capítulo ii
TRANSCRIPT
15
2.1. INTRODUCCIÓN TÉRMINOS BÁSICOS:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA:
Es toda combinación de símbolos: números y letras, ligadas por las operaciones fundamentales del álgebra:
suma, resta, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces.
Ejemplos: 5a + b, (3x2 – 2x)(2y + 1), yx3y2x7
−+ , zyx ++ etc.
VARIABLE:
Un símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto. Ejemplos: x, y, z.
CONSTANTE:
Un símbolo que representa un elemento determinado de un conjunto.
Ejemplo: en la fórmula s = ½ g t2, la g = 9.81 m/ s2 es una constante y “t” y “s” son las variables.
TÉRMINO O MONOMIO:
Es una constante, una variable o bien una o varias constantes multiplicadas por potencias de variables.
Ejemplos : π, x, 5 32yzx , etc.
COEFICIENTE CONSTANTE:
En un término, es el factor que representa una constante numérica.
Ejemplo: en la expresión 7x3 y2, 7 es un coeficiente constante.
TÉRMINOS SEMEJANTES:
Son términos que difieren únicamente en sus coeficientes constantes.
Ejemplo: 8a2 b3 y – 5a 2b3 son términos semejantes.
GRADO DE UN TÉRMINO:
Es la suma algebraica de los exponentes de las variables que contiene dicho término.
Ejemplo: 8x2y3 es de quinto grado; 4x3/y es de segundo grado.
Una constante es un término de grado cero.
POLINOMIO:
Es la suma de un número finito de términos. Si tiene dos términos se le llama binomio; tres términos,
trinomio; cuatro términos, cuatrinomio, etc.
GRADO DE UN POLINOMIO: Es el grado del término de mayor grado.
POLINOMIO EN X:
Es un polinomio de la forma: anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0 en donde n es un entero no negativo y los ai son
números reales. Se denota por P(x). Si an ≠ 0, el grado del polinomio es n.
ÁLGEBRA
16
2.2. OPERACIONES ALGEBRAICAS 2.2.1. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Toda expresión algebraica consistente de varios términos ligados por los signos más o menos se llama
suma algebraica.
La clave para efectuar la suma y resta de polinomios es recordar que únicamente los términos
semejantes, es decir, los monomios que tengan las mismas variables elevadas a los mismos exponentes,
se pueden reducir, y que al reducir dos términos semejantes sumamos o restamos , según sea el caso, los
coeficientes numéricos, mientras las variables y sus exponentes permanecen iguales.
También es necesario recordar que si una expresión encerrada entre paréntesis, corchetes o llaves,
está precedida de un signo más, podemos eliminar el símbolo de agrupación y cada término de la expresión
conserva su signo. En cambio si está precedida de un signo menos, al eliminar el signo de agrupación, cada
término cambia de signo.
Veamos algunos ejemplos:
1. Encontrar la suma de (7x2 – 3x + 2) y (2x2 + 5x – 3)
i) Planteamos la suma: (7x2 – 3x + 2) + (2x2 + 5x – 3) =
ii) Eliminamos los paréntesis: 7x2 – 3x + 2 + 2x2 + 5 x – 3 =
iii) Identificamos los términos semejantes y los reordenamos:
{32x5x3x2x7 22 −++−+ 4342143421 =
iv) Reducimos los términos semejantes sumando o restando según sea el caso, los coeficientes
numéricos y rescribiendo la(s) variable(s) con igual exponente:
{32x5x3x2x7 22 −++−+ 4342143421 = 9x2 + 2x – 1
Conclusión: (7x2 – 3x + 2) + (2x2 + 5x – 3) = 9x2 + 2x – 1
2. Restar – 4(5ab + 6 2a ) de – 6 (2ab – b2)
i). Planteamos la resta en el orden indicado – 6 (2ab – b2) – [– 4( 5ab + 6a2)] =
ii). Aplicamos la ley distributiva: [–12ab + 6 b2] – [–20 ab – 24a2] =
iii) Eliminamos los corchetes, observando que el segundo está precedido de signo menos:
= –12ab + 6b2 + 20ab + 24a2
iv) Reducimos términos semejantes y reordenamos: = 24 a 2 + 8ab + 6b2
Conclusión: – 6(2ab – b2) – [– 4 (5ab + 6a2 ] = 24 a2 + 8ab + 6b2
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
17
3. Simplificar 9x – [ (2y – 3x) – (x + 4y) ] + { y – (2y – x ) – [ 2y + (4y – 3x) ] }
Tenemos dos opciones: eliminar los símbolos de agrupación de afuera hacia adentro o bien de adentro hacia
afuera. Ambas vías deben conducirnos al mismo resultado. Optemos por la eliminación de adentro hacia
fuera. Siempre hemos de considerar el signo que precede a cada símbolo de agrupación, tenemos:
= 9x – [ 2y – 3x – x – 4y ] + {y – 2y + x – [ 2y + 4y – 3x ] }
Podemos ir reduciendo términos semejantes antes de eliminar el siguiente símbolo de agrupación.
= 9x – [ – 2y – 4x ] + {– y + x – [ 6y – 3x ] }
= 9x + 2y + 4x + {– y + x –6y – 3x}
= 13x + 2y + {– 7y + 4x } = 13x + 2y – 7y + 4x = 17x – 5y
4. Simplificar 4 (5 + 2y + y2) – y (y – 6) + 2 y (7 – 4y)
Efectuamos las multiplicaciones indicadas aplicando la Ley Distributiva. Luego identificamos los términos
semejantes y los reducimos. Tenemos:
4 (5 + 2y + y2) – y (y – 6 ) + 2 y (7 – 4y) = 20 + 8y + 4y2 – y2 + 6y + 14y – 8y2
= (4y2 – y2 – 8y2) + ( 8y + 6y + 14y) + 20
= – 5 y2 + 28y + 20
5. Si P(x) = 4 33x 5x 3x 2+ − − y Q(x) = 3 22x 6x 5x 3− − + , obtenga P(x) + Q(x) y P(x) – Q(x)
2.2.2. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN En la multiplicación a menudo nos encontramos con un número que debe ser multiplicado por sí mismo
varias veces. En lugar de escribir repetidamente este número, usamos la expresión an, donde a es el número
que estamos considerando y n es el número de veces que se repite en el producto. Se tiene entonces la
siguiente definición:
DEFINICIÓN: Si n es un entero positivo, an = 4434421vecesn
aaaa ⋅⋅⋅ ...
El número a es llamado la base y el número n es el exponente. La expresión an la leemos como
“potencia n – ésima de a” o “ “a” potencia n”. De manera particular tenemos:
a2 “a cuadrada”,
a3 “a al cubo”,
a4 “a a la cuarta”…
Convencionalmente tenemos a0 = 1, siempre que a ≠ 0 y en forma general a1 = a.
Cuando operamos con exponentes surgen algunas propiedades muy útiles, que se expresan a través del
siguiente teorema:
P(x) = 4 33x 5x 3x 2+ − −
Q(x) = 3 22x 6x 5x 3− − + P(x) + Q(x) = 4 3 23x 7x 6x 8x 1+ − − +
P(x) = 4 33x 5x 3x 2+ − −
– Q(x) = 3 22x 6x 5x 3− + + − P(x) – Q(x) = 4 3 23x 3x 6x 2x 5+ + + −
ÁLGEBRA
18
TEOREMA: Si n y m son números enteros ( n, m ∈ Ε ) y, a y b son números reales (a, b ∈R ) se cumple :
i) a n · a m = a n+m ii) (a n) m = a nm iii) (a b) n = a n b n
iv) n
nn
ba
ba
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ si b ≠ 0 v)
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<
=
>
=
−
−
mnsí
mnsí1
mnsía mn
nm
m
n
a1
aa
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para encontrar el producto de dos o más monomios usamos las propiedades de los exponentes, ley
asociativa y ley de los signos. Iniciamos multiplicando los coeficientes numéricos para determinar el
coeficiente del producto. Luego multiplicamos los factores literales, aplicando la ley asociativa y recordando
que sumamos los exponentes sólo si la base es la misma. Si las literales son diferentes el producto queda
indicado.
1) (2xy3) (4x2yz) = (2· 4) (x· x2) (y3· y) (z) = 8x3 y4 z
. 2) (2ab) (– 3a2c) (5a4b3c2) = [ (2) (– 3) (5) ] (a· a2· a4) (b· b3) (c· c2) = – 30a7b4c3.
Teniendo el cuidado pertinente podemos obviar el paso intermedio.
Para efectuar el producto de un monomio por un polinomio, o bien el producto de dos o más
polinomios, además de las leyes anteriores, usamos la ley de distributividad. En todo caso hemos de tener
presente la ley de los signos.
3) (2xy) (4ax2 – 5y2z2) = (2xy) (4ax2) + (2xy) (– 5y2z2)
= 8ax3y – 10 xy3z2
4) (7ab) (– 3abc – 5ab2c3) = (7ab) (– 3abc) + (7ab) (– 5ab2c3)
= – 21a2b2c – 35a2b3c3
5) (x – 2) (x + 3) = x (x + 3) – 2 (x + 3) = x2 + 3x – 2x – 6 = x2 + x – 6
6) (xa – yb) (xb + ya) = xa (xb + ya) – yb (xb + ya) = xa+b + xa ya – yb xb – ya+b
Al multiplicar polinomios un procedimiento más corto consiste en escribir los factores uno debajo del
otro, previamente ordenados en potencias descendentes de una literal y luego colocar los productos en
columnas de modo que los términos semejantes aparezcan uno debajo del otro para facilitar la reducción.
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
19
7) (a2 – 2ab – b2) (a2 + 3ab + 5b2 )
Solución :
432234
4322
3223
2234
22
22
b5ab13ba2baa
b5ab10ba5
ab3ba6ba3
baba2a
b5ab3a
bab2a
−−−+
−−+
−−+
−−
++
−−
2.2.3. PRODUCTOS NOTABLES Al operar con expresiones algebraicas, con frecuencia nos encontramos con productos similares en cuanto
a la forma, lo que nos permite encontrar una expresión que generaliza el resultado de tal multiplicación.
Tales productos son conocidos como productos notables. Su conocimiento nos facilita realizar tal
multiplicación con rapidez y seguridad.
1. a ( x + y ) = ax + ay
2. ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2
3. ( x – y )2 = x2 – 2xy + y2
4. ( x – y ) ( x + y ) = x2 – y2
5. ( x + a ) ( x + b ) = x2 + ( a+ b )x + ab
6. ( ax + b ) ( cx + d ) = acx2 + ( ad + bc )x +bd
7. ( x + y )3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
8. ( x – y )3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
9. ( x + y ) ( x2 – xy + y2 ) = x3 + y3
10. ( x – y ) ( x2 + xy + y2 ) = x3 – y3
11. ( x + y + z )2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
12. (ax + by + c) (dx + ey + f) = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F , donde (*)
A = ad, C = be, E = bf + ce, B = ae + bd , D = af +cd , F = cf
13. (x + a) (x + b) (x + c) = abcxbcacabxcbax 23 +++++++ )()( 14. (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = abcdxbcdacdabdabcxcdbdbcadacabxdcbax 234 +++++++++++++++ )()()(
1. (x + 4) ( x + 5) = x2 + (4 + 5) x + (4) (5) = x2 + 9x + 20
2. (3x + 7)2 = (3x)2 + 2 (3x) (7) + 72 = 9 x2 + 42 x + 49
← Multiplicando ← Multiplicador ← (resultado del 1er término del multiplicador por el multiplicando)
← (resultado del 2do término del multiplicador por multiplicando).
← Resultado del 3er término del multiplicador por el multiplicando ← producto
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
20
3. (7x – 8y) (7x + 8y) = (7x)2 – (8y)2 = 49 x2 – 64 y2
4. (x + 1) ( 6x – 5) = (1) (6) x2 + [ (1) (– 5) + (1) (6) ] x + (1) (– 5) = 6 x2 + x – 5
5. ( x2 y – 5xy3) ( x2 y + 5xy3) = ( x2 y)2 – ( 5xy3)2 = x4 y2 – 25x2 y6
6. (2x + 3)( 4 x2 – 6x + 9)(x – 1)( x2 + x + 1) = [(2x + 3)( 4 x2 – 6x + 9)] [ (x – 1)( x2 + x + 1) ]
= (8 x3 + 27) (x3 – 1)
= 8 x6 + 19 x3 – 27
7. (5y – 3)3 = (5y)3 – 3 (5y)2 (3) + 3 (5y) (3)2 – (3)3 = 125 y 3 – 225 y2 + 135 y – 27
8. (x – 2)(x + 3)(x – 5)(x + 9) = Se tiene a = – 2, b = 3, c = – 5, d = 9; a + b + c + d = – 2 + 3 – 5 + 9 = 5; ab + ac + ad + bc + bd + cd = – 6 + 10 – 18 – 15 + 27 – 45 = – 47 ; abc + abd + acd + bcd = 30 – 54 + 90 – 135 = – 69 ; abcd = 270 Luego (x – 2)(x + 3)(x – 5)(x + 9) = 270x69x47x5x 234 +−−+
9. (2a – 3b + 5c ) 2 = (2a) 2 + (– 3b)2 + (5c)2 + 2 (2a) (– 3b ) + 2 ( 2a) (5c) + 2 (– 3b) (5c)
= 4a2 + 9b2 + 25c2 – 12ab + 20ac – 30bc
2.2.4. DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
♦ Para encontrar el cociente de dos monomios, usamos las leyes de los exponentes y la ley de los
signos, recordando que combinamos los exponentes de los factores de igual base.
1) 422
63ba5
ab5ba25
= 2) 2
242
223
z3x4
zxy6zyx8 −
=−
♦ Para dividir un polinomio entre un monomio, aplicamos además la distributividad teniendo precaución
con la ley de los signos.
3) ca2ba4ac4
ca8ac4
bca16ac4
ca8bca16 22
32
2
23
2
3223−=−=
−
4) x2
y3z
y2z
x3yzx2zxy3
yzx2zyx4
yzx2yzx6
yzx2zxy3zyx4yzx6 2
2232
33
32
22
32
3
32
33223−−=−−=
−−
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
21
♦ La división de dos polinomios es más compleja, siendo conveniente seguir un procedimiento general,
que nos permita efectuar satisfactoriamente dicha operación.
Hemos de tener presente que no toda división es “exacta”, resultando muchas veces un residuo.
Tenemos la relación: r(x)Q(x)q(x)P(x):Q(x)r(x)q(x)
Q(x)P(x)
+=+= aequivalequelo
Aquí P(x) es el dividendo, Q(x) es el divisor,
q(x) es el cociente, r(x) es el residuo
Cuando r(x) = 0, decimos que la división es exacta.
El procedimiento para efectuar la división de dos polinomios es el siguiente:
1. Se ordenan el dividendo y el divisor, según las potencias descendentes de una misma literal. Si
el dividendo no contiene una potencia intermedia, se recomienda dejar espacio libre.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y el resultado es el
primer término del cociente. Se multiplica este término por el divisor y el producto obtenido lo
restamos del dividendo.
3. El residuo obtenido en el paso anterior se toma como nuevo dividendo y se repite el paso (2)
para obtener el segundo término del cociente.
4. Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo cero o una expresión de grado inferior
que el del divisor.
Dividir 6a3 – a2b –11ab2 + 6b3 entre 2a + 3b
Observamos que los polinomios están ordenados según las potencias descendentes de a.
Una forma de disponer los polinomios para efectuar la división es el que sigue.
Siguiendo los pasos señalados anteriormente tenemos:
Dividendo → 6a3 – a2b – 11ab2 + 6b3 2a + 3b ← Divisor
–6a3 – 9a2b 3a2 – 5ab + 2b2
–10a2b – 11ab2 + 6b3 ↑
10a2b + 15ab2 cociente
4ab2 + 6b3
– 4ab2 – 6b3
0 ← Residuo
Luego (6a3 – a2b – 11ab2 + 6b3) ÷ (2a+ 3b) = 3a2 – 5ab + 2b2
EJEMPLO
ÁLGEBRA
22
2.2.5. DIVISIÓN SINTÉTICA
Cuando dividimos un polinomio en x de grado n entre un binomio de la forma x – a, el resultado es otro
polinomio de grado (n – 1).
Podemos reducir el trabajo mediante el método conocido como división sintética. En este método usamos
únicamente los coeficientes del dividendo y el valor de “a”. Veamos los pasos a seguir a través de un
ejemplo:
1. Dividir x3 – x – 10 entre x – 3
1er. Paso: Escribimos los coeficientes del dividendo con su respectivos signos y a su derecha el valor de
“a” que en este caso es a = 3.
Si en el dividendo no aparece una potencia intermedia de x, interpretamos que su coeficiente es cero y
también lo escribimos en su lugar correspondiente. (En el ejemplo no aparece x2)
Tenemos entonces:
2do. Paso: “bajamos” el primer coeficiente y lo escribimos bajo la línea trazada. Este valor lo multiplicamos
por “a” y el producto lo escribimos debajo del segundo coeficiente. A continuación efectuamos la suma de
estos valores y lo escribimos bajo la línea trazada.
3er Paso: Reiteramos el paso anterior hasta llegar al último coeficiente. En este caso obtenemos.
1 0 –1 –10 3
3 9 24
1 3 8 14
4to Paso: Interpretamos el resultado. En el ejemplo el dividendo es de grado 3, luego el cociente será de
grado 2, y sus coeficientes en orden descendentes son los que resultaron en la parte inferior o sea
q(x) = x2 + 3x + 8.
El último número es el residuo, que en este caso es r = 14.
2. Dividir x4 – 5x3 + 4x – 48 entre x + 2
Notemos que en este ejemplo a = – 2 y en el dividendo no aparece x2; siguiendo los pasos anteriores
tenemos:
1 –5 0 4 – 48 –2
–2 14 –28 48
1 –7 14 –24 0
Luego el cociente será q(x) = x3 – 7x2 + 14x – 24 con residuo r = 0
1 0 –1 –10 3
ÁLGEBRA
23
♦ Este método ligeramente modificado podemos usarlo también cuando el divisor es de la forma
ax – b. Para ello rescribimos ax – b como a ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
abx y la división la hacemos en dos partes: primeramente
dividimos entre x – ab y luego el cociente encontrado entre el valor de “a” para hallar el cociente
definitivo. El residuo encontrado en la primera parte permanece igual
3. Efectuar 3x4 – 4x3 + 4x2 – 10x + 8 ÷ 3x – 1
Tenemos 3x – 1 = 3(x –31 ) luego escribimos
3 – 4 4 –10 8 1/3
1 –1 1 –3
3 –3 3 – 9 5 Resulta el cociente
q(x)= 1/3 (3x3 – 3x2 + 3x – 9) = x3 – x2 + x – 3
y el residuo r = 5
2.3. EL BINOMIO DE NEWTON
El desarrollo de potencias enteras de binomios, de la forma (x + y )n es conocido desde la
antigüedad, sin embargo le corresponde a Sir Isaac Newton (1642 – 1727) el honor de haber establecido su
generalización. No importa el valor que tome la potencia n, contamos con reglas fáciles de recordar que nos
permiten obtener su desarrollo con relativa facilidad.
Veamos algunos conceptos previos
Factorial de un número : El factorial de un número entero positivo n, denotado por n!, es el producto de él y todos sus antecesores
enteros positivos.
n! = n ( n – 1 )( n – 2 ) ⋅... ⋅ 2· 1 = 1· 2· 3· ... ⋅(n – 1 ) · n
Convencionalmente se toma 1! = 1 y 0! = 1
Ejemplo: 5! = 1· 2· 3· 4· 5 = 120
(la mayoría de las calculadoras de bolsillo, tienen integrada la función n! )
En algunas ocasiones, para efectos de simplificar una fracción, es necesario descomponer el factorial de un
número n; se tiene:
n! = n· (n – 1)! = n· (n – 1) (n – 2 ) ! = n (n – 1) (n – 2) (n – 3)! etcétera
así por ejemplo 5! = 5· 4! = 5· 4· 3! ; 561
6786
86
=⋅⋅
=!
!!!
ÁLGEBRA
24
Números combinatorios : El numero de combinaciones diferentes de k elementos tomados de un conjunto de n elementos diferentes,
denotado por nCk ó ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kn
está dado por:
nCk = ( ) !kn!k!n−
Así por ejemplo: 5C3 10!2!3
!5==
Los valores que se obtienen de nCk reciben el nombre de números combinatorios
Entre sus propiedades tenemos 1nn
0n
,kn
nkn
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Al desarrollar ( x ± y ) n , donde n es un entero positivo cualquiera, se va obteniendo :
( )( )( )( )( )( ) 543223455
4322344
32233
222
1
0
yxy5yx10yx10yx5xyxyxy4yx6yx4xyx
yxy3yx3xyxyxy2xyx
yxyx1yx
±+±+±=±+±+±=±
±+±=±+±=±
±=±=±
Podemos apreciar que:
i) El desarrollo de nyx )( ± tiene (n + 1) términos.
ii) El primer término del desarrollo es nx y el último ny .
iii) En cada término consecutivo las potencias de x disminuyen en 1, mientras que las potencias de y
aumentan en 1. La suma de los exponentes en cada término es n.
iv) Si el binomio es una suma, todos los términos del desarrollo son positivos y si es una diferencia,
los signos de los términos se alternan positivos y negativos. Los términos impares son positivos y los
pares negativos.
v) Los coeficientes de los diferentes términos corresponden a los números combinatorios.
vi) El k – ésimo término está dado por 1k1kn1knk yxCT −+−
−= .
vii) Para n entero, se cumple : ( ) n33n22n1nnn ynn
...yx3n
yx2n
yx1n
x0n
yx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+ −−−
TRIÁNGULO DE PASCAL Si consideramos los coeficientes que se obtienen en el desarrollo de (x + y )n se detectan algunas
propiedades interesantes, que entre otras cosas nos permiten “recordar” o reconstruir dichos coeficientes.
El siguiente arreglo se debe al célebre matemático francés Blas Pascal (1623–1662) y se conoce como el
triángulo de Pascal.
ÁLGEBRA
25
( )( )( )( )( )( )( )( ) 172135352171yx
1615201561yx15101051yx
14641yx1331yx
121yx11yx
1yx
7
6
5
4
3
2
1
0
++++++++
M
Observemos
1) Siempre se comienza y se termina con 1.
2) El segundo y penúltimo coeficiente corresponde a n.
3) Cada coeficiente es la suma de los coeficientes en el desarrollo que le precede que están colocados
por encima.
4) Los coeficientes aparecen en forma simétrica.
5) La suma de los coeficientes de ( x + y )n es 2n
Hay otras propiedades interesantes, pero para nuestros propósitos inmediatos éstas son las más
significativas.
1. Obtener el desarrollo de ( 2x – 3y² )4
Solución:
Desarrollamos el binomio aplicando las reglas anteriores, dejando indicadas inicialmente las operaciones en
cada término. Luego efectuamos dichas operaciones:
(2x – 3y²)4 = (2x)4 – 4 (2x)3 (3y2) + 6(2x)2 (3y2)2 – 4(2x) (3y2)3 + (3y2)4
= 16x4 – 4(8x3)(3y2) + 6(4x2)(9y4) – 4(2x) (27y6) + 81y8
= 16x4 – 96x3y2 + 216x2y4 – 216xy6 + 81y8
2. 52xy2x ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
( ) ( ) ( )
54
22
3455
xy2
55
xy2²)(x
45
xy2²)(x
35
xy2²x
25
xy2²x
15
²x05
xy2²x
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
3
= 5
5
4
42
3
34
2
26810
xy32
xy16x5
xy8.x10.
xy4.x10
xy2.x5.x −+−+−
= 5
5
2
4324710
xy32
xy80xy80yx40yx10x −+−+−
1 = 20
2 = 21
4 = 22
8 = 23
16 = 24
32 = 25
64 = 26
128 = 27
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
26
3. Hallar el 5to término del desarrollo de 9
2x4
yx2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Tenemos n = 9 y k = 5, y Tk = nCk-1an-k+1. bk-1 , luego
T5 = 4
yx63x256
y)x126(32x4y.²)x(2
49 46
4
410
45 =⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
4. Hallar el término independiente del desarrollo de 10
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 2x3
1x
La expresión “término independiente” significa el término que no lleva variable. Para que esto suceda debe
tenerse la variable con exponente cero es decir con igual exponente en el numerador y el denominador.
Un camino que tenemos para contestar esta pregunta es desarrollar la potencia del binomio indicado y al
final extraer el término buscado, sin embargo esta vía no es la óptima.
Lo adecuado es usar la fórmula que nos conduce al k-ésimo término y utilizar la condición referida al
exponente de la variable, que para que “desaparezca” debe ser cero. Esto nos permite encontrar la posición
que ocupa el término buscado y conociendo ésta, procedemos a calcularlo.
Tenemos n = 10, k inicialmente desconocida.
Tk = 1k1k1021x1k
10 −−− −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
)x31()( 2
)(/ = )x
1()31((x)
1k10
2k21k2
k11
−−
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Igualando los exponentes del numerador y el denominador de la variable x resulta
2k11− = 2k – 2 , de donde obtenemos k = 3. Luego el término buscado es el tercero.
Sustituyendo los valores de n y k en la fórmula, finalmente obtenemos
T3 = 22
82/1 )x31()(x
210 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 45⋅ 4x )
x91( 4 = 5
1. Evalúe
a) – 9 – (– 6) ( –1) b) 0
)44(3 − c) 312 d)
8)(92)4(7)2(
−−−−−− e)
3)2(5)(4)(0)(−
−
f) 3 216− g) 40
2)6)(3(−−− h) 22 125 + i) 54
45
323)(2243
⋅
⋅
2. Encuentre el valor de cada una de las expresiones siguientes, para los valores de las variables dadas.
a) 3x²–2x+1; x = – 2 b) x3– 8x+3 ; x =1 c) 3x²– 2xy – 4y² ; x = – 3, y = 1
d) 3xyz2xy
9²z²y
4²x
−++− ; x = 2, y = 3, z = – 1 e) Vot – 21 gt² ; Vo = 5.2, g = 9.81, t = 5
EJERCICIOS
ÁLGEBRA
27
f) 2/1
ba3/1b3
1a
2/1
m1
m1.
)²V(v
T0.01⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+, T = 484, Va = 27, Vb = 125, ma = 25 , mb = 144
3. Encierre los tres últimos términos entre paréntesis, precedido de: i) signo más ii) signo menos
a) a² – b² + 2bc – c² b) 9x + 9y² – 6xy+ x² c) 16 – x² + 2xy – y²
4. Elimine los símbolos de agrupación y reduzca términos semejantes
a) 3x – (2y – 4x) + 6y b) (2x+ 3y) + (y – 4z) – (z – 3x) c) 2x – {3y – [5x – (7y – 6x)]}
d) 2x2 – 3 (xy + 2x – 3y ) + 2x (5x – 4y ) – (6x – 5y) e) [(B – 34 A) + 2(B –
32 A)] – [(B+
34 A) – (B –
32 A ) ]
f) [ a²b – ab+ (ab – 2a²b) ] – { [ ( 3a²b+b) – (4ab – 2a²b)] – b}
g) – { – [ – (a + b – c) ] } – { [– (c – a +b) ] } + {– [ – a +(–b)] }
h) 65 (x – 3x
32 ) + [
51 ( 2x – x2 +
65 x3)] – 5 (
52 x2 – 3) + 2x3 –
31
i) ])52
41()
95
31
72(
43[
31 ba4baba3ba −−−−++−
j) { – 1mm1m1mmm x2x2xx4x2x +++ −−+−+−41})
51(]
45)
83(
74[
21
5. Obtenga la suma de los siguientes polinomios:
a) 4x3 + 5x²y – 6y3 ; 2x3 +11x²y – 8y3 ; 4x3– 5x²y + 7y3
b) x4 –65 x3 –
43 x ;
32 x3 –
83 x – 3 ; x4 –
43 x3 +
35 x –
51
c) 0.4 x3 – 0.8x²y + 6 ; 0.2x3 +0.4y3 – 0.5x²y ; – 0.08 y3 + 0.62yx²
d) 323 nmnm74
127
−+ ; 81
95
215
+−− 322 nmnnm
e) 5x3 + 7x2 – 3x + 1 ; 3x3 + 5x – 18 + 4x2 ; 5 – 2x – x2 + 8x3
6. Restar
a) 4x3– 5xy2 + 7y² de 2x3 + 11xy²– 8y²
b) 43 x3 – 3y
52y²x
163xdey
251y²x
53 33 −+−
c) 0.23x²– 0.15xy² + 0.18y² de 0.17x² + 0.005xy² – 0.2y²
d) – 6a3 + 6a2 – 5a + 6 de [(3a3 + 5 a – 1) + (5a3 – 2a 2 + 8) ]
e) [(2x2 – 5xy – 6y2) – ( 34 xy – 22 yx
67
72
− )] de 22 yx4xy911
53
−+
7. De
a) zyxrestar +−++ z21y
65x
32
b) 3433 xy92²y²x
87xrestar6xy
31²y²x
145yx
112
−+−−++
ÁLGEBRA
28
c) 1n2nn x41xx
73 +− −+ restar 1n2nn x
81x2x
31 +− −+
d) 0.4x + 2x2 – 0.375x3 restar 21 x3 – 2x2 + 0.25x
8. Efectúe las operaciones indicadas
a) ( x²y ) ( – x3y²) b) (–xy² ) ( 2x²yz² )( – 4xyz3 ) c) (–135 ab² c3) ( 2
23
c15ba26 )
d) (3a – 5b + 6c) (307 a²c) e) (a3+ 5a2 b – 8ab² ) ( 2a –3b ) f) (3a + 2) (2a – 1)
g) (3t² – 5t) (4t + 2) h) (– 7x – 3) (–11 + 2x ) i) ( xa-1 – 2xa-2 – xa-3+ xa-4) (– xa-3 + xa-1 – xa-2)
j) (am – 3am-1 + 5am-2 ) (a² – 5) k) (x ² + xy + y² ) ( x – y ) l) (am bp – 2cn ) (2cn + am bp )
m) (x² – xy + y² )( x² + xy + y² ) n) x2 y (4x – 3y) ( x – 2y) ñ) (x – 2) ( x + 3) ( x2 + 2x + 4)
9. Usando los productos notables, efectúe
a) (x + 8) ( x +10) b) (x – 2) (x – 3) c) (x + 7)(x – 6) d) (x + 1)(x + 7)
e) (x – 9) (x + 7) f) (x – 1)(x – 1) g) (x – 3)(x – 6) h) (a – 4)(a + 4)
i) (x – 3) (2 – x) j) (x + y)(x – 2y) k) (a – 2b)(a – 3b) l) (6 – xy)(5 + xy)
m) ( x² – 5y ) (x² + 4y) n) (xy – 3 )(xy + 4) ñ) (yx – x y ) (
yx + x y ) o) ( 2x + 4y )(3x – 5y)
p) (4x – 3y + 5z)² q) (ab² – 2b)3 r) (x² – x + 1)² s) (ax – 3) (ax + 8)
t) [( a + b) – ( c – d ) ] [ ( a + b) + (c– d) ] u) (x – 2) (x + 2) (x² + 4) (x4 + 16)
v) (a + 2) (a – 3) (a – 2) (a + 3) w) (x² + y – z) (x² + y + z)
10. Efectuar el desarrollo indicado:
a) (3x – 2y)4 b) ⎜⎜⎝
⎛3x
2 + 5
⎟⎟⎠
⎞2x1 c)
6⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
3b
2a d)
7
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
xy
yx e) (2x – 3y2)4
f) 5⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + a2
a1 g) ( )32 1x2x −+
11. Escriba y simplifique los primeros cuatro términos del desarrollo de las potencias indicadas
a) (a – 2b)15 b) (2a + a b)12 c) (
xy
yx− )10 d) (a² –
ab2 )20
12. En los siguientes ejercicios obtener el término o los términos indicados en el desarrollo correspondiente.
a) El quinto término de (x² + 3)7 b) Los dos términos centrales de (x² – 1/x)5
c) El término central de (a/3 + ab)10 c) El término que no contiene x de (3x – 2/x)10
d) El término que contiene x4 de (x² – 1/x)5 e) El término que contiene x² y9 de (x² + y3) 4
ÁLGEBRA
29
f) El término independiente de 9x )x21( 2− g) El quinto término de ( )133x y−
h) El término central de ( 2a 3 – b2 ) 6
i) El quinto término de n132 aa )( / −− sabiendo que es independiente de “a”
j) Halle el quinto término del desarrollo de 173x2a )( +
k) Halle el 14º término del desarrollo de 15a3 )( −
l) Encuentre el término central de 142
2x1 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− R/
m) Encuentre el término central de 10
xx1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
n) Halle el coeficiente de 16x en el desarrollo de ( )102 x2x −
ñ) Halle el término independiente de x en el desarrollo de 92
x31
2x3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
13. Simplifique 7
27
2 1aa1aa ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
14. Hallar el cociente indicado. Si la división no es exacta, indique el residuo.
a) 6x3 + 4x² y² – 15xy – 10y3 ÷ 2x² – 5y b) 2t4 – 7t3 + t 2 + 7t – 3 ÷ t2 – 1
c) x4– x² – 2x – 1 ÷ x² – x – 1 d) – 11x + 23x² + 1 + 3x3 ÷ 3x – 1
e) a5 – a4 + 10 – 27a + 7a2 ÷ a2 + 5 – a f) x4 + xy3 + x3y + 2x2y2 + y4 ÷ xy + x2 + y2
g) 3x7 – 11x5 + x4 +18x3 – 8x2 – 3x + 4 ÷ x4 – 3x2 + 4
15. Hallar el cociente indicado, usando división sintética. Indique el residuo.
a) 8x5 – 3x2 – 1 ÷ x – 1 b) 5x4 –10x – 1 ÷ x – 2 c) 24x6 – 11 x3 + 1 ÷ x + ½
d) x5 – 3x4 + x2 – x + 2 ÷ x + 2 e) 16x2 + 12 + 2x3 – 6x ÷ x + 3 f) 6x3 –7x – x2 + 3 ÷ 4x – 5
g) 11x2 + 2 – 6x3 + 14x ÷ 2x – 5 h) 3x3 – 4x2 – x + 6 ÷ 2 +3x
i) 3x4 – 4x3 + 4x2 – 10x + 8 ÷ 3x – 1 j) 23x2
31x
107x
31 2 −÷−+
16. Un polinomio de tercer grado, cuyo primer coeficiente es la unidad, es divisible por x – 2 y por x + 1 y al dividirlo por x – 3 da de residuo 20. ¿Cuál será el residuo al dividir el polinomio por x + 3? 17. Hallar un polinomio de tercer grado, cuyo primer coeficiente es la unidad, sabiendo que los restos obtenidos al dividirlo sucesivamente por x + 3, x – 2 y x + 1 son 10, 20 y 8. 18. Un polinomio P (x) dividido por x + 1 da de resto – 45; dividido por x – 3 da de resto – 165 ¿Qué resto dará si se divide por 3x2x2 −− ?. Determinar P (x), sabiendo que es de cuarto grado y que es divisible por
)( 4xx 2 − 19. Hallar a y b para que el polinomio bxax5 +− sea divisible por 4x2 −
ÁLGEBRA
30
20. Hallar m para que 16xm9x12x 23 +++ sea divisible por x – 2 21. Hallar m para que al dividir mx4x2x7x5 234 +++− entre x – 2 el resto sea 130
22. Hallar m para que al dividir mxx2x3 34 −+− entre 21
−x el resto sea 1.
