capitulo i funciones iii

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Definición. Una funciónf : Df Cf es inyectiva o uno a uno yse denota como 11, si a diferentes elementos del dominio le corresponden diferentes elementos del codominio. En estafunción, para dos valores cualesquieradominio se cumple que:

x1

y x2

de su

x1 x2f x1 f x2

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

Esta clasificación obedece a la forma en que están relacionados los elementos del dominio con los del codominio. Conviene utilizar la notación:

f : Df Cf

“Función que mapea al dominio

Df

en el codominio

Cf ”

Función Inyectiva (uno a uno)

. La función

f x 3x 1

es 11 ya que si se define

como f : \ \ entonces se tendrá quea diferentes

elementos del dominio les correspondendiferentes elementos del codominio.

Ejemplo. Sea M el conjunto de mujeres con hijos,H el conjunto de los hijos y fla función que asocia a cada mujer

con su hijo primogénito. Es una función 11 o inyectiva.

Ejem

2


H hijos

M1M 2M 3M 4

M mujeres

HPM2

H MP1

H MP3

H MP4

HP

Ejemplo

x1 x2

x1,f x1 x2 ,f x2

x1 x2

f x1 f x2

. Sea la función

f : \ \dada por

y

f x x2 .

x

Para comprobar analíticamente si una función es11 se

despeja, cuando esto es posible, la variable independiente" x "

en términos de la variable dependiente " y "

y se

comprueba que para cada valor de" y

"de " x " .

exista un solo valor

Para comprobar gráficamente que una función es 11 bastacon comprobar que toda recta paralela al eje

3


gráfica de la función en un solo punto. corta a la

Si en el ejemplo anterior se limita el dominio de la función es evidente que se obtienen funciones inyectivas:

o bien

f : \ 0 \ dada por

f x x2

D f f

4


1 ab

2 c

3de

1 a

2

3 b

f : \ 0 \ dada por f x x2

. Sea la función f : ⎡ , ⎤

\; f x cos x . Si se

⎢ 2 2 ⎥⎣ ⎦grafica se observa que no es 11. Sin embargo, si se cambia su dominio y ahora se define como:

f : ⎡⎣0, ⎤⎦ \; f x cos xse verá que cualquier recta horizontal corta a la gráfica en un solo punto por lo que sí es 11.

yD ⎡ , ⎤

y

D ⎡0, ⎤f ⎢ 2 2 ⎥ f ⎣ ⎦

⎣ ⎦

x x 0

2 2

" no inyectiva" " sí inyectiva"

. Dos funciones, una que sí es 11 y otra que no

Cf D Cf

sí es 1-1 no es 1-1

Ejem

Ejem

5


Ejemplo. Verificar analíticamente que la función

f : ⎡⎣0, \

dada por Solución.

f x x2 4 , es inyectiva.

Definición. Unafunciónessuprayectivaosobresitodoelemento de su Codominio es imagen de por lo menos unelemento de su Dominio, lo que se expresa como:Seaf : Df Cf

Si b Cf existe aDf tal que f a b,entonces f es sobre

6


Función Suprayectiva (sobre)

Otra forma de expresar que una función es sobre es decir que debe cumplir con que su Codominio y su Recorrido seaniguales, esto es,

Rf Cf

. Sea lafunción

f x 3x 1

definida como

f : \ \ . En este caso se ve que todo número real es imagen de algún otro número real bajo la función f . Esto significa que el recorrido es igual al codominio y por lo tanto la función dada es suprayectiva o sobre.

Ejemplo. Analizar si la función definida como f : \ \ dadapor

f x x2

es suprayectiva y, en caso deno serlo,

Ejem

7


determinar bajo qué condiciones podría serlo. Solución.

Ejem

1 ab

2 c

3de

1 a

2

3 b

x

8


Ejemplo. se presentan en este ejemplo dos casos, uno en que la función es sobre y otra en la que no lo es:

Df Cf Df Cf

sí es sobre no es sobre

. Verificar que la función definida comof : 0,

,0y dada por

f x , es suprayectiva.

Solución.

a 1

c 2

b 3

a 1bc 2

9


Función Biyectiva (1-1 y sobre)

Una función puede ser:i) 1-1 y sobre (biyectiva)ii) 1-1, pero no sobreiii) No 1-1, pero sí sobreiv) Ni 1-1 ni sobre

. Aquí se presentan los casos antes citados:

Biyectiva 1-1 y sobre

1-1 no y sobre sí

Definición. Una función es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, y la relación entre los elementos del dominio y los del codominio

Ejem

a 12

b 3c 4

a 12

bc 3

4

10


1 x2

1-1 sí y sobre no

Ejemplo. Dada la funcióninvestigar si es biyectiva: Solución.

