RESISTENCIA Y CORRIENTE ELCTRICA5.1 CAMPOS O CIRCUITOS El estudio de los fenmenos elctricos puede ser abordado de muchas maneras diferentes siempre y cuando sea basado en los mismos principios fsicos, se obtienen resultados satisfactorios. Cualquier fenmeno de naturaleza elctrica puede ser estudiado por medio de la teora de campos electromagnticos, es decir, utilizando las ecuaciones de campo elctrico, potencial, corriente elctrica, etc., podemos analizar cualquier fenmeno y explicar sus consecuencias. Existen casos en los cuales este anlisis puede ser hecho de forma mucho ms rpida y son clculos que son realmente sencillos, por ejemplo, como ya hemos visto para usar la teora de campos disponemos de ecuaciones que nos permiten representar de forma matemtica los fenmenos que ocurren en una regin del espacio o dentro de un material, sea conductor o no, tenemos cargas elctricas pudiendo estar estas en movimiento o simplemente estticas. Para llevar a cabo dicho estudio, es necesario resolver ecuaciones, integrales, en fin una cierta cantidad de operaciones matemticas, las cuales pueden llegar a ser muy complejas, convirtindose este anlisis en el problema en s, cuando se supone que nuestra atencin debera centrarse es el estudio de los fenmenos fsicos. Por otro lado, en lugar de resolver las integrales mencionadas, podemos hacer uso de la teora de circuitos, en la cual, hacemos una completa abstraccin de los campos y solo analizamos sus consecuencias, simplemente creamos un modelo que nos permita estudiar dicho fenmeno, representndolo por medio de un circuito elctrico y dndole solucin mediante un sistema de ecuaciones.

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Captulo V Antes de aplicar las teoras de anlisis de circuitos es necesario que nuestro sistema cumpla con las siguientes caractersticas: 1. Las cargas elctricas en movimiento crean seales elctricas, las seales se propagan a una velocidad finita (generalmente cercana a la velocidad de la luz). En la teora de circuitos, asumimos que los circuitos son tan pequeos, que estos efectos pueden ser ignorados, como si los efectos elctricos ocurriesen instantneamente en todas partes del sistema. Al ignorar las dimensiones del sistema, asumimos que estamos en presencia de un sistema de parmetros concentrados, un ejemplo de esto lo constituyen las lneas de transmisin de alto voltaje, donde las dimensiones del circuito son tan grandes, que aparecen fenmenos que no pueden ser representados satisfactoriamente usando la teora de circuitos. 2. Para el caso en el cual las corrientes y voltajes, en el sistema varan en el tiempo, como es el caso de la corriente alterna, y de cualquier seal elctrica peridica en el tiempo, la velocidad de variacin (la frecuencia de la onda), debe ser lo suficientemente pequea, de forma tal que las leyes de Kirchhoff, se puedan cumplir satisfactoriamente y de esa forma, poder estudiar el sistema, por medio de la teora de circuitos. 3. La interaccin entre campos elctricos y magnticos es despreciable. La carga neta en cada componente del sistema, siempre, es cero. De esa manera ningn componente puede tener un exceso de carga neta. 5.2 CIRCUITO ELCTRICO Se define como la interconexin de elementos circuitales con un propsito establecido. En un circuito elctrico es necesario establecer dos tipos de elementos circuitales, como lo son: elementos activos y pasivos. Los elementos activos son todas las fuentes de energa, ya sean de tensin o de corriente, independientes o controladas. Mientras que los elementos pasivos son aquellos que no poseen por condicin natural o de construccin energa alguna, sino mas bien toman la energa del

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Resistencia Elctrica y Corriente Elctrica circuito para disiparla, convertirla o almacenarla, tal es el caso de: resistores, capacitores, inductores, diodos, etc. 5.3 SIMBOLOGIA USADA EN CIRCUITOS ELCTRICOSResistencia Capacitor Inductor

Diodo

Fig. 5.1 Elementos circuitales 5.4 NORMAS ELCTRICAS a. La corriente elctrica siempre sale por el terminal positivo de un elemento activo, cuando est entrega energa. b. La corriente elctrica polariza a los elementos pasivos, positivo por donde entra y por ende, negativo por donde sale. c. Se considera que la corriente elctrica se mueve en la direccin en que se moveran las carga positivas, que es la misma direccin de la densidad de corriente elctrica y el campo elctrico. Por la estructura atmica se sabe que son los electrones los que pueden ser desprendidos del tomo y originar una corriente elctrica. Sin embargo, el sentido se considera igual a que pudieran tener la misma cantidad de cargas positivas al desplazarse, tal como se observa en la figura 5.2. Fig. 5.2 Intensidad de corriente debido a portadores de cargas positivas o negativas va en el mismo sentido 119

Captulo V 5.5 INTENSIDAD DE CORRIENTE ELCTRICA Es la magnitud fsica asociada al movimiento de las cargas en el interior de un material conductor. La intensidad de corriente elctrica i, se define como la cantidad de carga por unidad de tiempo que fluye a travs de la seccin transversal del conductor.

i=

dq dt

La intensidad de corriente elctrica aparece en el interior del conductor en el momento que se rompe el equilibrio electrosttico, esto sucede cuando el conductor es sometido a una diferencia de potencial que origina la existencia del campo elctrico en su interior y es est quien coloca las cargas en movimiento. La intensidad de corriente elctrica puede ser constante en el sentido de circulacin a travs del conductor y se define corriente continua, o puede variar en sentido y se llama corriente alterna. La unidad en el sistema internacional de unidades para la intensidad de corriente es Ampere (A), el cual se define de la siguiente manera: Un amperio es la intensidad de una corriente constante que mantenindose en dos conductores paralelos, rectilneos, de longitud infinita, de seccin transversal, circular, despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro, en el vaco, producira una fuerza igual a 210-7 newton por metro de longitud. Un amperio representa el promedio de un culombio de carga que circula a travs de un rea transversal, en un intervalo de tiempo equivalente a un segundo.1A = 1 C s

