capitulo 3 dielectricos

FISICA II (2008; v.2014)

Electricidad y Magnetismo Guillermo Santiago, Liliana Perez y Eduardo Sancho

1

Captulo 3: Los Dielctricos y los Campos

3.1. Introduccin 2 3.2. Descripcin microscpica de los materiales dielctricos 8 3.3. Ecuaciones electrostticas en presencia de dielctricos 14 3.4. Condiciones de frontera o de contorno o de borde 16 3.5. Buscando la normal adecuada 19 3.6. Aplicaciones 20 3.6.1. Esfera dielctrica uniformemente cargada en volumen 20 3.6.2. Conductor cargado-dielctrico descargado-vaco 23 3.6.3. Conductor cargado dielctrico descargado-dielctrico descargado-vaco 25 Apndice 27

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2

Captulo 3: Los Dielctricos

3.1 Introduccin

Hasta ahora estuvimos viendo cmo influyen los campos elctricos en los materiales que

tienen cargas libres de moverse, es decir, en los conductores. En ellos, las cargas se mueven

de forma tal que responden a los campos elctricos haciendo que sean nulos en su interior en

condiciones electrostticas. Supongamos un

capacitor de placas plano paralelas (de

dimensiones tales que se puedan despreciar los

efectos de borde) conectado a una batera V0.

Las placas se cargarn con una densidad

superficial de forma tal que

0

0 0

QdV d

A

= = (1)

siendo A el rea de la placa del capacitor. La

capacidad correspondiente resulta, entonces

dAC 00 = (2)

Qu ocurre si colocamos un conductor descargado entre las placas del capacitor que haba

sido cargado con carga Q a travs de la batera (habiendo sacado la batera)? Como el campo

elctrico debe ser nulo dentro de los conductores en situacin electrosttica, los electrones

libres del conductor se desplazarn como indica la Figura 1. De esta manera el campo

elctrico tendr un valor 0

en las zonas de vaco y cero en los conductores. Cul ser la

diferencia de potencial entre las placas originales? Cul es la capacidad de este dispositivo?

Como la diferencia de potencial es la circulacin del campo elctrico, resulta

=V0

)( bd , (3)

es decir, el voltaje disminuye. La capacidad resulta

d

V0

d

V

+ +

b

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

d

V0

d

V

+ +

b

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

Fig.1.a) Capacitor con vaco entre placas, b) con un conductor

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3

)1()()(

00

0 dbd

Abd

A

bdAQ

QV

QC

=

=

=

=

(4)

En consecuencia, la capacidad C es mayor que la que tena antes de colocarle el conductor. Es

interesante observar que esta capacidad es independiente del lugar donde se coloque el

conductor. Si el conductor es de espesor despreciable frente a la separacin entre placas,

resulta oCC , es decir, la capacidad no se ve seriamente afectada por una lmina conductora

delgada colocada paralelamente a las placas.

Ahora discutiremos qu ocurre cuando materiales que no conducen la electricidad se colocan

en campos elctricos. Faraday descubri que los materiales aisladores eran afectados por los

campos elctricos a pesar de que no poda haber conduccin. Faraday se bas en el siguiente

hecho experimental:

1) Cargaba un capacitor vaco estableciendo una V0 entre las placas

2) Retiraba la batera y colocaba un aislante entre las placas (en todo el espacio entre placas).

3) Meda el voltaje. La diferencia de potencial entre placas siempre resultaba menor que V0.

Como la carga sobre cada placa no haba variado y V

QC

= , este resultado mostraba que la

capacidad aumentaba. Cunto aumentaba dependa del material. As estableci la relacin

entre la capacidad en vaco C0 y la capacidad con material aislante C: 0CC = denominando

a como la constante dielctrica relativa al vaco1

As, en un capacitor de placas plano-paralelas resulta

. Esta constante dependa del material

exclusivamente.

dAC 0= , siendo

0

1CQ

CQV

== (5)

Al observar la expresin para la capacidad, pareciera que se puede disminuir d todo lo que se

desee pudiendo almacenar toda la carga que se quiera. As, consideremos un capacitor

conectado a una pila V0 y cambiemos la separacin entre las placas como indica la Figura 2. 1 Una notacin ms habitual y cmoda es asignarle el smbolo r a la constante dielctrica relativa al

vaco

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4

Como la capacidad vari (por cambiar la distancia entre placas) y la diferencia de potencial no

vri porque siempre estuvo conectado a la pila, tiene que haber variado la carga sobre cada

placa (la suma siempre dar cero porque lo daba antes de cambiar la distancia). Es decir,

2112

20022

10011

ddsiQQ

dAVVCQ

dAVVCQ

>>

==

==

(6)

Sin embargo, existe un lmite para d (dado V0) que

depende del material. O dicho de otra forma, para

cada material y cada d existe un Vmximo y, en

consecuencia, un Qmximo que se pueda almacenar. Si

se aplica una tensin mayor que la mxima para ese

material y separacin d se produce lo que se llama

ruptura dielctrica, el dielctrico pierde sus

propiedades de aislante y se vuelve conductor. Como V Ed= , se habla de que cada material

admite un campo elctrico mximo Emximo. Por ejemplo

Medio Emximo (V/m) Aire 1,00059 3 106

Tefln 2,1 60 106 Mylar 3,2 7 106 Papel 3,7 16 106

Vemos, entonces, que agregar un material dielctrico tiene algunas ventajas (adems de

brindar soporte mecnico): aumenta la capacidad y permite resistir mayores tensiones. Pero,

aumentar la capacidad significa acumular ms

energa?

Veamos primero un capacitor sin y con dielctrico con la misma carga Q. La energa

acumulada en el capacitor vaco es

0

2

0 21

CQU = (7)

Fig.3.a)Capacitor vaco con carga Q, b) a Q constante, con dielctrico

Fig.2.Capacitor con placa plano paralela a V0 constante

d1

V0

+

d2

V0

+

d1

V0

+

d2

V0

+

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5

mientras que cuando todo el espacio entre placas est lleno de dielctrico resulta

C

QU2

21

= (8)

De esta manera 00

1U CU C

= > . Es decir, la energa que almacena en vaco es mayor que la

que almacena con un dielctrico Cmo se entiende esto? Si la carga Q se mantuvo constante,

los pasos seguidos fueron:

Si disminuy la energa potencial electrosttica, el campo debe haber realizado un trabajo W

tal que

0>= UW campoelporrealizado (9)

Experimentalmente se encuentra que el dielctrico es atrado, es decir, acta una fuerza sobre

l que lo tira hacia adentro. El anlisis detallado es bastante complicado; las lneas de

campo no son rectas cerca del lmite del dielctrico aunque hayamos considerado al capacitor

como infinito. Justamente la deformacin de las lneas de campo es la que permite describir

cualitativamente la fuerza. Pero para determinar su valor se pueden hacer consideraciones

energticas exclusivamente.