1 a) – 15 b) indefinido c) 6 d) 6 e) 0 f) – 6 g) – 9 h) 13 i) 1 2 a) 17 b) – 4 c) 29 d) 19/9 e) – 96.625 f) 7.448x10-4 3) a) i) a + (– b2 + 2bc – c2) ii) a – ( b²–2bc+c²) b) i) 9x + (9y² – 6xy + x²) ii) 9x – (– 9y² + 6xy – x²) c) i)16 + (– x² + 2xy – y² ) ii) 16 – ( x² – 2xy + y² )
4 a) 7x + 4y b) 5x + 4y – 5z c) 13x – 10y d) 12x2 – 11xy – 12x + 14y e) 3B –3
14 A
f) – 6a2b + 4ab g) – a + b + 2c h) 344x
3037x
511x
1829 23 −+− i) b
6041aba
2132
−−−
j) 4x280137x
835 m1m −++
5 a) 10x3 + 11x²y –7y3 b) 2x4 – 1211 x3 +
2413 x –
516 c) 0.6x3 – 0.68x²y + 0.32y3 + 6
d) 81n
711mn
361nm
215m 3223 +−++ e) 16 x3 + 10 x2 – 12
6 a) –2x3 + 16xy2 – 15y² b) 1/4 x3 + 63/80 x²y – 9/25 y3 c) – 0.06 x² + 0.155xy² – 0.38y²
d) 14 a3 – 8 a2 + 10a + 1 e) 22 y1865xy
15104x
712
++
7 a) – 1/3 x + 11/6 y – 1/2 z b) x4 + 2/11 x3y – 29/56 x²y² + 5/9xy3 – 6
c) 1n2nn x81xx
212 +− −− d) 0.15x + 4x2 – 0.875x3
8 a) –x5y3 b) 8x4y4z5 c) – 2/3 a4 b4 c d) 7/10 a3c – 7/6 a2bc + 7/5 a2c2 e) 2a4 + 7a3b – 31 a2b2 + 24 ab3 f) 6a2 + a – 2 g) 12t3 – 14 t² – 10t h) –14x2 +71x + 33 i) x2a-2 – 3x 2a-3 + 4x 2a-5 – x2a-7 j) a m+2 – 3a m+1 + 15am-1 – 25am-2 k) x3 – y3 l) a2m b2p – 4c2n m) x4 + x2y2 + y4 n) 4 x4 y – 11 x3 y2 + 6 x2 y3 ñ) x4 + 3 x2 – 8x – 24 9 a) x² + 18x + 80 b) x² – 5x + 6 c) x² + x – 42 d) x2 + 8x + 7 e) x2 – 2x – 63 f) x2 – 2x + 1 g) x2 – 9x + 18 h) a2 – 16 i) – x2 + 5x – 6 j) x2 – xy – 2y2 k) a2 – 5ab + 6b2 l) – x2 y2 + xy + 30 m) x4 – x2 y – 20y² n) x2 y2 + xy – 12 ñ) x² / y² – x²y² o) 6x² + 2xy – 20y² p) 16x² + 9y² + 25z² – 24xy + 40xz – 30 yz q) a3b6 – 6a2b5 + 12ab4 – 8b3 r) x4 – 2x3 + 3x2 – 2x + 1 s) a 2x + 5ax – 24 t) a² + 2ab + b² – c² + 2cd – d² u) x8 – 256 v) a4 – 13a2 + 36 w) x4 + 2x2y + y2 – z2 10 a) 81x4 – 216x3 y + 216x2y2 – 96xy3 + 16y4
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
31
b) 101112131415 x1
x10
x40
x80
x80
x32
+++++
c)729b
81ab
108ba5
54ba5
48ba5
16ba
64a 6542332456
+−+−+−
d) 7
7
5
5
3
3
35
5
7
7
x
y
x
y7
x
y21x
y35y
x35yx21
yx7
yx 3
+++++++
e) 16x4 – 96x3 y2 + 216 x2 y4 – 216 x y6 + 81 y8
f) 2/52/122/75 a32a80
a80
a40
a10
a1
+++++
g) 1x6x9x4x9x6x 23256 −+−−++
11 a) a15– 30a14b + 420a13b2 – 3640a12b3 b) 3122121212
ba12855ba
51233ba
5123
4096a
+++
c) 4
4
6
6
8
8
10
10
yx120
yx45
yx10
yx
−+− d) a40 – 40a37b +760a34b2 – 9120a31b3
12 a) 2835x6 b) 10x4 ; – 10x c) 2728 a10 b5 d) 10x4 e) 4x2y9
f) – 21/2 g) 715 x27 y2 h) – 160 a9 b6 i) 210 j) 38,080 1213 xa
k) – 945 13a l) 14429 x16
m) 252 n) 3360 ñ) 718
13. ( )7a56a112a64a2 246 −+− 14 a) 3x + 2y² b) 2t² – 7t + 3 c) x² + x + 1 d) x² + 8x – 1 e) a3 – 5a + 2
f) x² + y² g) 3x3 – 2x + 1, R = – 5x² + 5x
15 a) 8x4 + 8x3 + 8x2 + 5x + 5 ; 4 b) 5x3 + 10x2 + 20x + 30 ; 59 c) 24x5 – 12x4 + 6x3 –14x2 + 7x – 7/2 ; 11/4 d) x4 – 5x3 + 10x2 – 19x + 37 ; – 72 e) 2x2 + 10x – 36 ; 120
f) 329
8x13
2²x3
++ ; 141/32
g) –3x² – 2x + 2 ; 12 h) x2 – 2 x + 1 ; 4 i) x3 – x2 + x – 3 ; 5
j) 4019x
61
+ ; 24091
16. – 10 17. 4x2x3x 23 +−+ 18. a) R = – 30x – 75 b) x56x4x14xxP 234 +−−=)(
19. a = 16, b = 0 20. – 4 21. 190 22. 916
−
ÁLGEBRA
32
2.4. FACTORIZACIÓN La factorización es el proceso mediante el cual una expresión algebraica la expresamos como el producto
de dos o más factores, es decir revertimos el proceso de multiplicación. Veremos que es muy útil al trabajar
con fracciones y cuando resolvemos ecuaciones.
El resultado de la factorización depende del conjunto numérico con el cual estemos trabajando. En esta
etapa trabajaremos las factorizaciones en el conjunto de los racionales y posteriormente la ampliaremos a
los números reales y complejos.
Decimos que un factor es primo si no contiene factores distintos de ± 1 y él mismo
Diremos que una expresión está factorizada completamente si está expresada como un producto
de factores primos.
A continuación ilustraremos los principales casos que se presentan. La clave en este proceso está en la
identificación del caso que se trate.
Es importante tener presente los productos notables, pues de ahí se derivan los principales casos.
FACTOR COMÚN MONOMIO : ax + ay = a ( x + y )
1. 5x – 15 =
En este caso notamos que los coeficientes numéricos tienen como máximo común divisor a 5, luego
dividimos cada término entre este valor y obtenemos:
5x – 15 = 5 (x – 3)
2. 6a2b3c – 3a3b2c2 d + 9 a4b2c3 – 3abc =
Primero buscamos el máximo común divisor de los coeficientes numéricos, que en este caso es 3. Luego
buscamos las literales que sean comunes a cada término, tomándolas a la menor potencia que aparecen y
finalmente dividimos cada término entre el factor común encontrado:
6a2b3c – 3a3b2c2d + 9 a4b2c3 – 3abc = 3abc (2ab2 – a2bcd + 3a3 bc2 – 1)
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN Considerando la propiedad distributiva del producto sobre la suma, tenemos:
ac + bc + ad + bd = ( ac + bc ) + ( ad + bd )
= c(a + b) + d( a + b) = ( a + b ) ( c + d )
En algunas ocasiones una agrupación adecuada nos permite encontrar un factor común no monomio. En
otras ocasiones hemos de ensayar más de una agrupación hasta encontrar la adecuada. Veamos algunos
ejemplos:
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
33
1. x3 + x2 – 4x – 4 = (x3 + x2) + (– 4x – 4) = x2 ( x + 1 ) – 4 ( x + 1 )
= ( x + 1 ) ( x2 – 4 ) = ( x + 1 ) ( x – 2 ) ( x + 2 ) ∗
(Posteriormente veremos que x2 – 4 = (x – 2) (x + 2) )
2. 2y – y2 + 12y3 – 6y4 = y (2 – y + 12y2 – 6y 3)
= y [( 2 – y ) + 6y 2( 2 – y )]
= y (2 – y) (1 + 6 y2 )
3. 4xz – y w + 2yz – 2xw = (4xz + 2yz) + ( – y w – 2xw )
= 2z (2x + y) – w ( y + 2x)
= ( 2x + y) (2z – w )
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Tenemos a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
1. Factorizar 9x2 – 6x + 1
Primero notamos que ya está ordenado. Tenemos que la raíz cuadrada del primer término y el último son 3x
y 1, y que el segundo término corresponde al doble de ellas. Notamos además que es negativo, luego
9x2 – 6x + 1 = (3x – 1)2.
2. Factorizar 36x2 + 60xy + 25y2
Observamos que el primero y el último término tienen raíz cuadrada exacta, estas son 6x y 5y.
Comprobamos que el segundo término corresponde al doble del producto de las raíces y por tanto es un
trinomio cuadrado perfecto. Como el segundo término es positivo, se trata de una suma. Luego
36x2 + 60xy + 25y2 = (6x + 5y )2
3. Factorizar – 4a6 – 9b4 + 12a3 b2
Primeramente notamos que no está ordenado de acuerdo a las potencias de las literales. Además notamos
que los términos cuadráticos aparecen negativos.
Nos conviene entonces ordenarlos y encerrarlos entre paréntesis precedido del signo menos. Luego
verificamos que corresponde a un trinomio cuadrado perfecto.
– 4a6 – 9b4 + 12a3 b2 = – 4a6
+ 12a3 b2 – 9b4
= – ( 4a6 – 12a3 b2 + 9b4 ) = – ( 2a3 – 3 b2 )2
4. Factorizar 168x ++ x
Considerando que ( x )2 = x , verificamos que es un trinomio cuadrado perfecto, luego
=++ 168x x ( x + 4 )2
EJEMPLOS
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
34
DIFERENCIA DE CUADRADOS. Tenemos a2 – b2 = ( a – b ) ( a + b )
Este es un caso relativamente fácil. Basta identificarlo, extraer raíz cuadrada a cada término y armar la
respuesta.
1. 4x2 – 9 = ( 2x – 3 ) ( 2x + 3 )
2. 16x4 – 25y6 = ( 4x2 – 5 y3 ) (4x2 + 5 y3 )
3. u2 – v = (u – v ) (u + v )
4. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=−
5z4
yx7
25z16
yx49
3
22
6
4
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
5z4
yx73
2
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + B x + C Tenemos que ( x + a ) ( x + b ) = x2 + ( a + b )x + ab
Luego para la factorización de un trinomio de esta forma hemos de encontrar dos números cuyo producto
sea igual al término independiente (C) y su suma algebraica, al coeficiente del término lineal ( B ). Para ello
se recomienda descomponer en sus factores primos el coeficiente independiente y por tanteo buscar el par
de valores que satisfaga las condiciones anteriores. Debe tenerse presente la ley de los signos. Siempre al
mayor de los valores encontrados le corresponde el signo del término lineal (estando ordenado, el segundo
término).
En algunas ocasiones nos encontramos con trinomios con más de una variable pero que tienen esta misma
forma, lo importante es reconocer dicha forma.
1. Factorizar x2 + 5x + 6.
Notemos que los coeficientes del término lineal y el término independiente son positivos, luego los valores de
a y b también deben ser positivos. Los factores de 6 son ± (1, 2, 3 y 6). La pareja que satisface la condición
indicada son 2 y 3, luego
x2 + 5x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3 ).
2. Factorizar y2 – 7y – 8
Notamos que el término independiente es negativo, luego uno de los valores a encontrar debe ser negativo y
el otro positivo. Dado que el coeficiente del término lineal es negativo, el mayor de los valores encontrados
debe ser negativo. Los factores de 8 son ± (1, 2, 4, 8) y la pareja que satisface las ecuaciones son – 8 y 1,
luego
y2 – 7y – 8 = ( y – 8 ) ( y + 1 )
EJEMPLOS
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
35
3. Factorizar z2 + 5z – 14.
Similar al caso anterior, pero en este caso al mayor de los valores le corresponde signo positivo. Se tiene
z2 + 5z – 14 = ( z + 7 ) ( z – 2 )
4. Factorizar x2 + 10xy + 24y2
Ahora notamos que aparecen dos variables, pero que tiene la forma que estamos considerando. A los
valores a y b encontrados, le añadimos la segunda variable.
x2 + 10xy + 24y2 = ( x + 6 y ) ( x + 4y )
TRINOMIO DE LA FORMA Ax2 + B x + C
♦ Recordemos que (ax + b) (cx + d)= acx2 + (ad + bc)x + bd
1ra forma de factorización:
Multiplicamos la expresión por “a” es decir el coeficiente de x2 y al final dividimos la expresión resultante
entre este valor. La multiplicación la expresamos en una forma adecuada que nos permita transformar del
trinomio a la forma anterior: a ( ax2) = (ax)2 , a (bx) = b (ax) y ac, que son dos números, los multiplicamos
normalmente.
ax2 + bx + c = ( ) ( ) ( )
aacaxbax
ac bx axa 22 ++
=++
Consideramos como variable “ax” y factorizamos el numerador de manera similar que el caso anterior.
Finalmente extraemos del numerador como factor común el valor de “a” (usando uno o ambos factores) y lo
simplificamos con el denominador.
2da forma de factorización:
Multiplicamos (a) (c), es decir el coeficiente de x2 con el coeficiente del término independiente.
Descomponemos este producto en dos factores cuya suma algebraica sea igual a “b” es decir el coeficiente
del término lineal en x.
Sustituimos “bx” por dos términos en x cuyos coeficientes sean los factores encontrados en el paso anterior.
Obtenemos una expresión equivalente factorizable por agrupación de términos.
Factorizar las siguientes expresiones
1. 2x2 + 11x + 5
Primera forma: 2x2 + 11x + 5 = ( ) ( )
=++
210x211x2 2 ( ) ( )
=++
21x210x2
( )( )=
++2
1x25x2
= (x + 5) (2x +1)
Segunda forma:
Multiplicamos ac: (2)(5) = 10 y buscamos dos factores de 10 cuya suma sea b =11, que en este caso son
1 y 10. Luego descomponemos 11x como x + 10x y factorizamos por agrupación.
2x2 + 11x + 5 = 2x2 + x + 10x + 5 = x ( 2x + 1 ) + 5 ( 2x + 1 ) = ( 2x + 1) ( x + 5 )
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
36
2. 10x2 – 7xy – 12y2 = ( ) ( ) ( )
10y120yx107x10
10y12 - xy7 -x1010 22 22 −−
=
= ( ) ( ) ( ) ( )
10y4x52y3x25
10y8x10y15x10 +⋅−
=+−
= (2x–3y) (5x +4y)
3. 15x2 – 2x – 8 = 15x2 – 12x + 10x – 8 = ( 15x2 – 12x ) + ( 10x – 8 )
= 3x ( 5x – 4 ) + 2 ( 5x – 4 ) = ( 5x – 4 ) ( 3x + 2 )
4. 50 a2 – 45 a b2 – 18 b4 = 50 a2 – 60 a b2 + 15 a b2 – 18 b4
= (50 a2 – 60 a b2 ) + (15 a b2 – 18 b4 )
= 10 a ( 5 a – 6 b2 ) + 3 b2 ( 5 a – 6 b2 )
= (10 a + 3 b2 ) (5 a – 6 b2 )
5. 6x2 – 11x + 4 = 6
24x611x66
4x11x66 22 +−=
+− )()()(
= )()()()()()(1x24x3
61x234x32
63x68x6
−−=−−
=−−
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS Recordemos que
a3 – b3 ≡ (a – b) (a2 + ab + b2) y a3 + b3 ≡ (a + b) (a2 – ab + b2)
Luego para factorizar una suma o diferencia de cubos, basta encontrar los valores de
“a “ y “b” (extrayendo raíz cúbica ) y sustituir dichos valores en las expresiones anteriores.
1. 8a3 – 27 b6 = (2a – 3b2) (4a2 + 6ab2 + 9b4)
2. 64x3y3 + 125 = (4xy + 5 ) (16x2y2 − 20 xy + 25)
SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS n Para todo entero n.
xn – yn ≡ (x – y) (xn-1 + xn-2 y + xn-3 y2 +...+ x y n-2 + y n-1)
Si n es un entero impar
xn + yn ≡ (x + y) (xn-1 – xn-2 y + xn-3 y2 – ... + y n-1)
1. x5 – 32y10 = (x – 2y2) (x4 + 2 x3 y2 + 4x2 y4 + 8x y 6 + 16y 8)
2. x7 + 128 = (x + 2) (x6 – 2x5 + 4x4 – 8x3 + 16x 2 – 32x + 64)
EJEMPLOS
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
37
3. (a + b ) 4 – 1 = [ ( a + b ) 2 ] 2 – 1
= [ ( a + b ) 2 – 1 ] [ ( a + b )2 + 1 ]
= ( a + b – 1 ) (a + b + 1 ) ( a2 + 2ab + b2 + 1 )
4. x6 + 729y 12 = ( x2 )3 + ( 9y4 ) 3 = (x2 + 9y4 ) ( x4 – 9x2 y4 + 81y 8 )
FACTORIZACIÓN POR EVALUACIÓN Teorema del residuo:
Dado que ( ) ( )
axRxq
axxP
−+=
− o sea P(x) = q(x) ⋅ (x – a) + R. Cuando x = a, entonces P(a) = R
◊ Como consecuencia un polinomio P(x) es divisible entre x – a (R = 0) si y solo si P(a) = 0
Este teorema nos señala un camino para factorizar polinomios, principalmente de grado mayor que 3.
P(x) = q(x) (x–a) ⇔ P(a) = 0
Hemos de buscar un número “a” tal que P(a) = 0. Este debe ser un factor del término independiente del
polinomio P(x).
El procedimiento será entonces, descomponer el término independiente en sus posibles factores, primos o
no, positivos o negativos y evaluar P(x) en ellos hasta que encontremos valores tales que P(a) = 0.
Una vez identificado el valor de “a” formamos el binomio (x – a) y mediante la división (es conveniente
usar la división sintética) encontramos el otro factor. Si este factor aún es factorizable podemos reiterar este
procedimiento.
1. Factorizar x3 – 2x2 – 5x + 6
Solución: Los factores del término independiente son ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
Evaluemos P (– 1) = (– 1)3 – 2(– 1)2 – 5 (– 1) + 6
= – 1 – 2 + 5 + 6 = 8 ≠ 0 No nos sirve
P (1) = (1)3 – 2(1)2 – 5 (1) + 6 = 1 – 2 – 5 + 6 = 0 luego x – 1 es un factor
Buscamos el otro factor, usando división sintética:
Luego x3 – 2x2 – 5x + 6 = (x – 1) (x2 – x – 6)
Notamos que x2– x – 6 es un trinomio del tipo x2 + bx + c,
fácilmente factorizable : x2 – x – 6 = (x – 3) (x + 2)
finalmente tenemos: x3 – 2x2 – 5x + 6 = (x – 1) (x – 3) (x + 2)
11 – 2 – 5 6 1 – 1 – 6
1 – 1 – 6 0
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
38
2. Factorizar x4 – x3 – 7x2 + x + 6
Solución: Los factores del término independiente son: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
Evaluamos: P (1) = (1)4 – (1)3 – 7 (1)2 + 1 + 6 = 1 – 1 – 7 + 1 + 6 = 0 ∴ x – 1 es un factor.
Buscamos el otro factor:
Luego x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = (x – 1) (x3– 7x – 6)
Intentamos factorizar x 3 – 7x – 6 por el mismo método.
El término independiente tiene los mismos factores: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
Evaluamos P (1) = (1)3 – 7(1) – 6
= 1 – 7 – 6 = – 12 No nos sirve
P (– 1) = (– 1)3 – 7(– 1) – 6
= – 1 +7 – 6 = 0 ∴ x + 1 es un factor
Aplicamos la división sintética
Tenemos entonces x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = (x – 1) (x + 1) (x2 – x – 6)
o sea x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = (x – 1) (x + 1) (x – 3) (x + 2)
COMBINACIÓN DE DIVERSOS CASOS Muy a menudo se presentan expresiones que requieren la aplicación combinada de los métodos anteriores.
No podemos establecer un procedimiento general, pero sí es aconsejable chequear primero si existe algún
factor común monomio o si una agrupación adecuada nos permite identificar algún factor común binomio o
bien reconocemos los casos que involucra dicha Factorización. En ocasiones la suma o resta de un término
adecuado nos facilita la Factorización.
1) KD2 – 4Kr2 = K(D2 – 4r2 ) = K (D – 2r ) (D + 2 r )
2) x4 + x2y2 + y4 = (x4
+ 2x2y2 + y4) – x2y2
= (x2 + y2) 2 – x2y2 = (x2 + y2 – xy ) (x2 + y2 + xy )
3) 9x 2– 64y2 + 112y – 49 = 9x 2 – (64y2 – 112y + 49 )
= 9x 2 – (8y – 7)2
= [ 3x – (8y – 7) ] [3x + (8y – 7)]
= (3x – 8y + 7) (3x + 8y – 7)
11 – 1 – 7 1 6 1 0 – 7 – 6
1 0 – 7 – 6 0
– 11 0 – 7 – 6 – 1 1 6
1 – 1 – 6 0
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
39
4) 9x2 + y2 + 6xy – 1 = (9x2 + 6xy + y2) – 1
= ( 3x + y) 2 – 1
= [ (3x + y) – 1 ] [ ( 3x + y) + 1]
= ( 3x + y – 1 ) ( 3x + y + 1)
5) 3 x3 + 2 x2 – 12x – 8 = (3 x3 + 2 x2 ) + (– 12x – 8 ) = x2 ( 3x + 2 ) – 4 ( 3x + 2 )
= ( x2 – 4 ) ( 3x + 2) = ( x – 2 ) ( x + 2 ) ( 3x + 2 )
6) 8 x6 + 19 x3 – 27 = ( 8 x3 + 27 ) ( x3 – 1 )
= ( 2x + 3 ) ( 4 x2 – 6 x + 9) (x – 1 ) ( x2 + x + 1 )
7) 4 x3 + 6 x2 – 4 x y2 – 6 y3 = 2x2 ( 2x + 3y ) – 2 y2 ( 2x + 3y )
= (2 x2 – 2 y2 ) ( 2x + 3y )
= 2 ( x2 – y2 ) ( 2x + 3y )
= 2 ( x – y ) ( x + y ) ( 2x + 3y )
8) x8 + 5x4 – 6 = (x4 + 6) (x4 – 1)
= (x4 + 6) (x2 + 1) (x2 – 1) = (x4 + 6) (x2 + 1) (x + 1)(x – 1)
I. Factorice los siguientes trinomios
1. a2 + 2a – 35 2. b2 – 5b – 24 3. c2 + 3c – 4 4. d2 + 13d – 48
5. e2 – 5e – 14 6. x2 + 4x + 3 7. a2 + 7a + 12 8. x2 + 2x – 24
9. x2 + x – 6 10. z2 – 11z + 28 11. v2 – 7v – 98 12. x2 + 20x + 64
13. y2 – 11y + 30 14. z2 – 5z – 14 15. m2 – 18m + 72 16. n2 + 16n + 39
17. p2 – 16p + 28 18. q2 + 18q + 45 19. r2 + 9r – 10 20. s2 – 4s – 32
21. a2 b2 – 15ab – 54 22. m2 – 5mn – 24 n2 23. x2 – 52xy + 100 y2
24. 12x2 + 34x + 14 25. 6x2 – x – 12 26. 15x2 + 31x + 14 27. 8x2 – 2x – 15
28. 63x2 – 100x + 32 29. 4x2 – 22x + 10 30. 27x2 + 3x – 10 31. 8x2 – 42x + 27
32. 5x2 + 38x + 21 33. 56x2 + 83x + 30 34. 45x2 + 64x + 12 35. 10x4 – 23x2 + 12
II. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas
1. 4x2 – 8xy 2. 8x2y + 40yz – 35z – 7x2 3. a3 – 8
4. x6 – 1 5. x2 – 4x + 4 6. 4x2 – 20xy + 25y2
7. m3 – 7m2+10 m 8. 4x2 – 4x +1 9. 6x2 – 5x – 4
10. x2 – 2x – 8 11. 6x3y – 6x2y2 12. 0.01x4 – 196y8
13. 16x2 + 40x – 24 14. 12 – a – a2 15. x4 – 3ax2 + 2a2
16. 8m3 – 27n6 17. 16x2 – 5xy8
+ 25y2
18. 48 + 2x2 – x4
19. a6 + 125b12 20. 7x7 – 56x 21. ( x + y – 1 )( x2 +1 ) – x2 – 1
22. 2a 2x – 5a2y + 15by – 6bx 23. 16x4 – 25x2y2 +9y4
24. x4+ 10x2 +9 25. (y +z)2+ y + z – 42 26. x8y8 – 15ax4y4 –100a2
EJERCICIOS
ÁLGEBRA
40
27. x n +3 – x n y3 28. 2x3 – 3x2+ x 29. 9x2 +37x +4
30. x6 – 7x3 – 8 31. 2x3 + x2 – 5x+2 32. 6x3 + 23x2 + 9x – 18
33. x3– 6x2+ 19x – 30 34. 3x 3 – 2x2 – 7x – 2 35. 2x4–11x3+ 11x2+ 15x–9
36. pa2 + (1-p)b2 - [ p a + (1-p)b ] 2 (*) 37. x3 + 5x2 – 2x – 24
38. x5 + 4x4 – 4x3 – 34x2 – 45x – 18 39. 12a2b – 36ab2 +27b3
40. x2+ xy + 4x –6y2 + 7y +3 (*) 41. x2 – x – 6 – y2 + 5y (*)
42. 3x11x14x6xx 2345 −−−−+ 43. 4x4x3x5x9xx2 23456 +−++−− 44. 1x2xx2x 234 +−−− III. Verifique que: 1. ( ) ( ) ( )2222 yx2yxyx +=−++ 2. ( ) ( ) yx4yxyx 22 =−−+ 3. ( ) ( )zxyzxy2zyxzyx 2222 +++++=++
4. ( ) ( ) ( ) ( )2222222 xzzyyxzyxzyx +++++=+++++ 5. ( )[ ] ( )[ ]222244 yyxyyxy4x +−++=+
I 1. (a + 7) (a – 5) 2. (b – 8) ( b + 3) 3. (c + 4) (c – 1) 4. (d + 16) (d – 3) 5. (e – 7)(e + 2)
6. (x + 3) (x + 1) 7. (a + 4) (a + 3) 8. (x + 6) (x – 4) 9. (x + 3) (x – 2) 10. (z – 7) (z – 4)
11. (v – 14) (v + 7) 12. (x + 16) (x + 4) 13. (y – 6) (y – 5) 14. (z – 7) (z + 2) 15. (m – 12)(m – 6)
16. (n + 13)(n + 3) 17. (p – 14)(p – 2) 18. (q + 15)(q + 3) 19. (r + 10)(r – 1) 20. (s – 8)(s + 4)
21. (ab – 18)(ab + 3) 22. (m – 8n)(m + 3n) 23. (x – 50y)(x – 2y) 24. (4x + 2)(3x + 7)
25. (2x – 3)(3x + 4) 26. (3x + 2)(5x + 7) 27. (2x – 3)(4x + 5) 28. (9x – 4)(7x – 8)
29. 2(x – 5)(2x – 1) 30. (3x + 2)(9x – 5) 31. (4x – 3)(2x – 9) 32. (5x + 3)(x + 7)
33. (7x + 6)(8x + 5) 34. (9x + 2)(5x + 6) 35. (5x2 – 4)(2x2 – 3)
II. 1) 4x(x – 2y) 2) (x2 + 5z) (8y – 7) 3) (a – 2)(a2+2a+4) 4) (x – 1) (x +1)(x 2 + x+1) (x2 – x+1) 5) (x – 2)2
6) (2x – 5y)2 7) m(m – 5)(m – 2) 8) (2x – 1)2 9) (3x – 4)(2x+1) 10) (x – 4)(x + 2) 11) 6x2y(x – y)
12) (0.1x2 – 14y4)(0.1x2+14y4) 13) 8(x + 3)(2x – 1) 14) (3 – a)(4+a) 15) (x2 – 2a)(x2 – a)
16) (2m – 3n2)(4m2+6mn2+9n4) 17) 2
x4 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
5y
18) (8 – x2)(6 + x2) 19) (a2+ 5b4)(a4 – 5a2b4+ 25b8)
20) 7x(x2 –2)(x4+2x2+4) 21) (x2+1)(x + y – 2) 22) (2x – 5y)(a2 – 3b)
23) (4x2 – xy – 3y2)(4x2+xy –3 y2) 24) (x2+9)(x2+1) 25) (y + z + 7)(y + z – 6)
26) (x4y4 –20 a)(x4y4+5a) 27) xn(x – y)(x2+xy+y2) 28) x(x – 1)(2x – 1)
29) (9x +1)(x+4) 30) (x+1)(x –2)(x2–x+1)(x2+2x+4) 31) (x – 1)(x + 2)(2x – 1)
32) (x+3)(2x+3)(3x – 2) 33) (x –3)(x2 – 3x+10) 34) (x + 1)(x – 2)(3x + 1) 35) (x+1)(x – 3)2(2x – 1)
36) p(1 – p)(a – b)2 37) (x – 2 )(x + 3)(x + 4) 38) (x+1)2(x + 2) (x – 3) (x + 3) 39) 3b(2a – 3b)2
40) (x – 2y + 3)(x + 3y + 1) 41) (x + y – 3) (x – y +2) 42) 4(x 1) (x 3)+ − 43) )()()( 1x3x24x1x 222 +−−−
44) )()( 1x3x1xx 22 +−++
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
41
2.5. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS En el álgebra efectuamos las operaciones con fracciones en forma similar que en la aritmética. La diferencia es que
usamos expresiones algebraicas en lugar de números
SIMPLIFICACIÓN: Es el proceso de reducir a su forma mínima una fracción algebraica.
