capitulo iv

93

4.1 CAPACITOR ELÉCTRICO

El capacitor o condensador eléctrico, es un dispositivo que se construye con la finalidad de almacenar cargas y energía eléctrica. La

construcción del condensador es sencilla sólo debe constar de dos placas

conductoras cargadas (una placa posee carga +q y otra -q), separadas por

el vacío u otro medio dieléctrico.

Ya se sabe que al tener dos placas conductoras cargadas y cerca se

genera un campo eléctrico que nace en la placa con carga +q y llegan a la que tiene carga –q. Sin embargo el condensador es un arreglo real y estas

placas son finitas permitiendo que existan líneas de campo que se

perturben en los extremos de las placas, a este campo se define campo

eléctrico remanente.

Para fines de este análisis se va a considerar que el campo remanente

es mínimo, idealizando el estudio de los capacitores.

Los capacitores se utilizan como:

a. Almacenadores de energía y cargas eléctricas, mediante el campo eléctrico que se crea en su interior.

b. Reguladores de tensión, debido a que por su diseño real no

admiten cambios bruscos de tensión.

c. Reguladores de frecuencia, un condensador al ser introducido en un circuito eléctrico, introduce una frecuencia natural de oscilación

a la intensidad de corriente del circuito.

d. Filtros, la electrónica hace uso de los condensadores para crear etapas de filtrado ya sea para la adaptación de equipos o la

manipulación de señales eléctricas.

e. Dispositivos de memoria, en sistemas electrónicos. Existen ciertos tipos de memorias, que utilizan arreglos de condensadores, para

almacenar información, (cada condensador del arreglo representa

un bit, de información), el principal inconveniente de estas

memorias, es la necesidad de refrescamiento de los datos

CAPACITANCIA ELÉCTRICA

Capítulo IV

94

almacenados, debido a la pérdida de carga, por parte de los

condensadores.

Por último cabe destacar que un uso que por mucho timepo tuvo el

condensador fue el de generar retardos de tiempo, en sistemas

electrónicos analógicos, donde se aprovecha el tiempo que le toma al condensador, cargarse totalmente, como temporizador.

4.2 CAPACITANCIA ELÉCTRICA

Se define como la habilidad que posee un condensador de almacenar

cargas y energía eléctrica, a mayor capacitancia mayor almacenamiento y

viceversa. La capacitancia se mide como la carga almacenada por unidad de voltaje en el condensador.

Vc

qC =

La unidad de la capacitancia en el S.I. es el Faradio, en honor a

Michael Faraday. El Faradio se define como la capacitancia que posee un condensador que almacena una carga equivalente a 1 Coulomb cuando

posee una diferencia de potencial entre sus placas de 1 Volt. Es decir:

V

CF 11 =

En la práctica se utilizan capacitores de capacitancias inferiores al

faradio, tales como:

• Microfaradio µF; (1 µF = 1x10-6 F)

• Nanofaradio nF; (1 nF = 1x10-9 F)

• Picofaradio pF; (1 pF = 1x10-12

F)

Capacitancia Eléctrica

95

4.3 PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LA CAPACITANCIA

El procedimiento para determinar la capacitancia es independiente del

tipo de capacitores conocidos. A continuación se describen los pasos a

seguir:

a. Se conecta el condensador a una fuente de energía (pila, batería,

etc.)

b. Se determina la expresión del campo eléctrico entre las placas del condensador aplicando la ley de Gauss. Considere que la superficie

gaussiana debe encerrar sólo la carga que posee una de sus placas

sea la positiva o la negativa, no ambas. c. Se determina la diferencia de potencial entre las placas del

condensador, la cual queda en función de la carga almacenada.

d. Se aplica la expresión: Vc

qC = .

Ejemplo 4.1

Se tiene un condensador de placas paralelas, de área A, separadas una

distancia d, las cuales, poseen cargas +Q y –Q, como lo indica la figura 4.1. Determine la capacitancia en vacío.

Fig. 4.1 Condensador de placas paralelas

Si se usa una S.G. del tipo carcaza rectangular cuyas tapas sean de área A.

