capítulo 8 - carlospitta.com 17 y 18.pdf · 13 demanda condicionada •esto es bastante familiar...
TRANSCRIPT
2
Dos supuestos simplificadores:
• Solo existen dos factores productivos
– Trabajo (l), medido en horas
– Capital (k), medido en horas máquinas
• Muchos otros costos, como otros insumos que se
requieren también se incluyen aquí
• Los insumos son contratados en
mercados perfectamente competitivos
– Las firmas son tomadoras de precios en el
mercado de los insumos
3
Beneficios Económicos• Los costos totales de la firma están dados
por:
Costo Total = C = wl + vk
• El Ingreso Total de la Firma está dado por:
Ingreso Total = pq = pf(k,l)
• El beneficio Económico ( ) está dado por:
= Ingreso Total - Costo Total
= pq - wl - vk
= pf(k,l) - wl - vk
4
Beneficios Económicos
• El beneficio económico está en función
del monto de capital y trabajo empleados
– Así que podemos examinar específicamente
cómo una firma escoge k y l para maximizar
el beneficio
• Esto se conoce como la teoría de las
“demandas derivadas, contingentes, o
condicionadas”
– Por el momento asumiremos que la firma ya
ha escogido su nivel de producción (q0) y
que quiere minimizar sus costos
5
Dos vías para el análisis
1. Maximizar el beneficio: Analizar
específicamente cómo una firma escoge
k y l
2. Minimizar el Costo: asumir que la firma
ya ha escogido su nivel de producción
(q0) y que quiere minimizar sus costos
De momento, usaremos el segundo método
6
Elección de insumos que minimizan
los costos
• Para minimizar los costos de producir
un nivel determinado de producto, una
firma debe seleccionar un punto en la
isocuanta al cual su TMST sea igual al
cociente w/v
– Deberá igualar la tasa a la que k puede ser
intercambiado por l en el proceso
productivo a la tasa a la que puede
intercambiar dichos factores productivos
en el mercado de insumos
7
Elección de insumos que minimizan
los costos• Matemáticamente, queremos minimizar
el costo total dado por q = f(k,l) = q0
• Escribiendo el Langrageano:
L = wl + vk + [q0 - f(k,l)]
• Las condiciones de primer orden son:
L/ l = w - ( f/ l) = 0
L/ k = v - ( f/ k) = 0
L/ = q0 - f(k,l) = 0
8
Elección de insumos que minimizan
los costos
• Dividiendo las dos primeras condiciones:
) for ( /
/kRTS
kf
f
v
wl
l
• Entonces, una firma que busca
minimizar el costo deberá igualar su
TMST al cociente de sus precios
9
Elección de insumos que minimizan
los costos
• Arreglando, tenemos:
w
f
v
fk l
• Si queremos minimizar los costos, el
producto marginal por dólar gastado
debe ser igual para todos los insumos
10
Elección de insumos que minimizan
los costos
• Note lo que significa la inversa de esta
función:
kf
v
f
w
l
• El multiplicador Langrangeano muestra
en cuanto se incrementará nuestro
costo si decidimos incrementar
marginalmente el producto (ya sea
usando más capital o más trabajo)
11
q0
Dado el producto q0, queremos encontrar el
punto menos costoso en una isocuanta:
C1
C2
C3
Los costos están
representados por las líneas
paralelas de pendiente -w/v
Elección de insumos que minimizan
los costos
l por período
k por período
C1 < C2 < C3
12
C1
C2
C3
q0
El costo mínimo para producir q0 es C2
Elección de insumos que minimizan
los costos
l por período
k por período
k*
l*
La elección óptima
es l*, k*
Esto ocurre en la
tangencia entre la
isocuanta y la expresión
de costo total
13
Demanda condicionada
• Esto es bastante familiar para nosotros.
Recuerdo que antes desarrollamos un
mecanismo para que un consumidor
minimizara sus costos totales
– En esa ocasión, usamos dicho proceso de
minimización para encontrar una demanda
compensada (Hicksiana) por los bienes
• ¿Podremos usar esa misma tecnología
para encontrar las demandas de una
firma por insumos?
