Introduccin a la Sociomtica El Estudio de los Sistemas Adaptables Complejos en el Entorno Socioeconmico.

Dr. Gonzalo Castaeda

Captulo 8Modelos Computacionales de Redes

8.0 IntroduccinLos modelos computacionales de redes permiten describir una topologa ms flexible que la de CA y ABM mvilesEn una red los agentes son nodos y los lazos son conexiones entre agentes (se combinan vnculos cercanos con lazos fsica y socialmente distantes)La topologa de la red ayuda a describir una gran gama de configuraciones de los elementos-relacionales (sistemas jerrquicos, cluster fragmentados, grupos cohesionados)Redes en el mundo real: neuronas conectadas por axones; computadoras entrelazadas por lneas telefnicas; molculas del cuerpo vinculadas por reacciones qumicas; paginas de internet que se ligan entre s; especies de un ecosistema, miembros de una comunidad con lazos sociales; empleados de una empresa conectados por un organigramaLas redes ayudan a describir la topologa de una gobernanza social, y la dinmica con que sta cambia (i.e. la retcula del entorno no es inmutable)

Ejemplos de redes:(a) Consejeros en australia (b) Comercio de productos

(c) Sistema judicial EU (e) Blogs en singapur

(e) Proteinas de la levadura

(f) Relaciones sexuales entre adolescentes

8.1.- Las redes y la teora de grficasEn 1736 Leonhard Euler estableci las bases matemticas de la teora de grficas (redes)Los puentes de Knisberg: es posible caminar por c/u de estos siete puentes sin tener que cruzar alguno de ellos ms de una vez? Euler visualiz a los puentes como lazos (o ligas) y a los pedazos de tierra como nodos ( o vrtices)

Solucin: El punto de partida y de llegada tiene que ubicarse en nodos con un nmero non de lazos; una travesa que cruza todos los puentes una vez debe tener slo dos de estos nodos. En este caso todos los nodos son nones no hay solucin; en 1875 se construy un octavo puente entre B y CPrimeros avances se dieron en grficas ordenadas, hasta los 50s que aparecieron las redes aleatorias de Erdos y RnyiDebido a que las redes son representaciones matemticas de fenmenos muy diversos, se eligi la formacin aleatoria de lazos como una primera aproximacin Cmo establecer la red carretera de un pas muy pobre con 50 pueblos?Conectar a todos los pueblos entre s requiere 1225 caminos (50 x 49/2), solucin no factible con recursos fiscales escasos

Solucin de Erds y Rnyi: Si se forma un camino entre dos pueblos al azar y este proceso se repite varias veces con el tiempo se forma un componente gigante.Entre mayor sea el nmero de nodos menor es el porcentaje de lazos aleatorios para formar una red conectada Una red con 300 nodos puede tener 50,000 lazos pero slo se requieren el 2% de lazos; con 1,000 nodos slo se requiere el 1% La conectividad de la red es importante para entender diversos fenmenos: propagacin de enfermedades, flujo de informacin, impacto ante fallas (e.g. red elctrica)Las redes naturales y sociales no estn formadas por conexiones aleatorias (?)

*Parbola de los botonesS. Kauffman: Se toman al azar dos botones para amarrarlos, se repite el proceso varias veces con otras parejas pero permitiendo que un botn previamente elegido sea hilvanado de nueva cuentaCuando se rebasa el umbral de un lazo por nodo se da un cambio sbito, pasando de clusters pequeos a un cluster gigante. (a) Formacin de clusters(b) Fase de transicin

* El Componente GiganteNetlogo: Model Library Sample Models Networks Giant Component Se inicializa la corrida con un cierto nmero de nodos, conforme avanza se conectan parejas tomando nodos al azarAntes de cruzar el umbral (un lazo en promedio por nodo) existen pequeos clusters (pantalla a), despus aparece sbitamente el componente gigante (pantalla b).