Capítulo IV

96

o

neta

SG

qAdE

ε=•∫

rr

oSG

qdAE

ε+=∫ º0cos

A

qE

qEA

oo εε=+= ;

d

A

V

qC

A

qddyECosVldEVVV

o

C

o

d

C

p

p

baC

εε

==

==•=−= ∫∫−

+

;º0;0

rr

Ejemplo 4.2

Dos carcazas conductoras esféricas y concéntricas están separadas por un vacío. La

carcaza interna tiene una carga total +Q y un

radio interno ra, y la exterior tiene carga -Q y radio externo rb, tal como se indica en la figura

4.2. Determine la capacitancia de este capacitor

esférico.

o

neta

SG

qAdE

ε=•∫

rr

oSG

qdAE

ε+=∫ º0cos

2

2

4;4

r

qE

qrE

oo πεεπ =+= ∫

−

+

•=−p

p

ba ldEVVrr

−=== ∫

bao

r

ro

r

r o

Crr

q

r

qdrCos

r

qV

a

b

b

a

11

44º0

4 2 πεπεπε

Fig. 4.2 Condensador de placas esféricas


97

−=

bao

Crr

qV

11

4πε

−==

ab

bao

C rr

rr

V

qC πε4

Ejemplo 4.3

Un conductor cilíndrico largo tiene un radio ra y una densidad de

carga lineal +λλλλ. Está rodeado por una carcazas conductora cilíndrica

coaxial con un radio interior rb y una densidad de carga lineal -λλλλ. Calcule la capacitancia por unidad de longitud de este capacitor,

suponiendo que hay un vacío en el espacio entre los cilindros.

o

neta

SG

qAdE

ε=•∫

rr

oSG

LdAE

ελ+=∫ º0cos

rE

LrLE

oo πελ

ελπ

2;2 ==

∫−

+

•=−p

p

ba ldEVVrr

== ∫

a

b

o

r

r o

Cr

rLndrCos

rV

b

aπελ

πελ

2º0

2

Fig. 4.3 Condensador de placas cilíndricas

Capítulo IV

98

=

==

a

b

o

a

b

o

C

r

rLn

r

rLn

L

V

qC

πε

πελ

λ 2

2

4.4 FACTORES DE LOS CUALES DEPENDE LA CAPACITANCIA

De los cálculos anteriores podemos concluir, que la capacitancia,

depende de varios factores, los cuales influyen, en esta de maneras diferentes. Por lo tanto antes de seguir sería bueno, puntualizar cuales son

estos factores.

a. Geometría: se refiere a la forma geométrica que posee el condensador. La capacitancia de un condensador no es igual, si

este es de placas paralelas, esférico o cilíndrico.

b. Diseño: se trata del dimensionamiento que se va a asignar a cada parámetro del capacitor. Por ejemplo el área de las placas y la

distancia de separación entre ellas

c. Medio aislante: un capacitor en vacío, posee una capacitancia, menor que uno donde el espacio entre placas esté lleno, por

completo, de un medio dieléctrico de constante dieléctrica k,

debido a que la capacitancia ahora se determinaría como:

Ok kCC =

d. Medio ambiente: El medio físico en donde se encuentre el

condensador, es de gran importancia y de él dependerá, en gran

medida el valor final de la capacitancia, siendo, quizás, la

Temperatura, el factor de mayor influencia.

4.5 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA (U), ALMACENADA

EN UN CAPACITOR

En el proceso de carga de un condensador la carga cambia más rápido

que el voltaje entre sus terminales. Si se considera que la carga inicial del capacitor es nula y posterior a la conexión a la batería, el condensador

sufre un incremento de carga dq, la energía también se incrementará

como se indica a continuación.


99

( )∫∫∫∫∫ ====== 2

2

1q

Cdq

C

qdt

dt

dqVcdt

dt

qVcddt

dt

dWdtPU

qVcCVcqC

U2

1

2

1

2

1 22 ===

Ejemplo 4.4

Dos corazas conductoras esféricas y concéntricas están separadas por un vacío. La coraza interior tiene una carga total +Q y un radio exterior ra, y la

coraza exterior tiene carga -Q y radio interior rb, tal como se indica en la

figura 4.2. Determine la energía almacenada en este capacitor.

qVcCVcqC

U2

1

2

1

2

1 22 ===

−=ba

ab

o rr

rrQU

πε4

2

4.6 DENSIDAD DE ENERGÍA U

Se define como la energía almacenada por el condensador por unidad

de volumen, para un condensador de placas paralelas, como:

2

2

1E

V

Uu oε==

A partir de la densidad de energía se puede conocer la energía

potencial eléctrica U, mediante un proceso de integración como se indica a continuación:

∫∫ == dvEdvuU o

2

2

1 ε

Capítulo IV

100

Si bien es cierto esta expresión es deducida del capacitor de placas

paralelas, para las otras distribuciones de cargas el procedimiento es

análogo.

