capitulo 3 interés compuesto

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CAPITULO III: INTERÉS COMPUESTO UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA ACADÉMICO: INGENIERÍA CIVIL

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Interés compuesto, explicación de las formulas y varios ejemplos. :)

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CONVENIO EAFIT - UNIQUINDIO MAESTRA EN INGENIERA NFASIS: GESTIN DE LA CONSTRUCCIN

CAPITULO III:INTERS COMPUESTOUNIVERSIDAD DEL QUINDOFACULTAD DE INGENIERAPROGRAMA ACADMICO: INGENIERA CIVIL

Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto2En una ocasin le preguntaron al barn de Rothschild, un rico banquero, si recordaba las siete (7) maravillas del mundo. Contest que no, pero que s recordaba la octava maravilla: el inters compuesto, y dijo: esta maravilla deberamos utilizarla todospara lograr lo que nos proponemos. 2CAPITULO III: INTERS COMPUESTODefinicin del inters compuestoCapitalizacinPerodo de capitalizacin Valor futuro a inters compuestoCaractersticas del inters compuestoValor futuro con tasa variableValor presente a inters compuestoValor presente con tasa variableLa tasa de inters y el tiempoTipos de tasas de intersEcuaciones de valorPasos para construir una ecuacin de valorClculo de fechas desconocidas3Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoDefinicin Inters Compuesto:El inters compuesto (llamado tambin inters sobre inters), es aqul que al final del perodo capitaliza los intereses causados en el perodo inmediatamente anterior.

En el inters compuesto el capital cambia al final de cada perodo, debido a que los intereses se adicionan al capital para formar un nuevo capital sobre el cual se calculan los intereses. 4Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

Definicin Inters Compuesto: Capitalizacin:Es el proceso mediante el cual los intereses que se van causando peridicamente se suman al capital anterior.

Perodo de Capitalizacin:Es el perodo pactado para convertir el inters en capital. 5Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoValor futuro a inters compuesto:Consiste en calcular el valor equivalente (VF) de una cantidad inicial (VP), despus de estar ganando intereses por n perodos, a una tasa de inters (i). La representacin grfica es la siguiente:6 0 1 2 3 4 n 1 n VPVF1 VF2 VF3 VF4 VFn-1 VFnDonde: VF = Valor FuturoVP = Valor Presenten = Nmero de perodosi = Tasa de inters peridicaEconoma para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoValor futuro a inters compuesto:Visto perodo a perodo obtenemos la siguiente relacin:7PerodoCapitalInters/PerodoCapital Final0 1VPI1 = VP x iVF1 = VP + I1VF1 = VP + VP x iVF1 = VP(1 + i)1 2VP(1 + i)I2 = VP(1 + i) x iI2 = VPi(1 + i)VF2 = VF1+ I2VF2 = VP(1 + i) + VPi(1 + i)VF2 = VP(1 + i)22 3VP(1 + i)2I3 = VP(1 + i)2 x iI3 = VPi(1 + i)2VF3 = VF2+ I3VF3 = VP(1 + i)2 + VPi(1 + i)VF3 = VP(1 + i)3........(n 1) n VP(1 + i)n-1In = VPi(1 + i)n-1VFn = VP(1 + i)nEconoma para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoValor futuro a inters compuesto:8Por lo tanto, el valor futuro equivalente a un valor presente que est dado por la siguiente formula:VF = VP(1+i)n(9)Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

Caractersticas del inters compuesto:El capital inicial cambia en cada perodo porque los intereses que se causan se capitalizan, se convierten en capital.La tasa de inters siempre se aplica sobre un capital diferente.Los intereses peridicos siempre sern mayores.9Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto 0 1 2 3 4 n 1 n VPVF1 VF2 VF3 VF4 VFn-1 VFnDonde: VF = Valor FuturoVP = Valor Presenten = Nmero de perodosi = Tasa de inters peridicaCaractersticas del inters compuesto:Ejemplo: Se invierte $1.000.000 durante 6 meses en una corporacin que reconoce una tasa de inters del 3% mensual. Se desea saber, cunto dinero se tendr acumulado al final del sexto mes? 10 0 1 2 3 4 5 6 1.000.000VF1 VF2 VF3 VF4 VF5 VF6Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoAplicando directamente la formula: VF = VP(1+i)n VF = 1.000.000 * (1 + 0,03)6 = $1.194.052,29Desarrollo mes a mes del ejemplo:11Final del primer mes:VF1 = 1.000.000 + 1.000.000 x 0.03 = $1.030.000Final del segundo mes:VF2 = 1.030.000 + 1.030.000 x 0.03 = $1.060.900Final del tercer mes:VF3 = 1.060.900 + 1.060.900 x 0.03 = $1.092.727Final del cuarto mes:VF4 = 1.092.727 + 1.092.727 x 0.03 = $1.125.508,8Final del quinto mes:VF5 = 1.125.508.81+1.125.508.81 x 0.03 = $1.159.274,1Final del sexto mes:VF6 = 1.159.274.07+1.159.274.07 x 0.03 = $1.194.052,3Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoValor futuro con tasa variable:12En muchas ocasiones no siempre se establece o se mantiene una tasa de inters fija, sino variable, como sucede con frecuencia en la liquidacin de los intereses producidos por los depsitos en cuentas de ahorros y en CDTs.