Pantalla (a) Pantalla (b)

8.2 El Fenmeno de SincronizacinEl analizar la formacin de redes a travs de mecanismos aleatorios es limitativo para entender la auto-organizacin de agentes que se desenvuelven en un entorno de interaccin localEjemplos de sincronizacin: clulas que marcan el latido del corazn, neuronas que disparan impulsos en el cerebro, individuos que aplauden en conciertos, chasquido de los grillos, menstruacin colectiva, planetas que orbitan, brillo de las lucirnagas Sincronizacin es un orden emergente de carcter temporal en el que eventos similares pasan al mismo tiempo y de manera persistente No hay sincronizacin cuando vuelan palomas o cuando individuos tocan el claxn, o cuando coincide el andar de personas

Osciladores acoplados: entidades que se ciclan de manera automtica repitiendo una y otra vez determinada accin en un intervalo de tiempo relativamente regularPara que haya acoplamiento se requiere comunicacin o mecanismos fsicos o qumicos con los cuales dos o ms osciladores se influyen entre s para actuar a una misma frecuenciaEjemplos: luces, fuerza de gravedad, corriente elctricaOsciladores acoplados vivos (clulas, animales, individuos) o inanimados (planetas, electrones, pndulos, fotones)

* La relevancia de la interaccin local en la sincronizacinLos aplausos al final de un concierto empiezan siendo arrtmicos para luego realizarse en armonaUn grupo empieza a aplaudir con ritmo, y ste contagia a individuos que estn en una vecindad.En conciertos la sincrona se combina con aplausos caticos; el ritmo reduce la frecuencia de los aplausos y la sonoridad sincronizacin se da a costa de la intensidadLa coordinacin o sincronizacin suele ser consecuencia de acciones locales que, por alguna razn, contagian a otros y as se generalizan en la poblacinEste es el caso de movimientos sociales, en donde las acciones de unos cuantos puede terminar en el desmoronamiento del status quo

*Modelos de sincronizacin sin interaccin localMirollo y Strogatz (1990) demostraron matemticamente que la sincronizacin es posible para un conjunto de n osciladores idnticos que se encuentran conectados entre siConjunto de osciladores cuyo voltaje aumenta siguiendo la trayectoria de una curva cncava; al llegar a un umbral se dispara un impulso de energa que se redistribuye en la red

Los que estaban cerca del umbral tambin se disparan con el impulso recibido, pero los que iniciaban en su ciclo se alejan con el impulso (no es evidente la sincronizacin pero se van formando cluster de osciladores)Limitante del modelo: debido a la diversidad gentica los osciladores no son idnticos; no hay interaccin local, todos los nodos tienen la misma importanciaDiversidad: Cmo sincronizar a un grupo de corredores muy compacto, algunos muy lentos y otros muy rpidos?Los corredores de jogging se gritan para regular sus tiempos (conectividad)La posibilidad de sincronizacin se incrementa entre ms acentuada sea la homogeneidad de las frecuencias observadas.Matemticamente resulta muy difcil incorporar elementos de heterogeneidad e interaccin local, necesidad de acudir a un modelo de cmputo

*Heterogeneidad entre los osciladores y sincronizacin

* Ejemplos de sincronizacin con interaccin local(a) En el mundo biolgico: lucirnagas que centellean para atraer una pareja y aparearseEn un principio cada quin va con su propio timing pero con el tiempo va surgiendo la armonaComn en el sureste-asitico y frica(b) En el mundo social: la ola mexicana, en donde grupos de individuos se levantan momentneamente de la tribuna y alzan la mano dando la apariencia de una ola gigante que se desplaza en el sentido de las manecillas del reloj a lo largo de la tribunaAunque se inici en el fut americano de E.U. se generaliz al mundo en el mundial de 1986La probabilidad de que la ola se propague depende del nmero de individuos que la inicia y el umbral que requiere un individuo para ser activado y levantarse de su asiento.

* El centelleo rtmico de las lucirnagas En Netlogo: Model Library Sample Models Biology Fireflies Agentes con un reloj virtual que indica a cada insecto centellear al inicio de su ciclo, cuando ste llega a su valor mximo el reloj se reposiciona en cero.Ciclos de c/lucirnaga son idnticos, la diferencia esta en la definicin aleatoria de su reloj a lo largo del cicloCuando se llega a un determinado nmero de brillos en la vecindad (flashes-to-reset), el observador elige estrategia:(a) avanzada: la lucirnaga centellea inmediatamente y se reposiciona en cero(b) retrasada: se fija el reloj el nmero de periodos que dura el centelleo (flash-length) por lo que el ciclo se vincula con el ltimo agente que lo influy No siempre se da la sincronizacin, y sta no necesariamente se obtiene para toda la poblacin

(1) estrategia avanzada (flashes-to-reset = 1, flash.lenght = 1) no hay sincronizacin

(2) estrategia retrasada (flashes-to-reset = 1, flash.lenght = 1) sincronizacin total en 950 periodos

(3) estrategia avanzada (flashes-to-reset = 2, flash.lenght = 1) solo llegan a sincronizarse unas 910 lucirnagas de un total de 1500.

