capitulo 3-diferenciacion

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 61

CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN 3.1 Cociente de las diferencias En muchos casos, es de interés la tasa de cambio en la variable dependiente de una función cuando hay un cambio en la variable independiente. Por ejemplo, en el caso de la función y = f (x) = x2, ¿cuál es el cambio en y cuando el valor de x cambia? Cuando x cambia de una valor inicial x0 a un nuevo valor x1, se escribe el cambio en x como ∆x = x1 – x0. El cambio en y = f (x) va desde y = f ( x0 ) hasta y = f ( x0 + ∆x ). El cambio en y por unidad de cambio en x puede entonces representarse por el cociente de las diferencias:

0 0f(x x) f(x )yx x

+ Δ −Δ=

Δ Δ

Ejercicio 41: Dado, y = f (x) = 3x2 - 4, obtener el cociente de la diferencias (o lo que es igual, la tasa media de cambio) si x0 = 3 y ∆x = 4. Solución. Aplicando la formula:

2 20 0 03(x x) 4 (3x 4) 6x x 3( x)y

x x x+ Δ − − − Δ + ΔΔ

= =Δ Δ Δ

2

Reemplazando términos se tiene:

2y 6(3)(4) 3(4) 30x 4

Δ += =

Δ

Lo que significa que cuando x cambia de 3 a 7, el cambio en y es 30 unidades. Otra forma de resolver este problema es plantearlo directamente. Si ∆x = 4 y x0 = 3, entonces x1 = 7. Sabiendo que ∆y = y1- y0, entonces:

y1 = 3(7)2 – 4 = 143 y0 = 3(3)2 – 4 = 23


Para finalmente,

y 143 23 30x 4

Δ −= =

Δ

El resultado indica lo siguiente: en promedio, cuando x cambia de 3 a 7, el cambio en y es de 30 unidades por unidad de cambio en x. Ejercicio 42: Del ejercicio anterior, obtenga el cociente de las diferencia cuando ∆x=0.005 Solución. Análogamente al ejercicio anterior, y planteando de forma directa:

y1 = 3 ( 3.005)2 – 4 = 23.090075 y0 = 3 ( 3 )2 – 4 = 23 de donde,

y 23.090075 23 18.015

x 0.005Δ −

= =Δ

El resultado indica lo siguiente: “en promedio, cuando x cambia de 3 a 3.005, el cambio en y es de 18.015 unidades por unidad de cambio en x”. 3.2 La derivada A menudo interesa la tasa de cambio en y cuando la variación de x (es decir, ) es pequeña. Cuando ∆x tiende a cero (pero nunca lo toma), ∆y / ∆x se aproximará a una función derivada que devuelve la magnitud de la tangente de la función y = f (x) para cualquier valor de x0.

xΔ

0 0

0x 0

f(x x) f(x )dyf '(x )dx xlim

Δ →

+ Δ −= =

Δ

Ejercicio 43: Obtener la aproximación a la tasa de cambio de la función del ejercicio anterior, y = f (x) = 3x2 – 4. Solución. La derivada correspondiente será:

dyf '(x) 6xdx

= =




Ahora evaluando el punto dado, es decir, f ′ (xo) se tiene que f ′ (x) = 6x. Entonces,

f ′ (xo) = 6 xo = 6 ( 3 ) = 18 Para la misma función, usando el cociente de las diferencias, (∆y / ∆x ), se obtiene 30 mientras que usando la derivada, (dy / dx ), el resultado es 18. ¿Por qué la diferencia tan amplia? La razón de ello es la variación de x( ∆x ). Cuando ésta variación es pequeña, como ∆x = 0.005 (Ejercicio 42) el resultado es similar al de éste ejemplo (18.015 vs 18). Ello es coherente con la teoría que afirma que la derivada es una buena aproximación al cociente de la diferencia solo cuando la variación en la variable endógena es muy pequeña. Note que cuando ∆x = 4 la diferencia entre el coeficiente de la diferencia y la derivada respectiva es 30 – 18 = 12. Sin embargo, cuando ∆x es muy pequeño (en este caso, 0.005) la diferencia es apenas 18.015 – 18 = 0.015. Así, mientras más pequeña sea la variación en x (cuando ∆x → 0), entonces la derivada respectiva ofrecerá una buena aproximación respecto al cociente de las diferencias. Entonces queda claro que la técnica de la derivada es un buen atajo cuando las variaciones en x son muy pequeñas. 3.2.1 Reglas de Diferenciación a) Para el caso de funciones de la misma variable Regla de la suma La derivada de una suma (diferencia) de dos funciones es la suma (diferencia) de las derivadas de las dos funciones:

