21Casi todas las fuerzas que actan sobre este esquiador son elctricas. Las interacciones elctricas entre molculas adyacentes dan origen a la fuerza del agua sobre el esqu, a la tensin de la cuerda de remolque y a la resistencia del aire sobre el cuerpo del esquiador. Las interacciones elctricas tambin conservan la integridad del cuerpo del esquiador! Slo una fuerza enteramente no elctrica acta sobre el esquiador: la fuerza de gravedad. El agua hace posible la vida: las clulas de nuestro cuerpo no podran funcionar sin las molculas disueltas en el agua del interior de las clulas. Qu propiedades elctricas del agua hacen de ella un disolvente tan bueno?

carga elctrica y campo elctricO

n el captulo 5 del volumen 1 mencionamos brevemente los cuatro tipos de fuerzas fundamentales. Hasta aqu la nica de estas fuerzas que hemos examinado con algn detenimiento es la fuerza de gravedad. Ahora que conocemos mejor los conceptos bsicos de la fsica, entre ellos el comportamiento de las ondas y las reglas de transferencia de energa, estamos en condiciones de investigar las propiedades de otras fuerzas. Con mucho, la ms comn de estas fuerzas en nuestra vida diaria es el electromagnetismo que abarca tanto la fuerza elctrica como la fuerza magntica. Nuestra exploracin de los fenmenos electromagnticos ocupar nuestra atencin durante la mayor parte de lo que resta de este libro. En las interacciones electromagnticas intervienen partculas que tienen una propiedad conocida como carga elctrica, un atributo tan fundamental como la masa. As como los objetos con masa son acelerados por las fuerzas gravitatorias, los objetos con carga elctrica son acelerados por las fuerzas elctricas. La molesta chispa elctrica que sentimos cuando frotamos los zapatos sobre una alfombra y luego tomamos la perilla metlica de una puerta se debe a que saltan partculas con carga entre los dedos y la perilla de la puerta. (Un rayo es un fenmeno similar en una escala muchsimo mayor). Las corrientes elctricas, como las que hay en una linterna de mano, un reproductor porttil de CD o un televisor, son simplemente torrentes de partculas con carga que fluyen dentro de alambres en respuesta a fuerzas elctricas. Incluso las fuerzas que mantienen unidos los tomos para formar materia slida, y que impiden que los tomos de los objetos slidos pasen unos a travs de otros, se deben fundamentalmente a interacciones elctricas entre las partculas con carga del interior de los tomos.

E

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21.1 | Carga elctrica

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Iniciaremos el estudio del electromagnetismo en este captulo examinando la naturaleza de la carga elctrica. Descubriremos que la carga elctrica est cuantizada y que obedece un principio de conservacin. Despus analizaremos las interacciones de las cargas elctricas que se hallan en reposo en nuestro marco de referencia, conocidas como interacciones electrostticas. Estas interacciones tienen una importancia considerable en qumica y en biologa, as como numerosas aplicaciones tecnolgicas. Las interacciones electrostticas estn gobernadas por una sencilla relacin que se conoce como la ley de Coulomb, y se describen del modo ms conveniente mediante el concepto de campo elctrico. Exploraremos todos estos conceptos en este captulo, y abundaremos en ellos en los tres captulos siguientes. En los captulos subsiguientes ampliaremos nuestro estudio a fin de incluir las cargas elctricas en movimiento. Con esto podremos comprender el magnetismo y, sorprendentemente, la naturaleza de la luz. Si bien las ideas fundamentales del electromagnetismo son conceptualmente simples, su aplicacin a problemas prcticos exige recurrir a muchas de nuestras destrezas matemticas, en especial a nuestros conocimientos de geometra y de clculo integral. Por esta razn, es probable que este captulo, as como los que siguen, resulten para usted ms difciles en trminos matemticos que los anteriores. La recompensa por el esfuerzo adicional ser una comprensin ms profunda de los principios que yacen en el corazn de la fsica y la tecnologa modernas.

