucin La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema

La funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema

= 12()() = 1 + = 12 + 1

G(s)Gc(s)


-1.5 -1 -0.5 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.30.40.540.68

0.82

0.94

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.090.190.30.40.540.68

0.82

0.94

0.090.19

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

-1.5 -1 -0.5 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.30.40.540.68

0.82

0.94

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.090.190.30.40.540.68

0.82

0.94

0.090.19

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Paso 1. Graficar el lugar de races del sistema Paso 2. Ubicacin deseada para los polos dominantes en lazo

cerrado Dato

Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados.

Calcule la deficiencia angular

xPolos deseados

1,2 = 1 1

-1.5 -1 -0.5 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.30.40.540.68

0.82

0.94

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.090.190.30.40.540.68

0.82

0.94

0.090.19

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Deficiencia angular



12

=1+1

= 180(2 + 1)x

90 120

= 135 135 = 270= 180(2 + 1) = 270 180 = 90 = = 90

PD

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.50.20.40.560.70.810.9

0.955

0.988

0.20.40.560.70.810.9

0.955

0.988

0.511.522.535

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Paso 4. Suponga que el compensador es de adelanto, determine el polo y cero correspondiente


El cero = 0.5 El polo = 2.9969

() = + 1 + 1

= = 90x

x



Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (1 +)

Obtenemos

= + 1 + 1 = + 0.5 + 3

= ( + 0.5)( + 3) 12 = ( + 0.5)2 ( + 3) = ( + 0.5)2 ( + 3)

1+1

= 1 = 4


= ( + 1) + 1 12 = 4 ( + 0.5)( + 3) 12= 4( + 0.5)

2( + 3) = 4 + 23 + 32



()() = 1 + = 4 + 23 + 32 + 4 + 2

= ( + 1) + 1 12 = 4 ( + 0.5)( + 3) 12= 4( + 0.5)

2( + 3) = 4 + 23 + 32


-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.50.20.40.560.70.810.9

0.955

0.988

0.20.40.560.70.810.9

0.955

0.988

0.511.522.535

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

sncsc

respuesta en el tiempo del sistema no compensado y el compensado

0 50 100 150 200 250 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

sncsc


0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

-1.5 -1 -0.5 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.30.40.540.68

0.82

0.94

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.090.190.30.40.540.68

0.82

0.94

0.090.19

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is


cerrado

Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados.


Otro mtodo

xPolos deseados

1,2 = 1 1

-1.5 -1 -0.5 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0.30.40.540.68

0.82

0.94

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.090.190.30.40.540.68

0.82

0.94

0.090.19

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Deficiencia angular



12

=1+1

= = 180(2 + 1)x

90 120

= 135 135= 270 = 180(2 + 1) = 270 180 = 90 = = 90

PD

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.50.20.40.560.70.810.9

0.955

0.988

0.20.40.560.70.810.9

0.955

0.988

0.511.522.535

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Paso 4. Suponga que el compensador es de adelanto, determine el polo y cero correspondiente


El cero =0 El polo = 2

() = + 1 + 1

= = 90x

x



Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (1 +)

Obtenemos

= + 1 + 1 = + 2

= ( + 2) 12 = 1 ( + 2) = 1 ( + 2)

1+1

= 1 = 4.4721


= ( + 1) + 1 12 = 4.4721 ( + 2) 12= 4.4721

( + 2) = 4.47212 + 2



()() = 1 + = 4 + 23 + 32 + 4 + 2

= ( + 1) + 1 12 = 4 ( + 0.5)( + 3) 12= 4( + 0.5)

2( + 3) = 4 + 23 + 32


-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.50.20.40.560.70.810.9

0.955

0.988

0.20.40.560.70.810.9

0.955

0.988

0.511.522.535

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

sncsc


0 50 100 150 200 250 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Ejemplo 2.5

Disee un compensador tal que cumpla con las especificaciones, sila funcin de transferencia de lazo abierto es:

Sobre impulso 25% Tiempo de establecimiento 4 Solucin: La FT de lazo abierto:


= 4( + 1)

= 4( + 1) = 42 +

() = 1 + = 42 + + 4 =

-1.5 -1 -0.5 0-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.060.110.180.260.360.48

0.66

0.86

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0.060.110.180.260.360.48

0.66

0.86

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is


Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

System: lcTime (sec): 1.63Amplitude: 1.44


De la FT de lazo cerrado, los polos son:

El factor de amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada son:

De acuerdo a las especificaciones y = 41,2 = 1 .93

= 0.46 = 2.17 = 12 = 4 = 4

= 0.2 = 0.45 = 2.22

Polo deseado

= 1 2 = 1 1.982


cerrado

Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados


-1.5 -1 -0.5 0-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.060.110.180.260.360.48

0.66

0.86

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0.060.110.180.260.360.48

0.66

0.86

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

= 1 1.982

Deficiencia angular



4

( + 1)=1+1.982 = 180(2 + 1)= 116.77 90 = 206= 180(2 + 1)

