cap´ıtulo 6 escalamiento y an´alisis dimensional · es importante notar que se puede...

Capıtulo 6

Escalamiento y analisis

dimensional

6.1. Introduccion

El termino escalamiento describe una situacion muy sencilla: la existencia

de una relacion tipo ley de potencia ente algunas variables, x y y por ejemplo,

y = Axα

donde A, α son constantes. Este tipo de relaciones aparecen en el modelado

matematico de muchos fenomenos, no solo en fısica e ingenierıa sino tambien

en biologıa, economıa, etc. Estas leyes de escalamiento no son solo un tipo

simple de una clase mas general de relaciones. De hecho son excepcionales

pues nunca aparecen de forma fortuita. Las leyes de escalamiento revelan una

propiedad importante sobre el fenomeno que describen: su auto-similaridad.

La auto-similaridad significa que el fenomeno se reproduce a si mismo en

diferentes escalas de tiempo y/o espacio.

Podemos introducir este tema basandonos en un primer ejemplo, que de

hecho ejemplifica el descubrimiento de las leyes de escalamiento y el fenomeno

de auto-similaridad. Analicemos el estado intermedio de una explosion nu-

clear. En este estado, una onda de choque intensa se propaga en la atmosfera

101

102 CAPITULO 6. ESCALAMIENTO Y ANALISIS DIMENSIONAL

Figura 6.1: Fotografıa y esquema de una explosion atomica.

y el gas dentro de la onda de choque puede suponerse adiabatico. Este proble-

ma fue resuelto por G.I. Taylor en 1940. La pregunta que debıa resolver era

¿cual es el efecto mecanico que se espera de una explosion de gran intensidad?

Para responder a esta pregunta Taylor tenıa que entender y calcular el mo-

vimiento del gas ambiental despues de dicha explosion. Era claro que despues

de un perıodo inicial corto, una onda de choque aparece. Podemos suponer

que el movimiento es esfericamente simetrico. Para este estado inicial de la

explosion es posible despreciar los efectos viscosos y se puede suponer que

el gas se mueve en forma adiabatica. Para construir un modelo matematico

debemos considerar:

1. la ecuacion de conservacion de masa:

∂ρ

∂t+

1

r2∂

∂r

(r2ρu

)= 0 (6.1)

2. la ecuacion de conservacion de momentum:

∂u

∂t+ u

∂u

∂r= −1

ρ

∂P

∂r(6.2)

3. la ecuacion de conservacion de energıa:

∂

∂t

(P

ργ

)

+ u∂

∂r

(P

ργ

)

= 0 (6.3)

6.1. INTRODUCCION 103

obviamente, estas deben de ir acompanadas por condiciones de frontera y

condiciones iniciales.

Condiciones iniciales:

ρ(r, 0) = ρ0 (6.4)

P (r, 0) = P0 (6.5)

u(r, 0) = 0 (6.6)

para r ≥ ro.

y

ρ(r, 0) = ρi(r) (6.7)

P (r, 0) = Pi(r) (6.8)

u(r, 0) = ui(r) (6.9)

para r < ro.

El problema es en extremo complicado. No se puede resolver.

Taylor, usando analisis dimensional, y suponiendo que la energıa de la

explosion, E, se soltaba de manera concentrada en r0 = 0, argumento que:

Pf = f(E, t, r0, ρo, γ, Po) (6.10)

Si, r0 = 0 y Po ≪ Pf entonces

Pf = f(E, t, ρo, γ) (6.11)

y llego a la conclusion de que

Pf = C(γ)E2/5t−6/5ρ3/5o (6.12)

Lo cual es muy cercano a lo que se encontro experimentalmente. En esta

parte del curso aprenderemos a utilizar esta tecnica.


6.2. Analisis Dimensional

Primero comenzaremos definiendo algunos conceptos fundamentales.

Una medicion es la comparasion de una cantidad fısica con un estandar.

La medicion se da en terminos de unidades. Las unidades pueden ser fun-

damentales (masa, tiempo, distancia) o derivadas (sin combinan unidades

fundamentales, velocidad por ejemplo).

Si un grupo de unidades fundamentales tiene suficientes elementos para

describir a un sistema fısico, lo llamamos sistema de unidades. Por ejemplo:

Un sistema de unidades con un solo elemento, distancia L, mide pro-

piedades geometricas.