21.1 | Carga elctricaLos antiguos griegos descubrieron, ya en 600 A.C., que cuando frotaban mbar con lana, el mbar atraa otros objetos. Hoy en da decimos que el mbar ha adquirido una carga elctrica neta, esto es, que se ha cargado. La palabra elctrica se deriva de la palabra griega elektron, que significa mbar. Cuando frotamos los zapatos sobre una alfombra de nylon, adquirimos una carga elctrica, y tambin podemos cargar un peine hacindolo pasar a travs de cabello seco. Las barras de plstico y la piel (real o sinttica) resultan particularmente eficaces para demostrar algunos fenmenos relacionados con la electrosttica, esto es, las interacciones entre cargas elctricas que estn en reposo (o casi). La figura 21.1a

21.1 Experimentos de electrosttica. (a, b) Las barras de plstico frotadas con piel adquieren carga negativa y se repelen mutuamente. (c, d) Las barras de vidrio frotadas con seda adquieren carga positiva y se repelen mutuamente. (e, f) Los objetos con carga positiva y los objetos con carga negativa se atraen mutuamente.

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muestra dos barras de plstico y un trozo de piel. Despus de cargar cada barra frotndola contra el trozo de piel, encontramos que las barras se repelen mutuamente (Fig. 21.1b). Al frotar barras de vidrio (Fig. 21.1c) con seda, las barras de vidrio tambin adquieren carga elctrica y se repelen mutuamente (Fig. 21.1d). Pero una barra de plstico con carga atrae a una barra de vidrio con carga (Fig. 21.1e). Ms an, la barra de plstico y la piel se atraen mutuamente, al igual que la barra de vidrio y la seda (Fig. 21.1f). Estos experimentos, y muchos otros parecidos a stos, han mostrado que hay exactamente dos tipos de carga elctrica: la que tiene la barra de plstico que se frot contra la piel y la que hay en la barra de vidrio que se frot contra la seda. Benjamn Franklin (17061790) sugiri llamar a estas dos clases de carga negativa y positiva, respectivamente, y estos nombres se siguen empleando hoy en da. La barra de plstico y la seda tienen carga negativa; la barra de vidrio y la piel tienen carga positiva. Dos cargas positivas o dos cargas negativas se repelen mutuamente. Una carga positiva y una carga negativa se atraen una a la otra.CUIDADO La atraccin y la repulsin de dos objetos con carga se resume en ocasiones como las cargas del mismo tipo se repelen, y las cargas opuestas se atraen. Pero no debemos olvidar que la frase cargas del mismo tipo no significa que las dos cargas son exactamente idnticas, sino slo que ambas tienen el mismo signo algebraico (ambas positivo o ambas negativo). Cargas opuestas significa que los dos objetos tienen carga elctrica, y que sus cargas tienen signos diferentes (uno positivo y el otro negativo).

Una aplicacin tecnolgica de las fuerzas entre cuerpos con carga elctrica se da en la impresora lser (Fig. 21.2). Inicialmente, se proporciona carga positiva al tambor formador de imgenes y sensible a la luz de la impresora. Conforme gira el tambor, un rayo lser ilumina ciertas reas del tambor y las deja con carga ne-

21.2 Diagrama esquemtico del funcionamiento de una impresora lser.

21.1 | Carga elctrica

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gativa. Las partculas con carga positiva del tner se adhieren slo a las reas del tambor escritas por el lser. Cuando se pone una hoja de papel en contacto con el tambor, las partculas de tner se adhieren al papel y forman una imagen.

Carga elctrica y estructura de la materiaCuando se carga una barra frotndola con piel o con seda, como en la figura 21.1, no hay cambio visible alguno en la apariencia de la barra. En consecuencia, qu es lo que en realidad le ocurre a la barra cuando se carga? Para responder a esta pregunta, antes es necesario examinar con detenimiento la estructura y las propiedades elctricas de los tomos, los componentes bsicos de la materia ordinaria de toda clase. La estructura de los tomos se puede describir en trminos de tres partculas: el electrn, con carga negativa (Fig. 21.3), el protn, con carga positiva, y el neutrn que no tiene carga. El protn y el neutrn son combinaciones de otras entidades llamadas quarks, que tienen cargas equivalentes a 61 y 62 de la carga del electrn. 3 3 No se han observado quarks aislados, y existen razones tericas para pensar que, en principio, es imposible observar un quark solo. Los protones y neutrones de un tomo constituyen un centro pequeo y muy denso llamado ncleo, con dimensiones del orden de 1015 m. Alrededor del ncleo estn los electrones, que se despliegan hasta distancias del orden de 1010 m con respecto al ncleo. Si un tomo tuviera un dimetro de unos pocos kilmetros, su ncleo sera del tamao de una pelota de tenis. Los electrones con carga negativa son retenidos dentro del tomo por las fuerzas elctricas de atraccin que ejerce sobre ellos el ncleo con carga positiva. (Lo que mantiene a los protones y neutrones dentro de los ncleos atmicos estables es una interaccin de atraccin, denominada fuerza nuclear fuerte, que vence la repulsin elctrica de los protones. El alcance de la fuerza nuclear fuerte es corto y sus efectos no se extienden mucho ms all del ncleo). Las masas respectivas de las partculas individuales, con la exactitud con la que se conocen hoy en da, son Masa del electrn Masa del protn me mp 9.10938188(72) 1.67262158(13) 1031 kg 1027 kg