[ ]d df(x) g(x) f(x) g(x)dx dx dx

± = ±d

Ejercicio 44: Obtener la derivada de 5x3 + 9x3. Solución. Asignando a f (x) = 5x3 y g(x) = 9x3, ( y = f(x) + g(x) ), por la regla de la suma,



3 3 3 3 2 2d d d(5x 9x ) (5x ) (9x ) 15x 27x 42x

dx dx dx+ = + = + = 2

Regla del producto La derivada del producto de dos funciones (diferenciables) es igual a la primera función por la derivada de la segunda función más la segunda función por la derivada de la primera función:

[ ]d df(x)g(x) f(x) g(x) g(x) f(x)dx dx dx

= +d

Ejerció 45: Hallar la derivada de y = ( 2x + 3 ) ( 3x2 ). Solución. Haciendo f (x) = 2x + 3 y g (x) = 3x2. Luego,

ddx

g (x) = 6x ddx

f (x) = 2

Entonces:

ddx

[( 2x + 3 ) (3x2)] = ( 2x + 3 )(6x) + (3x2)(2) = 18x2 + 18x

Regla del cociente La derivada del cociente de dos funciones será, f(x) / g(x)

[ ]2

d dg(x) f(x) f(x) g(x)d f(x) dx dxdx g(x) g(x)

−=

Ejerció 46: Obtener la derivada de ( 2x – 3 ) / ( x + 1 ). Solución. Usando la regla del cociente,

2 2d 2x 3 2(x 1) (2x 3)(1) 5

dx x 1 (x 1) (x 1)− + − −⎛ ⎞ = =⎜ ⎟+⎝ ⎠ + +



b) Para el caso de funciones de variables diferentes Regla del producto Dado z = g(x , y). h(x, y). La derivada respectiva será:

z hg(x,y) h(x,y)x x∂ ∂

= ⋅ + ⋅∂ ∂

gx∂∂

Ejercicio 47: Dado z = (3x + 5)(2x+6y), por la regla del producto

zx = ∂∂zx

= ( 3x + 5 ) (2) + ( 2x + 6y ) (3) = 12x +10 + 18y

zy = ∂∂zy

= ( 3x + 5 ) (6) + ( 2x + 6y ) (0) = 18x +30

Regla del cociente Dado z = g(x , y). h(x, y) y h(x, y) ≠ 0,

[ ]2

g hh(x,y) g(x,y)z x xx h(x,y)

∂ ∂⋅ − ⋅∂ ∂ ∂=

∂

Ejercicio 48: Dado z = (6x + 7y) / (5x+3y) por la regla del cociente,

2z (5x 3y)(6) (6x 7y)(5)x (5x 3y)∂ + − +

=∂ + 2 2

30x 18y 30x 35y 17y(5x 3y) (5x 3y)

+ − − −= =

+ +

2z (5x 3y)(7) (6x 7y)(3)y (5x 3y)∂ + − +

=∂ + 2 2

35x 21y 18x 21y 17x(5x 3y) (5x 3y)+ − −

= =+ +

Regla de la potencia Dado z = [ g(x,y)]n,

[ ]n 1z gn g(x,y)x x

−∂ ∂= ⋅

∂ ∂

[ ]n 1z gn g(x,y)y y

−∂ ∂= ⋅

∂ ∂



Ejercicio 49: Dado z = ( x3 + 7y2 )4, por la regla de la potencia:

3 2 3 2 2 3 2z 4(x 7y ) (3x ) 12x (x 7y )x∂

= + ⋅ = +∂

3

3 2 3 3 2z 4(x 7y ) (14y) 56y(x 7y )y∂

= + ⋅ = +∂

3

Regla de la función inversa Esta regla solo se aplica para funciones monótonas (cuando la derivada evaluada en cualquier punto mantiene siempre el mismo signo algebraico). La regla de diferenciación es,

dx 1dy dy dx

=

Ejercicio 50: Si y = x5 + x, obtenga dx / dy. Solución. Sea dy / dx = 5x4 + 1, aplicando la formula anterior,

