...

CAPITULO V

PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA

Ref.: (1),. ( 2) , (3) , (4- ) , ( 5) , ( 6) , ( 7), (8) , ( 9 ) •

5.1.- EXPERH-iENTO DE JOULE. EQUIVALENCIA ENTRE CALOR Y TRABAJO

Entre 1843 Y 1850, el físico ingl~s J. Joule hizo unos expe-,

rimentos que habían de desempeñar un papel muy imp ortante en

la ciencia. Bl objeto que se pr0"9uso Joule consistía en e~¡ta -blecer la relaci6n entre el trabajo realizado mientras se des

prendía calor y la cantidad de calor desprendida durante un

proceso cuidad osamente' escogido. El esquema del experimento

de Joule fue el siguiente (ver Fig.5.1): En un recipi~nte

de cobre 1 ,aislado t~rmicélrnente y lleno de agua líquida

pura, hay un agitador de paletas 2. Las paredes de l reci , -

-

¿-=--. --=-- -<1

'//////////A '//////. ./. . J

1 • -piente están provistas de

aletas 3, Que dificultan .'

/ me:

I

_-z I I I

"'''''' """ "" . " " '\:\ I 3 I

~

I '" ~",''-'''' . v'\. " " " '\'\\1 I '<:2

I 1..,\"'\''\ '\" '\ \ _'\ " I

~ [~~] 'JL///L.

Fig.5.1.- Esquema simplifica­do del eouino utilizado para . - . el experimento de Joule.

el movimiento del agua. .

cuando se mueve el agita-

dor. Este último se hace

girar a expensas del des­

censo de una carga 4,

cuya masa es me' que e~

tá enlazada con el agita­

dor nor medio ,de un hilo -arrollado en la polea 5.

Cuando la carga desciende

una altura A Z , el traba -jo producido por ella (y, por consiguiente, Dor el agitador)

es igual a la disminuci6n de su enerpía potencial, es decir,

(g/~c)mCAZ • El calor que se desnrende desde el apua agitada

hacia las paredes del recipiente, se calcula por la elevaci6n

de la temneratuI'a de éste, que se mide con un termómetro.

Hay que señalar que, con anterioridad a que se definiera

•

.'

..

124

ficientementc exactos uara medir la c8nti~ad de c-lor lc~lo -r'i:netrí~) . Lp m8~l8. elel 'lr;un DE- mir'lió 'prcviamcrdc . Je tuvo

en cucllta el calor aue~~sorb ían las nareuea ucl reciipiente ,

las aletas y el agitad or con BUS nnl~ta6 ,

rífica del ar:ua y de l metal se conocían . -

('omo --.. "e",' ':"r~o' cie J l1 ..L "'- ."~A..L ..,,-..;.L. .4

una serie de experiencias realiz9.d~cl.s ·M~ ticu ló:-;~::c:1cn te , Joule

estableció ClUe entre el trabaj o c~a.st:tC1 0 y la c n~t i~aa de

calor obtenida Q B~iste un~ Droporci6n d irpcta :

Q = A • ',{ ( 5 • 1 )

d onde A es la constante de proporcior-alidad . Joule observ6

oue el cocficiente A conservaba el Illiano v alor , i necnen-

die~te~ente del nrocediniento oue se utilice para obtener c ~

lor, del tino ele trabajo, de lo. t emperatura (lel Cl;,(;r~ O, etc .

De los re9ulta~os ee sus medic ion~s , Joule - . C' f~ (li. .. l J o el -V;LLor

(l e A , el cua l recibió e 1 no;~'ore ¿e It ee..:ti v '11en te t81".uico

del tre.oajo ", :T el de J , nue es el " ec'uiv~'lel'1tG r!!ec2.11 ico

del c2.101""; es evir'ier-te oue J = 1/.\ •

A = 0.C02345 KC2.1/( K~f . m) , y, J = 427 h.pf' . rn/ b .. cal

Poco tiemno deS'DU~8 de las eXDe riencifJs de Joule, fue p1"o-

TIues ta la teoría ciné tico-lllole cul:::r d e l a -éSt8, el calor es un 9. 2l8nifestaci6n o,e l a ene1" ," í 1. 081 !rlovi­

r.:ient o térmico c9. ótico d e las miCrOD2.1"t ícult.¡::; 0\)(': fOr-l::"'!l un

si s te;lla • .

Más tarde los valores de A y J, obtenidos ~or Joule, fu~

ron nrecisados; de a cuerdo con los resultad os de las med icio -nes Clodernas m2.s eX8 ct9.S se tiene:

J - 4.1368 kJ/Kcal = 426.9350 K.gf . m!Kc rJ,l == 30.:36 lbf.ft/Kcal

J = 1.055056 kJ!Btu = 777.6 lbf.ft/Btu = 107.5857 K~f.m/3tu

Bn a ri e lan te, para sinm lif icar y p3I'a se{'uir 103 lineam.ieni;os

ri el sistem::l intcrn'?.cion::ü (Je unir1ac1efl , en les f'Cll<:,:, ciones ter -" , , f' , 1 mce ln ':lllllC:.!S no lf;urnr an os coeficientps A y J ; el tra-

bajo y el c a lor se medirán en las mismas unid ~l.r¡ es, lmidild es

de ener r' í a .

..

125

5.2.- ENUNCIADO DE LA PRIMERA LEY DE LA TBH.JilIODINAr'l'IICA

La ley o principio de la conserva ci6n y transfo:L'maci6n de

la energla es una de las leyes fundamentales de la na'turale -za y tiene caracter general; s610 puede ser demostraaa expe

rimentalmente. Fue propuesta como tal en los postulados de

Lavoisie~ y ~uede resumirse en los siguientes t~~minos:

-

"La cantidad total de ener~'ía involucrada en transforma­

ciones físicas y quím:j.cas permanece constante. Bs decir,

la energía no se crea ni se destruye, solamente pasa de

una forma a otra, en virtud de las diversas transf ormacio , -

nes físicas y químicas"_

]SI principio de la conservaci6n de la ener.§;ía. se c onocía des -mucho tiempo antes en la mecánica, donde se aplicaba a la

energía cinética y potencial. Despu~s de los trabajos de

Joule y de otros científicos qued6 establecido el 9rincipio

de equivalencia del calor y del trabaj o y, Dor lo tanto, el

principio de la conservación se extendi6 a otras for.:nas de

energía; de acuerdo cort su contenido, co~enzó a llamarse ley

de la conservaci6n y transformaci6n de la energía

hn la actualidad, cuando se conocen diversas fonlas de ener -gía: energía del movimiento térmico de ~as micropartículas

que componen un sistema (energía interna U), ener¡ í a cinéti

tica del cuerpo en su conjunto, energía de l C2JllpO gravi taci.9.,

nal (en Particular la ~), energla del campo eléctrico, ene~

gía del campo magnético, ., energía de la radiación electromag

n~tica, energía internuclear y otras, la ley de la conserva -ción y tranaformaci6n de la ener~ía establece una ligazón

biunlvoca entre todas estas formas de la enerttÍa, en aquellos

procesos donde se manifiestan sus mutuas transformaciones.