1-1 no y sobre no

f : ⎡⎣0, ⎡⎣0, dada por f x x2 ,

Ejemplo. Decir si la siguiente función es biyectiva y, en caso de serlo, hacer un trazo de su gráfica:

Solución.

f : ⎡⎣0,1⎤⎦ ⎡⎣0,1⎦⎤

dada por f x

11


FUNCIÓN INVERSA

Si en una función biyectiva se cambian " x " por " y " y" y " por " x " , y se despeja la nueva variable dependiente

" y " , la relación resultante es una nueva función que se llama

“función inversa” y se denota con

" f1 " .

El dominio de f se convierte en el recorrido de f 1 y el

recorrido de f en el dominio de f 1, esto es, R y R D

Df f 1 f f 1

Las gráficas de

f y f1 son simétricas con respecto a la

gráfica de la función identidad y x .

Como se dijo, para que una función admita función inversa, debe ser biyectiva, aunque cabe decir que lo importante para que esta exista es que sea inyectiva, ya que para ser suprayectiva bastará considerar siempre que el codominio es igual al

Definición. Sea f una función biyectiva. Entonces su función inversa es " f1 " y está definida por la siguiente condición:

12


recorrido.

. Investigar si la función dada por:f : x,y y 2x 1; x ⎡⎣2,2⎤⎦ ; x \

Ejem

13


es biyectiva y, en caso de serlo, obtener su función inversa ydar dominio, recorrido y trazo de la gráfica de

f y f1.

Solución.

Ejemplo. Dadas las seis funciones trigonométricas, explicar las condiciones que deben guardar sus respectivos dominios para que tengan funciones inversas y definir éstas.

Solución.f x senx . Se limita su dominio al intervalo

⎡ , ⎤ , y⎢ 2 2 ⎥⎣ ⎦

entonces sí tiene función inversa:y senx ; x seny y angsenx f1 x angsenx ; D 1 ⎡1,1⎤ R

f ⎣ ⎦ f

f x cos x

. Se limita su dominio al intervalo sí tiene función inversa:

⎡⎣0, ⎤⎦, entonces

y cos x

;

x cos y y angcos x

14


f1 x angcos x

; D 1

⎡⎣1,1⎤⎦ R

f x tan x

f

. Se limita su dominio al intervalo

f

⎛ , ⎞ y de

⎜ 2 2 ⎟⎝ ⎠esta forma admite función inversa:

y tan x

;

x tan y

y angtan x

2

15


f1 x angtan x

; D 1 , R

f f

f x cot x . Si se fija el dominio al intervalo 0, ,

entonces tiene función inversa:y cot x

;

x cot y y angcot x

f1 x angcot x

; D 1

, R

f x sec x

f

. Se limita su dominio al intervalo

f

⎡0, ⎤ ⎧ ⎫

,⎣ ⎦ ⎨ ⎬

⎩ ⎭tendrá función inversa, la que se define como:

y sec x ; x sec y y ang sec x f1 x ang

sec x; D 1

,1⎤⎦ ⎡⎣1,

f x csc x

f

. Se limita su dominio al intervalo⎡ , ⎤

0 y⎢ 2 2 ⎥⎣ ⎦

su función inversa será:y csc x

;

x csc y y angcsc x

f1 x angcsc x

; D 1

,1⎤⎦ ⎡⎣1,f

Como ilustración de esto, considérese el siguiente ejercicio:

Ejemplo. Dada la función definida como

f : ⎡⎣0, ⎤⎦ ⎡⎣1,1⎤⎦

dada por

f x cos x , dar dominio y recorrido de

f y f1 y

16


graficarlas.

Solución.Se trabaja con la tabla siguiente para

graficar lasdos funciones (directa e inversa):

x 0 6

3

2

23

56 y f1

xy f

x1 0.866 0.5 0 0.5 0.866 1 x

f1

1 f

1 1

1

17


y

x

Ejemplo.Dada la siguiente función, decir si es biyectiva y silo es, dar dominio, recorrido y gráfica de

f y f1 y definir

la regla de correspondencia de la función inversa.⎧x2 2 si 2 x 0

f x ⎪ x 6⎨ ⎪ si 0 x 6⎩ 3

Solución.

