capitulo1 suma de rimann
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Suma de Riemann
0.1. Particion
En un intervalo continuo [a, b], definimos como particion a una secuencia finita de numerosreales de la forma:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b
o agrupados como conjunto de la forma:
P = {x0, x1, x2, ..., xn}
Por ejemplo: sea [1, 5] un intervalo continuo y el tamano de la particion ∆xi = 1 obtenemosel siguiente conjunto:
P = {1, 2, 3, 4, 5}
1
0.2. Suma de Riemann
Sabiendo que una sumatoria es una suma de terminos, de la forma:
n∑i=1
ai = a1 + a2 + a3 + ... + an
Podemos indicar algunas propiedades de las sumatorias:
1.n∑
i=1
i = 1 + 2 + 3 + ... + n =n(n + 1)
2
2.n∑
i=1
i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 =n(n + 1)(2n + 1)
6
3.n∑
i=1
i3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 =n2(n + 1)2
4
4.n∑
i=1
C = C ∗ n (C es Constante)
Tomando una constante c, podemos definir otras:
5.n∑
i=1
cai = cn∑
i=1
ai
6.n∑
i=1
(ai + bi) =n∑
i=1
ai +n∑
i=1
bi
7.n∑
i=1
(ai+1 − ai) = an+1 − a1
La suma de Riemann geometricamente corresponde, a la suma de areas de rectangulos ubi-cados bajo funcion. Este metodo es empleado para el calculo aproximado del area total bajola grafica de una curva.Sea [a, b] un intervalo continuo y P un conjunto de puntos de la forma P = {x0, x1, x2, ..., xn}tal que P ∈ [a, b], entonces la suma de Riemann de la funcion f acotada en el intervalo sedefine como:
S =n∑
i=1
f(yi)(xi − xi−1)
podemos encontrar dos variantes a la definicion:
Suma superior: yi es el supremo en el intervalo {xi − xi−1}
Suma inferior: yi es el ınfimo en el intervalo {xi − xi−1}
2
Ejemplo:calculemos la suma de Riemmann de f(x) = x + 2 acotada en el intervalo [1, 3] para unaparticion P = {1, 11
2, 2, 21
2, 3}.
Calculamos el tamano de cada particion, para obtener la base de cada rectangulo:
∆xi = pi+1 − pi
∆x1 = 112− 1 = 1
2∆x2 = 2− 11
2= 1
2
∆x3 = 212− 2 = 1
2∆x4 = 3− 21
2= 1
2
Calculemos la altura de cada rectangulo evaluando las particiones en f(x):f(1) = 3
f(1) = 3 f(112) = 7
2
f(2) = 4 f(212) = 9
2
Expresemos ahora la suma:
A =4∑
i=1
f(y1)∆x1 = [1
2· 3] + [
1
2· 7
2] + [
1
2· 4] + [
1
2· 9
2] =
15
2u2
Area exacta: 8u2
Universidad de La Frontera Agosto - Diciembre 2010Autores: Nicolas Carrasco - Francisco Lopez - Francisco Llanquipichun
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