La formula para calcular el valor futuro con inters compuesto, cuando la tasa de inters para cada perodo proyectado es diferente, queda de la siguiente forma:

VF = VP(1+i1)(1+i2)(1+i3)(1+i4)(1+i5)(1 + in)

Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto13Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoEjemplo: Un ingeniero desea invertir $2.500.000 durante 6 meses. La tasa de inters inicial que le reconocen es del 1% mensual. Si se espera que cada mes la tasa de inters incremente 0,20%, cunto recibir al final del semestre?

VP=$2.500.000

i1=1%, i2=1,20%, i3=1,40%, i4=1,60%, i5=1,80%, i6=2%

Aplicando la frmula:

VF=2.500.000*(1,010)*(1,012)*(1,014)*(1,016)*(1,018)*(1,020)

VF=$2.733.515,29Valor futuro con tasa variable:Valor presente a inters compuesto:Consiste en calcular el valor presente (VP), equivalente hoy a un valor futuro (VF), ubicado n perodos adelante (en el futuro), considerando una tasa de inters compuesta i.Esta operacin de calcular el valor actual de un capital equivalente a lo pagado en el futuro, se presenta con mucha frecuencia en los negocios y se conoce como el procedimiento para descontar una deuda.14Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoValor presente a inters compuesto:La representacin grfica es la siguiente:15 0 1 2 3 4 n 1 n VP = ?VF1 VF2 VF3 VF4 VFn-1 VFnDonde: VF = Valor FuturoVP = Valor Presenten = Nmero de perodosi = Tasa de inters peridicaDe la expresin VF = VP(1 + i)n despejamos VP: VP = VF / (1 + i) n(10)Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoFactor de descuentoValor presente a inters compuesto:Ejemplo 1: Un inversionista acept, inicialmente, recibir $50.000.000 despus de 2 aos, por la venta de una propiedad. Recibe 2 ofertas, Pedro y Juan le ofrecen pagarle hoy un valor equivalente, calculado as: Pedro, con una tasa del 2.0% mensual y Juan al 3.0% mensual. Qu oferta debe aceptar y por qu?

16Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoOferta de PedroVF=50.000.000n=24 mesesi=2%VP=50.000.000/(1+0,02)24 VP=31.086.074,40VP = VF / (1 + i) nOferta de JuanVF=50.000.000n=24 mesesi=3%VP=50.000.000/(1+0,03)24 VP=24.596.686,82Se concluye que: el valor presente es inversamente proporcional a la tasa de inters.Valor presente a inters compuesto:Ejemplo 2: Un inversionista tiene una aceptacin bancaria por $20.000.000 a 180 das y necesita negociarla faltando 72 das para su vencimiento, con un comisionista de bolsa que le cobra una tasa del 18% anual. Cunto recibe el inversionista?

17Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoDatos:VF=20.000.000 (180 das)n=72 dasi=18%VP = VF / (1 + i) nClculo:VP=20.000.000/(1+0,18)72/360 VP=19.348.780,34Se concluye que: los inversionistas en activos financieros esperan que las tasas de inters del mercado bajen para proceder a venderlos, y as, obtener un mayor precio de venta.Valor presente con tasa variable:18En forma similar a lo que sucede con el valor futuro, se pueden presentar ocasiones donde la tasa para calcular el valor presente sea variable en el transcurso de varios perodos.

La formula para calcular el valor presente con inters compuesto, cuando la tasa de inters para cada perodo proyectado es diferente, queda de la siguiente forma:

VP = VF/((1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)(1 + i4)(1 + i5)(1 + in))

Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto19Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoValor presente con tasa variable:Ejemplo: Un padre de familia necesita tener disponibles $2.000.000 dentro de 6 meses. Calcular el valor del depsito inicial si se esperan las siguientes tasas de inters para los prximos 6 meses: 0.5%, 0.6%, 0.7%, 0.8%, 0.9% y 1.0% respectivamente.