4dx 1 1dy dy dx 5x 1

= =+

Regla de la cadena Sea la función z = f(y) donde “y” a su vez, esta en función de otra variable “x”, es decir, y = g(x), entonces la derivada de “z” con respecto a “x” es igual a la derivada de “z” con respecto a “y” multiplicada por la derivada de “y” respecto de “x”.

dz dz dydx dy dx

=

Esta regla es conocida como la “regla de la cadena”. Para el caso de 3 funciones,

z = f(y) y = g(x) x = h(w) Será:

dz dz dy dxdw dy dx dw

=


Para el caso de 4 o más funciones, el lector puede extender esta formula fácilmente. Ejercicio 51: Si z = y - 3, donde y = x3, obtenga dz / dx. Solución. Haciendo,

dz dz dydx dy dx

= entonces 2 2dz 1(3x ) 3xdx

= =

3.3 Diferencial Hasta ahora, la derivada dy / dx ha sido representada como un símbolo que denota el límite de ∆y / ∆x cuando ∆x tiende a cero ( ∆x → 0 ). Sin embargo, la derivada dy / dx también puede ser tratada como un ratio de diferenciales, en el cual dy es el diferencial de “y” y dx es el diferencial de “x”. Dada una función de una sola variable independiente y = f(x), el diferencial de “y” ( dy ), mide el cambio en “y” resultante de un pequeño cambio en “x”, es decir ( dx ). Dado y = 2x2 + 5x +4, el diferencial de “y” es obtenido tomando la primera derivada de “y” con respecto a “x”, lo cual mide la tasa de cambio a la cual “y” cambia ante un pequeño cambio en “x”.

dydx

= 4x + 5 una derivada o tasa de cambio

y entonces multiplicando esa tasa de cambio por un pequeño cambio en “x” por un cambio especifico en “x” (en otras palabras, dx) para obtener el cambio resultante en “y” (es decir, dy).

dy = (4x +5 ) dx un diferencial o cambio simple dy : cambio en “y”

(4x+5) : tasa a la cual “y” cambia para un pequeño cambio en “x”.

dx : cambio en “x”




Ejercicio 52: Si y = 4x3 + 5 x2 - 7, obtenga el diferencial. Solución. Si dy / dx = 12x2 + 10x y el diferencial será: dy = (12x2 + 10x) dx Ejercicio 53: Si y = 2 ( 2x – 5 )2, obtenga el diferencial. Solución. Si dy / dx = 2 (2x – 5 ) (2 ) =8x – 20 y el diferencial será: dy = ( 8x – 20 )dx 3.3 1 Diferenciales y cambios incrementales Usualmente en economía se desea medir el efecto sobre la variable dependiente (costos, ingreso, beneficio, etc.) ante un cambio en la variable independiente (trabajo, capital, etc.). Entonces, si z = f (x, y) el efecto sobre z de un pequeño cambio en “x” esta dado por el diferencial parcial,

zdz dxx∂

=∂

El efecto del cambio puede ser aproximado multiplicando la derivada parcial por el

cambio propuesto. Entonces, ∆z ≈ ∂∂zx

∆x.

Si la función original z = f ( x, y ) es lineal1,

dz zdx x

Δ=Δ

y el efecto del cambio será medido exactamente:

∆z = ∂∂zx

∆x.

1 En este caso, el término “lineal” no significa que los términos de la función deban ser de grado 1, o elevados a la

potencia 1. Lineal es cuando los términos son sumados o restados independientemente, cada uno de los cuales puede ser de cualquier grado.


Ejercicio 54: Si y = f (x) = x3 + 6, obtener ∆f (x) y df (x) cuando x = 2, y ∆x = 0.5 = dx.