21.3 El electrn, el primer componente del tomo que se aisl, fue descubierto en 1897 por el fsico ingls J. J. Thomson. Este descubrimiento revolucion nuestra comprensin de la estructura de la materia, y dio origen a los descubrimientos ulteriores del protn y del neutrn. Thomson se hizo acreedor al Premio Nobel de Fsica de 1906 y fue nombrado caballero en 1908.

Masa del neutrn mn 1.67492716(13) 1027 kg Los nmeros entre parntesis son las incertidumbres de los ltimos dos dgitos. Advirtase que las masas del protn y del neutrn son casi iguales y equivalentes a alrededor de 2000 veces la masa del electrn. Ms del 99.9% de la masa de cualquier tomo se concentra en su ncleo.

21.4 (a) Un tomo neutro tiene el mismo nmero de electrones que de protones. (b) Un ion positivo tiene un dficit de electrones. (c) Un ion negativo tiene un exceso de electrones. (Las rbitas de los electrones son una representacin esquemtica de la distribucin electrnica real, una nube difusa muchas veces ms grande que el ncleo).

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La carga negativa del electrn tiene (dentro de los lmites de error experimental) exactamente la misma magnitud que la carga positiva del protn. En un tomo neutro el nmero de electrones es igual al nmero de protones del ncleo, y la carga elctrica neta (la suma algebraica de todas las cargas) es exactamente cero (Fig. 21.4a). El nmero de protones o de electrones de un tomo neutro es el nmero atmico del elemento. Si se separa uno o ms electrones, la estructura restante con carga positiva es un ion positivo (Fig. 21.4b). Un ion negativo es un tomo que ha ganado uno o ms electrones (Fig. 21.4c). Esta ganancia o prdida de electrones se conoce como ionizacin. Cuando el nmero total de protones de un cuerpo macroscpico es igual al nmero total de electrones, la carga total es cero y el cuerpo, en conjunto, es elctricamente neutro. Para proporcionar a un cuerpo una carga negativa en exceso, se puede ya sea agregar cargas negativas a un cuerpo neutro o quitar cargas positivas a ese cuerpo. De manera anloga, se obtiene una carga positiva en exceso ya sea agregando carga positiva o quitando carga negativa. En la mayor parte de los casos se agregan o se retiran electrones con carga negativa (y de gran movilidad), y un cuerpo con carga positiva es aquel que ha perdido parte de su complemento normal de electrones. Cuando se habla de la carga de un cuerpo, siempre se trata de su carga neta. La carga neta es en todos los casos una fraccin muy pequea (tpicamente no mayor que 1012) de la carga positiva o negativa total del cuerpo. En lo antes expuesto estn implcitos dos principios muy importantes. El primero es el principio de conservacin de la carga: La suma algebraica de todas las cargas elctricas de cualquier sistema cerrado es constante. Si se frotan una barra de plstico y un pedazo de piel, ambos inicialmente sin carga, la barra adquiere una carga negativa (puesto que toma electrones de la piel) y sta adquiere una carga positiva de la misma magnitud (puesto que ha perdido tantos electrones como ha ganado la barra). Por consiguiente, no cambia la carga elctrica total de los dos cuerpos juntos. En todo proceso de carga, sta no se crea ni se destruye; simplemente se transfiere de un cuerpo a otro. Se considera que la conservacin de la carga es una ley de conservacin universal. Jams se ha observado indicio experimental alguno de una violacin a este principio. Incluso en las interacciones de alta energa en las que se producen y se destruyen partculas, como la aparicin de pares electrn-positrn, por ejemplo, la carga total de cualquier sistema cerrado es exactamente constante. El segundo principio importante es que la magnitud de la carga del electrn o del protn es una unidad natural de carga. Toda cantidad observable de carga elctrica es siempre un mltiplo entero de esta unidad bsica y se dice que la carga est cuantizada. Un ejemplo conocido de cuantizacin es el dinero. Cuando se paga en efectivo por un artculo en una tienda, es necesario hacerlo en incrementos de un centavo. El efectivo no se puede dividir en cantidades de menos de un centavo, y la carga elctrica no es divisible en cantidades menores que la carga de un electrn o de un protn. (Las cargas de los quarks, 61 y 62 de la carga del 3 3 electrn, probablemente no sean observables como cargas aisladas.) Por tanto, la carga de cualquier cuerpo macroscpico es siempre cero o un mltiplo entero (positivo o negativo) de la carga del electrn. La comprensin de la naturaleza elctrica de la materia nos permite discernir muchos aspectos del mundo fsico. Los enlaces qumicos que mantienen unidos los tomos para formar molculas se deben a interacciones elctricas entre los tomos. Entre ellos se cuentan los fuertes enlaces inicos que conservan unidos tomos de sodio y de cloro para formar la sal de mesa, y los enlaces relativamente dbiles entre las trenzas de ADN que contienen el cdigo gentico de nuestro organismo. La fuerza normal que ejerce en nosotros la silla en la que nos sentamos tiene su origen en las