Esta ley de la conservación ele la energ ía se conoce t ambién

con el mombre de "primera ley 6 prio.er principio de la ter-

modinámica"; desde el -punto de vista ele l a física newtoniana,

a esta le~ está ligada íntimamente la ley o principio de la

conservaci6n de la masa, dad o Que l~l.s f orInas de enerr la de­

penden directamente de ella.

,

..

126

ry~elvin .Mark muestra un enunciado simplificado que resume la

'Primera ley de la termodinámica,

ca Clásica.:

en t~rminos de Termodin&mi -

"En todo sistema, la energía asociada con la materia que

atraviesa la frontera entrando al sistema, más el calor

neto transferido entre ~ste y los alrededores, es ie,ual

a la suma de la energía asociada con la ~ateria que atra -viesa la frontera saliendo del sistema, el trabajo neto

involucrado y la variación de la ener~ía asociada al sis -tema como tal".

Es de notar Que la energía asociada con la masa que atraviesa

la frontera del sistema de~ende del ' estado termodinámico,

de la velocidad y de la posici6n relativa de dicha masa (en

otras palabras, de la Entalpía, la lillergía Cinética y la .r;ner -gía Potencial); por lo tanto, la diferencia de esta ene reía

asociada con la materia que atraviesa la frontera, entre la

salida y la entrada, constituye una diferencia puntual, oue

en el límite infinitesimal genera una "diferencia infinite­

simal". Además, la diferencia entre el calor neto transfe­

rido y el trabajo neto involucrado, constituye illla magnitud

neta de energía intercambiada, que en el limite infinitesi­

mal genera una "cantidad infinitesimal".

,

Ahora bien" si llamamos "Energía Puntual" (E) a 18. suma de

la energía asociada al sistema como tal y la energía asociª

da con la materia que atraviesa la frontera, podemos hacer

un enunciado más simplificado y más general de la primera

ley de la termodinámica:

"Para cualquier proce~o que sufra un sistel1lc'l, la cantidad.

total de energía intercambiada transitoriamente con los

alrededores debe ser igual al cambio de ener.::;ía puntual".

Llevando este enunciado a una ecuación diferencial sencilla,

podemos escribir:

¡Q - SW = dE ( 5.2)

..

127

5.3.- APLICACIONES DE LA PRDv1EHA LEY DE LA TlminO~HIJA.r¡lICA

a. En siste~nas totalmente aislados : En este tipo de sistemas . . ',- .. . , .

hipotéticos ni la energia ni l a masa puiden atravesar la

frontera, por lo t an to se tienen las siguientes i mp lica­

ciones:

Masa constante con el tiempo; en ausencia de reacciones

químicas, at6micas o nucleares: m = cte ,y, n = cte

Calor neto transferido: Q = O

Trabajo neto : w = O

N o hay masa que entre o salga •.

• Entonces:

Cuando los cambios de enereía cinética y potencial son eles -preciables en magnitud, se tiene un cas o de "Expansi6n

Idbre de Maxwel ti o simnlernen te "Exnansi6n de Maxwell": , .

dU == O (Proceso isointér~ico)

u = cte

b. En ciclos termodinámicos: Sabelnos aue la carac teristica .. . .. ... -

fundamental de los ciclos es la de oue el estad o inicial •

y el final, para el sistema, coinciden; por lo tanto, se

tienen las siguientes implicaciones: ,

•

Masa constante con el ' tiemno para ,el estado , inicial y, •

. por consiguiente, para el estado final que es el • ID1smo. minicial= ffifinal

El cambio neto de energía puntual para el sistema debe

ser nulo: E E inicial= final

Calor neto: corresTIonde a la suma del.calor transferi­

do en caoa uno de los procesos constitutivos de 18.

trayec toria cíclica: Qneto = f S Q

Trabajo neto: corresponde a la suma ciel trabajo invol!!,

erado en cada uno de los

la trayectoria cíclica:

procesos constitutivos

VI ::: tf, 6vI neto 1

de

•

128

Entonces: Q - VI = .h$'Q - ~~ ¡/ O neto neto ' J

E - E = ~ dE = O Fine.l Inicia l 1

•

En toito ciclo termodini5.mico pare.. sistemas no uislo.llos una

parte del calor neto es suministraG o al sistem~ (uositivo )

y otra parte es retire.do del sistema (negativo); p or lo t an -to, tomando la. magnitud <lel primer tipo Qe calor como QS

y la magnitud del calor retiraf~ o co:no ~ (valor sos oluto), II

-podemos decir : •

(5.6)

N6tese en la eco (5.5 11 ) oue el si ?<llo para calor neto y tl"2.ba -

jo neto en un ciclo es el mismo . Abore. bien, se d ice f)ue el

"ciclo es productor Ce potencia" oi el trabs.jo neto ee pos,i

tivo, es decir, si el traba,jo resultante es prouu.eiclo ~or el

sistema.; el ti ciclo será consum.; dar de T) otencia" si el tre.oa ¡j o

neto es negativo, es decir, si el tre.baj o rasul t s.n te es sLllili -nistrado Dor los alrededores. -

En términos generales , si llamemos WN a · la maRnitud del ~.

trabajo neto, se r:. efine como eficiencia de la tr8.nsform2.ción

calor-trabujo 3. la relaci6n entre W N

, lo. cU'J.l tie-

ne es-oecial interés en "ciclos uroductores de '-otencia ll (m8.s t'

d 1 t 1 ~ 1 lIt ;:¡ .,. - , d a e an e, en a sefUIlcR ey e e a ermoc.. lú2Jlll ca , se }:lodra ~

mostrar que este valor, siempre menor Clue la unidad, no puece

exceder de un cierto valor máximo permisible):

En "ciclos consul:1idores de potencia" la transform8ci6n bósi­

ca. es trabajo-calor; aquí se definen "cofeciciente de ooera -ción o coeficiente r..e efecto fri[rorífico o enfriador" como

la relRci6n entre Q Y \'1_ , Y "coeficiente (le oDeración o ,.:) . N . coeficiente '.'I e efecto c:lle1~actor" como 1::1 relaci6n ea:tre

•

•

..