La Ola mexicanaDespus de analizar 14 videos de olas en un estadio con 50,000 aficionados, Farkas y sus colegas encontraron que por lo general la ola se logra impulsar con 12 individuosLa ola se mueve a razn de 12 metros (o 20 asientos) por segundo y tiene una amplitud de entre 6 y 12 m. (15 asientos en promedio). Para mayores detalles sobre la mecnica de formacin de olas ver http://angel.elte.hu/wave/index.cgi?m=models

8.3 Las redes de mundo pequeoEl mundo es pequeo!! Es siempre una causa de asombroSara una humilde habitante de Cholula se encuentra a tres pasos del presidente de EsloveniaStanley Milgrom realiz el primer estudio formal de este tipo: dos individuos tomados al azar de cualquier parte del mundo se encuentran a seis grados de separacinEl asombro se debe a que la gente interacta en la cotidianidad con un ncleo reducido de personas, sin estar conscientes que nuestros conocidos y los de los amigos pueden pertenecer a clusters muy diferentes

* El experimento de Milgram (1967)Antecedentes: el cuento cadenas (1929) del escritor hngaro Karinthy Se seleccionaron 296 personas de Boston y Omaha Nebraska, a quienes se les encomend llegar una carta a un corredor de bolsa de Boston (slo 217 iniciaron el experimento)La carta no deba ser enviada directamente sino a una persona que fuera conocida personalmente y que pudiera estar mas cerca del objetivoEn promedio la carta lleg en 5.5 pasos, aunque 64 no llegaron a su destino finalDeficiencias estadsticas: (a) 100 de Boston fueron reclutadas a travs de un anuncio de peridico; (b) 100 de Nebraska a travs de una lista de inversionistas; (c) 96 restantes de Nebraska al azar de una lista de direcciones postales (de stas slo 18 llegaron a su destino)(d) En otro estudio entre individuos de Wichita, Kansas y la esposas de un estudiante del Harvard Divinity School, llegaron slo 3 de 60(e) Los dos puntos del extremo de la cadena deberan haber sido elegidos aleatoriamente(f) No se puede saber si las cartas llegaron por la ruta ms corta(g) Al desconocer la conectividad de la red no se sabe si existen individuos aislados (al ubicarse en islas la longitud calculada sera infinita)En 2003 se reprodujo el ejercicio con e-mail, Se iniciaron 24,163 cadenas con gentes de 66 paises, los objetivos eran 18 personas de 13 paises. Llegaron a trmino 384. Longitud media de 4, pero con ajuste de entre 5-7

* En una topologa de redes aleatoriasExisten mundos pequeos en las redes aleatorias de Erds y RnyiSi Juan tiene 50 conocidos, y stos a su vez otros 50; en dos pasos se tienen 2500 personas, en tres pasos 125,000 (50 x 2500)en seis a 15,625 millones (506); cifra muy por encima de los 6 mil millones de habitantes

Un individuo de Tlacotalpan Ver. tiene la misma probabilidad de estar cerca de un vecino del pueblo que de un esquimal de la zona rtica?En una grfica aleatoria los lazos entre nodos no respetan la proximidad fsica o cercana social de los agentes (los amigos de Juan son amigos entre si)Si A tiene lazos fuertes con B y C, posiblemente existan lazos similares entre B y C (triadas)

Formacin de redes tiene un alto componente histrico: estado actual de los vnculos sociales depende de la configuracin de periodos previos

Un planteamiento extremo sera caracterizar a las redes sociales mediante grficas ordenadasEste es el caso de un CA unidimensional sin fronteras (anillo) con 24 nodos y tres vecinos en cada lado.

Existe un alto grado de aglutinamiento ya que cada nodo comparte 2/3 partes de los vecinos, pero no es un mundo pequeo puesto que se requieren 4 pasos para ir de un lado a otro del anilloPara un mundo pequeo ms real se requiere un balance entre una estructura ordenada y la existencia de trayectorias cortas

* Los lazos dbiles de una red socialWatts y Stogatz (1998) crearon sus redes de mundo pequeo partiendo de una red ordenada y desconectando ciertos nodos para establecer tendidos aleatorios Cmo se interpretan estos tendidos aleatorios en trminos sociolgicos?Mark Granovetter (1973) define la diferencia entre lazos fuertes (vnculos entre personas que interactan cotidianamente) y lazos dbiles (conexiones entre individuos sin relacin estrecha)Los lazos dbiles permiten que un movimiento social se propague o que personas encuentren empleo; estos puentes sociales hacen que la informacin fluya y no sea redundante (networking)