21.2 | Conductores, aisladores y cargas inducidas

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fuerzas elctricas entre las partculas con carga de los tomos de nuestras asentaderas y los tomos de la silla. La fuerza de tensin de un hilo estirado y la fuerza adhesiva del pegamento se deben igualmente a las interacciones elctricas de los tomos. Evale su comprensin En trminos estrictos, pesa ms, menos o lo mismo la barra de plstico de la figura 21.1 despus de frotarla con piel? Y la barra de vidrio despus de frotarla con seda? Y qu hay de la piel y la seda?

21.2 | Conductores, aisladores y cargas inducidasCiertos materiales permiten que la carga elctrica se desplace con facilidad de una regin del material a otra, pero otros no. Por ejemplo, la figura 21.5a muestra un alambre de cobre sostenido por una barra de vidrio. Suponga que toca un extremo del alambre con una barra de plstico con carga elctrica y sujeta el otro extremo a una esfera metlica inicialmente sin carga, y luego retira la barra con carga y el alambre. Al acercar otro cuerpo con carga a la esfera (Figs. 21.5b y 21.5c), la esfera es atrada o repelida, lo que indica que la esfera ha adquirido carga elctrica. La carga elctrica se ha transferido por medio del alambre de cobre entre la superficie de la barra de plstico y la esfera. El alambre se describe como un conductor de electricidad. Si se repite el experimento con un elstico o un hilo de nylon en vez del alambre, se observa que no se transfiere carga elctrica alguna a la esfera. Estos materiales se llaman aisladores. Los conductores permiten que la carga elctrica se desplace fcilmente a travs de ellos; no as los aisladores. Como ejemplo, las fibras de una alfombra en un da seco son buenos aislantes. Al caminar sobre una alfombra, el roce de los zapatos contra las fibras produce una acumulacin de carga en nuestro cuerpo, y esta carga permanece en l porque no puede fluir a travs de las fibras aislantes. Si a continuacin tocamos un objeto conductor, como la perilla de una puerta, ocurre una rpida transferencia de carga entre el dedo y la perilla, y sentimos una descarga. Una forma de evitar esto es enrollar algunas fibras de la alfombra en torno a centros conductores para que cualquier carga que se acumule en nuestro cuerpo se transfiera sin causar dao a la alfombra. Otra solucin consiste en recubrir las fibras de la alfombra con una capa antiesttica que no transfiere electrones hacia o desde los zapatos con facilidad; en primer lugar, esto impide que se acumule carga en el cuerpo. Casi todos los metales son buenos conductores; en cambio, la mayor parte de los no metales son aisladores. Dentro de un metal slido, como el cobre, por ejemplo, uno o ms electrones externos de cada tomo se desprenden y pueden moverse libremente por todo el material, del mismo modo que las molculas de un gas se mueven a travs de los espacios entre los granos de un cubo de arena. El movimiento de estos electrones con carga negativa transporta carga a travs del metal. Los dems electrones permanecen ligados a los ncleos con carga positiva, los que, a su vez, estn sujetos en posiciones prcticamente fijas dentro del material. En un aislador hay pocos electrones libres (o ninguno), y la carga elctrica no se puede desplazar libremente por todo el material. Ciertos materiales llamados semiconductores tienen propiedades que son intermedias entre las de los buenos conductores y las de los buenos aisladores. Se puede cargar una esfera metlica tocndola con una barra de plstico con carga elctrica, como en la figura 21.5a. En este proceso, algunos de los electrones en exceso de la barra se transfieren de sta a la esfera, lo que deja a la barra con una carga negativa ms pequea. Existe otra tcnica mediante la cual la barra de plstico puede orientar en otro cuerpo una carga de signo opuesto, sin perder algo de su propia carga. Este procedimiento se conoce como carga por induccin.

