capitulo ii derivación e integración numérica · no obstante, en aplicaciones prácticas este...
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1
CAPITULO II
Derivación e integración
numérica
Universidad Simón Bolívar
Mecánica Computacional II
2
Capítulo II
Derivación e integración numérica
• Introducción
• Derivación numérica
• Integración numérica
• Referencias
3
En muchas ocasiones se dispone de data numérica a
la cual se le debe calcular la derivada localmente o
realizar la integración en cierto intervalo. Ello puede
hacerse de diversas maneras.
Una primera vía es utilizar la aproximación de la
data por una función (polinomios o cualquier otra
base) y luego derivar esta función.
Esta opción conduce a buenos resultados, si la
aproximación que se obtuvo es lo suficientemente
“suave”.
Introducción
4
No obstante, en aplicaciones prácticas este
procedimiento puede ser muy engorroso y de poca
utilidad.
Una segunda opción es la construcción de formulas
especialmente adaptadas con estos fines.
A este tópico se dedica este capítulo.
Introducción
5
Capítulo II
Derivación e integración numérica
• Introducción
• Derivación numérica
• Integración numérica
• Referencias
6
Dad la importancia que tiene el desarrollo en serie de
Taylor de funciones, recordaremos el teorema de Taylor.
Teorema de Taylor:
Supongamos que f œ Cn[a,b], que f(n+1) existe en [a,b] y
que x0 œ [a,b]. Para toda x œ [a,b] habrá un número ξ(x) entre x0 y x tal que
Derivación numérica
( ) ( ) ( )xRxPxf +=
donde
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )!1
!!...
!21
01
0
00
00
2
00000
+−=
−=−++−′′+−′+=
++
=∑
n
xxxfxR
k
xxxf
n
xxxf
xxxfxxxfxfxP
n
n
n
k
k
k
n
n
ξ
Polinomio de Taylor
Residuo
7
Las aproximaciones numérica a las derivadas parten
del uso de desarrollos en serie de Taylor. Escribamos
Derivación numérica
( ) ( )0 !
m m
mm t
x d ff x x
m dx
∞
=
∆ + ∆ =
∑
Esta expresión se escribe como
( ) ( ) ( )( )
1 1
10 ! 1 !
m nm nn
m nm t c
x xd f d ff x x
m dx n dx
+ +
+=
∆ ∆ + ∆ = + +
∑
con c ∈[t,t+∆t]. El segundo término representa el
“error” cometido para la aproximación con n
términos.
8
Supongamos que tenemos una secuencia de datos
ordenados de manera creciente en x de manera que
se expresan como (xi,yi), 0§i§k. Supongamos, para
simplificar, que los puntos están espaciados de
manera uniforme.
La primera derivada en los puntos de data conocida
se calcula, en primer orden, a partir de
Derivación numérica
( ) ( ) ( )2x
dff x x f x x O x
dx+ ∆ = + ∆ + ∆
Luego, al despejar obtenemos
( ) ( ) ( )x
f x x f xdfO x
dx x
+ ∆ −= + ∆
∆
9
Si escribimos esta ecuación en términos de los
valores conocidos, con
Derivación numérica
obtenemos
( ) ( ) ( )1i i
x
f x f xdfO x
dx x
+ −= + ∆
∆
( )1i i
i i
x x x
y f x
+∆ = −=
Esta expresión corresponde a la fórmula de la
primera derivada “hacia adelante”, en primer orden.
10
De manera similar podemos calcular la derivada
hacia atrás
Derivación numérica
( ) ( ) ( )1i i
x
f x f xdfO x
dx x
−−= + ∆
∆
Estas ecuaciones
corresponden a las
pendientes de rectas que
unen a los distintos
puntos.
( ) ( ) ( )2x
dff x x f x x O x
dx− ∆ = − ∆ + ∆
x
y
xi
11
Expresiones con mayor precisión pueden ser
construidas. Por ejemplo si escribimos nuevamente
los desarrollos tenemos:
Derivación numérica
Restando estas ecuaciones obtenemos
( ) ( ) ( )2 2
3
22!x x
df x d ff x x f x x O x
dx dx
∆+ ∆ = + ∆ + + ∆
( ) ( ) ( )2 2
3
22!x x
df x d ff x x f x x O x
dx dx
∆− ∆ = − ∆ + + ∆
( ) ( ) ( )32x
dff x x f x x x O x
dx+ ∆ − − ∆ = ∆ + ∆
12
Al despejar
Derivación numérica
Utilizando la notación indicial
( ) ( ) ( )22x
f x x f x xdfO x
dx x
+ ∆ − − ∆= + ∆
∆
( ) ( ) ( )1 1 2
2
i i
x
f x f xdfO x
dx x
+ −−= + ∆
∆Esta ecuación es de un
orden mayor de precisión y
se interpreta como se
muestra en la figura x
y
xi
13
La expresión anterior nos permite hallar la derivada
en el punto i a partir de los valores conocidos de f en
(i+1) e (i-1).
