TABLAS DE CONTINGENCIA Y PRUEBAS CHI CUADRADO

PAGE 125Cap. 6.- Relacin entre variables.

Captulo 6.

RELACIONES ENTRE VARIABLES. 6.1. El coeficiente de correlacin de Pearson.

Definicin.- Es una prueba estadstica para analizar la relacin entre dos variables medidas en un nivel por intervalos o de razn.

Hiptesis a probar: Correlacional, del tipo A mayor X, mayor Y, A mayor X, menor Y, Altos valores en X estn asociados con altos valores en Y, Altos valores en X se asocian con bajos valores de Y.

La prueba en si no considera a una variable como independiente y a otra como dependiente, ya que no se trata de una prueba que evala la causalidad. La nocin de causa-efecto (independiente-dependiente) se puede establecer tericamente, pero la prueba no considera dicha causalidad.

El coeficiente de correlacin de Pearson ( r ), se calcula a partir de las puntuaciones obtenidas en una muestra en dos variables. Se relacionan las puntuaciones obtenidas de una variable con las puntuaciones obtenidas de otra variable, en los mismos sujetos.

El coeficiente r de Pearson puede variar de 1.00 a + 1.00 donde:

-1.00 = Correlacin negativa prefecta.

-0.90 = Correlacin negativa muy fuerte.

-0.75 =.Correlacin negativa considerable.

-0.50 = Correlacin negativa media.

-0.10 =.Correlacin negativa dbil.

0.00 = No existe correlacin alguna entre las variables.

+0.10 =.Correlacin positiva dbil.

+0.50 = Correlacin positiva media.

+0.75 =.Correlacin positiva considerable.

+0.90 = Correlacin positiva muy fuerte.

+1.00 = Correlacin positiva prefecta.

El signo indica la direccin de la correlacin (positiva o negativa) y el valor numrico, la magnitud de la correlacin.6.2. Regresin lineal y correlacin.En muchas aplicaciones estadsticas se deben resolver problemas que contienen un conjunto de variables y que sabe que existe alguna asociacin entre ellas. En este conjunto de variables muy a menudo se tiene una sola variable dependiente (o respuesta) Y, que depende de una o ms variables independientes (o de regresin) X1, X2, ... , Xk , como por ejemplo el salario, depende de : aos de experiencia, grado de instruccin y sexo.

La variable dependiente se mide con un error que no se controla en el experimento, por tanto, Y es una variable aleatoria. Las variables independientes X1, X2, ... , Xk se miden con un error despreciable, que en la mayora de los casos se controla en el experimento, y por lo tanto, no tienen la propiedad de ser variables aleatorias.

Existen dos formas distintas pero relacionadas del estudio de la asociacin entre variables a partir de una muestra aleatoria. La primera forma, es determinar una relacin funcional de la variable dependiente Y con respecto a una o ms variables independientes con el fin de predecir valores de Y. Este mtodo es el anlisis de regresin. La segunda forma de estudio de la asociacin entre variables, es, medir el grado de relacin entre ellas, mediante un coeficiente o ndice. A esta tcnica se denomina anlisis de correlacin.Los mtodos de regresin y correlacin entre variables se clasifican por el nmero de variables independientes, en simples y mltiple. El anlisis de asociacin se denomina simple , si hay una sola variable independiente, si hay dos o ms variables independientes se denomina el anlisis de asociacin Mltiple.

Por el tipo de funcin matemtica que se puede ajustar a los datos, la asociacin de las variables puede ser lineal o no lineal, como por ejemplo: parbola, polinomio, exponencial, etc.

6.2.1.- Modelo de regresin lineal simple.

Consideremos una variable dependiente Y con una sola variable independiente X. Representemos una muestra aleatoria de tamao n de (X, Y) por el conjunto de pares de datos: .

Denotaremos por Y/ X la variable aleatoria Y dependiente de X. Su media y varianza se denotan respectivamente por y por . En particular el smbolo Y/ xi representa a la variable aleatoria Yi cuando X = xi .