Es de esperar que la energa potencial U vaya disminuyendo a medida que se introduce el

dielctrico, es decir, que dependa de x nicamente. Como U en un capacitor est dado por

Fig.4. a)Capacitor a Q constante (cargado a travs de una batera con V0) .b) Se mide la diferencia de potencial. c)Se va introduciendo un dielctrico y se miden diferencias de potencial (que dependen de

cunto se introdujo el material) d) Capacitor con dielctrico y carga Q cuando el dielctrico ha sido

introducido en su totalidad

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6

CVC

QUU 22

21

21

=== (10)

independientemente de la forma del capacitor, la fuerza sobre el dielctrico estar dada por

xexUUF

== (11)

ya que no puede haber dependencia en las otras

coordenadas por tratarse de planos infinitos.

Analicemos el problema:

1) la carga total se mantiene constante en

cada placa porque no hay contacto

elctrico entre ellas es decir, 21 QQQ +=

en todo momento

2) Cada conductor es una equipotencial, por

lo tanto, en todo instante

)()(

)()(

2

2

1

1

xCxQ

xCxQV == (12)

Si despreciamos los efectos de borde, las placas del capacitor son de rea D x L, y el

dielctrico fue introducido una distancia x, tendremos

dDxCC 001 == d

xLDC )(02

= (13)

Este sistema ser equivalente a un capacitor con capacidad C, diferencia de potencial entre

placa V y carga 21 QQQ += , es decir,

)( 212121 CCVVCVCQQVCQ +=+=+== (14)

De (13) y (14) se obtiene

)(0 xLxdDC += (15)

Como de (14) resulta

CQCQC

QCQ 2211 == (16)

se tiene

xLxxLQQ

xLxxQQ

+

=+

=

21 (17)

Fig.5. Energa de un capacitor de capacidad variable

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7

es decir las densidades superficiales de carga resultan distintas en la zona donde hay o no

hay dielctrico.

xLxDQ

xLxDQ

+=

+=

121 (18)

Resulta as que 21 > . Analizaremos despus este resultado.

De (10), (11) y (15) resulta (se puede realizar a V=cte o a Q=cte)

xx edDVe

dD

CQF

)1(21)1(

21 020

2

2

==

(19)

Es decir, es resulta una fuerza de atraccin sobre el dielctrico (como ocurre

experimentalmente)

Veamos ahora un capacitor sin y con dielctrico mantenido a potencial constante V0

(Figura 6). La energa potencial acumulada en el capacitor sin dielctrico ser

002

0 21 CVU = (20)

y con dielctrico de permitividad

relativa

002

02

21

21 CVCVU == (21)

Es decir, resulta 0U U> . La energa

potencial electrosttica del sistema

aument. Esto se debe a que se hizo

trabajo sobre el sistema. Quin hizo ese

trabajo? La batera, ya que es una fuente adicional de energa.

Y qu pas con la carga en las placas conductoras? De (8), (20) y (21)

1

2121

2

2'0

2

2'

0

2

2'

0 QQ

CC

QQ

CQC

Q

UU

==== (22)

De esta expresin es fcil deducir que

QQ =' (23)

Fig.6. Capacitor a V0 constante(a) con dielctrico (b)sin dielctrico

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8

O sea que aument la carga sobre la placa conductora al introducir el dielctrico. Este

resultado ser tambin analizado ms adelante.

3.2 Descripcin microscpica de los materiales dielctricos

Cuando Faraday descubri el comportamiento de los materiales dielctricos al colocarlos

entre las placas de un capacitor, no se conoca el modelo atmico como una agrupacin de

electrones y protones (el electrn se descubri en 1897). La teora atmica en ese entonces

provena de la Qumica (modelo de Dalton) donde cada tomo era una esfera maciza

indivisible.

El resultado experimental de Faraday era que la diferencia de potencial entre las placas

disminua al introducir el dielctrico entre placas cargadas y aisladas entre s, con lo que la

capacidad deba aumentar (por su definicin). Pero si el voltaje (diferencia de potencial) era

menor, como

=2

1

r

r

ldEV

(24)

el campo elctrico tena que haber disminuido aunque la carga sobre las placas no haba

cambiado. Cmo se explica este comportamiento? Sabemos de la Ley de Gauss que el flujo

del campo elctrico est directamente relacionado con la carga encerrada. Como el campo se

reduce, la carga encerrada en el volumen debe ser menor!! La Figura 1 nos da la pista para

hacer un modelo: el campo es menor pero no nulo; la nica posibilidad es que en la superficie

externa al conductor haya cargas de signo

opuesto como se muestra en la Fig.7. es

decir, el fenmeno se puede explicar

considerando que se induce una cierta

cantidad de carga en la superficie

interseccin entre el conductor y el

dielctrico. Se dice que existe una carga

inducida o carga de polarizacin, cuya densidad superficial est notada como p .

En el capacitor de placas plano-paralelas aislado (es decir se mantiene la carga constante con

densidad superficial L) de rea A y separacin entre placas d , habr una diferencia de

potencial entre las placas dada por

Fig.7. Carga inducida en un dielctrico

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9

dEV vaciovacio = (25)

dEV odielectricodielectric = (26)

00

PLquivalente

odielectricE+

==

De (5), (25) y (26)

1 L pdiel dielvacio vacio L

V EV E

+= = =

(27)

de lo que se deduce que la densidad superficial de carga de polarizacin est dada por

)11(

= PL (28)

Como >1, la densidad de carga superficial de polarizacin p resulta de distinto signo y

menor en mdulo que la densidad de carga en el conductor (que llamaremos de ahora en ms

densidad superficial de carga libre L).