14
Demanda condicionada
• La consecuencia de usar el segundo camino
(minimización de costos) nos conduce
igualmente a unas demandas por capital y
trabajo que son contingentes al nivel de
producto que se produce (igual que antes las
Hicksianas eran contingentes a la utilidad)
• Esta demanda por insumos son llamadas
demandas condicionadas o derivadas
– Y dependen del nivel de producción escogido
por la firma
15
Senda de Expansión de la firma
• La firma puede determinar las combinaciones
minimizadoras de costo de k y l para cada
nivel particular de producto que desee
producir
• Si los costos de los insumos permanecen
constantes para todo nivel de k y l que la
firma pueda demandar, entonces podemos
dibujar dichas elecciones que minimizan el
costo
– Esto es llamado el sendero de expansión
16
Senda de Expansión de la firma
l por período
k por período
q00
El sendero de expansión es la combinación de
todas las tangencias que minimizan costos
q0
q1
E
La curva muestra cómo
los requerimientos de
insumos crecen a
medida que el producto
aumenta
17
Senda de Expansión de la firma
• La senda de expansión no tiene
necesariamente que ser una línea recta
– El uso de algunos insumos puede
incrementarse más rápido que otros a
medida que el producto se incrementa
• Y esto depende de la curvatura de la Isocuanta
• La senda de expansión no tiene
necesariamente que tener pendiente positiva
– Si el uso de un bien cae a medida que el
producto se expande, llamamos a dicho
insumo un inferior
18
Minimización de Costos
• Suponga la función de producción
Cobb-Douglas:
q = k l
• El Langrangeano si deseamos
minimizar costos en la producción
de q0 es
L = vk + wl + (q0 - k l )
19
Minimización de Costos
• Las condiciones de primer orden para un
mínimo son:
L/ k = v - k -1l = 0
L/ l = w - k l -1 = 0
L/ = q0 - k l = 0
20
Minimización de Costos
• Dividiendo las dos primeras expresiones
tenemos que:1
1
w k kTMST
v k
l
l l
• Esta función de producción es homotética
– La TMST depende sólo del cociente de los
dos insumos
– La senda de expansión es una línea recta
21
Minimización de Costos
• Suponga ahora que la función de
producción es la CES:
q = (k + l ) /
• El Langrangeano para minimizar
costos en la producción de q0 es
L = vk + wl + [q0 - (k + l ) / ]
22
Minimización de Costos
• Las condiciones de primer orden son:
L/ k = v - ( / )(k + l )( - )/ ( )k -1 = 0
L/ l = w - ( / )(k + l )( - )/ ( )l -1 = 0
L/ = q0 - (k + l ) / = 0
23
Minimización de Costos
• Dividiendo las primeras dos ecuaciones
tenemos:/111
1
ll
kk
kv
w
• Esta función de producción también es
homotética
24
Función de Costos Totales
• La Función de Costos Totales muestra
que para un conjunto cualesquiera de
costos de los insumos y nivel de
producción, el costo mínimo en el cual
podría incurrir la firma es:
C = C(v,w,q)
• A medida que la producción (q) se
incrementa, los costos totales también
se incrementan
25
Función de Costos Medios
• A la Función de Costo Promedio (AC) la
encontramos calculando los costos
totales por unidad de producto
( , , )costo promedio ( , , )
C v w qAC v w q
q
26
Función de Costos Marginales
• A la Función de Costos Marginales
(MC) la encontramos derivando el
cambio en los costos totales ante
cambio en el producto
( , , )Costo Marginal ( , , )
C v w qMC v w q
q
27
Análisis Gráfico de los Costos Totales
• Suponga que se necesitan k1 unidades de
capital y l1 unidades de trabajo para
producir una unidad de producto:
C(q=1) = vk1 + wl1
• Para producir m unidades de producto (y
asumiendo Retornos Constantes a
Escala)
C(q=m) = vmk1 + wml1 = m(vk1 + wl1)
C(q=m) = m C(q=1)
28
Análisis Gráfico de los Costos Totales
Producto
Costo
Total
C
Con retornos constantes a escala, los
costos totales son proporcionales al
productoAC = MC
Tanto AC como
MC serán
constantes
29
Análisis Gráfico de los Costos Totales
• Ahora, suponga que los costos totales
comienzan siendo cóncavos y que
después se tornan convexos a medida