En la prctica se utilizan otras unidades secundarias para la corriente como lo son: 120

Resistencia Elctrica y Corriente Elctrica Miliampere (mA), 1 mA = 1x10-3 A Microampere (A), 1 A = 1x10-6 A Nanoampere (nA), 1 nA = 1x10-9 A Picoampere (pA), 1 pA = 1x10-12 A

5.6 DENSIDAD DE CORRIENTE ELCTRICA Se define como la intensidad de corriente por unidad de rea transversal de un medio conductor. Se trata de una magnitud fsica vectorial, la cual define tambin la rapidez con que fluyen las cargas a travs del conducto. La unidad segn el sistema internacional de unidades es A/m2. Existe una relacin entre la intensidad de corriente y la densidad de corriente, la cual se indica a continuacin:

r r i = J dALa densidad de corriente tambin se puede expresar en funcin de la velocidad de arrastre de las cargas la cual indica, que si existe una concentracin de cargas Nq, estas se van a desplazar a travs del conductor con una velocidad de arrastre Vd. Considerando esa concentracin de cargas en movimiento, la densidad queda expresada como:

r r J = NqVdDe la ecuacin se observa que si el flujo de cargas se debe a cargas positivas, la velocidad de arrastre apunta en la misma direccin que el campo elctrico; por lo tanto la densidad de corriente, tambin va en esa misma direccin y sentido. Por el contrario, si el flujo de cargas se debe a cargas negativas, la velocidad de arrastre apunta en la misma direccin pero en sentido contrario al campo elctrico; por lo tanto la densidad de corriente, apunta en la direccin y sentido debido a que el sentido de la velocidad cambia con el signo de las cargas. En conclusin, si el flujo se debe a cargas positivas o negativas, la 121

Captulo V densidad de corriente siempre ir en sentido del campo elctrico, es decir, en el sentido que se moveran cargas positivas. 5.7 RESISTIVIDAD Se define como una medida de la resistencia que opone un material al paso de las cargas en su interior. Es una magnitud fsica escalar positiva y su unidad segn el sistema internacional de unidades es Ohm-metro (m). Operacionalmente, la resistividad se define como la razn de campo elctrico por densidad de corriente.

r E = r JA travs de la resistividad se puede medir cuan buen conductor de electricidad es un material, debido que a menor resistividad la conduccin de cargas elctrica en ese material es mayor y por el contrario, a mayor resistividad el material se convierte en mal conductor de corriente. La densidad de corriente J, de un conductor depende del campo elctrico E y de las propiedades del material. Pero en el caso de ciertos materiales, en especial metales, a una temperatura especificada. J es casi directamente proporcional a E, y la relacin de las magnitudes E y J es constante, en la figura 5.3a se puede observar como la resistividad de un metal casi siempre aumenta con la temperatura. Cuando esto ocurre se dice que dicho material cumple con la Ley le Ohm. Este fenmeno, fue descubierto en 1826 por el fsico alemn Georg Simon Ohm (1787-1854). La resistividad del grafito (un no metal) disminuye al aumentar la temperatura, porque a temperaturas ms altas se "sueltan" de los tomos ms electrones, que se toman mviles; por tanto, el coeficiente de temperatura de la resistividad del grafito es negativo. Este mismo comportamiento se presenta en los semiconductores, como se muestra en la figura 5.3b. La medicin de la resistividad de un cristal 122

Resistencia Elctrica y Corriente Elctrica semiconductor pequeo es, por consiguiente, una medida sensible de la temperatura; ste es el principio de un tipo de termmetro que se llama termistor. Ciertos materiales, entre ellos varias aleaciones y xidos metlicos, presentan un fenmeno llamado superconductividad, A medida que la temperatura baja, al principio la resistividad disminuye uniformemente, como la de cualquier metal. Pero luego, a cierta temperatura, denominada temperatura crtica Tc, se produce una transicin de fase y la resistividad desciende abruptamente a cero, como se muestra en la figura 5.3c. De la resistividad tambin se puede decir que se trata de una propiedad intrnseca de la materia, que permite clasificar desde el punto de vista elctrico, a los materiales como conductores, semiconductores y no conductores (aislantes).p P0Pendiente=p0

p

p

T T0 0 (a) Metal: p aumenta con el incremento de T

T 0 (b) Semiconductor: p disminuye al aumentar T

T Tc (c) Superconductor: p=0 cuando T 1013 1011 1015 75x1016

Aleaciones:

Manganina (Cu 84%, Mn 12%, Ni 4%) Constantn (Cu 60%, Ni 40%] Nicromo

44x10-8

Cuarzo (fundido)

49x10-8

Azufre

49x10-8

100x10-8

Tefln Madera

1015 10 10118

De la expresin anterior se puede observar que existe una constante que est relacionada con los cambios de temperatura y permite determinar las variaciones de la resistividad para esos cambios de T. A continuacin se muestra la tabla 5.2 donde se indica el factor coeficiente de temperatura de la resistividad:

124

Resistencia Elctrica y Corriente ElctricaTabla 5.2 Coeficiente de temperatura de la resistividad (a 20 C): Materiales Materiales [(C)-1] Aluminio 0,0039 Manganina Carbono puro (grafito) -0,0005 Mercurio Cobre 0,003913 Nicromo Constantn 0,00001 Plata Hierro 0,0050 Plomo Latn 0,0020 Tungsteno

[(C)-1] 0,00001 0,00088 0,0004 0,0038 0,0043 0,0045

Los semiconductores tienen resistividades intermedias entre las de los metales y las de los aisladores. Estos materiales son importantes en virtud de la manera en que la temperatura y la presencia de pequeas cantidades de impurezas influyen en su resistividad. 5.8 CONDUCTIVIDAD Es el recproco de la resistividad, mide cuan buen conductor de electricidad es un material. Operacionalmente se define como la razn de la densidad de corriente por el campo elctrico.