Un sistema de unidades con los elementos distancia, L, y tiempo, T ,

mide propiedades cinematicas.

Un sistema de unidades con los elementos distancia, L, y tiempo, T , y

masa, M , mide propiedades dinamicas.

Una clase de sistema de unidades es la que posee unidades similares. Por

ejemplo los sistemas cm-gr-s y km-ton-s son de la misma clase.

Es importante notar que se puede ‘crearotro sistema sustituyendo la uni-

dad M por la unidad F . Para esto se emplea la segunda ley de Newton para

hacer la equivalencia entre masa y fuerza: F =MLT−2.

6.2.1. Dimension de una variable fısica y Funcion Di-

mension

Las unidades fundamentales L, M y T son siempre numeros positivos.

Pueden interpretarse como los factores para cambiar de un sistema a otro.

Por ejemplo, si la unidad de distancia es reducida por un factor L y la

unidad de tiempo es reducida por un factor T , entonces la unidad de velocidad

es LT−1 veces menor que la unidad original.

6.2. ANALISIS DIMENSIONAL 105

Ası, el cambio del valor numerico de una cantidad fısica al pasar de un

sistema de unidades a otro en la misma clase esta dado por su dimension. La

funcion que determina el factor se denomina funcion dimension.

Ejemplo:

La funcion dimension de la densidad en el sistema MLT es:

ρ[=]ML−3

y en el sistema FLT es:

ρ[=]FL−4T 2.

Una cantidad fısica que tiene el mismo valor en diferentes sistemas de

unidades se dice que es ‘adimensional’. Su funcion dimension es unitaria

(φ[=]1).

Para que una ecuacion tenga significado fısico, ambos lados de la ecuacion

deben de tener la misma funcion dimension. Esto se vera mas adelante.

Funcion de potencia

Se puede demostrar que la funcion dimension, que represente a una va-

riable fısica, es una funcion de potencia tipo LαMβT γ, donde α, β y γ son

numeros reales cualesquiera. En otras palabras las funcion dimension es un

monomio de potencias de cada una de las unidades fundamentales.

Por ejemplo, la masa, m en el sistema LMT tiene una funcion dimension:

m[=]M1

o en el sistema LFT :

m[=]L−1FT 2.

La energıa, E tiene la funcion dimension:

E[=]FL

en el sistema LFT y en el sistema LMT es:

E[=]L2MT−1.

No puede existir una funcion dimension de la forma:


L+M2

exp(M)L

M cos(T ) log(L)

¿Porque? Es posible demostrar que si la funcion dimension no tiene esta

forma polinomial de potencia entonces no se puede asegurar que todos los

sistema de unidades dentro de una misma clase son equivalentes.

Demostracion

Supongamos que la funcion dimension de la variable fısica A esta dada

por:

A[=]φ(L,M, T )

Elijamos ahora dos sistemas de unidades dados por:

Sistema 1: L1,M1, T1

Sistema 2: L2,M2, T2.

Ahora por definicion:

A1 = Aφ(L1,M1, T1)

A2 = Aφ(L2,M2, T2)

Entonces:

A =A1

φ(L1,M1, T1=

A2

φ(L2,M2, T2)

y por lo tanto:A2

A1=φ(L2,M2, T2)

φ(L1,M1, T1)

ETC.


6.2.2. Cantidades con dimensiones independientes

Las cantidades A1, A2, . . . , Ak se dicen que tienen dimensiones indepen-

dientes si ninguna de estas tiene una funcion dimension que pueda represen-

tarse como el producto de las funciones dimension restantes.

Por ejemplo:

ρ[=]ML−3

U [=]LT−1

F [=]MLT−2

tienen dimensiones independientes porque ninguna de estas puede represen-

tarse como una combinacion multiplicativa de las otras. Para demostrarlo

podemos suponer lo contrario: solo dos de las tres cantidades tienen dimen-

siones independientes. Notemos que tanto ρ como F tienenM es sus funciones

dimension.