Gráficamente tenemos
Derivación numérica
Esta ecuación permitirá entonces determinar los
valores de las derivadas en puntos internos en orden
2.
xxixi-1 xi+1
( ) ( ) ( )1 1 2
2
i i
x
f x f xdfO x
dx x
+ −−= + ∆
∆
14
En los bordes, si se quiere conservar el mismo orden
tendremos que hacer los desarrollos como sigue.
Derivación numérica
Multiplicando la primera ecuación por 4 y restando la
segunda
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
3
21! 2!x x
x xdf d ff x x f x O x
dx dx
∆ ∆ + ∆ = + + + ∆
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
3
2
2 22
1! 2!x x
x xdf d ff x x f x O x
dx dx
∆ ∆ + ∆ = + + + ∆
( ) ( ) ( ) ( ) ( )34 2 3 21! x
x dff x x f x x f x O x
dx
∆ + ∆ − + ∆ = + + ∆
15
Simplificando obtenemos
Derivación numérica
En notación indicial
( ) ( ) ( ) ( )23 4 2
2x
f x f x x f x xdfO x
dx x
− + + ∆ − + ∆= + ∆
∆
( ) ( ) ( ) ( )1 2 23 4
2
i i i
x
f x f x f xdfO x
dx x
+ +− + −= + ∆
∆
Similarmente, desarrollando hacia atrás
( ) ( ) ( ) ( )1 2 23 4
2
i i i
x
f x f x f xdfO x
dx x
− −− += + ∆
∆
16
Combinando desarrollos en serie de Taylor con más
puntos, fórmulas de orden superior pueden ser
halladas.
De manera similar, fórmulas para segundas
derivadas pueden ser construidas
Derivación numérica
( )( )
221 1
22
2i i i
x
f f fd fO x
dx x
− + − += + ∆ ∆
( )( )
21 2 3 2
22
2 5 4j j j j
x
f f f fd fO x
dx x
− − −− + − = + ∆
∆
( )( )
21 2 3 2
22
2 5 4j j j j
x
f f f fd fO x
dx x
+ + +− + − = + ∆
∆
17
Aplicación. Se desea hallar la expresión aproximada
de la primera y segundas derivadas de la función
tabulada siguiente en los primeros dos puntos:
Derivación numérica
a) Cálculo de la primera derivada en el extremo
izquierdo( ) ( ) ( ) 18.13834
1.0
88936544.1070319944.121
8.1
=∆+−=∆+∆
−= +
=
xOxOx
ff
dx
xdf ii
x
( ) ( ) 16.83294631.0*2
)0.2()9.1(4)8.1(3 2
8.1
=∆+−+−==
xOfff
dx
xdf
x
x f(x)1.8 10.889365441.9 12.703199442 14.7781122
18
b) Cálculo de las derivadas en el nodo interior
Derivación numérica
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20.74912761.0
9.10.21
9.1
=∆+−=∆+∆
−= +
=
xOff
xOx
ff
dx
xdf ii
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18.138341.0
8.19.11
9.1
=∆+−=∆+∆−= −
=
xOff
xOx
ff
dx
xdf ii
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 19.44373381.0*2
9.11.2
2
2211
9.1
=∆+−=∆+∆−= −+
=
xOff
xOx
ff
dx
xdf ii
x
A los fines de examinar la exactitud de las
aproximaciones realizadas, la tabla siguiente
presenta los resultados obtenidos así como la
comparación con la función que generó la data.