Solucin:

VP = VF/((1 + i1)(1 + i2)(1 + i3)(1 + i4)(1 + i5)(1 + in))

VP=2.000.000/(1,005*1,006*1,007*1,008*1,009*1,01)

VP=$1.912.332,52La tasa de inters y el tiempo:20La tasa de inters (i)

Para hallar la tasa de inters, se despeja i:

VF = VP(1 + i)n (9)

VF / VP = (1 + i)n

(VF / VP)1/n = (1 + i)n/n

i = (VF / VP)1/n - 1 (11)

Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

La tasa de inters y el tiempo:21El tiempo (n)

Para hallar el tiempo, se despeja n:

VF = VP(1 + i)n (9)

VF / VP = (1 + i)n

Log (VF / VP) = Log (1 + i)n

Log (VF / VP) = n * Log (1 + i)

n = (Log (VF/VP))/(Log (1+i)) (12)

Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoTipos de tasas de inters:En el inters compuesto es comn encontrar diferentes tipos de tasas. Pueden ser nominales, efectivas y peridicas, vencidas y anticipadas; dependiendo de sus caractersticas.En el uso de las frmulas se utilizan las tasas efectivas vencidas y las tasas peridicas vencidas.22Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

Tipos de tasas de inters:Tasas Efectivas: tienen una capitalizacin, su perodo es anual y se identifica con la letra i.

Ejemplo: 21%, 19,76% anual, 0,23

En algunos casos se acompaa la tasa del perodo, pero en otros no, entonces no es necesario que el perodo aparezca en la Tasa Efectiva, en el resto de tasas si es condicin necesaria, pues de lo contrario se toma como efectiva, es decir, anual.23Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

Tipos de tasas de inters:Tasas Peridicas: tienen una capitalizacin y diferentes perodos, por ejemplo: diaria, mensual, trimestral, semestral

Una tasa peridica puede ser, entonces, una tasa trimestral. Se identifica con la letra i y se acompaa de un subndice que seala el perodo. La expresin quedara: i it, donde t indica el perodo.

Ejemplo: 0,1% mensual; 6% trimestral; 0,01 bimestral; 0,00003% diario; se identifican con im, it, ib, id, respectivamente.24Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoTipos de tasas de inters:Tasas Anticipadas: se caracterizan porque los intereses se calculan y se descuentan en la fecha de emisin del titulo. Adems, se identifica con el subndice a, ia.

Tasas Vencidas: los intereses son calculados y pagados en la fecha del vencimiento del titulo, si no aparece el subndice a, se entiende como vencida.

25Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

Tipos de tasas de inters:Tasas Nominales: tienen varias capitalizaciones y diversos perodos, dependiendo del nmero de perodos que tenga en el ao, ese ser el nmero de capitalizaciones, su presentacin es anual. Se identifica con la letra j.

Las instituciones financieras, en general con fines prcticos, expresan el costo o rendimiento de sus operaciones con tasas anuales. Para ello multiplican la tasa peridica por la frecuencia del periodo en el ao (es decir, tasas nominales).

26Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoTipos de tasas de inters:Ejemplo: se puede multiplicar la tasa bimestral por el nmero de bimestres del ao, as: 3% x 6 = 18% y se acompaa de apelativos que identifican la frecuencia de liquidacin de la tasa efectiva en el ao y la forma como se liquida el inters.

18% capitalizable bimestral; 18% pagadero bimestre vencido; 18% convertible bimestral; 18% N.B.V. (18% Nominal Bimestre Vencido).j = 18% B.V., se lee, Dieciocho por ciento, capitalizable bimestre vencido ja = 18% B.A., se lee, Dieciocho por ciento convertible bimestre anticipado

27Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoTipos de tasas de inters:28TIPO DE TASACARACTERISTICAS PRINCIPALESCapitalizacinPerodoIdentificacinEjemploEfectivaUnaAnuali21,50% anual21,50%21,50% E.A.PeridicaUnaDiario, Mensual, Bimensual, Trimestral, Cuatrimestra, Semestral y Anual.i ()im, it, ib, id, segn el perodo, cambia el subndice.1,2% mensual0,05% diario4,4% trimestral12% semestralNominal ANUALVarias, segn el nmero de periodos al ao.Anual, diario, mensual, trimestral, etc.Se presenta anual.jCapitalizable, convertible, pagadera, etc.18% capitalizable mes vencido.Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoEcuaciones de valor:Es comn en el mundo de los negocios que una persona decida en determinado momento, de acuerdo con su acreedor, modificar la forma de pagar una obligacin que haya sido pactada inicialmente, mediante el pago de otra(s) obligacin(es) en fechas diferentes, con la condicin de que sean equivalentes en valor a la obligacin inicial. 29Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