Podemos entonces suponer que:

F [=](ρ)x(U)y

por lo que

MLT−2[=](ML−3)x(LT−1)y

Podemos igualar los exponentes para cada una de las dimensiones funda-

mentales, L,M, T :

Para L → 1 = −3x+ y

Para M → 1 = x

Para T → −2 = −y

No hay solucion. Esto indica que la suposicion de que F se podıa expresar

como una multiplicacion de potencias de ρ y U es falsa.

Es importante notar que ninguna de las cantidades Ai que tengan di-

mensiones independientes pueden ser adimensionales. La dimension de una

cantidad adimensional es 1, lo cual se puede obtener como el producto de

todas las demas cantidades elevadas a la potencia cero.


6.3. Analisis Dimensional

Un modelo matematico busca establecer relaciones entre variables fısicas.

Este modelo debera entonces de ser capaz de representar a un cierto fenomeno

fısico real. Entonces podemos decir que

A = f(A1, A2, . . . , Ak, B1, B2, . . . , Bm) (6.13)

La cantidad A es aquella que deseamos determinar en funcion de n = k +m

cantidades fısicas. Los argumentos de la funcion f estan separados tal que

A1, A2, . . . , Ak tienen dimensiones independientes y B1, B2, . . . , Bm no.

Entonces podemos ademas escribir:

B1 = (A1)p1 . . . (Ak)

r1

...

Bi = (A1)pi . . . (Ak)

ri

...

Bm = (A1)pm . . . (Ak)

rm

Podemos tener casos en que m = 0, pero en general k ≥ 1 y m > 0.

La funcion dimension de A tambien se puede escribir como:

A = (A1)p . . . (Ak)

r

6.3.1. Homogeneidad Generalizada

Podemos definir a las siguientes cantidades:

Π = A(A1)p...(Ak)r

Π1 =B1

(A1)p1 ...(Ak)r1

...

Πi =Bi

(A1)pi ...(Ak)ri

...

Πm = Bm

(A1)pm ...(Ak)rm


donde los exponentes de los parametros con dimensiones independientes son

tales que las cantidades Π,Π1, . . . ,Πi, . . . ,Πm son todas adimensionales.

La ecuacion (6.13) se puede entonces reescribir en terminos de las canti-

dades Π,Π1, . . . ,Πi, . . . ,Πm y los parametros A1, A2, . . . , Ak:

Π =f(A1, A2, . . . , Ak, B1, B2, . . . , Bm)

(A1)p . . . (Ak)r

entonces

Π =f(A1, A2, . . . , Ak,Π1((A1)

p1 . . . (Ak)r1), . . . ,Πm((A1)

pm . . . (Ak)rm))

(A1)p . . . (Ak)r

y finalmente, nos lleva a

Π = F(A1, A2, . . . , Ak,Π1, . . . ,Πm)

Ahora, es importante hacer notar que la expresion anterior es adimensio-

nal del lado izquierdo, pero tiene argumentos dimensionales del lado derecho.

Si quisieramos hacer un cambio de unidades, el lado derecho se verıa afecta-

do pero el lado izquierdo no. Entonces, podemos argumentar que para que

la expresion sea valida en general la funcion F no puede depender de los

argumentos A1, A2, . . . , Ak. Por lo tanto podemos escribir:

Π = Φ(Π1, . . . ,Πm) (6.14)

En otras palabras, cualquier funcion f , que es dimensionalmente correcta

y que tiene k +m argumentos, puede reescribirse de forma adimensional, Φ

con solo m argumentos:

f(A1, A2, . . . , Ak, B1, B2, . . . , Bm) = (A1)p . . . (Ak)

rΦ(Π1, . . . ,Πm)

6.3.2. Teorema Π

Los argumentos anteriores nos llevan a formular el teorema general del

analisis dimensional:


“ Una relacion fısica entre una cantidad dimensional y varios

parametros dimensionales, que influyen su comportamiento, pue-

de reescribirse como una relacion entre un parametro adimensio-

nal y varios productos adimensionales”

Ademas:

“El numero de productos adimensionales es igual al numero de

parametros menos el numero de parametros con dimensiones in-

dependientes.”

El analisis adimensional puede usarse de forma util para:

1. El analisis preliminar de un fenomeno fısico

2. El procesamiento de datos experimentales

3. Para simplificar e interpretar el modelo matematico de un problema

fısico, si este se conoce.