Solución. El diferencial de y será: 2dy 3xdx

=

dy = (3x)2 dx

dy = [3(2)2 ]0.5 dy = 6 La variación de x será: ∆y = y2- y1 y2 = (2.5)3 + 6 = 21.625 y1 = (2)3 + 6 = 14 ∆y = 21.625 – 14 = 7.625 Ejerció 55: Sea y = x2 + 7x – 5, obtener dy, si x = 5 y ∆x = 0.01 Solución. El diferencial será:

dy = ( 6x + 7 ) dx dy = ( 6 ( 5 ) +7 ) 0.01 dy = 0.37 La variación será,

∆y = y2- y1 y2 = 3(5.01)2 + 7( 5.01) – 5 → y2 = 105.3703 y1 = 3(5)2 + 7(5) – 5 → y1 = 105 ∆y = 105.3703 – 105 = 0.3703 El error en usar la aproximación (derivada) es: 0.3703 - 0.37 = 0.0003 (en realidad se toma el valor absoluto del error). 3.3.2 Diferencial Total Para una función de dos o más variables independientes, el diferencial total mide el cambio en la variable dependiente ante un pequeño cambio en cada una de las variables independientes. Si z = f ( x, y ), el diferencial total dz es expresado como,




z zdz dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂

o lo que es igual dz = zxdx + zydy

donde zx y zy son las derivadas parciales de z con respecto a “x” y “y” respectivamente, y dx y dy son los pequeños cambios en “x” e “y”. El diferencial total puede entonces obtenerse tomando las derivadas parciales de la función con respecto a cada variable independiente y substituyendo esos valores en la formula anterior. Ejercicio 56. Obtener el diferencial total de z = x4 + 8xy + 3y3. Solución. Sean zx = 4x3 + 8y y zy = 8x + 9y2 , las cuales son sustituidas en la expresión original,

dz = (4x3 + 8y) dx + (8x + 9y2) dy Ejercicio 57: Obtener el diferencial total de z = ( x – y ) / ( x + 1 ) Solución. Planteando las derivadas parciales:

x 2 2z (x 1) (x y)(1) y 1zx (x 1) (x 1)∂ + − − +

= = =∂ + +

y 2z (x 1)( 1) (x y)(0) 1zy x(x 1)∂ + − − − −

= = =∂ ++ 1

Reemplazando estas expresiones convenientemente,

2y 1 1dz dx dy

x 1(x 1)+ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟++ ⎝ ⎠

3.3.3 Diferencial Parcial El diferencial parcial mide el cambio en la variable dependiente de una función multivariada resultante de un pequeño cambio en una de las variables independientes y asume que el resto de variables independientes permanece constante.



Ejercicio 58: Sea z = f ( x, y ) = 5x3 – 12xy - 6y5 obtener el diferencial total y el diferencial parcial para un pequeño cambio en x. Solución. El diferencial total será: dz = zxdx + zydy Las derivadas parciales son: zx = 15x2 - 12y zy = -12x – 30y4 Reemplazando en la diferencial total: dz = (15x2 - 12y)dx – (12x + 30y4)dy Para obtener el diferencial parcial, el problema se refiere a un cambio en x, entonces el pequeño cambio en y (dy), debe permanecer constante: en otras palabras, dy = 0. Considerando esto en el diferencial total se obtendrá el diferencial parcial:

dz = (15x2 - 12y)dx 3.4 Derivada total Cuando z = f (x, y) y y = g (x) , que es, cuando “y” no es independiente, un cambio en “x” afectará “z” directamente mediante la función “f” e indirectamente a través de la función “g”. Así, para medir el efecto del cambio en “x” sobre “z” cuando “y” no es independiente, la derivada total debe ser encontrada.

En otras palabras, la derivada total mide el efecto directo de “x” sobre “z”, z x∂ ∂ , más

el efecto indirecto de “x” sobre “z” mediante “y”, z dyy dx∂∂

. En este caso, la derivada total

será:

dz z z dydx x y dx

∂ ∂= +∂ ∂

o lo que es igual: x y

dz dyz zdx dx

= +

Una forma alternativa de plantear la derivada total es tomar el diferencial total de “z”.

x y z

g f

f


z zdz dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂

y multiplicar por 1/ dx : dz z dx z dydx x dx y dx

∂ ∂= +∂ ∂

dado que dx dx 1= : dz z z dydx x y dx

∂ ∂= +∂ ∂

Ejemplo 59: Sea z = f (x,y) = 6x3 + 7y, donde y = g(x) = 4x2 + 3x + 8, hallar la derivada total con respecto a “x”. Solución. La derivada total dz dx con respecto a “x” será,

dz z z dydx x y dx

∂ ∂= +∂ ∂

(1)