=

J E

La unidad segn el sistema internacional, SI, es (m)-1. La conductividad es el anlogo elctrico directo de la conductividad trmica. Los buenos conductores elctricos, como los metales, tambin son por lo regular buenos conductores del calor. Los malos conductores elctricos, como los materiales cermicos y plsticos, tambin son malos conductores trmicos. En un metal, los electrones libres que transportan carga en la conduccin elctrica tambin proporcionan el mecanismo principal de la conduccin de calor, por lo que es de esperar una correlacin entre la conductividad elctrica y la trmica. Debido a la enorme diferencia de conductividad entre los conductores y los aisladores elctricos, es fcil confinar las corrientes elctricas a circuitos bien definidos.

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Captulo V 5.9 RESISTENCIA ELCTRICA Es una medida de la oposicin que ofrece un material al paso de la corriente elctrica, dependiendo, esta, de la resistividad del material y de sus dimensiones. Es en cierta forma la habilidad que tiene el material de transformar la energa elctrica en otra forma de energa, sea luz o calor. Si en un circuito existe un elemento cuyo comportamiento ante el paso de la corriente elctrica obedece, a este fenmeno, recibe el nombre de resistor (algunos autores usan el trmino resistencia, para referirse al resistor). Es decir un resistor es un elemento o dispositivo, el cual se opone al paso de la corriente, el cual no es capaz de almacenar, ningn tipo de energa, simplemente transforma la energa elctrica que recibe, directamente en luz, en calor, o ambas simultneamente. La unidad segn el sistema internacional de unidades, SI, es el ohm (). Un ohm, se define como la resistencia que posee un resistor, cuando a travs de l circula una corriente equivalente a un Ampere, y en sus terminales se desarrolla una diferencia de potencial de un Voltio, en la prctica generalmente se utilizan unidades superiores al ohm, por ejemplo: Kiloohm (k), 1 k = 1x103 Megaohm (M), 1 M = 1x106

Generalmente se asocia la resistencia con la Ley de Ohm, pero es importante comprender que el verdadero contenido de la Ley de Ohm es la proporcionalidad directa (en el caso de ciertos materiales) de la diferencia de voltaje con respecto a la corriente, o de la densidad de corriente con respecto al campo elctrico. La resistencia elctrica de cualquier conductor (que obedezca o no la Ley de Ohm) se puede definir operacionalmente como:

R=

V I

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Resistencia Elctrica y Corriente Elctrica Cuando la resistividad del material no depende de la temperatura, la resistencia R es constante, en este caso es correcto llamar Ley de Ohm a esta relacin y al material se le denomina hmico, cuya relacin volt ampere es lineal. Si la resistividad de un material vara con la temperatura, tambin la resistencia de un conductor especfico vara con ella. En el caso de intervalos de temperatura no demasiado grandes, esta variacin es aproximadamente una relacin lineal, anloga a la ecuacin de resistividad, se obtiene:R(T ) = RO + [1 + (T TO )] donde: Ro: resistencia a temperatura ambiente. . : coeficiente de temperatura de la resistividad, C-1. To: Temperatura ambiente, To = 20C T: Temperatura a cual se somete el material, C. En la prctica, los resistores se utilizan en circuitos elctricos con mltiples finalidades. Algunos resistores se adquieren en el comercio a travs de un cdigo de colores, el cual consta de cuatro bandas de colores colocadas sobre el resistor como lo indica la figura 5.4.Segundo Factor de dgito Multiplicacin Primer Tolerancia dgito

Fig. 5.4 Resistencia de bandas de coloresLas primeras dos bandas son dos dgitos y la tercera el factor de multiplicacin de potencia de diez que conforman el valor de la resistencia. La cuarta banda est relacionada con el error de fabricacin o tolerancia. La Tabla 5.3 muestra el cdigo de colores.

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Captulo VTabla 5.3 Cdigo de Colores para Resistores Color Valor como dgito Negro 0 Marrn 1 Rojo 2 Naranja 3 Amarillo 4 Verde 5 Azul 6 Violeta 7 Gris 8 Blanco 9 Dorado Plata Sin Color

Factor de multiplicacin 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109

Tolerancia

1% 2%

5% 10% 20%

La resistencia del resistor que se indica en la figura 5.4, posee un grupo de banda de colores; amarillo, violeta, naranja y plateado, segn el cdigo de colores es:R = 47 x10 3 10% R = (47 4.7 )x10 3 Ejemplo 5.1Supngase que se tiene un alambre conductor de rea transversal uniforme A y longitud L, como se muestra en la figura 5.5. Al alambre se aplica en los extremos una diferencia de potencial V. La direccin de la corriente es siempre del extremo de mayor potencial al extremo de menor potencial. Esto se debe a que en un conductor la corriente fluye en la direccin de E, no importa cul sea el signo de las cargas que se trasladan, y a que E apunta en la direccin de menor potencial elctrico.

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Resistencia Elctrica y Corriente ElctricaTambin se puede relacionar el valor de la corriente i con la diferencia de potencial entre los extremos del conductor. Si las magnitudes respectivas de la densidad de corriente J y el campo elctrico E son uniformes en todo el conductor, la corriente total I est dada por la ecuacin y la diferencia de potencial V entre los extremos

es

. Cuando se despejan J y E, se obtiene:

Fig. 5.4 Ejemplo 5.1

V I V L = ; R= = L A I AR=

L A

5.10 FACTORES DE LOS QUE DEPENDE LA RESISTENCIA ELCTRICA a. Naturaleza del material conductor, se refiere a la resistividad del conductor. b. Temperatura, debido a la ecuacin:

R(T ) = RO + [1 + (T TO )]c. Geometra, ya que va a depender de la seccin transversal y largo, estos parmetros varan dependiendo del diseo del resistor.