21.5 El cobre es buen conductor de la electricidad; el vidrio y el nylon son buenos aisladores. (a) El alambre conduce carga entre la esfera metlica y la barra de plstico con carga para cargar negativamente la esfera. (b) Despus, la esfera metlica es repelida por una barra de plstico con carga negativa y (c) atrada hacia una barra de vidrio con carga positiva.

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c a p t u l o 21 | Carga elctrica y campo elctrico

21.6 Carga de una esfera metlica por induccin.

La figura 21.6a muestra un ejemplo de carga por induccin. Se tiene una esfera metlica apoyada en un soporte aislante. Cuando se le acerca una barra con carga negativa, sin llegar a tocarla (Fig. 21.6b), el exceso de electrones de la barra repele los electrones libres de la esfera metlica, los cuales se desplazan hacia la derecha, alejndose de la barra. Estos electrones no pueden escapar de la esfera porque el soporte y el aire que la rodea son aisladores. Por consiguiente, se tiene un exceso de carga negativa en la superficie derecha de la esfera y una deficiencia de carga negativa (es decir, una carga positiva neta) en la superficie izquierda. Estas cargas en exceso se conocen como cargas inducidas. No todos los electrones libres se desplazan hacia la superficie derecha de la esfera. Tan pronto como se crea una carga inducida, sta ejerce fuerzas hacia la izquierda sobre los dems electrones libres. Estos electrones son repelidos por la carga negativa inducida de la derecha y atrados hacia la carga positiva inducida de la izquierda. El sistema alcanza un estado de equilibrio en el que la fuerza hacia la derecha que se ejerce sobre un electrn, debida a la barra con carga, est balanceada exactamente por la fuerza hacia la izquierda debida a la carga inducida. Si se retira la barra con carga, los electrones libres se desplazan de nuevo a la izquierda, y se recupera la condicin neutra original. Qu ocurre si, mientras la barra de plstico est cerca, se pone en contacto un extremo de un alambre conductor con la superficie derecha de la esfera, y el otro extremo en contacto con la tierra (Fig. 21.6c)? La tierra es conductora, y es tan grande que acta como una fuente prcticamente infinita de electrones adicionales o un sumidero de electrones no deseados. Parte de la carga negativa fluye por el alambre a la tierra. Supngase ahora que se desconecta el alambre (Fig. 21.6d) y luego se retira la barra (Fig. 21.6e); queda entonces una carga negativa neta en la esfera. La carga de la barra con carga negativa no ha cambiado durante este proceso. La tierra adquiere una carga negativa de igual magnitud que la carga positiva inducida que permanece en la esfera. La carga por induccin funcionara de igual manera si las cargas mviles de las esferas fueran cargas positivas en vez de electrones con carga negativa, o incluso si estuviesen presentes cargas mviles tanto positivas como negativas. En un conductor metlico las cargas mviles son siempre electrones negativos, pero suele ser conveniente describir un proceso como si las cargas en movimiento fuesen positivas. En las soluciones inicas y en los gases ionizados, tanto las cargas positivas como las negativas son mviles.