4.7 CAPACITORES CON DIELÉCTRICOS

La presencia de un dieléctrico, sólido, entre las placas de un capacitor, es de gran importancia. Por lo tanto a continuación podemos puntualizar, las principales características de estos.

a. Resuelve el problema mecánico de mantener dos láminas

metálicas separadas por una distancia muy pequeña sin contacto efectivo.

b. El uso de un dieléctrico permite a un capacitor mantener una diferencia de potencial elevada y así almacenar mayores cantidades de carga y energía.

c. La capacitancia de un capacitor, es mayor cuando hay un material dieléctrico entre las placas, que cuando están se encuentran en el vacío.

Cuando el espacio entre las placas está ocupado totalmente por el dieléctrico, la proporción de CK a Co (igual a la proporción de Vo a VK

o la de Eo a EK) recibe el nombre de constante dieléctrica del material,

K.

K

O

K

O

O

K

E

E

V

V

C

CK ===

La constante dieléctrica K, es un número positivo y siempre es

mayor que la unidad, debido a que CK siempre es mayor que C. La

tabla 4.1 a continuación se muestran algunos valores representativos de K. En el caso del vacío, K = 1 por definición.

Si se introduce un dieléctrico, en un condensador que se encuentra conectado en paralelo a una batería, instantáneamente la capacitancia

aumenta, el voltaje del capacitor no puede variar, ya que la fuente no

lo permite. La carga se eleva (con respecto al condensador en vacio) debido a que el capacitor, aumentó su capacidad, de almacenar más

energía.


101

Tabla 4.1

Valores de la constante dieléctrica K a 20 ºC

Material K Material K

Vacío 1 Cloruro de polivinilo 3.18

Aire (1 Atm) 1.00059 Plexiglás 3.40

Aire (100 Atm) 1.0548 Vidrio 5 – 10

Teflón 2.1 Neopreno 6.70

Polietileno 2.25 Germanio 16

Benceno 2.28 Glicerina 42.5

Mica 3 – 6 Agua 80.4

Mylar 3.1 Titanato de estroncio 310

Sí ahora antes de introducir el dieléctrico, el capacitor se carga y se

desconecta, de la batería, la situación es distinta. En este caso, es la

carga, quien no puede variar y a expensas del aumento, en la capacitancia, el voltaje se ve afectado y disminuye, en un factor k

veces de su valor.

Como se analizó anteriormente al insertar un material dieléctrico entre

las placas cuando se mantiene constante la carga, la diferencia de potencial

entre estas disminuye, por un factor de K. Por consiguiente, el campo eléctrico en el condensador debe disminuir por el mismo factor. Si Eo, es el

valor del campo eléctrico en vacío y EK el valor del campo eléctrico con el

dieléctrico.

K

o

K

o

E

E

V

VK ==

Debido a que el módulo del campo eléctrico es menor cuando el dieléctrico está presente, la densidad de carga superficial (que crea al

campo) también debe ser más pequeña. La carga superficial de las

placas conductoras no cambia, pero debe aparecer una carga inducida

de signo opuesto en cada superficie del dieléctrico que justifique la disminución del campo.

El dieléctrico es originalmente neutro, las cargas superficiales inducidas, aparecen como resultado de una redistribución de la carga

positiva y negativa en el interior del material dieléctrico, fenómeno

Capítulo IV

102

que se conoce como polarización. En muchos dieléctricos comunes la

magnitud del campo eléctrico E en el material, es directamente

proporcional a la carga superficial inducida, en la figura 4.4 se muestra el proceso de polarización.

