Capítulo 7

MOMENTO LINEAL Y COLISIONES

ppxx = mv = mvxx p pyy = mv = mvyy p pzz = mv = mvzz

Tiene carácter vectorial, y como m es Tiene carácter vectorial, y como m es

un escalar, entonces p Vun escalar, entonces p V

Cantidad de Movimiento lineal Cantidad de Movimiento lineal de una partículade una partícula

Se define como el producto de la masa Se define como el producto de la masa por la velocidad de la partícula. por la velocidad de la partícula.

mVp [kg m/s][kg m/s]

V p

1ra ley de Newton1ra ley de Newton

Un cuerpo libre de la acción de Un cuerpo libre de la acción de otros cuerpos otros cuerpos se moverá con se moverá con

cantidad de movimiento constantecantidad de movimiento constante (p = cte) o permanecerá en (p = cte) o permanecerá en reposoreposo hasta que algún agente externo le hasta que algún agente externo le

modifique su estado de modifique su estado de movimientomovimiento

mv vmp

Sistema aislado

0F

ctep

0p

La segunda ley de Newton se puede escribir en función del momento lineal:

dtdp

F

dtd(mv)

dtdv

mF

extR

extR

Sistema de Sistema de una partículauna partícula2da ley de Newton2da ley de Newton

extRR FF

Sistema de partículasSistema de partículas

sistemasistema

jiFijFextiF

extjF

iii mr ,v, ii pr ,Ni ..1

ji i

extiijR FFF

,

0

rj

vj

Cuerpo externo

extR

intRR FFF

La sumatoria de las fuerzas internas se hace cero, teniendo en cuenta que dentro del sistema están todas las parejas de cuerpos que sienten los pares de acción y reacción.

i

exti

extRR FFF

i

i

i

extiR dt

dpFF

i

iextR p

dtd

Fsist

dtdp

2da ley de Newton2da ley de Newton

(sist)

dtdp

F extR )(

Conservación de la cantidad de movimiento lineal

0

ctepdtdp sist

(sist)

)(,0

Cuando la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema se anula, entonces se conserva

la cantidad de movimiento lineal del sistema

m

vmp

F

t2t1

m

1p2p

F

En el caso en que esté actuando una fuerza resultante sobre el sistema:

integrando ambos miembros, obtenemos:

Fdt,dp

2

1

t

t12 Fdtppp

A la cantidad anterior se le conoce comoImpulso I de la fuerza F en el intervalo ,

t t tf i

I Fdt pt

t

i

f

el impulso es igual al cambio de momento lineal

Impulso de una fuerza Impulso de una fuerza

Una pelota colisionando con una pared rígida

1p

2p

ot

tt

Mientras la pelota colisiona con la pared, ella se deforma rápidamente, lo cual indica que la fuerza de interacción pared pelota crece monótonamente con el tiempo, cuando la deformación de la pelota es máxima, entonces la fuerza que actúa sobre la pelota también lo es.

F

t t(s)

AREAFdtItt

t

0

A

Comportamiento de la fuerza impulsiva con el tiempo

Es conveniente definir una fuerza promedio como:

Por lo tanto el impulso también se puede expresar como:

mF

2

1

1 t

tm Fdtt

F

tFpI m

H=2m

h=1,5m

iv fv

Una pelotita de 100g de masa se deja caer desde una altura de 2m y rebota verticalmente tal como se indica. determine la fuerza promedio que el piso ejerció sobre la pelotita, si el tiempo de interacción pared -pelota fue de 0,02s

En el sistema mostrado determinese el impulso que la pelotita recibe y la fuerza promedio sobre ella, si el tiempo de interacción pared -pelota fue de 0,025s

o37o37

m= 10kg

V=50m/s

v

v

0dtdp

Fsist

extR

En los choques la cantidad de movimiento lineal del sistema siempre se conserva, pues las fuerzas externas, de existir, se

desprecian frente a las internas, las cuales son muy intensas mientras actúan.

0

Conservación de la cantidad de movimiento lineal

Conservación del momento para un sistema de dos partículas

m1

m2

p1=m1v1

p2=m2v2

F12

F21

Como

2112 FyFCorresponden al par acción reacción se cumple :

02112 FF

Se conserva la cantidad de movimiento p del sistema p = 0

Se conserva la energía cinética K del sistema K = 0

Clasificación de los choques

inelásticoinelásticoelásticoelástico

inelásticoinelástico plásticoplástico

K 0 K máxima

Se conserva la cantidad de movimiento p del sistema

NO se conserva la energía cinética K del sistema K no es cero

p pi f

fi KK p pi f

fi KK

Tipos de colisión

Elástica:

Inelásticas

colisión perfectamente inelástica

m1

m2

m1+ m2

Choque plástico

Choque plásticop o r c o n s e r v a c i ó n d e l m o m e n t o :

'' 22112211 vmvmvmvm

p o d e m o s s u p r i m i r e l v e c t o r u n i t a r i o i

')( 212211 vmmvmvm . . . . . . ( 1 )

21

2211'mmvmvm

v

p o r c o n s e r v a c i ó n d e l m o m e n t o :

