Lidia C. Diblasi

CAPTULO IV CONCEPTOS BSICOS DE PROBABILIDAD

Por qu hablar de Probabilidad

En el primer captulo cuando definimos algunos conceptos hablamos de poblacin y de muestra , dijimos que cuando trabajamos con datos lo hacemos en general con una muestra ya que, por distintos motivos como veremos en el captulo VI, nos resulta ms accesible. Pero al trabajar con una parte y no con toda la poblacin nos obliga luego a hacer generalizaciones para conocer al todo y este paso de la muestra a la poblacin nos produce incertidumbre. Por ello es necesario establecer reglas y criterios claros para extender las conclusiones ms all de los datos observados. Cmo inferir conclusiones generales que abarquen los casos no observados?

Cuando hacemos las generalizaciones la incertidumbre se paga dice Ambrosi aceptando cierto margen de error y todos los esfuerzos se dirigen a hacer que ste sea mnimo. Los mtodos que propone la Estadstica han demostrado, al aplicarse en diversos campos y circunstancias, que son robustos y confiables. (pg. 191 y 21)

Si en la muestra con la que estamos trabajando, los elementos que la integran tuvieron todos, una posibilidad o probabilidad de ser elegidos, la muestra es aleatoria y, por lo tanto, podemos tener una mayor confianza que no tomamos slo aquellos elementos que nos interesaban o que tenamos ms cerca. Esto nos permite reducir la incertidumbre y aumentar nuestra confianza en trminos de probabilidad.

Probabilidad es una palabra que nos es bastante familiar en el leguaje cotidiano. En general, sin darnos cuenta, hablamos en trminos como es probable que llegue tarde porque tengo un turno con el mdico o es probable que suba el precio de los alimentos de primera necesidad porque estamos prximos a las fiestas de fin de ao, etc.

I - ALGUNOS CONCEPTOS BSICOS

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Antes de introducirnos en el tema vamos a repasar algunos conceptos bsicos.

1- Un experimento aleatorio es cualquier prueba cuyo resultado no se puede predecir con exactitud. Mientras que un experimento determinista es aquel donde si conocemos el resultado, por ejemplo puedo, decir con exactitud qu suceder si pongo agua en un recipiente sobre el fuego. 2- un suceso aleatorio E, es cada uno de los posibles resultados, o una combinacin de resultados posibles de ese experimento aleatorio y, 3- a su vez, el conjunto de todos los resultados posibles del experimento aleatorio se le llama espacio muestral S. Por su definicin decimos que slo en los experimentos aleatorios hablamos de probabilidad.

Ejemplo: dado el experimento tirar dos monedas : veamos el espacio muestral S y algunos posibles resultados del experimento o sucesos aleatorios E:

Experimento aleatorio : tirar dos monedas Espacio muestral S : { (c,s); (s, c); (c,c); (s,s) }

Sucesos aleatorios o eventos

E1: que salgan dos caras E2: que salga al menos una cara E3: que salga un sello .(posibles resultados)..

Para poder medir la probabilidad de cada evento surge la teora de probabilidades. Esta teora se desarrolla por la preocupacin de los nobles franceses por tener xito en los juegos de azar. Toda probabilidad cumple con tres axiomas.

Segn la teora clsica de probabilidades, la probabilidad se define como:

P (E) = n

m

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donde m: es el nmero de resultados favorables al suceso E y n: es el nmero de todos los resultados igualmente posibles e igualmente probables

en el experimento . La definicin clsica de probabilidades (de Laplace) slo se puede aplicar a los experimentos con un nmero finito de resultados favorables y, por lo tanto, tambin es finito el nmero de casos posibles. Por una definicin ms moderna de probabilidades basada en la experimentacin, vemos que en el experimento de lanzar una moneda, a medida que aumenta n, o sea, el nmero de tiradas, ms se aproxima a o 0,5 la probabilidad de que el evento salga cara. Esta definicin se basa en las frecuencias relativas que no son otra cosa que la cantidad de veces que ocurre un suceso, sobre el total de pruebas m/n. Por eso deducimos que el suceso E tiene la probabilidad P (E), significa que las frecuencias relativas del suceso E, al crecer n, tienden a hacerse constantes y decimos que el experimento muestra regularidad estadstica o estabilidad en las frecuencias relativas. Esta propiedad de las frecuencias relativas es la que permite aplicar el clculo de probabilidades a problemas reales, o sea, es el nexo que une la Teora de las Probabilidades con la Estadstica Inferencial.