Decimos que una fracción está en su forma mínima cuando el numerador y el denominador no tienen factor
común diferente de ±1.
Para simplificar una fracción descomponemos en sus factores tanto el numerador como el denominador y luego
cancelamos los factores que sean iguales y que estén simultáneamente en ambos.
Simplificar
1) 25
52
yx35yx15 = 232
322
yxx57yyx53⋅⋅⋅⋅/⋅/⋅⋅⋅
= 3
3
x7y3
2) ( )
( )( ) 3x23x2
3x23x23x2
9x49x12x4 2
2
2
−+
=+−
+=
−
++
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN:
Se tiene bcad
cd
ba
dc
ba
bdac
dc
ba
=⋅=÷=⋅
Hemos de tener presente que los resultados siempre que sea posible los simplificamos. Para ello factorizamos todos los
numeradores y denominadores y cancelamos los factores que sean comunes al numerador y al denominador. Con los
factores que quedan realizamos los productos indicados. Notemos que para la división, invertimos el divisor y se nos
convierte en un producto.
Efectuar
3) ( )
( )( )( )
( )( )( )y2xy2xz
zy2xy4xzzy2x
y4xz
zy2x
3
22
223
22
22
2
3
2
+−
−=
−
−=
−⋅
− =
y)2(xzy2x
+−
= yz2xzy2x
+−
4)
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )1x2x1x
2x3xx1xx
1xx1x1x3xx
2xx1x
x6xx1xx
1xx3x2x 2
2223
2
3
23
−++
÷+−++
⋅++−
+−=
−+
+÷
−−
++⋅
−
−−
= ( )( )
( )( )1xx1x1x3xx
2 ++−
+−( )( )2x3xx
1xx2
+−++
⋅( )( )
( )1x1x2x
+−+
⋅ = 1
SUMA Y RESTA:
bd
bcaddc
ba;
cba
cb
ca ±
=±±
=±
• Cuando los denominadores son iguales, al igual que en la aritmética, basta sumar o restar, según sea el
caso, los numeradores y el denominador queda igual.
EJEMPLOS
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
42
• Si los denominadores son diferentes, hemos de “amplificar” cada fracción de manera que tengan iguales
denominadores como en el caso anterior. Para ello hallamos el mínimo común múltiplo de los
denominadores (mcm) que en el caso de las fracciones se conoce como el mínimo común denominador
(M.C.D). Los nuevos numeradores de la fracciones amplificadas se obtienen dividiendo el M.C.D. entre cada
denominador y el resultado se multiplica por el respectivo numerador.
Efectuar las siguientes operaciones:
1. 4x5 +
4x3
Dado que los denominadores son iguales procedemos a sumar los denominadores y simplificamos el
resultado. Tenemos: x24x8
4x3
4x5
==+
2. 2xx
1x32 −−
− – 2x5x2
3x2 +−
+
Dado que los denominadores son distintos, buscamos el M.C.D. Para eso factorizamos cada denominador.
El M.C.D. está formado por cada uno de los factores distintos con la máxima potencia que aparezcan.
En este caso tenemos
x2 – x – 2 = (x – 2) (x + 1) ; 2x2 – 5x + 2 = ( 2x – 1) ( x – 2)
∴ MCD = (2x – 1 ) (x – 2) (x + 1)
Dividiendo el MCD entre cada denominador y multiplicando el resultado por el respectivo numerador se
obtiene
2xx1x3
2 −−
− – 2x5x2
3x2 +−
+ = 1)2)(x(x1)x(2
1)(x3)(x1)x(21)x(3+−−
++−−− =
= )12)(x(x1)x(2
)3x4(x)1x5x(6 22
+−−++−+−
= )12)(x1)(xx(2
2x9x5 2
+−−+− =
= 1)(x2)1)(xx(2
2)(x)1x(5+−−
−+ =
)1)(x1x(21x5+−
+
3. 8x16
x22x²x6
²x8x121x2
−+
−+−
++
Como en el ejemplo anterior, los denominadores son distintos. Buscamos el M.C.D., factorizando cada
denominador. El M.C.D. está formado por cada uno de los factores distintos con la máxima potencia que
aparezcan.
En este caso tenemos:
12x + 8 = 4 (3x + 2); 6x² + x – 2 = (3x + 2) (2x – 1) ; 16x – 8 = 8 (2x – 1) ∴ MCD = 8(3x + 2) (2x – 1)
Procedemos a dividir el MCD entre cada denominador y multiplicarlo por el respectivo numerador.
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
43
8x16
x22x²x6
²x8x121x2
−+
−+−
++ = =
−+
−+−
++
)1x2(8x2
)1x2()2x3(x
)2x3(41x2 2
= 1)x2)(2x8(3
x4²x6²x81)²x2(41)x2)(2x8(3
x)2)(2x(3x81)x(21)x2(2 2
−+++−−
=−+
++−+−
= 1)x(22)x(38
x4x6x82x8 222
−+++−− =
1)x(22)x(382x4x6 2
−+−+
= 2)xx(681)x2x(32
2
2
−+
−+ =
8x4x241x2x3
2
2
−+
−+
4. zyx15
yx213
2
−
−⋅ 32
2
65
32
xw5zy9
yxywx6
−−÷ = 22
3
3
7
5
2
wzy9x5
yxw6
zx15y2
⋅⋅ = wzy9
x423
5
5. 1x
32x2
x2x2
5x2 −
−+
+−
+
Buscamos el mcm de los denominadores:
2x2 – 2 = 2 (x2 – 1) = 2 ( x – 1) (x + 1); 2x + 2 = 2 ( x + 1) ; x + 1 = (x + 1)
luego el MCD es 2 ( x – 1) (x + 1)
1x3
2x2x
2x25x
2 −−
++
−
+ = 1)(x1)(x2
1)](x2[31)(xx5)(x+−
+−−++
= 1)(x1)2(x
6x6xx5x 2
+−−−−++ =
2x21x6x
2
2
−
−−
EXPRESIONES RACIONALES COMPLEJAS A menudo nos encontramos con expresiones fraccionarias en las cuales algunos numeradores y
denominadores a su vez son fracciones. Tales expresiones las conocemos como expresiones racionales
complejas. Al trabajar con ellas debemos tener presente que la línea en una fracción indica una división.
Los siguientes resultados nos ayudan a operar con mayor rapidez:
i) b a a cac b / c b
⋅÷ = = ii) a a /b ac
b c b c÷ = =
⋅ iii) a c a /b a d
b d c / d b c⋅
÷ = =⋅
Efectuar las operaciones indicadas:
1. x21
x31
x61
+− 2. 5
y3x25
y2x3 +−
+ 3.
x24
2x3
−+
− 4.
5x45
5x4x4
++
+
5. 2x
22)²(xx3
++
+ 6.
4x5²x1x2
3x3x6
+−+
+−− 7.
²x3x92x
18²x21x
−+
+−− 8.
4x3²xx
1x2²x5
−−+
++
9. 8x10²x3
3x212x²x6
3x6x²x
7x+−
−−
−++
+−+
− 10. 14
2x.4²x
7 −−
11. 9²x4²x9.
2x3x3²x
−−
−+
EJERCICIOS
ÁLGEBRA
44
12. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
yx1
y1
x1 13.
49x14²x49²x
49x14²x7x7
++−
÷+−
+ 14. 6xx2
2xx1x
3xx22
2
2
2
−+
−+⋅
−
−−
15. 3y3
9y3y3y327y
2
23
−
+−÷
++
16. 5x3
125x9
2x2 +
÷−
+ 17. 9)x6(x3x9x 2
2+−÷
+−
18. 10x11x66x7x3
15x14x89x9x4
2
2
2
2
−−
−−÷
−−
−− 19. h
x32
h3x32
−+
20.
r1r
rr1
r1r
rr1
++
−−
++
21.
x1x
1x21
−
+−
22.
xy
yx
yxyx22
22
−
++ 23.
1aa1
a1a
1aa
+−
+−
− 24. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
++
−−
+−
ab3
ba2b1
bab
baba
25.
x111
11
1
++
++1
26. x +
1xx1
x1
x
++
+ 27.
83
8x
12x
1
++−
28.
1x322
1x
12
++
++ 29.
1x21
11x
1
+−
+−
30. 2
ab
ba
ab
ba
++
− 31.
3y1
3y2y2
3y4y2
1y1
2
22
++
−+
++−
− 32.
10x3x8x6x
15x2x2x3x
2xx12xx
2
2
2
2
2
2
−−
+−÷
−−
+−⋅
−+
−−
1. x3
1 2. 5
yx− 3.
x21−
4. 1 5. 22)x(4x5
+
+
6. 12x15²x321x16²x
+−−+− 7.
x54x612x13x
3
2
−
−− 8. 4)x(1)x(
20x6x2
2
−+
−+ 9. 4)x3)(3x3)(22)(x(x
93x13²x49x3 3
−++−+−−
10. 4x2
1+
11. 3x
x2²x3−+ 12.
xy1 13. 37)(x
7)x8²7(x−
++ 14. 1 15. y 2 + 2y – 3
16. 5x3
2x−+ 17.
3x1−
18. 1 19. h)(xx3
2+
− 20. r1r1
−+ 21. 2x)(1
x+
22. yx
xy−
23. 1)a(a1a
−+ 24.
b5ab3a
+− 25.
3x25x3
++ 26.
1x3xx2x5x
2
23
++
++
27. 2xx
3x2 ++
+ 28. 1x7x66x20x12
2
2
++
++ 29. 21)x(
1)(xx
−
+ 30.
baba
+− 31. 21)y(
y5
+
− 32. 1
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
45
2.6. EXPONENTES Y RADICALES EXPONENTES NEGATIVOS
Anteriormente al estudiar la multiplicación algebraica, vimos las propiedades de los exponentes enteros
positivos. Estas propiedades podemos generalizarlas para los enteros en general, positivos o negativos y
para los exponentes racionales, con ciertas restricciones como veremos posteriormente.
DEFINICIÓN: Si a ∈ R, a ≠ 0 y n ∈ E entonces
1. a0 = 1 2. a1 = a
3. na− = nn
n a1a;
a1
−=
Observemos que en esta definición excluimos la posibilidad de que la base sea 0.
Por un lado la expresión 00 es una forma indeterminada que se estudiará en el curso de cálculo y por otro
lado, la división entre 0 es indefinida.
Puede demostrarse que las propiedades de los exponentes enteros positivos se cumplen en general para
los enteros. Se tiene el siguiente teorema:
TEOREMA: Si a, b ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0, y n, m ∈ E entonces:
1. a n a m = a n+ m 2. mnm
na
aa −= 3. (a n) m = a n m
4. (ab) n = an bn 5. n
nn
ba
ba
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ , b ≠ 0
Simplificar las siguientes expresiones, eliminando exponentes negativos
1. 16
yx4
xyxy
4yx4 62232
3
2
3
1=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−
2. 15
33
5
353
5
1
c8b
c2b
bc2
cb2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−
−
3. ( )( )
( )( )( )( ) xx
xx
xx
x
xxx 23
2
3
12
13
12
131
2
3=====⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−
−−
−−
−−−
−
−
4. ( ) ( )[ ] ( )1
2121
112
1121 r
1r1rrrrrr
−−−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=−+ = ( )
1
21
1221 rr
rrrr
−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −+
=
1
21
21
22
rrrr
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ − = 2
12
2
21
rr
rr
−
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
46
RADICALES. EXPONENTES RACIONALES
DEFINICIÓN: Si a, b ∈R, n ∈ N, y bn = a, entonces decimos que b es raíz n- ésima de “a” y se denota
por b = n a
La expresión n a la llamamos radical. El valor de n es el índice y nos referimos al valor de “a” como la
cantidad sub – radical.
Más adelante se establecerá que un número “a” tiene n raíces n - ésimas reales o complejas.
Se tiene el siguiente teorema que nos indica el número de raíces reales de un número real.
TEOREMA:
La raíz n – ésima de a, n a tiene exactamente
i) dos valores reales b y – b si n es par y a es positivo.
ii) si n es par y a es negativo, no existen raíces reales solo complejas.
iii) si n es impar hay una sola raíz real; positiva si a es positiva y negativa si a es negativa.
En vista de que un número tiene más de una raíz n-ésima es conveniente la siguiente definición
DEFINICIÓN: La raíz n-ésima principal de un número positivo es su raíz positiva y la de
un número negativo, si n es impar, es su raíz negativa.
Así tenemos: La raíz cuadrada principal de 64 es 8
La raíz cúbica principal de 64 es 4
La raíz cúbica principal de – 27 es – 3
NOTA: Cuando nos corresponde extraer la raíz cuadrada de un número positivo hemos de tener presente
que hay dos raíces. Una forma de indicarlo es usar los signos ±.
Así tenemos si x2 = 4, x = ± 4 o sea x = ± 2. Convencionalmente para indicar que se trata de la raíz
cuadrada principal de un número, escribimos el radical sin ningún signo previo: a .
Si queremos referirnos a la raíz negativa escribimos: a− .
La simplificación xx2 = es válida solo si “x” es positiva o cero, ya que en este caso estamos indicando la
raíz cuadrada principal.
Una forma de representar los radicales es usar exponentes racionales.
DEFINICIÓN: Si a ∈ R ; n y m ∈ N,
n1
n aa = ( ) nm
n mmn aaa == siempre que n a sea real.
nm
nm
a
1=
−a ( ) n
mn1
m aa =
ÁLGEBRA
47
Los teoremas sobre las operaciones con exponentes enteros son válidos también para los exponentes
racionales, teniendo el cuidado de recordar que para raíces pares, la cantidad sub-radical debe ser positiva
para no salirnos del campo de los números reales.
TEOREMAS:
a. nnn baab = b. n
nn
ba
ba= , b≠0 c. nmn m aa =
d. mn aa = mn mna + e. mn nmmn baba =
OPERACIONES CON RADICALES DEFINICIÓN. Radicales Semejantes:
Decimos que dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical.
Ejemplos: 33 x6yx;28y23
SIMPLIFICACIÓN:
Se dice que una expresión radical esta simplificada cuando:
i) los factores bajo el radical tienen exponente menor que el índice del radical,
ii) no hay fracciones bajo el radical y
iii) el índice del radical es el menor posible.
Simplificar:
1. 43
6
yx81
Tenemos 81 = 34 , 246 xxx ⋅= . En el denominador aparece y3. En vista de que no debe aparecer una
fracción bajo el signo radical y dado que en el ejemplo se tiene raíz cuarta, rescribimos 43 y
y
y1
=
Luego 43
6
yx81 = 4 24
4
244yx
yx3
yyxx3=
2. 41
251
+
Las propiedades de radicales no contemplan sumas ni restas, sólo productos o cocientes. Por tanto hemos
de realizar primero la suma de las fracciones que aparecen bajo el signo radical.
10029
100254
41
251
=+
=+ luego 41
251
+ = 29101
10029
=
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
48
3. 3 33 ba −− +
Interpretamos el significado del exponente negativo. Al transformarlos en exponentes positivos se forma una
suma de fracciones y procedemos como en el ejemplo anterior.
3 33 ba −− + = 3 333
33
333
33 baab1
baab
b1
a1
+=+
=+
4. 2222 cbba +
Factorizamos la expresión sub-radical y aplicamos las propiedades
2222 cbba + = ( ) 22222 cabcab +=+
5.
SUMA Y RESTA DE RADICALES:
Al sumar o restar expresiones con radicales, reducimos los radicales semejantes.
1. 3 211282 =+
2. 333 x5x6x −=−
3. 3 23 23 23 2 mn3mn5mn3mn =+−
4. )3(43)3(24)33(2483124272 +−=+− = 3103123836 =+−
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES Usamos las propiedades y teoremas sobre radicales y las operaciones multiplicación y división:
1. 1025 =⋅
2 )24103(2 − .= 44203 − = 3 22 2452 −⋅ = 6 5 – 8
3. 7321
321
==
4. ( 2y3xy152x6)y3x6(2)y6x3 ++=++
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )ba
ba1
ba1
bababa
babababa
bababa
22
2222
2
22
−−
=−
=
−−
−=
+−−−
=+−
−
EJEMPLOS
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
49
RACIONALIZACIÓN: En algunas ocasiones es necesario expresar una fracción con radicales en una forma equivalente que no
contenga radicales ya sea en el numerador o en el denominador. Este proceso se llama racionalización.
Si el numerador o denominador que queremos racionalizar, solo tiene un radical, multiplicamos
numerador y denominador por otro radical de igual índice con la cantidad sub-radical tal que, al multiplicarse
por la del radical considerado, tenga raíz exacta.
Racionalizar el denominador de
1. 2
23423
22
23
23
==⋅=
2. 2
25825
22
45
45 3
3
3
3
3
33 ==⋅=
3. 4 24 254 34 22
4 4
4 3
4
4 3
44 xyx
yxx
xyx
x
xxy
x
xxxy
xxy
==⋅
=⋅
=⋅=3
Usando el hecho que ( ) ( ) bababa −=+− podemos eliminar radicales en las
expresiones de la forma ba ± , bastando para ello multiplicar el numerador y el denominador por el
respectivo conjugado. Decimos que ba + y ba − son conjugados.
1. Racionalizar el denominador de 353353
−
+
El conjugado del denominador es 353 + , luego
353353
−
+ = 353353
−
+ • ( )( ) ( )22
2
353
353353353
−
+=
++
= 359
3353259−⋅
+⋅⋅+⋅ = 7
15842
15648 +=
+
2. Racionalizar el denominador de y3x62y6x3
−
+
El conjugado del denominador es y3x62 + . Multiplicando numerador y denominador por esta
expresión obtenemos:
y3x62y6x3
−
+=
y3x62y6x3
−
+•
y3x62y3x62
+
+ =
y3x242y3xy152x6
−
++
EJEMPLOS
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
50
En algunas ocasiones aparecen tres o más radicales con raíces cuadradas, en tal caso agrupamos
convenientemente formando un binomio. La aplicación reiterada del proceso anterior nos conduce a la
racionalización.
Racionalizar el denominador de 1052
52−+
−
Si escribimos 10)52( −+ su conjugado será 10)52( ++ , luego
( ) ( )( )( ) ( ) 1023
25523
1052
2552310521052
105252
105252
2 +−
−+−=
−+
−+−=
++
++⋅
−+
−=
−+
−
El conjugado del nuevo denominador es 1023 −−
31
25514106910231023
102325523
−−++
=−−−−
⋅+−
−+−
Cuando aparecen raíces cúbicas usamos el hecho que ( )( ) 3322 babababa ±=+± m
Racionalizar el numerador de x
22x 33. −+
SOLUCIÓN
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) 333. 2
333. 2333. 2
3333.
333. 2
333. 233.33.
44x22x
1
42)2(x2xx
22x
42)2(x2xx
22x
42)2(x2x
42)2(x2xx
22xx
22x
++++=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++
−+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++
−+=
++++
++++⋅
−+=
−+
1) Complete los espacios en blanco:
1. a7 = a3 • a 2. nn
n1 9
6 = 3. 53 xx
x1
=
2) Simplificar eliminando exponentes negativos y fraccionarios.
1. ( )0800 2. 58
1023
10101010⋅
⋅−
3. 1−
−
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡2
3
xx
4. ( ) 21/44yx9 − 5. 2/1
56
340
zyx16zyx5
−
− ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
6. 20
31
4526−
−−
+
+ 7. 2/3
2/12
aaa −
8. 5
031
st)(2ts8
−
−− 9. )b)(aba( 2/12/12/12/1 −+
EJEMPLO
EJEMPLO
EJERCICIOS
ÁLGEBRA
51
10. 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +6
2/12/1
aba 11. [ ] 11
21
11 )r(r1)(r −−− −− 12. 3−
−−−
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3/73/23/1
43/43/2
wvuwvu
13. 51/
2/16/13
23/24/3
zyxzyx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−− 14.
2
xy
yx −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 15.
11
2712
10x52
10x5010x644−−
−
).(
).().(
3) Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas
1. 9273 x)(x)(x =⋅ 2. 9273 x)(x = 3. 3233 2)(2 = 4. 8223 =⋅ −+ ππ 5. 6312 5)(5 =
4) Simplificar los siguientes radicales:
1. 42
42
zyx64
2. 3 75yx81 3. zyx16 72
4. 26yx36 5. 91
161
+ 6. 2x4
x41 +−
7. 22 y2xy4x2 +− 8. 22
x12)(x ++ 9. ( )222 t21t8 −+ 10.
( )( )22
2
babab)(a
−
+− 11.
( ) ( )bababa
2
22
−+
−
12.x12x +− 13.
x96x ++ 14. 3 2yx5
5) Efectuar las siguientes operaciones:
1. 25 ⋅ 2. 6201
61
59
+−− 3. 2222 xy25yxxy42yx95 −+−
4. ( 3 – 2 ) 2 5. ( )24532 − 6. ( )2ba − 7. ( )( )yxyx +−
8. (1 – x )2 9. (2 x – 3)2 10. ( 3 – 2 2 ) (2 3 + 2 )
11. ( )( )a263a263 −−−+ 12. 3153 ⋅ 13. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ab
ba2ab
ba3
14. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 1xy
yxxy
yx 15. ( )( )n2mn3n3mn2 +− 16.
24328273 +−
17. ( ) 23164−− /
4.5 18.
31
32
4
2+
19. 12
3
3
9
6) Racionalizar el denominador:
1. y3x2 2.
73 3.
1x4−
4. 36
36
+
− 5.
7x416x3−−
− 6. 1052
52++
+
7. 22h
h−+
8. 33 571−
9. 23
1−
10. 523
1025+
+ 11 . y3x62y6x3
−
+
ÁLGEBRA
52
12. 1a1
1a++
+ 13. 5x23
2x++
− 14.236
1++
15. ac4bb
a22−+−
16. 4 4503188 −
17. 724
73
+
− 18. 353353
−
+ 19. ba9
ba−−
− 20. ( ) zyx1
− 21.
11hh
3 −+
7) Sin usar calculadora, determine el valor de x si :
a) x = 43
167
43
167
−++ (*) b) x = 3 549 + + 3 549 − (*)
8) Resuelva:
1. El período (en segundos) para un ciclo de un péndulo simple está dado por T =gLπ2 , donde L es la
longitud del péndulo y g la aceleración debido a la gravedad. Halle T si L = 3 pies y g = 32 pies/seg 2
2. En problemas sobre transferencias de masa aparece la expresión 3u
MDu
dG⋅ . Exprésela con un solo
radical.
3. Si MRT3
=v , halle v si T = 300ok, R = 8.31 x 10-7 erg/ ° k . mole, M = 32 gr/mole.
4. Para un cierto gas, el producto del volumen (v) y la presión (p) es 165 atm-cm3. Si la presión es 1.08 x
10-2atm, ¿Cuál es el volumen?
5. Una expresión aproximada de la eficiencia de un motor está dada por E = 100(1-R-2/5) %
donde R es la razón de compresión. ¿Cuál es la eficiencia de un motor para el cual R = 32
243 ?
9) Factorice (1) 0x4x2 =+− 33 (2) 03x)3(2x2 2 =−−+
10) Si x = 32 + , 32
1+
=y , 2
51+=z verifique que 1x10x 24 −= 1y10y 24 −=
z111
1z
+−
=
11) Verifique que 1) 105353 =−++ 2) 147474 =−++ 3) 14215215 =−++
4) ( ) ( ) 3331299 =−++ 55 5) ( ) ( ) 933
211 =−++ 8585
ÁLGEBRA
53
1) Complete los espacios en blanco:
1. 4 2. 15 3. 2
2) Simplificar eliminando exponentes negativos y fraccionarios.
1. 1 2 . 1036 3. x 4. 2
2
xy3
5. yx
z45
2 6.
5114 7.
a1a 2/1 − 8. 4s2 t5 9. a – b
10. 12abab2a ++ 11. ( )( )121
21rr1r
rr−−
12. 6
5
vuw 13. 2/14/3
6/1
zxy
14. 4224
22
yyx2xyx
+−
15. 29 3) 1. F 2. V 3. F 4. V 5. V
4) Simplificar los siguientes radicales:
1. xz2zy2
2. 3 22 yx3xy3 3. yzzxy4 3
4. 6x3 y 5. 125 6. ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
x21
7. ( ) 2yx− 8. x1x+ 9. 1 + 2t2 10. ba− 11. ba
ba1
++
12. ( )
xx1x−
5) Efectuar las siguientes operaciones:
1. 10 2. 6655
21
+ 3. 16x y – 9y x 4. 6 – 2 5. 8103 − 6. a – 2 ab + b 7. x – y
8. 1 – 2 x +x 9. 4x – 12 x + 9 10. 2 – 3 6 11. 3 + 2a 12. 6 6075 13. baa5ba6
+−
14. xyxyxyy1
yx
+−− 15. 6mn – 5n n6m − 16. 13 17. 20 18. 1/4 19. 1
6) Racionalizar el denominador :
1 y3xy6
2. 7
73 3. 1x
1x4−− 4.
1111332 − 5. 7)x4(1
43
−+−
6. 31
235526102061 −−+ 7. 22h ++ 8. 2
253549 333 ++ 9. 23 +
10. 13
255610530 −+− 11. yx8
2yxy52x2−
++ 12.
a1a1a +−+ 13.
235x2 −+
14. 23
1263527 −−+ 15. c2
ac4²bb −−− 16) 9 17. 6
1375 − 18. 7
158 +
19. ba81
ba9ba+−−+− 20.
yzxzyzxz
−+
21. 11h1)(h 33 2 ++++
7. a) 1 b) 3 8. 1) 1.924 seg 2) 65
2233
uDMGd 3) 4.8344x10-3 4) 15,277.77 cm3 5) 55%
9. 1) ( )( )33 −− x1x 2) 1)(x)3x(2 +−
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
54
2.7. NÚMEROS COMPLEJOS
Cuando definimos la raíz n-ésima de a, n a , afirmamos que si n es par y a es negativa, no existen raíces
reales. Así por ejemplo 4− no tiene raíz real, ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado dé – 4. En general todo número real positivo o negativo, al ser elevado al cuadrado o a cualquier potencia par, conduce a un número positivo. Por esta razón se presentó la necesidad de definir un nuevo sistema numérico que permitiera la extracción de raíces pares de números negativos, lo cual es una operación que se presenta en muchas aplicaciones de las Matemáticas. Este sistema se conoce como el Conjunto de los Números Complejos, C. Cuando el radicando en una raíz cuadrada es negativa, podemos expresarlo como el producto de 1− y la raíz cuadrada del número positivo respectivo, obteniéndose lo que llamamos un número “imaginario”. El símbolo 1− es definido como la unidad imaginaria y generalmente se denota por i, i = 1− , lo que equivale a i2 = – 1 (En las aplicaciones de Ingeniería Eléctrica se usa j en lugar de i, ya que generalmente se usa la i para representar la corriente eléctrica). Tenemos por ejemplo 1) i2141)(4)(4 =−=−=−
2) Si x2 = –16 entonces x = 16−± = ± 4 i
3) ( ) ( )2i332=− = – 3 (*)
(*) Debemos notar que los números imaginarios no satisfacen la propiedad de los radicales de números reales que establece que nnn abba = , así por ejemplo 6369)(4)(94 ==−−≠−− .
Lo correcto es 94 −− = (2 i)(3 i) = 6 i2 = – 6. DEFINICIÓN Un número complejo z es una expresión de la forma z = a + b i, donde a y b son números reales e “i” es la unidad imaginaria, i = 1− . Decimos que a es la parte real, lo cual se denota por Re (z) = a y b la parte imaginaria lo que se denota por Im(z) = b. ◊ Cuando b = 0, obtenemos un número real, z = a, por lo que ℜ ⊂ C ◊ Cuando a = 0, obtenemos un número imaginario, z = b i . Los números complejos no son ni positivos ni negativos en el sentido ordinario de estos términos. Pero sus partes real e imaginaria, como números reales si pueden serlo. La representación de un número complejo en la forma z = a + b i se conoce como “forma rectangular”. Existen otras formas de representación, la forma trigonométrica y la forma exponencial, que se estudiarán posteriormente. IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS Dos números complejos z1 = a + b i y z2 = c + d i, decimos que son iguales si y sólo si a = c y b = d. Ejemplos i) si 3 + u i = x – 2 i , entonces x = 3 y u = – 2 ii) si 4 – 6 i – x = i + y i, entonces 4 – x = 0 y 1 + y = – 6 o sea x = 4 y y = – 7 .
ÁLGEBRA
55
EL MÓDULO O VALOR ABSOLUTO de un número complejo z = a + b i es la longitud del vector de posición asociado a dicho número. Se denota por | z | y está dado por
| z | = 22 ba + .
1) si z = 3 – 4 i , entonces | z | = 5251694)(3 22 ==+=−+
2) si z = 5 + 12 i , entonces | z | = 13169125 22 ==+
El CONJUGADO de un número complejo z = a + b i, denotado por __z está dado por
__z = a – b i, es decir el número complejo obtenido al cambiar el signo de la parte imaginaria.
i) si z = 3 – 4 i, entonces z = 3 + 4i ii) si z = – 2 + 3 i, entonces z = – 2 – 3 i
iii) si z = 8i, entonces su conjugado es __z = – 8i iv) si z = 5, entonces
__z = 5
OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS COMPLEJOS Las operaciones básicas suma, resta, multiplicación y división de números complejos, representados en la forma rectangular, se definen de manera similar a como se definen para números reales, con el cuidado de tener presente el significado de “i”. Si z1 = a + b i y z2 = c + d i, entonces se tiene: SUMA Y RESTA i) z1 + z2 = (a + c) + ( b + d) i ii) z1 – z2 = (a – c ) + ( b – d ) i MULTIPLICACIÓN iii) z1· z2 = (a + bi)(c + di) = (ac – bd ) + (ad + bc) i DIVISIÓN
iv) i222222
21
2
1
dcadbc
dcbdac
di)(cdi)(cdi)(cbi)(a
zzzz
zz
+
−+
+
+=
−+−+
=⋅
⋅=
◊ En la práctica no es necesario memorizar estos resultados, sino más bien el procedimiento para obtenerlos. Así tenemos que para efectuar la multiplicación, procedemos similar a cuando multiplicamos
binomios, teniendo presente que i2 = – 1, y para efectuar la división 2
1zz
multiplicamos el numerador y el
denominador por el conjugado del denominador. 1. Si z1 = 2 – 3i, z2 = – 5 + i, efectúe a) z1 + z2, b) z1 ⋅ z2 c) z1 / z2 d) (z1 + z2)2 a) Para realizar la suma de dos números complejos procedemos similar a la reducción de términos semejantes en la suma de polinomios
z1 + z2 = (2 – 3i) + (– 5 + i) = – 3 – 2i
EJEMPLOS
EJEMPLOS
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
56
25 4 – 24 6 k 1
35 4 – 32 8 3 k
b) Para realizar el producto de dos números complejos una forma es identificar las partes reales e imaginarias de cada número y sustituir estos valores en la expresión correspondiente al producto de dos números complejos. En el ejemplo se tiene a = 2, b = – 3, c = – 5 y d = 1. La parte real del producto es ac – bd = (2) (– 5) – (– 3) (1) = – 1 0 + 3 = – 7 La parte imaginaria ad + bc = (2) (1) + (– 3) (– 5) = 2 + 15 = 17 Luego z1 ⋅ z2 = – 7 + 17i Otra forma es aplicar la propiedad distributiva y proceder en forma similar como si estuviéramos multiplicando dos binomios. (2 – 3i) (– 5 + i) = 2 (– 5 + i) – 3i (– 5 + i) = – 10 + 2i + 15i – 3 i2 = – 7 + 17i
c) Tenemos que 22
21
2
1zzzz
zz
⋅
⋅= , luego determinamos el conjugado del denominador y procedemos a efectuar
los productos indicados y finalmente simplificar.
i21
21
26i1313
125i1313
i5i5
i5i32
i5i32
zz
2
1 +−=+−
=++−
=−−−−
⋅+−
−=
+−−
=
d) Recordemos que (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2, luego (z1 + z2)2 = (– 3 – 2i)2 = (– 3)2 + 2 (– 3) (– 2i) + (– 2i)2 = 9 + 12i – 4 = 5 + 12i POTENCIACIÓN Es muy útil considerar el comportamiento de las potencias de la unidad imaginaria. Tenemos: i0 = 1 , i1 = i , i2 = – 1 , i3 = - i , i4 = 1 , i5 = i , i6 = – 1, ... Los resultados forman un ciclo de cuatro valores distintos: 1, i, – 1, – i ,.., por lo que en general kn ii = , donde k es el residuo al efectuar n ÷ 4, así por ejemplo 1) i 25 = i 1 = i 2) i 35 = i 3 = – i , ya que Para obtener potencias de números complejos, z = a + b i, una forma es aplicar el binomio de Newton y luego simplificar el resultado considerando las potencias de i. Si z = 3 + 4i, encuentre z4 (3 + 4 i)4 = 34 + 4(3)3 (4i) + 6(3)2 (4i)2 + 4(3)(4i)3 + (4i)4
= 81 + 432 i + 864 i2 + 768 i3 + 256 i4 = 81 + 432 i – 864 – 768 i + 256 = – 527 – 336 i OTRAS PROPIEDADES
1. z + z = 2 Re(z) 2. z – z = [ 2 Im(z)] i 3. =z = z
4. 2121 zzzz +=+ 5. z⋅ z = |z|2 6. 2121 zzzz =
7. 2
1
2
1zz
zz
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
EJEMPLO
ÁLGEBRA
57
1. Realice las operaciones indicadas, expresando el resultado en la forma a+bi
a) 3 + 9− b) 6 – 64− c) 12300 −÷− d) 40.01 −+−−
e) i7 + i2 – i6 f) 5032818 −−+−−
2. Efectúe
a) (3 + 2i) + (– 5 + 7i) b) (7 + 9i) – (6 + 4i) c) (6 – 4− )( 9− ) d) (4 – 3i) + (2i – 8)
e) 3 (– 1 + 4i) – 2 (7 – i ) f) (3 + 2i) (2 – i ) g) (2 + i) (– 9 – 6i) h) (7 – 2i) ÷ (3 + 4i)
i) (6 + i) ÷ 2i j) (i3 + 2i) ÷ (1 – i5) k) (1 + i) (1 – i) 2 l) 10827 −+− m) i43
4+
n) i52
i6−
ñ) i4i32
−− o) ( )4i22 − p) ( )( )1675645 −+−− q) (1 + i) 3
r) 7 i3 – 7 9− s) ( i – 2 ) [ 2 (1 + i) – 3 (i – 1 )] t) (4 + i) (3 + 2i) (1 – i )
u) 2i)(1i)2(1i)2(3i)(2
−
+−+ v) (2i – 1) 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+− i1
i2i1
4 w) 15i10i5i2
16i9i4i−+−
++ x) 3 2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
i1i1 – 2 3⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
i1i1
3. Si z = 1 – i , w = – 2 + 4i y u = 3 – 2i, hallar el valor numérico de cada expresión
a) z2 + 2z – 3 b) 2z3w2 − c) ( )5uu− d) wzwz + e) iwz1wz
+−++
f) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
uu
uu
21 g) u)(zu)(w −+
4. Encontrar a) Im ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
i7i43 b) Re
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−
i32i32 2
c)2i34
1|| +
d) [ Im ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
i3i31 ]3
1. a) 3 +3i b) 6 – 8 i c) 5 d) 1.9 i e) – i f) i2222 +−
2. a) – 2 + 9i b) 1 + 5i c) 6 + 18i d) – 4 – i e) – 17 + 14i f) 8 + i g) – 12 – 21i h)
i2534
2513
− i) 0.5 – 3i j) – 0.5 + 0.5 I k) 2 – 2i l) 9 3 i m) 0.48 – 0.64i n) i2912
2930
+−
ñ) i1710
1711
− o) –16 p) – 195 + 260i q) – 2 + 2i r) – 28i s) – 9 + 7i
t) 21 + i u) i5+−
215 v) i
223
211
−− w) 2 + i x) – 3 – 2i.