Pero... cmo se genera esa distribucin de carga de

polarizacin? Un modelo atmico o molecular que

considerara que hay cargas positivas y negativas resulta

muy adecuado. Por qu? Pensemos en molculas en las

cuales el centro de cargas negativas no coincide con el de

negativas (ese tipo de molcula se llama polar). Como

modelo ms sencillo, sera un dipolo. Veamos primero las

caractersticas del campo elctrico generado por un

dipolo (para ms detalles, ver APENDICE).

Habamos calculado la expresin del campo

elctrico en todo el espacio:

( )( ) ( )

3 32 22 2

2 2 2 20

1 1 14

2 2

xE x, y,z q xx y z x y z

= + + + + +

(29)

q - q

y

z

q - q

y

z

Fig.8. Esquema de un dipolo

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10

( )( ) ( )

3 32 22 2

2 2 2 20

1 1 14

2 2

yE x, y,z q yx y z x y z

= + + + + +

(30)

( )( )

( )( )

( )3 3

2 22 22 2 2 20

1 2 24

2 2

z

z zE x, y,z q

x y z x y z

+ = + + + + +

(31)

Como existe simetra de revolucin alrededor del eje z, estudiaremos el campo en el plano yz

es decir, en 0x = . Resulta, entonces

( )0 0xE , y,z = (32)

( )( ) ( )

3 32 22 2

2 20

1 1 10

4 2 2

yE , y,z q yy z y z

= + + +

(33)

( )( )( )

( )( )

3 32 22 2

2 20

1 2 204

2 2

z

z zE , y,z q

y z y z

+ = + + +

(34)

y a lo largo del eje y (es decir, en 0z = ) el campo elctrico solamente tiene componente z ya

que

0)0,,0( =yEx (35)

0)0,,0( =yEy (36)

( )( )

32 2

20

10 0

4 2

zE , y, qy

= +

(37)

De (37) es fcil deducir que para puntos del espacio a lo largo de la mediatriz y alejados del

dipolo )( >>y el campo disminuye como 31 y . Por la simetra de revolucin el mismo

resultado corresponde a cualquier punto alejado del dipolo sobre el plano xy. Analicemos

ahora cul es la dependencia del campo con la distancia al dipolo cuando se considera un

punto sobre el eje z (es decir, x=y=0)

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11

( )( )( )

( )( )

3 32 22 2

2 20

1 2 204

2 2

z

z zE , y,z q

y z y z

+ = + + +

(38)

Como para z >>

)1(1

)2

1(

1

)2

(

12

222 zzz

zz

=

=

(39)

el campo elctrico resulta

( )3

0 0

1 1 20 0

4 4zE , ,z q q

z = = (40)

Es decir, el campo elctrico lejos del dipolo

vara como 31r y depende del producto q.

A este producto se lo denomina momento

dipolar. Se lo define como un vector en la

direccin de la recta que une a las cargas y

cuyo sentido es desde la carga negativa hacia

la positiva (sentido contrario a un campo

elctrico). As, en nuestro caso

( )xp q e=

(41)

Para qu definimos el momento dipolar? Por ahora y en FII, porque nos simplificar algunos

clculos. Por ejemplo... Qu ocurre cuando un dipolo rgido es puesto bajo la accin de un

campo elctrico uniforme?

Est claro que la fuerza total sobre el dipolo es nula. En consecuencia, el torque ser independiente del punto desde el cual se lo calcule.

Como

EpEqppFr extqqq

=== (42)

De lo cual se deduce que el dipolo tiende a orientarse de forma tal que la direccin y

sentido del momento dipolar p sea la del campo .extE

.

Fig.9. Torque sobre un dipolo

q

- q

extE

qF

qF

p

q

- q

extE

qF

qF

p

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12

Volvamos, entonces, al modelo atmico de cargas positivas y negativas. Si los

materiales dielctricos fueran dipolos (se dice que tienen un momento dipolar

permanente), al colocarlos en un campo elctrico externo (como el producido por un

capacitor) los dipolos se orientaran paralelos al campo elctrico externo. Entonces un modelo

de este tipo podra explicar el comportamiento de los capacitores con material dielctrico.

Cuando un material es colocado entre las placas de un capacitor, los dipolos pasan de tener

una distribucin al azar a una orientacin paralela al campo. el grado de paralelismo

depender del dielctrico, de la temperatura, de la magnitud del campo.

Pero sabemos que hay materiales no polares, es decir, materiales donde el centro de cargas

positivas coincide con el de negativas. Podemos pensar que el campo elctrico externo crea

una cierta separacin entre el centro de las cargas positivas y de las negativas; se habla de

momento dipolar inducido. Estos momentos tambin tienden a alinearse con el campo

elctrico externo. Como conclusin: tanto para molculas polares como no polares tendremos

momentos dipolares (permanente o inducido) y los materiales quedan polarizados en un

campo externo.

Parece razonable pensar que el momento dipolar inducido va a depender del valor del

campo elctrico externo. Es decir, un campo intenso desplazar al centro de cargas positivas y

negativas ms que uno leve. (Sin embargo, si el campo elctrico es muy intenso pueden

romperse las molculas y se podra transformar en un material conductor). Supongamos que

en un tomo o molcula hay cargas q y q, cuyos centros estn separados una distancia . El

momento dipolar de cada molcula ser, entonces, q. Si hay en promedio N molculas por

unidad de volumen con momento dipolar con la misma direccin y sentido, el momento

dipolar total por unidad de volumen ser,

NqP = (43)

Fig.10. a)Dielctrico desordenado, b)Ordenado en un campo,

c)Esquema macroscpico del campo.

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13

En general, P

variar de un punto a otro de un dielctrico homogneo. Pero valdr lo mismo

en todos los puntos dentro del dielctrico donde el campo externo sea el mismo. La constante

de proporcionalidad debera depender del material y2

extext EEcteP

0= (44)

En el caso del capacitor de placas plano-paralelas, P

ser

uniforme. Es decir, en cada unidad de volumen

tendremos N dipolos, no habr ninguna regin donde

haya ms cargas positivas que negativas y la densidad de

dipolos ser la misma en promedio. Qu ocurre en la

superficie del dielctrico? Los electrones se han

separado una distancia de los ncleos y, en

consecuencia queda una carga efectiva sobre la superficie del dielctrico: densidad

superficial de cargas de polarizacin. En el volumen V=A , hay N molculas por unidad de

volumen y en total NA molculas (dipolos), cada uno con

una carga sobre la superficie q. La densidad superficial de

carga ser PpNNqp

=== . En este caso el vector P

es perpendicular a las placas. De no serlo, la forma ms

general es

nPP= (45) (45)

siendo n la normal a la superficie del dielctrico (el sentido

de la n lo estudiaremos ms adelante).