PRINCIPIOS BSICOS DE LA PROBABILIDAD (AXIOMAS)

1- La probabilidad de un suceso aleatorio cierto, es igual a la unidad:

P (E) = n

m=

n

n= 1

Ejemplo: cul es la probabilidad que al tirar un dado aparezca una cara con por lo menos un punto? Recordemos que si el dado no est sesgado todas las caras tienen la misma probabilidad de salir. La P (1) o la probabilidad de la cara con 1 punto es igual a 1/6; la de P(2) es igual a 1/6;y as para las seis caras;

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por lo tanto la probabilidad que aparezca una cara con al menos 1 punto al arrojar un dado es:

P (E)= 6

6= 1

2- La probabilidad de un suceso aleatorio imposible es igual a cero:

P (E) = n

m=

n

0= 0

Ejemplo: cul es la probabilidad de que al arrojar un dado aparezca una cara con siete puntos?

P (E) = n

m=

6

0= 0

3- La probabilidad de un suceso aleatorio es un nmero comprendido entre 0 y la unidad. Ninguna probabilidad puede ser menor que cero ni mayor que uno.

0 P(E) 1

Cmo sumar probabilidades? Tenemos que diferenciar para ello, los sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles, de los sucesos no excluyentes o compatibles.

a- Con eventos mutuamente excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes o incompatibles cuando no

tienen ningn elemento en comn, o sea, no pueden ocurrir simultneamente. Ejemplo: sea el experimento aleatorio lanzar un dado: A : que el dado muestre nmero par

A : { 2, 4, 6 }

B : que el dado muestre nmero impar

B : { 1, 3, 5 }

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A

y B

son sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles porque no puede ocurrir simultneamente. Sale un nmero par o un nmero impar al tirar una vez un dado. Si realizamos el diagrama de Venn observamos que:

A

B =

Podemos decir entonces que dado dos eventos excluyentes o incompatibles, la suma de A

y B

es igual a la suma de las probabilidades individuales. En

nuestro ejemplo la P(A) = 6

3 y la P(B) =

6

3 por lo que la probabilidad P (A

B

)

= P (A

B) = P (A) + P (B)

Adicin de Sucesos Mutuamente Excluyentes P (A

B

) = P (E1) + P (E2) La regla de la adicin se puede extender al caso de ms de dos sucesos.

P(A o B o C..K) = P(a) + P(B) + P(C)++ P(K)

Ejemplo: Supongamos que de un grupo de 75 estudiantes universitarios 30 son nacidos en Mendoza (M) y 25 en otra provincia (OP). Nadie puede haber nacido en Mendoza y a su vez en otra provincia, podemos entonces calcular la probabilidad de que al escoger un alumno al azar de ste grupo sea mendocino o nacido en otra provincia:

P (M OP) = P (M) + P (OP)

A B

2

4

6

1

3

5

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110

P (M) = 75

30 P (OP) =

75

25

P (M OP) = 75

30 +

75

25

=

75

55

= 0,73

b- Con eventos no excluyentes o compatibles Dos o ms eventos son no excluyentes o compatibles cuando tienen elementos en comn y, por lo tanto, pueden ocurrir simultneamente.

Ejemplo: sea el experimento aleatorio : tirar un dado A: el dado muestra nmero par

A: { 2, 4, 6 }

B: el dado muestra nmero mayor que 3

B: { 4, 5, 6 }

Si al tirar el dado aparece el nmero 4, se dan simultneamente los sucesos A

y B

, porque el 4 pertenece a ambos sucesos; por lo tanto A

y B

son

no excluyentes o compatibles y la interseccin entre ellos no es igual a vaco:

A

B

Podemos decir entonces, que dados dos eventos compatibles o no excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno o el otro o ambos, es igual a la

B

A

2

4 5

6

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111

probabilidad de un evento ms la probabilidad del otro, menos la probabilidad conjunta de ambos eventos.

P (A

B) = P (A) + P (B) P ( A

B

) En nuestro ejemplo la probabilidad del evento P(A) es 3/6 y la del evento P(B) es 3/6. Como ambos tienen en comn los valores 4 y 6 por ser nmeros par (A) y mayor que tres (B), los eventos A y B son compatibles porque tienen elementos en comn por lo que pueden ocurrir en forma conjunta. Si sumamos

el resultado de un evento: 6

3 ms el del otro evento:

6

3 vamos a sumar dos

veces la probabilidad de ocurrencia del valor 4 y el 6 por eso debemos restar la probabilidad de la interseccin:

P (A

B) = P (A) + P (B) P ( A

B

)

=

6

3 +

6

3 -

6

2

=

6

4

Adicin de sucesos no excluyentes o compatibles o Probabilidades Totales.