129

, con, w .¡ O N

, y, COPF = ~ = QS/VlN ~ o. O

COPC = (b f:: %/WN ~ l. O ,con, '¡'{NI O ,y, ( r: e) ). t - ~

Es importante observar oue el experimento de Joule rucl e

resumirse en uú uciclo -productor (l e potencia" , don0e el

trabajo suministrado Dude ser mecánico o electrico, bá,si .-camente; el efecto es tre.l1sferencia ele un calor neto eles -de el sistema hacia los alrededores.

c. En sistemas cerrados: La característica funrlament3.1 de . , = -

este tipo de sisfemas es la de no permitir el flujo de

masa, por lo tanto se tienen las siguientes implica,ciones:

Masa constante con el tiempo para cualquier -proceso

No hay masa que salga o entre ,

Puede haber transferencia de calor ,

Puede haber -or00.ucci6n o consumo ¿~e trabajo de e)'~pansi6n

Entonces: $Q - S VI = dE = dU T dEC + dE P

(5.10)

El caso m~s corriente es tener y E P

constantes o

cambios de E Y e de magnituu despreciable; así:

d. Ep volume,nes de._control. c.<?ll. pr.o,c.E';.sos_ en. "f.lu~,.~s~o.ci?n'3 .. -

rio": '1'3. característica fundamental de estoD volúmenes I ..

de control es la de poseer fronteras abiertas 'y por lo

mismo admitir masa que entra y salga. El proceso en "flu -jo estacionario" es un modelo ideal de comportamiento que

-presenta la::3 siguientes condiciones para :3U 8.ulicaci6n:

1) La masa considerada dentro del volumen 0e control

permanece constante con el tiempo •

2) La energía nsocia{:a. con la ma~J3. (lue -permanece den-

tro del v<Dlwnen de control permanece constante con

el tiempo

3) La musa ~ue fluye a trav~s 0e la frontera es una

..

•

• 1]0

cantid ad que permanece constonte con el ticnlD o

4) Las cantidades ele calor y trabajo permunccen C0!13L. " 1

tes con el tiempo .

SegÚn ¡os an teriore s plan teamien tos , se tendrán l EI si­

guientes implicaciones:

Iv'.'asa dentro de V. c. : dm/d" = o (=) m = ID ~ 2 1

Energfa dentro de V.C.: dE/eH} = o <=> E = E 2 1

• Energía asociada con la ID2sa que se introduce al

v.C.: dEi /c9 = mi(hi + eCi+ epi) = cte

Masa efluente del V.C.: ~m / d9 = m = cte e e

Energfa asociaca con la masa efluente del V.C.:

dE Idg = ID ( h + eC t ep ) = cte e e e e e

Calor neto transferido desee el V.C. a los alrcfedores •

o desde éstos hacia el V.C.: á Q/dQ = Q = cte

Trabaj o net o hecho por el V.C. o sobre el V.C.:

S W/dQ = ','1 = cte

Entonc es , en el cas o de tener 1, 2, ••• , r entradas

q.e masa, y 1, 2 , ••• , y salic.as de masa : r

~ +2: (m.(h.+ j:1 1 1

(f

e C . t e p . » . = ti + ¿ (!il ( h + e + ep » 1 1 1 J ~c, e e Ce e K

El balance de materia se podrá reducir a la siguiente

expresi6n: ~ L(. ) ~(m.).=L m k J &/ 1 J R:' e

Los casos más corrientes de aplicabilida~ de este modelo

V.C.,F.E. 6 S.A.,F."::. ( sist"'-na ao ierto con nroces o en flu -jo esta cionario) 6 S íGl.plemen te ~' '~ ( d 2,d o

, • .~. Que en 8 1 nns--

mo es un procebo Que 8610 puec1 e anlic;'?rce ~ sistemas abier --, --tos) corresponrlen 8. ec:uiT'os acncillos con una entrada y

una salida; por lo t ém to se podrá r educir :J.s í:

• • m = m 1 e 6 m. = ID , p8.ra un A G dFtd o 1 e

•

..

131

~2 (V /2g )+ (gZ /g )

e e e c (5.15)

La masa nue atrnvic~~ la frontera ~el V.C. obedece a la

"ecuaci6n ele con tinuiu'-'d" 'Oara fluidos en movimiento:

Si (' es la densidad o.e una cantic.ad infinitesimal de

masa que fluye por una tubería o Gucto , A es el ár~a

perpendicular a.l flujo en un punto de la conducci6n, dL

es la distancia q:J.e pude avanzar la cantidad infinitesi­

mal de masa en un tiempo eG, se puede establecer la si­

guiente relaci6n:

S m/ dG = m = f A ( d L/el@ )

donde la ec.(5.16) 'representa la rapidez con que se mueve

la cantidad infini tesirJlal (le m:.?Ha 6 la velocidad másica

instantánea. Pocer¡lOS decir, (i escle el punto de vista ma-

crosc6'Oico, Que dL/oG es la velocidad promedio del flui -.:. r.o V, Y oue Ac'.IJ correspon(~e 0:.1 volumen infinitesimal

de 18 c2.ntül':<::l r.e :118~(1 an8.1ia.qr.2. dV , y por lo tanto, •

dV/é'.9 aerá el caurl8.1 instantáneo oel fluido V ; así:

~ ~ '. ID = f -V = A V Iv = ~ V = V Iv

La ecuación 5.17 se deno!1lina "ecuaci6n de la continuidad

. t t/ "el 1 fl . 1 d t 1n9 3.n _.ne8 e Ule o oue se nueve por un uc o • •

En los p1'oc0. HOS eh fluj o 6st.=l.cionario , cada corriente •

Que entra o sale e.e 1 v. c. T)re3811 ta una velocidad másica - - . constante, por lo tanto, pa.ra caéia corriente de este tipo:

e. Caso_s es'Oec,in.les ele "flu~o e strtcionario" en volúmenes de

control con una ent.ra(i ,_l. y unD :..:;<·)lil1a, :

1) Evp.lu"lci6n f: el trr ,b: .i o en procesos a.diabá tic os: qVC=O

~? ~2 - W

YC= (h - Cl_) + (1/2,(" )(V~- y.) + (g/g)(Z - Z.) (5.19)

e l ' c el · e e 1

2) Proce.lo ~-lrl i:1 b·í -cica con C:1:11bio c!.e enereía potencial dC8-

pI'ccinblc: qVC= O , y , con g= ete

•

•

..