Los lazos dbiles o puentes sociales de una redLos lazos dbiles y fuertes se combinan para formar una red socialLos fuertes se suelen presentar en tringulos, cuando uno de ellos se rompe la conectividad queda inalteradaEn cambio cuando los lazos dbiles se rompen (lneas punteadas), se fracturan los puentes sociales, las distancias se hacen ms largas y se fragmenta la sociedadLos lazos dbiles pueden ser interpretados como los puentes aleatorios que conectan a los distintos clustersEn la realidad estos puentes no se establecen de manera fortuita, los antecedentes sociales importan

* El modelo beta de Watts y StrogatzSe parte de un anillo en el que todos los nodos tienen el mismo nmero de lazosEl objetivo es monitorear el grado de aglutinamiento y separacin conforme se desconectan lazos y se hacen tendidos aleatoriosExiste un punto intermedio en el que coexisten el mundo pequeo y la estructura de clusters? Beta: probabilidad de que c/lazo sea desconectado y reposicionado aleatoriamente en otro nodo b = 1 (red aleatoria), b = 0 (red ordenada)Para valores cercanos a 0, la creacin de puentes sociales tiene un impacto marginal en el grado de aglutinamiento pero se producen reducciones importantes en el grado de separacin

* Topologa del modelo betaLongitud promedio de la trayectoria (L): nmero mnimo de lazos entre dos nodos, repitiendo el clculo para todas las parejas posibles de nodos y obteniendo el promedioAglutinamiento (C): probabilidad de que dos nodos conectados a un tercero estn vinculados entre s.

* Redes de mundos pequeosCuando se incrementa el valor de beta, el impacto sobre C es limitado (i.e. los puentes aleatorios no reducen en mucho los conocidos en comn).La creacin de atajos sociales s tiene un gran impacto en L, no slo porque el nodo que mantiene el lazo desconectado establece un puente sino tambin porque dicho puente beneficia a los vecinos que lo rodean

* Simulacin de un mundo pequeo en una red igualitariaNetLogo : Model Library Sample Models Networks Small World Red en un anillo con radio 2, el observador elige el nmero de nodos.Con 100 nodos, beta = 0.16 L pasa de 12.7 a 4.4, mientras que C pasa de 4.5 a 2.6

* Evidencia emprica de mundos pequeosExiste evidencia que soporte los valores de L y C de una red de mundo pequeo?Comunidad de actores (Internet Movie Database: http://www.imdb.com), existe un cluster gigante de 225,000 actores (datos 1898-2000), los actores vinculados en pocos pasosComunidad cientfica. Paul Erds escribi 1500 artculos con 507 co-autores. Nmero de Erds = pasos que separan a los autores del matemtico hngaro (Samuelson es un Erds 5)Son estas propiedades de carcter universal?Evidencia con una red tecnolgica (red elctrica del occidente de E.U.) y otra de carcter biolgico (302 neuronas del gusano C elegans)Existe evidencia de un mundo pequeo: L similares a las de una red aleatoria equivalente y C que reflejan estructura de cluster

Red de colaboracin de Erdos

* El Orculo de BaconKevin Bacon tiene una separacin de 2.96 pasos(http://www.imdb.com/name/nm0000102/)Existen otros 1000 actores con un nmero menor a pesar de haber tenido una carrera prolfica (60 pelculas, ms de 1900 vnculos directos)Nmero de Bacon de Salma Hayek es de 2 ya que particip en Four Rooms (1995) con Marisa Tomei quin a su vez actu en Loverboy (2005) con Kevin Bacon.

* Evidencia emprica recienteTrabajos con redes who-talks-to-whomLeskovec y Horvitz utilizaron datos de conversacin en Messanger con 240 millones de cuentasResultado: casi todas incluidas en componente giganteCon muestra de 1000 calcularon longitud de trayectoria mnima: media (6.6), mediana (7)Precaucin: no necesariamente coincide con red de amistades

* Grados de separacin en red del Messanger

* Bsqueda de primer-aliento (breadth-first search)Mtodo para calcular longitud de trayectoria ms corta en una red con miles o cientos de miles de nodos(i) Determinar a todos los amigos del nodo x que estn a una distancia de 1.(ii) Encontrar a todos los amigos que estn a una distancia de 1 de los amigos de x, pero sin incluir a los amigos con los que x tiene vnculos directos, y declarar que stos estn a una distancia de 2.(iii) Determinar a todos los amigos de los nodos que estn a una distancia de 2 de x, pero sin incluir a aquellos que tienen vnculos directos con x o que estn a una distancia de 1 de x, y declarar que stos estn a una distancia de 3 y as sucesivamente.

