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CAPITULO 4

ANALISIS DEL COMPORTAMIENTO Y DEFINICION DE LOS RANGOS DE

LAS VIBRACIONES AUTOEXCITADAS.

4.1 Análisis del comportamiento del banco de vibraciones autoexcitadas.

En esta tesis se desea analizar el comportamiento de una carga de masa m colocada

sobre una banda transportadora que tiene una velocidad v0. Esta carga esta asociada a un

sistema resorte-amortiguador como se muestra en la figura 4.1a.

Figura 4.1. Sistema de banda transportadora. a) Esquema Completo, b) Diagrama de cuerpo libre.

Entre la masa y la banda de transportadora existe una fuerza de fricción dada por

)1( 3cvbvNF (4.1)

donde µ es el coeficiente de fricción del material del cual esta hecho la banda, v es la

velocidad de deslizamiento o velocidad relativa definido por

)( 0 xvv (4.2)

De esta manera la fuerza de fricción esta dada por

3001 xvcxvbNF (4.3)

m

50

En el diagrama de cuerpo libre podemos observar las diferentes fuerzas que se encuentran

actuando sobre la masa como se muestra en la figura 4.1b, donde

mgN

xnFkxF

2

1

(4.4)

En esta ecuación k es el coeficiente de deflexión del resorte, n es el coeficiente de

amortiguamiento y g es la aceleración de la gravedad (9.81 m/s2).

De esta manera la ecuación de equilibrio es la siguiente

xnkxFFFFxm 21 (4.5)

sustituyendo las variables obtenemos,

3001 xvcxvbNkxxnxm (4.6)

desarrollando la ecuación (4.6) obtenemos

320

20

300 331 xcxcvxcvcvxbbvNkxxnxm (4.7)

para hacer mas sencilla la ecuación (4.6) la dividimos entre m y obtenemos

3001 xvcxvb

mNx

mkx

mnx (4.8)

20

mk

que es la frecuencia natural.

La ecuación (4.6) es una ecuación diferencial de segundo orden la cual podemos escribir

como un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Para poder resolver este sistema

utilizamos

32020212

21

12

1

1 xvcxvbmNx

mnx

mkx

xx

xxxxx

(4.9)

51

Y para la posición de equilibrio podemos resolver el sistema como se presenta a

continuación:

)1(

)1(

0

0

300

300

cvbvkmgx

cvbvNkx

x

x

xx

st

st

st

(4.10)

Podemos observar como en un principio el coeficiente de fricción disminuye hasta llegar a

un punto donde empieza a incrementarse. En este punto es donde las vibraciones

autoexcitadas se convierten en vibraciones forzadas.

La ecuación con la cual obtenemos los valores del coeficiente de fricción si la velocidad es

positiva es

30 1 cvbv (4.11)

si la velocidad es negativa la ecuación es

30 1 cvbv (4.12)

Las vibraciones autoexcitadas se presentan hasta el punto que es conocido como velocidad

crítica, pasando ese punto las vibraciones son forzadas. La velocidad crítica se obtiene de la

siguiente ecuación

min31 Fcvbv crcr (4.13)

derivando la ecuación (4.12) obtenemos

52

cbv

cvb

Fdv

dcvbv

dvd

cr

cr

crcrcr

cr

3

03

1

2

min3

(4.14)

En las vibraciones autoexcitadas el coeficiente de fricción tiene el siguiente

comportamiento

Figura 4.2. Comportamiento del coeficiente de fricción dependiente de la velocidad.

4.2 Rangos de las vibraciones autoexcitadas

Los datos correspondientes a nuestro sistema, los cuales fueron proporcionados por el

director de la tesis para realizar el analisis, son los siguientes:

b = 0.3 s/m

c = 0.1 s3/m3

vcr = 1 m/s

m = 1kg

53

g = 9.8 m/s2

µ = 0.6

k = 1600 N/m

n = 0.1 kg/s

Con estos valores podemos analizar el comportamiento del coeficiente de fricción de

nuestro sistema que es el siguiente:

Tabla 4.1. Valores de µ con velocidades positivas.

v (m/s) µ0 0.6

0.2 0.564480.4 0.531840.6 0.504960.8 0.48672

1 0.481.2 0.487681.4 0.512641.6 0.557761.8 0.62592

2 0.72

La grafica que se obtiene de estos valores es la siguiente

V vs.µ

00.1

0.2

0.30.4

0.5

0.6

0.70.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

v (m/s)

µ

Grafica 4.1. Comportamiento del coeficiente fricción en nuestro sistema dependiente de la velocidad.

54

Para poder resolver el sistema de ecuaciones lineales (4.9) se utiliza el programa Matlab,

primero se programa en una función ec_dif como:

function xpunto=ec_dif(t,x)

global n k mu N b vo c m

xpunto(1) = x(2);

xpunto(2)=-(n/m)*x(2)-(k/m)*x(1)+(mu*N/m)*(1-b*(vo-x(2))+c*(vo-x(2))^3);

xpunto=xpunto';

Para poder obtener el desplazamiento, la velocidad y la trayectoria velocidad vs.

desplazamiento se programa un archivo-m en matlab que es el siguiente:

%Este es el archivo para calcular el desplazamiento, la velocidad y la trayectoria

velocidad vs. desplazamiento de una carga en una banda transportadora mostrando la

vibracion autoexcitada.

close all

clear

clc

global n k mu N b vo c m

tiempo = linspace (0, 8, 10000 );

%condiciones iniciales

x0 = [0 0 ]';

%datos

b = 0.3; m = 1;

k=1.6e3; n=0.1; c=0.1;

vo=?; mu=0.6; N=9.8;

%llamado de la subrutina para resolver

55

%el sistema de ecuaciones diferenciales

[t, x]=ode23 ('ec_dif',tiempo, x0);

%Gráfica de la posición vs. tiempo

plot(t, x(:, 1))

grid on

xlabel ('Tiempo')

ylabel ('Posición')

legend ('vo=?)