Supuestos.-

Los supuestos para el modelo de regresin lineal simple son:

1) Igualdad de varianzas (Homoscedasticidad).

Para cada valor xi de la variable independiente X, la distribucin de la variable aleatoria dependiente Yi tiene media y varianza . Se supone que cada una de estas varianzas son iguales a la varianza comn , denominada varianza de la regresin.

2) Independencia.

Se supone que las Yi son variables aleatorias estadsticamente independientes.

3) Linealidad.

Se supone que la relacin de Y con X es lineal, es decir todas las medias deben estar en una lnea recta denominada lnea de regresin poblacional, cuya ecuacin es, (ver figura 6.1)

Y

ei

ei

Yi

X

X1 X2 X3 X4Fig. 6.1. Suposiciones en regresin.

En la ecuacin de regresin poblacional los coeficientes de regresin y son parmetros que se estiman a partir de los datos de la muestra.

El valor de es la ordenada en el origen e indica el valor de Y cuando X = 0. El valor de es la pendiente de la ecuacin de regresin poblacional e indica el cambio promedio en Y correspondiente a un incremento unitario en X. El signo de tambin indica el tipo de tendencia (positiva o negativa ) de Y con respecto a X.

Cada valor individual Yi difiere de la media condicional en el trmino , denominado error. Las variables Ei , son entonces, variables aleatorias independientes con media cero y varianza 2. Luego, el modelo de regresin lineal simple puede ser expresado por:

La estimacin de la ecuacin de regresin poblacional es la ecuacin de regresin muestral:

en donde a y b son las estimaciones de los parmetros y respectivamente.

4) Normalidad.

Se supone que cada variable aleatoria dependiente Yi tiene distribucin normal con media y varianza 2. En consecuencia, .

6.2.2.- El diagrama de dispersinEs un grfico que permite detectar la existencia de una relacin entre dos variables. Si la tendencia es lineal se puede ajustar una lnea recta al diagrama de dispersin.

Fig. 6.2.- Diagramas de dispersin: Relaciones entre X e Y.

En las figuras (a) , (b) y (e) los datos visualizan una relacin lineal entre las variables X e Y. En las figuras (c) y (d) los datos visualizan una relacin, pero, una relacin no lineal, y en la figura (f) los datos visualizan ninguna relacin vlida entre las variables.

6.2.3.- Estimacin de la ecuacin de regresin poblacional.La estimacin de la ecuacin de regresin poblacional es la ecuacin de regresin muestral:

en donde es una estimacin de , a y b son las estimaciones de los parmetros. Se denotar por el valor de cuando X = xi .

para determinar la ecuacin de regresin muestral , a partir de los datos de la muestra, utilizaremos el mtodo de mnimos cuadrados. Esto es, se deben hallar a y b de modo que:

Este requerimiento se cumple, si a y b se determinan resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones normales:

de donde se obtiene:

El valor constante a de la ecuacin de regresin muestral, es la ordenada en el origen.

El valor de la pendiente b es el cambio promedio en cuando X cambia una unidad de medicin.

Ejemplo 1.- En la Empresa comercial ABC, se desea determinar la relacin lineal simple entre la experiencia del vendedor y las unidades vendidas durante un mes. Se seleccionan 5 vendedores al azar, los datos registrados se presentan a continuacin.

a) Trazar el diagrama de dispersin.

b) Determinar la lnea de regresin muestral de mnimos cuadrados.

c) Interpretar el valor de la pendiente.

d) Estimar la venta que correspondera a un vendedor con 6 aos de experiencia.

Solucin

a) El diagrama de dispersin es la figura 6.3, obtenida mediante el programa STATGRAPHICS.

Fig. 6.3.b) De los datos de la muestra resultan:

Experiencia (X)Ventas (Y)X2XY

3

1

2

5

49

5

7

14

109

1

4

25

1627

5

14

70

40

154555156

, , ,

,

As, la lnea de regresin estimada o muestral es:

c) El valor b = 2.1 de la pendiente indica que por cada ao de experiencia, la venta se incrementa en 2.1 unidades.