•

132

-"2 "'2 - wve= (h - h.) + (1/2g )( V - V.)

e 1 c e 1

3) Evaluaci6n nc trBbato id (> a l para procesos en fluj o es -tacionario con una entrada y 'lUla salida: En este caso,

se aroume un nroce :3 0 adi-:bático CO~l cambios de energía

cinética y Dotencial despreciable : O • Z - ~.~ O qye= , ~ L-

"'2 V -e ,6, -" "" V - Y ~ O

e i

(modelo ideal) (5.21) •

Basándonos en un proceso cuasiequilibrado podemos usar

el trabajo definido en la ec.(4.8) para reemplazar~o

en la ec.(5.1l); de esa manera obtenemos:

Sq = Pdv f du = O ( adiabático ) (5.22)

Diferenciando la ec.(4.27) podemos obtener: •

dh = du + Pcv + vdP (5.23) •

Reemnlazqndo ec.(5.22) en ec.(5.23), se obtendrá:

dh = vdP , (ad iabático) (5.24)

Af'l'tn:'anco convenientemente ec.(5.21), ec.(5.24) y

ec.(4.11 f), se tendrá:

w =-ve (h - h.)= - l1h e 1

t

= -1 vdP - w . eJe

•

Cuando el sistema es proCl uctor ele potencia, la produc -ci6n de trabajo se hace a expen3as de una disminuci6n

•

de la entalu ía, por lo tanto, la entalpía de salida es

menor que la de la entrada. En los casos de sistemas

consumid ores de potencia, se a costumbra a evaluar el

valor abosoluto del trabajo, por ¡o tanto, se to~árá

- Vive ' en lugar de i've; a')uí, el swninistro de tra­

bajo des~e los alrede~ores incrementa la entalpía, en -tonces l a entalpí8 ele salicla es mayor que la de entrada •

4) Eve.lun.ci6n r'lel calor sin trab;'l jo mecénico arrove chable:

+ (e/ g )(:6 - ~ i ) c e

•

•

• 133

Esta ecuaci6n es p'l.rticularE18nte importante en L"ltcr­

cambiadores de calor. Es costmnbrc hrl.ccr evaluaciones

de transferencia de calor con efectos de cambio de en<.:r -g ía cinética y potencial despreciables ; así:

5) Evalu9.ci6n de calor ideal: En este caso se ar.mme pro­

ceso isobárico cuasie0.uilibrado, con ca.rn.bio de enereí:?

cinétic .~ y potencial despreciable; por ser isobLírico

cuasieauilibrado no admite prorlucción o consumo de tr8 -bajo de eje~ Así:

N6tese que las ec.(5.27) y (5.28) son diferentes .

Podemos reescribir (5.28) usando ec.(4.27):

qvc= (u - u. )p + p (v - v.) e 1 e 1

También:

•

Sistemas homogéneos en p-roceso sin cambio de fase

qVC= (he-hil p= leCpdT (4.17)

, y, (5.30)

Proceso de cambio tot~l ue fase con sustWlcias pu­

r as , por ejel"!rnlo de líquido a V8:0 0r:

6) Bale.nc€) de enerp.:ía en procesos de estranpulaeión: En

términos generales, se denomina. e3tr~lnt';Ulaci6n al pr~

ceso que pue0e efec tuarse

fluido a travéo de al-:;una

por sir-r:?le circulaci6n de un

restricci6n (va lvula, acceso -rio, mellídor, tobera, difusor, o simpleoen te un tramo

. de tubería); nor lo tanto, e,quí se iIW-,lico. ausencia de

tran:Jferencia de calor, por trato.roe d.e un.a restricción

rtue es peauefía c07npar<lda con el reato de la eOl1.c]ucción,

y ausencia de 1)rociucc i6n o consumo -le trabaj o. Así:

•

..

134

(h - 11.) + e 1

.~~

V~) + (e/F. )(Z - 6,) = o. 1 c e 1

El caso m~.3 comú...l1 c1 e estrpl1,c ulaci6n se preDEm ta sin

cambio n:preciablc en enerl~i.a TJotGncial, entonces:

(h -h.) e 1.

~2 ~2 + (1/2g )(V - V,) = O c e 1.

El proceso de lIestanca"lliento" para una tobera ideal,

es uno hipotético :nediante el cual la entalpía de en­

trada se transforma. en enereía cinética a las condicio -... nes de salida (V.= O):

1.

.... 2 V / (2g ) = h, - h

e c 1. e

En el caso de un ' dif~sor ideal, el uroceso de estancq -miento es a la inversa:

V~/(2g ) = h - h 1. C e i

'7) Expansi.6n e e .J oulc-Thom'OBon: Es una expa-'1.si6n libre

ideal en sis te!:las :lbiertos; ::'!lU chos autores deno.::lin::lIl

este proeso simnlell18nte "estrangulaci6n", pero se[:ún

la definici6n dada anteriormente se trata de una "es­

trang'ulaci6n ideal" C!.ue se presenta principalmente en

válvulas ele expf..wsi6n y tubos capilares. Aquí se 8Up,2.

ne que el uroceso es lo suficientemente rápido, y el

tramo qlle debe recorrer el "fluido es lo suficientemen­

te eorto, co:no para considerarlo adiabático y sin po­

sibilic~ad de producir o consumir trabaj o (no h2..Y par­

tes m6viles); además , se puede considerar que la vel,2.

cidad del fluido a la entrada es muy simi12r a la de

la salida, y la diferencia ¿e alturas entre la entra­

da y la salida es despreciable . Bn tal caso, el proc~

se es típicru~ente iso-entalpico, ~ . es aeC1r:

h = h. , 6, h = c te ,6, dh = O e 1.

(5. 36)

~ntonccs: u - u.= Piv.- P v e 1. 1. e e

En esta expnnsi6n libre es ue esperar que tanto la pr~

)

.'

..