21.2 | Conductores, aisladores y cargas inducidas

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Por ltimo, advertimos que un cuerpo con carga elctrica ejerce fuerzas incluso sobre objetos que no tienen carga en s. Si se frota un globo sobre el tapete y luego se sostiene el globo contra el techo de la habitacin, permanece adherido, pese a que el techo no tiene una carga elctrica neta. Despus de electrificar un peine pasndolo por el cabello, podemos recoger con l pedacitos de papel sin carga. Cmo es posible que esto ocurra? Esta interaccin es un efecto de carga inducida. En la figura 21.6b la barra de plstico ejerce una fuerza neta de atraccin sobre la esfera conductora no obstante que la carga total de la esfera es cero, porque las cargas positivas estn ms prximas a la barra que las cargas negativas. Incluso en un aislador, las cargas elctricas pueden desplazarse un poco en un sentido u otro cuando hay una carga cerca. Esto se muestra en la figura 21.7a; el peine de plstico con carga negativa provoca un pequeo desplazamiento de carga dentro de las molculas del aislador neutro, efecto que se conoce como polarizacin. Las cargas positivas y negativas del material estn presentes en cantidades equivalentes, pero las cargas positivas estn ms prximas al peine de plstico y, por tanto, experimentan una atraccin ms intensa que la repulsin experimentada por las cargas negativas, lo que da por resultado una fuerza de atraccin neta. (En la seccin 21.3 estudiaremos cmo dependen las fuerzas elctricas de la distancia.) Observe que un aislador neutro tambin es atrado hacia un peine con carga positiva (Fig. 21.7b). En este caso las cargas del aislador se desplazan en sentido opuesto; las cargas negativas del aislador estn ms prximas al peine y experimentan una fuerza de atraccin ms intensa que la repulsin que se ejerce sobre las cargas positivas del aislador. As pues, un objeto con carga de uno u otro signo ejerce una fuerza de atraccin sobre un aislador sin carga. La atraccin entre un objeto con carga y uno sin carga tiene numerosas aplicaciones prcticas importantes, entre ellas el proceso electrosttico de pintado que se utiliza en la industria automovilstica (Fig. 21.8). El objeto metlico por pintar se conecta a la tierra, y se proporciona una carga elctrica a las gotitas de pintura a medida que stas salen de la boquilla de la pistola rociadora. Cuando las gotitas se aproximan, en el objeto aparecen cargas inducidas del signo opuesto, como se muestra en la figura 21.6b, las cuales atraen las gotitas hacia la superficie. Este procedimiento reduce al mximo el rociado en exceso debido a nubes de partculas dispersas de pintura, proporcionando un acabado particularmente liso. Evale su comprensin A partir de la situacin que se muestra en la figura 21.6a, describa cmo utilizara una barra con carga para dar una carga positiva a la esfera metlica.

21.7 Las cargas que estn dentro de las molculas de un material aislante se pueden desplazar un poco. En consecuencia, un peine con carga de cualquier signo atrae a un aislador neutro. Por la tercera ley de Newton, el aislador neutro ejerce una fuerza de atraccin de igual magnitud sobre el peine.

21.8 Proceso electrosttico de pintado (compare las figuras 21.6b y 21.6c)

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21.3 | Ley de CoulombCharles Augustin de Coulomb (17361806) estudi en detalle, en 1784, las fuerzas de interaccin de las partculas con carga elctrica. Utiliz una balanza de torsin (Fig. 21.9a) similar a la que utilizara Cavendish 13 aos despus para estudiar la interaccin gravitatoria, mucho ms dbil, como se explic en la seccin 12.1. En el caso de las cargas puntuales, esto es, de cuerpos con carga que son muy pequeos en comparacin con la distancia r que los separa, Coulomb encontr que la fuerza elctrica es proporcional a 1/r2. Es decir, cuando se duplica la 1 distancia r, la fuerza disminuye a 4 de su valor inicial; cuando la distancia se reduce a la mitad, la fuerza aumenta a cuatro veces su valor inicial. La fuerza elctrica sobre una carga, debida a la interaccin entre dos cargas puntuales tambin depende de la cantidad de carga de cada cuerpo, la cual denotaremos como q o Q. Para estudiar esta dependencia, Coulomb dividi una carga en dos partes iguales poniendo un conductor esfrico pequeo con carga en contacto con una esfera idntica, pero sin carga; por simetra, la carga se distribuye equitativamente entre las dos esferas. (Dse cuenta del papel fundamental del principio de conservacin de la carga en este procedimiento.) De este modo, Coulomb poda obtener un medio, un cuarto, y as sucesivamente, de cualquier carga inicial. Descubri que las fuerzas que dos cargas puntuales q1 y q2 ejercen una sobre la otra son proporcionales a cada carga y, en consecuencia, proporcionales al producto q1q2 de las dos cargas. Fue as que Coulomb estableci lo que ahora conocemos como la ley de Coulomb: La magnitud de cada una de las fuerzas elctricas con que interactan dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. En trminos matemticos, la magnitud F de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales q1 y q2 ejerce sobre la otra separadas por una distancia r se expresa como r2 (21.1) donde k es una constante de proporcionalidad cuyo valor numrico depende del sistema de unidades que se utilice. Se usan barras de valor absoluto en la ecuacin (21.1) porque las cargas q1 y q2 pueden ser positivas o negativas, en tanto que la magnitud de la fuerza F siempre es positiva. La direccin de las fuerzas que las dos cargas ejercen una sobre la otra siguen siempre la lnea que las une. Cuando las cargas q1 y q2 tienen ambas el mismo signo, ya sea positivo o negativo, las fuerzas son de repulsin (Fig. 21.9 b) cuando las cargas poseen signos opuestos las fuerzas son de atraccin (Fig.21.9c). Las dos fuerzas obedecen la tercera ley de Newton; siempre son de igual magnitud y con direcciones opuestas, incluso cuando las cargas no son del mismo tipo. La proporcionalidad de la fuerza elctrica con respecto a 1/r2 se ha comprobado con gran precisin. No hay razn alguna para sospechar que el exponente no sea exactamente 2. Por tanto, la ecuacin (21.1) es de la misma forma que la de la ley de gravitacin. Pero las interacciones elctricas y las gravitatorias son fenmenos de dos clases distintas. Las interacciones elctricas dependen de las cargas elctricas, y pueden ser ya sea de atraccin o de repulsin, en tanto que las interacciones gravitatorias dependen de la masa y son siempre de atraccin (porque no existe la masa negativa). El valor de la constante de proporcionalidad k de la ley de Coulomb depende del sistema de unidades que se utilice. En nuestro estudio de la electricidad y el magnetismo usaremos exclusivamente unidades SI. Las unidades elctricas SI incluyen en su mayor parte las unidades que conocemos, como el volt, el ampere, el ohm y el F5k