6.3.3. Ejemplos

Pendulo

Utilizando analisis dimensional es posible determinar el perıodo de osci-

lacion de un pendulo libre.

Consideremos un pendulo libre, de masa m, en un cable de largo l, que

oscila bajo la accion de la gravedad, g.

Podemos establecer una relacion funcional entre el perıodo de oscilacion,

θ, y el resto de las variables relevantes al problema. El perıodo debe de

depender de:

la gravedad g

la masa, m

el largo del cable l.


T

m

lg

Entonces:

θ = f(m, l, g)

Funciones dimension:

T [=] T

m [=] M

l [=] L

g [=] LT−2

Podemos notar que las variables g, l y m tienen dimensiones independien-

tes (ninguna se puede expresar como un producto de potencias de la otras).

Para este caso k = 3 y m = 0. Entonces el numero total de variables es

k+m = 3, y el numero de variables con dimensiones independientes es k = 3.

Del teorema Π podemos calcular el numero de grupos adimensionales:

No. de grupos adimensionales = (k +m)− k = m = 0

No hay ningun grupo adimensional!

Entonces θ = f(m, l, g) se transforma en:

Π = constante


Resta entonces determinar Π:

Π =θ

gαlβmγ

o

θ = Cgαlβmγ

lo cual el terminos de las funciones dimension se escribe como:

T [=](LT−2)α(L)βMγ

Igualando exponentes para cada una de las dimensiones fundamentales:

Para T : 1 = −2α

Para L : 0 = α + β

Para M : 0 = γ

Por lo tanto:

Π =θ√g√l

Puesto que Π = constante tenemos que:

θ = C

√

l

g

La constante debe de determinarse experimentalmente.

Solucion formal exacta:

La fuerza sobre la masa m es:

~F = −mg sen θ

Si el angulo es pequeno sin θ ≈ θ, por lo que ~F = −mgθ. Ademas θ ≈ x/l.

Entonces,

md2x

dt2= −mgx

l


cuya solucion es:

x = C1 sin(

√g

lt) + C2 cos(

√g

lt)

Con las condiciones de contorno se pueden encontrar las constantes C1 y

C2. Es claro que la solucion es periodica y que la frecuencia de oscilacion es

ω =√

g/l, y el perıodo de oscilacion es:

θ =2π

ω

Lo que finalmente da como resultado:

θ = 2π

√

l

g.

Flujo en tuberıas

Sabemos de flujo en tuberıas que se puede relacionar al gradiente de

presion con la velocidad media del flujo y el resto de las propiedades

del fluido. La solucion de Poiseuille (solucion exacta a las ecuaciones de

Navier-Stokes) es:∆P

L= 32µ

U

D2

Intentemos resolver este problema usando unicamente analisis dimen-

sional. Podemos plantear la siguiente relacion funcional:

∆P

L= f(U, µ, ρ,D, . . .)

Las funciones dimension de todas la variables son:

∆P/L [=] ML2T 2

U [=] LT

µ [=] MLT


ρ [=] ML3

D [=] L

Variables con dimensiones independientes: U, ρ,D (k=3)

Numero total de variables k +m = 4

Numero de grupos adimensionales = 1.

Entonces:

Π = Φ(Π1)

Solo falta determinar Π y Π1. Se determinan usando la tecnica de

variables repetidas (mas adelante):

Π =(∆P/L)D

ρU2

y

Π1 =ρDU

µ

Por lo tanto:∆P

L=ρU2

DΦ

(ρDU

µ

)

Teorema de Pitagoras

6.4. Metodo de variables repetidas

El teorema Π, a pesar de su profundidad e importancia, unicamente nos

dice que se puede escribir una relacion entre numeros adimensionales con una

dimensionalidad reducida. El teorema no dice cuales son estas variables adi-

mensionales. El metodo de variables repetidas puede usarse para determinar

de forma metodica los grupos adimensionales.

6.4. METODO DE VARIABLES REPETIDAS 115

6.4.1. Algortimo del MVP

1. Haga una lista de todas las variables fısicas involucradas en el problema.

a) Este punto puede ser el mas difıcil pues requiere experiencia e

intuicion.

b) Algunas variables comunes son la presion la velocidad, la viscosi-

dad, la aceleracion gravitacional, etc.

c) Identifique las variables independientes (evite variables que sean

el producto de otras).