= 206.77 180 = 26.77 = = 26.77

-1.5 -1 -0.5 0-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.060.110.180.260.360.48

0.66

0.86

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

0.060.110.180.260.360.48

0.66

0.86

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

x

90 116.77

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.975

0.140.280.420.560.70.82

0.91

0.975

0.511.522.533.54

0.140.280.420.560.70.82

0.91

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Paso 4. Suponga que el compensador de adelanto y determine el polo y cero correspondiente


Mtodo bisectriz El cero = 1.4659 El polo = 2.6630

() = + 1 + 1 x

= = 26.7730

xcero

polo



Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (1 +1.982)

Obtenemos

= + 1 + 1 = + 1.47 + 2.66

= + 1.47 + 2.66 4( + 1)= 4( + 1.47)( + 2.66)( + 1) = ( + 1.47)( + 2.66)( + 1) = 4 = ( + 1.47)( + 2.66)( + 1)

1+1.982 = 1 = 5.58 = 4 = 1.39


= ( + 1) + 1 4 + 1= 1.39 ( + 1.47)( + 2.66) 4 + 1 = 5.56 ( + 1.47)( + 2.66)( + 1)


-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.50.60.72

0.86

0.96

0.10.220.340.460.60.72

0.86

0.96

0.511.522.53

0.10.220.340.46

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

sys Gsys CG


Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5


System: lccTime (sec): 1.53Amplitude: 1.25

Ejemplo 2.6

Disee un compensador tal que cumpla con las especificaciones, sila funcin de transferencia de lazo abierto es:

Sobre impulso 40% Tiempo de establecimiento 5 Solucin: La FT de lazo abierto:


= 102 + 2

= 102 + 2 = 10( .4242)

() = 1 + = 102 + 12

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de


-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

3

0.97

0.120.260.40.520.660.8

0.9

0.97

0.511.522.533.54

0.120.260.40.520.660.8

0.9

Root Locus

Real Axis (seconds -1)

Imag

inar

y A

xis

(sec

onds

-1)

De acuerdo a las especificaciones = 0.4 y = 5 = 12 = 4 = 4

= 0.28 = 2.85

Polo deseado

= 1 2 = 0.80 2.74

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

3

0.97

0.120.260.40.520.660.8

0.9

0.97

0.511.522.533.54

0.120.260.40.520.660.8

0.9

Root Locus


Imag

inar

y A

xis

(sec

onds

-1)


cerrado

Paso 3. Ajuste de la Ganancia produce los polos deseados


= 0.80 2.74

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

3

0.150.230.320.440.58

0.74

0.92

0.5

1

1.5

2

2.5

0.5

1

1.5

2

2.5

0.070.150.230.320.440.58

0.74

0.92

0.07

Root Locus


Imag

inar

y A

xis

(sec

onds

-1)

Deficiencia angular



10

2 + 20.802.74 = 180(2 + 1)= 100.68 122.82 = 223.5= 180(2 + 1)

= 223.5 + 180 = 43.5

= = 43.5

x

= 43.5 100.68 122.82= 180(2 + 1)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3

-2

-1

0

1

2

30.180.360.520.660.780.88

0.95

0.985

0.180.360.520.660.780.88

0.95

0.985

123456

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Paso 4. Suponga que el compensador de adelanto, determine el polo y cero correspondiente

Deficiencia angular :

Mtodo bisectriz El cero = 1.54 El polo = 5.29

() = + 1 + 1

= = 43.5PD

x

:0.80 2.74



Ganancia , utilizamos la condicin de magnitud en el PD (0.8 +2.74)

Obtenemos

= + 1 + 1 = + 1.54 + 5.29

= + 1.54 + 5.29 102 + 2 = 10( + 1.54)( + 5.29)(2 + 2)= ( + 1.54)( + 5.29)(2 + 2) = 10 = ( + 1.54)( + 5.29)(2 + 2)

0.8+2.74 = 1 = 12.14 = 10 =1.21


= ( + 1) + 1 102 + 2= 1.21 + 1.54

+ 5.29 102 + 2 = 12.14 + 1.54 + 5.29 (2 + 2)

La grafica del LGR del sistema compensado:

Root Locus


Imag

inar

y A

xis

(sec

onds

-1)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0.030.0650.10.150.20.28

0.42

0.7

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

0.030.0650.10.150.20.28

0.42

0.7


0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3

-2

-1

0

1

2

30.180.360.520.660.780.88

0.95

0.985

0.180.360.520.660.780.88

0.95

0.985

123456

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Paso 4. Suponga que el compensador solo es un cero

Deficiencia angular:

Aadimos un cero

() = + 1 = = 43.5

PD

1 = 43.5 = 3.68

0.8 + 2.74

El compensador queda es:



Obtenemos

= + 3.68 102 + 2 = 10( + 3.68)(2 + 2)= ( + 3.68)(2 + 2) = 10 = ( + 3.68)(2 + 2)

