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CAPITULO 3
ELEMENTOS DIFRACTIVOS GENERADOS POR
COMPUTADORA
3.1 Introducción
A continuación se argumentan las razones para emplear una computadora y un graficador
binario para elaborar interferogramas sintéticos. Es decir, para producir interferometría
generada por computadora. Para este objetivo se discute el uso de paquetería de “Visual
Basic” y “Corel Draw”.
Además se describe el proceso de foto reducción de los patrones binarios de los
elementos difractivos de un prisma, una lente cilíndrica, una lente esférica y un axicón
La primera observación relevante para este capitulo es reconocer que no necesariamente
tienen que existir físicamente las fases ),(1 yxα y ),(2 yxα para construir el patrón de
interferencia usando la ecuación 2.10. Ya que con las herramientas computacionales es
posible crear cualquier tipo de rejilla binaria.
Debido a que la aplicación de mayor interés fue la holografía, entonces es también
conocida por sus siglas en ingles CGH como computer generated holography [1].
Herramienta basada en la generación de pantallas difractantes o comúnmente llamado
interferograma cuya transmitancia es la deseada por el usuario.
Dicha pantalla es creada en tres pasos. Primero con el cálculo de una función que
represente la interferencia de un frente de onda de referencia y el frente de onda deseado,
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ya descrito en el capitulo anterior. En segundo lugar se substituyen las líneas delgadas por
líneas con factor de relleno de ½ y con la ayuda de paquetes de cómputo se genera una
gráfica binaria que cumpla con los sitios geométricos que describe la función previamente
deducida. Por último se lleva a cabo una foto-reducción de la gráfica en una película
delgada, la cual pasará finalmente a ser una pantalla difractante; principal interés de uso
para la CGH en esta tesis.
3.2 Generación de pantallas binarias
En el capítulo anterior se describió ya el proceso para obtener los sitios geométricos del
interferograma. A continuación se discuten los argumentos necesarios para darles un ancho
determinado a los sitios geométricos a graficar. Este ancho es denominado factor de relleno
y también se discuten los beneficios del uso de patrones binarios con un factor de relleno
de 1/2.
La generación por computadora de una rejilla cosinusoidal requiere complicadas
herramientas de “software”, además de una impresora de gran calidad y una película con
una amplia escala de grises para su foto reducción. Por lo que se opta por una aproximación
Transmitancia 1
y
x
x Periodo
Figura 3.1 Tren de pulsos cuadrado y su transmitancia
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con una rejilla binaria, formada por un tren de pulsos cuadrado de periodo y ancho finito,
figura 3.1.
Para la ilustración 3.1 el ancho de la línea blanca y la negra es el mismo pero puede no
serlo, y esto se ve reflejado en la distribución de irradiancia de los órdenes de difracción.
Por lo que conviene definir un cociente de abertura o factor de relleno ε, como un número
real entre cero y uno que resulta del cociente del periodo y el ancho de la transmitancia
máxima, como muestra la ecuación 3.1.
dx /0=ε ( 3.1)
Como ya se mencionó en el capitulo anterior, son los coeficientes de la serie los que van
a definir la distribución de irradiancia en el patrón de difracción, por lo que se requiere de
su cálculo. Suponiendo que la función de transmitancia vale uno dentro del periodo de
máxima transmitancia, la integral para encontrar los coeficientes se vería de la siguiente
manera:
∫−
−=
2/
2/
2)1(1 d
d
dn
xi
n dxed
aε
ε
π ( 3.2)
0x
Periodo (d) x
Transmitancia
1
Gráfica 3.1 Amplitud de dos trenes de pulsos cuadrado
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Solamente es necesario hacer la integral dentro del intervelo asociado a x0; ya que fuera
de este vale cero. Dado que la función de transmitancia es periódica, el resultado de la
integración se muestra en la ecuación 3.3.
[ ])(sinc εε nan = ( 3.3)
Es conveniente seleccionar el factor de relleno ε, como inversamente proporcional a un
numero entero ε = 1/N. De este modo es posible garantizar que para el orden n = N, el
coeficiente de fourier es cero. Es decir
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= )(sinc1
Nn
Nan , ( 3.4)
Por lo que para n = N
001=⋅=
NaN , ( 3.5)
Lo anterior es ejemplificado en la gráfica 3.2 para un factor de relleno de (a) 1/3 y (b)
1/4.
b)a)
Gráfica 3.2 Patrón de difracción de una rejilla con factor de relleno de (a) 1/3 y (b) 1/4.