19
Derivación numérica
Hacia
adelante
Orden 1
Exacta Adelante Error (%)x f(x) f´(x) f´(x) [O(Dx)]
1.8 10.88936544 16.9390129 18.13834 7.081.9 12.70319944 19.38909388 20.7491276 7.012 14.7781122 22.1671683
Exacta Atrás Error (%)x f(x) f´(x) f´(x) [O(Dx)]
1.8 10.88936544 16.93901291.9 12.70319944 19.38909388 18.13834 -6.452 14.7781122 22.1671683 20.7491276 -6.40
x f(x) f´(x) f´(x) [O(Dx2)]1.8 10.88936544 16.9390129 16.8329463 -0.631.9 12.70319944 19.389093882 14.7781122 22.1671683
Exacta Centrada Error (%)x f(x) f´(x) f´(x) [O(Dx2)]
1.8 10.88936544 16.93901291.9 12.70319944 19.38909388 19.4437338 0.282 14.7781122 22.1671683
Hacia atrás
Orden 1
Hacia
adelante
Orden 2
Centrada
Orden 2
20
Derivación numérica
Es claro que los mejores resultados se obtienen con las
derivadas de orden superior, por lo que estas son utilizadas
preferentemente.
Analicemos la influencia del espaciamiento en la exactitud
del cálculo, entre los datos, cuando se conoce la función y
se desea calcular la derivada. Por ejemplo, para la misma
función, con aritmética de cuatro dígitos tenemos
h f(x+h) f(x-h) f´(x) [O(Dx2)] Error (%)1 52.705 2.2136 25.2457 30.2056721
0.1 14.7781 10.8894 19.4435 0.280601650.01 12.8984 12.5106 19.39 0.00467334
0.001 12.7226 12.6838 19.4 0.056248720.0001 12.7051 12.7013 19 -2.00676672
0.00001 12.7034 12.703 20 3.150771880.0000001 12.7032 12.7032 0 -100
0.00000001 12.7032 12.7032 0 -1000.000000001 12.7032 12.7032 0 -100
Error
empieza
a crecer
Error es
máximo!
21
Derivación numérica
Dos inconvenientes se presentan. En primer lugar el error
para valores muy pequeños de Dx se hace muy grande.
Esto es debido a errores debido a la cantidad de cifras
empleadas para la representación de las cantidades.
Sin embargo, a partir de cierto valor de Dx (alrededor de
0.01 en nuestro ejemplo), el error comienza a crecer.
Para examinar las razones del crecimiento del error
consideremos la formula de tres puntos para diferencias
centradas ( ) ( ) ( ) ( )22
xOx
xxfxxf
dx
xdf
x
∆+∆
∆−−∆+=
Si escribimos de manera explícita el error de redondeo
tenemos ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )22
xOx
xxexxfxxexxf
dx
xdf
x
∆+∆
∆−+∆−−∆++∆+=
22
Derivación numérica
Luego, el error total de la aproximación es:
Si suponemos el caso más desfavorable y consideramos
que el error está acotado por algún número ε>0 tenemos que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222
xOx
xxexxe
x
xxfxxf
dx
xdf
x
∆+∆
∆−−∆+=
∆∆−−∆+−
( ) ( ) ( ) ( )22
xOxx
xxfxxf
dx
xdf
x
∆+∆
=
∆∆−−∆+− ε
Entonces, a medida que disminuye Dx, el error de
truncamiento disminuye pero el error de redondeo se
incrementa.
Por esta razón, usualmente, cuando se conoce la función y
se calcula la derivada utilizando las formulas antes
descritas, el valor de Dx debe escogerse de manera que no
sea tan pequeño que el error de redondeo sea apreciable.
23
Fórmulas para puntos espaciados de manera no
uniforme pueden ser deducidas y se encuentran
fácilmente en la literatura.
Inclusive, en algunos casos, se construye el
polinomio interpolante de Lagrange de segundo
orden, que pasa por conjuntos de tres puntos
irregularmente espaciados y se deriva el mismo
obteniéndose
Derivación numérica
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )1111
1
11
111
111
1
2
22
++−+
−
+−
+−−
+−−
+
−−−−
+−−
−−+−−
−−=′
i
iiii
ii
i
iiii
iii
iiii
ii
xfxxxx
xxx
xfxxxx
xxxxf
xxxx
xxxxf
24
Con esta expresión es posible estimar la derivada en
el interior del dominio [xi-1,xi+1].
No siempre es mas conveniente utilizar expresiones
con mayor cantidad de puntos debido a la
imposibilidad de reflejar de manera adecuada
cambios abruptos (por ejemplo ondas de choque) o
las condiciones de borde (necesidad de discretizar la
malla de manera muy fina).
Derivación numérica
25
Capítulo II
Derivación e integración numérica
• Introducción
• Derivación numérica
• Integración numérica
• Referencias
26
Al igual que para el cálculo de derivadas, diferentes
métodos están disponibles.