Si P

es uniforme no habr ninguna regin del espacio donde

haya ms densidad de cargas positivas que negativas (ni la

inversa), es decir tendremos la misma densidad promedio (como en el capacitor de placas

plano paralelas). Por ejemplo, en la Figura 12 se muestra un capacitor esfrico (cscaras

2 Habr molculas orientadas en otras direcciones producto, por ejemplo, de la agitacin trmica lo que

da una orientacin al azar con momento dipolar nulo en promedio. Pero en presencia de un campo elctrico

habr una direccin preferencial y una cierta cantidad de molculas por unidad de volumen N que se alinearn

con el campo.

Figura 12

Q- + - + - +

- + - + - +

-+-+-+

- +- +

- +

-+-+

-+

-+-+-+-+

-+-+

- +- +

- +

QpQp-Q

Q- + - + - +- +- + - +- + - +- +

- + - + - +

- +- + - +- + - +- +

-+-+-+

-+ -+-+ -+-+ -+

- +- +

- +- +- +

- +- +- +- +

-+-+

-+-+ -+

-+ -+-+ -+

-+-+-+ -+-+-+-+-+-+-+

-+-+

-+-+-+-+

-+-+

- +- +

- +

- +- +- +- +

- +- +

QpQp-Q

Fig.12.Dipolos moleculares en una geometra esfrica

Fig.11. Dipolos moleculares

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14

conductoras con cargas Q y -Q) con un material dielctrico. El campo generado por Q es

radial, los dipolos se acomodarn en promedio como indica la figura, apareciendo una

densidad superficial de polarizacin en las superficies interior y exterior de la cscara

dielctrica (tener cuidado: las densidades de cargas de polarizacin son distintas en cada

superficie, lo que son iguales son las cantidades de carga positiva y negativa). La densidad de

cargas de polarizacin en el volumen es nula, es decir, si se toma un volumen, la cantidad de

lneas de P

que salen de ese volumen ser igual a la cantidad de lneas que entren.

Pero si P

no es uniforme, dependiendo de cmo sea el vector polarizacin puede haber zonas

donde haya ms acumulacin de cargas positivas que negativas (o viceversa). En este caso,

como la densidad volumtrica de cargas de polarizacin no es nula, si se toma un volumen, la

cantidad de lneas de P

que salen de ese volumen ser distinta a la cantidad de lneas que

entren. Es por eso que se tiene

onpolarizaciP =

(46)

El signo negativo proviene de la definicin del momento dipolar (su sentido es de a +).

Veremos ms adelante (seccin 3.6) algunos ejemplos donde la densidad volumtrica de

carga de polarizacin es nula a pesar de que P

no es uniforme.

3.3 Ecuaciones electrostticas en presencia de dielctricos

Cuando estudiamos distribuciones de carga en el vaco, a partir del Teorema de la

divergencia, obtuvimos que

0

= E

(47)

Ahora, en presencia de dielctricos corresponder considerar TODA la carga: la libre y la

de polarizacin (recordar Fig.7 y ec.(26)), es decir, onpolarizacilibre += . En consecuencia

0 0

libre polarizacion libre PE

+ = =

(48)

De (48)

0 0

( ) libreP

E

+ =

(49)

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15

Pero, para la mayora de los materiales (lineales e istropos) 0ext extP cte E E =

(ver

ec.(44)), y

00 0 0

( ) ( ) (1 ) libreP E

E E E

+ = + = + =

(50)

Por razones histricas, se defini como vector desplazamiento elctrico D

como

PED

+= 0 (51)

En el caso de cumplirse la relacin (44) tendremos (ver Nota al pie 1)

EEEPD r

0000 )1( ==+=+= (51)

donde definiremos como constante dielctrica a 0 r . Entonces, para medios lineales e

istropos valdr

ED

= (52)

De (49) y (51) se obtiene

libreD =

(53)

Si bien hemos deducido la ec.(53) a partir de materiales dielctricos istropos, lineales y

homogneos, esta ecuacin es una de las ecuaciones ms generales del Electromagnetismo. Es

por ello que la ec.(53), llamada Ley de Gauss Generalizada es una de las Ecuaciones de Maxwell (en forma diferencial), vlida para todo tipo de materiales en condiciones

electrostticas o electrodinmicas (incluso en situaciones relativistas). La forma integral de la

Ley de Gauss Generalizada resulta, entonces,

==S vol

libreSporencerradalibre dVqsdD

(54)

La otra ley (la de irrotacionalidad del campo elctrico o, dicho de otra forma, que es

conservativo) sigue valiendo en condiciones electrostticas cuando hay materiales, es decir,

en forma diferencial se tiene que

0= E

(55)

y escrita en forma integral

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16

0=C

ldE

(56)

Aclaracin:

dVrrrr

rdVrEV

)'('

)'(4

1)( 30

=

Si estamos en condiciones electrostticas, la Ley de Coulomb sigue valiendo

pero ( )r ' debe ser la densidad de carga TOTAL (libre

ms inducida). Si los medios son lineales e istropos, como ED

= , resulta LTr

= y

dVrrrrrrD

V

libre )'('

)(41)( 3

'

=

3.4 Condiciones de frontera, de contorno o de borde

Las dos ecuaciones diferenciales (53) y (55) y las dos integrales (54) y (56) no son

tiles solamente para determinar los campos elctricos generados por distribuciones de carga

conocidas, sino que permiten establecer algunas propiedades de los campos a ambos lados de

una interfaz formada por dos medios de propiedades dielctricas conocidas. Supongamos que

tenemos dos medios dielctricos de constantes dielctricas 1 y 2 tal que en la interfaz

(superficie de separacin) hay una densidad de carga libre (superficial) dada por L (Figura

13). Tomemos un cilindro de altura h mucho menor que su radio R, es decir, 0h ms

rpidamente que su radio. Si aplicamos la Ley de Gauss Generalizada, tomando como

superficie cerrada al cilindro, tendremos

1 2

Libre encerrada en SS A A Sup

lateral

D.dS q D.dS D.dS D.dS= = + +

(57)

Si se hace tender a cero la altura h (es decir, tomamos un volumen infinitesimal alrededor

de la interfaz) podremos considerar que el campo sobre la interfaz es uniforme y vale 1D

(con

cualquier direccin y sentido), debajo de la interfaz vale 2D

(con cualquier direccin y

sentido) y en la superficie lateral tendr otro valor latD

(con cualquier direccin y sentido).