Nota.- Utilizando el Software Statgraphics versin 5.0, nos proporciona el siguiente resultado para el mismo ejemplo 1.

Regression Analysis - Linear model: Y = a + b*X

-----------------------------------------------------------------------------

Dependent variable: Ventas

Independent variable: Experiencia

----------------------------------------------------------------------------

Standard T

Parameter Estimate Error Statistic P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

Intercept 2.7 0.834666 3.23483 0.0480

Slope 2.1 0.251661 8.34455 0.0036

----------------------------------------------------------------------------

La salida muestra el resultado de ajustar un modelo lineal para describir la relacin entre Ventas y Experiencia. La ecuacin del modelo lineal ajustado es:

Ventas = 2.7 + 2.1 * Experiencia

d) 6.2.4.- Estimacin de la varianza de la regresin poblacional 2.Una vez halada la lnea recta de regresin muestral, nos interesa saber su utilidad. La utilidad principal es predecir valores de Y para valores determinados de X. Si se hace prediccin nos interesa saber, qu tan buena o confiable es esa prediccin?.- La respuesta a esta pregunta depende de la variabilidad de los valores de Y con respecto a la recta de regresin.

Una medida que indica el grado de variabilidad o dispersin en torno a la lnea de regresin es la varianza de la regresin poblacional, que se denota por 2 o por y se define por:

donde N es el tamao de la poblacin. La raz cuadrada es la desviacin estndar de la regresin en la poblacin.

Una estimacin insesgada de 2 es la varianza de la regresin muestral que se denota por S2 o y se define por:

en donde el numerador, es la suma de cuadrados de los errores (SCE) alrededor de la lnea de regresin y el denominador , n-2, representa los grados de libertad.

Para el clculo de S2 se utiliza tambin la siguiente expresin:

La raz cuadrada S o , es la desviacin estndar muestral de la regresin. Este valor se denomina tambin error estndar de la estimacin.

Mientras ms pequeo sea el valor de la varianza S2 o de la desviacin estndar S, ms cercanos a la lnea de regresin estarn los valores de la variable Y. Sin embargo, la interpretacin ms precisa de la varianza muestral de la regresin se har con el coeficiente de determinacin.

Ejemplo 2.- Con los datos delejemplo1, calcular la desviacin estndar muestral de la regresin (el error estndar de estimacin).

Solucin.

Del ejemplo1, se obtienen: n = 10, a = 2.7, b = 2.1 , ,

XY

EMBED Equation.3

3990.00.00

154.80.20.04

276.90.10.01

51413.20.80.64

41011.1-1.11.21

Entonces la varianza estimada es:

El error estndar de estimaciones: unidades.

Nota.-

- Utilizando la expresin alternativa para el clculo de S2, resulta:

Entonces el error estndar de estimacin es:

6.2.5 Inferencias acerca de los coeficientes de regresin.No trataremos las inferencias del parmetro en base al valor de a estimado de la muestra, por que a menudo carece de importancia prctica pues es la ordenada en el origen y representa la interseccin de Y cuando X = 0. Nos referiremos a las inferencias acerca de la pendiente de regresin .

Antes de utilizar la ecuacin de regresin muestral para realizar predicciones, se debe primero determinar si existe realmente regresin poblacional. Si no existe regresin en la poblacin, entonces, la pendiente poblacional debera ser igual a cero. Debido a variaciones muestrales, la pendiente de la regresin muestral b puede asumir valores positivos o negativos, pero la pendiente poblacional podra ser cero. Si es as, la ecuacin de regresin muestral no se puede utilizar para hacer preediciones vlidas. A partir de los datos de la muestra, se va determinar si es igual a cero o no lo es.

Para verificar si = 0 se pueden utilizar tres mtodos: Intervalos de confianza, Prueba de hiptesis y Anlisis de Varianza (ANVA).

Aqu utilizaremos suposicin 4 hecha en el modelo de regresin poblacional, es decir que cada variable aleatoria dependiente Yi tiene distribucin normal con media y varianza 2., o que cada .

Anlisis de varianza para .