En particular, si se puede trazar un polinomio
interpolante, o splines, las integrales pueden ser
calculadas.
Nuevamente este procedimiento puede resultar muy
engorroso por lo que es necesario desarrollar otros
métodos.
El método mas burdo se obtiene a partir de la
definición de integración definida.
Considere una secuencia de datos equiespaciados
(por simplicidad)
Integración numérica
27
Si utilizamos la
definición de integración
Integración numérica
x y1 1.32 3.53 4.24 55 76 8.87 10.18 12.59 13
10 15.6
INTEGRACION NUMERICA
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
x
f(x)
( ) ( )1
lim
b n
nia
f x dx f x x→∞ =
= ∆∑∫
INTEGRACION NUMERICA
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
x
f(x)
28
Se obtiene una primera fórmula para integración
(regla del rectángulo)
Integración numérica
Si los puntos están espaciados de manera uniforme
∆x=h
Salvo por la acumulación de los errores de redondeo,
mientras más puntos se escojan, más preciso será el
cálculo de la integral.
( ) ( ) ( )∑∑∫−
=
−
=∞→∆==
1
1
1
1
limn
i
i
n
in
b
axxfdxxfdxxf
( ) ( ) [ ]∑∫−
=−− ++++==
1
1
12210 ...n
i
nni
b
afffffhxfhdxxf
29
Aplicación: integre, en el intervalo [0,6] la función
Integración numérica
Considere diferentes valores de h. Si hacemos
tendremos
( ) 822 +−= xxxf
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]8121...81218020
82
82
222
1
0
26
0
1
0
2
1
0
+−−−+++−++−=
=+−=
++−+=
=
∑∫
∑∫
∑∫
−
=
−
=
−
=
hnhnhhhhh
ihihhdxe
ihaihahdxe
xfhdxxf
n
i
x
n
i
b
a
x
n
i
i
b
a
n
abh
−=
30
Si escogemos h=1 tendremos
Integración numérica
x f(x)0 81 72 83 114 165 236
Luego,
( ) ( ) [ ] 7323161187811
0
=+++++== ∑∫−
=
n
i
i
b
axfhdxxf
Para estimar el error, comparemos con la solución
analítica
( ) Cxxx
dxxf ++−=∫ 83
23
31
Entonces,
Integración numérica
y el error relativo es:
%1.13100*84
7384 −=−=E
Para disminuir el error, escojamos valores de h mas
pequeño. La tabla siguiente presenta algunos resultados.
( ) 8483
82
6
0
236
0
2 =
++−=+−∫ Cxx
xdxxx
n h Integral Error6 1 73.0000 -13.0952460 0.1 82.8100 -1.41667600 0.01 83.8801 -0.14274
6000 0.001 83.9880 -0.0142860000 0.0001 83.9988 -0.00143
32
Aplicación: integre, en el intervalo [0,6] la función
Integración numérica
Considere diferentes valores de h.
Si hacemos tendremos
( ) xexf =
( ) ( )
( ) ( )[ ]hnhnhhhn
i
ihx
n
i
ihab
a
x
n
i
i
b
a
eeeeehehdxe
ehdxe
xfhdxxf
12201
0
6
0
1
0
1
0
... −−−
=
−
=
+
−
=
+++++==
=
=
∑∫
∑∫
∑∫
n
abh
−=
33
La tabla siguiente presenta los valores obtenidos para
distintos h.
Integración numérica
n h Integral Error6 1 234.20418 -41.8023
60 0.1 382.64266 -4.9167
600 0.01 400.42000 -0.4992
6000 0.001 402.22761 -0.0500
60000 0.0001 402.40867 -0.0050
Nótese que a diferencia del ejemplo anterior, la
disminución del error al disminuir el paso h es mas
lenta en este caso. En algoritmos que requieran
eficiencia, podría requerirse valores de h muy
pequeños, lo que demandaría tiempos de cálculo muy
grande.
Esto lleva a la búsqueda de métodos mas eficientes.