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Captulo V d. La aplicacin de la diferencia de potencial en el resistor, ejemplo:

a

V

R=

c ab

b

a

VI E J

R=

b ac

I

b

E J

c

c

5.11 SIMBOLOGA USADA PARA REPRESENTAR RESISTENCIAS ELCTRICAS EN UN CIRCUITOResistencia Fija Resistencia Variable

Fig. 5.6 Smbolo circuital de la resistencia 5.12 COMBINACIN DE RESISTORESEn un circuito elctrico, podemos tener grupos de resistores interconectados entre s para cumplir un objetivo, ya sea reduccin de voltaje, de corriente, disipacin de energa, entre otros. Algunas veces en un circuito, debemos disponer de un valor de resistencia no comercial, logrndose esto, por medio de una combinacin de dos o ms resistores de valores comerciales. Para fines prcticos muchas veces es necesario determinar la resistencia equivalente, voltajes, corrientes, energas y potencias en resistores y fuentes.

COMBINACIN SERIE: Fig. 5.7 Resistores en serieSe refiere a un arreglo circuital donde los resistores estn conectados uno seguido del otro, tal como se indica en el circuito de la figura 5.7, enR1 R2 V R3

130

Resistencia Elctrica y Corriente Elctricaeste tipo de arreglo la corriente que circula por cada resistor, es la misma, pero los voltajes son diferentes.

V = V1 + V 2 + V3 , V1 = R1 I 1 , V 2 = R2 I 2 , V3 = R3 I 3I = I1 = I 2 = I 3 , V = R1 I1 + R2 I 2 + R3 I 3 = I (R1 + R2 + R3 )Re q = R1 + R2 + R3

Las caractersticas que resaltan de esta combinacin, son:

a. La resistencia equivalente, siempre es mayor, que el mayor valor de resistencia conectada en serie. b. Si existen n resistores conectados en serie y son de igual valor, la

Re q = nR

COMBINACIN PARALELO:Se refiere a un arreglo circuital donde los resistores estn conectados a la misma diferencia de potencial, tal como se indica en el circuito de la figura 5.8, en este caso por cada resistor circularn corrientes diferentes.

V

R1

R2

R3

Fig. 5.8 Resistores en paralelo

V = V1 = V2 = V3 , I1 =

V1 V V , I 2 = 2 , I3 = 3 R1 R2 R3

V=

1 V1 V2 V3 1 1 + + =V + + R R R1 R2 R3 R3 2 1

131

Captulo VRe q = 1 1 1 1 + R R +R 2 3 1

Las caractersticas que resaltan de esta combinacin, son:

a. La resistencia equivalente siempre es menor que el menor valor de resistencia conectada en paralelo. b. Si slo existen dos resistores conectados en paralelo, la resistencia equivalente es: R *R Re q = 1 2 R1 + R2 c. Si slo existen dos resistores conectados en paralelo y son de igual valor, la resistencia equivalente es:

Re q =COMBINACIN MIXTA:

R1 R2 = 2 2

Se observan arreglos circuital donde los resistores estn conectados tanto en serie como en paralelo, tal como se indica en el circuito de la figura 5.9. La obtencin de la resistencia equivalente viene dada por un conjunto de pasos que se indican a continuacin:a R1 R2 R3

R4 b R5

Fig. 5.9 Resistores en conexin mixta

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Resistencia Elctrica y Corriente ElctricaLas caractersticas que resaltan de esta combinacin, son:

a. Identifique si los resistores estn conectados en serie o en paralelo. b. En el caso de combinaciones ms complicadas, a veces es posible identificar partes que son conexiones simples en serie o en paralelo. c. Reduzca las series y despus las conexiones en paralelo, as sucesivamente, hasta obtener la resistencia equivalente. 5.13 LEYES DE KIRCHHOFFEl fsico alemn Gustav Robert Kirchhoff (1824 - 1887), establece dos leyes para la resolucin de circuitos elctricos. Por medio de dichas leyes es posible determinar en un circuito de la figura 5.10, todas las magnitudes, relativas a cada elemento del circuito.

Fig. 5.10 Circuito para la aplicacin de las Leyes de Kirchhoff.Para entender y usar de manera adecuada ambas leyes, es necesario establecer trminos, que se utilizan con frecuencia:

Ramas de un circuito: son los caminos circuitales donde se conectan los elementos en serie. Malla de circuito: es la interconexin de varias ramas. Una malla es cualquier camino conductor cerrado.

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Captulo V Nodo o nudo: es la unin de varias ramas, se usan con la finalidad de derivar la corriente de un circuito, es decir, es un punto donde se encuentran tres o ms conductores.El circuito de la figura 5.10 tiene cuatro nodos: a, b, c y d. En el circuito se observan dos conexiones de inters: la conexin del punto f y el nodo a y la conexin del punto e y el nodo d, por no poseer en estas conexines elementos circuitales, se concluye que los puntos e y f son absorbidos por los nodos d y a, respectivamente. Algunas de las mallas posibles son los caminos cerrados a-c-b-a, a-c-d-e-f-a, a-b-d-ef-a, a-b-c-d-e-f-a, entre otros. Las leyes de Kirchhoff, pueden ser resumidas por los dos enunciados siguientes:

Ley de Kirchhoff de Nodo: La suma algebraica de las corrientes en cualquier nodo es cero. Es decir,

I

nodo

=0

Ley de Kirchhoff de Malla: La suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier malla, incluso las asociadas con las f.e.m y las de elementos con resistencia, debe ser igual a cero. Es decir,

V

malla

=0

Existen tres formas de aplicar las leyes de Kirchhoff, la primera es simplemente recorrer todas las mallas del circuito y obtener las ecuaciones de voltajes correspondientes, al mismo tiempo pero por separado obtener las ecuaciones de la suma de corrientes en cada nodo, descartando las mallas y nodos que arrojen ecuaciones linealmente dependientes, de esa forma obtenemos un sistema de ecuaciones lineales independientes, fcilmente resoluble.

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Resistencia Elctrica y Corriente ElctricaLos otros dos mtodos, que son los que realmente se utilizan, se explican con ms detalles a continuacin, siendo estos, el mtodo de nodos y el mtodo de mallas, estos mtodos siempre, ofrecen un sistema de ecuaciones con una menor cantidad de incgnitas, que el primer mtodo.

