1 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA CAPTULO X ESTADSTICA APLICADA A LA HIDROLOGIA 10.1INTRODUCCIN. Losestudioshidrolgicosrequierendelanlisisdeinformacinhidrometeorolgica,esta informacinpuedeserdedatosdeprecipitacin,caudales,temperatura,evaporacin, infiltracin, etc.Se cuenta con datos recopilados de un periodo disponible, si esta informacin es organizada y se analiza adecuadamente proporciona una herramienta muy til,para tomar decisiones sobre el diseo de estructuras hidrulicas y responder a innumerables dudas y parmetros de diseo, como se muestra en la Figura10.1 FIGURA No 10.1 APLICACIONES DE LA ESTADISTICA EN LA HIDROLOGIA. Enelanlisishidrolgicoseutilizanlosconceptosdeprobabilidadesyestadstica,porque generalmentesecuentaconescasainformacin,ycasitodoslosfenmenoshidrolgicos tienen una alta aleatoriedad, por esta razn se ve la necesidad de introducir este captulo para aclarar los conceptosy los mtodos ms utilizados en la hidrologa.

10.2CONCEPTOS FUNDAMENTALES PROBABILIDAD: Sea S un espacio muestral asociado a un experimento, y A cualquier suceso de S, tal que A es un subconjunto de S, se dice que la probabilidad de P(A) de un evento A, es un experimento aleatorioquetieneNsresultadosigualmenteposiblesyNaresultadosfavorables,estdado por: NsNaA P = ) ((Ec. 10.1) Este tiene que satisfacer los siguientes axiomas. 1.0P(A)1,paratodoAS(paratodoeventoAsuprobabilidadespositivaycerosiel evento es imposible). 2.P(S)=1 3.P(A1UA2UA3UUAN)=P(A1+A2+A3+.+AN)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+.P(AN).Si A1+A2+A3++AN, es una serie de sucesos mutuamente excluyentes. 2 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA FUNCIONES DE PROBABILIDAD: Unadelasformasderepresentarlasprobabilidadesdelasvariableshidrolgicassonlas funcionesdeprobabilidad(funcionesdedensidad),ylasfuncionesdeprobabilidad acumuladas que a continuacin se mencionan. a.Funciones de probabilidad discreta: Cuando el nmero n de valores que puede tomar una variable aleatoria X es finito, se dice que la variable aleatoria X es discreta. AlafuncinygrficaqueasociaunaprobabilidadadichavariablealeatoriaXsedenomina funcin de probabilidad discreta f(xi)EstafuncinrepresentalaprobabilidadquetomarlavariablealeatoriaX,generalmente serepresentaporungrficodebarrasparacadavalordelavariablealeatoriaX,ver Figura10.2. FIGURA No 10.2 FUNCION DE PROBABILIDAD DISCRETA b.Funciones de probabilidad continas. CuandoelnmerodevaloresnquepuedetomarunavariablealeatoriaXesinfinito,se dicequelavariablealeatoriaXescontinua.Estetipodevariablesesmsfrecuenteen hidrologa. Lafuncinqueasociaunaprobabilidadadichavariablesedenominafuncinde probabilidadcontinuaofuncindedensidadf(xi).Estafuncinrepresentalaprobabilidad que toma una variable aleatoria X, la representacin grfica se muestra en la Figura10.3 FIGURA No 10.3 3 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA FUNCION DE PROBABILIDAD CONTINUA c.Funcin de distribucin acumulada. SiXesunavariablealeatoriadiscretaocontinua,sedefinelafuncindedistribucin acumuladaF(x),comolaprobabilidaddequelavariablealeatoriaXtomecualquiervalor menor o igual a x y se designa por: F(x)=P(Xx) (Ec. 10.2) Que es conocida como probabilidad de no excedencia, o

1- F(x)= 1 - P(Xx) = P(Xx)(Ec. 10.3)

Que es conocido como probabilidad de excedencia, ver Figura10.4 FIGURA No 10.4 PROBABILIDAD EXCEDENCIA Y NO EXCEDENCIA Tal que: P(X x) + P(X x) = 1(Ec. 10.4)