'' 22112211 vmvmvmvm

p o d e m o s s u p r i m i r e l v e c t o r u n i t a r i o i

'' 22112211 vmvmvmvm . . . . . . ( 1 ) P o r c o n s e r v a c i ó n d e l a e n e r g í a c i n é t i c a ( 2 )

222

211

222

211 '

2

1'

2

1

2

1

2

1vmvmvmvm

Choque elástico

'' 1221 vvvv . . . . . . . . ( 3 )e s t a i g u a l d a d i n d e p e n d i e n t e d e l a s m a s a s n o si n d i c a q u e :

L a v e l o c i d a d r e l a t i v a d e a c e r c a m i e n t o e si g u a l y o p u e s t a a l a v e l o c i d a d r e l a t i v a d e

a l e j a m i e n t o

C o m b i n a n d o l a s e c u a c i o n e s ( 1 ) y ( 3 )o b t e n e m o s l a s v e l o c i d a d e s f i n a l e s d e l a sm a s a s m 1 y m 2 i n m e d i a t a m e n t e d e s p u é s d e l ac o l i s i ó n , e n f u n c i ó n d e l a s v e l o c i d a d e si n i c i a l e s y l a s m a s a s :

221

11

21

21'1

2v

mm

mv

mm

mmv

221

121

21

2'2

2v

mm

mmv

mm

mv

Analicemos estas ecuaciones :1) si m1 = m2 , las ecuaciones se reducen a:

21' vv 12' vv

1v 2v21 ' vv

12 ' vv

Antes DespuésSus momentos lineales se intercambian

si m 2>>>m 1 tenemos :

212 mmm y 0

2

1 m

m

y sus velocidades finales serán:

211 2' vvv y 22 ' vv es decir el cuerpo de mayor masa no cambia su cantidad de movimiento

1v2v 11 ' vv

0'2 v

Antes Después

m1 rebota elásticamente

Si asumimos que m2 esta en reposo

0'y'0 2112 vvvv

Haga click en choques

Problema

Un bloque de masa m1=1.6kg, moviendose hacia la derecha con una velocidad de 4m/s sobre un camino horizontal sin fricción, choca contra un resorte sujeto a un segundo bloque de masa m2=2,1kg que se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 2,5m/s. (k=de 600N/m). En el instante en que m1 se mueve hacia la derecha con una velocidad de 3m/s determine: a) la velocidad de m2 b) la distancia x que se comprimió el resorte

m1 m2

ksmv /41 smv /5,22

m1 m2

smv /3'1 '2v

Por conservación del momento lineal

'' 22112211 vmvmvmvm ')1,2()3)(6,1()5,2)(1,2()4)(6,1( 2v

Obtenemos: ismv )/74,1('2 Por conservación de la energía:

2222

211

222

211 2

1'

2

1'

2

1

2

1

2

1kxvmvmvmvm

X = 0,173m

v1f

v1f

v1f cos

v1f sen

v2fcos

-v2f sen

Un choque no frontal elástico entre dos partículas

Antes

Después

Ejemplo. En un juego de billar se quiere introducir la bola roja en la buchaca después de golpearla con la blanca. Si la buchaca está a 35o a qué ángulo se desvía la bola blanca?

v1i

v1f

v2f

x

y

35o

CENTRO DE MASA

Un sistema mecánico complejo se comporta como si toda su masa

estuviera concentrada en un punto quese denomina centro de masa (C.M.)

Para un conjunto de masas puntualesel CM se calcula :

rm r

mCM

i ii

ii

m1

m2

m3m4

m5

m6

y

xr1

r4

r6

y

x

rCM

z rM

rdmCM 1

para una distribución continua de masa:

mi

r

Ejemplo. Se tienen 3 masas iguales en los vértices de un triángulo rectángulo. Calcular el vector C.M.

d

h

a

y

x

Ejemplo.

a

bc

y

x

dxx

dm

MOVIMIENTO DE UN SISTEMADE PARTÍCULAS

vdr

dtCMCM

d

dt Mmri i( )

1

1

Mmdr

dtii 1

Mmvi i

MvCM mvi i ip

sistP

El momento total P es el producto de lamasa total M por la velocidad del centrode masa.

MvCM CMP

adv

dt Mmdv

dt

Mma

MF

F

M

CMCM

ii

i i i

1

1 1

extRCM FaM

Al hacer la suma las fuerzasinternas de acción y reacción se cancelande modo que sólo quedan las fuerzasexternas. Entonces la ecuación anterior se reduce a:

Fi

dtPd

aMF sistCMext

CMext

R MaF )(

CMCM

Si la Si la FFRR que actúa que actúa

sobre el sistema sobre el sistema es es igual 0igual 0, entonces , entonces

el el Centro de MasaCentro de Masa del Sistema se del Sistema se

mueve con mueve con MRUMRU, , o está en reposoo está en reposo

00

sistemasistema

M

rm

m

rmtr i

ii

ii

iii

CM

cteVCM ctePsist 0extRF

en palabras:

el centro de masa se mueve comouna partícula imaginaria de masa Mcon la influencia de la fuerza externaresultante sobre el sistema.Si la fuerza resultante externa es cero entonces el CM se mueve con MRU