Organizacin de los nodos en funcin de las etapas de separacin

8.4. El problema de la bsquedaNo es lo mismo identificar la existencia de trayectorias cortas que encontrarlasEn el experimento de Milgram c/individuo recibe una carta, en la red de W & S se hace una bsqueda de amplio espectro y luego se calcula la trayectoria mnimaEl tendido aleatorio de W & S no toma en cuenta la distancia social entre individuos. Existen barreras geogrficas, religiosas, de status, profesionalesLas cartas dirigidas al corredor de bolsa de Boston seguan por lo general criterios geogrficos o de ocupacinEn cada etapa los individuos identifican cual es la mejor trayectoria sin preocuparse de lo que los dems destinatarios intermedios hagan con su envo

* Bsqueda descentralizadaKleingber plantea un modelo en el que los tendidos aleatorios se hacen sobre una retculaSin embargo, los lazos dbiles son menos factibles conforme mayor es la distanciaUno de c/k nodos elegidos al azar presenta un tendido aleatorioProb de conectar v con w: d(v, w) q Si exponente de aglutinamiento (q > 0) probabilidad del lazo se reduce en funcin de la distanciaPara redes grandes q=2 produce bsqueda eficiente Con regla cuadrtica-inversa los tiempos de bsqueda son reducidos a pesar de slo conocer a vecinos

Con q pequea

Con q grande

Intuitivamente, la regla cuadrtica inversa permite lazos aleatorios distribuidos uniformemente en las distintas escalas de resolucin de la redCon tendidos aleatorios en distintas escalas dos nodos elegidos al azar pueden ser encontrados en pocos pasosEn anillo entre circunferencia d y 2d existen ~ d2 nodosProbabilidad de conectar a un nodo ~ d-2 Probabilidad de que al menos un nodo conectado ~ d2 . d-2 = 1Probabilidad acumulada es independiente de dDistancia a la que se encuentra un anillo no incide en la probabilidad de que exista lazo dbil

* La bsqueda descentralizada en NetlogoModelo elaborado por Bakshy y AdamicRed en una retcula bidimensional en forma de torusLazos con 4 vecinos y tendido aleatorio de acuerdo a la regla:Prob [lazo (v, w)] ~ 1/d(v,w)-r, Se elige al azar un nodo-salida y nodo-objetivo(i) En c/paso se verifica si el nodo alcanzado es el objetivo (ii) Tomar lazo no utilizado con el tendido de mejor posicionamiento (iii) Si todos visitados, tomar el mejorNotar que r = 0 no es el valor ptimo, Cul es?

Red virtual:

Resultados

r = 7.3 tiempo de bsqueda promedio = 25.37r = 1 tiempo = 12.56 pasos

* Evidencia emprica de regla cuadrtica-inversaEn redes reales nodos no estn igualmente distribuidos en el espacio geogrficoEjemplo: subscriptores de LiveJournal

Alternativa: redes de amistad basadas en rangoProbabilidad de lazo dbil ~ R(v,w)-1Rango = nmero de nodos que estn ms cerca de v de lo que esta w

Liben-Nowell probaron que con regla de rango-inversa se logra bsqueda eficienteCon red uniforme se tiene que R(v, w) = d2 por lo que regla de rango es una generalizacin

Con 500,000 usuarios de sitio Livejournal se encontr que la probabilidad de que dos nodos conectados con un rango r ~ r-1Coeficiente de la ley de potencia para frecuencia de parejas de nodos con rango r entre -1.15 y -1.12Si se divide entre Costa Oeste y Este se encuentra mejor aproximacin (-1.05)

8.5. Las redes jerrquicasW & S mostraron que los puentes sociales tienen un papel crtico en la arquitectura de la redPero la informacin que se distribuye no se genera de manera simtrica Conectores: agentes cuyos vnculos con diversos grupos sociales les permiten propagar modas, tendencia, difundir gustos, innovaciones, prcticas empresarialesLas redes aleatorias de E & R, W & S son de tipo igualitario (igual nmero de lazos -grado- por nodo) no es posible describir conectoresSi la web fuera una red aleatoria igualitaria la probabilidad de una pgina a la que se ligan 500 pginas sera de slo 10-99.Entonces por qu existen amazon, google, yahoo?Estudio de Barabsi con la pgina de la Universidad de Notre Dame: 82% eran ligadas por tres o menos, 42 pginas tenan ms de 1,000 ligas