Se puede deducir una relación entre esta carga superficial inducida y las cargas de las placas. Denotemos como qi, la magnitud de la carga

por unidad de área, inducida en las superficies del dieléctrico. En tal

caso la magnitud de la carga superficial neta en cada lado del

capacitor es: ineta qqq −=

oo

i

o

i

o

netaK Eo

A

qq

A

qE

εσ

εσσ

εε==== −− ,

qK

qKK

K iii

i

−=

−=== −−

11,

11,, σσσσσ

σσσ

Fig. 4.4 Polarización de un condensador de placas paralelas con dieléctrico homogéneo


103

o

neta

SG

K

o

K

qAdEK

K

AAE

εεσ =•= ∫

rr,

El dieléctrico, que se introduce al condensador, está expuesto a la

ruptura dieléctrica, que no es más que la perdida de las propiedades dieléctricas por parte del material, lo cual ocasiona que este entre en

conducción, esto ocurre cuando el material dieléctrico es sometido a

una diferencia de potencial excesiva o a un campo eléctrico muy

intenso.

El módulo de campo eléctrico que puede soportar un material

dieléctrico sin que se presente la ruptura se define campo de ruptura dieléctrica, siendo este un valor característico del material en sí,

pudiendo existir variaciones ante altas temperaturas, impurezas del

material, irregularidades con electrodos metálicos, etc.

Tabla 4.2

Constante y resistencia dieléctrica de algunos materiales aislantes

Material Constante dieléctrica

K

Resistencia dieléctrica

Emax (V/m)

Policarbonato 2.8 3 x 107

Poliéster 3.3 6 x 107

Polipropileno 2.2 7 x 107

Poliestireno 2.6 2 x 107

Vidrio Pyrex 4.7 1 x 107

Ejemplo 4.5

Un bloque aislante, de constante dieléctrica K y espesor b se coloca

entre las placas de un capacitor de placas paralelas de área A y separación d, tal como lo indica la figura 4.5. Determine la

capacitancia.

d V

b

A

Fig. 4.5 Condensador de placas paralelas con dieléctrico

Capítulo IV

104

o

neta

SG

qAdE

ε=•∫

rr

oSG

qdAE

ε+=∫ º0cos

A

qE

qEA

oo εε=+= ;

o

neta

SG

K

qAdEK

ε=•∫

rr

oSG

KK

qdAE

ε+=∫ º0cos

AK

qE

K

qAE

o

K

o

K εε=+= ;

( )

−+=

−+=

−+

+−+

−=

−=++= ∫∫∫−

−

K

bKdK

A

qb

KA

qd

A

qVc

dd

A

qb

dd

AK

qb

d

A

qVc

bd

A

qdyECosdyCosEdyECosVc

ooo

ooo

o

d

d

d

bd

K

bd

11

1

2222

2º0º0º0

2

2

2

2

0

εεε

εεε

ε

( )1−−==

KbKd

AK

Vc

qC oε

Sí b=d, se cumple que: oo

k kCd

AkC == ε

4.8 SIMBOLOGÍA USADA EN CAPACITORES ELÉCTRICOS


105

4.9 COMBINACIÓN DE CAPACITORES Son arreglos donde los condensadores se interconectan entre sí, para

tener mayor eficiencia, con el almacenamiento de la carga y la energía del

sistema. El objetivo de estas combinaciones es determinar capacitancias

equivalentes, cargas, energías y potenciales en capacitores.

COMBINACIÓN SERIE

Se refiere a un arreglo circuital donde los condensadores están

conectados uno seguido del otro, tal como se indica en el circuito de la

figura 4.7.

3

33

2

22

1

11321 ,,,

C

QV

C

QV

C

QVVVVV ===++=

++=

++====

3213

3

2

2

1

1321

111,

CCCQ

C

Q

C

Q

C

QVQQQQ

++

=

321

111

1

CCC

Ceq

Características que resaltar de esta combinación: 1. La capacitancia equivalente, siempre es menor que, el menor valor de

capacitancia, conectada en serie.

Fig. 4.6 Símbolo circuital del condensador

Fig. 4.7 Arreglo de

condensadores en serie

Capítulo IV

106

2. Si sólo existen dos capacitores conectados en serie, la

21

21 *

CC

CCCeq

+=

3. Si sólo existen dos capacitores conectados en serie y son de igual

capacitancia, la 22

21 CCCeq ==

COMBINACIÓN PARALELO

Se refiere a un arreglo circuital en el cual, la diferencia de potencial

entre terminales, es la misma, para cada condensador, tal como se indica

en el circuito de la figura 4.8.