3. a) – 1 – 4i b) 170 c) – 1024 i d) 12 e) 53 f) –
71 g) – 7 + 33 + 3 i
4. a) 5031 b)
1346
− c) 251 d)
12564
EJERCICIOS
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
58
2.8. ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
Una ecuación algebraica es una proposición abierta que establece la igualdad de dos expresiones
algebraicas.
El conjunto de valores de la(s) variable(s) para los cuales están definidas las expresiones algebraicas,
recibe el nombre de dominio de la ecuación.
El conjunto de valores de las variables que hacen cierta la ecuación, se llama conjunto solución o raíces. Es posible que el conjunto solución tenga infinitos, varios, sólo uno o ningún elemento.
Ejemplos:
x2 – 4 = (x – 2) (x + 2) x ∈ R infinitos valores
x2 + x = 2 x ∈ {1, – 2} dos valores
2x – 3 = 23
2x+ x ∈ {3} un valor
3 x – 5 = 3x+1 x ∈ Φ ninguno
Resolver una ecuación, es encontrar los valores de las variables o incógnitas para los cuales se satisface
la igualdad, es decir encontrar el conjunto solución.
◊ Dos ecuaciones que tengan el mismo conjunto solución, decimos que son equivalentes.
◊ Para resolver una ecuación usamos los axiomas de la igualdad y los teoremas válidos en el dominio, de
manera que obtengamos una ecuación equivalente con la incógnita despejada.
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD 1. REFLEXIVIDAD. a = a. (Todo número es igual a si mismo).
2. SIMETRIA a = b ⇔ b = a
3. TRANSITIVIDAD a = b ∧ b = c ⇒ a = c
4. i) a = b ∧ c ∈ R ⇒ a + c = b + c ∧ ac = bc ii) a = b ∧ c ∈ R, c ≠ 0 ⇒ cb
ca=
ECUACIÓN LINEAL CON UNA VARIABLE REAL.
Una ecuación de la forma ax + b = 0, donde a, b ∈ R, a ≠ 0 o cualquier ecuación equivalente a esta
ecuación, recibe el nombre de ecuación lineal o ecuación de 1er grado en una variable real.
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 4x –3 = 5 4x = 8 Sumamos 3 a cada lado
∴ x = 2 Dividimos entre 4 cada lado
2. 2x415x
31
−=− 4x– 60 = 3x – 24 Multiplicamos cada lado por 12, que
es el m.c.m. de los denominadores x – 60 = – 24 Restamos 3x a cada lado
∴ x = 36 Sumamos 60 a cada lado
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
59
3. 103
2y
5y
=+ 2y + 5y = 3 Multiplicamos por 10 cada lado
7y = 3 Reducimos términos semejantes
y = 73 Dividimos entre 7 cada lado
4. 8x4
5x7=
+ 7x + 5 = 32x Multiplicamos por 4x, x ≠ 0
5 = 25x Restamos 7x a cada lado 25x = 5 Propiedad reflexiva de la igualdad
x = 51 Dividimos entre 25 a cada lado
5. 2x6
76x
5=
−+
− 2
x67
6x5
=−
+−
Multiplicamos el numerador y el
denominador de la segunda fracción por –1
2=−−
6x2 Efectuamos la resta de fracciones
– 2 = 2(x-6) Multiplicamos por x – 6, x ≠ 6 – 2 = 2x-12 Efectuamos la operación indicada 10 = 2x Trasladamos y reducimos 2x = 10 x = 5 Simplificamos cada lado
6. 21
5x2
14x3
10x2
−+
=−
−
Buscamos el mcm de los denominadores. En este caso es 70. Multiplicamos cada miembro por este valor para eliminar los denominadores y luego procedemos como en los ejemplos anteriores:
70 ⋅ ( )21
5x2(70)
14x3
10x2
−+
⋅=−
−
14x – 5 (3 – x) = 14 (2 +x ) – 35 14x – 15 + 5x = 28 + 14x – 35
5x = 8 ∴ x = 58
7. Despejar m de p1
n1
m1
=+
pnpn
n1
p1
m1 −
=−= Restamos n1 a cada lado y reducimos el lado
derecho
pnpnm−
= Escribimos el inverso multiplicativo de cada lado
ÁLGEBRA
60
Resolver las siguientes ecuaciones
1. 4x – 1 = 31 2. 2x + 3 = 7 3. 35 x = 60 4. 7a + 114 = 9a + 6 5. 3(x + 4) + x = 20
6. 21 x (2x – 8) = – x (4 – x) 7. 13x – 6(x + 3) = 10x – (3x + 2) 8. 4 + x + x2 = 7 – x (2 – x)
9. x (3x + 2) + 4 = 3 (x2 + x) 10. 12x + (6 – 4x) = 3x – (9x – 27) 11. x5 + 1 =
x8 + 7
12. x7 – 2 = 8 +
x1 13. ( ) ( ) 8x644x231 −−=−− 14.
2x4x
4x2x
8x6x7x
2 −−
=−−
++−
+
15. 2a524
2a3
−=+ 6. ( ) 1.2x0.71x20.3 −=− 17. 12r1
82r3
−=+
18. 37
2t3t518
=+− 19.
4x21x4
8x37x6
−−
=++ 20. ( ) ( ) 4x1x33x 323 +=−−+
21. 53
x2131
4=+
+−
22. 12
52
x525
=
−−
+ 23.
83
24x
43x
=−
−+
24. 4
1x253
2x −−=
+ 25. 2 – 5x
x55x
25+
=+
26. 1x2
x641x2
3−
=+−
27. 6x3
2x4x2
2x31
++
=+−
− 28. 0=−−
−+−
−x5
x3x11
9x6x22x5
22 29. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
nrRIE despejar n
30. 21
21RRRR
R+
= despeje R1 31. 46tb2 = b2 – ( 2bt + 3b2 ) despeje t 32. ( )a1rr1h
ce −+= despejar a
33. ( )[ ]120 tt1LL −α+= i) despejar α ii) despejar t2 34. F = 95 C + 32 despeje C
35. 221γD
LVμ32pp =− despejar μ 36. l = a+(n –1) d despejar n 37. S =2n [ 2a + ( n – 1 ) d ] despeje d
:
1. 8 2. 2 3. 36 4. 54 5. 2 6. x ∈ ℜ 7. x ∈ φ 8. 1 9. 4 10. 3/2 11. – 1 / 2
12. 3/5 13. –3/2 14. 1 15. –1/2 16. 9 17. 18/11 18. 10/9 19. –20/39 20. –2/3 21. –2 22. –29
23. 19/2 24. 5.5 25. x ∈ φ 26. x ∈ φ 27. 2 28. – 4 29. IREIr
n−
=
30. 1RR
RR
2
21 −= 31.
1b23bt+
−= 32.
c
cehr
1hrhra
−+= 33. i)
)t(tLLL
α12o
o−
−= ii) 1
00
2 tL
LLt +
−=
α 34.
C = 59
(F – 32) 35. LV32
)p(pγDμ 21
2 −= 36.
daldn −+
= 37. 1)n(nan)(S2d
−−
= 38. f = 21
21dd
dd+
EJERCICIOS
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
61
ECUACIÓN CUADRÁTICA Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado, con una variable, es una ecuación de la forma
ax2+ b x + c = 0, a, b, c ∈ R, a ≠ 0
Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces, las cuales pueden ser iguales o no, reales o complejas.
Así por ejemplo.
1. la ecuación x2 – 2x+1 = 0 tiene dos raíces iguales x1 = x2 =1
2. la ecuación x2 + x – 2 = 0 tiene dos raíces reales distintas, x1 = –2 y x2 = 1
3. la ecuación x2 + x + 1 = 0 tiene dos raíces complejas conjugadas:
x = i23
21+
− , x = i23
21−
−
Veamos los métodos para la resolución de ecuaciones cuadráticas.
1. SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN Usamos este método cuando notamos que podemos obtener rápidamente la Factorización de ax2+ bx + c.
En este caso tendremos.
ax2 + bx + c = 0 ⇒ (dx + e) (fx + g) = 0
⇒ d x + e = 0 ∨ f x + g = 0
luego x1 = de− ∨ x2 =
fg−
Resolver usando factorización la ecuación x2 + 8x – 20 = 0
SOLUCIÓN:
x2 + 8x – 20 = ( x + 10) (x – 2) = 0 (Factorizamos)
x + 10 = 0 ∨ x – 2 = 0 (Igualamos cada factor a cero )
x = – 10 ∨ x = 2 (Despejamos la variable)
∴ El conjunto solución es: x ∈ { – 10, 2 }
2. SOLUCIÓN POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS Este método tiene un interés más teórico que práctico, dado que nos conduce a obtener una fórmula
general, y por otro lado el método en si mismo es muy útil en otras aplicaciones que se verán
posteriormente.
Esquemáticamente los pasos son los siguientes:
ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx = – c (Transponemos el término independiente)
acx
abx2 −=+ (Dividimos entre el coeficiente de x2)
2
2
2
22
a4b
ac
a4b
abxx +−=++ (Completamos un trinomio cuadrado perfecto adicionando la mitad
del coeficiente del segundo término elevado al cuadrado a cada lado)
EJEMPLO
ÁLGEBRA
62
2
22
a4ac4b
a2bx −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + (Factorizamos el lado izquierdo y sumamos el lado derecho)
2
2
a4ac4b
a2bx −
±=+ (Extraemos raíz cuadrada)
a2ac4b
a2bx
2−
±−= (Despejamos la variable)
a2ac4bbx
2−±−
= (Simplificamos)
Resolver completando cuadrados la ecuación 4x2 + 16x +15 = 0
SOLUCIÓN:
4x2 + 16x +15 = 0 ⇒ 4x2 + 16x = –15 ⇒ x2 + 4x = 4
15− ⇒ x2 + 4x + 4 =
415
− + 4
⇒ (x + 2)2 = 41 ⇒ x + 2 =
21
± , x = – 221
±
25
212x1 −=−−=∴ ∨
23
21
−=+−= 2x2
x ∈ {23,
25
−− }
3. SOLUCIÓN POR MEDIO DE LA FÓRMULA GENERAL Al aplicar el método anterior se obtuvo una expresión que tiene validez general para las ecuaciones de
segundo grado:
ax2 + bx +c = 0 ⇒ a2
ac4bbx2−±−
=
Basta la identificación de los coeficientes a, b y c, sustituirlos en la fórmula y teniendo el cuidado con los
signos, efectuar las operaciones indicadas y fácilmente obtenemos las raíces.
1. Resolver 6x2 +11x – 10 = 0
Solución: Identificamos que a = 6, b = 11 y c = –10. Sustituimos en la fórmula general
a2ac4bbx
2−±−
= = 12
191112
24012111 ±−=
+±−
∴ x1 =25
1230
121911
−=−
=−− ∨ x2 =
32
128
121911
==+− ∴ x ∈ {
23,
25
− }
EJEMPLO
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
63
2. Despejar x de y = x2 – x + 4
Solución:
Reacomodando tenemos x2 – x + 4 – y = 0, lo que representa una ecuación cuadrática para x. Luego
aplicamos la fórmula general, teniendo a = 1, b = – 1 y c = 4 – y, resulta
x = (1)2
y)(4(1)41)(1)( 2 −−−±−− =
215y41 −±
Una ventaja adicional surge de este método, ya que nos permite determinar el tipo de raíces que
tiene la ecuación, al observar el valor de b2 – 4ac.
Tenemos:
i) Si b2 – 4ac = 0 la ecuación tiene dos raíces reales e iguales x1 = x2 = a2
b−
ii) Si b2 – 4ac > 0 las raíces son reales y distintas
iii) Si b2 – 4ac < 0 las raíces son complejas conjugadas
La expresión b2 – 4ac se conoce como discriminante
Por otro lado resulta que los valores de las raíces están relacionados con los coeficientes de la ecuación.
• Propiedades de las raíces:
Si x = r1 y x = r2 son raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces
a. (x – r 1) (x – r 2) = 0 es una ecuación equivalente
b. r1+ r2 = ab
− c. r1· r2 = ac
1. Si x2 + x + k = 0, hallar el valor de k de manera que una raíz sea x = 2
Tenemos a = 1, b = 1 y c = k y r1+ r2 = ab
− , luego r1 + r2 = – 1 ∴ r2 = – 1 – 2 = – 3
De r1 r2 = c/a, a = 1 y c = k resulta k = r1 r2 = (2) (– 3) = – 6
2. Si una de las raíces de la ecuación x2 + 8x + k = 0 es el triple de la otra, halle el valor de k.
Tenemos r1 = 3 r2, r1 + r2 = – 8 luego 3 r2 + r2 = 4r2 = – 8 ∴ r2 = – 2 ∧ r1 = – 6
Además r1 ⋅ r2 = k, por tanto k = (– 2) (– 6) = 12.
I. Sin resolver, indique el tipo de raíces de las siguientes ecuaciones:
1. x2 + 4x + 4 = 0 2. 4x2 + 20x + 20 = 0 3. 2 x2 + 5 = 2 10 x 4. 3 x2 + 5x = 2 5. x2 – 3x – 8 = 0
6. x2 – 8x = – 25 7. x2 + 6x – 9 = 0 8. 7 x2 – 2 14 x + 2 = 0 9. x2 – x + 3 = 0
II.Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones
1. (5x – 10) (4x + 24) = 0 2. (6x – 18) (7x + 14) = 0 3. x ( 7x + 28) = 0
4. (x1 – 3) (
x2 + 4) = 0 5. 9 x2 + 72 x = 0 6. 2 x2 – 15x – 8 = 0
EJEMPLOS
EJERCICIOS
ÁLGEBRA
64
III. Resuelva las siguientes ecuaciones
1. 15x2 + x – 6 = 0 2. 54x2 – 9x– 30 = 0 3. 2x2 + x – 1 = 0 4. x2 + 2x + 1 = 0
5. 9x2– 36x+1 = 0 6. x2 – 14x+ 65 = 0 7. 1x4x
1x2x
2
2
++
=−
+ 8. 38
1x1
x1
=−
+
9. 1=+
−− 1x
22x
4 10. 4x3x
1420x9x
x5x4x
18222 −−
++−
=−−
11. 2x3x
3x6xx
9x3x2x
7x222 +−
−=
−+
−+
−+
+ 12. 6x 2 + 11x – 10 = 0 13. 6 – x – 15x2 = 0
14. 3x2
2x2x3
1x−−
=++ 15. 20x2 + 7 = 33x 16. x (8x + 19) = 27 17. 01x4
2x3 2
=−−
IV. Despeje la(s) variable(s) indicadas
1. De v = hr31 2π despeje r 2. s = t0
2 vgt21
+ , despeje t
3. 1=− 2
2
2
2
by
ax i) despeje x, ii) despeje y 4. 4x2– 4xy + 1 – y2 =0 i) despeje x, ii) despeje y
V.
1. Si 4x2 – 3x + k = 0, encuentre el valor de k de manera que una raíz sea x1 = 3
2. Si 3x2 + k x – 2 = 0, encuentre el valor de k de manera que la suma de las raíces sea 6.
3. Si (2k + 2 ) x2 + ( 4 – 4k ) x + k – 2 = 0 , determine el valor de k de manera que una de las raíces sea recíproca de
la otra. Encuentre el valor de las raíces.
4. Hallar el valor de k de manera que una de las raíces de x2 + kx + 11 = 0 sea 132 −
5. Si x52x2 =+ ¿Cuál es el valor del discriminante? I. 1. reales e iguales 2. reales y distintas 3. reales e iguales 4. reales y distintas 5. reales y distintas 6.
complejas conjugadas 7. reales y distintas 8. reales e iguales 9. complejas conjugadas.
II. 1. {– 6, 2} 2. {– 2, 3} 3. {– 4, 0} 4. { 31,
21
− } 5. {– 8, 0} 6. { 21
− , 8}
III. 1. x = – 2/3, x = 3/5 2. x = –2/3, x = 5/6 3. x = – 1, x = ½ 4. x = – 1 5. x = 3
356 ±
6. x = i47 ± 7. x = 2 8. x = 1/4, x = 3/2 9. x = –2, x = 5 10. x = 1, x = 2 11. x = 4
12. x = 2/3, x = –5/2 13. x = 3/5, x = – 2/3 14. x = 3.30277, x = – 0.30277 15. x = 1.4, x = 0.25 16. x = 1, x =
– 3.375 17. x = 2.8968, x = – 0 .230138
IV 1. hv3r
π= 2.
ggs2vv
t200 ++−
= 3. 2222 axaby,yb
bax −±=+±=
4. 2
2y 2y 1x ,y 2x 8 x 1
2± −
= = − ± + V. 1. k = – 27 2. k = – 18 3. k = – 4, 1 21x 3, x3
= = 4. 4 3−
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
65
ECUACIONES IRRACIONALES Entre ellas tenemos aquellas en las que aparecen variables bajo el signo radical.
Para resolverlas generalmente hemos de aislar un término que lleve radical y elevarlo a la potencia que
elimine dicho radical y luego resolver la ecuación resultante. En ecuaciones con más de un radical hay que
reiterar el proceso.
Las soluciones encontradas inicialmente, siempre deben verificarse dado que en el proceso de eliminar
radicales se introducen raíces extrañas que deben ser descartadas.
Resolver las siguientes ecuaciones
1. 62x3x2 =−+
Aislamos el radical: x262x3 −=−
Elevamos al cuadrado 3x – 2 = (6 – 2x) 2
para eliminar el radical: 3x – 2 = 36 – 24x + 4x2
Resolvemos la ecuación resultante: 4x2 – 27x + 38 = 0
8
11278
60872927 ±=
−±=x
Se obtiene inicialmente: x1 =4
19 y x2 = 2. Verificamos las raíces en la ecuación original:
x1 = 6≠=+=+=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒ 13
27
219
449
2192
4193
4192
419
No satisface la ecuación, por tanto se descarta.
x2 = ( ) ( ) 62444223222 =+=+=−+⇒ satisface la ecuación
Luego la solución de la ecuación es x = 2
2. 9x4x5x +=++
Elevemos al cuadrado ambos lados: 22 )9x4()x5x( +=++ =
( ) ( ) 9x4x5xx25x +=++++
Aislamos (despejamos) el término que quedó con radical, realizando las operaciones indicadas:
4x25x29x4x5x2 2 +=−−+=+
2xx5x2 +=+
Elevamos de nuevo al cuadrado cada lado, se obtiene: 4x4xx5x 22 ++=+ , luego al simplificar resulta
x = 4
Verificamos : ( ) 944454 +=++ ⇒ 2549 =+ , 3 + 2 = 5, se cumple,
luego la solución es x = 4
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
66
3. 1x811x49 =+−+
Rescribimos la ecuación de manera que queden separados los radicales
x8111x49 ++=+
Elevamos al cuadrado cada lado y simplificamos
x8112x812x)8(11x81121x49 +++=++++=+
Separamos el radical y luego elevamos al cuadrado
x8112x812x49 +=−−+
( ) ( )2x8112x43 2 +=−−
9 + 24x +16x2 = 4(11 + 8x) = 44 + 32x
Al simplificar y reordenar obtenemos la ecuación cuadrática 16x2 – 8x – 35 = 0
Resolviendo esta ecuación resulta:
x = ( )( )
( )1623516648 4+±
= 32
488 ± . Se obtiene x1 = 45xy
47
2 −=
Verificamos estas raíces en la ecuación original para descartar posibles raíces extrañas, resultando que sólo
x = – 5/4 satisface la ecuación y por tanto es la raíz buscada.
* Para resolver esta ecuación podemos aplicar un procedimiento diferente que en ocasiones puede
reducirnos el trabajo, pero requiere realizar rápidamente una evaluación de la ecuación y manejar con
habilidad los temas anteriores.
En este caso usando el hecho que a – b = ( ) ( )baba +− y teniendo que
( ) ( )x811x49 +−+ = – 2 – 4x o sea ( ) ( ) x42x811x49x811x49 −−=++++−+ (1)
siendo la ecuación 1x811x49 =+−+ ( 2 )
Al dividir miembro a miembro la expresión ( 1 ) entre ( 2 )
Se obtiene x42x811x49 −−=+++ ( 3 )
Y al sumar ( 2 ) y ( 3 ) desaparece un radical, obteniendo 2 x41x49 −−=+
Al elevar al cuadrado obtenemos la misma ecuación cuadrática obtenida anteriormente
16x2 – 8x – 35 = 0, y por lo tanto llegamos a la misma solución.
4. Resolver xx
x23xxxx
+=−−+
Solución:
xxx
23xxxx
+=−−+ =
xx
x23
+
Multiplicando por el denominador de la derecha ambos lados: x23xxxx 2 =−−+
ÁLGEBRA
67
Transponiendo términos y simplificando: xx2xx 2 −=−
Elevando al cuadrado cada lado: xx4xxxx 22 −=+−
Simplificando: 1625x0x0)x
45(x0xxx
45
=∨=∴=−⇒=−
Descartamos x = 0, ya que hace cero el denominador del lado izquierdo de la ecuación.
ECUACIONES DIVERSAS
Resolver cada una de las ecuaciones.
1. 3x1
x1=
Notemos que x ≠ 0, ya que aparece en el denominador
x3 = x ⇒ x3 – x = 0 ⇒ x (x2 – 1) = 0 ∴ x = 0 ∨ x2 – 1 = 0
x = 0 ∨ x = ± 1
Descartamos la solución x = 0 y por tanto la solución es: x = ± 1
2. x 4 + 5x 3 + 5x 2 – 5x – 6 = 0
Factorizamos este polinomio usando el método de evaluación y la división sintética.
Factores de 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6
Para a = 1 1 + 5 + 5 – 5 – 6 = 0
Luego es divisible entre x – 1. Haciendo la división sintética resulta:
Tenemos entonces que la ecuación es equivalente a (x – 1) (x3 + 6x2 + 11x + 6) = 0
Factorizando el segundo factor: para a = – 1, se tiene: – 1 + 6 – 11 + 6 = 0
Luego es divisible entre x + 1. Haciendo la división sintética resulta:
Tenemos entonces (x – 1) (x + 1) ( x 2 + 5x + 6) = 0
lo que equivale a (x – 1) (x + 1) (x + 2) ( x + 3) = 0
Igualando cada factor a cero, se obtiene: x = 1, – 1, – 2, – 3
11 5 5 – 5 – 6 1 6 11 6
1 6 11 6 0
– 11 6 11 6 – 1 – 5 –6
1 5 6 0
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
68
3. 3x – 19 x + 20 = 0
Consideramos inicialmente como incógnita a x y factorizando se obtiene:
3x –15 x – 4 x + 20 = 0 ⇒ 3 x ( x – 5) – 4( x – 5) = 0
(3 x – 4) ( x – 5) = 0 ∴ 3 x – 4 = 0 ∨ x – 5 = 0
x = 4/3 ∨ x = 5 ⇒ x = 16/9 ∨ x = 25
4. 0151x
x21x
x 2=−
++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+
0151x
x21x
x 2=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+
031x
x51x
x=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+ ⇒ 05
1xx
=++
∨ 0=−+
31x
x
x = – 5 ( x +1 ) ∨ x = 3 ( x +1)
x = – 5x – 5 ∨ x = 3x + 3
6x = – 5 ∨ 2x = – 3
x = – 5/6 ∨ x = – 3/2
5. 6u-1/2 – 17u-1/4+5 = 0
Tomamos como incógnita inicial a u-1/4 y factorizamos:
6u-1/2 – 15u-1/4 – 2u-1/4+5 = 0 ⇒ 3u-1/4 (2u-1/4 – 5) – (2u-1/4 – 5) = 0
(3u-1/4 – 1)(2u-1/4–5) = 0 ⇒ 3u-1/4 – 1=0 ∨ 2u-1/4 – 5 = 0
31/ =− 41u ∨
25/ =− 41u ⇒ 3u 4/1 = ∨
52/ =41u
u = 81 ∨ 62516
=u
6. 2y4 + 3y2 – 5 = 0
Factorizando: 2y4 + 5y2 –2y2 – 5 = 0 ⇒ y2 ( 2y2 + 5 ) – ( 2y2 + 5 ) = 0
( y2 – 1) (2y2 + 5) = 0 ⇒ (y2 – 1) = 0 ∨ 2y2 + 5 = 0
⇒ y = ± 1 ∨ y = i2/5±
Otra forma:
Usando la fórmula general, tomando inicialmente como variable y2
( 2y2 )2 + 3y2 – 5 = 0
y2 =4
734
4093 ±−=
+±− ⇒ 21y = 1=+−
473 ∴ y = ± 1
22y =
25
473
−=−− y = i2/5±
Tomamos como incógnita inicialmente a 1x
x+
Observemos que x ≠ – 1
ÁLGEBRA
69
7. 3x2/3 + 8x1/3 – 3 = 0
Factorizando: (3x1/3 – 1) (x1/3 + 3) = 0
3x1/3 – 1 = 0 ∨ x1/3 + 3 = 0 ⇒ x1/3 = 1/3 ∨ x1/3 = – 3
x = 1/27 ∨ x = – 27
8. 13x5x6 2/1 −= −
6x + 13 05x =− (multiplicamos cada lado por x y transponemos )
6x + 15 05x2x =−− (factorizamos)
( ) ( ) 05x25x2x3 =+−+ ⇒ ( ) ( ) 05x21x3 =+− ⇒
2/5x −= se descarta porque 0>x . 3/1x = ⇒ x = 1/9
9. 32x + 9 = 10 (3x)
32x –10(3x) + 9 = 0 ( consideramos inicialmente a 3x como incógnita )
(3x – 9) (3x –1) = 0 ( factorizamos e igualamos cada factor a cero)
3x = 9 = 32 ∴ x = 2 (igualamos exponentes )
3x = 1 = 30 ∴ x = 0 (igualamos exponentes )
10. ( )( )( )( ) =++−− 1x5x3x7x 1680
( ) ( )=−−−− 3x2x35x2x 22 1680 ⇒ ( ) ( ) =+−−− 105x2x38x2x 222 1680
( ) ( ) =−−−− 1575x2x38x2x 222 0 ⇒ ( ) ( )=+−−− 25x2x63x2x 22 0
( )( )( )( )43 xxxx7x9x −−+− = 0 ∴ x1 = 9 , x2 = – 7 , x3 , x4 = 621 −± = i621±
I. Resolver las siguientes ecuaciones
1. x– 2 – 2x– 1 = 8 2. 9 + x– 4 = 10 x – 2 3. 2 x +2x-1/2 = 5 4. 6x3/4 = 7x1/4 – 2x-1/4
5. x2/n + 6 = 5x1/n 6. 3x1/2n – x1/n – 2 = 0 7. y – 11 y + 18 = 0 8. x – 7 x + 12 = 0
9. 3=+3 5x 10. 1−=+ x9x5 11. x24x3 +=+ 12. 3x222x ++=−
13. (x – 3)4 + 3 (x – 3)2 = 4 14. ( y2 – y )2 – 4 (y2 – y) = 12 15. 3
683x7
x35 =+
16. 6
13x
x1x1
x=
−+
− 17. 11x21x21x234x9x2 22 −+=−++−
18. 14x9x21x7x2 22 =+−−+− 19. 5x
7x37x35x8
−−
=−− 20. 27x 3 + 21x + 8 = 0
EJERCICIOS
ÁLGEBRA
70
21. x4 – 2x3 + x = 380 22. 822
x2
2x= 23. x3 + 2x2 – x – 2 = 0 24. x3/2 = x1/2
25. 21x3 2 =− 26. 027x3x2 =++−− 27. y3/2 = 4y 28. x2/3 +x1/3 – 6 = 0
29. 4x3 +12x2 – 9x – 27 = 0 30. 25z4 + 5z = 125z3 + z2 31. 06x2x3xx 33 =+−−
32. 8x57 =− 33. x1x24 2 =− 34. 11x723x23 =−+− 35. x34x5x27 −=−−−
36. x53xx2 +=−− 37. 3x4 – 5x2+2 = 0 38. ( )
011x
5
1x
4222
=+−
−−
39. 2x1/3 – 5x1/6 +2 = 0 40. 2x-2/3 +7x-1/3 – 4 = 0 41. 3 + x=+ 1x3
42. 01x2x2
x2x
2=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − 43. 2x4 – 9x2 + 4 = 0 44. 2x
1x1= 45. x- 4 – 13x-2 +36 = 0
46. x-4 – 8x-2 + 15 = 0 47. x4 – 3x3 – 2x 2 – 3x +1 = 0 (*) 48.x4 + x3 – 4x 2 + x + 1 = 0
49. ( )( )( ) 633x21x22xx =−+− (*) 50. x2+2 x624x6x2 −=+
51. ( )( )( ) ( )( )bxabxabxabaxba 22 +−=−++ (*) 52. 0=−+
+−−
−−−
3x3x
2x8x3
1x3x2
53. 5x7x −=− 54. 01x4x3x4x 234 =++−+ 55. 09x6x11x4x4 234 =++−−
56. 3x5x22
3x1
−−
+=−
57. 2x2x +=− 58. x22x −=−
59. 15x22x =+++ 60. 33x45x2 =+++ 61. 5x8x29x3 +++=+
1) –1/2 , 1/4 2) ± 1 ,±1/3 3) 1/4, 4 4) 1/4, 4/9 5) 2n , 3n 6) 1 , 2 2n 7) 4, 81 8) 9, 16 9) 22 10) 8
11) 0, 4 12) φ 13) 2, 4, 3 ± 2 i 14) – 2 , 3 , 1 7 i2
± 15) 27, 25/147 6) 4/13, 9/13 17) 5
18) 5 19) 13 20) -1/3 , 1 31i6
± 21) –4 , 5 , 1 5 3 i2
± 22) –1 , 3 23) ± 1 , – 2 24) 0 , 1
25) ± 3 26) 2 27) 0, 16 28) –27, 8 29) ± 3/2 , -3 30) 0, 5, ± 1/5 31) 8, 9 32) – 57/5 33) 1
34) 6 35) 17 1374
− 36) 4 37) ± 1, ± 36
38) ± 2 , ± 5 39) 64 , 1/64 40) 8 , -1/64
41) 8 42) –1 , 2 43) ±2 ,± 2 /2 44) 1 45) ±1/2 , ±1/3 46) ±55
, ± 33
47) 1 3 i2 3 ,2
− ±±
48) 1 , 3 52
− ± 49) 3 47 i3 / 2, 3 ,4
±− 50) – 8 , 2 51) 1 , ( a 2b)
2a b− −
+ 52) 21 105
14± 53) 9
56) φ 57) φ 58) 2 59) – 2 60) 21
− 61) – 6
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
71
2.9. MATRICES Y DETERMINANTES CONCEPTOS BÁSICOS DEFINICIÓN: Una matriz, denotada por una letra mayúscula o por la notación {aij}mxn es un arreglo rectangular
de “elementos” que pueden ser números reales, números complejos, funciones, etc.