2. Determine la funcion dimension de cada variable, en terminos de las

variables fundamentales.

a) Para el caso de flujo de fluidos, las dimensiones fundamentales

son LMT (o LFT ). Ocasionalmente, se debe considerar tambien

la dimension fundamental de temperatura, Θ.

b) Recuerde que la notacion para funciones dimension es, tomando

a la densidad como ejemplo:

ρ [=]M

L3

3. Use el teorema Π para determinar el numero de grupos adimensionales

que se pueden obtener:

Numero de grupos Π = (k +m)︸︷︷︸

numero total de variables

− (m)︸︷︷︸

numero de variables con dimensiones dependientes

a) Es muy importante determinar el numero de variables con di-

mensiones independientes, k, pues este sera el numero de grupos

adimensionales que se pueden formar.

b) Se puede determinar cuantas variables con dimensiones indepen-

dientes por prueba y error. Es importante notar que, en general,

el numero de variables con dimensiones independientes es igual al

numero de dimensiones fundamentales.


4. Elija un conjunto de variables repetidas. El numero de variables de este

conjunto debe de ser igual a k (el numero de variables con dimensiones

independientes).

a) Obviamente, el conjunto de variables repetidas debe de ser un

subconjunto de conjunto total de variables.

b) Las variables repetidas tendran, consecuentemente, dimensiones

independientes. De esta manera, todas las dimensiones fundamen-

tales deben de aparecer en las funciones dimension de este sub-

conjunto.

c) La variable dependiente no debe de elegirse como parte de este

subconjunto.

5. Encuentre cada grupo Π multiplicando cada una de las variables no-

repetidas (VNR) por un producto de potencias de las variables repeti-

das (V R1, . . . , V Rk). Las potencias deben de calcularse tal que todo el

grupo sea adimensional.

Πi = VNRi(V R1, . . . , V Rk)

Encuentre un grupo adimensional para cada variable no-repetida.

Encuentre tambien un grupo adimensional para la variable depen-

diente.

6. Verifique que los grupos obtenidos sean adimensionales.

7. Escriba la nueva relacion funcional en terminos de los numeros adimen-

sionales.

Ejemplos

Deformacion de la base un tanque lleno de lıquido.

Considere un tanque cilındrico de diametro D esta lleno de un fluido

6.4. METODO DE VARIABLES REPETIDAS 117

con peso especıfico γ = ρg. Su base se apoya unicamente en la periferia de

la circunferencia de la base. Por lo tanto, el centro de la base de deforma

una cierta longitud, δ. Encuentre la relacion funcional adimensional entre

la defleccion y todos los parametros fısicos relevantes.

1. Podemos argumentar que δ depende de:

δ = f(D, h, d, γ, E)

donde d es el espesor de la placa de la base y E su modulo elastico.

2. Las funciones dimension de cada variable es:

δ [=] L

h [=] L

D [=] L

d [=] L

γ [=] F/L3

E [=] F/L2

3. El numero de grupos adimensionales es:

No. de grupos adimensionales = No. variables−No. variables c/dims. independientes

por lo tanto:

No. de grupos adimensionale = 5− 2 = 3

Importante: note que en este caso el numero de variables con di-

mensiones independientes es diferente.

4. Escojamos las variables repetidas: D y γ.


5. Calculamos los numeros adimensionales

Π = δDαγβ

Igualando los exponentes de las funciones dimension llegamos

a que α = −1 y β = 0. Por lo tanto:

Π =δ

D

De manera similar:

Π1 =h

D

Π2 =d

D

Finalmente:

Π3 = EDαγβ

Para este caso: α = −1 y β = −1, por lo que

Π3 =E

Dγ

6. Verificamos que los grupos sean adimensionales:

Π [=] L/L

Π1 [=] L/L

Π2 [=] L/L

Π3 [=] (F/L2)(1/L)(L3/F )

7. Finalmente:δ

D= Φ

(h

D.d

D,E

Dγ

)

6.5. ECUACIONES DE CONSERVACION EN FORMAADIMENSIONAL119

Lıquido que se derrama en una superficie horizontal.