Ejemplo: supongamos que de un grupo de estudiantes universitarios tengamos la siguiente clasificacin segn el lugar de nacimiento:

Mendocinos (m)

Sanjuaninos (s)

Otras procedencias

(op) Total

Hombres (H) 25 15 5 45 Mujeres (M) 10 10 10 30 Total 35 25 15 75

Si seleccionamos una persona de ese grupo al azar cul es la probabilidad de que se seleccione una mujer o un mendocino?

P (M

m) = P (M) + P (m) P ( M

m

)

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La probabilidad de mujer es: P (M) = 75

30

La probabilidad de haber nacido en Mendoza: P (m) = 75

35

La probabilidad de ser mujer y mendocina es: P ( M

m

) = 75

10

Por lo que la probabilidad de escoger una mujer o un estudiante nacido en Mendoza, siendo estos eventos compatibles o no excluyentes es:

P (M

m) = 75

30 +

75

35

75

10

P (M

m) = 75

55

P (M

m) = 0,73 del 73%

PROBABILIDAD CONDICIONAL A veces interesa conocer la probabilidad de ocurrencia de un suceso B

bajo la condicin de que ya se ha verificado un suceso A. Es decir, para hallar la probabilidad de B

es necesario saber si ocurri A. Esta probabilidad se la

llama probabilidad condicional de B

dado A; se anota P(B/A) y se lee: probabilidad de B

dado

A.

Se reduce nuestra esfera de inters a un subconjunto del conjunto universal:

P (B / A) = )(

)(

AP

ABP I , el subconjunto A, pasa a denominarse espacio

muestral reducido.

Ejemplo: siguiendo con los datos del ejercicio anterior, supongamos que queremos seleccionar al azar un estudiante mendocino, si ya fue seleccionado el grupo de estudiantes mujeres. El espacio muestral reducido es el conjunto de mujeres

P (m/ M) = )(

)(

MP

MmP I

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P (m/ M) = 7530

7510=

30

10 = 0,33

Esta probabilidad se denomina condicional porque, siguiendo el ejemplo, el evento M (mujer), que ya ocurri, acta como condicionante, modificando la probabilidad de ocurrencia de m (mendocino).

Nota: dado dos eventos A

y B

se llama probabilidad conjunta: A

B.

El signo seala o simboliza una interseccin.

Probabilidad conjunta Frecuentemente necesitamos que ocurran en forma conjunta dos eventos A

y B, o sea, P( A B ). Esto se conoce como la probabilidad de que ocurran el evento A

y B .

Segn la ecuacin anterior:

P (A

B

) = P (B

/ A) P (A)

P ( B

A

) = P (A

/ B) P (B) A esto se denomina probabilidad de la multiplicacin. Pero para poder multiplicar sucesos o eventos, debemos saber primero si ellos son independientes o dependientes

a- Eventos independientes Si se cumple que la P (B

/ A) = P (B

) P (A

/ B

) = P (A

) se dice que los sucesos A

y B

son

independientes y que la probabilidad de uno de ellos no depende de la ocurrencia del otro. Los sucesos son independientes y por lo tanto la ocurrencia conjunta estar dada por: P ( B

A

) = P (B) P (A) P ( A

B

) = P (A) P (B) Por lo tanto, la probabilidad de que aparezcan simultneamente dos sucesos independientes, es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos.

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Ejemplo: si en un grupo de 75 alumnos hay 40 de abogaca (A), 20 de economa (E) y 15 sociologa (S) cul es la probabilidad de extraer al azar uno de abogaca y uno de economa y uno de sociologa, en ese orden?

P (A ) = 75

40

P (E) = 75

20 P (A y E y S) =

75

15

75

20

75

40

P (S) = 75

15 = 0,028

Y si no repusiramos a los alumnos una vez hecha la seleccin:

P (A y E y S) = 73

15

74

20

75

40

P (A y E y S) = 0,029

b- Eventos dependientes Si se cumple P(A

/ B

) P (A

) P(B

/ A) P (B

) entonces los sucesos son dependientes y la ley multiplicativa ser:

P (A

B

) = P(B

/ A) P(A

) o P (A

B

) = P(A

/ B) P(B

)

Se lo llama tambin Probabilidades Compuestas. Veamos un ejemplo: supongamos que llamamos: A: al evento: tener un ingreso elevado y su probabilidad es de 10/70; B al evento: poseer automvil y su probabilidad 50/70; (A B) al evento: tener auto e ingreso elevado y su probabilidad es 8/70.