5.14 METODOLOGA PARA LA APLICACIN DEL MTODO DE NODOSEs una serie de pasos organizados que indican cmo se van a usar las leyes para la solucin de los circuitos elctricos.

a. Se identifican y contabilizan los nodos del circuito. b. Se cuentan las ramas y se asigna a cada rama una intensidad de corriente, considerando un sentido lgico para cada corriente, es decir, en un nodo no podemos tener todas las corrientes entrando o todas saliendo de este, aunque esto realmente no afecta a la solucin del circuito. Estas corrientes asignadas se definen corrientes de ramas. c. Se polarizan los elementos pasivos, considerando el signo positivo por donde entra la corriente y negativo por donde sale, ya que se trata de una cada de voltaje producido por cada corriente. Los elementos activos (f.e.m o bateras) no se polarizan con referencia de la corriente, por construccin ya ellos estn polarizados. d. Se aplica la ley de nodo a cada nodo del circuito y de ser necesario se aplicaran la ley de malla y la ley de Ohm. La finalidad de la aplicacin de estas leyes es construir un sistema de ecuaciones donde generalmente se deja en funcin de las corrientes. e. Se aplica un mtodo de solucin al sistema de ecuaciones y se analizan los resultados. De resultar una corriente negativa, el signo negativo representa que el sentido supuesto para esa corriente es contrario al sentido real, pero el valor obtenido es correcto.

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Captulo VSe debe aclarar que al obtener la solucin del sistema de ecuaciones, algunas corrientes pueden ser negativas, esto quiere decir que el sentido asignado por nosotros a dichas corrientes es el contrario al sentido real en el circuito. Esto por supuesto no indica que existe algn error en el procedimiento, simplemente que dichas corrientes tienen sentido contrario al asignado arbitrariamente, en el momento de buscar la solucin.

5.15 METODOLOGA PARA LA APLICACIN DEL MTODO DE MALLASAl igual que en el mtodo anterior son pasos que van generar un sistema de ecuaciones.

a. Se cuentan e identifican las mallas. b. Se asigna a cada malla una intensidad de corriente, considerando un sentido cualquiera para su circulacin en la malla. Estas corrientes asignadas se definen corrientes de mallas. c. Las ramas que conformen una malla por donde slo pase una corriente de malla, van a considerar a esa corriente como corriente de rama. Mientras que las ramas por donde circulen ms de una corriente de malla tendrn una corriente de rama que resultar de la suma algebraica de todas las corrientes de mallas que circulan por ella. d. Se polarizan los elementos pasivos de las malla, considerando todas las posibles corrientes de mallas que pueden pasar por ellos. e. Nuevamente se considera un signo positivo por donde entra la corriente y negativo por donde sale, ya que se trata de una cada de voltaje producido por cada corriente de malla. f. De la misma manera que en el mtodo de nados, los elementos activos (f.e.m o bateras) no se polarizan con referencia de la corriente, ya que tienen establecidos por fabricacin su polaridad. g. Se aplica la ley de malla a cada malla del circuito y de ser necesario se aplicar la ley de nodo y la ley de Ohm.

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Resistencia Elctrica y Corriente Elctrica h. De forma similar la finalidad de la aplicacin de estas leyes es construir un sistema de ecuaciones donde generalmente se deja en funcin de las corrientes. i. Se aplica un mtodo de solucin al sistema de ecuaciones y se analizan los resultados. De resultar una corriente negativa, el signo negativo representa que el sentido supuesto para esa corriente es contrario al sentido real, pero el valor obtenido es correcto. 5.16 CIRCUITOS RESISTIVOSSon aquellas redes elctricas que constan slo de f.e.m y resistencias elctricas, para la resolucin se aplican: la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff. En la resolucin de un circuito resistivo existen diversas, variables elctricas de inters, como lo son: la diferencia de potencial, la potencia elctrica, la energa elctrica.

5.17 POTENCIA ELCTRICASe define como la rapidez con que se transfiere energa. Operacionalmente la potencia se expresa con la ecuacin:

P=

dW d dq = (qV ) = V = VI dt dt dt

En una batera o f.e.m de potencial Vb y de corriente Ib, se obtiene el valor de la potencia como:

Pb = Vb I bSe considera que la batera puede suministrar o consumir potencia. Si la corriente sale por el terminal positivo de la batera, sta suministra potencia o energa, pero si la corriente entra por el terminal positivo, la batera consume potencia.

137

Captulo VEn el caso de una resistencia R de potencial VR y de corriente IR, se obtiene el valor de la potencia como: PR = VR I R S se aplica la ley de Ohm, se obtiene:

PR = VR I R = R(I R ) =2

(VR )2R

La potencia en una resistencia siempre se considera de consumo o disipada, debido a que la resistencia es un transformador de energa elctrica a luz o calor. La unidad de la potencia segn el sistema internacional de unidades es el Watt (W). Es una magnitud fsica escalar.

5.18 ENERGA ELCTRICAEs una magnitud fsica escalar que se define como la integral de la potencia elctrica en el tiempo. Se expresa como:

E = P dt0

t

La unidad de la energa segn el sistema internacional de unidades es el Joule (J). Sin embargo, la energa elctrica se expresa generalmente en Watt hora (W-h) o Kilowatt hora (KW-h).

Ejemplo 5.2En el circuito mostrado en la figura el ampermetro se considera ideal y tiene una lectura de 2A. Los sentidos de circulacin de las corrientes son reales, adems se conocen: V1 = 19V, V2 = 14V, V3 = 4V, R1 = 3, R3 = R4 = 2. Determine: a. El valor de la resistencia R2. 138

Resistencia Elctrica y Corriente Elctrica b. La diferencia de potencial entre los puntos a y b, e indique cual punto se encuentra a mayor potencial. c. La potencia de cada una de las bateras e indique si es de suministro o de consumo.