⎨

18


Ejemplo. Investigar si la siguiente función es biyectiva y en caso de serlo, obtener

su función inversa y determinardominio, recorrido y gráfica de

⎧1 x2

sif x ⎪

f y f1. 2 x 0

Solución.

⎪1 senx si⎩

0 x

2

⎨

19


. Sea la función:⎧⎪ x 2 4 x 1 s i⎪

4

x 2

f x ⎪⎪

1

x 62

s i 2 x 0⎪ x 24 ⎩⎪ 4 si 0

x 4

Investigar si es biyectiva y en caso afirmativo, obtener su función inversa, así como dominio, recorrido y gráfica de f y f1.

Solución.

Ejem

20


x f f 1 x f1 x x f1 f x f x

Composición de una función con su función inversa

Coma ya se vio, las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a la gráfica de la función identidad y x . Es por ello que resulta sencillo probar los resultados de las siguientes composiciones de funciones:

f ○ f 1 f f 1 x xf1 ○ f f1 f x x

x Rf

x Df

La verificación gráfica de estas expresiones se muestra en la siguiente figura:

f f1

f1 f

FORMULACIÓN DE FUNCIONES

Secuela para formular funciones:

21


- Lectura e identificación de magnitudes e incógnitas- Modelo geométrico con magnitudes

22


- Modelo matemático preliminar- Ecuaciones auxiliares- Modelo matemático definitivo

Ejemplo. Si se supone que la resistencia a la flexión de una viga es directamente proporcional al ancho y al cuadrado del peralte de su sección, formular una expresión matemática que represente a la resistencia de dicha viga en términos únicamente de su ancho. La viga se saca de un tronco de sección circular cuyo diámetro es de 50 cm.

Solución.

Ejemplo. Un ingeniero desea construir un tanque cilíndrico con tapas semiesféricas como el que se muestra en la figura. El costo del material con el que se construye el cilindro es de120 pesos por

m2 y el de las tapas es de 140pesos por

23


m2 . Si el volumen del tanque debe ser de 15000 litros , el

x

x

24


ingenierose pregunta: ¿Cuáles serán lasdimensiones

" x " y " y " del tanque para que el costo de los materiales seael mínimo? Para responder a esta pregunta, decide formular la función que relaciona al costo del cilindro en términos deuna de las variables, ya sea " x " o " y " . Se pide ahoraformular un modelo teórico del costo de los materiales paraconstruir el tanque, en términos únicamente del radio " x "

de las semiesferas de los lados.

ySolución.

25


Ejemplo. Obtener una expresión que defina el volumen de un cilindro circular recto, inscrito en un cono circular recto de radio 5 m y altura 12 m, en función exclusivamente del radio del cilindro.

26


Solución.

Ejemplo. Se trata de inscribir un cono circular recto, cuyoradio de la base es " x " y su altura " y " , en una esfera deradio " R " . Obtener una expresión para el volumen del cono, en función únicamente de su altura.

Solución.

27


Ejemplo. El lado de un terreno rectangular debe colindar con un muro de piedra. Si un ingeniero cuenta con 1000 m de cerca lineal, pretende saber qué dimensiones debe tener el terreno para que el área sea máxima. Y para ello, el ingeniero construye un modelo matemático con una función a optimizar que considere como variable únicamente a lalongitud de los lados que no colindan con el muro. ¿Cómo define este modelo?

Solución.

. Una recta que pasa por el punto3,4

forma con

los ejes coordenados, en el primer cuadrante, un triángulo rectángulo. Definir una expresión del área del triángulo formado en términos exclusivamente

Ejem

28


de la longitud desde el

29


origen de coordenadas al punto donde la recta corta el eje de las ordenadas, es decir, en términos de la ordenada al origen.

Solución.

Ejemplo. Un tanque en forma de cilindro recto con tapa debe contener 10,000 litros de una determinada substancia química. Los materiales para su construcción tienen el costosiguiente:

$200 / m2

para la base,

$100 / m2

para la tapa y

$180 / m2

para la superficie lateral. Obtener una expresión

que defina al costo de la cantidad de material empleado en la construcción del tanque en función solamente del radio de su base.

Solución.

30


http://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/CAPITULO_I_FUNCIONES_III.pdf

http://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/CAPITULO_I_FUNCIONES_III.pdf

capitulo i funciones iii

Documents