El anlisis de varianza es uno de los mtodos que se utiliza probar la significacin de la ecuacin de regresin muestral. Es una prueba F de alternativa bilateral.

Las hiptesis nula y alternativa en este caso son respectivamente:

H 0 : = 0 contra H 0 : 0

La estadstica F de la prueba se obtiene de la siguiente identidad de sumas de cuadrados:

SCT = SCE + SCR

se denomina suma de cuadrados total, refleja la variabilidad de los valores de Y con respecto a la media .

es la suma de cuadrados de los errores, o no explicada.

se denomina suma de cuadrados explicado por la regresin, refleja la cantidad de variabilidad de los valores de Y explicada por la recta de regresin.

La variable aleatoria F definida por:

Dado el nivel de significacin , y los grados de libertad 1 y (n-2), en la tabla de probabilidades F, se encuentra el valor critico F ( 1 , 1 , n 2 )

Se rechaza la hiptesis nula H 0 : = 0 , si el valor calculado de F, es mayor que el valor critico F ( 1 , 1 , n 2 ). No se rechaza H 0 en caso contrario.

La prueba de la hiptesis nula H.0: = 0 se resume en la siguiente tabla de anlisis de varianza (ANVA):

ANVA para H.0: = 0

Fuente de variacinSuma de cuadradosGrados de libertadCuadrados

mediosF

calculada

Regresin

ErrorSCR

SCE1

n - 2CMR = SCR / 1

CME.= SCE / (n-2)

TotalSCTn - 1

Las sumas de cuadrados se obtienen utilizando las expresiones:

Ejemplo 3.- Con los datos del ejemplo 1, mediante el mtodo de anlisis de varianza probar la significancia de la ecuacin de regresin muestral, al nivel de significancia del 5%.

Solucin .-

1) Hiptesis : H 0 : = 0 contra H 0 : 0

2) Nivel de significancia : = 0.05

3) Estadstica de prueba : , donde n = 54) Regin crtica: Para el nivel de significancia = 0.05 y los grados de libertad 1 y 3, en la tabla F se encuentra el valor critico F ( 0.95 , 1 , 3 ).= 10.1

se rechaza H 0 si el valor calculado de F > 10.1. Se acepta en caso contrario.

5.- Clculos: De los datos se obtiene:

La tabla de anlisis de varianza es:

ANVA para H.0: = 0

Fuente de variacinSuma de cuadradosGrados de libertadCuadrados

mediosF

calculada

Regresin

Error44.1

1.91

3 CMR = 44.1

CME = 0.6334F = 69.624

Total46.04

6.- Decisin.- Dado que F = 69.624 > 10.1, se rechaza H 0. Estos resultados reflejan la validez del modelo de regresin poblacional entre aos de experiencia y ventas.

Nota.- Observar que la estimacin de la varianza 2 es S2 = CME = 0.6334.

Nota.- Mediante el paquete Estadstico Statgraphics, resulta el siguiente anlisis de varianza para = 0.

Analysis of Variance

----------------------------------------------------------------------------

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value

----------------------------------------------------------------------------

Model 44.1 1 44.1 69.63 0.0036

Residual 1.9 3 0.633333

----------------------------------------------------------------------------

Total (Corr.) 46.0 4

Puesto que el valor P-value = 0.0036 < 0.05, se concluye que existe una relacin estadsticamente significativa entre Ventas y Experiencia en los vendedores.

6.2.5.1. Intervalo de confianza para la prediccin.

Despus de haber decidido que existe regresin lineal simple poblacional o que la lnea de regresin muestral es vlida para realizar predicciones, podemos utilizarla para:

i) Predicir la media , dado X = xo , o ii) Predecir una nueva observacin de Y dado un valor xo de X.

Intervalo de confianza de Y/XSea el valor de la media cuando X = xo y sea el valor de , cuando tambin X = xo (es decir es un valor de la variable ).El intervalo de confianza del (1- ) x100% para la respuesta media se obtiene mediante:

Aqu,

Intervalo de confianza para y0Sea y0 el valor individual de la variable , cuando X = xo y sea el valor de , cuando X = xo.El intervalo de confianza del (1- ) x100% para una sola respuesta y0 se obtiene mediante:

Ejemplo 4. Con los datos del ejemplo 1, determinar:a) El intervalo de confianza del 95% para la respuesta media cuando x0=6.b) El intervalo de confianza del 95% para una sola respuesta y0 cuando x0=6.