Donde: ∂z / ∂x = 18x2 ∂z / ∂y = 7 ∂y / ∂x = 8x + 3 Substituyendo estos términos en la ecuación (1), se tiene que:

dzdx

=18x2 + 7(8x + 3) = 18x2 + 56x + 21

Note que la solución debería estar en la medida de lo posible en función de la variable en análisis, en este caso, x. Ejercicio 60: Dado z = f (x,y) =8x2 + 3y2 donde x = 4t y y = 5t, hallar la derivada total de z con respecto a t Solución. La derivada total de z con respecto a t será,

dz z dx z dydt x dt y dt

∂ ∂= +∂ ∂

(1)

Donde: ∂z / ∂x = 16x ∂z / ∂y = 6y ∂x / ∂t = 4 ∂y / ∂t = 5




Substituyendo estos términos en la ecuación (1), se tiene que: dzdt

= 16x(4) + 6y( 5) = 64x + 30y

Finalmente sustituir x = 4t y y = 5t, a fin de que la expresión obtenida quede en

función de t se obtiene, dzdt

= 64(4t) + 30( 5t) = 406t

3.5 Ejercicios resueltos (por tipo) Ejercicio 61: Si z = f ( x, y, t ), donde x = a + bt, e y = c +dt, hallar dz / dt Solución. Dado que hay dependencia entre las variables de la función z, entonces se

refieren a una diferencial total dz z dx z dy z dtdt x dt y dt dt dt

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂

, reemplazando valores:

( ) ( ) ( )f x,y,t x,y,t x,y,tdz b d

dt x y t∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

Note que en este caso, no se tiene los valores de las derivadas parciales, puesto que no hay el dato de las funciones relevantes. Por ello, solo pueden ser enunciadas. Ejercicio 62: Dada la función de consumo C = a +bY ( a > 0; 0 < b < 1). Hallar su función marginal y su función promedio Solución.

La función marginal: dC bdY

=

La función promedio: C a bY Y= +

Ejercicio 63: Calcular la elasticidad de la renta respecto del consumo, y

determinar su signo, suponiendo que Y > 0. CYε

Solución.

CYdC Y Y bYbdY C C a bY

ε = = =+


El signo será positivo: a medida que el ingreso aumenta, el consumo también aumentará. Si el ingreso cae, también caerá el consumo. Ejercicio 64: El costo total de producir “x” calculadoras por día es: C(x) 10 2x 16= + + , ( 0 ≤ x ≤ 50 ). Encuentre el costo marginal de producir x unidades, el costo medio, y C′(24). Interprete el resultado. Solución. La función de costo marginal: ( ) 1 2dC 1 1C'(x) 2x 16 2

dx 2 2x 16−= = + =

+

La función de costo medio: C(x) 10 2x 16x x x

+= +

El costo marginal evaluado en 24: 1 1C'(24)82(24) 16

= =+

A un nivel de producción de 24 calculadoras por día, el costo total de producción se incrementa a una tasa de 1/8 por calculadora. En otras palabras, la calculadora 25 tiene un costo de 1/8. Ejercicio 65: El precio p y la demanda x de un radio particular están relacionados por la ecuación x = 4000 – 40p. Exprese el precio p en términos de la demanda “x” y obtenga el dominio de esta función. Solución. Siendo x = 4000 – 40p, entonces p = 100 – 0.025 x. Dado que p ≥ 0 ⇒ 100 ≥ 0.0025x ⇒ 4000 ≥ x. Pero x ≥ 0, así que: 4000 ≥ x ≥ 0 Ejercicio 66: Encuentre el ingreso R(x) de la venta de x radios. ¿Cuál es el dominio de R? Solución. R = xp = x(100 – 0.025x) , R = 100x – 0.025x2 . El dominio será el mismo que el caso anterior. Ejercicio 67: Encuentre el ingreso marginal a un nivel de producción de 1600 radios. Interprete.