R1 a + I1 -

1 A I2 + R2 b + R3 + I3 V2 2 -

R4 I4

V1

V3

Aplicando Ley de Nodo en el nodo 1, se tiene:

I 1 + I 3 = I 2 + I 4 ......(1)Aplicando Ley de Malla, se obtiene: En la malla 1: En la malla 2: En la malla 3:

V1 + R1 I1 + R2 I 2 = 0......(2)R2 I 2 V2 + R3 I 3 = 0......(3)

R4 I 4 + V3 V2 + R3 I 3 = 0......(4 )

I1 + I 3 = I 2 + I 4 V1 + R1 I1 + R2 I 2 = 0 R2 I 2 V2 + R3 I 3 = 0 R4 I 4 + V3 V2 + R3 I 3 = 0Del sistema de ecuaciones anterior se tienen como incgnitas (I1, I3, I4, R2), resolviendo, se tiene:

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Captulo V Solucin:a. El valor de la resistencia R2 = 5 ; b. Vab = R1 I 1 R3 I 3 = 5V ;

tambien : Vab = V1 V2 = 5V ,

a esta a mayor potencial que b.c. PV1 = V1I1 = 57W suministra

PV2 = V2I2 = 28W suministra P V3= V3I3 = 12 W consume

5.19 CIRCUITOS RESISTIVOS - CAPACITIVOS RC CARGA DE UN CAPACITORSi se introduce un capacitor en un circuito resistivo se genera una alteracin en las corrientes del circuito, debido a que el condensador introduce una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, cuya solucin es una funcin exponencial. Por lo tanto las corrientes dejan de tomar valores constantes y empiezan a variar con el tiempo. Sea un circuito R-C serie como el que se muestra en la figura 5.11, considerando que el capacitor est inicialmente descargado, la diferencia de potencial Vbc entre los extremos del capacitor es cero en t = 0. A medida que el capacitor se carga, su voltaje Vbc aumenta y la diferencia de potencial Vab entre los extremos del resistor disminuye, lo que corresponde a una reduccin de la corriente.

Fig. 5.11 Circuito RC serie

140

Resistencia Elctrica y Corriente ElctricaLa suma de estos dos voltajes es constante e igual a . Al cabo de un largo tiempo el capacitor se carga totalmente, la corriente disminuye a cero y la diferencia de potencial Vab entre los extremos del resistor se hace nula. En ese momento aparece la totalidad de la fem de la batera entre los terminales del capacitor, es decir, Vbc= . Si se aplica la ley de Kirchhoff de malla, se obtiene:

= Vab + Vbc = iR +

q ; C

=R

dq q + dt C

La solucin a esta ecuacin diferencial de primer orden es:t q (t ) = q max 1 e t V (t ) = 1 e

;

donde : q max = C ; ;

= RCt t

t = Vcmax 1 e

i(t ) =

dq(t ) = e = I max e dt R

Las grficas en la figura 5.12 muestran cmo cambian la carga y la corriente. Slo cuando ha pasado un tiempo t = 4RC = 4, es que el condensador est completamente descargado.

Fig. 5.12 (a) Carga del condensador. (b) Corriente del condensador. en un proceso de carga

141

Captulo V CONSTANTE DE TIEMPOEl producto de la resistencia y la capacitancia es una medida de la rapidez de carga del capacitor. La constante de tiempo se define como: = RC. Si R est en y C en F, est en segundos (s). En un circuito RC en su proceso de carga se debe cumplir:

1.Al cabo de un tiempo igual a RC o un , la corriente ha disminuido a 1/e (alrededor aproximadamente de 0.368) de su valor inicial. En este momento, la carga del capacitor ha alcanzado una fraccin (1 - 1/e) = 0.632 de su valor final ser:Qf = C

2.Cuando es pequea, el capacitor se carga rpidamente; cuando es ms grande, el proceso de carga toma ms tiempo. 3.Si la resistencia es pequea, la corriente fluye con ms facilidad y el capacitor se carga ms pronto.La constante de tiempo de un circuito RC, no es ms que el tiempo que le tomara al condensador cargarse completamente, si la pendiente de la curva, que describe la caracterstica de carga del condensador, permaneciera constante e igual a la pendiente inicial.

DESCARGA DE UN CAPACITORSi se supone que se quita la batera del circuito R-C y conectamos los puntos a y c a un interruptor abierto tal como se indica en la figura 5.13a, y s de forma simultnea se cierra el interruptor en t = 0; en ese momento, q = qmax = Qo. Por lo que el capacitor se descarga a travs del resistor, y su carga disminuye finalmente a cero.

142

Resistencia Elctrica y Corriente ElctricaInterruptor cerrado i i a R b +q -q C c

(b) Descarga del condensador

Fig. 5.13 Descarga del condensador.Para hallar q en funcin del tiempo, se debe aplicar la ley de Kirchhoff y se obtiene la expresin:

Vab + Vbc = 0;

iR +

q = 0; Ct

R

dq q + =0 dt C

La solucin a esta ecuacin diferencial de primer orden es:

q(t ) = qmax e ;

donde : qmax = Qo = C

= RCV (t ) = e i (t ) = t

= Vcmax et

t

dq (t ) = e = I max e dt R

t

Las grficas que se muestran en la figura 5.14 indican cmo cambian la carga y la corriente, en el proceso de descarga, slo cuando ha pasado un tiempo t = 4RC = 4, es que el condensador est completamente descargado. 143

Captulo Vq (C) Qo Io / e Qo / e RC 4RC t (s) Io i (A) RC 4RC t (s)

Fig. 5.14b

Fig. 5.14a Fig. 5.14 (a) Carga del condensador. (b) Corriente del condensador. en un proceso de descarga Ejemplo 5.3Para el circuito mostrado en la figura 5.15, en el cual el condensador est inicialmente descargado, determine:

a. El valor de la constante de tiempo . b. La carga en el condensador en un instante de tiempo t, posterior a la conexin del interruptor S. c. La carga q(t) para t = . d. La grfica del voltaje del condensador como funcin del tiempo. Respuestas:2R

5 a. = RC 3Vo

2R R R R C

b. q(t ) = CVo1 e

1 3

3t 5 RC

c. q( ) =

1 CVo 3

Fig. 5.14 Ejemplo 5.3

144

Resistencia Elctrica y Corriente Elctrica d. Voltajedel condensador3t 5 RC

como

funcin

del

tiempo.