* Redes jerrquicas versus redes igualitarias(a) jerrquica centralizada(b) jerrquica descentralizada

(c) igualitaria aleatoria (W&S)(d) igualitaria distribuida

Estructura jerrquica descentralizada (hubs): rutas areas en los E.U. Un nmero reducido de aeropuertos tienen una cantidad enorme de llegadas y salidas (Atlanta, Dallas, Chicaho, N.Y.), dems aeropuertos con pocos vuelosOtros hubs: artistas de cine (los conectores participan en pelculas de diversos gneros), ecosistemas, molculas vinculadas entre sAdems del grado de separacin y el aglutinamiento, la jerarqua es una tercera propiedadPuede haber mundos pequeos en redes igualitarias pero tambin en jerrquicasSi el promedio es de seis pasos de separacin, los conectores tienen dos o tresW & S sobreestimaron la importancia del modelo beta en la descripcin de la realidad

* La topologa y el crecimiento de las redesEn una red igualitaria la distribucin asociada tiene forma de campana; existe una escala o comportamiento tpicoEn una red jerrquica la distribucin asociada es la ley de la potencia; se habla de una escala-libreLey de la potencia en: paginas web, actores de Hollywood, red elctrica, comunidad cientfica, circuitos de un chip de computadoraNecesidad de explicar la dinmica de crecimiento de una red: auto-organizacin.En W & S la red es esttica, en la red de Barabsi la topologa de la red est asociada a su crecimiento

La topologa jerrquica: su crecimiento a partir del criterio de vnculos preferencialesLa antigedad hace que nodos ms viejos tengan ms posibilidades de ser conectadosNodos con ms lazos tienen mayores posibilidades de recibir conexiones de nuevos nodos Para que exista una topologa de hubs se requiere que la red crezca y que los vnculos se establezcan por popularidadLa red de actores y la de pginas web empezaron con pocos nodos, los cuales se han ido aadiendo poco a poco

* La popularidad de los nodos y la ley de la potencia(i) Las pginas se crean en un cierto orden, enumeradas de acuerdo a su periodo de aparicin en la Web 1, 2,,N.(ii) Cuando se crea la j-sima pgina se produce una liga con una pgina establecida previamente de acuerdo con:(ii.a) Con probabilidad p la j-sima pgina elige a la i-sima pagina, de entre las existentes, a partir de una distribucin uniforme y establece una liga con ella.(ii.b) Con probabilidad 1 p la j-sima pgina elige a la i-sima pgina, de entre las existentes, a partir de una distribucin uniforme y establece una liga con la pgina a la que se vincula la pgina nmero i. (iii) El proceso se repite N nmero de veces suponiendo cada vez que la nueva pgina crea una sola liga con las pginas existentes.

Notar proceso de popularidad: en i-esima pgina en (ii.b) la liga se establece con la pgina con la que sta se vincula.(ii.b) Con probabilidad 1 p la j-sima pgina elige a una pgina l con una probabilidad que es proporcional al nmero de pginas que se vinculan con l, creando as una nueva liga con l.Pginas que mantienen k lazos entrantes se distribuyen aproximadamente con una ley de la potencia 1/kc,Evidencia: frecuencia de pginas con k vnculos es proporcional a 1/k2; nmeros telefnicos 1/k2; libros vendidos 1/k3; artculos citados 1/k3.

*Redes con vnculos preferencialesNetLogo : Model Library Sample Models Networks Preferential Attachment La corrida se inicializa con dos nodos conectados, a los cuales se les incorpora uno ms en c/periodoLa probabilidad de conexin se establece en funcin de los lazos que parten de cada nodoInterfase con grfica (grado versus nmero de nodos) en escala normal y logartmicaLa lnea recta se observa para un cierto rango de los grados (distribuciones de escala-libre para valores no acotados)Por lo tanto este rango se amplia cuando aumenta el tamao de la redEn la interfase nodos de tamao diferente identifican su grado