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Gráfica 3.3 Patrón de difracción de una rejilla con factor de relleno de ½
Como se verá en el capitulo 4, se tiene la necesidad de facilitar el filtraje espacial del
orden uno y administrarle suficiente energía por lo que se considera el uso de un factor de
relleno de 1/2. Por lo que los órdenes de difracción pares están ausentes en el patrón de
difracción de Fraunhofer, como se observa en la gráfica 3.3.
3.3 Generación de Gráficas
En esta sección es donde la holografía generada por computadora toma su nombre. Por
medio de herramientas computacionales se construye una gráfica que contenga en grandes
rasgos las propiedades de la interferencia grabada en un holograma convencional.
Con la ayuda de la paquetería de “Visual Basic”, se programa un macro que dibuje líneas
o elipses en la paquetería de “Corel Draw”. En dicho macro podemos variar la distancia,
grosor y/o la posición de las líneas según la necesidad del usuario. A continuación se
presenta el código con su descripción correspondiente a cada comando.
Sub Macro1()
' Description:
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Dim x As Double
b = 1
For b = 1 To 190 // El numero de líneas deseadas
r = (2.5 * (3 * (b ^ 0.5) + ((b - 1) ^ 0.5))) / 20 // El patrón de separación entre las líneas
a = (5 * ((b ^ 0.5) - ((b - 1) ^ 0.5))) / 20 // El patrón del ancho se las líneas
Dim s1 As Shape
Set s1 = ActiveLayer.CreateEllipse2(4.25, 5.5, r, r, 90#, 90#, False) //Tipo de objeto
s1.Fill.ApplyNoFill geométrico deseado, líneas o elipses
s1.Outline.SetProperties a, OutlineStyles(0), CreateCMYKColor(0, 0, 0, 100),
ArrowHeads(0), ArrowHeads(0), False, False, cdrOutlineButtLineCaps,
cdrOutlineMiterLineJoin, 0#, 100
Next b
End Sub
Ya sea que se requieran líneas o círculos, la función que determine los lugares
geométricos a graficar debe de ser traducida a un algoritmo computacional que pueda
entender el programa. En el ejemplo anterior el patrón de separación entre líneas
corresponde a la función donde el periodo va cambiando al cuadrado, o sea es el
interferograma de una lente esférica, como se ve en la figura 3.2. En la figura 3.3 se puede
apreciar el interferograma de un prisma, en la figura 3.4 una lente cilíndrica y en la 3.5 el
axicón. Las imágenes con las que se realizaron los experimentos fueron impresas en ploter
con calidad de 600 dpi, difieren a éstas en su calidad por propósitos prácticos de
presentación.
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Figura. 3.2 CGH de una lente esférica.
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Figura. 3.3 CGH de un prisma
32 32
Figura 3.4 CGH de una lente cilíndrica
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Figura 3.5 CGH de un axicón.
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A pesar de que se generaron pantallas difractantes de los CGHs mencionados
anteriormente, el de interés en esta tesis es el CGH del axicón, formado por 200 círculos
concéntricos. En la figura 3.6 se puede apreciar la fotografía de éste.
Figura 3.6 (Izq.) CGH del axicón y su diseñador, (der.) Carlos Macías.
Después del proceso de foto-reducción el elemento final es la rejilla mostrada en la
figura 3.7. Cuyo periodo es de 50 micras
Figura 3.7 Rejilla circular
La calidad de esta rejilla es discutida en el capítulo 4 al estudiar el patrón de
difracción de Fraunhofer que produce.
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3.4 Foto-reducción
El proceso de fabricación de un elemento difractivo, consiste en grabar una imagen sobre
una película fotográfica de alto contraste. En este caso la imagen deseada es el CGH y la
gr
da una para asegurar una iluminación
ho
en 8 para obtener el máximo
co
era que el CGH a fotografiar esté
un
abación es llevada a cabo al fotografiar el mismo.
Primeramente se coloca el CGH a ser reducido sobre una superficie plana previamente
adecuada con cuatro foto-lámparas de 250 watts ca
mogénea. Se coloca una cámara fotográfica de manera perpendicular al interferograma a
una distancia “d” de ésta, como se muestra en la figura 3.8.