Ejemplos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
410132
A , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+−
=X2X
4X31XX
B
En forma general podemos escribir
A = ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaaaaa
...
...
...
MMM
y en forma abreviada A = {aij}mxn
Una fila de una matriz es el conjunto de elementos dispuestos en una línea horizontal y una
columna de una matriz es el conjunto de elementos dispuestos en una línea vertical.
La matriz A del ejemplo anterior tiene las filas (2 3 -1) y (0 1 4)
y las columnas ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡02 ,
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡13 y
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −41
Con el símbolo aij representaremos al elemento que está en la fila i y la columna j.
Los elementos a11, a22, a33,...,akk en una matriz cuadrada (es decir una matriz que tiene igual número
de filas y columnas), pertenecen y definen la diagonal principal. Decimos que una matriz es de orden mxn si tiene m filas y n columnas.
La matriz A del ejemplo anterior es de orden 2x3, mientras que la matriz B es de orden 3x2.
ALGUNOS TIPOS DE MATRICES 1. MATRIZ FILA: Es una matriz de orden 1x n, es decir una matriz que tiene una sola fila y n columnas.
2. MATRIZ COLUMNA: es una matriz de orden m x 1, es decir una matriz que tiene una sola columna.
3. MATRIZ CERO O MATRIZ NULA: es una matriz en la cual todos sus elementos son iguales a cero. Se
representa por 0mxn. Juega el mismo papel que el número cero en los sistemas de numeración.
4. MATRIZ CUADRADA: cuando el número de filas es igual al número de columnas m = n.
(Si m ≠ n decimos que la matriz es rectangular).
5. MATRIZ IDENTIDAD: es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a uno
y el resto son ceros. Se representa por Ιn. Así por ejemplo tenemos
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
100010001
I3
6. MATRIZ ESCALAR: Es la matriz cuadrada que tiene iguales los elementos de la diagonal principal y el
resto son ceros.
ÁLGEBRA
72
Ejemplo A = 4 0 00 4 00 0 4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
7. MATRIZ DIAGONAL: Es aquella matriz cuadrada que tiene al menos un elemento de la diagonal principal
distinto de cero y el resto de elementos, fuera de la diagonal, iguales a cero.
Ejemplos A = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
300020005
, B = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
000070000
8. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Es la matriz cuadrada en la cual los elementos debajo de la diagonal
principal son ceros. Es decir aij = 0 si i > j.
Ejemplo A = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
400530122
9. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: es la matriz cuadrada en la cual los elementos arriba de la diagonal
principal son ceros. Es decir aij = 0 si i < j.
Ejemplo B = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
381045006
10. MATRIZ TRANSPUESTA DE A: es la matriz obtenida al intercambiar las filas por las columnas.
Se denota por AT o A’. (Posteriormente veremos sus propiedades).
11. MATRIZ SIMÉTRICA: Decimos que la matriz A es simétrica si A = AT
12. MATRIZ ANTISIMÉTRICA: Decimos que la matriz A es antisimétrica si A = − AT.
Ejemplos: A = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
651532124
es una matriz simétrica, mientras B = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−
051502120
es antisimétrica.
* Existen otros tipos de matrices que son objeto de estudio del álgebra lineal y están fuera del alcance de
este material.
OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES.
IGUALDAD DE MATRICES:
Decimos que dos matrices A = { aij }mxn y B = { bij }mxn son iguales si y solo si aij = bij para todo i y todo
j. Es decir dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los elementos correspondientes son iguales.
Si ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− yx21
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛43uz
entonces debe cumplirse que x = 3, y = − 4, z = 1, u = 2
EJEMPLO
ÁLGEBRA
73
SUMA DE MATRICES
La suma de dos matrices de igual orden, es la matriz de igual orden, obtenida al sumar los elementos
correspondientes.
Simbólicamente, si A = { aij }mxn y B = { bij } mxn y C = {cij}mxn ,
A + B = C ⇔ cij = aij + bij , ∀ i , j
♦ De manera análoga se define la resta de matrices.
a) 1 9 84 0 2
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
+ 7 4 51 9 7
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= 8 5 33 9 9
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
b) 6 12 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+ 2 1 01 3 2
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
PROPIEDADES DE LA SUMA: Puede probarse que la suma de Matrices cumple las siguientes propiedades: 1. ASOCIATIVIDAD A + ( B + C) = ( A + B) + C = A + B +C 2. CONMUTATIVIDAD A + B = B + A 3. ELEMENTO NEUTRO Amxn + 0mxn = Amxn 4. INVERSO ADITIVO Amxn + (– Amxn ) = 0mxn
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ El producto de una matriz A = {aij}mxn por un escalar k es la matriz obtenida al multiplicar cada elemento de la
matriz por el escalar : kA = { kaij }mxn
1. Si 2 3A
5 0−⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎝ ⎠
entonces i) 3 A = 3 2 35 0
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= 6 915 0
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
ii) – 2 A = – 2 2 35 0
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= 4 610 0−⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
2. Encuentre la matriz A que satisfaga la ecuación matricial 2A – 3 0 1 2 12 1 4 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Primeramente efectuamos el producto indicado 2A – 0 3 2 16 3 4 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Sumamos el inverso aditivo de la matriz obtenida a la izquierda, a ambos lados, obteniendo
2A 2 1 0 3 2 44 5 6 3 10 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Multiplicamos cada lado por 21 para despejar A, resultando: A = 2 4 1 21
10 2 5 12⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
No tiene sentido porque no tienen el mismo orden.
EJEMPLOS
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
74
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ Si A y B son matrices de igual orden y p y q son escalares, entonces se cumple:
1. ASOCIATIVIDAD MIXTA p (q A) = (p q) A
2. ELEMENTO NEUTRO 1· A = A · 1 = A
3. DISTRIBUTIVIDAD (p + q) A = p A + q A
4. DISTRIBUTIVIDAD p ( A + B) = p A + p B
DEFINICIÓN: El inverso aditivo – A de la matriz A es – 1· A, y se cumple
A + ( − A) = A − A = 0mxn.
DEFINICIÓN: La RESTA DE MATRICES A – B se define como A – B = A + (– B)
TRANSPOSICIÓN DE MATRICES Si A es una matriz mxn, entonces la transpuesta de A denotada por AT es la matriz nxm, cuya i - ésima fila
es la i - ésima columna de A y cuya j - ésima columna es la j – ésima fila de A.
Luego AT la encontramos convirtiendo las filas en columnas y viceversa, a partir de la matriz A.
Si ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
541232
A , entonces ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
524312
AT
ALGUNAS PROPIEDADES: Puede demostrarse que se cumplen las siguientes propiedades:
i) (AT)T = A ii) (A + B)T = AT + BT iii) (c A)T = c AT (c un escalar)
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES (Producto de Hamilton - Cayley)
Definición. Si A = (a1 a2 ... an) es un vector fila 1xn y
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
b
bb
BM
un vector columna
nx1 entonces el producto AB (en ese orden, A primero y B después) está dado por
AB = (a1 a2 . . .an)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
n
2
1
b
bb
M = ( )nn2211 ba...baba +++
(1 – 2 3)5
67
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= ( (1) (– 5) + (–2) (6) + (3) (7) ) = (– 5 – 12 + 21 ) = ( 4 )
Nota: observe que el producto de un vector fila 1x n, por un vector columna nx1 se reduce a un escalar.
EJEMPLO
EJEMPLO
ÁLGEBRA
75
DEFINICIÓN: Sea A una matriz mxp y B una matriz pxn ( es decir matrices tales que el número de columnas
de la primera es igual al número de filas de la segunda ), el producto AB es la matriz de orden mxn
cuya componente i j - ésima es el producto de la i-ésima fila de A (primer factor) por la
j-ésima columna de B (segundo factor).
Es decir, si representamos por C = {cij}mxn el producto AB, cada elemento cij es la suma de los productos de
los elementos de la fila i de A por los correspondientes elementos de la columna j de B.
DEFINICIÓN: Si A es de orden mxp y B es de orden pxn (el número de columnas de A igual al número de
filas de B) decimos que son conformes ó compatibles para la multiplicación en el orden AB. Si no son
conformes no puede efectuarse este producto.
1. Si A = 2 1 50 1 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, B = 1 3 10 2 31 1 0
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
, hallar AB y BA si es posible
i) Verificamos si son conformes para la multiplicación en el orden indicado.
AB: 3x33x2 BA ⋅ por tanto son conformes y el resultado será Una matriz 2 x 3.
BA : 3x23x3 AB ⋅ luego no son conformes para la multiplicación en ese orden
Procedamos a efectuar AB:
AB = 2 1 50 1 1⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 3 10 2 31 1 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
−
−
∴ AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
3311133
PROPIEDADES
Si se satisface la condición para la compatibilidad, pueden probarse las siguientes propiedades:
1. ASOCIATIVIDAD: A ( BC ) = ( AB ) C
2. DISTRIBUTIVIDAD: A (B + C) = AB +AC , (A + B) C = AC + BC
3. NO CONMUTATIVIDAD: Excepto algunos casos particulares, AB ≠ BA.
4. (AB)T = BTAT La transposición del producto de dos matrices, es igual al producto de las transpuestas
de cada matriz, tomadas en orden invertido.
5. En lo general no se cumple la ley de cancelación (excepto casos particulares)
AB = AC B = C
AB = 0 A = 0 ó B = 0
C11 = 2 . 1 + 1 . 0 + 5 (−1) = −3
C12 = 2 . 3 + 1 . 2 + 5 .1 = 13
C13 = 2(−1) + 1. 3 + 5 . 0 = 1
C21 = 0 .1 + 1 . 0 + 1 (−1) = −1
C22 = 0 . 3 + 1. 2+ 1 . 1 = 3
C23 = 0 (−1) + 1. 3 + 1 . 0 = 3
⇒ ⇒
=
≠
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
76
Como pudo haberse notado, la multiplicación de matrices es una operación “complicada” en relación al
resto de operaciones estudiadas y por tanto requiere ser cuidadoso al momento de efectuarla.
¿Cómo verificar si el resultado es correcto? Un método es el siguiente
♦ En el primer factor añadimos una fila, donde cada elemento es la suma de los elementos de la
respectiva columna de la matriz original. Llamemos A1 a esta fila.
♦ En el segundo factor añadimos una columna, donde cada elemento es la suma de los elementos de la
respectiva fila. Llamemos B1 a esta nueva columna.
♦ Efectuamos el producto de las nuevas matrices, señalando la partición
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1AA [ ]1BB | = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
312
CCCC , donde A B = C
Si la multiplicación está ejecutada correctamente, la última fila es la suma de los elementos de las
respectivas columnas y la última columna la suma de los elementos de las respectivas filas. Si se verifica
esto, las probabilidades de que el resultado esté equivocado son muy remotas.
Encontrar ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −3423
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− 21
15
Añadimos la fila y la columna indicadas y efectuamos el producto.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
173423
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−− 321615
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
395341521724717
Verificamos que la última fila (o bien la última columna) es la suma de las filas ( o columna) precedentes, lo cual nos asegura que el producto está correctamente efectuado.
Por tanto ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −3423
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− 2115
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 217717
DETERMINANTES: A toda matriz cuadrada A se le puede asociar un número llamado determinante de A. Si la matriz es
A = {aij}nxn, denotamos su determinante por det A ó | A | = | aij |. El número n es llamado el orden del
determinante.
DETERMINANTE DE PRIMER ORDEN Para una matriz de primer orden: A = ( a11 ) , | A | = a11
Debe notarse que las barras, en este caso, no significan valor absoluto.
Ejemplo: si A = ( 5 ) entonces | A | = 5
si B = ( – 4 ) entonces | B | = – 4
EJEMPLO
ÁLGEBRA
77
DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN
Para una matriz cuadrada de segundo orden ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2221
1211
aaaa
A , 21122211 aaaaA −==2221
1211aaaa
||
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=5182
A , 181)(8)((2)(5)5182
|A| =−−=−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1437
B , 5(4)(3)(7)(1)1437
|B| −=−==
DETERMINANTES DE TERCER ORDEN Para una matriz cuadrada de tercer orden.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Este resultado puede reordenarse y expresarse en términos de determinantes de segundo orden. Un arreglo, de seis posibles, es el siguiente:
| A | = a11 3332
2322aaaa – a12
3331
2321aaaa + a13
3231
2221aaaa
Evaluar | A | si A = 1 3 43 1 24 2 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1ra forma: Aplicamos directamente la “definición”, desarrollando los productos indicados:
1 3 43 1 24 2 3
= (3 + 24 + 24) – (16 + 4 + 27) = 51 – 47 = 4
2da forma: Descomponemos el determinante de tercer orden en tres determinantes de segundo orden, que en general son más fáciles de evaluar:
1 3 43 1 24 2 3
= 13221
− 3 3423
+ 4 2413
= (3 – 4) – 3 (9 – 8) + 4 (6 – 4) = – 1 – 3 + 8 = 4
REGLA DE SARRUS Este es un recurso mnemotécnico que facilita el cálculo de determinantes de tercer orden.
Para hallar el determinante de A = 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aa a aa a a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
| A | = (a11a22a33 + a21a32a13 + a31a23a12) – (a13a22a31 + a23a32a11 + a33a21a12)
EJEMPLOS
EJEMPLO
ÁLGEBRA
78
Escribimos una matriz 5x3 formada por la matriz original y repitiendo la primera y segunda fila como cuarta y
quinta fila, como se muestra a continuación:
232221
131211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaa
Un arreglo equivalente es formar una matriz 3x5, repitiendo la primera y la segunda columna como cuarta y quinta columna, se obtiene el mismo resultado.
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaaaaaaaaaaaa
Evaluar 1 3 43 1 24 2 3
Tenemos 1 3 4 1 33 1 2 3 14 2 3 4 2
Luego 1 3 43 1 2 ( 3 24 24 ) (16 4 27 )4 2 3
= + + − + + = 51 − 47 = 4
DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR Para el cálculo de determinantes de orden superior es conveniente descomponerlos en determinantes de
orden menor. Este proceso es conocido como el desarrollo o expansión de Laplace. Veamos algunos
términos que usamos:
Submatriz de una matriz dada, es aquella que se obtiene al eliminar algunas filas y columnas de la matriz
original.
Menor: El determinante de la submatriz cuadrada de Anxn, obtenida al eliminar la i - ésima fila y la
j-ésima columna, se llama menor del elemento aij y se denota por Mij.
El cofactor del elemento aij, denotado por Aij, esta dado por Aij = (-1) i+j Mij.
tenemos que (-1) i+j = ⎩⎨⎧− 11
si i + j es par si i + j es impar
Llamemos diagonales primarias las señaladas como P1, P2
y P3, y diagonales secundarias a las señaladas como S1,
S2 y S3.
Se tiene que el det A es igual a la suma de productos de
las diagonales primarias menos la suma de los productos
de las diagonales secundarias.
S1
S2
S3
P3
P2
P1
P1 P2 P3 S1 S2 S3
EJEMPLO
ÁLGEBRA
79
Si asociamos las posiciones que ocupan los elementos de la matriz con los cuadros de un tablero de
ajedrez, tenemos que los signos (-1) i + j de los cofactores corresponden a:
.........
MMMMM
+−+−+−+−+−+−+−+
1. Para la matriz ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
987654321
, se tiene que el menor del elemento a32 es:
M32 = 6431 = 6 – 12 = – 6 (Eliminamos la 3ra fila y 2da columna)
Su cofactor respectivo será A32 = (– 1)3+2 M32 = – (– 6 ) = 6
2. Sea A = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−− 210531123
tenemos:
M12 = 20
51−
= –2 A12 = (–1)1+2 M12 = (–1) (– 2) = 2
M33 = 3123
= 9 – 2 = 7 A33 = (–1)3+3 M33 = 1· 7 = 7
DESARROLLO DE DETERMINANTES
Teorema: EXPANSIÓN DE LAPLACE:
Si A es una matriz cuadrada de orden n > 1, entonces el det A se puede obtener multiplicando los
elementos de cualquier fila o columna, por sus respectivos cofactores y sumando los productos resultantes.
| A | = ∑=
n
1iijijAa , para cualquier columna j.
= ∑=
n
1jijijAa , para cualquier fila i.
Si 4 3 2
A 1 0 12 1 0
−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
, encontrar | A |
a) desarrollándola por la primera fila y b) desarrollándola por la segunda columna.
EJEMPLOS
EJEMPLO
ÁLGEBRA
80
a) 0 1 1 1 1 0| A | 4 3 2 4 6 2 12
1 0 2 0 2 1= − − = + + =
− −
b) 1 1 4 2 4 2| A | 3 0 ( 1 ) 3 ( 2 ) 0 1 6 12
2 0 2 0 1 1− −
= − + ⋅ − − = − ⋅ − + + ⋅ =
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada A son ceros,
entonces | A | = 0.
2. Si una matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) de A, entonces
| B | = − | A |.
3. Si B se obtiene al multiplicar por un número real k cada elemento de una fila (o columna) de A, entonces
| B | = k | A |.
4. Si B se obtiene al sumarse a cualquier fila (o columna) de A, k veces otra de sus filas (o columnas),
entonces | A | = | B |.
5. Si dos filas (o columnas) de A son iguales o proporcionales, entonces | A | = 0.
6. Si en una matriz cuadrada A, todos los elementos de una fila i (o columna j) son ceros excepto el aij de
la columna j (o fila i), tenemos | A | = ( -1 )i+j aij Mij.
7. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal.
8. Si los elementos de una fila (o columna) se multiplican por los respectivos cofactores de otra fila (o
columna), la suma de estos productos es cero.
9. El valor de un determinante no se altera si intercambiamos las filas por las columnas. Es decir si A es
una matriz cuadrada , det A = det AT.
10. Si A y B son matrices cuadradas de igual orden det (AB ) = ( det A ) ( det B )
REGLA DE CHIO (Introducción de ceros)
Consiste en reducir un determinante de orden n en otro de orden n – 1 para facilitar el cálculo del mismo,
aplicando las propiedades de los determinantes. Este procedimiento puede reiterarse hasta reducirlo a un
determinante de orden 2 ó 1.
*Elegimos como “pivote” un elemento no nulo aij y lo extraemos como factor común de su fila
(o columna) (Consecuencia de la propiedad 3).
Luego aplicando la propiedad 4, reducimos a cero el resto de los elementos de esa fila (o columna) y
desarrollamos el determinante por esa fila (o columna), reduciéndose a un determinante de orden menor
(propiedad 6).
Podemos tomar como “pivote” cualquier elemento, pero es más fácil cuando es ± 1. También podemos
escoger cualquier fila o columna para introducir ceros, pero para disminuir las operaciones escogemos la fila
o columna que ya tenga (o tenga más) ceros, si los hubiere.
ÁLGEBRA
81
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Una transformación elemental de una matriz es cualquiera de las operaciones siguientes:
i) La multiplicación de cada elemento de una fila (o columna) por la misma constante k ≠ 0. Se denota por kFi
→ Fi ( ó kCj → Cj )
ii) El intercambio de dos filas (o columnas): Fi ↔ Fj ( ó Cj ↔ Ck ).
iii) La suma de cualquier múltiplo de los elementos de una fila ( o columna) a los elementos correspondientes
de otra fila (o columna) respectivamente.
KFj + Fi → Fi ( ó kCj + Ci → Ci)
. Evaluar
1321210310121512
−−−−−
Solución: Observamos que dos filas ya tienen un cero (al igual que dos columnas). Si escogemos una de
ellas ahorramos un paso. De igual manera notamos que esas filas y columnas tienen el 1 como elemento.
De las diversas opciones tomemos a22 = 1 como pivote y hagamos cero el resto de elementos de su
columna. Para ello hacemos Transformaciones Elementales en las filas usando la propiedad 4 de los
determinantes:
2 1 5 12 1 0 1
3 0 1 21 2 3 1
− −− −
− =
0 0 5 22 1 0 1
3 0 1 25 0 3 3
−− −
− =
0 5 23 1 25 3 3
−− (propiedad 6)
F2 + F1 → F1, –2F2 + F4 →F4
Ahora tenemos dos opciones, seguir aplicando éste método o bien aplicar la regla de Sarrus ya que se
redujo a un determinante de 3er. orden.
Aplicando este método vemos que la fila y la columna que tiene 0, no tiene 1, lo que nos obligaría a extraer
un factor común y trabajar con fracciones. Por ser un determinante pequeño podemos escoger una fila que
tenga un 1 aunque perdamos la ventaja de tener un cero. En este caso escojamos
a22 = – 1 y hacemos cero el resto de los elementos de su columna.
335213250
−−
= 90142138015
− = -1.914815 = – (135 – 112) = – 23
5F2 + F1 → F1
3F2 + F3 → F3
MATRIZ INVERSA
Definición. Si A es una matriz cuadrada de orden n y existe una matriz B de igual orden tal
que: AB = BA = In , decimos que B es la matriz inversa de A y viceversa A es la matriz
inversa de B. Se denota por B = A-1 (no toda matriz cuadrada tiene inversa).
EJEMPLO
ÁLGEBRA
82
Podemos verificar que la matriz inversa de ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2513
A es ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−3512
puesto que ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅ −
2513
AA 1 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−3512 2I10
01=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
DEFINICIÓN: Las matrices inversibles, es decir aquellas para las cuales existe su inversa, se llaman no singulares.
MÉTODOS PARA HALLAR LA INVERSA DE UN MATRIZ. Definición: MATRIZ DE COFACTORES Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento de una matriz cuadrada A por su respectivo cofactor.
Se denota por Ac.
Definición: MATRIZ ADJUNTA Es la transpuesta de la matriz de cofactores. Se denota por adj A. Tenemos adj A = Ac
T
Si ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
510475312
A sus cofactores son 315147
A 11 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= , 25
5045
A 12 −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= , ...,
197512
A 33 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= Luego tendremos Ac =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
197252108
52531 y adj A = A T
c = 31 8 2525 10 75 2 19
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Para verificar que no hay error al determinar Ac , hacemos uso de la propiedad 8 de los determinantes.
Recordemos que esta propiedad indica que la suma de los productos de los elementos de un fila por los
respectivos cofactores de otra fila es cero. Podemos verificar que se cumple en el ejemplo.
PROPIEDADES Pueden probarse las siguientes propiedades:
1. adj ( A ± B) ≠ adj A ± adj B. (La adjunta de la suma de dos matrices no es igual a la suma de las
adjuntas de los sumandos.
2. adj ( kAn ) = kn – 1 . adj A.
3. A · adj A = adjA · A = | A |· I n (Todas las matrices conmutan con su adjunta y el resultado es el producto
de su determinante por la matriz identidad).
De la propiedad (3) obtenemos: A ⋅ |A|Aadj = In y como A ⋅ A−1 = In resulta un método para hallar A– 1
De aquí también se deduce que para que una matriz tenga inversa es necesario que su determinante sea
distinto de cero | A | ≠ 0. Si |A| = 0, decimos que la matriz es singular, lo que equivale a decir que no existe
su matriz inversa.
EJEMPLO
EJEMPLO
Aadj|A|
1A 1 =−
ÁLGEBRA
83
Para la matriz ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
510475312
A , habíamos encontrado que
adj A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
19257102525831
y su determinante es | A | = 102 ∴
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
==−
10219
1022
1025
1027
10210
10225
10225
1028
10231
adjAA1A 1
* Para una matriz de segundo orden, su adjunta se halla rápidamente. Se tiene siempre, si
A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛dcba
entonces adj A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−acbd
, es decir los elementos de la diagonal de A cambian de lugar y los
otros elementos cambian de signo. Esto facilita el cálculo de la inversa de la matriz de segundo orden.
II METODO Uso de transformaciones elementales.
En el álgebra lineal, se prueba que la secuencia de transformaciones elementales entre filas que
transforman un matriz A de orden n en In, es la misma secuencia de transformaciones elementales que
transforma In en A-1 lo cual nos provee de otro método para hallar la inversa de una matriz:
(A | In) → (In | A-1)
Hallar A-1 si
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
021132111
A
Solución: Escribimos la matriz A y a su derecha la matriz identidad I3. Simultáneamente realizamos las
mismas transformaciones de filas a las matrices A y I3 que transformen A en I3.
~100021010132001111
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −~
101130012150001111
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
~1011300
51
52
5110
001111
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
-2F1 + F2 → F2
~
153
51
5200
051
52
5110
051
53
5401
~
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
25
23
21100
051
52
5110
051
53
5401
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
25
23
21100
21
21
21010
211001
~
F2+F1→F1 52− F3→ F3 4
5− F3+ F1→F1
- 3F2 + F3→F3 15
F3 + F2→F2
Por lo tanto
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
=−
25
23
21
21
21
21
211
A 1
- F1 + F3 → F3 51 F2 → F2
EJEMPLO
EJEMPLO
ÁLGEBRA
84
1. Para las matrices siguientes encuentre i) A + B ii) A – B iii) 2A – 3B
a) A = 1 2 6 4 1 9 1 3 2 1, B b) A , B
8 9 1 3 6 1 2 7 6 5− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
c) A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
437
510
B012
321
Ad5
12
B34
6,),
2. Si A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−463021
y B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −312203
encuentre a) 4A b) 7B c) 3A + 4B d) 8A – 7B
3. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine la matriz incógnita X
a) X + ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛063121
027154
b) X + ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
545321251
137625319
c) 5X – 3 ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
921357
247
1202
4. Si A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −1234
, B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
1221
y C = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 21
32 encuentre a) AB b) BA c) AC d) CA
e) BC f) CB g) A2 h) B2 i) (A + B) C j) C (A + B) k) (C – A)2
5. Encuentre AB y BA si es posible.
a) A = [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
321
B413Ab21
42
B72
15
,)
c) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−=
56
1
214
B131322
Ad325
132011
B310225
134A ,),
6. Si A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−− 2
532
B32
41, compruebe que (A + B) (A – B) ≠ A2 – B2
donde A² = A A, B² = B B. ¿Porqué no se obtiene el mismo resultado?
7. Si ,,, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=212
301C
20
21
B14
32
A hallar i) 2 B C ii) ( B – A )· 2C iii) CT· A
8. Si A =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
045
504
123321
B, hallar i) A + BT ii) AT+B iii) 2AT+3B iv) AB v) BA
9. Si A = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− i1i1
, B = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 1i
i1 , donde i = 1− , calcular i) (1 + i)A + (1 – i )B ii) A B iii) B A
10. La potencia k-ésima de una matriz cuadrada A es la matriz Ak = A.⋅A....A (k veces). Por convención Ao = In
i) Si A = )(,²)( Afhallar2x4x3xfy31
02
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ii) Si A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
253142321
y f (x) = 3x2 – 2x + 5, hallar f (A)
EJERCICIOS
ÁLGEBRA
85
Nota: al evaluar el polinomio matricial f(A) se debe considerar la matriz identidad para el término
independiente.
11. Calcular la inversa de las siguientes matrices, (si existen)
1 1 0 2 1 1 3 6 12 0 1 0 3 5
a) b) c) d) 0 1 1 e) 0 1 1 f ) 0 1 11 1 1 2 2 3
1 0 1 2 1 1 2 4 1
2 1 4 2 1 4 4 3 1g) 1 0 5 h) 3 2 5 i) 5 2 2
19 7 3 0 1 1 0 1 3
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
12. Halle la matriz A que satisfaga a) A ⋅ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5263
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
3351
b) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 37
25⋅ A = ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 26
54
13. Evalúe los siguientes determinantes
a) Desarrollándolo por menores b) Usando las propiedades de los determinantes.
0122522331204221
h
2013163414025262
g
1215111102112301
f014111120
e
663421510
d312
417213
c234
450731
b253314121
a
−
−
−−−
−
−−−
−−−
−
−−−
−−
−−
−−−−
))))
))))
4110203411121312112331312
ñ
102110412211040
2240420311
n
61234002171034612
m
5118614130212234
l
7568023700420001
k
3100380094026015
j
3214214314324321
i
−−
−−−
−−
−−−
−−−
−
−−−
−
−−
−
)))
))))
14. Hallar el valor de x que satisfaga cada expresión
a) 0=−−
−
1241x0213
b) 1113x132x
− = 5 c)
4x0152314
−−−
= 18
1.a) i) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−127
27 ii) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
6965 iii) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
9191616 b) i) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −37132114 ii) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
−−751072 iii ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−−−−191691127
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
86
c) i) 832
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
ii) 458
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
iii) 611
21
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
d) i) 1 93 42 4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
ii) 1 51 28 4
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
iii) 2 171 721 12
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
2. a) 4 8 012 24 16
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
b) 21 0 1414 7 21
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 15 6 81 22 24
− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
d) 13 16 1438 41 11− −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
3. a) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−−−044233
b) 8 6 14 0 32 1 4
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
c) 4 20 15 6
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
4. a) 2 5 0 5 11 6 14 3 4 1 8 7, b) , c) , d) , e) , f ) ,
4 5 6 7 3 8 0 5 5 4 3 0− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
g) 10 15 3 0 15 5 22 10 14 6, h) , i) , j) , k)
10 5 0 3 8 12 3 5 3 17− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5. a) AB = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛153012
, BA = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛622311
b) AB = (11) , BA = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−−
1239826413
c) AB = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−
83178511673
, BA = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
81410111123359
d) AB = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 2252912
, BA = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−
11199204
1159
6. (A + B) (A – B) = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛144322
≠ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 128
124 7. i) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 444
602 ii) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−18622810
iii) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
14121368
8. i) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
122223
ii) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
122223
iii) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
2984910
iv) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−23171319
v) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−−−
151054812
171819
9. i) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− i220
i22 ii) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛00i22
iii) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−++
i1i1i1i1
10. i) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛130112
ii) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
25989341835157121
11. a) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−15.005.0
b) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 5.05.0
01 c) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−32
53 d)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−
505050505050505050
...
......
e) No tiene inversa f) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
302312
523
g) No tiene inversa h) 7 5 33 2 23 2 1
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
i)
4 5 29 9 95 2 16 3 65 2 7
18 9 18
⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
12. a) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
9775
b) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 252
110
13. a) 6 b) 186 c) –14 d) 6 e) – 11 f) – 9 g) – 438 h) 36 i) 160 j) 54 k) 56 l) – 26 m) – 44
n) – 44 ñ) – 283 14. a) x = – 2 b) x = ± 2 c) x = – 7
ÁLGEBRA
87
2.10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ECUACIÓN LINEAL: En general es una ecuación con una o varias variables, tal que cada término que contenga alguna variable
es de grado uno.
SISTEMA DE ECUACIONES: Es un conjunto de ecuaciones simultáneas con varias variables.
Dos sistemas que tienen el mismo conjunto solución, son sistemas equivalentes.
SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES REALES:
⎩⎨⎧
=+=+
222
111
cybxacybxa
ai , bi , ci ∈ R
El conjunto solución esta formado por pares de valores (x, y)
Ejemplo ⎩⎨⎧
−=−=+−
4y3x61yx3
Su conjunto solución es (x, y) = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 2,
31 , es decir x =
31 ∧ y = 2
Se presentan tres casos:
1. El conjunto solución del sistema es vacío (no tiene solución)
En este caso decimos que el sistema (o las ecuaciones) es (son) incompatible(s) y se cumple
2
1
2
1
2
1cc
bb
aa
≠=
Ejemplo x – 2y = 4
3x – 6y = 1
2. El conjunto solución contiene infinitos pares de valores (x, y).
En este caso ambas ecuaciones son equivalentes (una es múltiplo de la otra) y decimos que el sistema es
compatible indeterminado o que las ecuaciones son dependientes.
Se cumple 2
1
2
1
2
1cc
bb
aa
==
Ejemplo: x – 3y = 4
2x – 6y = 8
3. El conjunto solución contiene uno y solo un par de valores (x, y). Decimos que el sistema es compatible
determinado y que las ecuaciones son independientes.