34
El siguiente programa fue utilizado para obtener los resultados anteriores
% programa integra
clear all
clc
% Integración de f(x) entre a y b para
% distintos valores de discretización
% Definición de la función
f=inline('x^2-2*x+8');
% f=inline('exp(x)');
% Integral teórica
f_int=inline('x^3/3-x^2+8*x');
% f_int=inline('exp(x)');
% Limites de la integración
a=0; b=6;
% Grafica de la función
ezplot(f,[a,b])
Integración numérica
% Número de intervalos inicial
n=6;
% Número de discretizaciones a probar
num_disc = 5;
for k=1:num_disc
h=(b-a)/n;
sum=0;
for j=1:n
i=j-1;
sum=sum+f(a+i*h);
end
int=h*sum;
int_teo=f_int(b)-f_int(a);
error=(int-int_teo)/int_teo*100;
fprintf('%8d %12.5f %8.5f %8.5f\n',n, h, int, error)
n=n*10;
end
35
Integración numérica
Una nueva fórmula para integración es obtenida a partir
de la regla del trapecio en la cual, rectas son trazadas
entre los distintos puntos que constituyen la data.INTEGRACION NUMERICA
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
x
f(x)
En este caso, la fórmula para integración es
( ) ( )nn
n
i
iib
afffff
hx
ffdxxf +++++=∆
+≈ −=
+∑∫ 1210
0
1 2...2222
36
Aplicación: integre, en el intervalo [0,6] la función
Integración numérica
Utilizando la regla del trapecio. Considere diferentes
valores de h.
Si hacemos tendremos
( ) xexf =
n
abh
−=
( ) ( )
( )( )nhhnhhhn
i
iib
a
x
nn
n
i
iib
a
eeeeeh
xff
dxe
fffffh
xff
dxxf
+++++=∆
+≈
+++++=∆
+≈
−
=
+
−=
+
∑∫
∑∫
1210
0
1
1210
0
1
2...2222
2...2222
37
La tabla siguiente presenta los resultados obtenidos
para distintos valores de h.
Integración numérica
n h Integral Error6 1 435.41858 8.19767
60 0.1 402.76409 0.08332600 0.01 402.43215 0.00083
6000 0.001 402.42883 0.0000160000 0.0001 402.42879 0.00000
Ahora, nos damos cuenta de que, en este caso, el error
cometido, comparado con los resultados obtenidos al
utilizar la regla del rectángulo, para el mismo paso h, es
mucho menor.
¿Por qué ocurre esto?
38
Para responder a esta pregunta, notemos que si utilizamos como aproximación para la función f(x) el polinomio de Taylor entre los puntos xi y xi+1obtenemos
Integración numérica
Luego, al integrar entre esos puntos, obtenemos
( ) ( ) ( )( )ii xxOxfxf −+=
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )21
111
iiii
x
xi
x
xi
x
x
xxOxxxf
dxxxOdxxfdxxfi
i
i
i
i
i
−+−=
−+=
+
∫∫∫+++
que corresponde a la regla
del rectángulo mas un error
de orden h2ix
1+ix
( )ixf
39
Por otra parte, si se utiliza una aproximación del
polinomio de Taylor un orden superior
Integración numérica
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )32
11
2
2
1111
iii
iiii
x
xi
x
xii
x
xi
x
x
xxOxx
xfxxxf
dxxxOdxxxxfdxxfdxxfi
i
i
i
i
i
i
i
−+−′+−=
−+−′+=
++
∫∫∫∫++++
( ) ( ) ( )( ) ( )( )21xxOxxxfxfxf iii −+−′+=
al ser integrada entre xi y xi+1 nos lleva a
40
Integración numérica
Si aproximamos hacia adelante la primera derivada de
f(x) en xi tenemos
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )( )3111
32
1
1
11
2
2
1
iiiii
iii
iii
ii
iiiii
x
x
xxOxxxfxf
xxxf
xxOxx
xx
xfxfxxxfdxxf
i
i
−+−−+−=
−+−−−+−=
+++
+
+
++∫
+
que corresponde a la regla del
trapecio mas un error de
orden h3.
Se entiende entonces, que al
ser error de orden superior, la
regla del trapecio es más
precisa que la del rectángulo.
ix1+ix
( )ixf
( )1+ixf
41
Integración numérica
Una fórmula aún mas precisa, denominada Regla de
Simpson se obtiene al considerar la integración en cada
subintervalo a partir del desarrollo en serie de Taylor de
f(x)
.