Solución. R (x)= 100x – 0.025x2 R ′(1600)= 100-0.05x

R′(1600) = 100 – 0.05 (1600) R′(1600) =20 A un nivel de producción de 1600 unidades, el ingreso se incrementa a la tasa de 20 unidades monetarias por radio. En otras palabras, el ingreso por la venta de la unidad 1601 es 20. Ejercicio 68: Luego de diferenciar un modelo IS- LM, quedan las siguientes ecuaciones ordenadas matricialmente así:

yy y r s

sY r 2

(-C dT + dG + dX)(1- C + Z ) -I dY= 1 ML L dr ( dM - dP)

P P

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

a) Calcule dY y dr. Solución. Aplicando DIRECTAMENTE Cramer se obtiene que:

ss

r y r 2

r y y r y

1 ML C dT dG dX I dM dPP PdY

L 1 C Z I L

⎡ ⎤⎡ ⎤− + + + −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦=⎡ ⎤− + +⎣ ⎦

( ) ( )

ss

y y y y2

r y y r y

1 MdM - dP 1- C + Z - L -C dT + dG + dXP Pdr =

L (1- C + Z ) + I L

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejercicio 69: Del caso anterior obtenga s

dYdM

, s

drdM

, dYdP

y drdP

Solución. El alumno puede dividir la expresión dY entre dM, lo cual es valido, aunque

haciendo dT = dG = dX = dP = 0 se puede obtener fácilmente s

dYdM

:



( )

r

sy y r r

IdY P=dM 1- C + Z L +I Ly

Haciendo los diferenciales 0 según sea el caso, fácilmente se obtiene el resto de relaciones de diferenciales.

( )

( )y y

sy y r r

1 1- C + Zdr P=dM 1- C + Z L +I Ly

( )

s

r 2

y y r r

M-IdY P=dP 1- C + Z L +I Ly

( )( )

s

y y2

y y r r

M- 1- C + Zdr P=dP 1- C + Z L +I Ly

Ambas formas de solucionar son validas. Ejercicio 70: Si f (g) = g3 +4g - 2, obtenga fΔ y df cuando y ∆g = dg = 0.02. ¿Cuál es el error introducido cuando se utiliza df para aproximar ∆f.

g =1.1

Solución.

Aproximación (1) Real (2) Error (1)-(2)

df = (3g2 +4)dg f2 = f ( 1.12 ) = 3.884928 ∣df - ∆f ∣ = 0.001328 df (1.1) = (7.63)0.02 f1 = f ( 1.1 ) = 3.731 df (1.1) = 0.1526 ∆f = f2 - f1 = 0.153928

Ejercicio 71: Obtenga el diferencial total de dz / dt de: z = 3u + vt , donde u = 2t2 y v = t + 1

Solución. Dado que z = f ( u, v, t ), la derivada total será:

dz z du z dv z dtdt u dt v dt t dt

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂



O en lo que es igual: dz z du z dv zdt u dt v dt t

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

dzdt

= (3)(4t) +(t)(1) + v = 13t +v

Dado que v = t + 1 (la solución –en la medida de lo posible- debe estar en función de

la variable en cuestión). Finalmente, dzdt

= 14t + 1

Ejercicio 72: Un distribuidor de bicicletas ha descubierto que si las bicicletas se venden a dólares cada una y el precio de la gasolina es centavos por galón, cada mes venderán aproximadamente:

x y

( )3 / 2f(x,y) 200 24 x 0.1y 5= − +4+ bicicletas (función

de demanda)

Se estima que dentro de t meses, las bicicletas se venderán a x = 129 + 5t dólares

cada una y el precio de la gasolina será y = 80 +10 3t centavos por galón. ¿A que tasa cambiará la demanda mensual de bicicletas con respecto al tiempo dentro de 3 meses?