Consecuentemente

1 2

2

1 1 1 1 2 2

22 2

1 1 2 2 1

2

2

h

lat rhS A A

r

D dS D n dS D n dS D e Rdl

D n R D n R D e Rh

= + + =

= + +

(58)

FISICA II (2008; v.2014)


17

El tercer trmino del tercer miembro tender ms rpidamente a cero que los dos primeros y,

para un cilindro infinitesimal, valdr

222112

222

11 )( RnDnDRnDRnDSdDS

+=+= (59)

En consecuencia, de (57) y (59)

212

2211 )( RRnDnDSdDS

=+=

(60)

Como nnn == 21 , resulta de (60)

LnDD =)( 12 (61)

As, si en una superficie de discontinuidad no hay carga LIBRE, la componente normal del

Vector desplazamiento tiene el mismo valor de un lado que del otro. Se dice que se conserva.

Si, en cambio, hay una densidad superficial de carga LIBRE, la situacin ser la de la Figura

14a).

Es decir, nos ser til esta condicin si sabemos que no hay carga LIBRE SUPERFICIAL

porque si sabemos cunto vale el vector desplazamiento a un lado, ya sabremos cunto vale

una componente del otro lado. Y mucho mejor sera si el vector desplazamiento tuviera

solamente una componente normal a la interfaz!!. Bueno, nos ocurrir muchas veces.... Y lo

interesante es que si estamos considerando medios istropos, lineales y homogneos, y el

1dA

2dA

dl1

2

1n

2n

Medio dielctrico1

Medio dielctrico 2

L

1dA

2dA

dl1

2

1n

2n

Medio dielctrico1

Medio dielctrico 2

L

Figura 13 Fig.13. Condiciones de borde entre dielctricos

FISICA II (2008; v.2014)


18

vector desplazamiento tiene solamente componente normal a la interfaz, como 1 2D D= de la

ec.(52) deducimos que en la interfaz el campo elctrico solamente tendr componente normal

y estar relacionado por 1 1 2 2E E = . Es decir con slo tener 1D y las constantes dielctricas

sabremos cunto vale el campo elctrico a cada lado de la interfaz.

Pero esto no es todo. Ahora veamos si podemos determinar alguna otra propiedad, pero esta

vez de la irrotacionalidad del campo elctrico. Tomemos una curva cerrada como la de la

Figura 13 (donde la altura h tiende a cero ms rpidamente que las longitudes de la curva

paralelas a la interfaz. Calculemos la circulacin del campo elctrico (ver ec.(56))

)())0 2tan21tan1221121

tlEtlEldEldEldE ggllC

+=+== (62)

donde t

es un versor tangencial a la superficie en la direccin de la curva. De la ec. (62) se

deduce que

gg EE tan2tan1 )) = (63)

lo que significa que la componente tangencial del campo elctrico en condiciones

electrostticas no cambia (ni en mdulo ni en sentido) en una interfaz. Dicho de otro modo, la

componente tangencial es continua. Esto est esquematizado en la Fig.14b), ya que la

componente tangencial de E

cuando la normal a la interfaz es el versor x se escribe E x

.

1

2

x

2E

1E

x

2E

x

1E

xx

= 2EE1

L

1

2

x

1D

2D

xx

= 12 DD

L

L

1

2

x

2E

1E

x

2E

x

1E

xx

= 2EE1

L

1

2

x

2E

2E

1E

1E

x

2E x

2E

x

1E x

1E

xx

= 2EE1 xx

= 2EE1

L

1

2

x

1D

2D

xx

= 12 DD

L

L

1

2

x

1D

1D

2D

2D

xx

= 12 DD

L

L

Figura 14

a) b)

Fig.14.a) Condicin para D normal b) para E tangencial a la interfaz

FISICA II (2008; v.2014)


19

3.5 Buscando la normal adecuada...

Por un lado, tenemos la relacin general entre los vectores desplazamiento elctrico D

,

campo elctrico E

y polarizacin elctrica P

(ec. (51))

PED

+= 0 (64)

Veamos qu obtenemos si tomamos la divergencia de (64)

0D E P = +

(65)

El miembro de la izquierda de (65) corresponde a LibreD =

, el primer trmino del

segundo miembro 0

E

=

y el segundo polarizacionP =

, es decir, obtenemos

onpolarizaciLibre += (66)

Ahora hagamos el producto es escalar con la normal a una superficie n (despus discutiremos

qu es esta normal)

nPnEnD

+= .0 (67)

El primer miembro est relacionado con L , el primer trmino del segundo miembro con la

densidad superficial total de carga y el segundo con p , es decir

PLT += (68)

Como

LnDD =

)( 12 (69)

Si 1 0 1 1D E P= +

y 2 0 2 2D E P= +

tendremos que

PTLnPPnEnDD ==+=

)()()( 1212012 (70)

As el primer trmino del segundo miembro se podr relacionar con la densidad superficial

total de carga y el segundo con la de polarizacin.

PnPP =

)( 12 (71)

Qu significa? Veamos ahora algunos casos particulares en interfaces dielctrico-conductor

y dielctrico-dielctrico para ver cmo usar la condicin de contorno (69) y la deducida (70).

FISICA II (2008; v.2014)


20

3.6 Aplicaciones

3.6.1 Ejemplo 1

Consideremos que tenemos una distribucin

esfrica de carga , pero no en el vaco sino

distribuida uniformemente en un cuerpo de material

dielctrico de constante dielctrica (de forma

esfrica). Este cuerpo est en el vaco. Queremos

determinar el campo elctrico en todo el espacio.

Como siempre, dibujamos un sistema de coordenadas

(aunque es indistinto por ahora usar terna derecha o

izquierda debemos acostumbrarnos a usar terna

derecha porque cuando estudiemos el campo

magntico no ser lo mismo una que otra). Como siempre plantearemos el problema viendo si

podemos resolverlo a travs de la Ley de Gauss y no a travs de la Ley de Coulomb

generalizada para medios dielctricos.