Se cumple 2
1
2
1bb
aa
≠ , es decir a1b2 ≠ a2 b1
14
62
31
≠−−
=
84
63
21
=−−
=
ÁLGEBRA
88
METODOS DE SOLUCIÓN En general se busca como eliminar una incógnita y resolver inicialmente para la otra. Luego sustituyendo el
valor encontrado, hallamos el valor de la segunda incógnita.
Existen varios métodos, entre ellos:
1. Eliminación por sustitución.
2. Eliminación por igualación.
3. Eliminación por reducción o suma y resta.
4. Uso de determinantes (regla de Kramer).
5. Uso de matrices (Gauss, Cholesky,...).
6. Método grafico.
7. Métodos Iterativos.
Etc. Muchos de ellos son objeto de estudio del Álgebra Lineal.
1. Resuelva usando el método de eliminación por sustitución ⎩⎨⎧
−=+=−
)2()1(
3y2x3yx
De (1) x = 3 + y , sustituyendo en (2) ( 3 + y) + 2y = – 3 ⇒ 3y = – 6
∴ y = – 2 . Al sustituir en (1) x = 3 + (– 2) = 1.
El conjunto solución es (x , y ) = ( 1, – 2 )
(Verificamos en cada ecuación y vemos que se satisfacen)
2. Resuelva usando el método de eliminación por igualación ⎩⎨⎧
=−=+
)2()1(
0x2x12xx
21
21
De (1) y (2) despejemos x1 : x1 = 12 – x2 (3)
x1 = 2x2 (4)
Igualamos (3) y (4) : 2x2 = 12 – x2 ⇒ 3x2 = 12 ⇒ x2 = 4
Sustituimos en (3) o (4) y obtenemos x1 = 8. Luego (x1, x2 ) = ( 8 ,4 ).
3. Resuelva usando el método de reducción por suma y resta ⎩⎨⎧
−=+=−
)2()1(
5y4x26y3x4
Dejamos igual la (1) y multiplicamos por –2 la (2) :
4x – 3y = 6
– 4x – 8y = 10
– 11y = 16 ∴ y = 1116−
Multiplicamos por 4 la (1) y por 3 la (2):
15y12x624y12x16
−=+=−
22x = 9 ∴ x = 229 Luego ( x , y ) = (
229 ,
1116− )
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
89
SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES REALES CON TRES INCÓGNITAS
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
3333
2222
1111
dzcybxadzcybxadzcybxa
Para hallar la solución (si existe) reiteramos los métodos usados para un sistema de dos ecuaciones.
Primeramente reducimos el sistema a dos ecuaciones, eliminando la misma variable en dos pares diferentes
de ecuaciones. Resolvemos el sistema resultante con los métodos anteriores y luego encontramos la tercera
variable, sustituyendo los valores de las variables ya encontradas, en cualquiera de las ecuaciones.
Resolver ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=++=++
)3(5zy2x2)2(95z3y2x
)1(25zyx
1. Eliminemos z en (1) y (2) 3x + 3y + 3z = 75
– x – 2y – 3z = – 59
2x + y = 16 (4)
Multiplicando por 3 la (1) y por –1 la (2):
2. Eliminemos z en (1) y (3) x + y + z = 25
2x + 2y – z = 5
3x + 3y = 30 (÷3) ∴ x + y = 10 (5)
3. Resolvamos (4) y (5) ⎩⎨⎧
=+=+
10yx16yx2
⇒ x = 6 ∧ y = 4
4. Sustituyamos en (1) 6 + 4 + z = 25 ∴ z = 15
5. Verificando en (1) 6 + 4 + 15 = 25
6. Verificando en (2) 6 + 2(4) + 3(15) = 6 + 8 + 45 = 59
7. Verificando en (3) 2(6) + 2(4) – 15 = 12 +8 – 15 = 5
Solución (x, y, z) = (6, 4, 15)
Resolver
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=−
=++
)3(1yx
)2(1zx
)1(2zyx
De (1) y (2) 2x + y =3 (4)
De (4) y (3) ⎩⎨⎧
=+=+
1yx3yx2
∴ x = 2 ; y = – 1
De (2) z = x – 1 ∴ z = 1
Verificación en (1) 2 + (–1 ) + 1 = 2
(2) 2 – 1 = 1
(3) 2 + ( –1 ) = 1 ∴ Solución (x, y, z) = (2, –1, 1)
EJEMPLO
EJEMPLO
ÁLGEBRA
90
2.6. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES USO DE MATRICES INVERSAS
Sea
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
bxa...xaxa
bxa...xaxabxa...xaxa
=+++
=+++=+++
M
un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.
Este sistema puede escribirse en forma matricial como AX = B, donde
A = {aij}nxn es la matriz de los coeficientes; X = {xij}nx1 es la matriz columna de las incógnitas y
B = {bi}nx1 es la matriz columna de los términos independientes.
Si | A | ≠ 0, A es no singular, es decir existe A-1; luego premultiplicando por A-1 se tiene:
A-1(AX) = A-1B ⇒ (A-1A) X = A-1B
Ιn X = A-1B ⇒ X = A-1B
Resolver ⎩⎨⎧
=−=−
18y3x57yx2
En forma matricial AX = B : ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
3512
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡yx
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡187
Luego ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛yx
= 1
3512 −
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡187
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
2513
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡187
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−13
Resolver ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=−+
13zy6x28zy3x4zy4x
Tenemos A = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
162131141
Buscamos A-1
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
100162010131001141
~ ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−
102310011210001141
~ ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
−
120100011210043701
~ ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
120100231010
7103001 ∴ A-1 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
120231
7103
X = A-1 B ∴ ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
zyx
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
120231
7103
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1384
= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
321
, es decir x = – 1, y = 2, z = 3.
Verificamos que esta terna de valores satisface cada ecuación del sistema.
EJEMPLO
EJEMPLO
ÁLGEBRA
91
USO DE MATRICES AUMENTADAS. MÉTODO DE GAUSS.
Dado el sistema ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
nnnn11n
1nn1111
bxa...xa
bxa...xaM
En forma matricial AX = B, donde A: matriz de coeficientes, X: vector incógnita, B: vector de términos
independientes.
La matriz formada por (A ⎢B), (es decir la matriz obtenida al agregarle la matriz columna B a la matriz A),
recibe el nombre de matriz aumentada del sistema.
Mediante transformaciones elementales de filas, esta matriz puede llevarse a una forma escalonada
equivalente.
DEFINICIÓN Decimos que una matriz está en forma escalonada si:
1. El primer número diferente de cero de cada fila, leyendo de izquierda a derecha es 1.
2. La columna que contiene el primer número diferente de cero en cualquier fila, está a la izquierda de la
columna que contiene el primer número distinto de cero en la siguiente fila.
3. Si una o más filas tienen todos sus elementos ceros, aparece en la parte inferior de la matriz.
MÉTODO DE GAUSS Para resolver un sistema de ecuaciones, escribimos la matriz aumentada y se efectúan las transformaciones
elementales en las filas hasta obtener la matriz de un sistema equivalente en forma escalonada, el cual es
de más fácil solución.
Pasos EJEMPLO
Dado el sistema
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
nnnn11n
1nn1111
bxa...xa
bxa...xaM
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−−=+−
=+−
9z4y6x36zy3x
0zyx
1. Se representa el sistema mediante una
matriz ampliada
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
mmn2m1m
1n11211
ba...aa
ba...aaM
1.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
−
94636131
0111
2. Nos aseguramos que el elemento
a11 sea diferente de cero,
intercambiando dos filas si fuera
necesario. Esto equivale a cambiar de
posición dos ecuaciones.
2. Se cumple en el ejemplo
ÁLGEBRA
92
de (1) x = y – z = 3 – 0 = 3 por lo tanto la solución es : (x, y, z) = (3, 3, 0)
Resolver el sistema:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++=−+−=++=−−
0zyx3wz2x22w4zy3
3wyx
1 1 0 1 30 3 1 4 22 0 2 1 31 1 1 0 0
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
~
1 1 0 1 30 3 1 4 20 2 2 1 30 2 1 1 3
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
−⎣ ⎦
~
1 1 0 1 30 1 0 3 10 0 1 0 00 2 1 1 3
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎣ ⎦
∼
F3 – 2F1→ F3 F2 – F4→ F2
F4 – F1→ F4 F3 – F4 → F3
6. Si la matriz es de mayor orden
repetimos los pasos anteriores con
las respectivas submatrices hasta
obtener una forma escalonada.
7. Escribimos el sistema equivalente
reducido y hallamos los valores de las
incógnitas por sustitución hacia atrás.
3. Se cumple en el ejemplo
5. Repetimos los pasos anteriores
concentrándonos en la submatriz
obtenida al ignorar la primera fila y la
primera columna.
7.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===+−
)3(0z)2(3y)1(0zyx
5.
∼⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
930
130010111
∼⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
030
100010111
-1/2F2→ F2 -3F2+F3 → F3
4. Mediante transformaciones
elementales hacemos ceros los
elementos abajo de a11. Para ello
multiplicamos los elementos de la
primera fila por el negativo del elemento
que vamos a hacer cero y los sumamos
a los elementos correspondientes.
3. Si a11 ≠ 1, dividimos todos los
elementos de esa fila entre a11. Este
paso no es obligatorio pero simplifica
los cálculos siguientes. 4.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−
94636131
0111~
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
91306020
0111 ~
-F1+F2 → F2 3F1+F3 → F3
∼ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
030
100010111
-F3 → F3
EJEMPLO
ÁLGEBRA
93
∼
1 0 0 2 40 1 0 3 10 0 1 0 00 0 1 5 5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
− −⎣ ⎦
~
1 0 0 2 40 1 0 3 10 0 1 0 00 0 0 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
~
1 0 0 0 20 1 0 0 20 0 1 0 00 0 0 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
F1 + F2 →F1 F4 – F3 → F4 F1 – 2F4 → F1
F4 – 2F2 → F4 –1/5F4 → F4 F2 – 3F4 →F2
∴ x = 2 , y = – 2 , z = 0 , w = 1
RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES: REGLA DE KRAMER. Dado un sistema de n ecuaciones con n incógnitas
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
bxa...xaxa
bxa...xaxabxa...xaxa
=+++
=+++=+++
MMM
Si Δ es el determinante formado por los coeficientes de las incógnitas, el producto de Δ por una incógnita
cualquiera es igual al determinante Δi, obtenido a partir de Δ sustituyendo los coeficientes de la incógnita
respectiva por los términos constantes bi, y dejando inalterados los otros elementos.
Δ =
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
a...aaa...aa
M Δi =
nn1n
n221
n111
aa
aaaa
...b...
...b......b...
n
21
Columna i
Tenemos xi Δ = Δ i ∴ ΔΔx i
i = si Δ ≠ 0
Si Δ = 0 y las bi = 0 el sistema es compatible
Si Δ = 0 y alguna bi ≠ 0 el sistema es incompatible.
Resolver usando el la regla de Kramer x 4y z 4x 3y z 8x 6y 2z 13
− − = −⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
Solución: Calculamos los determinantes.
1 4 11 3 1 11 6 2
− −Δ = = x
4 4 18 3 1 3
13 6 2
− − −Δ = = y
1 4 11 8 1 21 13 2
− −Δ = = z
1 4 41 3 81 6 13
− −Δ = = –1
luego x 3x 31
Δ= = =
Δ, y 2y 2
1Δ
= = =Δ
; z 1z 11
Δ −= = = −
Δ ∴ Conjunto solución: (x, y, z) = (3, 2, –1)
EJEMPLO
ÁLGEBRA
94
Resolver los siguientes sistemas de Ecuaciones:
1. ⎩⎨⎧
−=−=+
12y2x34y2x
2. ⎩⎨⎧
−=−=+
14y6x37y9x6
3. ⎩⎨⎧
=+=+11y2x8y4x3
4. ⎩⎨⎧
=+−=−
1y3x63y2x4
5. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=−+
13z3yx211z4y2x3
4zy3x 6.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=+−=+−
2zy3x333z4y2x5
19z3yx2 7.
3x 5y 2z 012x 15y 4z 126x 25y 8z 12
+ + =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =−⎩
8.
3 4 6 1x y z
9 8 12 3x y z9 4 12 4x y z
⎧− + =⎪
⎪⎪⎪ + − =⎨⎪⎪
− + =⎪⎪⎩
9. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=−+=++
11z3y4x3zyx213z2y2x
10.
4 4 3x z
1 2 2 1x y z3 1 4 0x y z
⎧+ =⎪
⎪⎪⎪ + − =−⎨⎪⎪
+ − =⎪⎪⎩
11.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++=−+−=++
=−−
0zyx3wz2x22w4zy3
3wyx
12.
x 2y 3z w 7x 3y 3z 2w 9
2x 4Y 3z 3w 12x y z w 4
+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨
+ + + =⎪⎪ + + + =⎩
13. ⎩⎨⎧
=+=−
8x2x312x4x
21
21 14. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=−+
5z3y2x41zyx11zy2x5
15.
1 2 3 4
1 2 4
2 3
4
4x 5x x 10x 12x 7x 14x 0
x x 8x 2
− + − = −⎧⎪ + + =⎪⎨ − =⎪⎪ =⎩
16. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=−+−=−+
5z2yx25zy5x34zy2x
17. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−−=−+
=+−
1zyx32z3y2x2
7z2yx 18.
15 x 16 y 232 3 6
4 x 7 y 313 2 72
⎧ − =⎪⎪⎨⎪ + = −⎪⎩
19. 3 x 2 y 2 3
2 2 x 3 y 2
⎧ − =⎪⎨
+ =⎪⎩ 20. 0.12x 0.05y 0.70
0.11x 0.03y 0.25+ =⎧
⎨ − =⎩
21.
3 4 2x 1 y 26 7 3
x 1 y 2
⎧ + =⎪ − +⎪⎨⎪ − = −⎪ − +⎩
22. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−=−+−
−=+−
1zyx29z7y6x5
6z8y3x 23.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=+=+
53x5z446z4y328y3x2
24.
3x 4y 6z 19x 8y 12z 39x 4y 12z 4
− + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩
25. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−=−+=−+
6z3y2x2z4y2x3
0z3yx2 26.
2x y 3z w 33x 2y z w 13x 3y z 2w 4x y 4z 3w 0
− + − = −⎧⎪ + − + =⎪⎨
− + − = −⎪⎪− + + + =⎩
27.
2x 3y z w 8x y z w 3
4x 3z 2w 32y 3z w 12
− + − =−⎧⎪ − − + =⎪⎨
+ + =−⎪⎪ − − =⎩
28.
3x 2y 2z 2w 05y 3z 4w 36y 3z 4w 9
6x y 2z 2w 3
+ − − =⎧⎪ + + =⎪⎨
− + =⎪⎪ − + − =−⎩
1. (– 2, 3) 2. (– 4/3,5/3) 3. (– 14, 12.5) 4. φ 5. (1,2,3) 6. (3, – 1,4) 7. (1/3, – 2/5,1/2)
8. (3, 4, 6) 9. (3, 1, 4) 10. ( 2, – 2, 4) 11. (2, – 2, 0, 1 ) 12. (1,1,1,1) 13. (4, – 2)
14. (2, 0, – 1) 15. (0, – 4, – 12, 2) 16. (– 2, 1, 4) 17. (2, 3, 4) 18 (1/3, – 1/4) 19. (8/7, – 3 6 /7 )
20. (3.68 , 5.16 ) 21. (47/2 , 1/7) 22. (1, – 3, – 2) 23. (5,6,7) 24. (1/3, 1/4, 1/6)
25. (6, 0 ,4) 26. (3, – 1, – 2, 4) 27. (1, 2,– 3, 1) 28. ( 23,1,0,
31
− )
EJERCICIOS
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
95
2.11. SISTEMAS FORMADOS POR UNA ECUACIÓN LINEAL Y UNA CUADRÁTICA O DOS CUADRÁTICAS o Dado el sistema
⎩⎨⎧
=+++++=++
)2(0khygxfyexydx)1(0cbyax
22
Generalmente para resolverlo, despejamos una de las variables de la ecuación lineal (1) y sustituimos en la
cuadrática (2), obteniendo una ecuación de 2do grado con una incógnita. Resolvemos esta ecuación,
obteniendo dos valores para la incógnita. Al sustituir en (1), generalmente obtenemos dos pares de valores
(x1, y1 ) y ( x2 , y2 ).
Pueden presentarse además los casos en que haya una solución única o ninguna solución real. Siempre hay
que verificar que las ecuaciones se satisfacen para los valores encontrados.
o En el caso de sistemas formados por dos ecuaciones cuadráticas, también buscamos como eliminar una
de las variables y resolver la ecuación resultante. Los valores encontrados los sustituimos en cualquiera de
las ecuaciones iniciales, y hallamos los valores correspondientes de la otra variable. Pueden presentarse los
casos en que no haya solución real, o bien el conjunto solución esté formado por una, dos, tres o cuatro
parejas (x, y ).
1. Resolver ⎩⎨⎧
=+=−+
)()(
225yx1010x2y
22
Solución: De ( 1 ) despejamos y y = 10 – 2x
sustituyendo en ( 2 )
x2 + (10 – 2x)2 = 25 ⇒ x2 + 100 – 40x + 4x2 = 25 ⇒ 5x2 – 40x + 75 = 0
x2 – 8x + 15 = 0 ⇒ ( x – 5 )( x – 3) = 0 ∴ x1 = 5 ∧ x2 = 3
para x1 = 5, y1 = 10 – 2( 5 ) = 0 y para x2 = 3, y2 = 10 – 2( 3 ) = 4
por tanto (x, y) ∈ { (5,0) , (3,4) }
2. Resolver ⎩⎨⎧
==−
)2(20xy)1(7y2x3
Solución:
De (1) 3
y27 +=x sustituyendo en ( 2 ) 20y =⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +3
y27 ⇒ 2y2 + 7y – 60 = 0
⇒ ( 2y + 15) (y − 4) = 0
∴ y 1 = 4 ∨ 2
15−=2y
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
96
para y1 = 4 ⇒ 5x1 =+
=32(4)7 para
215y2 −= ⇒
38
32
1527−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=2x
3. Resolver ⎩⎨⎧
=+=−
)2(25y13xy12)1(1y3x4
2
Solución : De ( 1) 4
y31+=x . Sustituyendo en ( 2 ) 25y13y12 2 =+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +4
y31
Se obtiene (3 + 9y) y + 13 y2 = 25 ⇒ 3y + 9y2 +13y2 = 25 ⇒ 22y2 + 3y – 25 = 0
⇒ ( y – 1 ) (22y + 25 ) = 0 ∴ y1 = 1 ∨ 2225
−=2y
para y1 = 1 resulta 1x1 =+
=43(1)1 y para
2225
−=2y resulta 8853
4222531
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=2x
luego (x, y) ∈ { ( 1 , 1 ) , ⎜⎝⎛ −
8853 , ⎟
⎠⎞−
2225 }
4. Resolver ⎩⎨⎧
=−=−
)2(25x6y)1(3yx5
22
Solución :
De ( 1) y = 5x – 3 (3) . Sustituyendo en ( 2 ) ( 5x – 3 )2 – 6x2 = 25
25x2 – 30x + 9 – 6x2 =25 ⇒ 19x2 – 30x – 16 = 0 ⇒ ( x – 2 ) ( 19x + 8 ) = 0
∴ x1 = 2 , 198
−=2x
Sustituyendo en ( 3 ) x1 = 2 ⇒ y1 = 5 ( 2 ) – 3 =7
198x2 −= ⇒
1997
198
−=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 35y2
luego (x, y) ∈ { (2 , 7 ) , ⎜⎝⎛ −
198 , ⎟
⎠⎞−
1997 }
5. Resolver ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
)(y1
x1
)(
21
14yx
El sistema es equivalente a ⎩⎨⎧
=+=+
xyyx4yx
⇒ 4 = xy (3)
De ( 1 ) y = 4 – x Sustituyendo en ( 3 ) 4 = x ( 4 – x ) ⇒ x2 – 4x + 4 = 0 ⇒
( x – 2 )2 = 0 ⇒ x = 2 ∴ y = 4 – x = 2 (x, y) = (2, 2)
Luego (x, y) ∈ { (5 , 4 ) , ⎜⎝⎛ −
38 , ⎟
⎠⎞−
215 }
ÁLGEBRA
97
6. Resolver ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−−+=
)2(10y2x)1(15x2xy 2
Solución: Sustituyendo ( 1 ) en ( 2 ) x – 2( x2 + 2x – 15 ) = 10
x – 2x2 – 4 x + 30 = 10 ⇒ 2x2 + 3 x – 20 = 0 ⇒ ( 2x – 5 ) ( x + 4 ) = 0 ∴ 25
=1x , x2 = – 4
sustituyendo en (1) se obtiene (x, y) ∈ { ⎜⎝⎛
25 , ⎟
⎠⎞−
415 , (– 4, – 7) }
7. ⎩⎨⎧
=−=−
)2(2y4xy3)1(7y5x3
2
22
Solución: Veamos un método alternativo, que puede usarse cuando los términos con variables tienen igual
grado: Haciendo y = mx , ( 1’ ) 3x2 – 5 m2x2 = 7 ( 2’) 3mx2 – 4m2x2 = 2
⎩⎨⎧
=−=−
)4(2)m4m3(x)3(7)m53(x
22
22. Al dividir miembro a miembro se obtiene
27
m4m3m53
2
2=
−
−
6 – 10m2 = 21m – 28m2 ⇒ 18m2 – 21m + 6 = 0 ⇒ 6m2 – 7m +2 = 0 ⇒
( 2m – 1)( 3m – 2) = 0 ∴ 21
=1m 32
=2m
para 21m1 = de (1’) : 2
27 7 28x 45 73 5m 3
4
= = = =− −
x = ± 2 ∴ y = mx = ± 1
para 32m2 = 2 7 63x 9
4 73 59
= = =⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠
x = ± 3 y = mx = ± 2
luego (x, y) ∈ { ( 2 , 1 ), ( -2 , -1 ), ( 3 , 2 ) , ( -3 , -2 ) }
OTRA FORMA: de (2 ) 22 4 yx
3 y+
=
Sustituyendo en ( 1) 22
22 4 y3 5y 73 y
⎛ ⎞+− =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
4 + 16y2 +16y4 –15y4 = 21y2 y4 – 5y2 + 4 = 0 ⇒ ( y2 – 4 ) ( y2 – 1 ) = 0
y = ± 2 y = ±1 x = ± 3 x = ± 2
8. El término medio del desarrollo de 8yx )( − vale 1,120. El valor total del desarrollo es 1. Calcule el valor de x e y. Como el desarrollo de 8yx )( − tiene nueve términos, el central será el quinto término, luego
2xyseao16yx1120yx70yx48 444444 ±==∴==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (1)
Como 8yx )( − = 1, se tiene x – y = ± 1 (2) Combinando (1) y (2) resultan cuatro sistemas de ecuaciones:
ÁLGEBRA
98
i) ⎩⎨⎧
=−=
1yx2yx
ii) ⎩⎨⎧
−=−−=
1yx2yx
iii) ⎩⎨⎧
=−−=
1yx2yx
iv) ⎩⎨⎧
−=−=
1yx2yx
Al resolver estos sistemas resultan como soluciones (1, 2), (2, 1), (– 2, – 1) y (– 1, – 2)
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
2
x² y² 25 x² y² 25 x² 2x y² 1 x² y² 5 x² y² 74a) b) c) d) e)
x y 5 x² y 5 x² y² 3xy 1 x² xy y² 7 x y 2x 2 x y 17x y 1 x 10y 1y 3f) g) h) i)
x² xy y² 37 x² 2y 1 x² y xy 19x² y² 208
+ = + = + = − − = + =⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨− = − = + = + − + = − =⎩ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩
⎧ + == ⎧− = + =⎧ ⎧⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ + = − = − = +⎪⎩ ⎩ ⎩⎪ + =⎩
j) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
247
y1
x1
14yx k)
⎪⎩
⎪⎨⎧
==−
2xy3yx 22
l) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=−
5y2x3yx5
22
22 m)
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
65
y1
x1
6xy n)
⎩⎨⎧
=+−=
12)1y)(1x(12xy
ñ) ⎩⎨⎧
=+=−
1yx0xy
22 o) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=+16yx9yx
22
22 p)
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=+16yx16y4x
22
22 q)
⎩⎨⎧
−=−=
6xyx3y
r) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=−
8yx4xy
22
2
s) ⎪⎩
⎪⎨⎧
==+
12xy25yx 22
t) 3 8 3x y2x y 2
⎧ + =⎪⎨⎪ − =⎩
u) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−=+−
02yx210yxy2x2 22
v) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=−4yx2
8xy3x2 2 w)
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+−=
5y4yx1yx
22
2
x) ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−=++
19yxyx931yxyx
22
44 y)
2 2x xy y 84
x xy y 6
⎧ + + =⎪⎨
− + =⎪⎩
a) (5, 0), (0,– 5 ) b) (0, – 5), (3, 4), (–3, 4) c) (0, 1),(0, –1),( –1, 0)
d) (3, 2), (–3, –2), 3 3 4 3 34 , , ,3 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ e) (– 5, – 7),(7, 5) f) (– 3, – 4), (4, 3)
g) (8, 12), (– 8, –12) h) (1, 0), 6 11,5 50
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
i) (– 28, 45), (11, 6) j) (6, 8) , (8, 6)
k) (2, 1), (–2, –1) l) (1, 2 ), (1, – 2 ), (–1, 2 ), (–1, – 2 )
m) (2, 3), (3, 2) n) (4, 3) , (-3, -4) ñ) ( 2 /2, 2 /2), (– 2 /2, – 2 /2)
o) φ p) (– 4, 0) , (4, 0) q) ( 2 ,– 3 2 ), (– 2 , 3 2 )
r) ( 4, ±2 2 ), (–3, ±1) s) (3,4), (4,3), (–3, – 4), (– 4, – 3) t) (3, 4), (1/3, – 4/3) u) (1, 4), (–3, – 4) v) (2, 0), (–1/2, 5) w) (0, – 1), (3, 2) x) (5, 3) (3, 5), (– 5, – 3), (– 3, – 5) y) (2, 8), (8, 2)
EJERCICIOS
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
99
2.12. PROBLEMAS DE ÁLGEBRA Existen diversas aplicaciones de las ecuaciones lineales y cuadráticas, así como de los sistemas de ecuaciones. Prácticamente en todos los campos del conocimiento se presentan situaciones que conducen al planteo y solución de alguna ecuación. Las siguientes sugerencias podrían ser de utilidad en el planteamiento y solución de diversos problemas: 1) Leer el problema con mucho cuidado, varias veces si es necesario, hasta que estemos claro, de que se trata. 2) Escribir los datos y hechos importantes y sus relaciones. Si el problema está bien redactado cada palabra, verbo, adjetivo, etc. tiene relevancia. 3) Identificar las cantidades desconocidas en términos de una variable, si es posible. Si es necesario habrá que utilizar más de una variable. 4) Escribir la ecuación que relacione las cantidades desconocidas y los hechos en el problema o bien las relaciones en caso de varias incógnitas. En muchas ocasiones un gráfico o diagrama ayuda a visualizar las relaciones. Salvo casos muy especiales, debe tenerse al menos la misma cantidad de ecuaciones como incógnitas hayan en el problema. 5) Resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones que surja en el planteo del problema y verificar la o las soluciones. 6) Responder a las preguntas establecidas en el problema (original). Muchas veces no basta con resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones aunque si sea necesario. EJEMPLO: “Traduciendo” al lenguaje algebraico: Exprese como una ecuación algebraica las siguientes proposiciones. Considere “x” al primer número, “y” al segundo y “z” al tercero: a) La suma de tres números es 4: Se tiene x + y + z = 4 b) El segundo número más el tercero es igual al primero: y + z = x c) La suma del tercer número y cuatro veces el segundo es igual al primer número: z + 4y = x d) La suma del doble del primer número y tres veces el tercer número es 1 más que el segundo número: 2x + 3z = y + 1 e) El segundo número es igual a la suma del primer y tercer número: y = x + z f) Dos veces el primer número es 11 más que la suma de los otros dos números: 2x – 11 = y + z PROBLEMAS RESUELTOS 1. Las edades de un padre y su hijo difieren en 30 años y dentro de 5 años la edad del padre será el triple de la del hijo. ¿Qué edad tienen en la actualidad? SOLUCIÓN Sea x la edad del padre y sea y la edad del hijo. A partir de la información formamos las ecuaciones: - Las edades difieren en 30 años: x = y + 30 (1) - Dentro de 5 años la edad del padre será el triple de la del hijo: x + 5 = 3 (y + 5) (2) Resolvemos el sistema formado por (1) y (2): Sustituyendo (1) en (2): (y + 30) + 5 = 3 (y + 5) = 3y + 15 ⇒ 3y – y = 35 – 15 2y = 20 ∴ y = 10 Sustituyendo este valor en (1) se obtiene x = y + 30 = 40 Por tanto la edad del padre es 40 años y la edad del hijo es 10 años.
ÁLGEBRA
100
2. Un padre tiene 44 años y su hijo 20 ¿cuánto tiempo ha pasado desde que la edad del padre fue el cuádruplo de la del hijo? Sea x el tiempo transcurrido, luego 44 – x = 4 (20 – x) = 80 – 4x 4x – x = 80 – 44 = 36 ∴ x = 12 años. 3. “A” puede realizar cierta tarea en 6 días y “B” puede realizarla en 10 días ¿En cuánto tiempo podrán realizarla trabajando juntos? Sea x el número de días que necesitan para completar la tarea.
Dado que A realiza la tarea en 6 días, cada día avanza 16
de la obra y como B tarda 10 días, cada día
avanza 110
. Trabajando juntos avanzan 1 1 46 10 15+ = de la obra. La obra completa, dado que estamos
considerando fracciones, será la unidad: 1. Luego se tiene 4 x 115
= ∴x = 3.754
15= días.
4. “A” puede hacer un trabajo en 8 días y trabajando junto con “B” pueden hacerlo en 4 días ¿cuánto tiempo tardaría “B” en realizarlo por si solo?
Como A lo realiza en 8 días, cada día avanza 81 . Sea x el número de días que tarda B, luego cada día
avanza x1 . Dado que juntos lo hacen en cuatro días, cada día avanzan
41 , es decir
81 +
x1 =
41 , al despejar x, se obtiene x = 8 días.
5. A y B trabajando juntos realizan cierta tarea en 6 días. A puede realizarla en 5 días menos que B. ¿Cuál es el tiempo que requiere cada uno para realizar el trabajo por si solo? Sea x el tiempo que tarda A y sea y el tiempo que tarda B. Luego se forma el siguiente sistema:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=+
)(
)(
25yx
161
y1
x1
Sustituyendo (2) en (1)
61
y1
5y1
=+−
⇒ 61
5yy5y2
=−−
)( ⇒ 12y – 30 = y2 – 5y
y2 – 17y + 30 = 0 ⇒ (y – 15) (y – 2) = 0 ∴y = 2 ∨ y = 15. Si y = 2, resultaría x = – 3, lo cual carece de sentido en el contexto del problema, por tanto descartamos este valor. Si y = 15, resulta x = 10. Es decir A tarda 10 días y B tarda 15 días.
ÁLGEBRA
101
6. Se tiene una solución de ácido al 75%, ¿cuántos litros de ácido puro hay que agregar a 48 litros de esta solución para que la solución resultante sea una solución al 76%? La solución inicial tiene (0.75) (48 litros) = 36 litros de ácido puro y 12 litros de otra sustancia. Sea x la cantidad de litros de ácido puro que se añade, luego el volumen final será (x + 48) litros, de los cuales (x + 36) corresponderán al ácido puro. Dado que la solución final es una solución al 76%, se tiene:
4836x76048x76036x760 ..)(..48x36x
+=+=+⇒=++
x – 0.76x = 36.48 – 36 0.24x =0.48 ∴ x = 2 litros
7. Un automóvil recorre 120 km con velocidad constante. Si hubiera aumentado su velocidad en 10 km/hora, habría realizado el recorrido en 2 horas menos. ¿Con qué velocidad hizo el recorrido?