Un cierto volumen de fluido se derrama sobre una placa horizontal.

Suponga que el tiempo requerido para el fluido recorra una cierta distan-

cia horizontal, d, depende del volumen, V, la gravedad, g, la viscosidad,

µ y la densidad ρ.

Escribir

0 = f(t, d,V, g, µ, ρ)

y proceder.

Se encuentran tres grupos adimensionales:

Π1 = t

√g

d

Π2 =V

d

Π3 =ρd

√gd

µ

Y por lo tanto

t

√g

d= Φ(

V

d,ρd

√gd

µ)

6.5. Ecuaciones de Conservacion en Forma

Adimensional

Si consideramos escalas caracterısticas para un problema de flujo de flui-

dos cualquiera de distancia, L, velocidad, U y tiempo, D/U , podemos adi-

mensionalizar las ecuaciones de flujo de fluidos haciendo cambios de variables.

Por ejemplo:

x∗ = xL

u∗i =ui

U


t∗ = tUL

P ∗ = PρU2

Las derivadas se pueden reescribir de forma adimensional. Por ejemplo:

∂

∂x=

1

L

∂

∂x∗

Ası, la ecuacion de conservacion de masa es:

∇∗ ~u∗ = 0 (6.15)

Y las ecuaciones de Navier-Stokes son:

∂ ~u∗

∂t+ ( ~u∗ · ∇∗) ~u∗ = −∇∗P ∗ +

1

Re(∇∗)2 ~u∗ +

1

Fr(6.16)

donde Re es el numero de Reynolds y Fr es el numero de Froude.

De esta manera es facil simplificar la forma de esas ecuaciones para dos

casos extremos: Re << 1 y Re >> 1.

6.5.1. Numeros adimensionales relevantes en Mecani-

ca de Fluidos

En flujo de fluidos aparecen frecuentemente grupos adimensionales que

caracterizan ciertas propiedades del flujo. Estos siempre tienen una interpre-

tacion fısica y su valor revela ciertos aspectos del problema en estudio.

Numero de Reynolds:

Re =UρD

µ

Es una comparacion entre las fuerzas inerciales (ρU2D2) y las fuerzas

viscosas (µDU) de un cierto flujo. Su valor determina si un flujo puede

ser laminar o turbulento.

6.5. ECUACIONES DE CONSERVACION EN FORMAADIMENSIONAL121

Numero de Froude:

Fr =U2

gD

Este grupo compara fuerzas inerciales y gravitacionales de un cierto

flujo. Sirve para determinar cuando un flujo esta dominado por inercia

o gravedad.

Numero de Mach

Ma =U

c

Este grupo compara la velocidad del un flujo con la velocidad de pro-

pagacion del sonido c. Como veremos mas adelante, cuando Ma > 1 la

fenomenologıa de flujo cambia de manera substancial.

Numero de Euler

Eu =δP

ρU2

Compara la caıda de presion con la presion dinamica.

Coeficiente de arrastre:

CD =FD

ρU2D2

Numero de Galileo:

Ga =gD3ρ2

µ2

Se se consideran efectos de tension superficial, σ, se pueden definir

muchos otros numeros adimensionales: Weber, capilaridad, Bond, Oh-

nesorge, Morton, etc.

Si se consideran efectos y propiedades termicas, T , Cp,α,k,h, etc. se

pueden definir los numeros: Prandtl, Nusselt, Rayleigh, Grashof, etc.


6.6. Teorıa de Modelos y Similaridad

Otra de las herramientas de gran importancia del analisis dimensional es

la teorıa de similaridad. Esta idea nos permite estudiar sistemas modelo, en

condiciones de laboratorio, que reproducen fielmente el comportamiento de

sistemas reales.

6.6.1. Similaridad

Se dice que dos sistemas son similares si el valor de los numeros adimen-

sionales que los representan son iguales. Esta idea es muy facil de entender

en sistemas geometricos y se puede generalizar para sistemas cinematicos y

dinamicos.

Similaridad geometrica

La similaridad geometrica se da entre dos figuras si una es una reproduc-

cion a escala de la otra. En otras palabras, se dice que dos figuras geometricas

son semejantes si tienen la misma forma sin importar los tamanos entre ellos.