Luego, una aproximación a la
integral de f(x) en el intervalo
[x0,x2] viene dada por
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )413
11
2
11111
!3!2xxO
xxxf
xxxfxxxfxfxf −+−′′′+−′′+−′+=
0x 1x 2x
( )0xf
( )1xf( )2xf
42
Integración numérica
Integrando
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )dxxxOdxxx
xf
dxxx
xfdxxxxfdxxfdxxf
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
∫∫
∫∫∫∫
−+−′′′+
−′′+−′+=
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
4
1
3
11
2
11111
!3
!2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )514
11
3
11
2
111
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
24
62
xxOxx
xf
xxxf
xxxfxxfdxxf
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−+−′′′+
−′′+−′+=∫
43
Integración numérica
Luego, tendremos
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ] 0242424
3666
0222
2
4414
10
4
121
4
11
313313
10
3
121
3
11
2212
10
2
121
2
11
10211
2
0
2
0
2
0
2
0
=−′′′
=−−−′′′
=−′′′
′′=−−
′′=−−−
′′=−′′
=−′
=−−−′
=−′
=−=
hhxf
xxxxxfxx
xf
hxf
hhxf
xxxxxfxx
xf
hhxf
xxxxxfxx
xf
xhfxxxfxxf
x
x
x
x
x
x
x
x
Cada integral se evalúa para dar:
44
Integración numérica
Utilizando la expresión centrada para la segunda
derivada obtenemos (cuidado con el orden del error!)
( ) ( ) ( ) ( )5311
32
2
0
hOhxf
xhfdxxfx
x+
′′+=∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32
2
2101
2
3
12
2
0
hhOh
xfxfxfxhfdxxf
x
x
++−+=∫
Simplificando, obtenemos la Regla de Simpson
( ) ( ) ( ) ( )[ ]210 43
2
0
xfxfxfh
dxxfx
x++≈∫
precisa en orden h5.
45
Integración numérica
Si se desea realizar la integración en un intervalo
[a,b], se subdivide el intervalo de integración en un
numéro par n de subintervalos y se aplica la regla de
Simpson en cada par consecutivo de subintervalos
0x 1x 2x 3x 4x 22 −jx 12 −jx jx2 1−nx
( )dxxfx
x∫2
0
( )dxxfx
x∫4
2
( )dxxfj
j
x
x∫ −
2
22
( )dxxfn
n
x
x∫ −2
nx2−nx
46
Integración numérica
Luego, la integral vendrá dada por
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∫∫=
−−=
++=≈−
2/
1
21222
2/
1
43
2
22
n
j
jjj
n
j
x
x
b
axfxfxf
hdxxfdxxf
j
j
0x 1x 2x 3x 4x 22 −jx 12 −jx jx2 1−nx
( )dxxfx
x∫2
0
( )dxxfx
x∫4
2
( )dxxfj
j
x
x∫ −
2
22
( )dxxfn
n
x
x∫ −2
nx2−nx
47
Integración numérica
Desarrollando tenemos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]nnnnnn
jjj
jjjjjj
b
a
xfxfxfxfxfxf
xfxfxf
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfxfh
dxxf
++++++
+++
++++++
++++++≈
−−−−−
++
−−−−−
∫
12234
22122
21222223242
432210
44
4 .....
44....
443
( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
+++≈ ∑∑∫
−
==− n
n
j
j
n
j
j
b
axfxfxfxf
hdxxf
12/
1
2
2/
1
120 243
Reagrupando llegamos a:
48
Integración numérica
n h Integral Error6 1 404.423706 0.49571807
60 0.1 402.429017 5.5489E-05600 0.01 402.428794 5.5555E-096000 0.001 402.428793 6.78E-13
60000 0.0001 402.428793 -2.119E-13
Aplicación: integre, en el intervalo [0,6] la función
Utilizando la regla de Simpson. Considere diferentes
valores de h.
La tabla siguiente presenta los resultados obtenidos:
( ) xexf =
Nótese que el tamaño del error, para el mismo número
de subintervalos es bastante menor al obtenido con las
reglas del rectángulo y del trapecio para el mismo
ejemplo.
49
Integración numérica
Las formulas derivadas para las reglas del trapecio y
de Simpson corresponden a una clase de métodos
denominados formulas de Newton-Cotes.
Dos tipos de formulas de Newton-Cotes existen:
abiertas y cerradas.