Sea v la velocidad del auto, t el tiempo en horas utilizado en este recorrido, luego v
120t = . (1)
Al interpretar los datos se tiene: “si hubiera aumentado su velocidad en 10 km/h”, es decir v + 10, “habría realizado el recorrido en 2 horas menos”, o sea en t – 2 horas, luego
20t 2v 10
− =+
(2)
De (1) y (2) se tiene vt = (t – 2) (v + 10) = vt – 2v + 10t – 20 2v = 10t – 20
v = 5t – 10 (3) Sustituyendo (3) en (1): t (5t – 10 ) = 120
5t2 – 10t – 120 = 0 (t – 6) ( t + 4 ) = 0
t = 6 ∨ t = – 4 Descartamos t = – 4, por carecer de sentido, luego el tiempo utilizado es 6 horas. Al sustituir este valor en (3), resulta una velocidad de v = 5 (6) – 10 = 20 km / hora. 8. En un jardín de 6 x 12 metros, se desea construir una acera que bordeando el jardín, deje un área de 40 m2. La acera debe ser de anchura constante. ¿Cuál debe ser esta anchura? Sea x el ancho de la acera; como ésta bordea el jardín, el rectángulo interior que se forma tiene dimensiones (6 – 2x) y (12 – 2x) metros. Como el área debe ser 40 m2, se tiene: (6 – 2x)(12 – 2x) = 40 72 – 30x + 4x2 = 40 4x2 – 36x + 32 = 0 x2 – 9x + 8 = 0 (x – 1) (x – 8) = 0 ∴ x = 1 ∨ x = 8. Descartamos x = 8, ya que en el contexto del problema nos conduce a un absurdo, ya que no podemos construir una acera de 8 m. de ancho cuando sólo se dispone de un jardín de 6 m. de ancho, luego la anchura es x = 1 m.
12 m
6 m
(12 – 2x) m
(6 – 2x) m
ÁLGEBRA
102
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un número supera a otro en 34. Si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 3 y el residuo es 2. Determine los números R/ 16 y 50 2. La suma de tres números es 12. El segundo es 1 más que tres veces el primero y el tercer número es 1 menos que dos veces el segundo. Encuentre los números. R/ 1, 4 y 7 3. La suma de cuatro números consecutivos es 3810. Encuentre los números. R/ 951, 952, 953 y 954. 4. La suma de cinco números, de los cuales cada uno es el doble del anterior, es 62. ¿Cuál es el mayor de los cinco números? R/ 32 5. El numerador de una fracción excede en 4 al denominador y sumando 5 a los dos términos se obtiene
otra fracción equivalente a 32
. Hallar dicha fracción. R/ 7 / 3
6. La resta de los cuadrados de dos números enteros positivos consecutivos es 33. ¿Cuál es el mayor de estos números? R/ 17 7. La razón entre dos números es 3 / 8. Si el primer número se incrementa en 4 y el segundo disminuye en 6, la razón entre los números obtenidos es 1 / 2. Encuentre los números. R/ 21 y 56 8. La suma de tres números es 7. Uno de los números es uno más que la suma de los otros dos números y también es igual a cuatro veces la diferencia entre los otros dos números. Encuentre los números.
R/ 4, 2 y 1 9. La suma de dos números es 20 y su producto es 75. Determine los números. R/ 5 y 15 10. La suma de dos números es 21 y la diferencia de sus cuadrados es 63. Determine los números.
R/ 9 y 12
11. Dos números están en la relación 23
y si se les suma 9 estarán en la relación 34
. Hallar los números.
R/ 27 y 18 12. Si se divide cierto número por 13, se obtiene resto 11 y si se divide por 11 aumenta el cociente anterior en una unidad y disminuye el resto en otra unidad. ¿Cuál es el número? R/ 76 13. Se tiene un número de tres cifras. La suma de ellas es 17; la de las centenas es el duplo de la que ocupa el lugar de las decenas y si se suma 198 al número, resulta el valor del número invertido, ¿cuál es el número? R/ 638 14. Encontrar las dimensiones de un rectángulo de 52’’ de perímetro, si su largo es 5’’ mayor que el doble de su altura? R/ 7’’ y 19’’ 15. La suma de las longitudes del largo, ancho y alto de una caja rectangular es 16 cm. La anchura es el doble de la altura. El doble del largo excede en 5 cm a la suma de la anchura y la altura. Encuentre las dimensiones de la caja. R/ largo: 7 cm., ancho: 6 cm. y alto: 3 cm. 16. Un triángulo tiene un perímetro de 88 cm. La longitud del lado más largo es 8 cm. menor que la suma de los otros dos lados. Dos veces la longitud del lado más corto es 18 cm. mayor que la diferencia entre los otros lados. Encuentre la longitud de los lados. R/ 40, 38 y 10.
ÁLGEBRA
103
17. Si cada uno de dos lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros dos lados opuestos se disminuye en 2’, el área del rectángulo resultante supera en 32 pies cuadrados al área del cuadrado original. Encuentre la longitud del lado del cuadrado. R/ 8’ 18. Para cubrir cierto piso con ladrillos cuadrados de un cierto tamaño se requieren 648 ladrillos. Si se usan ladrillos que midan 1 pulgada más en cada lado, se requieren 512 ladrillos, ¿Cuál es la longitud del lado de los ladrillos pequeños? R/ 8’’ 19. Un rectángulo es tal que sus diagonales miden 41cm y su área es 360 cm2. Encuentre las medidas de sus lados. R/ 9 cm. y 40 cm. 20. El volumen de un cubo metálico aumenta 6 mm3 al ser calentado y cada arista se alarga 0.2 mm. ¿Cuánto mide la arista del cubo antes de ser calentado? R/ 3.067 mm. 21. Hace 18 años Armando era 3 veces más viejo que su hijo, pero ahora Armando es dos veces más viejo que su hijo. ¿Cuáles son las edades actuales de Armando y su hijo? R/ 72 y 36 22. Hallar las edades de una madre y de su hijo, sabiendo que hace ocho años la edad de la madre era ocho veces la del hijo y dentro de 16 años será el doble. R/ 12 y 40
23. Un hombre distribuyó dinero entre sus hijos de la siguiente manera: al menor le dio $1000 más 101 de lo
que le restaba; luego dio al segundo $2000 más 101 del sobrante; al tercero le dio $3000 más
101 de lo que
en ese momento quedaba y así sucesivamente hasta llegar al último hijo. Si al final cada hijo recibió la misma cantidad de dinero, ¿cuántos hijos tiene el hombre y cuánto dinero recibió cada uno? R/ 9 hijos, $9000 c/u. 24. Dos inversiones que suman $18,000.00 generan una ganancia anual de $700.00 Si la primera inversión tiene una tasa de interés del 5.5% y la segunda el 3% ¿Cuál es el valor de cada inversión? R/ $6,400 y $11,600. 25. Cuatro hermanos tienen C$ 45. Si el dinero del primero es aumentado en C$2, el del segundo reducido en C$2, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad ¿Cuánto tiene cada uno? R/ $8, $12, $5 y $20 26. En enero un pulpero vende el litro de leche en C$8.00. En Febrero, debido al incremento en la tarifa de la energía eléctrica, se da cuenta que está perdiendo y sube el precio un 25%. Pero debido a la competencia, se da cuenta que los vecinos le están dejando de comprar y en Marzo baja el precio de la leche en un 10%. ¿Cuál es la diferencia de los precios a los que vende la leche en enero y marzo?
R/ 1 27. Si una solución de un ácido al 30% se agrega a otra al 45%, la mezcla es una solución de ácido al 36%. Si se agregan 10 galones más de la solución al 30%, la nueva mezcla es una solución al 34.5% ¿Cuántos galones de cada solución contiene la mezcla final? R/ 12 al 45% y 28 al 30% 28. Un químico tiene dos soluciones de H2SO4 al 20% y 8% respectivamente.¿Cuántos cc de cada solución debe tomar para obtener 180 cc de una solución de H2SO4 al 15%? R/ 105 y 75 cc. 29. Hay dos soluciones de agua oxigenada, una al 30% y otra al 3%. Estas soluciones se deben mezclar para obtener una solución al 12% ¿Cuáles son las proporciones correspondientes? R/ Debe tomarse el doble de solución al 3% que la empleada al 30%
ÁLGEBRA
104
30. Una mezcla contiene 70% de cobre y 30% de zinc. Otra contiene 40% de cobre y 60% de zinc ¿Cuántos gramos de cada mezcla se deben tomar, para obtener 300 gramos de una mezcla que contenga 60% de cobre y 40% de zinc? R/ 200 gr. de la primera y 100 gr. de la segunda. 31. Para encontrar los momentos 1M y 2M de ciertas fuerzas actuando sobre una viga, se obtiene el sistema 10 1M + 3 2M = – 140, 4 1M + 14 2M = – 564. ¿Cuáles son los valores de 1M y 2M ? R/ – 67 /32 y – 635/16 32. Una piscina pude ser llenada con tres grifos A, B y C. Si se abre el grifo A se tarda 8 horas en llenar la piscina. Si se usan simultáneamente A y C la piscina es llenada en 6 horas, y si se usan B y C se tardan 12 horas ¿Cuántas horas tardará en llenarse la piscina si se abren los tres grifos? R/ 4 horas 48 minutos 33. Un tanque puede ser llenado por una tubería en 15 horas y vaciado por otra en 20 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si se abren simultáneamente? R/ 60 horas Una llave llena un tanque de agua de 2 metros de alto en 10 horas; otra lo hace en 12 horas y una tercera lo hace en 15 horas. ¿A qué altura llega el agua en el tanque cuando las tres llaves están abiertas simultáneamente durante una hora? R/ 0.5 metros. 34. Si A es capaz de hacer un trabajo en 55 horas y B puede realizarlo en 66 horas ¿Cuánto demorarán para completar el trabajo, trabajando juntos? R/ 30 horas 35. Si dos obreros trabajan simultáneamente, pueden realizar un trabajo en 42 horas. Si el primero trabaja 60 horas y luego es relevado por el segundo, éste requiere 15 horas para completar el trabajo. ¿Cuánto demora cada uno si trabajara solo? R/ 70 y 105 horas. 36. Quince obreros pueden hacer una obra en 20 días. Empiezan la obra trabajando juntos y al cabo de 4 días se retiran 5 obreros. ¿Con cuántos días de retraso entregarán la obra? 37. Tres máquinas juntas producen 640 piezas por hora. Tres veces la producción de la primera máquina es igual a la producción de las otras dos máquinas juntas. Cinco veces la producción de la segunda es 120 piezas por hora más que el doble de lo que producen las otras dos juntas. ¿Cuál es la tasa de producción de cada máquina? R/ 160, 200 y 280 38. Al ensamblar una pieza de una máquina se utilizan 18 pernos de 2’’ y 4’’. Si se necesitan 4 pernos de 2’’ más que la cantidad de pernos de 4’’ ¿Cuántos pernos de cada medida se utilizan? R/ 7 de 4’’ y 11 de 2’’. 39. Una computadora necesita 12 segundos para realizar dos series de cálculos. Si la primera serie requiere el doble de tiempo que la segunda serie ¿Qué tiempo necesita para realizar cada serie de cálculos? R/ 8 y 4 segundos. 40. El voltaje (en voltios) en una resistencia está dado por el producto de la corriente (en amperios) por la resistencia (en ohmios). La suma de dos resistencias es 16 ohmios. Cuando una corriente de 4 amperios pasa a través de la resistencia pequeña y una corriente de 3 amperios pasa por la resistencia mayor, la suma de los voltajes es 52 voltios. ¿Cuál es el valor de cada resistencia? R/ 4 y 12 ohmios 41. Si dos resistencias eléctricas, una de las cuales es 20 ohmios mayor que la otra son colocadas en paralelo, la resistencia equivalente Rt en función de la resistencia menor R está dada por
20R220)(RRR t +
+= . ¿Cuáles son los valores de las resistencias si Rt = 24 ohmios? R/ 40 y 60
42. Una persona recorre 9 km. de manera rutinaria. Si incrementa su rapidez en 1 km/hora, le tomaría 45 minutos menos hacer dicho recorrido ¿Cuál es su rapidez habitual? R/ 3 km / h
ÁLGEBRA
105
43. Dos autos A y B van al encuentro. A lleva una velocidad de 70 km/h y B de 50 km/h. La distancia que los separa es 600 km ¿Cuánto tardarán en encontrarse y a que distanciadle punto de donde partió A? R/ 5 horas y a 350 km. 44. En una carrera de 50 m, A le da 10 m. de ventaja a B y llegan juntos a la meta. En una carrera de 200 m. si B le da a C una ventaja de 20 m. llegan juntos a la meta. Suponiendo que corren a velocidad constante ¿cuántos m. de ventaja deberá darle A a C para llegar juntos a la meta en una carrera de 100 m? R/ 28 45. Un camión sale de una finca y tiene que entregar naranjas en la ciudad a las 8 a.m. Si viaja a 60 km/hora, llega a la ciudad a las 7:30 a.m. y si viaja a 40 km/hora llega a la ciudad a las 8:30 m. ¿A qué hora sale de la finca? ¿A qué distancia está la ciudad de la finca? ¿A qué velocidad debe viajar para llegar a las 8 a.m.? R/ 5:30 a.m., 120 km, 48 km/hora. 46. Un total de 50 estudiantes de un grupo hicieron un examen. Las 35 mujeres del grupo obtuvieron un promedio de 80 y los 15 varones un promedio de 70. ¿Cuál fue el promedio del grupo? R/ 77 47. Un reloj marca las 12 m. ¿A qué hora exactamente volverán a estar superpuestas las agujas por primera vez? R/ 1 hora 5’ 27.27’’ 48. Un niño tiene tantas hermanas como hermanos, pero cada hermana tiene la mitad de hermanas que hermanos, ¿cuántos hermanos y hermanas hay en la familia? R/ 4 hermanos y 3 hermanas. 49. Un comerciante recibe cuatro sacos de frutas que debe pesar. Cada saco pesa menos de 100 kg pero la balanza que dispone solo le permite medir pesos mayores de 100 kg, por tanto decide pesarlos de dos en dos. Si los resultados obtenidos son 103, 105, 106, 106, 107 y 109, ¿cuánto pesa cada saco? 50. Cuando a un barril le falta el 25% para llenarse, contiene 50 litros más que cuando se ha llenado hasta el 25%. ¿Cuál es la capacidad del barril? R/ 100 litros 51. En un conjunto de vacas y pollos el número de patas es 14 más que el doble del número de cabezas. ¿Cuántas vacas hay en el conjunto? R/ 7 52. Un conejo lleva una ventaja a un perro que lo persigue equivalente a 50 de sus saltos. Si un salto del perro equivale a 3 saltos del conejo y el conejo da 8 saltos mientras que el perro da 3, ¿en cuántos saltos alcanza el perro al conejo? R/ 150 53. Al sumar las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0, con el producto de las raíces de la misma ecuación,
se obtiene 3
bc− . ¿Cuánto vale “a”? R/ 3
ÁLGEBRA
106
2.13. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO CONCEPTOS GENERALES:
1. Orden en R
El conjunto de los números reales es ordenado: Dados dos números reales a, b ∈R, una y sólo una de las
siguientes relaciones se cumple:
i) a = b , ii) a > b , iii) a < b .
DEFINICIÓN: Si a, b ∈ R entonces:
i) a > 0 ⇔ a es positivo
ii) a < 0 ⇔ a es negativo
iii) a > b ⇔ a – b es positivo
iv) a < b ⇔ a – b es negativo ⇔ b – a es positivo ⇔ b > a
v) a ≥ b ⇔ a > b ∨ a = b
vi) a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b
2. Recta numérica real: Podemos establecer una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales R y
una recta, de manera que a cada número le corresponda un único punto de la recta y viceversa. A dicha
recta se le llama recta numérica real.
Generalmente la recta se dispone de manera horizontal. Al punto que le corresponde el cero se le llama
origen; los números positivos se colocan a la derecha del origen y los negativos a la izquierda. Tal
disposición se conoce como posición estándar de la recta numérica.
En este caso a > b es equivalente a afirmar que “a” esta colocado a la derecha de “b”.
3. Intervalos Abiertos, Cerrados y Mixtos: Los subconjuntos de la recta numérica que gráficamente corresponden a segmentos, semirrectas y rayos se
conocen como intervalos y tienen una notación especial.
♦ Intervalo Abierto:
Sean a, b ∈ R y a < b. El intervalo abierto de “a” a “b”, denotado por (a, b) es el conjunto de números reales
dado por (a, b) = {x / a < x < b}.
La expresión a < x < b es equivalente a a < x ∧ x < b. Escribimos también x ∈ (a, b) para indicar que
el número x pertenece a dicho intervalo. El intervalo abierto no contiene los puntos extremos:
a ∉ (a, b) y b ∉ (a, b).
( ) a b
ÁLGEBRA
107
♦ Intervalo cerrado:
De manera similar el intervalo cerrado, denotado por [a, b] se define por:
[a, b] = { x / a ≤ x ≤ b}
Se tiene a ≤ x ≤ b ≡ a ≤ x ∧ x ≤ b
El intervalo cerrado contiene sus puntos extremos.
♦ Intervalos Mixtos:
(a, b] = {x / a < x ≤ b} [a, b) = {x / a ≤ x < b}
Se les llama intervalos semiabiertos o semicerrados.
♦ Otros Intervalos:
(a, ∞) = {x / x > a}, [a, ∞) = { x / x ≥ a } , (–∞, ∞) = {x / x ∈ R }
(–∞, a) = { x / x < a} , (–∞, a] = {x / x ≤ a}
PROPIEDADES: A partir de las definiciones pueden probarse las siguientes propiedades
i) Si a > 0 ∧ b > 0 ⇒ a + b > 0 (La suma de dos números positivos, es positiva)
ii) Si a > 0 ∧ b > 0 ⇒ a b > 0 (El producto de dos números positivos, es positivo)
iii) Si a > 0 ⇔ a1 > 0 (El recíproco de un número positivo, es positivo)
iv) Si a > b ∧ b > c ⇒ a > c (Transitividad)
v) a > b, c ∈ R ⇒ i) a + c > b + c ii) a – c > b – c
(En una desigualdad podemos sumar o restar una misma cantidad a cada lado, y el sentido de la
desigualdad se mantiene. Esta propiedad es muy útil al momento de resolver desigualdades. De manera
práctica la aplicamos de manera similar que en las ecuaciones: lo que está sumando a un lado, pasa a restar
al otro y viceversa. )
vi) i) a > b ∧ c > 0 ⇒ a c > b c ∧ ca >
cb
ii) a > b ∧ c < 0 ⇒ a c < b c ∧ ca <
cb
( ] a b
[ ) a b
[ ] a b
ÁLGEBRA
108
(En una desigualdad podemos multiplicar o dividir por una misma cantidad positiva a cada lado, y el sentido
de la desigualdad se mantiene. Pero si la cantidad por la que estamos multiplicando o dividiendo es
negativa, la desigualdad CAMBIA de sentido. Esta propiedad también es muy útil al momento de resolver
desigualdades, pero hemos de tener mucho cuidado con el signo del factor que estemos considerando.)
vii) a > b ∧ c > d ⇒ a + c > b + d
viii) a > b > 0 , n > 0, n ∈ N ⇒ an > bn ∧ nn ba >
x) b > a > 0 ⇒ b1
a1>
DESIGUALDADES LINEALES CON UNA VARIABLE
Son proposiciones de la forma ax + b 0 o equivalentes a ella, donde es uno de los símbolos >, <, ≥ ó ≤.
Resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores de x que convierten a la desigualdad en
una proposición verdadera.
Para resolver una desigualdad aplicamos los axiomas y teoremas acerca del orden de los números reales
para despejar la incógnita.
Resolver las siguientes desigualdades. Indicar el conjunto solución usando la notación de intervalos:
1) x – 3 > 0
Aplicamos la propiedad (v) sumando a cada lado 3.
(x–3) + 3 > 0 + 3 ∴ x > 3 o sea x ∈ (3, ∞)
2) 5x + 6 < 0
5x < – 6 Sumando (– 6) a cada lado
x < – 6/5 Dividimos cada lado por 5. Se conserva el sentido
∴ x ∈ (– ∞,– 6/5) de la desigualdad ya que 5 > 0 (propiedad vi)
3) 6x – 1 > 9x + 5
6x – 9x > 5 + 1 Restamos 9x y sumamos 1 a cada lado.
–3x > 6 Reducimos términos semejantes.
x < – 6/3 Dividimos por (– 3) cada lado.
x < – 2 El sentido de la desigualdad cambia porque –3< 0 (propiedad vii).
∴ x∈ (– ∞, – 2)
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
109
4) – 4 < 3x + 5 < 8
Esta expresión contiene dos desigualdades: – 4 < 3x + 5 y 3x + 5 < 8
Ambas desigualdades pueden resolverse al mismo tiempo:
– 4 < 3x + 5 < 8
– 4 – 5 < 3x < 8 – 5 Restamos 5 a cada miembro
– 9 < 3x < 3
–9/3 < x < 3/3 Dividimos por 3 cada miembro, el sentido de la desigualdad
se conserva porque 3>0
–3 < x < 1 ∴ x∈(– 3,1)
5) –2 ≤ 21
4x35≤
− Similar a la anterior
– 8 ≤ 5 –3x ≤ 2 Multiplicamos por 4 cada miembro.
– 8 –5 ≤ –3x ≤ 2 – 5 Restamos 5 a cada miembro
– 13 ≤ – 3x ≤ –3
–13/–3 ≥ x ≥ –-3/–3 Dividimos entre –3 y cambiamos el sentido de la
desigualdad, ya que – 3 < 0
13/3 ≥ x ≥ 1 o sea 1 ≤ x ≤ 13/3 ∴ x ∈ [1, 13/3]
6) 0>+ 1x1
Se tiene x + 1 > 0 Aplicando la propiedad (iii)
x > – 1 Restamos 1 a cada miembro
∴ x ∈ (–1,∞)
7) 2x4>
Antes de multiplicar por x cada lado, hemos de diferenciar dos posibilidades:
i) x > 0, ii) x < 0
i) Si x > 0, resulta al multiplicar por x cada lado, 4 > 2x ya que x > 0
o sea 2x < 4 Dividiendo entre 2 resulta: x < 2
Se tiene entonces x > 0 y x < 2 luego x ∈ (0, 2)
ii) Si x < 0, resulta 4 < 2x, cambia el sentido de la desigualdad porque x < 0.
4 < 2x o sea 2x > 4. Al dividir entre 2, tenemos x > 2. Dado que no hay número real negativo
que cumpla x > 2, se descarta esta posibilidad. Luego el conjunto solución es el obtenido en
la primera parte: x ∈ (0, 2)
ÁLGEBRA
110
8) 31
2x3x2<
+−
Diferenciamos dos posibilidades: i) x + 2 > o ii) x + 2 < 0
i) Si x + 2 > 0 o sea x > – 2 (1)
Al multiplicar cada miembro por 3 (x + 2) se conserva el sentido de la desigualdad y se obtiene.
3(2x– 3) < 1(x + 2) ⇒ 6x – 9 < x + 2 ⇒ 6x – x < 2 + 9
5x < 11, x < 11/5 (2)
Luego se tiene de (1) y (2): x > – 2 y x < 11/5 o sea x ∈ (– 2, 11/5)
ii) Si x + 2 < 0 o sea x < – 2 (3)
Multiplicamos por 3(x + 2) cada miembro y cambiamos el sentido de la desigualdad, ya que
3(x + 2) es negativo
3 (2x – 3) > 1 (x + 2) ⇒ 6x – 9 > x + 2
5x > 11 ∴ x > 11/5 (4)
Se tiene ( x < –2 ∧ x > 11/5 ) = φ ya que no hay número real que satisfaga ambas expresiones. De (i) y
(ii) tenemos: x ∈ (–2, 11/5)
9) 21x57x4≥
+−
Hay dos posibilidades: 5x + 1 > 0 ó 5x + 1 < 0. (Debe tenerse presente que 5x+1 tiene que ser diferente de
cero)
i) Si 5x + 1 > 0 ó sea x > – 1/5 , multiplicando cada miembro por 5x + 1 se obtiene:
4x – 7 ≥ 2 (5x + 1) ⇒ 4x – 7 ≥ 10x + 2 ⇒ 10x + 2 ≤ 4x – 7
10x – 4x ≤ – 7 – 2 ⇒ 6x ≤ – 9 ⇒ x ≤ – 9/6 ⇒ x ≤ – 3/2
Se tiene entonces ( x > –1/5 ∧ x ≤ – 3/2 ) = φ
(Al representar en una recta numérica estos conjuntos se concluye que no hay número real que satisfaga
ambas expresiones)
ii) Si 5x + 1 < 0 o sea x < –1/5, al multiplicar cada miembro por 5x + 1 cambia el sentido de la desigualdad
4x –7 ≤ 2(5x + 1)
Al despejar la x se obtiene x ≥ – 3/2
Luego se tiene: x < – 1/5 ∧ x ≥ – 3/2 ≡ ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ −−
51,
23
Por tanto el conjunto solución es : x∈ ⎟⎠⎞
⎢⎣⎡ −−
51,
23
ÁLGEBRA
111
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
Son proposiciones de la forma ax² + bx +c 0, o equivalentes a ella, donde es uno de los símbolos >,
<, ≥ ó ≤ y a, b, y c son números reales con a ≠ 0.
En muchas aplicaciones aparecen desigualdades cuadráticas e interesa encontrar el conjunto solución, es
decir el conjunto de valores de x que convierten la desigualdad en una proposición verdadera. Para ello
contamos con el método conjuntista y el método de las raíces.
Método Conjuntista: Este método se basa en la aplicación de ley de los signos para la multiplicación y el
análisis de las variantes posibles que satisfagan la desigualdad planteada. Los pasos para resolver una
desigualdad cuadrática son básicamente los siguientes:
1. Resolvemos la ecuación ax² + bx + c = 0, ya sea por factorización o usando la fórmula general.
2. Usamos la propiedad que tienen las raíces de una ecuación cuadrática, esto es si
x = r1 y x = r2 son las raíces de la ecuación ax² + bx + c = 0 entonces
(x – r1 ) (x – r2) = 0 (*)
3. Usamos la consecuencia de la ley de los signos para la multiplicación:
i) Si ambos factores tienen igual signo el producto es positivo.
ii) Si los factores tienen signos diferentes el producto es negativo.
4. En la desigualdad sustituimos ax² + bx + c por (x – r1) (x – r2) y analizamos las variantes posibles.
Considerando que el conectivo lógico “y” es equivalente a la intersección de conjuntos y el conectivo lógico
“o” es equivalente a la unión, determinamos el conjunto solución de la desigualdad planteada.
*Si las raíces son complejas y a > 0, se cumple ax² + bx + c > 0 ∀ x ∈ R
Resolver las siguientes desigualdades
1) x² – 5x – 24 > 0
Solución:
Las raíces de x² – 5x –24 = 0 son x = 8 y x = – 3
x² – 5x – 24 = (x – 8) (x + 3) Se tiene entonces: (x – 8) (x + 3) > 0
Para que el producto sea positivo hay dos posibilidades: ambos factores son positivos o ambos son
negativos, luego
[ x – 8 > 0 ∧ x + 3 > 0 ] ∨ [ x– 8 < 0 ∧ x + 3 < 0 ]
lo cual equivale a: (x > 8 ∧ x > – 3 ) ∨ ( x < 8 ∧ x < –3 )
(1) (2)
La parte (1) es una intersección de dos intervalos abiertos
(8, ∞) ∩ (–3,∞ ) = (8,∞)
De manera similar la parte (2) : (–∞,–3) ∩ (–∞ ,8) = (–∞,–3).
El conjunto solución es la unión de estas intersecciones: x ∈ (– ∞, –3) ∪ (8, ∞)
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
112
2) x² – x – 6 ≤ 0
Solución: Factorizamos la expresión x² – x – 6 y obtenemos (x– 3) (x + 2) ≤ 0
Para que el producto sea negativo, los factores deben tener signos diferentes, luego.
[ x– 3 ≥ 0 ∧ x + 2 ≤ 0 ] ∨ [ x – 3 ≤ 0 ∧ x + 2 ≥ 0]
o sea ( x ≥ 3 ∧ x ≤ – 2) ∨ (x ≤ 3 ∧ x ≥ – 2)
tenemos: x ≥ 3 ∧ x ≤ – 2 ≡ φ (1)
x ≤ 3 ∧ x ≥ – 2 ≡ – 2 ≤ x ≤3 ≡ [–2,3 ] (2)
La unión de las partes ( 1 ) y ( 2 ) : φ ∪ [– 2,3] = [– 2, 3]
El conjunto solución es : x ∈ [– 2, 3]
3) x² – 2x – 4 ≥ 0
Solución
Dado que no hay números enteros cuyo producto sea – 4 y su suma – 2, usamos la fórmula general para
hallar las raíces: a = 1, b = – 2 , c = – 4
x = 512
2022
1642±=
±=
+± luego las raíces son:
x1 = 1 + 5 y x2 = 1– 5
[ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ]
( ] [ )∞+∪−∞−∈
+≤∧−≤∨+≥∧−≥
≤+−∧≤−−∨≥+−∧≥−−
≥+−−−
,,:
)
)()()()(
:)()(
5151xconclusión
51x51x51x51x
051x051x051x051x
entoncestieneSe051x51x
DESIGUALDADES DE GRADO n ≥ 2 Y DESIGUALDADES CON FUNCIONES RACIONALES.
MÉTODO DE LAS RAÍCES: Este método se fundamenta en la aplicación del siguiente teorema:
TEOREMA: Sea P(x)= an xn +... + a1x + a0 un polinomio en x. Si los números c y d son soluciones sucesivas
(*) de la ecuación P(x) = 0, entonces cuando x está en el intervalo abierto (c, d), todos los valores del
polinomio son positivos o bien son negativos.
(*) Por soluciones sucesivas, entendemos que no existe otra solución entre c y d.
Una consecuencia de este teorema es que si escogemos cualquier número arbitrario k,
c < k < d, y si el valor del polinomio es positivo para x = k, entonces el polinomio será positivo para toda x
∈(c, d). De manera similar si el polinomio es negativo para x = k, será negativo para toda x ∈ (c , d).
ÁLGEBRA
113
Si a y b son respectivamente la menor y la mayor de las raíces de P(x) respectivamente, el criterio anterior
es válido también para los intervalos (-∞, a) y (b, ∞).
El teorema anterior puede extenderse al caso de desigualdades con funciones racionales (cociente de dos
polinomios)Q(x)P(x) , considerando tanto las raíces del numerador y las raíces del denominador, teniendo el
cuidado de que las raíces del denominador no forman parte del conjunto solución.
1) Resolver x² – 3x – 10 > 0
i) Hallamos las raíces, es decir resolvemos x² – 3x – 10 = 0, resultando x1 = – 2 y x2 = 5
ii) Formamos los intervalos (– ∞, – 2) , (– 2, 5) y (5, ∞)
iii) Escogemos un valor de prueba k en cada intervalo y determinamos el signo de
x² – 3x –10 = (x – 5) (x + 2) > 0
Intervalos (–∞,– 2) (–2, 5) (5, ∞)
Valor de K – 3 0 6
Signo de
cada factor
( – ) (– )
(–) (+)
(+) (+)
Signo de P(x) + – +
iv) Dado que en este caso la desigualdad planteada es P(X) > 0, formamos el conjunto solución con
la unión de los intervalos que resultaron +.
Por ser estrictamente mayor que cero, los extremos del intervalo son abiertos, luego
x² – 3x –10 > 0 ⇒ x ∈ (– ∞ ,2) ∪ (5, ∞)
2) Resolver x3 – x² – 6x ≤ 0
Raíces: x3 – x² – 6x = x (x² – x – 6) = x (x – 3) (x + 2) = 0 ∴ x = 0, x = 3, x = – 2
Ordenamos las raíces de menor a mayor: x1= – 2 x2 = 0 y x3 = 3
Formamos los intervalos (– ∞, – 2), (–2, 0), (0, 3) y (3, ∞). Escogemos los valores de pruebas y
determinamos el signo de P(x)
Intervalos (-∞,–2) (–2,0) (0,3) (3, ∞).
Valor de K – 3 –1 1 4
Signos (-) (-) (-) (-) (-) (+) (+) (-) (+) (+) (+) (+)
Signos de P(x) – + – +
El conjunto solución de x3 – x2 – 6x ≤ 0 será x ∈ (– ∞, –2] ∪ [0, 3]
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
114
Notemos que los intervalos son cerrados en –2, 0 y 3, ya que el conjunto solución contiene las raíces de
polinomio por ser del tipo ≤ .