En el contexto de analisis dimensional, podemos demostrar que dos figuras

geometricas son similares si sus grupos adimensionales son iguales.

En la similaridad geometrica unicamente aparece la dimension funda-

mental L. Los mapas a escala son el mejore ejemplo de sistemas geometricos

bidimensionales similares.

Ejemplo: triangulos similares.

Similaridad cinematica

La similaridad cinematica requiere que todos los numeros adimensionales

que contengan dimensiones fundamentales L y T sean iguales.

6.6. TEORIA DE MODELOS Y SIMILARIDAD 123

Similaridad dinamica o total

Para el caso de sistemas fısicos en los cuales las dimensiones fundamen-

tales son LMT , se requiere que todos los numeros adimensionales para dos

sistemas sean iguales para poder asegurar que estos son similares.

6.6.2. Teorıa de Modelos

Los modelos son replicas a ‘escala’ de sistemas reales que se usan para

estudiar un fenomeno fısico en condiciones de laboratorio. Al sistema real

comunmente se denomina ‘prototipo’, mientras que al sistema escalado se

denomina ‘modelo’. Ası, para que un prototipo y un modelo sean similares

se debe de cumplir que:

Πmodelo1 = Πprototipo

1

...

Πmodeloi = Πprototipo

i

...

Πmodelom = Πprototipo

m

donde m es en numero de grupos adimensionales unicos para dicho sistemas.

Es importante notar que no siempre se puede satisfacer que todos los

grupos adimensionales sean iguales.

Ejemplos

Ejemplo 1. Se desean estudiar la fuerza de empuje generada por de un

rotor de motor de barco. El rotor de de cuatro aletas y se desean carac-

terizar con un prototipo a escala 10:1. El modelo tiene un diametro de 2

m y gira a una velocidad angular de 600 RPM y el barco se desplaza a

una velocidad de 10 m/s. Calcule las condiciones necesarias para hacer


pruebas en un tunel de viento.

Primero debemos de identificar las variables importantes:

FE = f(U, ω,D, ρ, µ)

donde FE es la fuerza de empuje, U es la velocidad del barco, ω es

la velocidad angular del rotor, D es el diametro, y µ y ρ las propiedades

del fluido.

Considerando las funciones dimension y el teorema Π tenemos:

Π =FE

ρU2D2

Π1 =ρUD

µ

Π2 =ρωD2

µ

Para que la fuerza de empuje en el prototipo sea representati va del

modelo tenemos que:

(FE

ρU2D2

)

prototipo

=

(FE

ρU2D2

)

modelo(ρUD

µ

)

prototipo

=

(ρUD

µ

)

modelo(ρωD2

µ

)

prototipo

=

(ρωD2

µ

)

modelo

Si el prototipo es una replica a escala 1:10 del modelo entoncesDmodelo =

10Dprototipo. Ademas, µmodelo = µaire y ρmodelo = ρaire.

Igualando los numeros Π1 podemos encontrar la velocidad del flujo a

la que debe de probarse el prototipo:

Uprototipo =Dmodelo

Dprototipo

ρmodelo

ρprototipo

µprototipo

µmodelo

6.6. TEORIA DE MODELOS Y SIMILARIDAD 125

E igualando los numeros Π2 podemos encontrar la velocidad de rota-

cion del rotor:

ωprototipo =D2

modelo

D2prototipo

ρmodelo

ρprototipo

µprototipo

µmodelo

.

Ejemplo 2. Clavados. Se desea modelar el salpicado de un clavado en

condiciones a escala de laboratorio.

Hs = f(L,D, µ, ρ, σ,H, g)

donde σ es la tension superficial.

8 variables, 3 variables con dimensiones independientes. Por lo tanto,

tenemos 5 grupos adimensionales:

Π1 =Hs

H

Π2 =L

H

Π3 =D

H

Π4 =

√gHDρ

µ

Π5 =(gH)Dρ

σ

Considere un modelo a escala: Lmodelo = Lprototipo/10 y Dmodelo =

Dprototipo/10.

¿Es posible empatar todos los numeros adimensionales?

cap´ıtulo 6 escalamiento y an´alisis dimensional · es importante notar que se puede...

Documents