que el producto crece– Una posible explicación para que esto ocurra es
que existe un tercer factor de producción que se
encuentra fijo a medida que K y L se incrementan
– Los costos totales comienzan a incrementarse
rápidamente justo después de la sección de
retornos decrecientes
30
Análisis Gráfico de los Costos Totales
Producto
Costo
Total
C
El costo total sube
dramáticamente a
medida que sube el
producto justo
después de los
retornos decrecientes
31
Análisis Gráfico de los Costos Totales
Producto
Costos
Medio y
Marginal
MC
MC es la pendiente de la curva C
AC
Si AC > MC,
AC debe estar
cayendo
Si AC < MC,
AC debe estar
subiendomin AC
32
Desplazamientos de las
curvas de costos• Las curvas de costos se dibujan bajo el
supuesto de que tanto los precios como
los niveles de tecnología se mantienen
constantes
– Cualquier cambio en dichos factores
causará un desplazamiento de las curvas
de costos
33
Ejemplos de Funciones de Costo
• Suponga que tenemos una tecnología
de proporciones fijas como
q = f(k,l) = min(ak,bl)
• La producción ocurrirá en el vórtice de
las isocuantas, que tienen forma de L
(En particular, q = ak = bl)
C(w,v,q) = vk + wl = v(q/a) + w(q/b)
b
w
a
vaqvwC ),,(
34
Ejemplos de Funciones de Costo
• Suponga ahora que tenemos una
tecnología de producción Cobb Douglas
q = f(k,l) = k l
• La minimización de costos requiere
que:
l
k
v
w
lv
wk
35
Ejemplos de Funciones de Costo
• Si sustituimos dicha condición en la función
de producción y despejamos l, tenemos:
//
/
/1 vwql
• De la misma forma tenemos para k:
//
/
/1 vwqk
36
Ejemplos de Funciones de Costo
• Ahora nos encontramos en condiciones de
derivar la función de costo total como:///1),,( wBvqwvkqwvC l
Donde
//)(B
es una constante compuesta
únicamente de los parámetros y
37
Ejemplos de Funciones de Costo
• Suponga que tenemos una tecnología CES
tal que:
q = f(k,l) = (k + l ) /
• Para derivar la función de costos totales,
usamos el mismo método para
(eventualmente) obtener:/)1(1/1//1 )(),,( wvqwvkqwvC l
1/111/1 )(),,( wvqqwvC
38
Propiedades de las Funciones de Costo
Las funciones de costo son:
1. Homogéneas
– Las funciones de costo son homogéneas
de grado 1 en los precios de los insumos• La minimización de costos requiere que el cociente de
los precios de los insumos sea igual a la TMST, por lo
que doblar todos los precios de los insumos no cambiará
los niveles comprados de dichos insumos
• Una inflación pura y uniforme no cambiará las decisiones
de consumo de insumos de la firma, pero incrementará
sí las funciones de costos
39
Propiedades de las Funciones de Costo
Las funciones de costo son:
2. No decrecientes en q, v, y w
– Las funciones de costo son derivadas de
un proceso de minimización de costos
• Cualquier disminución en los costos que
provenga de un incremento en alguno de los
factores productivos significaría una
contradicción
40
Propiedades de las Funciones de Costo
Las funciones de costo son:
3. Cóncavas en los precios de los
insumos
– Los costos serán menores si una firma
enfrenta precios de insumos que fluctúan
alrededor de un nivel dado, que cuando
permanecen constantes en dicho nivel
• Intuición: la firma puede adaptar la mezcla de
sus insumos para tomar ventaja de dichas
fluctuaciones
41
C(v,w,q1)
Dado que la mezcla de
insumos de la firma muy
seguramente cambiará,
los costos serán menores
que Cpseudo , por ejemplo,
C(v,w,q1)
Cpseudo
Si la firma continua
comprando los mismos
insumos a medida que w
cambia, su función de
costos será Cpseudo
Concavidad de las Funciones de Costos
w
Costos
En w1, los costos de la firma son
C(v,w1,q1)
C(v,w1,q1)
w1
42
Propiedades de las Funciones
de Costo• Algunas de estas propiedades son
llevadas a las curvas de costo promedio
y marginal. Por ejemplo:
– Homogeneidad
43
Sustitución de Insumos
• Un cambio en el precio de un insumo
ocasionará que la firma altere su mezcla de
insumos seleccionada
• Desearíamos ver como k/l cambia en
respuesta a un cambio en w/v, mientras
dejamos q constante:
?