Solución. Claramente lo que se solicita es: df ( x, y ) / dt. El problema puede ser resuelto de varias formas. Aquí, aplicando la regla de la cadena:

df f dx f dydt x dt y dt

∂ ∂= +∂ ∂

(1)

Donde: f 1x x∂ −

=∂

2 dx 5dt

= f 0.6 0.1y 5y∂

= +∂

dy 15dt 3t

=

Reemplazando en (1)

df 60 150.6 0.1y 5dt x 3

− ⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠t

Cuando t = 3, entonces x = 144, e y = 110 (usando ecuaciones del enunciado), se tiene que:

df 60 150.6 16 7dt 144 9

− ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

es la tasa solicitada (7%)



Ejercicio 73: Dado Q = 400 - 8P + 0.05Y, donde P = 15 y Y = 12000. Encuentre a) La elasticidad ingreso de la demanda b) El crecimiento de la demanda, si el ingreso se expande en 5% al año. Solución. a) La elasticidad será:

YQ Y 120000.05 0.68Y Q 880∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ε = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b) El crecimiento será:

Y

Q Y 0.68(0.05) 0.034Q Y∂ ∂

= ε = =

Ejercicio 74: Una compañía produce y vende “x” transistores por semana. Si las funciones de costo e ingreso semanal son respectivamente:

I(x) = 10x – x2/1000

c(x) = 5000 + 2x encuentre el cambio aproximado en el ingreso y el beneficio si la producción se incrementa de 2,000 a 2,010 unidades por semana. Solución. Primero reconocer que nuestra venta inicial de transistores es 2000 unidades (X0=2000) y al cabo de una semana las ventas de transistores se incrementan en 10 unidades (dx = 10), luego hallar la derivada del ingreso total:

02xdI 10dx 1000

= −

02xdI 10 dx1000

⎛= −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ reemplazamos x0 y dx

2(2000)dI 10 (10) 601000

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

(cambio aproximado del ingreso)

Por ultimo formar nuestra función de beneficios: B(x)=I(x)-c(x)

2 2x xB(x) 10x (5000 2x) 8x 50001000 1000

= − − + = − + −


02xB(x) 8 dx1000

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2(2000)B(x) 8 (10) 401000

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

(cambio aproximado del beneficio)

Ejercicio 75: Dado: Y = C + I0 + G0 +X0 – Z T = T0 + tY C = C0+bYd Z = Z0+zYd 0 < b, z, t < 1 Donde todas las variables independientes son positivas. Determine el efecto (positivo o negativo) sobre el ingreso de equilibrio del cambio en una unidad de: a) Exportaciones b) Importaciones autónomas c) Impuesto autónomo Solución. La renta de equilibrio será:

Y=− + + −

11 b bt z zt

(C0 - bT0 + I0 + G0 + X0 – Z0 + zT0)

El multiplicador es positivo aun cuando b sea mayor o menor que z.

a) Exportaciones 0

Y 1 0X 1 b bt z zt∂

= >∂ − + + −

b) Importaciones autónomas

0

Y 1 0Z 1 b bt z zt∂ −

= <∂ − + + −

c) Impuesto autónomo



CAPITULO 3: DIFERENCIACIÓN

Generalmente, la propensión marginal a consumir es mayor a la propensión marginal a importar, es decir, b mayor a z. Esto haría que el efecto sea negativo; sin embargo, el efecto puede ser ambiguo, dependiendo de las magnitudes de b y z. En síntesis, el efecto puede ser negativo o positivo.

0

Y z b 0T 1 b bt z zt∂ −

= <∂ − + + −

3.6 Problemas propuestos 1. Dada la función de importación M = f(Y), donde M son las importaciones e Y la renta nacional, exprese la elasticidad de la renta respecto de las importaciones, en términos de la propensión a importar.

MYε

2. Una compañía fabrica timones para autos. El costo total semanal de producir x timones esta dado por:C(X) = 50000 + 600x – 0.75x2. Encuentre: a) La función de costo marginal, b) C′(200) y discuta el resultado, y c) El costo de producir la 201ava unidad. 3. El departamento de investigación de una compañía recomienda un nuevo producto, para el cual han presentado la siguiente información: Ecuación de demanda (x = demanda): x= 10000 – 1000p Función de costo (total): 7000 + 2x En base a ello, encuentre: a) Dominio de la función definida por el precio b) Costo marginal de producción c) Función de ingreso como una función de x y obtenga su dominio d) Ingreso marginal en x=2,000, 5,000 y 7,000. Interprete. e) Función de beneficio y calcule su dominio f ) Función de beneficio marginal en x=1,000, 4,000 y 6,000. Interprete.

80

capitulo 3-diferenciacion

Documents