Recordemos: debemos encontrar una superficie cerrada donde podamos conocer la direccin

del campo y que es constante sobre ella. De esta manera, si conocemos la carga encerrada,

podremos calcular el campo a travs de la Ley de Gauss. Pero, podemos usar la Ley de

Gauss? O debemos usar la Ley de Gauss generalizada? Si quisiramos usar la Ley de Gauss

(la del campo elctrico) deberamos conocer no solamente las cargas libres (las que estn

puestas) sino tambin las de polarizacin porque la expresin que corresponde es

==S SV

totalSporenctotal dV

qSdE

)(00

. 1

En principio, el campo y el vector desplazamiento podran depender de las tres coordenadas

(usaremos esfricas) y tener tres componentes (tambin usaremos las esfricas). Pero,

haciendo los mismos razonamientos que hacamos cuando no haba medio material (una

distribucin esfrica de carga con densidad volumtrica uniforme), el campo no puede

depender de ni de . Tampoco puede tener componentes ni (ver Captulo I). Tanto E

como D

solamente pueden tener componente radial y podran depender nicamente de la

coordenada r. En consecuencia, si tomamos como superficie para aplicar la Ley de Gauss

x

y

z

R

0 r

n e

x

y

z

R

0 r

n e

Fig.16. Distribucin esfrica de densidad de carga uniforme

FISICA II (2008; v.2014)


21

Generalizada una esfera de radio r centrada en el origen de coordenadas de la Fig.15,

tendremos la seguridad que en todos los puntos de la superficie de la esfera del vector

desplazamiento tendr el mismo mdulo y ser paralelo a la normal a la superficie.

Si bien podramos saber cualitativamente cmo se acomodan las cargas de polarizacin, no lo

sabemos cuantitativamente. Cmo lo podemos saber? Cualitativamente podemos pensar que

si es uniforme y positivo, las cargas positivas de las molculas sern repelidas y, en

consecuencia, tratan de irse lo ms lejos posible de la esfera cargada positivamente y, las

negativas son atradas. Pero, como no es un material conductor (es decir, los electrones no

pueden moverse libremente, no se independizan las cargas positivas de las negativas) ni las

cargas pueden escaparse de la esfera, habr una densidad neta positiva de carga en la

superficie de la misma.

Pasemos al clculo y comprobemos nuestro razonamiento.

Consideraremos la zona I (interior a la esfera; rR) y usemos

ec.(54)

Zona I

==S SV

libreSporenclibre dVqSdD)(

.

donde S ser una esfera de radio r concntrica a la distribucin de cargas. La carga libre

encerrada en dicha superficie ser la parte proporcional de carga que corresponda, es decir, 3

343 3encerrada

rq r Q

R = = (siendo Q la carga total libre en la esfera) porque es uniforme

(Cul sera si dependiera de r? Se podra calcular el vector desplazamiento a travs de la

Ley de Gauss generalizada?). Sobre la superficie de la esfera ( ) rD D r e=

y

( )3

2

34

S

rD.dS D r r Q

R= =

de lo que se deduce que ( )34

Q rD r

R= para rR, la carga encerrada ser Q y

( )2

14Q

D rr

=

Como la constante dielctrica del material es y la de afuera es 0 y como D E=

FISICA II (2008; v.2014)


22

>

R hay vaco y, por lo tanto, no hay molculas. Tambin vemos que, la

componente normal del vector desplazamiento se conserva en la interfaz (lo que est bien

porque no hay carga superficial libre en ella). Es decir, de (61) se obtiene

0)( 12 == LreDD

Cunto vale la densidad superficial de carga de polarizacin? Qu normal tomamos? La

exterior o la interior? La respuesta es la exterior (aunque deberemos tener cuidado si en lugar

de vaco hay otro material) Entonces

) 014

02 >

== =

RQeP Rrrp

Cunto vale la densidad volumtrica de cargas de polarizacin en el dielctrico? Como en

coordenadas esfricas, para vectores que solamente dependen de la coordenada r, la

divergencia est dada por

( )2

2

1 rr AAr r

=

a partir de la expresin para vector polarizacin, se tiene

x

y

z

R

0 r

n e

- +-+

- +

-+

x

y

z

R

0 r

n e

- +- +-+-+

- +- +

-+ -+

Fig.16. Dipolos en una geometra esfrica

FISICA II (2008; v.2014)


23

2 03

02 3

11 4 14

3

polarizacion

Q rrQRP

r r R

= = =

con lo que la densidad volumtrica de carga de polarizacin resulta negativa e,

independientemente de la superficie cerrada que se tome, la cantidad de lneas de P que entran

es mayor que la cantidad que salen. El resultado de sumar las cargas superficiales

(multiplicando p por la superficie de la esfera dielctrica) y las volumtricas (integrando la

polarizacion en el volumen de la esfera), es cero (lo que es acorde al postulado inicial). Y la

carga total corresponder a la carga libre (la integral de en el volumen).

3.6.2 Conductor cargado-dielctrico descargado-vaco

Consideremos un conductor esfrico de radio R1 cargado con una carga Q (es decir, con

214 R

QL

= ).

Si L es positivo, los dipolos permanentes o inducido se acomodarn de forma tal que

aparecer una densidad superficial de carga inducida

negativa 1 en R1 (del lado del dielctrico) y otra

positiva 2 en R2 (del lado del dielctrico). En el

vaco no hay materia y no habr nada que se

polarice.

Resolvamos analticamente. A partir de la Ley de

Gauss generalizada y teniendo en cuenta la simetra

del problema (ya discutida ampliamente en el apunte

de Electrosttica), se obtiene

>=

>>=

=

>>=

>>

=

,. Si 1 es el conductor y 2 el dielctrico, 1 0D =

y

2D

tiene SENTIDO re . Entonces la normal debe tener el sentido de re

para que 0L > (es

decir, es la normal exterior a la superficie esfrica). Como 1 1 1 0D E P= = =

, de (70) resulta

que en la interfaz

01 0211

>

====

LRrRrP nP

Qu significa que 1

0P r R = > ? Como el signo haba sido puesto (de prepo) en ec.(26), se

debe interpretar que la densidad superficial de polarizacin en R1 es negativa (como se haba

deducido conceptualmente). En la segunda interfaz (es decir en la interfaz dielctrico-

vaco), tendremos 02 =P

aunque 022 = ED

y

01 022

21

122

FISICA II (2008; v.2014)


25

012

2

210

2 =

==r

rrR

rP

L

onpolarizaci

A partir de las densidades superficiales de carga de polarizacin en el material dielctrico, es

fcil deducir fcilmente que la carga total de polarizacin es nula (lo que es coherente con los

postulados iniciales sobre el concepto de polarizacin).