Se nos pide calcular la probabilidad de escoger al azar una persona de ese grupo que tenga ingreso elevado y posea automvil. Si no supiramos la relacin existente entre uno y otro evento deberamos, en primer lugar, probar si son dependientes.

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Si son dependientes se cumple: P (A/B) P(A)

Veamos qu ocurre: P (A/B) = )(

)(

BP

BAP I

=

70/50

70/8

P (A/B) = 50

8 = 0,16 P (A) =

70

10= 0,14

como 0,16 es distinto a 0,14 decimos que los eventos son dependientes, ya que se cumple P (A/B) P(A)

P (A B) = P (A/B) P (A) = 0,16 0,14 = 0,0224

Dijimos que cuando los eventos son dependientes se cumple P (A

B

) = P(B

/ A) P (A

) o P (A

B

) = P(A

/ B) P (B

)

Veamos si se cumple con un ejemplo: Supongamos que tenemos una muestra de 38 personas clasificadas por sexo y condicin laboral:

Ocupado Desocupado Total Narginal Varn 15 7 22 Mujer 11 5 16

Total marginal 26 12 38

Calculemos la probabilidad de que al seleccionar al azar salgan conjuntamente varn y ocupado 1- P(VO) segn la frmula = P(V/O). P(O)

P(V/O)= 3826

3815

P(V/O)= 26

15

P(O) = 38

26

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P(V/O). P(O) =26

15.

38

26=

38

15= 0,39..

2- P(OV) = P(O/V). P(V)

P(O/V).= 3822

3815

P(O/V).= 22

15

P(V) = 38

22

P(O/V). P(V) =22

15.

38

22=

38

15= 0,39..

Vemos que ambos resultados son iguales, por lo tanto se cumple la aparicin conjunta para eventos dependientes, es igual a P(AB) que se puede leer directamente en el cuadro. Por lo que podemos resumir diciendo cuando multiplicamos probabilidades la aparicin conjunta de dos eventos se calcula segn sean independientes o dependientes: a- eventos independientes: P(AB) = P(A) . P(B) b- eventos dependientes: P(AB) = P(A/B).P(B) P(B/A).P(A)

El tema de la teora de las probabilidades es muy amplio, se ha escrito mucho sobre ello, pero no es un tema en el cual nos explayaremos en este trabajo. Siguiendo a Garca Ferrando podemos decir que el estudio elemental de algunas propiedades matemticas de las probabilidades nos es suficiente para poder seguir adelante en nuestra revisin del trabajo estadstico en la sociologa emprica (1992; pg. 123).

VARIABLE ALEATORIA Cuando hablamos de variable nos referimos a una caracterstica de un conjunto de unidades de anlisis ya sea una poblacin o una muestra, por ejemplo: Principal actividad que realiza un grupo de personas de 45 aos. Nmero de piezas defectuosas de un proceso de produccin. Tiempo que demora una persona de su casa al trabajo.

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Distancia que recorre esa persona. Todas estas son caractersticas de la poblacin que llamamos variables. Ahora bien, las variables pueden tomar distintos valores (valor numrico o modalidad) o resultados posibles a los cuales les asignamos un nmero real.

Por ejemplo, supongamos que al escoger al azar dos personas de un grupo, nos interesa que sea X: trabajador dependiente (TD), los posibles resultados sern:

S de xi fi s1 (TD, otro) 1 s2 (TD, TD) 2 s3 (otro, TD) 1 s4 (otro, otro) 0

Qu tenemos? Un experimento aleatorio y como resultado un espacio muestral S. A cada posible resultado, en el ejemplo de una variable nominal, le hemos asignado un nmero real (su frecuencia).

Entonces podemos decir que una variable aleatoria es aquella cuyos valores surgen de asignar nmeros a los resultados de un experimento aleatorio.

Por ejemplo: Si trabajamos con una muestra aleatoria en donde cada uno de sus elementos ha sido seleccionado al azar, con una misma probabilidad de ocurrencia, y queremos estudiar la cantidad de hijos por familia, los valores asignados a esta caracterstica en la muestra constituyen una variable aleatoria.