*Algunas variantes de redes jerrquicas(a) En otros modelos los nodos de la red se pueden retirar ya sea por antigedad o por prdida de popularidadNo en todos los casos las conexiones se describen a travs de una distribucin de escala-libre(b) La vinculacin preferencial se modifica cuando se describe un entorno de competencia Cmo explicar el xito del Google y otros nodos de aparicin tarda?Con competencia la antigedad puede dejar de ser importante, nodos atraen conexiones (nuevas y previas) por sus capacidades (i.e. consumidores que prefieren un nuevo producto)Agregar funcin de adaptacin: habilidad para hacer amigos, calidad de la compaa, potencial para atraer clientes, versatilidad de un actor y, en general, capacidad de un nodo para incrementar su gradoCuando la capacidad de adaptacin de un nodo es abrumadora (el ganador-se-lleva-todo) da lugar a una topologa en forma de estrella (e.g. Windows con el 86%)

*La popularidad y sus consecuencias en la industria del entretenimientoPopularidad de libros, albums y pelculas es frgilDespeje inicial por sencuencia de accidentes, luego entra el efecto de vnculos preferencialesSi la historia se repitiera que pasaria con Harry Potter y el Cdigo da Vince?Libros mejores pasan inadvertidos para grandes audienciasExperimento de Salganik et al: Crearon sitio de 48 canciones desconocidas, se podan oir y ver nmero de descargas antes de bajarlasInternautas no saban que haba 8 sitios (repetir la historia)Resultado: participacin de mercado muy diferenteNoveno sitio sin contador de descarga: distribucin ms simtrica resultado de dinero-llama-dinero

Dificultad para predecir blockbustersQu conviene encontrar best-sellers o vender pocos volmenes de muchos ttulos?Venta de nicho se ha hecho posible por Internet, no hay necesidad de contar con red de almacenes: Amazon, Netflix, I-tunesFenmeno de colas largas (Long Tails) de Chris AndersonVentajas competitivas del e-commerceRequerimientos: amplia cobertura, bajos costos de inventarios y de distribucin

El caso de Amazon (2000 y 2008)

Fenmeno de las colas largas = recproco de la ley de la potencia Factor subyacente en ambos casos es el proceso de popularidad. CL = cantidad de copias que vende un ttulo que se ubica en el j-esimo sitio de popularidad, LP = nmero de ttulos que pueden vender al menos k copiasCola LargaLey de la Potencia

8.6 La afiliacin como criterio de distancia socialCmo incorporar al anlisis la densidad o cohesin sin tener que suponer como sustrato la rejilla de un autmata celular?H. White: los contextos (asociacin gremial, actividad deportiva, grupo social) en los que se desenvuelven los individuos son criticas para explicar la naturaleza de sus redesCuando dos personas no tienen afiliaciones comunes resulta poco probable que tengan vnculos entre si.Estructura social (identidad) redes sociales; la gente se conoce por lo que hacenCuando se parte de la estructura social (afiliaciones) se pueden construir redes bimodales (o bipartitas)Existen dos tipos de distribucin de grados: nmero de grupos a los que pertenece cada actor (afiliacin de actores) y nmero de actores que pertenecen a cada grupo (afiliacin de grupos)

* Redes de afiliacin bipartita

* Un modelo de redes de afiliacinEjemplo de una red de afiliacin: consejeros de empresas (un conjunto de nodos para las empresas y otro para los consejeros)En el modelo se establece un emparejamiento aleatorio entre los dos tipos de nodos redes uni-modales de afiliacin presentan cliques traslapados y trayectorias cortasAdems de formarse redes de mundo pequeo se logra precisar adecuadamente la distribucin de grado

* La intensidad de las afiliacionesDepuracin del concepto de identidad social en base a su intensidad qu tan distantes se encuentran sus afiliaciones?(a) En el caso del contexto social en una sola dimensin: Nmero de pasos que se tiene que subir en una jerarqua para encontrar la bifurcacin comn

(b) Multiplicidad de dominios: permite navegar y transmitir informacin de manera ms eficiente.Se pueden encontrar nodos definidos aleatoriamente en una red cuando los actores utilizan relativamente pocas dimensiones. Una sola implica aislamiento, muchas equivale al caso de tendidos aleatorios

* Co-evolucin entre redes sociales y de afiliacinA la par de redes de afiliacin hay redes sociales

No son estticas ya que hay Mecnica co-evolutiva:Seleccin: pertenecen a un mismo grupo y forman lazo de amistad (cierre focal)Influencia social: A se involucra a un grupo ya que su amigo B ya era integrante (cierre de membresa)Cierre tridico tradicional: amigos de uno tienden a ser amigos

Evidencia emprica: Christakis y Fowler sobre obesidad con 12,000 en 32 aosResultado: obesidad es un asunto de redes: separacin en dos clusteres(i) Homofilia por variables diferentes al peso(ii) Seleccin que hizo posible su amistad(iii) Influencia social: imitacin que hizo que cambiaran prcticas alimenticiasAunque se ve como un problema de salud pblica, parte de solucin est en contagio social.