135

si6n como lo. ter:rpcra tura dl$::lerl tan (por efe e to de 1:1

exnans ión); nor lo tanto este fen6:::1cno o r~r'OCC'~;O (;(ITIG -ti tuye el fun(~t:!i.ento (:'e 1'1 rcfric('r'.:~ción ,

baj as ternlJcre. ture.s con cierta f3.cilid2.d •

• ,

".1 ] 0<'" í'l ' "'~"'L..4. -

Bxperimen tarnen te se ha podid o d e t erminar el 1I coefi-

cien te de J oule-Thopson 1I par2. ._lUchc..s sus t:: .. nc ia3 , él:.J í:

,6, JI ~ (ti T/LlP) I¿J h ( ~ • -L 1 'DeaUC,rlOS 1.n ltC-rV8 os . .

de presi6~ ) ( 5.3 b)

, Este coeficiente es importante para 19. selección "'" Ull ;, .~ V

fluido "refr i gere-'Yl te ", es el Gcir , aquel que tenr,'fl. Duenas

características para ser usado en rcfrirr~ci6~ . Bnto~

ces, dep endiend o de la caida de pre,i6n que se r~eGee

en la restricci6n Que va a hacer l~ ost:-cn.n: uhlci6n y

conocienc o el coeficiente de J oulc-':'"hown::JOn p O'~ e:llOD ~ e -

.., 1..., cu"l DO('e""'os S"'C"'1' el re-i'ri ~ 'D~,>.,~·t c ':(·'1 c·"tr·~1'··U-e ... el ._~ , " .:.~ t '-"- ......... ..l- ___ I ..... ""- ' . .&. _ '-" \. '-' .) (.~ ._ ~,

..-1 'l'(""l' 1. 1'1 \r +t""'j • ,. ~J ~ _ • v __ le.c1orj to.rrbien , ' c onoci08-s 18S c:':.i~':(lU oc -

peratura 0. e sce,cas , podemos esco :,:'e1' un Tefl'i{ 8r'é!.lltc que • , ,

se ajuste a l as condiciones ~~das , Dor su co ef iciente

de ~Toule-Thomp8 0n.

:f. En volunencs ele contro l con 1)rOC880S en lI T'l:.:.j( . ;.1:-: ifor:'.::e ": .... . - - ... .. . .. _ ... _---El ~roceso en IIfluj o u. n ; t o r m e " es vn ':to:'.ül0 iL.~c8.1 QUO

presenta las siguientes condicior..es ~)?~:!. ;l'U :;:~'plicc,. ci6n:

1) La masa cons i derada dentro de l vol1.uen cl(~ control va­

ría constantementé con el tie~p o

2) La ener~ía asociada con la masa que ~erm~ nece 6entro

de l volu.rnen (~ e contro],

temente con el tiemno

. , t en conse CUenCl2. , vr.1"J,2. COI1::> nn -•

3) La masa que fluye a tra vés de l o f'r 0'1 te 1'3. e3 11 'r1'''' c 'I'n-" w.. ...... ..

tictac. que per.ugnece const8nte con el ti.C lq: O

4) Las can tidé10 e s (1 e calor y trnb'2j () ~o:r::[ p.ne: cen c O1l8 t:,,--:'l1 -

tes CO'1 el tierrmo.

'.

...

I

•

tcs imDlic~ciones :

h.oSn dentro de V.C.: c.m/clG = cte

Energí~ nentro de V.C.: cE/dG = cte ~ •

'3-..... b

~asa oue se introduce al V.C.: ~

é m./ag :- &.-= e"\:0 /' 1. 1.

Ener,~í[l. a30ciada con la maGa <lue se introduce a,2. V .c.!

dE./QG = b.(h.- eC'- ep 1.') = cte 1. 1. 1. 1.

J\!asa efluente del V .C.: S ID /c1G = m = cte e e

Enerpía asociac1a con la masa efluente del V.C.:

dE /c1G = ID (h - e C - epe) = cte e e e e

\ ,

Calor neto transferido nescc el V.G. a los 21redGc~ores

o desde ~stos hucia el V.C.: S' Q/cl.G • = ~ = cte

Trabajo neto hecho por el V.G. o sobre el V.C.: •

ó W/dG = ',/ = cte

En tonces, en cas.o de tener un? 8013 en trac~2. -:l UY:<.:' 8::>18.

s2.1i{ u, in tefT:lnc.:o pare, unu. diferencis d e tiempo (lnt>:l

G-9=LlG 2 1

• , tendremos:

•

• - w - ~ (h + eC

+ ep ) e e e e

Mul tiplicanúo la ec. ( 5J 9) por t1 G , obteneJ1os: ,

Q - W - m (h + ee .,. ep ) + m. (h. + cC ' + en.) e e e e 1. 1. 1. r1.

(5.l9')

g. Casos es"Oeci'l.les (le "fInjo uniforne" en volú,.:nenes de con­

trol con una entr?r:13. y una salic:2,:

1) Llenp{i. ,.(li2..b~tico id(\~'1.1 ce rccinientes: .;jete proceso

hipotético se hace sin tencr en cuentn los cambios (!e

-

enern:ía cin6tic? y "Dotcnci8.1 (c:esnrcci::::tblcs) y con ',/ = O

Como ID.= m - r:J., 1. 2 _ , tendremos:

,

..

137

Si el recipiente está vacío inicialmente, tendre.nos:

2) Evacuado adiabático ideal de recipientes: Bste nroce-. -so hipot~tico se hace sin tener en cuenta los cambios -de energía cin~tica y poténcial (despreciables) y con

. W = o. Entonces:

Si el reci~iente que vacío al final, tendremos:

h. Trabaj o ,ideal en proce~~s poli tr6picos:

1) Trabajo ideal de expansi6n: Recordando. que el proceso

ideal politropico obedece a una trayectoria dada por

la ecuaci6n •

y que el trabajo ideal de expansi6n está dadó por la z

ecuaci6n W12

= J, PdV (4.8)

Reeplazando convenientemente (4.1) en (4.8) y resolvie~

do la integral, tendremos: para n'¡ l. O

•

( 5.45) •

Si la masa permanece constante:

w12

= (Plvl/(l - n)~«P2~1/n-l)/p.- 1) (5.46)

2) Trabajo ideal de eje: VI = - j.e VdP eje ~

(4.11')

Reeplazando (4.1) .en (4.11') y resolviendo la integral,

tenemos: Para n'¡ 1.0

w - (ni (1 - n»( P V - P. V . ) eje- e e 1 1

..