X: cantidad de hijos fi 0 2

1 4 2 8 3 12 4 7 5 4 6 1 7 2

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A cada uno de los valores de X: cantidad de hijos le hemos asignado un nmero real (fi). Tenemos una variable aleatoria. La podemos representar:

N de hijos por familia

7.006.005.004.003.002.001.00.00

Frecu

encia

14

12

10

8

6

4

2

0

Como a cada resultado de una variable aleatoria (v.a.) se le puede asignar una probabilidad, podemos construir una distribucin de probabilidades a la cual podemos definir como: la funcin que surge de asignar probabilidades a cada uno de los resultados de una variable aleatoria. El recorrido de la v. a. X, o los posibles valores que puede tomar la v. a. X son R(X) = (O, 1, 2,..) y, a su vez, a cada uno de estos valores le corresponde una probabilidad.

La probabilidad de escoger una familia que tenga 0 hijo, de nuestro ejemplo, es:

P(x=0) = 2/40 0,05 o del 5% P(x=1) = 4/40 0,10 del 10% P(X=2) = 8/40 0,20 del 20% .. fi = n = 40

En el siguiente cuadro podemos observar la variable aleatoria con los valores asignados a cada valor de la variable, su probabilidad de ocurrencia (distribucin de probabilidad) y el porcentaje correspondiente (la probabilidad multiplicada por 100)

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Distribucin de probabilidad de la variable aleatoria cantidad de hijos por familia

X: n de hijos fi P(xi) %

0 2 0.05 5 1 4 0.1 10 2 8 0.2 20 3 12 0.3 30 4 7 0.175 17.5 5 4 0.1 10 6 1 0.025 2.5 7 2 0.05 5

Como la variable que estamos trabajando es discreta podemos representar su distribucin de probabilidad mediante un grfico de bastones:

N de hijos por familia en porcentajes

N de hijos por familia

76543210

Porc

en

taje

40

30

20

10

0

Este es un ejemplo muy sencillo porque los valores que puede tomar la variable son enteros y, adems muy pequeos. Pero, supongamos que tomamos la variable tiempo que demoran las personas en llegar de su casa al trabajo, en este caso no podemos hacer una tabla con todos los valores posibles porque son infinitos y, adems, un infinito no numerable.

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Cuando una variable puede tomar infinitos valores no numerables, decimos que es continua. Si toma valores finitos o infinito numerable, la variable es discreta. Podemos definir la variable aleatoria discreta como la variable cuyo recorrido R (X) consta de un nmero de valores finitos o infinito numerable (x1, x2, x3, .. xn ) y, que a cada valor xi le corresponde la probabilidad p (xi). El conjunto de pares ordenados (xi ; p (xi)) donde i= 1, 2 , define una funcin p que se llama funcin de probabilidades o distribucin de la variable aleatoria X. Esta funcin p cumple las siguientes propiedades:

a) 0 p (xi) 1 para toda i (lo que significa que toda probabilidad es un nmero positivo comprendido entre 0 y 1)

b) p (xi) = 1 (lo que significa que la suma de las probabilidades de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio es igual a 1)

Una distribucin de probabilidades de una variable aleatoria discreta, se puede dar en forma de tabla o mediante un grfico de bastones, por ejemplo:

X P(X= xi ) xi p (xi) 0 1/4 1 2/4 2 1/4

p (xi)

0,50 -

0,25 -

0 1 2 xi

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En una variable aleatoria continua no podemos presentar la tabla porque dijimos que no podemos conocer todos los valores posibles que toma, por tratarse de un infinito no numerable, entonces, sustituimos la funcin p definida para x1, x2, ., por una funcin f definida para todos los valores de X.

Decimos que X es una variable aleatoria continua si existe una funcin f, llamada funcin densidad de probabilidades de X que cumple con las propiedades de toda probabilidad

a) f (x) 0 para toda x b)

f (x) dx = 1 x

c) b

a

f (x) dx = P ( a x b ) si a b

En particular si la v. a. c. X toma sus valores posibles en un intervalo (a, b) es: P (a X b) =

b

a f (x) dx = 1

f (x)

a b x

Funcin de distribucin acumulada de probabilidades de una variable aleatoria

Ocurre si estamos trabajando con una v. a. X y los valores que sta toma son todos aquellos que son menores o iguales a un determinado valor de la variable x. Su funcin de distribucin acumulada de probabilidades es la funcin F

Se anota F (x) = P ( X xi)