6.2.6.- Correlacin.- La medida del grado de asociacin entre dos variables se denomina coeficiente de correlacin simple. El coeficiente de correlacin poblacional entre una sola variable independiente y la variable dependiente se representa por . Los supuestos son los siguientes:

1.- Tanto X como y son variables aleatorias. No tienen que ser designadas como dependientes o independientes.

2.- La poblacin bivariante es normal. Una poblacin normal bivariante es aquella en la que X e Y estn distribuidas normalmente. Las medias respectivas son , , y , .

3.- La relacin entre X e y es lineal.Coeficiente de determinacin

El coeficiente de determinacin poblacional se denota por 2 y se define en la forma :

en donde: denotada tambin por es la varianza de la regresin lineal y , es la varianza de Y.

Dado que < , se tiene que : 0 2 1.

Cuando 2 = 0 , la recta de regresin es horizontal y por tanto no se puede predecir Y a partir de X. Cuando 2 = 1, hay relacin lineal perfecta entre X e Y.

Coeficiente de determinacin muestralPara datos muestrales, el coeficiente de determinacin se denota por R2. A partir de la particin de suma de cuadrados:

SCT = SCR + SCE

Se define por:

Cuando n es pequeo, el coeficiente de determinacin R2 es sesgado positivamente. Para corregir este sesgo se calcula el coeficiente de determinacin ajustado que se define por :

donde CME = SCE / (n - 2) y CMT = SCT / (n 1).

Cuando se halla la ecuacin de regresin, es aconsejable calcular ambos coeficientes de determinacin : R2 y .

Ejemplo 4.- Con los datos del ejemplo 1, calcule el coeficiente de determinacin R2 . Interprete su resultado.

Solucin. -

Del ejemplo 1 resultan:

SCT = 46.0 , SCE = 44.1 , SCE = SCT SCR = 46.0 44.1 = 1.9

Entonces:

y

El valor de R2 y se interpretan en la misma forma. As, R2 = 0.9587, significa que el 95.87% de la variacin de la variable dependiente (Ventas) es explicada por la regresin lineal. Otra forma de interpretar es que el ajuste de la recta de regresin a los puntos de la muestra es muy bueno.

Nota.- Mediante el software Statgraphics, se obtiene el siguiente resultado:

Correlation Coefficient = 0.97913

R-squared = 95.8696 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 94.4928 percent

Standard Error of Est. = 0.795822El valor del coeficiente de correlacin r = 0.97913, indica a una relacin relativamente fuerte entre las variables (Experiencias y Ventas).

Este resultado, tambin nos proporciona el error estndar de estimacin igual a 0.795822.

6.2. - Tablas de contingencia y pruebas Chi-cuadrado.Bsicamente una tabla de contingencia se obtiene al registrar los datos observados de la muestra aleatoria en doble clasificacin.

Una tabla de contingencia de r filas (o renglones) y c columnas, denominada tambin tabla de contingencia de dimensin r x c, contiene en cada celda la frecuencia observada de la muestra que corresponde a dos variables clasificadas por categoras.

En las pruebas de hiptesis con tablas de contingencia, no se hace ninguna suposicin acerca de la distribucin de probabilidades de los datos. Con las tablas de contingencias se ejecutara la prueba de hiptesis: Prueba de independencia de dos variables estadsticas.

Prueba de independencia.El procedimiento dela prueba Chi-cuadrado se utilizar para probar la independencia de dos variables categricas. Las pruebas de hiptesis de independencia implican dos variables categricas y lo que se prueba es la suposicin de que las dos variables son estadsticamente independientes.

Para cada frecuencia observada en una celda hay una frecuencia esperada que se calcula a partir de la hiptesis nula especificada y que se supone verdadera.

La prueba.