k
w
v
l
44
Sustitución de InsumosDejando la expresión anterior en términos
proporcionales (elasticidades) tenemos que:
)/ln(
)/ln(
/
/
)/(
)/(
vw
k
k
vw
vw
ks
l
l
l
nos da una definición alternativa de la
elasticidad de sustitución– Para el caso de dos insumos, s debe ser no
negativa
– Valores relativamente altos de s indican que las
firmas cambian su mezcla de insumos
significativamente a medida que los precios de los
insumos varían
45
Tamaño de los Cambios de las
Funciones de Costo
• El incremento en costos será
influenciado en gran medida por la
significancia relativa del insumo en el
proceso productivo
• Si las firmas pueden sustituirlo
fácilmente cuando sube su precio, el
incremento en los costos puede ser
pequeño
46
Progreso Tecnológico
• Mejoras tecnológicas también
disminuyen las curvas de costos
• Suponga que el costo total (con
retornos constantes a escala) es
C0 = C0(q,v,w) = qC0(v,w,1)
Ahora suponga que el producto también
depende del tiempo (o, más específicamente,
como evoluciona la tecnología en el tiempo)
47
Progreso Tecnológico
• Ahora, los mismos insumos que
produjeron una unidad de producto en el
período 0 producirán A(t) unidades en el
período t
Ct(v,w,A(t)) = A(t)Ct(v,w,1)= C0(v,w,1)
• Los costos totales están dados por:
Ct(v,w,q) = qCt(v,w,1) = qC0(v,w,1)/A(t)
= C0(v,w,q)/A(t)
48
Desplazando la Función de Costos Cobb Douglas
• La función de Costos Cobb-Douglas es:///1),,( wBvqwvkqwvC l
Donde//)(B
• Si asumimos que = = 0.5, la curva
de costo total se simplifica a:
5.05.02),,( wqvwvkqwvC l
49
Desplazando la Función de Costos Cobb Douglas
• Si v = 3 y w = 12, la relación es:
qqqC 12362),12,3(
– C = 480 para producir q =40
– AC = C/q = 12
– MC = C/ q = 12
50
Desplazando la Función de Costos Cobb Douglas
• Si v = 3 y w = 27, la relación es:
qqqC 18812),27,3(
– C = 720 para producir q =40
– AC = C/q = 18
– MC = C/ q = 18
51
Demanda Condicionada por
Insumos• Las demandas contingentes o
condicionadas por insumos para todos
los insumos que una firma emplea
pueden ser derivadas de la función de
costos
– Hay que usar el Lemma de Shephard
• La demanda condicionada por insumos está
dada por la derivada parcial de la función de
costos con respecto al precio del insumo que
nos interesa
52
Demanda Condicionada por
Insumos• Suponga que tenemos una tecnología
de proporciones fijas
• La función de costos es:
b
w
a
vaqvwC ),,(
53
Demanda Condicionada por
Insumos• Para esta función de costos, las
demandas condicionadas son bastante
simples:
a
q
v
qwvCqwvk c ),,(
),,(
b
q
w
qwvCqwvc ),,(
),,(l
54
Demanda Condicionada por
Insumos• Ahora suponga que tenemos una
tecnología Cobb-Douglas
• La función de costos es:
///1),,( wBvqwvkqwvC l
55
Demanda Condicionada por
Insumos• Para esta función de costos, la
derivación es más compleja:
/
/1
///1
),,(
v
wBq
wBvqv
Cqwvk c
56
Demanda Condicionada por
Insumos
/
/1
///1
),,(
v
wBq
wBvqw
Cqwvcl
• En este caso, la demanda compensada
por los insumos depende de ambos
precios de los insumos
57
Distinción entre Corto y Largo Plazo
• En el corto plazo, los agentes económicos
gozan de una flexibilidad limitada en sus
acciones
• Ahora asuma que el capital se mantiene
constante en k1 y que la firma sólo es libre de
elegir cuanto trabajo contratará
• La función de producción bajo estas
condiciones se transforma a:
q = f(k1,l)
58
Costo Total a Corto Plazo
• Los costos totales a corto plazo para la
firma son ahora:
SC = vk1 + wl
• Existen dos tipos de costos a corto
plazo:
– Costos fijos a corto plazo, asociados con
insumos fijos (vk1)
– Costos variables a corto plazo son costos
asociados con los insumos variables (wl)
59
Costo Total a Corto Plazo
• Los costos a corto plazo no son los
costos mínimos para la producción de
un determinado nivel de producto
– La firma no tiene la flexibilidad de
seleccionar los insumos como quisiera
– Para variar su producción en el corto
plazo, la firma debe utilizar combinaciones
de insumos sub óptimas
– En este caso, la TMST no será igual al
cociente de los precios de los insumos
60
Costo Total a Corto Plazo
l por período
k por período
q0
q1
q2
k1
l1 l2 l3
Debido a que el capital es fijo en k1,
la firma no puede igualar su TMST
con el cociente del precio de los
insumos.