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Propiedades: a) 0 F (x) 1 para toda x b) x1 x2 F(x1) F(x2) c) lm F(x) = 1

x

d) lm F(x) = 0 x

Si la v. a. es discreta F(x) = P ( X x) = p(xi) xi x

Si la v. a. es continua F(x) = P ( X x) =

f (x) dx Esperanza matemtica Cuando estudibamos una distribucin de frecuencias de una variable, obtenamos generalmente la media aritmtica, cuando consideramos una variable aleatoria y su correspondiente distribucin de probabilidades, la media aritmtica se denomina esperanza matemtica y se calcula:

E (X) = xi p(xi) Se calcula entonces el valor esperado promedio de una variable aleatoria de acuerdo a la probabilidad asignada a cada uno de los valores de dicha variable. Varianza La varianza de una variable aleatoria se define como la suma de los desvos de cada valor de la variable aleatoria con respecto a la esperanza matemtica, elevados al cuadrado y multiplicados por sus respectivas probabilidades.

V (X) = [xi E(X) ]2 p(xi) La raz cuadrada positiva de la varianza es la desviacin estndar D(X).

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Distribucin Binomial

La distribucin binomial ocurre si estamos interesados en el nmero de veces que sucede un evento A en n ejecuciones independientes de un experimento aleatorio. Suponiendo que A tiene una probabilidad:

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123

P (A) = p en un solo ensayo, entonces 1 p es la probabilidad de que en un solo ensayo A no ocurra, es decir:

P ( A ) = 1 p = q Si tenemos la v. a. X: nmero de veces que ocurre el evento A, si el experimento se realiza una sola vez, entonces X puede tomar los valores 0 o 1 de acuerdo a si A sucede o no y las probabilidades son: P (x = 0) = q P (x = 1) = p y las funciones de probabilidades de X tienen valores: f (0) = q f (1) = p entonces podemos combinar una frmula nica: f (x) = px qn-x (x = 0;1 ) Por ejemplo, si arrojamos un dado y el evento A consiste en que aparezca el 6, entonces p= 1/6. Si este experimento lo llevamos a cabo varias veces (n veces), X puede tomar los valores 0, 1, 2,.., n y queremos determinar las probabilidades correspondientes. Consideremos entonces el evento X = x que significa que en x de los n ensayos ocurre A y en los otros nx pruebas no ocurre. Tenemos: AAA BBB { {

x veces (nx) veces

Recordemos que los ensayos o pruebas son independientes y que no influyen unos sobre otros, entonces con P (A) = p y P (B) = q se tiene la probabilidad: ppp qqq { {

x veces (nx) veces

Pero hay distintas formas en que se pueden combinar las apariciones de las letras A y B. Hay nxC formas diferentes de elegir esos x nmeros de los n; por lo tanto P (X = x) es:

F (x) = nxC px qn-x En la distribucin binomial o de Bernoull, a la ocurrencia de A se le

llama xito (p) y a la no ocurrencia de A, fracaso (q).

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124

Cuando x 0 F (x) = nkC pk qn-k k xi

Media y Varianza de la distribucin Binomial

x = E (X) = n p 2 = V (X) = n p q x = D(X)= qpn Para calcular la probabilidad de la ocurrencia de un evento de una v. a. discreta, podemos usar tablas de la distribucin binomial.

Ejemplo: el hecho de que alguna persona que ingresa a un supermercado haga alguna compra que no sea de primera necesidad, tiene una distribucin binomial con p = 0,60. De un grupo de cinco personas tomadas al azar, calcular la probabilidad de:

a) exactamente 2 personas efecten compras, b) no ms de 2 personas efecten compras y c) al menos 2 personas efecten compras.

Solucin: a) P (x = 2) = 52C 0,602 0,403

= 10 0,36 0,064 = 0,2304 La probabilidad de que exactamente dos personas de cinco que entran a un supermercado efecten compras es de 0,2304. Otra forma de llegar a este resultado, es utilizando las tablas de la distribucin binomial. Si buscamos en la tabla para n = 5; p = 0,60 y x = 2, encontramos el valor 0,2304. b) P (x 2) = F (2) = P (0) + P (1) + P (2)

p (0) = 50C 0,60

0 0,405

p (0) = 1 1 0,01024 p (0) = 0,01024 p (1) = 51C 0,601 0,404 p (1) = 5 0,60 0,0256 p (1) = 0,0768 p (2) = 0,2304 = 0,01024 + 0,0768 + 0,2304

P (x 2) = 0,31744

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El mismo resultado obtenemos si buscamos en la tabla de la distribucin binomial las probabilidades de 0, 1 y 2 y las sumamos o, de lo contrario, si usamos una tabla de distribuciones acumuladas buscamos directamente la probabilidad de X = 2 que contiene las probabilidades acumuladas de 0, 1 y 2.

c) P (x 2) = 1 F ( x = 1) = 1 0,0870 = 0,913 Esto se lee como la probabilidad de que de cinco personas que entran al supermercado por lo menos dos compren, algn elemento que no sea de primera necesidad, es igual a 0,913 o del 91,3%.