8.7 El contagio a travs de redes socialesRedes producto de decisiones y redes condicionan decisionesRedes: propagacin de adicciones, emociones, normas sociales, pnicos financieros, relaciones cliente-proveedor, matrimoniosEmociones y enfermedades transmitidas por factores psicosomticosChristakis y Fowler: relevancia de las influencia de 3er grado (hiperdiadas)Contrauitivo: la esposa de un colega del trabajo de mi hermano incide en mi comportamiento a pesar de no conocerla personalmenteImitacin: cambios de conducta y de normasNormas de obesidad ms all de mis conocidos directos

* Contagio social vs biolgicoIdeas y enfermedades a travs de redes sociales, peroContagio social involucra una toma de decisinContagio de enfermedades mecanismo aleatorioEn sociales cuando es dficl conocer factor causal subyacenteEmociones: ansiedad, risa, dolor, parlisis e histeria (enfermedades psicognicas masivas (EPM) Emociones son menos deliberativa, instintivasCapacidad de leer e imitar emociones ofreci capacidad evolutiva

* Un modelo tradicional de emocionesModelo epidemiolgico tradicional, agentes con tres estados: susceptible (S), infectado (I), resistente (R)Poblaciones mezcladas: individuos tienen la misma probabilidad de ser contagiados por unidad de tiempoRealidad: individuos en contacto con pequea fraccin de la poblacin no elegida aleatoriamenteVariables S(t), X(t), R(t) que describen valores esperados: promedio si el proceso se repitiera varias veces

Probabilidad de que una persona cualesquiera entre en contacto con una susceptible: S/n. Si b = promedio de personas con las que un individuo tiene contacto, por unidad de tiempoPersona infectada tiene contactos con bS/n Promedio de nuevas infecciones viene dada por bSX/n. En segunda etapa; personas infectadas se recuperan a una tasa constante g. Recuperacion rpida ms facible (exponencial) vs duran enfermos un periodo (normal), segundo escenario ms real pero no se considera

Dinmica epidemiolgica

Solucin

* SIR: difusin de enfermedadesEn estado estacionario: r = 1 e-br/g Para b = g: transicin epidmica Rgimen epidmico: enfermedad se propaga cuando g < b

* Epidemias a travs de redesProbabilidad de que dos personas al azar entren en contacto

* Algoritmo de contagio (Easley y Kleinberg)(i) Inicialmente un nmero determinado de nodos I estn infectados y el resto de la poblacin se encuentra en el estado S; (ii) Cada nodo v que entra en el estado I se mantiene infectado por un nmero fijo de periodos (t1); (iii) A lo largo de estos t1 periodos el nodo v tiene la probabilidad de pasar la enfermedad a alguno de sus vecinos que sea susceptible; (iv) Despus de los t1 periodos el nodo v se vuelve resistente y, por ende, no puede contagiar enfermedades ni ser contagiado a partir de ese momento.

* Transmisin de enfremedades a travs de una red

* Propagacin de un virus a travs de red Library Sample Models Networks Virus on a Network.Tres estados: S, I, RUn nodo infectado (rojo) contagia a uno susceptible (verde) con el que est vinculado en funcin de una probabilidad.La infeccin de un nodo no es detectada inmediatamenteUn nodo infectado es detectado con una cierta probabilidad A partir de otra probabilidad se establece si dicho nodo se vuelve resistente a contagios futuros.Resultado: infecciones se propagan pero crecimiento de nodos resistentes hace que los nodos infectados desaparezcanRobusto a modificaciones en parmetros a menos que probabilidad de que un nodo se haga resistente sea nula.

Condiciones iniciales

Monitor de estatus de la red

*Difusin de recursos a partir de red direccionalLibrary Sample Models Networks Diffusion on a Directed NetworkSembrado inicial: nodos reciben misma cantidad del recurso Se diferencian por la cantidad de lazos que entran y salenObservador especifica nmero de nodos y porcentaje promedio de conexionesEstado estacionario: mayora de nodos se encuentran sin recurso alguno y unos cuantos acaparan casi todoDistribucin ms asimtrica conforme la probabilidad de que un nodo tenga un vnculo es cercana a 1/2

Red en estado estacionario

Con retrazado-aleatorio

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