,

1J8

w . = (n/(l-n» P.Y.«p /P. )(n - l)/n_ 1) eJe 1 1 e 1

Si la masa permane ce constante: •

'W == • eJe (n/( 1 - n»P.v.«p IP.)(n-l)/n_ 1)

1 1 e 1

3) Trabajo ideal cuando n = 1.0: Reemplazando (4.1) en

(4.8) y en (4.11'), podemos observar que si resolvemos

, la integral entre 'los estados a y b ,tendremos:

W '= VI • = P V ln(V IV ) = -, Pa,Yaln(Pb/Pa

) (5;50) ab eJe a a b a .

Si la masa permanece constante:

W b= W . = P v ln(v /v ) = - P v ln(PbIP) (5.51) a eJe a a b a a a a

4) Aplicabilidad: Las expresiones para trabajo ideal que

se han deducido aquí, pueden conbina rse con cualquiera

de las ecuaciones donde intervenga el trabajo, convir­

tiéndola así en una ecuaci6n para proceso politrópico,

es decir, para proceso ideal donde P.VU= cte (no pUAde

ser aplicado en ningÚn otro tino de proceso).

5.4.-~PROCESOS CON GASES IDEALES

a. In~roducci6n: Dado que en termodinámica y en lá práctica

se trabaja mucho con la fase gaseosa, a menudo se recurre

a estimativos globales, asumiendo comportamiento ideal de

dicha fase. Así, no s6lo se simplifica un poco la aplica­

ci6n de la Primera Ley de la Termodinámica, sino que se

consigue toda una estructura que sirve de modelo para las

aproximaciones a la realidad. En muchos casos, los esti­

mativos son tan pr6ximos a los reales que se pueden consi -,

derar como tales. Por otra parte, este estimativo nos po --drá dar una guía para tomar decisiones en la vida profe­

sional.

b. Energía interna y entalpía para gases ideales:

• 0

139

b. Enerp;ía in terna y en tn).pía

ramos la ec.(5.1l) en base

obtendremos: $q = du + ~dv

para gases ideales: Si conGid~

al trabajo ideal de expansión,

para mnan constante; si eva -luamos el calor para un proceso isom~trico, tendremos:

•

Reuniendo(5.52) con (4.16), podemos obtener:

la cual, junto con ec.(5.30): Cp= (é)h/étT)p

nos permitirán evaluar cambios en u

te, con la restricci6n anotada.

y h respectivamen -

No obstante, para gases ideales se ha podido comprobar

que las capacidades caloríficas son solamente funci6n de

la temperatura. Usando un subíndice "o" o un supermdi­

ce "{\'", podemos denotar las capacidades calorificas para

___ 19s °gases ideales; oasí:

C(T) ,y, cpo= dh/dT = C' (T) •

du = cVodT , y;

Para obtener el cambio de u 6 de h para un G.I., bas -con inteerar respectivamente, conociendo las capacidad.e s

caloríficas • •

Ahora bien, de la ec.(4.27): h = u + Pv y la ec.(3.11):

Pv = RT , se puede de-ducir:

h = u + RT (G.I.)

dh = du + Hd T (G. 1. ) ( 5. 56' )

Reemplazando en ec.(5.56') la ec.(5.55), tendremos:

Además, otro par~~etro particularmente útil es la relación

de capacidades caloríficns:

140

En la Tabla A.9 de YanWylen-Sonn tag (bibiografi.a K) se

encuentran tabulados varios valores de

tos gases a bajas presiones (G.l.); en

-cpo para disti~

la tabla A.8 del

mismo libro aparecen tabulados algunos valores de cpo a temperatura a:nbiente (80 F), lo mismo que los respec- o

t~vos cVo

y k , los cuales pueden ser usados como

constantes en estimativos globales. Además de la tabla

A.9 ya mencionada, en (D), (F), (L), (M), 1Y otros textos •

y manuales, podemos encontrar valores de epo= f(T).

. . .. " ., La tabla A.IO de Van\'lylen-Sonntag (K) ,~J;~ ~~~~~en'tran ta-

bulados valores de ~u y h para distintos valores de

temperatura absoluta.Lstos no son valores absolutos de

tales propiedades; como en el caso del agua, se ha tomado

arbitrariamente una temperatura de referencia, y en "ese

estado se asume u = h = f(T ) = 0.0 o o o • Nota: Los demás

parámetros que aparecen en dicha tabla serán a.112..1isados

posteriormente; de todas formas "no se trata de presioneE

ni volúmenes esneci.ficos".

c. Procesos isobáricos con gases ideales: (Cuasiequilibrados)

1) En sistemas cerrados, con cambios despreciables de ene~

g1a cin~tica y potencial: 2-

q12= l cvodT + P(v2- VI) •

2) En flujo estacionario, con cambios qe ener~i.n cinética

y potencial despreciable, trabajo de ejetnulo): e

qye= J CpodT (5.60) &.

3) Llenado y evacuado de recipientes: Es independiente de

la presi6n cuando se hace en forma adiabática; con en

fectos desprecianles de Ee y Ep

¡

cVodT , = O

•

..

141

do efectos ne Ee

casos du = dh = y E P despreciables. hn todos los

0.0 porque dT = 0.0

1) En sistemas cerrados· . Z

q12= w12= fPdV = RT J, dv/v = RT.1n(v2/v1 ) (5.62)

= RT.ln(Pl /P2) .= - RT.ln(P2/Pl)

2) En flujo estacionario: e e

w = -1 vdP = - RT dP /P -ve. . , ~

~ RT.ln(P ~/P i)

= RT.ln(P./P ) = ~ e

RT. ln (v /v,) e ]. (5.63)

e. Procesos isom~tricos cuasieauilibrados con G.l.: Efectos . . t. .'. . 1

de E Y E e p despreciables.

1) Calor en S.C. o en F.E.: b

q = l cvodT (5.64)

2) Trabajo: w = 0.0 Expansi6n

- J,e vdP = - v (p - p.) = R ( T ,- T ) , e]. 1 e

Este es el caso inverso del proceso isobárico donde

w = 0.0 ,y, wE '6 = R(T2- TI) eje xpanSl n

f. Pro.cesos. adiabá tic,os cuasieguilibrad os .con G. l .• : Efectos

de EC Y E despreciables. P . -.