En hidrologa la variable ms frecuente es una variable continua, se analizara la funcin dedistribucin acumulada de esta variable, que est representada por: } = s =xdx x f x X P x F ) ( ) ( ) ((Ec. 10.5) En caso que la funcin empiece en - De esto se deduce que: }= = s sbadx x f a F b F b x a P ) ( ) ( ) ( ) ((Ec. 10.6) Lo que significa que la probabilidad de un evento axb, es igual al rea que haybajo la curva de la funcin de densidad f(xi) entre x=a y x=b, ver Figura No 10.5 4 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA FIGURA No 10.5 PROBABILIDAD DE UN EVENTO axb Seconcluyequelaprobabilidadpuntualescero,porqueelreabajolacurvaescero., como se observa en la Figura10.6 FIGURA No 10.6 PROBABILIDAD PUNTUAL Por otro lado se tiene que el rango de F(x) es: 0F(x)1(Ec. 10.7) Es decir que la funcin de distribucin acumulada est en el rango de cero y la unidad o 100%, dependiendo si se trabaja en porcentajes o decimales.La funcin de distribucin acumulada se representa de la siguiente manera. FIGURA No 10.7 FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA LaFiguraNo10.7nospermiteverelporcentajedelasobservacionesqueestnpor encima (Fxi) o debajo (1-Fxi) del valor xi con respecto al total. 5 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA d.Funcin de distribucin acumulada. El Periodo de Retorno T, se define como el tiempo o lapso promedio entre la ocurrencia de uneventoigualomayoraunamagnituddada,dichodeotraforma,eselintervalode recurrencia promedio para un cierto evento.Estadsticamente el Periodo de Retorno es la inversa de la probabilidad de excedencia, es decir: ) (1x X PT>=(Ec. 10.8) O tambin puede ser representada por la probabilidad de no excedencia como se muestra a continuacin. ) ( 11x X PT> =(Ec. 10.9) Otra forma de definir Periodo de Retorno T es como sigue:Considerar por ejemplo la variable caudal mximo del ao, Q max para n aos.La grfica correspondiente para una serie de 41 aos ser: FIGURA No 10.8 CAUDALES DIARIOS MAXIMOS La media histrica de esta serie de 41 aos resulta 14.9 m3/s.Ahoraconsiderarporejemploelvalor20m3/s. Trazarunarectaa20m3/senelgrfico. Realizar el conteo de aos transcurridos entre eventos mayores a 20 m3/s:Una vez que se present el evento Q>20 m3/s en el segundo ao, transcurrieron 2 aos antesdequesevolvieraapresentardichoevento.Luegotranscurrieron5aos,luego2 aos, etc.Considerando varias centenas de aos, el periodo de retorno T ser el valor esperado de esos lapsos de tiempo. Entonces en el ejemplo descrito T puede ser estimado como sigue: aos T 80 . 3105 8 1 2 2 6 5 2 5 2=+ + + + + + + + += Lo que significa:Considerando varias centenas de aos, el valor de 20 m3/s es excedido en promedio una vez cada 3.8 aos, es decir, el periodo de retorno del valor de 20 m3/s es de 3.8 aos.6 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA Conotraspalabras,eneltranscursodeunaocualquierasetieneunaprobabilidadde uno en 3.8 (o sea 26%) de que Q max sea igual o mayor a 20 m3/s. El periodo de retorno a adoptar para el diseo de una estructura hidrulica debera ser el resultadodelanlisiscosto-beneficio.Amayorperiododeretornomayorlaobrayen consecuenciamscarayelbeneficiotambinpodrasermsgrande.Sinembargola evaluacindelosbeneficiosesfrecuentementemuydifcildeutilizar,porloqueenla prctica se adoptaran periodos de retorno en base a la prctica usual.EnlaTabla10.1,semuestraperiodosderetornorecomendadosparaelclculode caudales de diseo de estructuras menores. TABLA No 10.1 PERIODO DE RETORNO PARA ESTRUCTURAS MENORES FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 2002. Tambin se puede entender el periodo de retorno como un coeficiente de seguridad que se asigna a las distintas estructuras, a raz de la falta de informacin y conocimiento del comportamientodelasvariableshidrolgicas(Precipitacin,Caudales),siendounamedida de seguridad ante cualquier eventualidad. TABLA No 10.2 PERIODO DE RETORNO PARA ESTRUCTURAS CIVILES EN GENERAL FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987 . Sedanaconocerotrastablaspresentandoperiodosderetornosrecomendadospara diferentes tipos de estructuras civiles: La Tabla No 10.2 es de carcter general e incluye diversas obras, la Tabla 10.3 es exclusivo para obras hidrulicas en carreteras, laTabla 10.4estenfuncinaltipodereaaprotegerylaTabla10.5enparaeldiseode vertederos de embalses. 7 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA TABLA No 10.3 PERIODO DE RETORNO PARA OBRAS HIDRAULICAS EN CARRETERAS FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987 TABLA No 10.4 PERIODO DE RETORNO SEGN AREAS A PROTEGER /FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987 TABLA No 10.5 PERIODO DE RETORNO PARA VERTEDEROS DE EMBALSE FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987. e.Funcin de distribucin acumulada. Por lo comn el ingeniero disea una obra para resistir una avenida de cierta magnitud.Se define el riesgo de fallo R de un diseo como la probabilidad de que la avenida para la cual se disea la obra sea excedida en el transcurso de N aos, esto es considerado como unasituacinderiesgo,pueslaobrasediseaparasoportarciertaavenidamxima,y crecientesmayorespodranhacerledaooinclusodestruirla,poniendoenriesgovidas humanas e infraestructuras que estn aguas abajo. Deformamssencillaseentiendeporriesgodefalloalaprobabilidaddequeun evento con un periodo de retorno de T aos ocurra al menos una vez en N aos.El riesgo de fallo se puede escribir como: Nx X P aos N en vez una menos al x X P R )) ( 1 ( 1 ) . . . . . . . ( > = > = (Ec. 10.10) NTaos N en vez una menos al x X P R )11 ( 1 ) . . . . . . . ( = > =(Ec. 10.11) Dnde: T = Periodo de Retorno;8 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA N = Aos P( X x) = Probabilidad de excedenciaR = Riesgo de fallo o probabilidad de que un evento con periodo de retorno T aos ocurra al menos una vez en N aos. De la misma manera se puede definir la confiabilidad queviene a ser el complemento del riesgodefallo,quesedefinecomolaprobabilidaddequeuneventoconperiodode retorno de T aos no ocurra en N aos, la confiabilidad se puede expresar de la siguiente manera: Nx X P aos N durante ao cada x X P ) ( 1 ) . . . . . ( > = ((Ec. 10.12) N Nx FTN durante ao cada x X P R ) ( )11 ( ) . . . . ( = = ( =(Ec.10.13) Tambin es posible calcular el periodo de retorno a partir del riesgo de fallo y del nmero de aos, como sigue a continuacin: ((