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Ejercicios propuestos: 1- El siguiente cuadro es uno de los resultados de una muestra aleatoria que se obtuvo en distintas carreras de la Universidad Nacional de Cuyo y la Univ. Federal de Ro de Janeiro, donde se analiza las dificultades que tienen los alumnos universitarios para aprender1.

Alumnos

UNCuyo (A) UFRJ (B) TOTAL Sin dificultad Tengo que leer varias Verdadero (D1) 11 5 16

para aprender veces para comprender

(D) Ni verdadero 25 16 41

Ni falso (D2)

Falso (D3) 20 12 32 Sub total (D) `(56) `(33) `(89) Con dificultad Tengo que leer varias Verdadero (F1) 31 5 36 para aprender

veces para comprender

(F) Ni verdadero 21 11 32

Ni falso (F2)

Falso (F3) 8 10 18 Sub total (F) `(60) (26) (86)

TOTAL 116 59 175

Calculemos las siguientes Probabilidades: a- Ser estudiante de la UNCuyo b- Ser estudiante de la UFRJ. c- Ser estudiante sin dificultades para aprender d- Ser estudiante con dificultades para aprender e- Ser estudiante de la UNCuyo tener dificultades para aprender f- Ser estudiante sin dificultades para aprender dado que se seleccin unos de la UFRJ g- Ser estudiante sin dificultades para aprender dado que se seleccin unos de la UNCuyo h- Ser estudiante de la UNCuyo de la UFRJ i- Ser estudiante de la UFRJ dado que se seleccion uno con dificultad para aprender. j- Que responda verdadero cuando se le pregunte si tiene que leer varias veces para entender

1 Proyecto de Investigacin dirigido por la Dra. Ida Luca Morchio, aprobada y subsidiada por la

Secretara de Ciencia Tcnica y Posgrado de la UNCuyo, Mendoza 2007-2009. Investigacin de la cual

formo parte.

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k- Cul es el porcentaje de estudiantes que responde ni verdadero ni falso cuando se le preguntea si tiene que leer varias veces para entender.

2- El siguiente cuadro es una muestra aleatoria de 69 docentes extrada de la Facultad de Ciencias Polticas y Sociales de la UNCuyo en 2007. A los docentes se los clasific segn su dedicacin y cargo en la ctedra:

Cargo Exclusivo

() Semi-

exclus.(SE) Simple (S) TOTAL Titulares (A) 6 11 2 19 Adjuntos (B) 3 12 2 17 JTP (D) 0 14 19 33 TOTAL 9 37 23 69

Calcular: a- P (A B D) b- P (A / E) c- P (SE) d- P ( SE ) e- P(D S) f- P (B / SE).P(SE) g- P (SE / B). P(B) h- P (E SE)

3- Un investigador desea medir la satisfaccin o no satisfaccin de cada empleado con la funcin que realiza en su puesto de trabajo; toma una muestra aleatoria y obtiene los siguientes resultados:

Varones Mujeres

Satisfaccin Calificados C

No calificados D

Calificadas E

No calificadas F TOTAL

Satisfecho A 350 150 25 100 625 No satisfecho B 150 100 75 50 375

TOTAL 500 250 100 150 1000

Calcular: a- P(A B) b- P(A D) c- Calcule P(B C) y demuestre que los eventos B y C son dependientes y por lo tanto: que la P(B/C) P(C) = P(C/B) P(B)

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d- P(A y D) e- P(E y F) 4- Se tom una muestra aleatoria de 500 entrevistas a los residentes de una comunidad para analizar las opiniones sobre un tema especfico. Los datos se clasificaron segn el sector de la ciudad donde se aplic el cuestionario. Se selecciona al azar uno de entre los 500 cuestionarios: Cul es la probabilidad de: a) que sea contestado el cuestionario? b) que la persona a quin iba dirigida la encuesta no est en la casa? c) que rehse contestar? d) que viva en el sector A? B? D? E? e) que conteste el cuestionario dado que vive en el sector B? f) que la persona rehse contestar el cuestionario o viva en el sector D?