1) En sistemas cerrados:

$w = Pdv = - cVodT = RTdv/v (5.66)

dT/T = - (R/cVo)dv/v

Reemplazando (5.67) en (5.66') e integrando:

1n(T2/Tl ) = (1 - k)oln(v2/vl ) = (k - 1).ln(v1/v2 )

(5.68)

•

•

..

142

Como Pv = RT , la ec.(5.68) puede expresarse así:

ln(T2/Tl ) = (k- 1).ln(vl /v2 ) =«k - 1)/k).ln(P2/Pl)

( 5.68' )

También: •

(Vl/V

2)(k - 1)= (P

2/Pl)«k - l)/k)

entonces: k P.v = cte

2) Proceso en flujo estacionario:

~W.= - vdP = - cpodT = - RTdP/P· tJr

Mediante un desarrollo similar podemo hallar :

T /T.= (p IP.)«k -e 1. e 1.

k P.v = cte (5.70)

g. Procesos poli t.ró"9icos con fases ic1ea.1es: Recordemos que .

este proceso es típica~ente cuasiequilibrado. Asumiendo

efectos despreciables de EC y Ep Y m= cte.

Valor de n , Tipo ,de proceso a Que se reduce

0.0 Isob6.rico (presi6n cte.)

1.0 Isotérmico (t - cte) -•

-lo:> Isométrico (v - cte) --k = epo/cvo Adiabático (q = 0.0)

Para todos los casos en que el exponente de politropía

n es distinto a uno de los valores arriba anotados, se ,

tendra:

1) Trabajo de expensi6n:

•

•

•

•

..

143

2) Trabajo de eje:

VI = ( n/ (1 - n»)( P v - p. v . ) eje e e ~ ~

,. . .

(~/(i-n)RT~«P /p.)«n-l)/n)_l) . ~ e ~

w . = (n/(l-n»RT.«T /T.) - 1) eJe ~ e ~

3) Relación entre T, P ,y, v . para en proceso poli­

trópico en S.C. 6 V.C., entre los estados a y b :

4) Ca lor en procesos politr6picos no isotérmicos (n ~ 1)

dv/v = (l/(l-n»(dT/T) ,y, dP/P = (n/(n-l»(dT/T) (5.81)

Reemplazando (5.81) en (5.79) y (5.80) .

rqsc~ «R/( l-n» + Cvo)dT (5.82)

~qVC= «n.~/( l-n» + Cpo)dT ( 5.83 )

Usando le.. ec.(5.57):

(R/(l-n» ~ cVo= (R/(l-n» + cpo- R =

=. (nR/(l-n» ;- cpo

S~= Sqsc= fqVC= «nR/(l-n» + cpo)dT

Si definimos capacidad calorífica politr6pica (6 calor

esoecífico pOlitr6pico) como c entonces: n

fq = c (~T n n

(5.86)

•

(5.87 )

•

144

5.5.- VOLUMBNES DE CONTROL MAS U3UALZS (S.A.)

a. Productores de potencia: Estos equipos de transformaci6n . .- . . .

de energia tienen como principio fundamental recibir un

fluido de trabajo que trae consigo gran cantidad de ene~

gia y, gracias a dispositivos mecánicos (m6viles), tran~

formarla en movimiento de un eje o de Wla biela capaces

de producir trabajo útil; luego descargan el fluido con

la menor cantidad de energia posible (nunca puede ser ce­

ro). El lector deberá ilustrarse en los esquemas y pri~

cicios de funcionamiento, lo cual puede conseguir en "bue -na medida en la bibliografia recomendada (B) y (J).

Los tres tipos básicos de este grup o son:

1) l\'láquinas de vapor, de cilindro y émbol'O

2) Turbinas, hidráulicas , de vapor y de gas

3) r/l otores de combusti6n in terna, de cilindro y é:nbolo.

b. Consumido,res a,e" potenc,i8;: Estos equipos están éUseñados

para recibir energía de un motor externo, la cual gracias

a dispositivos mecánicos es transmitida,en parte, Dor me -dio de biela o eje al flu i do a l que se le Q.uiere au:nen­

tar su. energía (puede ser en forma de presión, de ental­

pía o de energ~a cinética, o combinaciones de .éstas).

Cuatro son los tipos básicos de este grupo:

1) Bombas 'Para lí<luidos, func1amen talnen te numen te. la pr~

s~6n del liQuido.

2) Compresores, se usa esta den omino. ci6n para los equipos

encareados de aumentar la presi6n en fluidos gaseosos.

3) Sopladores para fluidos gaseosos , aumenta algo la pre -si6n, pero es más indicado para incremcnt[Lr la veloci -dad del fluido.

"

•

145

4) Ventiladores y extractores para gases , el incremento

de presi6n que imprihie al fluido puede considera rse

despreciable con respecto al gran incremento de velo­

cidad. ,

•

c. In terc3.mbiadores de calor: Como su nombre lo ';n-'l; "'8 ..J.. V . -.."J . , su -objetivo primordial es propiciar la trensmisión de calor

entre el sistema en cuesti6n y otros sistemas o sus aIre -•

dores prácticos. Es importante anotar que s610 una parte

del calor disponible puede ser aprove chaLlo , da~o que una .

parte se consumirá en calentar el ~'equipo como tal, y otra

se perderá inevitablemente por radiaci6n al medio ambien -te dado que no existe en la realidad un aisla.nte térmico

perfecto. A este gru.po pertenecen:

1) Calderas, las cuales aprovec~an la energía liberada en

el proceso (reacción química) de combusti6n de un "CO~

bustible"(s61ido, líquido o gase oso) para calentar un

fluido (líquido o gaseoso), el cual gana parte de esa

energía para transportarla a procesos posteriores, oa-•

sicamente como entalpía propia.

2) Generadores de vapor, son disuositivos gue utilizan el

mismo principio de la caldera"pero cuyo objetivo es

el de producir vapor recalentado(típicamente) y el de

tratar de economizar al máximo la energía calórica dis . -ponible.

. 3) Calderas el~ctricas o calentadores el~ctricos: su prin -

cipio de operaci6n es slllilar al de las calderas, pero

el calentamiento se hace a expensas de un consumo de

energía eléctrica, la cual puede ser suministrada a

Desistencias (de inmersión o externas) o por electro­

dos de inmersi6n •

4) Intercambiadores propiamente dichos: son equipos que

están construidos con el fin de propiciar el interc8~

bio calórico entre dos corrient~s fluidas, ya sean del

•

.. . .