La hiptesis nula Ho, consiste en suponer que las dos variables categricas son independientes o que los mtodos de clasificacin de filas y de columnas son independientes.

La frecuencia esperada correspondiente en cada una de las rc celdas se obtiene mediante la expresin:

Con las frecuencias observadas 0i y las frecuencias esperadas ei , se calcula la Estadstica:

en donde la suma se extiende a todas las rc celdas en la tabla de contingencia r x c.

Dado un nivel de significancia , en la tabla chi-cuadrado con (r-1)(c-1) grados de libertad se encuentra el valor crtico .

Si , se rechaza Ho, en caso contrario se aceptar Ho.Nota.- Cuando la muestra es pequea, digamos menor de 50, o cuando algunas o todas la s frecuencias esperadas de las celdas son menores que 5, o cuando el grado de libertad es igual a 1, debe aplicarse la correccin de Yates. El calculo de Chi-cuadrado corregida por Yates se efecta por:

Nota.- Mtodo del valor P en la prueba.

En los software estadsticos se obtiene el valor P (P-value), probabilidad conocida como la significacin de la prueba. El mtodo del valor P, es otra forma de establecer la regla de decisin, cuyo clculo se determina como: .

Si el valor de P < , se rechaza Ho, en caso contrario se acepta Ho.

Ejemplo 5.- En un proceso de produccin se registro el numero de objetos defectuosos clasificados por turnos de produccin y por mquinas de produccin. Las frecuencias observadas se registran en la siguiente tabla de contingencia 3 x 3 . Verificar al nivel de significancia =0.05 si el numero de objetos defectuosos producidos por las mquinas es independiente de los turnos de produccin.

Tabla de contingencia 3 x 3.

Turnos)Mquina

Total

A B C

Maana

Tarde

Noche75 90 85

70 85 70

95 85 75250

225

255

Total 240 260 230730

Solucin.1.- Hiptesis:

Ho: El nmero de objetos defectuosos producidos por las mquinas no depende de

los turnos.

H1: El nmero de objetos defectuosos producidos por las mquinas si depende de

los turnos.

2.- Nivel de significancia.- =0.05

3.- Estadstica de prueba.- Se utilizar el estadstico chi cuadrado:

que se distribuye aproximadamente como chi-cuadrado con (r-1)x(c-1) =(3-1) x (3-1) = 4 grados de libertad.

4.- Regin crtica.- Para el nivel de significancia =0.05 y con 4 grados de libertad, en la tabla chi cuadrado se encuentra el valor crtico . Se rechazar H 0 si el valor calculado es mayor que 9.49.

5.- Clculos.- Las frecuencias observadas y las esperadas (parntesis) se dan en la siguiente tabla.

Frecuencias observadas y esperadas.

Turnos)Mquina

Total

A B C

Maana

Tarde

Noche 75 (82.19) 90 (89.04) 85 (78.77)

70 (73.97) 85 (80.14) 70 (70.89)

95 (83.84) 85 (90.82) 75 (80.34)250

225

255

Total 240 260 230730

Luego,

6.- Decisin.- Dado que 3.87 < 9.49, no se rechaza H 0 , y se concluye que el nmero de objetos defectuosos producidos por las mquinas no depende de los turnos.

Nota.- Mediante el software Estadstico Statgraphics, da como salida la siguiente tabla de contingencias 3x3.

Para realizar la misma prueba de hiptesis de independencia, el estadstico de prueba Chi-cuadrado, se tiene el siguiente resultado:

Dado que el P-value = 0.4242 >0.05, no se rechaza H 0 , y se concluye que el nmero de objetos defectuosos producidos por las mquinas no depende de los turnos.

X

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

(f) Ninguna relacin

(e) Lineal inversa

con ms dispersin

(d) Curvilnea inversa

(c) Curvilnea directa

(b) Lineal inversa

(a) Lineal directa

EMBED Excel.Sheet.8

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_1114159981.xlsHoja1

VENDEDORCARLOSPEDROJOSEJUANMANUEL

EXPERIENCIA (aos):X31254

VENTAS (unidades) : Y9571410

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