3.6.3 Conductor cargado dielctrico descargado-dielctrico descargado-vaco

La resolucin de este problema es anloga a la del problema anterior en cuanto a la obtencin

de los campos elctricos, vectores desplazamiento y vectores polarizacin. El problema que

aqu se presenta es que, en principio, podramos decir que en R1 (en el dielctrico), la

densidad de carga superficial de polarizacin ser negativa si 0L > , en R2 (pero dentro del

dielctrico 1) la carga superficial de polarizacin ser positiva; en R2 (pero dentro del

dielctrico 2) la carga superficial de polarizacin ser negativa; y en R3 (pero dentro del

dielctrico 3) la carga superficial de polarizacin

ser positiva; y en R3 (pero en el vaco) la carga

superficial de polarizacin ser nula.

Pero cmo ser la densidad de carga neta de

polarizacin en R2? Positiva o negativa?

En este caso deberemos aplicar con cuidado (71).

Si tomamos como n a re , 1P

corresponder al

vector polarizacin en el medio con constante

dielctrica 1 y 2P

corresponder al vector

polarizacin en el medio con constante dielctrica

2 .

Fig.18. Conductor cargado, dielctrico descargado-dielctrico

descargado-vaco

FISICA II (2008; v.2014)


26

Tendremos

>=

>>=

>>=

=

>>=

>>=

>>

=

>>

=

> yL resulta 0

FISICA II (2008; v.2014)


27

APENDICE: Dipolo puntual

Un dipolo elctrico puntual consiste en un par de cargas puntuales de la misma

magnitud q y distinto signo, separadas una distancia que llamaremos (usualmente se

considera pequea aunque no sepamos bien qu es para nosotros pequea por ahora). A

esta distribucin de cargas se la llama tambin "electrete".

Por qu puede ser de inters dedicarle tiempo a un dipolo elctrico? Porque sirve para

explicar cmo se comportan los materiales cuando estn inmersos en campos elctricos

estticos. Por otra parte, si un dipolo oscila en el tiempo podremos tener una antena. Pero esto

es mucho ms complicado y no est dentro de los alcances de esta materia.

Cuando se calcula el campo producido por un conjunto de cargas discretas, el

problema que se les presenta (despus de comprender qu significa el Principio de

Superposicin) es ms geomtrico y

algebraico que conceptual. La situacin en

este caso sera la siguiente: dos cargas q y -q

separadas una cierta distancia generan

campo elctrico en todos los puntos del

espacio, que, en forma genrica, designamos

con la letra A. Parece muy sencillo escribir el campo generado por ambas cargas, ya que

sabemos cul es el campo generado en todo el espacio por una carga puntual q1 si la carga

est ubicada en el origen de coordenadas

( ) 1 13 20 0

1 14 4

rerE r q qr r

= =

donde re

es el versor radial en coordenadas esfricas (es decir, une el origen de

coordenadas con el punto donde se est calculando el campo). As tendremos que el campo

elctrico generado en el punto A por las cargas q y q ser

( ) 3 20 0

1 14 4

qrqq q

q q

erE r q q

r r = =

y ( ) ( ) ( )3 2

0 0

1 14 4

qrqq q

q q

erE r q q

r r

= =

respectivamente.

-q

q

A

xq

zq

yqx-q

z-q

y-q

qr

qr

X

FISICA II (2008; v.2014)


28

El campo elctrico total podramos escribirlo como

( ) ( )2 20 0

1 14 4

q qr rT

q q

e eE A q q

r r

= +

Observen que puse A porque no podra haber puesto ni qr

ni qr

porque se miden

desde lugares diferentes. Como siempre debemos

elegir un sistema de coordenadas comn a ambas

cargas para que el punto A est caracterizado por

solo 3 coordenadas. Lo primero que hay que

observar es que el sistema tiene simetra de

revolucin alrededor del eje que une a las cargas.

De esta manera, resolviendo el problema en un

plano, fcilmente se podr extender a todo el

espacio. Ya que esto corresponde a lo que se llama

simetra cilndrica, elegiremos el eje de

coordenadas z coincidente con el eje de simetra. Si, adems, el origen del sistema de

coordenadas se pone a mitad de distancia de las cargas, la expresin del campo va a resultar

muy simtrica. Pero no es imprescindible.

Escribamos el campo generado por cada carga en cualquier punto del plano yz

(Observar que las dos figuras se pueden relacionar por

q q q qr r r r r = + = +

( )( ) ( )

( )( )

( )3 3 3

2 22 22 20 0 0

1 1 12 204 4 4

2 2

y z z y zqq

q

ye ze e ye z er r E , y,z q q q

r r y z y z

+ + += = =

+ + + +

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )3 3 3

2 22 22 20 0 0

1 12 204 4 4

2 2

y z z y zqq

q

ye ze e ye z er r qE , y,z q q

r r y z y z

+ + + = = =

+ +

En consecuencia el campo generado por el dipolo en el plano yz resulta

q - q

y

z

q - q

y

z

XA

r

qr qr

FISICA II (2008; v.2014)


29

( )( )

( )( )

( )3 3

2 22 22 20

1 2 204

2 2

y z y zye z e ye z eE , y,z q

y z y z

+ + + = + + +

Si queremos extenderlo a todo el espacio se puede pensar de dos maneras:

La coordenada x juega el mismo papel que la y por lo que

( )( )

( )( )

( )3 3

2 22 22 2 2 20

1 2 24

2 2

x y z x y zxe ye z e xe ye z eE x, y,z q

x y z x y z

+ + + + + = + + + + +

Conviene escribir las componentes cartesianas del campo para poder observar mejor la

dependencia con las coordenadas

( )( ) ( )