•

146

mismo tipo o de distinta naturaleza. Pueden ser:

a) Bancos de tubos: es decir, el fluido de trabajo

(generalmente caliente) se hace pasar simultáneamen -te o n6 por una serie de tubos;, los cuales están

colocados en pilares; el fluido enfriador pude ser

el aire atmosférico o uns ducha de agua fria.

b) De tubos concéntricos: uno de los fluidos va por

. tubo central y el otro por el periférico.

c) De tubos y carcasa! es el mismo principio básico

del banco de tubos, con la diferencia de que éstos

están recubiertos por una coraza metálica; entonces

uno de los fluidos circulará por el espacio que qu~

da entre la carcasa y los tubos, y el otro por los

tubos ,

d) De contacto directo o mezcladores: prácticamente es

un recipiente donde se mezclan la corriente fría con

la caliente, permitíéndose la salida de una . corrien -de temperatura intermedia.

•

e) Condensadores: por lo general son intercambiadores

de tubos y carcasa con el fin nrimordial de conde~

sar total o parc'ialmente un corriente de vapor; es -se logra con agua de enfriamiento, aire o algÚn r~

frigerante apropiado • •

f) Evaporadores: prinCipalmente son utilizados en re­

frigeraci6n convencional (neveras, por ejemplo) •

Simplemente se trata de una tubería que transporta

un refrigerante a baja temperatura colocada en una ,

regi6n dentro del espacio que se quiere refrigerar; .

la evaporaci6n de dicho fluido refrigerante se lo­

gra por tranferencia de calor desde la atm6sfera i~ •

terna del espacio a enfriar y el refragrante que

tiene un calor latente de vaporizaci6n conveniente.

...

147

d. Restri_cci.ones de flujo: las restricciones, corno su nom­

bre lo indica, son tramos cortos de una conducci6n de

fluidos (tubería, canal o ducto) que precentan cierta obs -trucci6n u oposici6n al flujo de un fluido. Por su cons­

trucci6n, no pueden producir ni consumir trabajo mecáni~

ce" pero en ell08 cabria la posibilidad dc suministrar o

retirarle calor al fluido. A este grupo pertenecen:

1) Válvulas y grifos, en general.

2) Accesorios tales cono "tes", codos, juntas, etc.

3) Medidores de flujo para caudal, velocidad o flujo má­

sico (orificios, tubos de Pitot, medidores Venturi,ro -, ') tametros, etc.. '

4) Tramos capilares (tuberías de diámetro muy peque~o)

5) Toberas y difusores (restricciones de área variable

en los cuales se busca una variación en la velocidad

y/o en la presi6n)

f. Tanques y rec,i:oientes: En los 2~lteriores volúme~es de co!!,

trol los procesos "modelo" pueden ser considerados funda -mentalmente en flujo estacionario; en tanques y recipic~

tes el análisis termodinámico se h2ce, básicrunente, consi -rando procesos en flujo unifor~e o en sistema cerrado, se -gún sea el caso •

•

g. Instalaciones comnl,ejas: Puede considerarse bajo esta d~

nominaci6n cualquier equipo, dispositivo, planta, co~pl~

j o industrial, etc '., donde pueda hacerse un balance de

energía desde el punto de vista termodinámico. Una central -termoTel~ctrica o un equipo de refrigeración por compresi6n,

son ejemplos típicos. Aquí, fundamentalmente, el ataque

se hará en base de análisis de los elementos individuales,

que caeraán en uno 00 los tipos antes mencionados, para

despu6s sacar conclusiones de todo el conjunto.

Aquí es importante anotar que en muchos casos se Duede r~

rrir al caso hipot~tico de asumir como "sistema totalmente

•

..

•

148

aislado" al conjimto sistema analizado - alrededores, . ya sea para los coml)onenten individuales o para toda la

instalación compleja; esto será pCtrticLl.larrnentc irr.nortan -te en la parte de conclusiones, aún cuanclo muchas veces

se podr~ aplicar (dependiendo del- caso particular) en el

mismo balance energético.

5.6.-:- EFICIENCIAS TERlYlICAS Pk'1A PROC3S0S ~N V.C.

a. Para procesos en eau.ipos productores ge uotenci~:

~ = eficiencia

\'IR= trabajo real producido, el cual puede ser "te6rico"

calculado por un balance enerf.·ético muy es tricto,

o lIefectivo", medido por mec1io ele disuositivos ac1e

cuados (como indicadores de !,otencia mecánica).

W1= trabajo ideal, calculado en base a la evaluaci6n

de la exp~esi6n que Aefine el trabajo de eje (en

caso se S.C. se usará la expre~i6n de trabajo de •

expansi6n) en proceso cuasiequilibrado.

(5.88)

en la pr~ctica se ha podido observar Que siempre el tra­

bajo real es menor que el ideal • •

-

b. Para procesos en eouipos consumidores de potencia: En e~

tos casos se ha visto, experimentalmente, que el trabajo

ideal necesario (o'el ~'~fectivamentell consumido por el

sistema para alterar su estado) es siempre menor que el

trabajo real suministrado ("teórico" o lIefectivo"). Por

lo tanto, en estos casos:

(5.89)

.. c. En otros dispositivos: fundamentalmente lo ~ue se desea

es tener una relación del efecto básico iueal al efecto

básico real, que pueda ser menor o ic;ual que la unidad.

"

..

149

Así, por ejemplo, para una "expans i6n libre en S.A." c.on

una caida de presi6n real dada , la eficiencia del proce­

so se me i1irá como la relaci6n entre la caida de tO!:1p era ­

tura real y la ca ida de tempera tura en una expansi6n Jou­

le-Thompson (en muchos casos puede sor considera~a co~o

la vn!bc1ad); en una caldera será la reaaci6n entre ..:1 cam

bio de entalpia que sufre el fluido y en calor real

nistrado (por la combusti 6n o por la electricidad ) • •

Referencias de l cap i. tulo V •• F •

. (1) l. pp. 625-686 (6 ) c. pp. 24-54 (2) H. pp. 13-37 (7) A. un. '. - 86-135

(3) D. pp. 30-105 (8) B. pp. 3-78

(4) M. pp. 85-165 • (9) J. pp. 3-71

(5 ) G. pp • 34-58

•

-. • •

•

-smni -