5- Con los mismos datos del ejercicio anterior calcular las siguientes probabilidades:

a) P (A R ) c) P (D ) e) P (B/ R) b) P (N C) d) P ( N/ D) f) P (C)

6- En la ciudad de Mendoza el 60% de la poblacin forma parte de la poblacin econmicamente activa (PEA), si se selecciona una muestra aleatoria de 20 individuos: a) Cul es la probabilidad de que exactamente la mitad de los seleccionados formen parte de ste grupo? b) Cul es la probabilidad de que no ms de 10 forme parte de ese grupo? c) Cul es la probabilidad de que todos formen parte de ese grupo?

Resultado de la entrevista Sector de la ciudad Contest

(C) No estaba en

casa (N) Rehus

contestar (R) Total

A 100 20 5 125 B 115 5 5 125 D 50 60 15 125 E 35 50 40 125 Total 300 135 65 500

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d) Cual es la esperanza de sta distribucin?

7- En el archivo del personal de una empresa del medio se encontr que el 30% de los empleados de una determinada seccin al ao de haber sido contratados ya no se encuentran trabajando en la misma. Si se contratan 10 empleados nuevos: a) Cul es la probabilidad de que exactamente 5 sigan trabajando despus del ao? b) Cul es la probabilidad que entre 3 y 6 sigan trabajando? c) Cul es la probabilidad de que ninguno siga trabajando?

8- En un examen que contiene 20 preguntas que deben ser respondidas como verdadero o falso, un estudiante que no ha ledo absolutamente nada decide presentarse dejando su aprobacin al azar. Usa una moneda y si la misma cae cara pone verdadero y si cae sello pone falso 2 a) Cul es la probabilidad que apruebe el examen si para aprobarlo debe contestar el 70% de las preguntas? b) Cul es la probabilidad de que conteste al menos la mitad de las preguntas correctamente? c) Cul es la esperanza de la distribucin?

9- El 50% de la poblacin adolescente toma bebidas con alcohol en las reuniones con amigos. Si seleccionamos una muestra de 20 adolescentes: a) Cul es la probabilidad de que exactamente 12 consuman alcohol? b) Cul es la probabilidad de que ms de 12 consuman alcohol? c) Cul es la probabilidad de que entre 5 y 10 consuman alcohol? d) Cul es la probabilidad de que ninguno consuma alcohol?

2 Este ejercicio lo hemos tomado del libro ya citado de Daniel, Wayne, ya que siempre ha sido muy bien

aceptado y comentado por los estudiantes en clase.

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Bibliografa consultada:

Ambrosi, Hugo Oscar, La verdad de las Estadsticas. Aprender con los datos Lumiere, Buenos. Aires, 2008 Blanch, Nidia y Joekes, Silvia: Estadstica Aplicada a la Investigacin Ndulos 3 y 4- Curso de posgrado; Fac. de Ciencias econmicas, Universidad Nacional de Crdoba, 1994 Box, G.E.P.; Hunter, William; Stuart Hunter, J. Estadstica para investigadores. Introduccin al diseo de experimentos, anlisis de datos y construccin de modelos Ed. Revert, Mxico, 2005 Canavos, George, C. Probabilidad y Estadstica. Aplicaciones y Mtodos McGraw Hill, Mxico, 1990 Cortada de Kohan, Nuria, Diseo estadstico (para investigadores de las Ciencias Sociales y de la Conducta) EUDEBA, Buenos Aires, 1994 Daniel, Wayne: Estadstica con aplicaciones a las Ciencias Sociales y a la Educacin, McGraw Hill latinoamericana, S.A. Bogot, Colombia. 1981 Garca Ferrando, Manuel: Socioestadstica. Introduccin a la estadstica en sociologa, Alianza Universidad Textos, Madrid, 1992 Hopkins, kenneth; Hopkins, B.R.; Glass, Gene: Estadstica bsica para las Ciencias Sociales y del Comportamiento Prentice-Hall Hispanoamrica, S.A., Mxico, 1997 Spiegel, Murray, " Estadstica", Serie de Compendios Shaum, McGraw Hill Interamericana de Mxico S.A.,1994

Diblasi, Lidia: "Probabilidad. Variable Aleatoria. Distribuciones de probabilidad Distribucin Binomial 1996. Apuntes de ctedras. Mimeo.