1 Vc(t ) = Vo1 e 3

VOLTAJE DEL CONDENSADOR EN FUNCION DEL TIEMPOVo 2.5 3 21.5 1 0.5 00 0 5 10 TIEMPO (s) 15 3

VOLTAJE (V)

t=4 20 t=

5.20 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Dentro de un conductor hmico cilndrico de radio R y conductividad existe un campo elctrico que vara de acuerdo a laecuacin E = Eo1 E i J

r

r i , donde r es la distancia radial desde el R

eje del cilindro (eje x). Determine la corriente que circula por el conductor.

2. Sea un conductor homogneo e isotrpico, de longitud L y de seccin transversal constante de

I A

L145

Captulo Vrea A. si se aplica una diferencia de potencial V a lo largo del conductor, determine la resistencia elctrica del conductor.

3. Determine la resistencia elctrica de un cilindro hueco de largo L, radio interno a, radio externo b y resistividad , el cual se conecta a una batera como se indica en la figura.b a a b Vo

4. Una pieza de material conductor de resistividad tiene forma arqueada como lo indica la figura, en la que se indican el ngulo , los radios r1 y r2 y el espesor d. Determine la resistencia que ofrece la pieza cuando se aplica una diferencia de potencial desde el radio interno al externo.

r1 r2

d

5. A un material de resistividad se le da una forma de cono truncado de altura h, con radio a en su base y radio b en el extremo superior. Si se aplica una diferencia de potencial entre las placas planas, halle la resistencia elctrica.

b h a

6. Una resistencia est formada por dos cilindros coaxiales: uno macizo (de resistividad 2, longitud L2 y radio a) y uno hueco (de

146

Resistencia Elctrica y Corriente Elctricaresistividad 1, longitud L1, radio interno a, radio extremo b). Determine la resistencia del resistor mostrado en la figura.

L2

a2L1

b1

7. Dado el circuito que se muestra en la figura, determine la lectura de los instrumentos en los casos siguientes: a. Instrumentos ideales (Ra=0 y Rv=) b. Instrumentos reales (Ra=R y Rv=4R) Considere: V1=10V, V2=20V, R=100R 2R

R V1 V2

A V

8. En el circuito de la figura los instrumentos son ideales, la lectura del voltmetro es 22V, R1=10 . R2=4 .R3=1 .R4=3 y V2= 12V. Determine: a. El potencial de la batera V1 b. La Lectura del ampermetro c. La potencia total disipada d. La Energa que entrega V2 durante un tiempo de 30 min. exprese la energa en kW-h

147

Captulo VV+ V1

R2

-

+

R3

R1

+ V2 R4

+

A-

9. Del circuito de la figura, tome: R1=R3=R4=R5=2, R2=4, V1=V3=2V y V2=4V.calcule: a. La lectura del ampermetro. b. La lectura del voltmetro. c. El voltaje en R3. d. La potencia total disipada en las resistencias.R3

R1 R2 R5 R4

+VV1 V2

V3

A +

10. En el circuito de la figura se conoce que R = 100 ; las bateras tienen un voltajes: V1 = 20V y V2 = V3 = 10V, determine las lecturas de los instrumentos para los casos: a. Instrumentos ideales donde RA=0 y Rv= b. Instrumentos reales donde RA=R y Rv= 4R c. Para el caso anterior halle la potencia entregada por cada batera, especifique cual o cuales reciben potencia.

148

Resistencia Elctrica y Corriente Elctrica+4R R R 4R R 2R V2 V3

V

+ +2R

-

+V1

-

A +

4R

11. En el circuito mostrado en la figura, la potencia disipada en R1 es de 16W, las corrientes fluyen en sentidos indicados en el circuito. Se conoce V1=20V, V2=8V, V3=4V, R1=1, R2=4, R3=2, R4=3. Determine: a. El valor de la resistencia Rx. b. La lectura del ampermetro. c. La diferencia de potencial entre los puntos a y b. d. La potencia total disipada. e. La potencia total consumida. f. La potencia en cada batera e indique si suministra o consume.R1 a R2 Rx V3

I1V1

I3 I2R3

+ AV2

R4 b

149

Captulo V 12. Se tienen varias resistencias conectadas como se indica en la figura. Demuestre que la resistencia equivalente del arreglo entre los terminales 1 y 2 es: (3/4)R. 13. Del circuito de la figura, se conoce que los instrumentos son ideales e indican las siguientes lecturas A1=4A, A2=2A y V=3V, adems tambin se conocen: R1 = R2 = R4 = 1, R3 = 3, R5 = 2, R6 = 6, V1=10V, V2 = 5V y V3 = 7V.

()R 1 (3/2)RV +

R

3R

2

R3

R1 R5 R2

V1

R4 V3 A1 + + V2 A2

R6 +

Determine los valores necesarios para llenar la siguiente tabla. iR2 iR3 iR5 PR1 PR2 PR3 PR4 PR5 PR6 PV1 PV2 PV3

14. En el circuito que se muestra en la figura, la lectura del ampermetro A1 de 2A, mientras que la lectura del ampermetro A2 de 3A. con un voltmetro se determin que Vac = 4V, Vbc = 3V y Vo = 10V. Tambin es sabido que R3 = 4. Determine los valores de las resistencias desconocidas y la potencia en cada resistencia. A1 R1 R4 P2 R1 R2 R2 R5 P3 b R3 4 P1 P5 a Vo R5 R3 R4 c A2 150