333222111321 ,,, CVQCVQCVQVVVV ======

( )321332211321 , CCCVCVCVCVQQQQQ ++=++=++=

321CCCCeq ++=

Características que resaltar de esta combinación:

1. La capacitancia equivalente siempre es mayor que el mayor valor de

capacitancia conectada en paralelo.

2. Si existen n capacitores con capacitancia C conectados en paralelo, la

nCCeq =

COMBINACION MIXTA:

Fig. 4.8 Arreglo de

condensadores en paralelo


107

Se observan arreglos circuitales, donde los condensadores están

conectados, tanto en serie como en paralelo, tal como se indica en el

circuito de la figura 4.9.

La obtención de la capacitancia equivalente viene dada por un conjunto de pasos que se indican a continuación:

1. Haga un dibujo del arreglo de capacitores.

2. Identifique si los capacitores están conectados en serie o en

paralelo. En el caso de combinaciones más complicadas, a veces

es posible identificar partes que son conexiones simples en serie o en paralelo.

3. Tenga en mente que cuando se afirma que un capacitor tiene una

carga Q, ello siempre quiere decir que la placa que está al potencial más alto tiene una carga +Q, y la otra placa, una carga -

Q.

Ejemplo 4.6

Considere el arreglo de condensadores, de la figura 4.10, si se conoce

que la diferencia de potencial en C2 es

de 10V, C1= 1µF, C2=2µF y C3=3µF, determine:

a. La diferencia de potencial C3.

b. El potencial ε de la batería. c. Diferencia de potencial, en cada

condensador, cuando en C2 se

ε

Fig. 4.9 Arreglo de

condensadores mixtos C

a

3C

2Cb

C

C

C

Fig. 4.10 Ejemplo 4.6

Capítulo IV

108

d V K

introduce un dieléctrico, de constante dieléctrica K=2.

FFFq

VCVCqqq

VVV

CC

CC

µµµ 302010

**

10

12

22112112

21

=+=+=+=

==

;5.374

150*`qqeq

;8

15

`

`*CCCeq

5``F;4kC`C

20

;10;*

312

312

312

211222

31

3

3

333312

CCCeqq

FCC

FCCC

VVV

VC

qVVCqq

CC

CC

µµε

µ

µµ

ε

=====

=+

=

=+===

=+=

====

`5.7`V

12.5V12

150V

21312

3

3

C3

CCC VVVV

C

q

===−=

===

ε

4.10 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Un bloque aislante, de constante dieléctrica k y espesor d, se coloca

entre las placas de un capacitor de

placas paralelas de área A y separación d, tal como se indica, determine la

capacitancia.

K1

K2 d

A


109

do

a

a

θθθθ

2. Determine la capacitancia, que tiene un condensador de placas

paralelas, de área A y separación d, en el cual se insertan, dos

bloques dieléctricos, de constantes dieléctricas k1 y k2, cada uno de área A y espesor d/2, tal como se indica en la figura.

3. Sea un capacitor de placas paralelas, de área A y separación

d, en el cual se insertan dos

bloques dieléctricos de constantes

dieléctricas k1 y k2, cada uno de área A/2 y espesor d, como lo

indica la figura. Determine la

capacitancia equivalente.

4. Un capacitor tiene placas, cuadradas

de lado a, estas no se han colocado

de forma paralela entre sí, sino que

entre ellas existe un ángulo θθθθ, siendo do la separación mínima entre las

placas, tal como se indica en la

figura. Determine la capacitancia equivalente. Compruebe que si

θ=0, d

aCC ook

2ε=≈

5. Se tiene un condensador de placas paralelas de área A, separadas

una distancia d, conectado a un potencial V. El condensador en cuestión, posee cuatro tipos de dieléctricos dispuestos tal como se

muestra en la figura, además, se conoce que las constantes

dieléctricas tienen los siguientes valores, K1=K3=1, K2=2, K4=4, determine:

a. La capacitancia equivalente del condensador

b. El trabajo (W), realizado por un agente externo, para sacar K3 y acercar las placas, tal que no quede aire dentro del condensador,

una vez se haya conectado la batería.