3) ( ) ( )
0≤−
+−x4
3x2x 2
Raíces del numerador: x = 2 y x = – 3. Raíces del denominador: x = 4
Ordenando las raíces de menor a mayor: – 3, 2, 4
Intervalos ( ) ( ) ( ) ( )∞−−∞− ,,,,,,, 442233
Dado que la desigualdad es de la forma 0Q(x)P(x)
≤ , el conjunto solución está formado por los intervalos que
han resultado (–) en unión con las raíces del numerador. En este caso: x ∈ (– ∞ , – 3 ) ∪ ( 4, ∞ ) ∪ { 2, – 3 } , lo que es equivalente a x ∈ (– ∞ , – 3 ] U { 2 } U ( 4, ∞) (Hemos de notar que x = 4 no pertenece al conjunto solución dado que es una raíz del denominador)
4). 31x2
4x≤
−+
Buscamos una desigualdad equivalente de la forma 0Q(x)P(x)
≤ :
031x2
4x≤−
−+ ,
( ) ( ) 01x2
1x234x≤
−−−+ , 0
1x23x64x≤
−+−+ ,
( )0≤
−−
1x2x57
Raíz del numerador: 7 – 5x = 0 57
=∴ x
Raíz del denominador: 2x – 1 = 0 21
=∴ x
Intervalos
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞−
21, ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
57,
21 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞,
57
Valor de K 0
1 2
Signos de cada factor −+
++
+−
Signo de P(x) / Q(x) –
+ –
Intervalos (–∞,– 3) (– 3, 2) (2, 4) (4, ∞)
Valor de K -4 0 3 5
Signos de cada factor +−+ ))((
+++ ))((
+++ ))((
−++ ))((
Signos de P(x)/Q(x) – + + –
ÁLGEBRA
115
Por tanto ⎢⎣
⎡⎟⎠⎞∞∪⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞−≡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∪⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞∪⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞−∈ ,
21,
57,
57
21,
57x
5). ( ) 0
3x5xx
≥−+
Raíces del numerador : x = 0 y x = – 5
Raíces del denominador : x = 3 , raíces ordenadas de menor a mayor: – 5, 0, 3
Intervalos (–∞,– 5) (– 5, 0) (0, 3) (3, ∞) Valor de K – 6 – 1 1 4 Signo de cada Factor
−−− ))((
−+− ))((
−++ ))((
)())((
+++
Signos de P(x) / Q(x) – + – + Conjunto solución : ( ) ( ) { } [ ] ( )∞∪−≡−∪∞∪−∈ ,,,,, 30550305x
6). x23
47x3
1−
≥−
0≥−
−− x23
47x3
1 ⇒ ( ) ( )( )( ) 0≥
−−−+−3x27x3
7x343x2
( )( ) 0≥−−−+−
3x27x328x123x2 ⇒ ( )( ) 0≥
−−−
3x27x331x14
Raíz del numerador: 14x – 31 = 0 x = 1431
Raíces del denominador: 3x – 7 = 0 y 2x – 3 =0 23x
37x =∧=∴
Ordenando las raíces: 37
1431,
23
Una forma de establecer el orden correcto de las raíces es comparar las fracciones en forma
decimal: 332214251 .37,.
1431,.
23
≈≈=
Intervalos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞−
23, ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
1431,
23 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
37,
1431 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞,
37
Valor de K 0 2 2.25 3
Signos de cada factor
( )( )( )−−−
( )( )( )+−−
( )( )( )+−+
( )( )( )+++
Signo – + – +
Conjunto solución: ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∪⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞∪⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∈
1431x ,
37
1431,
23
≡ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞∪⎥
⎦
⎤⎜⎝⎛∈ ,
37
1431,
23x
ÁLGEBRA
116
VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real x, denotado por |x| está definido por:
⎩⎨⎧
<−≥
=0xsix0xsix
x o bien |x| = 2x
a) | 5 | = 5 ya que 5 > 0
b) | – 3 | = – (– 3 ) = 3 ya que –3 < 0
c) ⎩⎨⎧
<−≥
=0bsib0bsib
b Hay dos posibilidades ya que desconocemos
el valor del número b
PROPIEDADES: 1). | x | ≥ 0 El valor absoluto de un número real es no
negativo. Si no es cero, siempre es positivo.
2). | x – y | = | y – x |
3). – | x | ≤ x ≤ | x |
4). | x + y | ≤ | x | + | y | (Desigualdad triangular)
5). | x y | = | x | | y |
6). yx
yx
= , y ≠ 0
7). Si a > 0, | x | < a ⇔ – a < x < a ⇔ x > – a ∧ x < a
8). Si a > 0, | x | > a ⇔ x > a ∨ x < – a
9). Si b > 0, | x – a | < b ⇔ a – b < x < a + b
| x – a | > b ⇔ x > a + b ∨ x < a – b
10). Si a > 0, | x | < a ⇒ x2 < a2 | x | > a ⇒ x2 > a2
ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS. En algunas aplicaciones de las Matemáticas se presenta la necesidad de encontrar el conjunto solución
de ecuaciones y desigualdades que contienen términos con valores absolutos. En tales casos aplicamos las
propiedades de la igualdad, las relaciones de orden y las propiedades del valor absoluto. Ante la variedad
de situaciones que pueden presentarse, no existe un método general.
Hallar el conjunto solución de:
1) | x | = 3 A partir de la definición de valor absoluto tenemos
x = 3 ∨ x = – 3, por tanto el conjunto solución es x ∈ { –3, 3}
EJEMPLOS
EJEMPLOS
ÁLGEBRA
117
2) | 4x – 5 | = 3 De acuerdo a la definición de valor absoluto hay dos posibilidades: 4x – 5 = 3 ⋁ 4x – 5 = – 3
4x = 3 + 5 ⋁ 4x = – 3 + 5
4x = 8 ⋁ 4x = 2
x = 2 ⋁ x = 21
por tanto ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∈ 2,
21x
3) ( ) 84x3 2 =+ Esta ecuación es equivalente a | 3x + 4 | = 8 luego,
3x + 4 = 8 ∨ 3x+ 4 = – 8
3x = 4 ∨ 3x = –12
x = 34 ∨ x = –4
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −∈∴ 4x ,
34
4) | x | < 5 De acuerdo a la propiedad #7, del valor absoluto
| x | < 5 ⇔ – 5 < x < 5 , luego el conjunto solución esta dado por x ∈ (– 5, 5 )
5) | x | > 2 Usando la propiedad #8, se tiene:
| x | > 2 2x2x −<∨>⇔ ,
por tanto ( ) ( ) ≡∞∪−∞−∈ ,22,x R \ [– 2, 2]
6) | x – 1 | ≤ 2 Usando la propiedad #9, se tiene:
| x – 1 | ≤ 2 21x21 +≤≤−⇔ , – 1 ≤ x ≤ 3 por tanto: x∈ [–1 , 3 ] 7) | 3 – x | < 5 Esta desigualdad es equivalente a | 3 – x | = | x – 3 | < 5
por la propiedad #7 se tiene – 5 < x–3 < 5 o sea –2 < x < 8
por tanto el conjunto solución es : x ∈ (– 2, 8)
8) 22x
1≤
− Intercambiando de posición | x – 2 | y el 2, y dado que para x ≠ 2, ambos son positivos, se
tiene 212x ≥− , con x ≠ 2
por la propiedad # 9 : 21
21
−≤∨+≥ 2x2x o sea 23
25
≤∨≥ xx
por tanto el conjunto solución es : ⎢⎣
⎡≡⎟
⎠⎞∞∪⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦⎤∞−∈ ,
25
23,x R \ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
25,
23
Debemos asegurarnos que la raíz del denominador esté fuera del conjunto solución. En este caso se cumple.
ÁLGEBRA
118
9) | x + 4 | < 7 – 7< x + 4 < 7 por la propiedad #7 –11< x < 3 ∴x ∈ (– 11, 3) 10) | 9 – 2x | ≥ | 4x | Elevamos al cuadrado ambos lados: 81 – 36x + 4x2 ≥ 16x2 Simplificamos: 12x2 + 36x – 81 ≤ 0
dividimos entre 3: 4x2 + 12x – 27 ≤ 0
factorizamos : ( 2x + 9) ( 2x –3) ≤ 0
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
23x
29x 0≤
Raíces : x = 23
29
=∧− x ∴ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈
23,
29x
Otra forma analizamos dos casos: i) x ≥ 0 y ii) x < 0 i) Si x ≥ 0 4x ≥ 0 luego | 4x | = 4x 9 – 2x puede ser negativo o positivo , luego | 9 – 2x | ≥ 4x ⇒ 9 – 2x ≥ 4x o 9 – 2x ≤ – 4x
9 ≥ 6x , x23
≤ o 2x ≤ – 9 , x29
−≤ pero x ≥ 0 , luego x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈
230,
ii) Si x<0 , 4x < 0 | 4x | = – 4x , | 9 – 2x | = | 2x – 9 | = 9 – 2x
luego 9 – 2x ≥ – 4x 2x ≥ – 9x x29
−≥ x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈ 0,
29
uniendo resultados x ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈ 0,
29 ∪ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
230, = ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
23,
29
11) 21
x3x56
≤+−
21
x3x56
≤+
− ⇒ 2 | 6 – 5x | ≤ | 3 + x | , x ≠ – 3
( ) ( )22 x3x564 +≤− (elevamos al cuadrado para eliminar el valor absoluto)
( ) 22 xx69x25x60364 ++≤+− , 22 xx69x100x240144 ++≤+−
99x2 – 246x +135 ≤ 0 o sea 045x82x33 2 ≤+−
Raíces ( )( )
( )332453348282 2 −±
=x
ÁLGEBRA
119
66
5940672482 −±=x =
6678482 ± =
662882 ±
119
6654
662882
==−
=1x ∨ 35
66110
662882
==+
=2x
Por tanto la desigualdad anterior es equivalente a:
035x
119x ≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − y el conjunto solución buscado es : ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈
35,
119x
(verificamos que x = – 3 , la raíz del denominador está fuera del conjunto solución).
12) 2x
11x2
5−
≥−
5 | x – 2 | ≥ | 2x – 1 | , x ≠ 2 y x ≠ 1/2
25 (x2 – 4x +4 ) ≥ 4x2 – 4x + 1 , 25x2 – 100x +100 ≥ 4x2 – 4x + 1
21x2 – 96x + 99 ≥ 0 , 7x2 – 32x +33 ≥ 0
( x – 3) (7x – 11 )≥ 0 ∴ x ∈ (– ∞ ,11⁄ 7] ∪ [ 3 , ∞ ) ∧ {x ≠ 1/2 ∧ x ≠ 2}
x ∈ (– ∞, 1/2 ) ∪ ( 1/2, 11/7] ∪ [ 3, ∞ )
13) |x2 +x – 4 | > 2
x2 +x –4 > 2 ∨ x2 + x – 4 < – 2
x2 + x – 6 > 0 ∨ x2 + x – 2 < 0
( x + 3 ) ( x – 2 ) > 0 ∨ ( x + 2 ) ( x – 1 ) < 0
x ∈ (–∞ , – 3 ) ∪ (2 , ∞ ) ∨ x ∈ (– 2 , 1 )
∴ x ∈ ( -∞ , - 3 ) ∪ ( - 2 , 1 ) ∪ ( 2 , ∞ )
14) | x2 – 5x – 1 |< 5
– 5 < x2 – 5x – 1 < 5
x2 – 5x – 1 > – 5 ∧ x2 – 5x – 1 < 5
x2 – 5x + 4 > 0 ∧ x2 – 5x – 6 < 0
( x – 4 ) ( x – 1 ) > 0 ∧ ( x – 6 ) ( x + 1 ) < 0
x ∈ (– ∞ , 1 ) ∪ ( 4 , ∞ ) ∧ x ∈ (– 1 , 6 )
x ∈[ (– ∞ , 1 ) ∪ ( 4 , ∞ )] ∩ (– 1 , 6 ) ≡ (– 1 , 1 ) ∪ ( 4 , 6 )
ÁLGEBRA
120
Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades, exprese la solución en notación
de intervalo.
1. Desigualdades Lineales:
a) 5x + 2 > x – 6 b) 3x2 –
21 < 0 c) 9 +
31 x ≥ 4 –
21 x
d) (x – 1)² + 5 ≥ x² e) 7+ 3 (2 – 7x ) < 3 – 2 (10x – 6)
f) 2x (x –1) ≥ (x + 2) (2x + 1) g) 5 ≤ 2x – 3 ≤ 13 h) 7< 3 – 2x ≤ 8
i) 2x + 5 ≥ 3 j) – 5 – 4x > 35 k) 10 – x ≥ 8 – (x – 2)
l) – 2 (7 – x ) ≤ (x + 7) – 5x m) 6 + 3 (x + 2) ≥ x + 16 n) 5 (12 – 3x) ≥ 15 (x + 4)
ñ) – 8 ≤ 2x + 5 ≤ 11 o) 0 ≤ 4x + 9 ≤ 25 p) – 7 < 8 – 3x < 11
q) 8
3x12
5x +−
+ < 1 r) 9
3x6
2x −−
+ > – 7
2. Desigualdades cuadráticas, cúbicas y racionales
a) ( x – 3) (x + 5) ≥ 0 b) x² –3x + 2 ≥ 0 c) x² + 6x + 5 < 0
d) x² + 2x + 1 > 0 e) x² + 2x +2 > 0 f) x3 + x² – 2x > 0
g) x3 – x2 – 4x + 4 ≥ 0 h) x3 – 3x2– 6x + 8 < 0 i) 2x² – 6x + 3 < 0
j) 1x3
21x
1−
<+
k) 3x2
5x2x1x3
−−
≤++ l) 0
8x8x≤
+−
m) 3x
x22x
x+
≤−
n) 1x2
12x3
3+
>−
o) 0x2²xx
1x²x3 ≥
−−
++
3 Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto
a) | x – 1 | = 3 b) |2x + 3 | = 7 c) |2 + x | = 1
d) ⎪8–5x⎪ – 2 = 0 e) ⎪2x⎪ = ⎪x+1⎪ f) ⎪x+1⎪ = 5 – 2x
g) 6 + ⎪2x –1⎪ = 0 h) | x – 2 | = 2 – x (*) i) | x² + 3x | + x² – 2 = 0
j) |x + 4| = |2x – 6| k) | x – 1 | ≤ 3 l) |2 – 5x |≥ 3
m) | – x | ≥ 0 n) ⎪5–3x⎪< 7 ñ) ⎪2x + 4⎪ ≥ 8
o) |5x – 4 | ≤ 9 p) | 2x – 5 | > 3 q) | 3 – 4x | ≤ 11
r) |x –2| ≥ |3x–1| s) ⎪x² –2x – 4 ⎪> 4 t) | | x + 2 | – x | < 5
u) 4<−+
3x22x v)
4xx2
x3x2
+≥
+
4. Sean a y b dos números reales positivos. Muestre que ba2
ba≥
+ y deduzca que para a, b, c reales
positivos, se tiene (a + b) (b + c) (c + a) ≥ 8 a b c
EJERCICIOS
ÁLGEBRA
121
5. Muestre que para todos los reales x, y se cumple x y ≤ ( )22 yx +21 y por tanto
222 zyxzxyzxy ++≤++
6. Muestre que si a > 0, b > 0, a ≠ b entonces 2ab
ba
>+
7. Si a ≠ 1, a + a1 > 2
8. Sean a y b estrictamente positivos. Demuestre que i) b1
a1
ba1
+<+
y baba +<+
ii) b1
a1
ba2
)ba(8
2 +≤≤+
9. Si de las siguientes afirmaciones 3 son verdaderas y una es falsa ¿Cuál es la falsa? (1) x > y (2) y > z (3) z > x (4) y + z = 2x
1 a) ( – 2,∞ ) b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞−
43, c) [– 6,∞ ) d) ( – ∞, 3] e) ( – 2,∞ ) f) (–∞ , – 2/7 ] g) [4, 8]
h) [ – 10, – 8) i) [– 1, ∞ ) j) (– ∞, – 10) k) ℜ l) ( – ∞, 7/2] m) [2, ∞ ) n) (– ∞, 0]
ñ) [– 13/2, 3] o) [– 9/4, 4] p) (– 1, 5) q) (– 23, ∞) r) (– 138, ∞)
2. a) (– ∞, – 5] ∪ [3, ∞) b) (– ∞, 1] ∪ [2, ∞) c) (– 5, – 1) d) R \ {– 1}
e) R f) ( – 2, 0) ∪ (1, ∞) g) [ –2, 1] ∪ [2 , ∞) h) (– ∞, – 2) ∪ (1, 4) i) 3 3 3 3,2 2
⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
j) (– ∞, – 1) ∪ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 3,
31 k) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
23,2 l) (– 8, 8] m) (– ∞, – 3) ∪ [ 0,2) ∪ [7, ∞)
n) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞∪⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −− ,
32
21,
35 o) (– 1,0) ∪ ( 2, ∞)
3. a) {– 2, 4} b) { – 5, 2} c) { – 1, – 3} d) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ 2,
56 e)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧− 1,
31 f)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
34 g) φ
h) (– ∞, 2] i) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
21,
32 j)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ 10,
32 k) [– 2, 4] l) ( – ∞, -1/5] U [1, ∞)
m) ℜ n) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − 4,
32 ñ) (– ∞, – 6] ∪ [2, ∞) o) [– 1, 13/5]
p) (– ∞,1) U (4, ∞) q) [– 2, 7/2] r) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
43,
21 s) (– ∞, – 2) ∪ (0, 2) ∪ (4 , ∞)
t) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞− ,
27 u) ( )∞∪⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞− 2,
910, v) ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡− ,0
1112 U( 0 , ∞ )
SOLUCIONES
ÁLGEBRA
122
REPASO. SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. El valor numérico de la expresión )b3a(2)b(a
b)(a)b(a)b(aa222
23322
−+
−−+ para a = 1 y b = – 2 es
A. 107 B.
1021 C.
1021
− D. 1027 E.
1027
−
2. El resultado de ( )( )nmmn by5y5b +− es
A. 2m2n y25b + B. m2n2 y25b + C.
2m2n y25b − D. m2n2 y25b − E. 0
3. El cuarto término del desarrollo de 10
x6 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
x21
es:
A. 90x4 B. 15⋅(6)7 x4 C. – 15⋅(6)7 x4 D. – 90 x4 E. 90 4. El quinto término del desarrollo de ( ) n132 aa −−/ es independiente de a, entonces el valor de dicho término es A. 120 B. – 120 C. 210 D. – 210 E. 252 5. La descomposición en factores de la expresión 3x2 – 2x – 8 es A. (3x – 6) (x + 4) B. (x – 2) (3x + 4) C. (x – 6) (x + 4) D. (x – 2) (3x + 2) E. (x + 2) (3x – 4) 6. Al factorizar a3 + b 3 se obtiene A. (a + b) (a2 + ab + b2) B. (a + b) (a2 – ab + b2) C. (a + b) (a2 – 2ab + b2) D. (a + b)3 E. (a – b) (a2 – ab + b2) 7. La descomposición en factores de la expresión x3 – 64y3 es A. (x – 8y) ( x2 + 8xy + 16y2) B. (x + 8y) ( x2 – 8xy + 16y2) C. (x + 4y) ( x2 – 8xy + 16y2) D. (x – 8y) ( x2 – 8xy + 16y2) E. (x – 4y) ( x2 + 4xy + 16y2)
8. La simplificación de aba3
b2ab5a3b2abb4a
2
22
2
22
+
−−÷
+
− es
A. b)a(3b
a+
B. ab C.
ba
D. 1 E. b)a(3bb)a(3a
−+
9. Al simplificar la expresión
a1
a1
a1
a1
+
− se obtiene
A. a
)a(1 2+ B.
1−+a
)a(1 2 C.
a)a(1 2
−−1
D. 11
−−
a)a( 2
E. 1+
−a
)a(1 2
11. Al efectuar la suma de fracciones 12x38x
x4x
−+
+−
el resultado es
A. x)3(48x4
−+ B.
x)3(48x
−−−2 C.
x)3(4x−+− 42 D.
)(x)3(48x4
4x −−+ E.
32
−
ÁLGEBRA
123
12. El resultado de la siguiente operación ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−+÷
−−
−+
− 9x3x8x3
3x11x4x4x12
1x1
2
2
2
2 es
A. 1)x(41)(x
1x4 2
+−+ B.
1x1x4
++ C.
1)x1)(4(x1x4 2
++− D.
1)x(41)(x1)x(2 2
+++ E.
1x3x5
2−
−
13. Al simplificar 3/13/23/2 5527 ⋅+− se obtiene
A. 2 B. 8 C. 3
16− D.
316
E. 946
14. La simplificación de la expresión 2n
1
1n
3n2
pp +
+
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ corresponde a
A. 1 B. p C. 4np + D. 4n2p + E. 2n p+
15. Al desarrollar 2
xy
yx −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− se obtiene
A. 2
2
2
2
xy
yx
− B. 44
22
yxyx−
C. 44
22
yxyx
+− 22yx2 D. 22
4224
yxyyx2x +− E. 44
22
yxyx+
16. Al racionalizar el denominador de 32
4+
− resulta
A. 5
)32(4 +− B.
5)32(4 −−
C. )32(4 − D. )32(4 −− E. )32(4 +
17. Al racionalizar el denominador de la fracción 5x23
2x++
− se obtiene
A. 2
35x2 −+ B. 2
35x2 ++ C. 2
5x23 +− D. 2
35x2 −+− E. x2
35x2 −+
18. Al racionalizar el denominador de la expresión xx1
x++
se obtiene
A. 1xx
xxx)(12 ++
−+ B.
1xxxxx)(1
2 ++
−− C.
1xxxx)(1
2 ++
+ D.
1xxx
2 ++ E.
1xxx)(1
2 ++
+
19. La expresión n nn ba + es equivalente a
A. ±(a + b) B. a + b C. ba + D. a ± b E. NDLA
20. El conjunto solución de la ecuación 5x
1515x
x3−
+=−
es
A. {2, 5/2} B. {– 5} C. {5} D. {– 5, 5} E. φ 21. El valor de k que proporciona sólo una solución real de la ecuación x32kkxx2 −−=++ es A. 1 B. – 1 C. ± 1 D. – 5 E. No existe
22. Si 31
3yx
6yx
=−
=+
el valor de x es
A. 23 B.
32 C. 2 D.
31 E. 3
ÁLGEBRA
124
23. En una tienda para fijar el precio de un artículo, aumentan su costo en el 90%, pero al venderlo hacen un descuento del 20% del precio fijado. ¿Qué porcentaje del costo es la ganancia? A. 38 B. 48 C. 52 D. 65 E. 70 24. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta del trabajo en 30 días. ¿En cuántos días podría hacer el trabajo el ayudante trabajando solo? A. 72 B. 56 C. 48 D. 36 E. 18
25. El valor de “y” al resolver el sistema ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
baybx
abyax resulta:
A. 1 B. – 1 C. 0 D. a E. b 26. Al resolver el sistema de ecuaciones
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−
−+
=−
++
1yx3
4yx3
2
3yx3
4yx3
2
se obtiene que el valor de la variable y es A. 1/2 B. – 2/3 C. – 2 D. 3/4 E. – 3 /2 27. Al resolver el sistema de ecuaciones
el menor valor obtenido corresponde a la variable A. x B. y C. z D. x ó y E. x ó z 28. Si las raíces de la ecuación ax2 + bx + ab = 0, son precisamente a y b, entonces el valor de ab es: A. 1 B. – 2 C. 4 D. – 1 / 2 E. 2 / 3 29. La suma de tres números es 21. El cociente de dos de ellos es 2.5 y la suma de estos dividida entre el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el menor de los tres números? A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 E. 11 30. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si hace 6 años la edad del padre era el quintuple de la edad de su hijo. Señale la suma de cifras de edad del padre. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12 31. Dos tuberías abiertas simultáneamente llenan un depósito en 1 hora 12 minutos. Si una de ellas tarda 1 hora más que la otra, en llenar el mismo depósito ¿en qué tiempo lo llenará la tubería de mayor caudal? A. 1 hora B. 2 horas C. 3 horas D. 4 horas E. 5 horas.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+−=+−
3yxz3xzy1zyx
ÁLGEBRA
125
32. Un camino puede recorrerse en “t” horas con una cierta velocidad en km/hr. El mismo camino se puede hacer en una hora menos aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Hallar la longitud del camino en km.
A. t
1t+ B. 1t
1−
C. t1t− D.
1tt−
E. tt2 −
33. Al efectuar 4x
2)(x2)(x
4x2
2
2
2
−
++
−
− se obtiene
A. 2x2)2(x
−+ B.
2x2−
C. 2x2)2(x
+− D.
4x2
2 − E. 1
34. Al resolver
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+
=−
5y1
x1
31
yxxy
, se obtiene que el valor de la variable “y” es:
A. 0.25 B. 0.4 C. 0.65 D. 0.8 E. 1 35. Si una raíz de la ecuación ax2 + bx + ab = 0, es “a”. ¿Cuál es el valor de la otra raíz? A. b B. – b C. – a / 2 D. – 3a / 2 E. – 2 a
36. El valor de “y” en el sistema de ecuaciones ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=−−=−−
3yxz22zxy21zyx2
resulta:
A. 1 / 2 B. 1 / 3 C. 1 D. 2 E. 3
37. El valor de “x” en el sistema de ecuaciones ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+−=+−
11yxz26xzy27zyx2
resulta:
A. 1 / 2 B. 1 / 3 C. 1 D. 2 E. 3
38. Al resolver aaxaxaxax=
−−+
−++ , se obtiene x = ?
A. a2 + a +1 B. a2 + 1 C. 2
1a2 − D. 2
1a2 + E. a2 – 1
39. De un depósito de 100 litros de capacidad, lleno de alcohol puro, se saca una cierta cantidad de alcohol y se le reemplaza por agua. Se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando ésta última mezcla con un 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha sacado cada vez. A. 40 litros B. 45 litros C. 30 litros D. 35 litros E. 25 litros
40. Al resolver la ecuación 41x1x2
1x1x
=+−
+−+ se obtiene que la diferencia entre la mayor y la menor de las
raíces es A. 5 B. 8 C. 10 D. 4 E. 2
ÁLGEBRA
126
41. Al resolver el sistema de ecuaciones ( ) 22 x 2 y 5 2 6 xy
2 x 3 y 1
⎧ + = +⎪⎨⎪ − =⎩
se obtiene que el valor de la variable y es:
A. 1/2 B. 2/3 C. 1/3 D. 1 E. 3 42. El conjunto solución de la desigualdad x3 + x2 – 2x > 0 es : A. (– 2, 0) ∪ (1, +∞) B. [– 2, 0) ∪ [1, +∞) C. (– 2, 0) ∪ [1, +∞) D. [– 2, 0) ∪ (1, +∞) E. ( – 1, 0) ∪ (2, +∞) 43. El desarrollo del binomio (– 1 + i)4 donde i = 1− corresponde al valor A. 4 B. – 4 C. 16 D. 16i E. – 16 i 44. Los valores de K para que la ecuación cuadrática 2x2 + K x + 18 = 0 tenga raíces reales pertenecen al intervalo A. ( – ∞, – 12) B. ( – ∞, – 12) ∪ (12, + ∞) C. (12, – ∞) D. ( – ∞, – 12] ∪ [12, + ∞) E. [– 12, 12]
45. Las raíces reales de la ecuación 05x1x7
x1x2
2=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + son
A. { 21 , 2} B. {2, – 7} C. {2, 5} D. {5, – 7} E. {
21 , 5}
46. El valor de k de manera que la ecuación 2x2 + kx + 4 = 0 tenga una raíz igual a – 3 es:
A. 2 B. 34 C.
38 D.
322 E. – 2 4
47. La ecuación ax2 + bx + c = 0 tiene dos raíces reales distintas si y solamente si A. b2 – 4ac > 0 B. b2 – 4ac < 0 C. b2 – 4ac ≥ 0 D. b2 – 4ac = 0 E. a2 – 4bc > 0
48. Si 31
3yx
6yx
=−
=+
el valor de y es
A. 0 B. 32 C.
21 D. – 1 E. 3
49. Las raíces complejas de la ecuación 05x1x7
x1x2
2=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + son
A. ±2i B. ±21 i C.
2i31± D.
2i51± E. – 7 ± 5 i
50. La expresión 1i23 −+ )( es equivalente a
A. 33i
21
− B. i72
73+ C. i
72
73+ D. i
72
73− E. i
21
33−
51. Las raíces complejas de la ecuación x4 + 6x2 – 27 = 0 son A. ± 2 i B. 1 ± 2 i C. 3 ± 3 i D. ± 3 i E. ± 3 i 52. La desigualdad x2 < x es verdadera cuando A. x < 0 ∨ x > 1 B. 0 < x < 1 C. x > 0 D. x > 1 E. x < 0 ∧ x > 1
ÁLGEBRA
127
53. El conjunto solución de la desigualdad | x + 32
| ≤ 2 es
A. – 38≤ x ≤
38
B. – 34
≤ x ≤ 38
C. –38≤ x ≤
34
D. 34≤ x ≤
38
E. –38≤ x ≤ –
34
54. El conjunto solución de la desigualdad x3 + x2 – 2x > 0 es A. (– ∞, – 2) ∪ (1, + ∞) B. (– ∞, 0) ∪ (1, + ∞) C. (– 2, 1) D. (– 2, 0) ∪ (1, + ∞) E. (– 1, 0) ∪ (2, +∞)
55. El conjunto solución de la desigualdad 1 ≤ 2
x7 − ≤ 3 es
A. [– 5, – 2] B. [– 1, 5] C. [1, 5] D. [– 1, 13] E. [– 5, 2] 56. El conjunto solución de la desigualdad |5 – 2x| < 7 está dado por el intervalo A. (– 1, ∞) B. ( – ∞, 6) C. (6, + ∞) D. (– 6, – 1) E. (– 1, 6) 57. La raíz distinta de cero de la ecuación 43 x2x = es A. 2 B. 8 C. 82 D. 83 E. 84 58. La(s) solución(es) reales de la ecuación 072xx3 =−+ x es A. {– 4, 4} B. {– 4} C. {4} D. { 4, 3 81 } E. {4, 27}
59. El conjunto solución de la desigualdad 2(x 10)(x 2) 0
x 7 x 8+ −
≤− −
es
A. [– 10, – 1] ∪ [2, 8] B. [– 10, – 1) ∪ [2, 8) C. (– 10, – 1) ∪ (2, 8) D. [– 10, 1] ∪ [2, 8) E. [– 10, – 8) ∪ (1, 2] 60. El conjunto solución de la ecuación 2 x 3 x 2 2+ − − = es
A. {3, – 11} B. {– 3, – 11} C. {3, 11} D. { 11,3 } E. {23
− , 2}
61. Al resolver la ecuación (x2 + 1)2 + 4x2 – 41 = 0 se obtienen las soluciones A. {2, – 2, i10,i10 − } B. {– 2, 2} C. {– 2, 2, – 10, 10} D. { 2, 2i, – 2, – 2i} E. {2, 2i, 10, 10i} 62. Las raíces reales de la ecuación (x2 + x + 1)2 – 3(x2 + x + 1) = 0 son A. – 1 y 2 B. 1 y – 2 C. – 1 y – 2 D. 1 y 2 E. 0 y 3 63. Si |2x – 1| > 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es A. – 3 B. 3 C. 2.5 D. – 5 E. – 1 64. Las raíces de la ecuación (2x – 1) (x + 2) – (x + 4) (x – 1) + 5 = 0 son A. ± 7 B. 7± C. i7± D. ± 7i E. φ 65. Al simplificar ( 15 − ) ( 15 + ) se obtiene
A. 2 5 B. 24 C. 4 D. 10 E. 8
66. Si 3x1x
2=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + , entonces
33
x1x + es igual a:
A. 3 3/2 B. 27/8 C. 9 D. 0 E. x2 – 1 + 1/x2
ÁLGEBRA
128
67. Un ciclista calcula que si avanza a 10 km/hora llegará a su destino a la 1p.m., y si avanza a 15 km/hora llegará a su destino a las 11 a.m. ¿a qué velocidad, en km/hora, tiene que avanzar para llegar a las 12m.? A. 12 B. 13 C. 14 D. 20 E. 25 68. El conjunto solución de la ecuación x4 – 13x2 + 36 = 0 es A. { – 3, 3, – 2, 2} B. { – 2, 2, – 9, 9} C. { 4, 9} D. { 6, 7} E. { 4, 9, 6} 69. Si la mitad de 5x es 3y, ¿cuál es la tercera parte de 10x? A. 6y B. 8y C. 10y D. 2 y E. 4y 70. Un grupo de turistas llega a un hotel. Si dos personas comparten cada habitación, falta una habitación. Si tres personas comparten cada habitación, quedan dos desocupadas. ¿Cuántas habitaciones tiene el hotel? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 12 71. Si (6!) (7!) = n!, entonces n = ? A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 E. 13 72. La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede a la cifra de las unidades en dos. Si el número se divide entre la suma de sus cifras, el cociente es 7, entonces dicho número es A. 24 B. 42 C. 68 D. 72 E. 86
73. Al simplificar 18x9x2x24x8x3x
23
34
+−−
−−+ se obtiene
A. 3x
4x2x2
−++
B. 3x
4x2x2
+++
C. 3x
4x2x2
−+−
D. 2−++
x4x2x2
E. 3x
4x2x2
++−
74. El conjunto solución de |5 – x | = x – 5 es A. 5 B. 10 C. {5, 10} D. x ≥ 5 E. R 75. El conjunto solución de 3x + | x | = – 8 es A. φ B. R C. 4 D. – 4 E. 0– 8 / 3