Pasos para construir una ecuacin de valor:Se construye el flujo caja del problema, considerando valores hacia arriba como ingresos y valores hacia abajo como egresos. En casos excepcionales no habr ingresos, como al considerar solo gastos, en cuyo caso el valor de arriba es cero.30Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

Pasos para construir una ecuacin de valor:Se ubica la fecha focal en cualquier fecha dentro del flujo de caja.31Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

FF Pasos para construir una ecuacin de valor:Se trasladan los ingresos y egresos a la fecha focal aplicando la formula bsica VF = VP*(1 + i)n y se igualan. La ecuacin resultante es la ecuacin de valor. Los valores que se encuentran antes de la fecha focal, son valores presentes con respecto a sta, los cuales hay que trasladarlos calculando su valor futuro equivalente y los valores que se encuentran despus de la fecha focal son valores futuros con respecto a sta, los cuales hay que trasladarlos calculando su valor presente equivalente.32Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

Ejemplo: Un electrodomstico tiene un valor de contado de $1.000.000 y se debe financiar con dos pagos iguales en los meses 6 y 12. Hallar el valor de estos pagos, si la tasa de inters que se cobra es del 2% mensual. Se define el mes 10 como fecha focal para plantear la ecuacin de valor. El mismo enunciado pero con fecha focal ubicada en el mes 4. 33Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters CompuestoEcuacin de valor con inters compuesto:Solucin: Se eligi el mes 10 como fecha focal para plantear la ecuacin de valor, as: VF = VP*(1 + i)n

1.000.000(1+0,02)10 = X(1+0,02)4 + X/(1+0,02)21.218.994,42 = 1,08243 X + X/1,040401.218.994,42 = 2,04360 X X = 1.218.994,42/2,04360X = $596.493,6534Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto$1.000.00006FF 1012XXEcuacin de valor con inters compuesto:Solucin: Se eligi el mes 4 como fecha focal para plantear la ecuacin de valor, as: VF = VP(1 + i)n

1.000.000(1+0,02)4 = X/(1+0,02)2 + X/(1+0,02)81.082.432,16 = 0,96117 X + 0,85349 X1.082.432,16 = 0,81466 X X = 1.082.432,16/1,81466 X = $596.493,1035Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto$1.000.00006FF 412XXEcuacin de valor con inters compuesto:Clculo con fechas desconocidas:En el caso precedente, dentro de los planes de reestructuracin de crditos, se reemplazaban valores por sus equivalentes y se fijaban nuevas fechas para hacer los pagos. Algunas veces se propone cambiar los pagos pactados inicialmente por nuevos pagos conocidos, pero es necesario establecer fechas que cumplan con la equivalencia de valores. El procedimiento para calcular estas fechas, se desarrolla con el mismo planteamiento de las ecuaciones de valor.36Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

Clculo con fechas desconocidas:Ejemplo: Usted tiene 3 documentos por cobrar as: uno por $200.000 dentro de 4 meses, otro por $300.000 dentro de 6 meses y el ltimo por $600.000 dentro de 8 meses. Pacta con su deudor cambiar los tres pagos por uno equivalente de $900.000. Si la operacin financiera se realiza con una tasa de inters del 4% mensual, en qu fecha se debe pagar? 37Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto

Solucin (1): Con fecha focal en el mes 5 se plantea la ecuacin de valor, as:200.000(1+0,04)1 + 300.000/(1+0,04)1 + 600.000/(1+0,04)3 = 900.000/(1+0,04)n-5208.000 + 288.461,54 + 533.397,81 = 900.000/(1+0,04)n-5(1,04)n-5 = 900.000/1.029.859,35 (n-5)*Log(1,04) = Log(0,873906)n = 1,5635 meses * 30 = 47 das38Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto$200.00006FF 54$300.0008$600.000$900.000nClculo con fechas desconocidas:Solucin (2): Con fecha focal en el mes 7 y n antes de los pagos, se plantea la ecuacin de valor, as:200.000*(1+0,04)3 + 300.000*(1+0,04)1 + 600.000/(1+0,04)1 = 900.000*(1+0,04)7-n224.972,80 + 312.000 + 576.923,08 = 900.000*(1+0,04) 7-n(1,04)7-n = 1.113.895,88/900.000(7-n)*Log(1,04) = Log(1,24) 7-Log(1,24)/Log(1,04)=n n = 1,56 meses * 30 = 47 das39Economa para Ingenieros- Capitulo III: Inters Compuesto$200.00006FF 74$300.0008$600.000$900.000nClculo con fechas desconocidas:ECONOMA PARA INGENIEROS

GRACIAS POR SU ATENCIN!Ing. Ana Mara Hernndez [email protected]

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