3 32 22 2

2 2 2 20

1 1 14

2 2

xE x, y,z q xx y z x y z

= + + + + +

( )( ) ( )

3 32 22 2

2 2 2 20

1 1 14

2 2

yE x, y,z q yx y z x y z

= + + + + +

( )( )

( )( )

( )3 3

2 22 22 2 2 20

1 2 24

2 2

z

z zE x, y,z q

x y z x y z

+ = + + + + +

Para pasar del plano yz a todo el espacio, se puede transformar la coordenada y en la

radial de cilndricas de nuestro sistema de coordenadas. Es decir, pasamos de

( )( )

( )( )

( )3 3

2 22 22 20

1 2 204

2 2

y z y zye z e ye z eE , y,z q

y z y z

+ + + = + + +

a

FISICA II (2008; v.2014)


30

( )( )

( )( )

( )3 3

2 22 22 20

1 2 24

2 2

ze z e e z eE ,z q

z z

+ + + = + + +

Ahora vamos a tratar de estudiar el comportamiento del campo elctrico para ver si

podemos hacer un esquema cualitativo de las lneas de campo (Recuerden que el campo

elctrico en un punto del espacio es tangente a la lnea de campo en ese punto). Como existe

simetra de revolucin alrededor del eje z, estudiaremos el campo en el plano yz i.e. en 0x = .

Resulta, entonces

( )0 0xE , y,z =

( )( ) ( )

3 32 22 2

2 20

1 1 10

4 2 2

yE , y,z q yy z y z

= + + +

( )( )( )

( )( )

3 32 22 2

2 20

1 2 204

2 2

z

z zE , y,z q

y z y z

+ = + + +

q - q

y

z

q - q

y

z

A

r

qE

qE

E

z

FISICA II (2008; v.2014)


31

Es decir, el campo elctrico en un punto del plano solo tiene componentes en el plano

(determinado por las cargas y el punto). Determinar los valores del campo en distintos puntos

es una tarea sencilla. No as dibujar las lneas de campo. Por suerte, hay programas que lo

pueden hacer (algunos solo aproximadamente como el FEMM).

En particular, a lo largo del eje y (i.e. en x= 0z = ) el campo elctrico solamente tiene

componente z ya que

( )0 0 0xE , y, = ( )0 0 0yE , y, =

( )( )

32 2

20

10 0

4 2

zE , y, qy

= +

Sobre el eje z, vale y=0 por lo que el campo tiene solo componente z

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

3 3 3 32 22 2

0 0

2 20

1 12 2 2 20 0 4 4 2 22 2

1 2 2 4

2 2

z

z z z zE , ,z q q

z zz z

sgn z sgn zq

z z

+ + = = =

+ +

+ = +

Analicemos qu pasa para las 3 zonas. Si 2z >

, ( ) 2sgn z + y ( ) 2sgn z son

positivos, por lo que 0zE < . Si 2z <

, ( ) 2sgn z + y ( ) 2sgn z son negativos y 0zE <

(probarlo). Si 2 2z > >

, 0zE > (probarlo). Hint: consideren 32

z = y

0,4

z = .

FISICA II (2008; v.2014)


32

De estas expresiones es fcil deducir que para puntos del espacio a lo largo de la

mediatriz y alejados del dipolo (i.e. y >> ) el campo disminuye como 3

1y . Por la simetra

de revolucin el mismo resultado corresponde a cualquier punto alejado del dipolo sobre el

plano xy. Analicemos ahora cul es la dependencia del campo con la

distancia al dipolo cuando se considera un punto sobre el eje z (i.e. x=y=0)

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )3 3 2 2

2 22 20 0

1 1 1 12 20 0 4 4 2 22 2

z

z zE , ,z q q

z zz z

+ = =

+ +

Como para z >>

( ) ( )( )2 2 22

1 1 1 1 12 2

zzz z z

=

el campo elctrico resulta

( )3

0

1 20 04

zE , , z qz

=

Es decir, que alejndonos del dipolo a lo largo de los ejes x, y o z el campo elctrico

tiene una dependencia de la inversa del cubo de la distancia. Por supuesto si nos alejamos ms

(lmite para distancia tendiendo a infinito) el campo tiende a cero (lo que es lgico ya que

desde lejos las dos cargas se ve como una carga nula).

El hacer un clculo ms formal requiere de algunos conocimientos de geometra y

recordar ciertas aproximaciones que usaron en Interferencia (experiencia de Young, la doble

rendija)

En el esquema, si el punto donde se

calcular el campo elctrico o la diferencia de

potencial respecto de otro punto est muy alejado

de ambas cargas, la distancia 1 2r r se puede

P

A

FISICA II (2008; v.2014)


33

aproximar a la distancia entre la carga q y el punto P.

Es decir, 1 2cos r r

= . La diferencia de potencial respecto del infinito3

2 12

0 1 2 0 1 2 0

1 1 cos4 4 4

r rq q qVr r r r r

= =

, se puede

escribir como

Como

3 30

30

1 2 cos sin4

1 2cos sin4

r r

r

V V qE V e e e er r r r

q e er

= = = + =

= +

Es decir, el campo elctrico lejos del dipolo vara como 31r y depende del producto

q. A este producto se lo denomina momento dipolar elctrico. Se lo define como un vector

en la direccin de la recta que une a las cargas y cuyo sentido es desde la carga negativa hacia

la positiva (sentido contrario a un campo elctrico). As, en nuestro caso

( ) zp q e=

3 Ver Captulo 1

Captulo 3: Los Dielctricos3.1 Introduccin3.2 Descripcin microscpica de los materiales dielctricosParece razonable pensar que el momento dipolar inducido va a depender del valor del campo elctrico externo. Es decir, un campo intenso desplazar al centro de cargas positivas y negativas ms que uno leve. (Sin embargo, si el campo elctrico es muy i...Fig.11. Dipolos moleculares3.3 Ecuaciones electrostticas en presencia de dielctricos3.4 Condiciones de frontera, de contorno o de bordeFigura 143.5 Buscando la normal adecuada...3.6 Aplicaciones3.6.1 Ejemplo 13.6.2 Conductor cargado-dielctrico descargado-vaco3.6.3 Conductor cargado dielctrico descargado-dielctrico descargado-vaco

APENDICE: Dipolo puntual

capitulo 3 dielectricos

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