Las formulas cerradas de (n+1) puntos de Newton-
Cotes utilizan en cada subintervalo (n+1) puntos,
identificados como
10 ,...,n, kkhxx iki =+=+
con
n
xxh ini −= +
ix1+ix 2+ix
nix+
50
Integración numérica
Esta fórmulas se denomina cerrada ya que los
extremos del subintervalo cerrado [xi,xi+n] se incluyen
como nodos. La fórmula es dada por:
( ) ( )k
ni
ik
k
x
xxfadxxf
ni
i∑∫+
=
≈+
donde, si Lk(x) representa los polinomios de Lagrange
que interpolan los (n+1) puntos de data tendremos
( ) ( )( )dx
xx
xxdxxLa
ni
i
ni
i
x
x
ni
kjij jk
jx
xkk ∫ ∏∫
+++
≠= −
−==
51
Integración numérica
Por ejemplo, para n=1 tenemos
y
( )( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )22
1
22
1
1
2
11
1
11
1
1
2
1
11
11
1
1
11
1
11
1
ii
x
x
i
ii
x
xii
ix
x
i
ijij ji
j
i
ii
x
x
i
ii
x
xii
ix
x
i
ijij ji
j
i
x
x
i
kjij jk
j
k
xxxx
xxdx
xx
xxdx
xx
xxa
xxxx
xxdx
xx
xxdx
xx
xxa
dxxx
xxa
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
−=
−−
=−
−=−
−=
−=
−−
=−−=
−−
=
−−
=
+
++
+
+≠= +
+
++
++
++
≠=
+
≠=
+
++
+
++
+
∫∫ ∏
∫∫ ∏
∫ ∏
( ) ( ) ( ) ( )11
11
++
+
=
+=≈∑∫+
iiiik
i
ik
k
x
xxfaxfaxfadxxf
i
i
iiini xx
n
xxh −=−= +
+1
52
Integración numérica
Luego,
que corresponde a la fórmula del trapecio.
Las distintas fórmulas junto con la expresión del error
se presentan a continuación.
n=1 : Regla del trapecio
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]111
22
1
+++ +=+−≈∫
+
iiiiii
x
xxfxf
hxfxf
xxdxxf
i
i
( ) ( ) ( )[ ] ( )
1
3
1122
1
+
+
<<
−+=∫+
ii
ii
x
x
xx
fh
xfxfh
dxxfi
i
ξ
ξ
53
Integración numérica
n=2 : Regla de Simpson
n=3: Regla de Simpson 3/8
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
2
45
2190
43
2
+
++
<<
−++=∫+
ii
iii
x
x
xx
fh
xfxfxfh
dxxfi
i
ξ
ξ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
3
45
32180
333
8
33
+
+++
<<
−+++≈∫+
ii
iiii
x
x
xx
fh
xfxfxfxfh
dxxfi
i
ξ
ξ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
4
67
4321945
873212327
45
24
+
++++
<<
−++++≈∫+
ii
iiiii
x
x
xx
fh
xfxfxfxfxfh
dxxfi
i
ξ
ξ
n=4
54
Integración numérica
Aplicación: Integre utilizando las fórmulas cerradas
de Newton-Cotes para n=1,2,3 y 4 la función
( ) ( )3 cos 1 xf x x x x e−= + +
en el intervalo [-1,5] con h=1/2.
La tabla de valores de f(x) y su gráfica son:
-1 0 1 2 3 4 5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
x cos(x)+(x3+1) exp(-x)i x f(x)0 -1 -0.540302311 -0.5 1.003839832 0 13 0.5 1.121138274 1 1.276061195 1.5 1.082300256 2 0.385723887 2.5 -0.638195948 3 -1.575939589 3.5 -1.95268821
10 4 -1.4240579611 4.5 0.0748352112 5 2.26729225
55
Integración numérica
Para n=1, tenemos:
( ) ( ) ( )[ ] ( )
1
3
1122
1
+
+
<<
−+=∫+
ii
ii
x
x
xx
fh
xfxfh
dxxfi
i
ξ
ξ
-1 0 1 2 3 4 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Regla del trapecio
x
f(x)
Trapecio I_trapecio1 0.115884382 0.500959963 0.530284574 0.599299875 0.589590366 0.367006037 -0.063118028 -0.553533889 -0.8821569510 -0.8441865411 -0.3373056912 0.58553186
0.60825596
56
Integración numérica
n=2, tenemos:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
2
45
2190
43
2
+
++
<<
−++=∫+
ii
iii
x
x
xx
fh
xfxfxfh
dxxfi
i
ξ
ξ
i x f(x) I_Simpson0 -1 -0.540302311 -0.5 1.00383983 0.745842842 0 13 0.5 1.12113827 1.126769054 1 1.276061195 1.5 1.08230025 0.998497686 2 0.385723887 2.5 -0.63819594 -0.623833248 3 -1.575939589 3.5 -1.95268821 -1.80179173
10 4 -1.4240579611 4.5 0.07483521 0.1904291912 5 2.26729225
0.63591378-1 0 1 2 3 4 5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Regla de Simpson
x
f(x)
57
Integración numérica
n=3, Regla de Simpson 3/8