=NRT1 . lnexp 11(Ec. 10.14) 10.3POSICION DE PLOTEO Y PAPEL DE PROBABILIDAD. a.Posicin de Ploteo. Tambindenominadaposicindegraficacin,oprobabilidadempricaoexperimental,o probabilidadasignada(probabilidadacumuladaexperimental)Laposicindeploteoesla ubicacindegraficacinenelpapeldeprobabilidadesdelosdatosdeunamuestra. Existenvariasfrmulasempricaspropuestaspordiferentesautoresparapodercalcular dicha posicin de ploteo, stas se muestran en la Tabla 10.6TABLA No 10.6 PROBABILIDADES EMPIRICAS FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 2002 9 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA Dnde: m: Numero de orden. N: Nmero total de datos. a: Valor entre 0a1, que depende de N de acuerdo a la Tabla No 10.7 TABLA No 10.7 VALORES DEL PARAMETRO a PARA LA FORMULA DE GRINGORTEM FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 2002 La frmula ms utilizada para el clculo de la posicin de ploteo es la de Weibull.El procedimiento a seguir es el siguiente:Una vez seleccionada la frmula emprica a utilizar, se procede a ordenar los datos de la muestrademenoramayor,despusselesasignalaprobabilidademprica,queesla probabilidad de no excedencia. Si se ordena de mayor a menor, la probabilidad asignada ser la probabilidad de excedencia.Con estos datos se plotea en los respectivos papeles de probabilidad. b.Posicin de Ploteo. Es la representacin grfica de la probabilidad acumulada de una distribucin terica, este papel de probabilidades tiene las escalas de las ordenada (X) y las abscisas (Probabilidad) diseadas de tal manera que los datos que van a ser ajustados aparezcan cercanos a una lnea recta.El propsito del papel de probabilidad es el de linealizar la relacin de probabilidad de tal maneraquelosdatosgraficadosseacomodenaunarecta,generalmenteconfinesde comparacin. Es una forma de determinar si una serie de datosest siendo representada demejormaneraporunadistribucindeprobabilidadesencomparacinconotras distribuciones de probabilidades tericas. Para este propsito se hace uso de la posicin de ploteo.Este procedimiento es conocido como la prueba de bondad de ajuste grfico, que nos sirve para poder determinar si los datos se ajustan a la distribucin representada por el papel de probabilidades. Ms adelante se presentarn las pruebas de bondad de ajuste estadstico 10.4ANLISIS DE FRECUENCIA DE VALORES MEDIOS Enestadsticaexistenmuchasfuncionesdedistribucindeprobabilidadtericas,las funciones de distribucin de probabilidad tericas ms usadas en hidrologa son las siguientes. -Distribucin Normal-Distribucin Log. Normal-Distribucin Gama de 2 y 3 parmetros-Distribucin Log. Pearson Tipo III-Distribucin Gumbel10 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA -Distribucin Log. Gumbel. a.Distribucin Normal. Tambin denominada distribucin gausiana. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribucin normal, cuando su funcin de densidad de probabilidad es: (((