%Grafica de la trayectoria

figure

plot (x(:,1),x(:,2))

axis ('square')

grid on

En este programa nosotros le damos el valor de la velocidad en la cual queremos analizar

las vibraciones autoexcitadas. Para nuestro sistema realizamos cinco simulaciones de la

cuales obtuvimos las siguientes graficas:

56

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Tiempo

Pos

ició

nv = 0.5 m/s

Grafica 4.2. Posición de la masa con v = 0.5 m/s.

Grafica 4.3. Trayectoria de las variables velocidad vs. desplazamiento con una v = 0.5 m/s.

57

En la grafica 4.2 podemos el comportamiento de la masa a una velocidad de 0.5 m/s que se

encuentra por debajo de la velocidad critica de nuestro sistema, la posición de la masa

genera una amplitud del tipo de las vibraciones autoexcitadas que inicia en la posición 0 y

va aumentando la distancia, este comportamiento se debe a que la banda al moverse a una

velocidad menor de la velocidad critica hace que la masa tenga un movimiento creciente

hasta llegar a un punto donde el cuerpo continua moviéndose pero ya en un rango

constante. La grafica 4.3 representa la trayectoria de las variables velocidad vs.

desplazamiento, podemos observar que empieza su movimiento en las coordenadas (0,0) y

empieza a formar círculos que abarcan tanto valores positivos como negativos, este tipo de

movimiento demuestra que la masa se encuentra en movimiento y que va aumentando con

el paso del tiempo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8-4

-2

0

2

4

6

8

10x 10

-3

Tiempo

Pos

ició

n

v = 0.9 m/s

Grafica 4.4. Posición de la masa con v = 0.9 m/s.

58

Grafica 4.5. Trayectoria de las variables velocidad vs. desplazamiento con una v = 0.9 m/s.

En la grafica 4.4 observamos el comportamiento de la masa usando una velocidad de 0.9

m/s que se encuentra muy cerca de la velocidad crítica para este sistema, por lo cual el

movimiento de la masa es muy abrupto pero en menor distancia y se estabiliza con mayor

rapidez. Esto es muy diferente a lo que observamos en la grafica 4.3 donde observamos que

el cambio de posición se incrementa gradualmente. Podemos observar en la grafica 4.5 se

presenta el mismo comportamiento que la grafica 4.3 pero el circulo central es menor esto

se debe a que el desplazamiento que presenta la masa es menor que cuando es sometido a

una velocidad cercana a la velocidad critica.

59

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Tiempo

Pos

ició

nv = 1.0 m/s

Grafica 4.6. Posición de la masa con v = 1.0 m/s.

Grafica 4.7. Trayectoria de las variables velocidad vs. desplazamiento con una v = 1.0 m/s.

60

Realizamos un análisis del comportamiento de la masa con una velocidad de 1 m/s la cual

tiene el mismo valor que la velocidad critica de nuestro sistema, la grafica 4.6 representa el

tipo de movimiento que tuvo la masa donde observamos que genero un tipo de onda de las

que se presentan en las vibraciones libres donde de un punto mayor la onda va

disminuyendo hasta llegar a detenerse el movimiento. En la grafica 4.7 podemos que la

masa inicio con un desplazamiento grande y va disminuyendo, también observamos que el

desplazamiento solo se da en valores positivos, lo cual es diferente a las vibraciones

autoexcitadas donde el desplazamiento se da tanto en los valores positivos y negativos.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6x 10

-3

Tiempo

Pos

ició

n

v = 1.1 m/s

Grafica 4.8. Posición de la masa con v = 1.1 m/s.

61

Grafica 4.9. Trayectoria de las variables velocidad vs. desplazamiento con una v = 1.1 m/s.

En la grafica 4.8 podemos observar el comportamiento de la masa usando una velocidad de

1.1 m/s la cual es un poco mayor a nuestra velocidad critica, este comportamiento fue

parecido al de la grafica 4.6, la diferencia que podemos observar es que el cambio de

posición va disminuyendo mas rápido. En la grafica 4.9 podemos observar que el

desplazamiento de la masa se estabiliza en menor tiempo a diferencia de la grafica 4.7.

62

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3

Tiempo

Pos

ició

n

v = 1.5 m/s

Grafica 4.10. Posición de la masa con v = 1.5 m/s.

Grafica 4.11. Trayectoria de las variables velocidad vs. desplazamiento con una v = 1.5 m/s.

63

En la grafica 4.10 observamos el análisis de la posición de masa a una velocidad de 1.5

m/s, la cual presenta un comportamiento parecido a las graficas 4.6 y 4.8, donde

observamos un movimiento del tipo de las vibraciones libres, la diferencia radica en que el

tiempo que le toma a la masa en detenerse es menor que los dos análisis mencionados

anteriormente.

En conclusión, al realizar estas cinco simulaciones observamos que las dos primeras

presentaron vibraciones autoexcitadas, esto se debió a que la velocidad a las que se

realizaron estas simulaciones es menor de la velocidad crítica de nuestro sistema. En las

tres últimas simulaciones se presentan vibraciones libres debido a que la velocidad a las

que se realizaron estas simulaciones eran iguales o mayores a nuestra velocidad critica.