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
3
45
32180
333
8
33
+
+++
<<
−+++≈∫+
ii
iiii
x
x
xx
fh
xfxfxfxfh
dxxfi
i
ξ
ξ
i x f(x) I_Simpson 3/80 -1 -0.540302311 -0.5 1.003839832 0 1 1.2360666493 0.5 1.121138274 1 1.276061195 1.5 1.08230025 1.6091149646 2 0.385723887 2.5 -0.638195948 3 -1.57593958 -1.5392570389 3.5 -1.95268821
10 4 -1.4240579611 4.5 0.07483521 -0.69994953712 5 2.26729225
0.605975037-1 0 1 2 3 4 5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Regla de Simpson 3/8
x
f(x)
58
Integración numérica
n=4,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
4
67
4321945
873212327
45
24
+
++++
<<
−++++≈∫+
ii
iiiii
x
x
xx
fh
xfxfxfxfxfh
dxxfi
i
ξ
ξ
-1 0 1 2 3 4 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5newton-Cotes cerrada n=4
x
f(x)
i x f(x) n=40 -1 -0.540302311 -0.5 1.003839832 0 1 1.8922135893 0.5 1.121138274 1 1.276061195 1.5 1.082300256 2 0.38572388 0.3720194657 2.5 -0.638195948 3 -1.575939589 3.5 -1.9526882110 4 -1.42405796 -1.60756717211 4.5 0.0748352112 5 2.26729225
0.656665882
59
Integración numérica
MATLAB calcula fácilmente la integral numérica de la función f, entre a y b utilizando las siguientes instrucciones:
f=inline ('x.*cos (x)+(x.^3+1).*exp (-x)');
a=-1; b=5;
int_teo=quad(f,a,b)
int_teo =
0.6652
También, la integral puede ser obtenida analíticamente:
syms x Integ;
Integ = int(x.*cos (x)+(x.^3+1).*exp (-x));
pretty(Integ)
60
Integración numérica
h Trapecio Simpson Simpson_3_8 n=40.5 0.60825596 0.63591378 0.60597504 0.65666588
Error (%) 8.563 4.405 8.906 1.2860.25 0.64948424 0.66322699 0.66086051 0.66504788
Error (%) 2.365 0.300 0.655 0.0260.16666667 0.65810058 0.66481971 0.66433115 0.66520375
Error (%) 1.070 0.060 0.134 0.0020.125 0.66119032 0.66509235 0.66493535 0.6652167
Error (%) 0.606 0.019 0.043 0.000
La tabla siguiente presenta la comparación de los
resultados obtenidos para distintos valores de h
(escogidos de manera que el número de subintervalos
permitiera usar todas las fórmulas)
Nótese que el error para h=0.5 es comparable entre las
fórmulas del trapecio y la de Simpson 3/8. Esto es
debido la forma particular de la función integrada. La
lámina siguiente presenta las gráficas de cada
aproximación para h=0.25
61
Integración numérica
-1 0 1 2 3 4 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Regla del trapecio
x
f(x)
-1 0 1 2 3 4 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Regla de Simpson
x
-1 0 1 2 3 4 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Regla de Simpson 3/8
-1 0 1 2 3 4 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5newton-Cotes cerrada n=4
62
Integración numérica
En conclusión, ahora usted dispone de un conjunto de
relaciones que le permiten calcular integrales
numéricamente.
Así mismo, todos los paquetes comercialmente
disponibles poseen comandos o rutinas adaptadas a
necesidades especificas como funciones que varían
muy rápido en algunas regiones y muy lentamente en
otras, lo que puede hacer poco eficientes los métodos
estudiados en este capítulo.
63
Capítulo II
Derivación e integración numérica
• Introducción
• Derivación numérica
• Integración numérica
• Referencias
64
Referencias
1. Análisis Numérico, Burden R., Faires J. D., 6ta
Edición, International Thomson Editores, 1998
2. Métodos Numéricos para Ingenieros, Chapra S.,
Canale R., 4ta Edición, McGrawHill, 2003
3. Análisis Numérico con Aplicaciones, Gerald C.,
Wheatley P.,6ta Edición, Pearson Educación, 1999
65
Capítulo II
Derivación e integración
numérica
Universidad Simón Bolívar
Mecánica Computacional II