||.|

\| =22121) (SX xeSx ft(Ec. 10.15) Dnde: f(x): Funcin de densidad normal de la variable x x : Variable independienteX : Parmetro de localizacin, igual a la media aritmtica de x. S : Parmetro de escala igual a la desviacin estndar de x. e : Base del logaritmo neperiano Cuandolavariablealeatoriasedistribuyenormalmenteconmedia __X yvarianzaS2,se denota de la siguiente forma: FIGURA No 10.9 FUNCION DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION NORMAL ParasuaplicacinlomsfcileslautilizacindeunatablaquerelacioneZversusf(Z) para lo cual se ha definido la variable estandarizada como: SX xZ= (Ec. 10.16) Donde la funcin de densidad de Z, es denominada funcin de densidad de la distribucin normal estndar o estandarizada, que tiene la siguiente expresin: ((

=22 21) (ZeSZ ft(Ec. 10.17) Una caracterstica importante de la distribucin normal estndar es que tiene la media cero y la varianza igual a uno.La funcin de distribucin acumulada de la distribucin normal es: 11 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUIZ PAUCARMAYTA dx eSx f x FxSX xx} } ((((

|||.|

\| = =22121) ( ) (t(Ec. 10.18) O su equivalente: dZ e Z F x FZZ} (((

= =2221) ( ) (t(Ec. 10.19) Paraelclculodelafuncindedistribucinacumuladaserecurrealatabladelaley normal que est en funcin de la variable estandarizada Z. La distribucin normal es de gran utilidad en hidrologa, siendo algunas de susprincipales aplicaciones: - El ajuste de distribucin emprica de variables hidrolgicas medias anuales, mensuales, estacionales,etc.,otambinvariablesacumuladasanuales,mensuales,etc.,que pueden ser caudales precipitacin, temperatura, entre otros.- Comoreferenciaparacompararvariasdistribucionestericasdeajusteconuna distribucin emprica.- Anlisis de errores aleatorios en las observaciones o mediciones hidrolgicas.- Para aplicar inferencia estadstica. Para realizar el ajuste se utiliza el papel de probabilidades de la ley normal junto a surecta trazada analticamente. b.Distribucin Log Normal. Las variables de inters en hidrologa son generalmente positivas, por lo que es usual que presentendistribucionesdefrecuenciaasimtricas,porloqueseproponeaplicaruna transformacin logartmica a la variable de inters y luego utilizar el modelo de distribucin normalparalavariabletrasformada,ladistribucinasobtenidasedenominalog-normal, por ejemplo si la variable aleatoria X, tiene una distribucin log-normal, esto significa que Y = lnX, tiene una distribucin normal. Se dice que una variable aleatoriaX tiene una distribucin log-normal, cuando su funcin de densidad de probabilidad se define como: Para 0