0.8+2.74 = 1 = 1.64 = 10 =0.164

= + 3.68



= 0.164 + 3.68 = 0.164 + 3.68 102 + 2 = 1.64 + 6.042 + 2

Lugar de racesRoot Locus


Imag

inar

y A

xis

(sec

onds

-1)

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2-6

-4

-2

0

2

4

60.84

0.92

0.965

0.99

0.220.420.60.740.840.92

0.965

0.99

246810124

0.220.420.60.74

Respuesta escaln

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Si variamos el valor ; podemos bajar el error en estado estacionario

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Paso 4. Suponga que el compensador


Aadimos un doble cero

= = 43.5c1,2 = 21.75

= 7.67

= + 1 2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-3

-2

-1

0

1

2

3

0.992

0.220.440.620.760.860.93

0.97

0.992

12345678

0.220.440.620.760.860.93

0.97

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is




Obtenemos

= + 7.67 2 102 + 2 = 10 + 7.67 2(2 + 2)= + 7.67 2(2 + 2) = 10 = + 7.67 2(2 + 2)

0.8+2.74 = 1 = 0.12 = 10 =0.012

= + 7.67 2



= 0.012 + 7.67 2 102 + 2= 0.122 + 1.84 + 7.062 + 2

= 0.012 + 7.67 2

Lugar de races

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-6

-4

-2

0

2

4

60.120.260.40.520.66

0.8

0.9

0.97

0.120.260.40.520.660.8

0.9

0.97

12345678

Root Locus


Imag

inar

y A

xis

(sec

onds

-1)

Respuesta escaln, podramos ajustar k

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Paso 4. Suponga que el compensador


Ubicacin del doble cero

1 + 2 = 43.51 + 2 106.28 = 43.5

1 + 2 = 149.781,2 =74.89

= 1.54

= 1 + 1 2

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-3

-2

-1

0

1

2

3

0.97

0.120.260.40.520.660.8

0.9

0.97

0.511.522.533.54

0.120.260.40.520.660.8

0.9

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

0.8 + 2.74




Obtenemos

= = 1 + 1.54 2 102 + 2= 10 + 1.54 2 (2 + 2) = + 1.54 2(2 + 2) = 10 = + 1.54 2(2 + 2)

0.8+274 = 1 = 2.32 = 10 =0.232

= 1 + 1.54 2



= 0.32 + 1.54 2 102 + 2 = 0.32 + 1.54 2

Lugar de racesRoot Locus


Imag

inar

y A

xis

(sec

onds

-1)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2-6

-4

-2

0

2

4

60.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

0.160.340.50.640.760.86

0.94

0.985

24680

Respuesta escaln, se podra ajustar K para una mejor respuesta

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

Ejemplo 2.5

DISEO DE CONTROLADORESContenidoCOMPENSACIN DE ADELANTONmero de diapositiva 4Tcnicas de compensacin de adelanto basadas en el enfoque del lugar geomtrico de las races.El procedimiento de diseo del compensadorEjemplo 2.1Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Ejemplo 2.2El procedimiento de diseo del compensadorNmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Ejemplo 2.3El procedimiento de diseo del compensadorNmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34Nmero de diapositiva 35Nmero de diapositiva 36Nmero de diapositiva 37Nmero de diapositiva 38Nmero de diapositiva 39Nmero de diapositiva 40Nmero de diapositiva 41Nmero de diapositiva 42Nmero de diapositiva 43Ejemplo 2.4Nmero de diapositiva 45Nmero de diapositiva 46Nmero de diapositiva 47Nmero de diapositiva 48Nmero de diapositiva 49Nmero de diapositiva 50Nmero de diapositiva 51Nmero de diapositiva 52Nmero de diapositiva 53Nmero de diapositiva 54Otro mtodoNmero de diapositiva 56Nmero de diapositiva 57Nmero de diapositiva 58Nmero de diapositiva 59Nmero de diapositiva 60Nmero de diapositiva 61Nmero de diapositiva 62Nmero de diapositiva 63Ejemplo 2.5Nmero de diapositiva 65Nmero de diapositiva 66Nmero de diapositiva 67Nmero de diapositiva 68Nmero de diapositiva 69Nmero de diapositiva 70Nmero de diapositiva 71Nmero de diapositiva 72Nmero de diapositiva 73Ejemplo 2.6Nmero de diapositiva 75Nmero de diapositiva 76Nmero de diapositiva 77Nmero de diapositiva 78Nmero de diapositiva 79Nmero de diapositiva 80Nmero de diapositiva 81Nmero de diapositiva 82Nmero de diapositiva 83Nmero de diapositiva 84Nmero de diapositiva 85Nmero de diapositiva 86Nmero de diapositiva 87Nmero de diapositiva 88Nmero de diapositiva 89Nmero de diapositiva 90Nmero de diapositiva 91Nmero de diapositiva 92Nmero de diapositiva 93Nmero de diapositiva 94Nmero de diapositiva 95Nmero de diapositiva 96Nmero de diapositiva 97Nmero de diapositiva 98Nmero de diapositiva 99Ejemplo 2.5

capitulo_2

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