Resistencia Elctrica y Corriente Elctrica

15. Para el circuito que se presenta a continuacin 2 R1 1 S se conocen: R3 R4 R1 = R2 = 1k, Vo C R3 = 2k, R4 = 8k, C = 10 F, Vo = 10V. Si en t=0s se cierra el R2 interruptor S a la posicin 1, determine: a. La constante de tiempo del circuito . b. La expresin de la carga del condensador en funcin del tiempo, q(t). Transcurrido mucho tiempo, el interruptor pasa a la posicin 2, a partir de ese momento, determine: c. La nueva constante de tiempo del circuito . d. La expresin de la carga del condensador en funcin del tiempo, q(t). e. El tiempo que tarda el condensador en llegar a la mitad de la carga. f. La potencia que disipa R4 en ese instante. 16. En el circuito de la figura los R1 capacitores inicialmente se s1 encuentran descargados. El C1 R2 interruptor S1 se encuentra abierto y los interruptores S2 y S3 se encuentran cerrados. En R3 Vo s2 t=0s el interruptor S1 se cierra, R4 determine: C2 a. La potencia en R4 en t = 0s. s3 b. La energa en cada uno de los capacitores despus de mucho tiempo de cerrado el interruptor S1. Luego se abren todos los interruptores, calcule: c. El tiempo que tarda el capacitor en descargarse a un quinto de su carga inicial.

151

Captulo VTome: R1 = R2 = R3 = 4k, R4 = 2k, Vo = 10V, C1 = C2 = 1mF 17. En el circuito mostrado en la figura, el condensador esta inicialmente descargado y los instrumentos son ideales. Para t=0s se cierra el interruptor S, determine: a. La lectura de los instrumentos para t = 0s. b. La lectura de los instrumentos para rgimen permanente, es decir, t= c. La expresin de la carga del condensador para todo instante de tiempo, t.

18. En el circuito mostrado en la figura, el condensador estn inicialmente descargado. El ampermetro se considera ideal y los interruptores S1 y S2 estn abiertos. Para t=0s se cierra el interruptor S1, determine: a. La lectura del ampermetro en el tiempo t=0s b. La constante de tiempo c. La carga en el tiempo de rgimen permanente d. La expresin de la carga del capacitor equivalente en funcin del tiempo. Si ahora se abre S1 y se cierra S2, determine: e. La nueva constante de tiempo f. La expresin de la carga del condensador C2 como funcin del tiempo.

152

Resistencia Elctrica y Corriente Elctrica

19. En el circuito mostrado en la figura, considere que los instrumentos, son ideales, el condensador esta inicialmente descargado, R= 1 y Vo=4V. Si para t=0s se cierra el interruptor S, determine la lectura de los instrumentos para:a. El instante inicial, t = 0s. b. El rgimen permanente, t = s.

Adems se desea calcular:c. La constante de tiempo y la carga mxima que almacena el

condensador.

20. En el circuito mostrado en la figura, los condensadores estn inicialmente descargados. Asuma los instrumentos ideales. Para t= 0s se pasa el interruptor S a la posicin 1, determine: a. El tiempo t1 necesario para que la carga en el condensador C sea igual al 30% de su valor final. Para el instante de tiempo t1, calculado en la parte anterior, se pasa el interruptor S a la posicin 2, determine: b. La carga final de cada condensador.R V R C 2C 2R 1S

2

153

Captulo V

21. En el circuito de la figura se considera que los condensadores C1 y C2 estn inicialmente descargados. Si adems de conoce que V1=4V, V2=3V, V3=2V, V4=6V, C1=1 F, C2=2 F, R1=2 , R2=8 , R3=3 , R4=4 , R5=4 , determine:a. La fem para que no circule corriente por R2 en t =0 b. La carga en C2 en t= con la fem calculada anteriormente.R1 R2

R3 fem V1 C1 V2 C2 R4 R5

V3

R5

V4

22. En el circuito de la figura los condensadores estn inicialmente descargados en el instante en que los interruptores S1 y S2 se cierran, determine: a. Las corrientes del circuito en el instante en que se cierran los interruptores. b. La carga que adquiere cada capacitor despus de mucho tiempo de cerrados los interruptores. Luego se abren ambos interruptores c. Obtenga la expresin de la carga respecto al tiempo para el condensador C1. d. Calcule el tiempo que tarda este condensador en alcanzar un voltaje igual 1/10 de su valor inicial.

154

Resistencia Elctrica y Corriente ElctricaTome: =2V, R = R1=1, R2=2, R3=1, R4=4, C1=1F y C2=2F

S1

R R1 R2 C1 R3

S2

C2

R4

23. En el siguiente circuito los condensadores estn inicialmente descargados. Si en t=0 se cierra el interruptor S1, determine: a. La lectura de cada instrumento para t=0 y rgimen permanente. Pasado mucho tiempo se abren simultneamente S1 y S2, determine: b. La expresin de la carga del condensador C2 en funcin del tiempo. c. El tiempo que tarda en que la carga del condensador C2 llegue a un 70% de su valor inicial.S1 R

Vo

2R C1 S2

2R

A VR C2

24. En el circuito mostrado el condensador C1 se encuentra descargado, los interruptores S1 y S2 abiertos y S3 cerrado. Los interruptores llevan mucho tiempo en las posiciones indicadas.

155

Captulo VAdems, se conocen V1=10V, V2=2V, C1=2F, C2=6F y R=2M. En t=0s el interruptor S1 se cierra, determine: a. La constante de tiempo del circuito. b. La carga en cada condensador cuando han pasado 8s de haber cerrado el interruptor S1. Luego, se abren los interruptores S1 y S3 y se cierra el interruptor S2, determine: c. La carga y energa del condensador C2 cuando han pasado 6s de haber cerrado el interruptor S2.S1 C1 R V1 C2 V2 S2 S3

25. Considere el circuito de la figura donde el condensador se encuentra completamente cargado, tome como datos: R0=R1=1k , R2=2k , R3=3k , R4=4k , R5=5k , R6=6k , C=6 F V1=12V, V2=9V, V3=22V, determine: a. El valor de las corrientes en las resistencias b. La diferencia de potencial entre A y B c. La carga en el condensador.R1 V1 A C R6 R0 R4 R5 V2 R2 V3 R3 B

156