61
Costo Marginal y Medio a Corto Plazo
• La función de Costo Total Promedio a
corto plazo (SAC) es:
SAC = Costo Total/Producto Total = SC/q
• La función de Costo Marginal a corto plazo
(SMC) es:
SMC = cambio en SC/cambio en producto =
SC/ q
62
Relación entre los Costos a Corto y Largo Plazo
Producto
Costos
Totales
SC (k0)
SC (k1)
SC (k2)
La curva C a largo
plazo puede ser
derivada variando
los niveles de k
q0 q1 q2
C
63
Relación entre los Costos a Corto y Largo Plazo
Producto
Costos
Aquí se muestra
la relación
geométrica que
guardan a corto y
largo plazo las
curvas AC y MC
q0 q1
AC
MCSAC (k0)SMC (k0)
SAC (k1)SMC (k1)
64
Relación entre los Costos a Corto y Largo Plazo
• En el punto mínimo de la curva AC ocurre:
– Que la curva MC intercepta la curva AC
• MC = AC solo en este punto
– Que la curva SAC es tangente a la curva AC
• SAC (para este nivel de k) se minimiza al mismo
nivel de producto que AC
• SMC interseca SAC también en este punto
AC = MC = SAC = SMC
65
¡Puntos Importantes!
• Una firma que desee minimizar los
costos económicos de producir un
nivel particular de producto deberá
escoger la combinación de insumos a
la cual la Tasa Marginal de Sustitución
Técnica (TMST) es igual al cociente
de los precios de los insumos
66
¡Puntos Importantes!
• Si aplicamos repetidamente este
proceso de minimización obtendremos
la senda de expansión de la firma
– La senda de expansión muestra como el
uso de un insumo se expande con los
niveles de producción
• También muestra la relación entre los niveles
de producción y los costos totales
• Esta relación se sumariza en la función de
costos totales, C(v,w,q)
67
¡Puntos Importantes!
• El costo promedio de la firma (AC =
C/q) y el costo marginal (MC =
C/ q) pueden ser derivados
directamente de la función de costo
total
– Si la curva de costos totales tiene una
forma cúbica, tanto la curva AC como la
curva MC tendrán forma de U
68
¡Puntos Importantes!
• Todas las curvas de costos son dibujadas bajo el
supuesto de que los precios de los insumos
permanecen constantes
– Cuando el precio de un insumo cambia, las
curvas de costo se desplazan
• El tamaño de dichos cambios estará
determinado por la importancia de dicho
insumo en la función de producción,
específicamente por la capacidad de la firma
de sustituirlo
– El progreso técnico también desplaza a las
curvas de costos
69
¡Puntos Importantes!
• Pueden obtenerse funciones de
demanda por insumos a partir de la
función de costo total de la firma
usando el lemma de Shephard
– Estas demandas dependerán de la
cantidad de producto seleccionado por la
empresa
• Son llamadas “Demandas contingentes” o
“Demandas condicionadas” (al nivel de
producción)
70
¡Puntos Importantes!
• En el corto plazo, es posible que la firma se
vea imposibilitada a variar el nivel de cierto
insumo
– Entonces, solo puede alterar su nivel de
producción únicamente a través de
cambios en el uso de los otros factores
productivos
– Puede tener que utilizar combinaciones
más costosas y sub óptimas de insumos