K1 d

A

K2

Capítulo IV

110

6. Tres capacitores se encuentran

conectados como se indica en la

figura, determine la capacitancia equivalente entre los puntos a y

b.

7. Cuatro capacitores se encuentran conectados como se indica en la

figura, determine la capacitancia

equivalente entre los puntos a y b.

8. Cinco capacitores se encuentran conectados como se indica en la

figura. Cuatro de ellos son

idénticos y de valor C y el del medio es diferente, de valor Co,

determine la capacitancia

equivalente entre los puntos a y b.

9. Determine la capacitancia equivalente

entre los puntos a y b, del siguiente

arreglo de capacitores.

10. Considere el circuito de la figura que

consta de dos capacitores C1=C y C2=3C y de dos baterías cuyos

2Ca

Cb

C

2Ca

Cb

C

2C

Co

C

C

C

b

C

a

C

a

3C

2Cb

C

C

C

C2

V2

S

C1

V1

K1

K3

K2

K4

V

S d/3

d/3

d/3


111

voltajes son V1=VO y V2=4VO respectivamente, determine:

a. La carga en cada capacitor antes y después de cerrar el

interruptor “S”. b. La variación de energía en C1

11. En el circuito mostrado, inicialmente, ambos interruptores están abiertos y todos

los condensadores están descargados. Si se

conoce que: V=15V, C1=6µF, C2=3µF,

C3=1µF, C4=4µF. a. Si se cierra S1, ¿Cuál será la carga en

cada condensador?

b. Si además se cierra S2, ¿Cuál será la nueva carga en cada condensador?

c. Después de cerrar S2, ¿Cuánta carga circuló a través del

interruptor S2?

12. En el circuito mostrado, en la figura, los condensadores están

inicialmente descargados y el interruptor “S” abierto. Considere

V1=40V, C1=200µF, y C2=C3=100µF. Si se cierra “S”, determine: a. La carga de C1 Y C2 Posteriormente se abre “S” y se introduce un dieléctrico en C2 de

constante K=5, determine:

b. La diferencia de potencial y la carga en C2 y C3.

13. En el circuito mostrado los capacitores están inicialmente

descargados, en t=0 se cierra el interruptor, si se conocen

C1=10µF, C2=2µF, C3=10µF, C4=C5=6µF, V1=10V, determine: a. La capacitancia equivalente b. La energía potencial en C2

C3

C2

C4S2

VS1

C1

S

V1

C1

C3C2

Capítulo IV

112

Si se abre el interruptor y se introduce en C4 un dieléctrico de

constante K=2, determine:

c. La carga en C4 d. La variación de la energía potencial en C2

C5

S

C4

C3

C2

C1

V1

14. En la figura los interruptores S1 y S2 se cierran. Luego, de manera

simultánea, se abre sólo S2 y se introducen dieléctricos en los

capacitores 3 y 4. Tome: Vo=12V, C1=1µF, C2=2µF, C3=3µF,

C4=4µF, k3=2 y k4=3, determine: a. La carga y diferencia de potencial en el capacitor C3, antes y

después de introducir el dieléctrico k3. b. La carga y diferencia de potencial en el capacitor C4, antes y

después de introducir el dieléctrico k4.

C3

C2C1

S1 S2

Vo

C4

15. En el siguiente circuito, los interruptores S1, S2 y S3 están

inicialmente abiertos, considere que V1=10V, V2=15V,

C1=C2=2µF, C3=1µF. En t=0 cierran S1 y S3, determine: a. La carga y voltaje en C2 y C3.

b. La energía en C2.


113

Luego, de manera simultánea, abren S1 y S3 y se cierra S2.

Determine:

c. La carga en cada condensador. d. La variación de energía en C2. Explique que sucede.

16. En el circuito de la figura, los condensadores se encuentran inicialmente descargados. Además, se sabe que, Vo = 10V,

C2=C3=C4=2µF, C1=C5=3µF. Si en t=0s el interruptor S se cierra, determine:

a. La carga y el voltaje en cada condensador.

Si se abre S y se introduce un dieléctrico de constante dieléctrica K=3 en C4, determine:

b. La carga y el voltaje en cada condensador

V1 C2 C3

C1

V2

S2 S3S1

capitulo iv

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