La cámara es cargada con la película de alto contraste Kodalith (marca registrada de
Kodak) de ASA 12, y se coloca el diafragma abierto
ntraste. Se hace uso de un filtro Kenko C8 de 49mm para dejar pasar un cierto rango de
luz donde la película tiene su máxima sensibilidad.
Posteriormente, se enfoca con la ayuda de un visor de ángulo recto y con la ayuda de un
luxómetro, se colocan las lámparas de tal man
iformemente iluminado.
CGH
250 W
250 W 250 W
0 W
Cámara
25
d
Figura 3.8 Dispositivo de foto-reducción
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Antes de fotografiar el CGH la cámara debe ser car ello se toma una tira
de exposiciones en diferentes tiempos con la misma iluminación con el fin de conocer la
marca del exposímetro (+,o,-) de la cámara que da el contraste deseado. Finalmente se
fotografía según marque el exposímetro de la cámara, arriba del tiempo ideal (+), en el
tiempo (o) o por debajo(-). Los tiempos recomendados con una iluminación de 1500 luxas
a la distancia de 1 metro son 1/30, 1/15 y 1/8 de segundo, ya que el ASA es muy pequeño
(el tiempo de reacción es muy lento).
áfica, de se dispone a revelarla con la
ayuda de un tanque en revelado, figura 3.9. En completa oscuridad la película es extraída
del magazine e insertada en un carrete y guardada en un tanque de revelado adecuado.
Se revela con revelador Kodak D-11 durante 4 minutos a una temperatura de 20°C en
continua agitación para luego darle un baño de paro con agua durante dos minutos y medio,
finalizando con el fijador (fijador Kodak, parte A + B, 9.25:1) durante 2 minutos y medio.
Una vez que la película ha secado a temperatura ambiente es recortada y colocada dentro de
porta-diapositivas con el fi manipulación sea más eficaz, como
se muestra en la figura 3.10.
acterizada. Para
Figura 3.9 Proceso de revelado
Una vez terminado de exponer la película fotogr
n de darles protección y su
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Comúnmente, la calidad de impresión utilizada en los CGH es de 23.6 puntos por
milímetro (600 dpi) y la escala de fotoreducción es de 8:1 por lo que si se utiliza una
película fotográfica con resolución de 300 líneas/mm, todavía se está dentro de la
resolución en un 63%.
En otras palabras, por más pequeño que pueda imprimirse el periodo deseado en una hoja
tamaño carta, la película tiene la suficiente resolución para grabarlo. Ahora bien, si se logra
utilizar toda la resolución posible de la película, el 63% o sea 189 líneas/mm y todas ellas
están iluminadas por una luz monocromática (N), por ejemplo, luz roja de 632.8nm de
longitud de onda, y se observa a una distancia d = 1000mm, puede encontrarse con la
ecuación 3.4 que el poder de resolución cromático o resolvencia es de 300 líneas para el
primer orden de difracción, m = 1.
mNR ==∆λλ ( 3.6)
De ahí puede concluirse que 34.3=∆λ nm lo cual correspondería a un espaciamiento
linear de 0.65mm en la pantalla de observación. También pudiéndose observar hasta el
quinto orden a un ángulo de 73º del orden cero.
Figura 3.10 Enmascarado
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Cabe mencionar que dependiendo de la exposición y revelado del negativo como rejilla
es importante volver a medir el factor de llenado ya que éste puede modificarse por el
tiempo de exposición y/o el revelado.
Con esto queda concluida la discusión experimental de la creación de rejillas y su
aproximación teórica. En el siguiente capitulo, los coeficientes encontrados son filtrados
espacialmente con la ayuda de una computadora óp ca ohere te; y e esta
construir una rejilla cosinusoidal a partir de una rejilla binaria.
ti c n d manera
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Referencias
] W.H. Lee. “Computer-generated holograms”, Appl. Opt., 18 3661-3669, (1979).
] J. Goodman, “Introduction to Fourier optics”, (McGraw-Hill, San Francisco, 1968),
pp.
] J. Dyson, “Circular and spiral diffraction gratings”, Royal Soc. of London, 248, 93-
106 (1958).
l y A.W. Lohmann, “Interferograms are image holograms”, J. Opt. Soc.
Am
] S. H. Lee, “Computer generated holography: an introduction”, Appl. Opt., 26, 4350
(1
[1
[2
[3
[4] O. Bryngdah
. 58, 141-142 (1968).
[5] E. Hecht, “Optics”, (Addison-Wesley, EUA, 1989), pp.
[6
987).
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