0 q1q2 0

21.9 Balanza de torsin del tipo que emple Coulomb para medir la fuerza elctrica. (b) Las cargas elctricas del mismo signo se repelen unas a otras. (c) Las cargas elctricas de signos opuestos se atraen mutuamente. En ambos casos las fuerzas obedecen la tercera ley de Newton: r r F1 sobre 2 5 2F2 sobre 1.

21.3 | Ley de Coulomb

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watt. (No hay un sistema britnico de unidades elctricas.) La unidad SI de carga elctrica es un coulomb (1 C). En unidades SI, la constante k de la ecuacin (21.1) es k 5 8.987551787 3 109 N # m2 /C2 > 8.988 3 109 N # m2 /C2 El valor de k se conoce con un nmero tan grande de dgitos significativos porque este valor est estrechamente relacionado con la rapidez de la luz en el vaco. (Demostraremos esto en el captulo 32, cuando estudiemos la radiacin electromagntica.) Como se explic en la seccin 1.3, esta rapidez ha sido definida como exactamente c 2.99792458 108 m/s. El valor numrico de k se define precisamente en trminos de c k 5 1 1027 N # s2/C2 2 c 2ONLINE

Le recomendamos revisar esta expresin para confirmar que k tiene las unidades correctas. En principio, se puede medir la fuerza elctrica F entre dos cargas iguales q a una distancia medida r y aplicar la ley de Coulomb para calcular la carga. Por tanto, se podra considerar el valor de k como una definicin prctica del coulomb. En cambio, por razones de precisin experimental, es mejor definir el coulomb desde el punto de vista de una unidad de corriente elctrica (carga en cada unidad de tiempo), el ampere, que es igual a un coulomb en cada segundo. Retornaremos a esta definicin en el captulo 28. En unidades SI, la constante k de la ecuacin (21.1) se escribe por lo general como 1/4 0, donde 0 (psilon cero) es otra constante. Esto parece complicar las cosas, pero en realidad simplifica muchas frmulas que encontraremos en captulos posteriores. De aqu en adelante, usualmente escribiremos la ley de Coulomb como 1 0 q1q2 0 4pP0 r 2 (Ley de Coulomb: fuerza entre dos cargas puntuales) F5 (21.2)

11.1 Fuerza elctrica: ley de Coulomb 11.2 Fuerza elctrica: principio de superposicin 11.3 Fuerza elctrica: superposicin (cuantitativa)

Las constantes de la ecuacin (21.2) son aproximadamente 1 P0 5 8.854 3 10212 C2/N # m2 y 5 k 5 8.988 3 109 N # m2 /C2 4pP0 En los ejemplos y problemas usaremos con frecuencia el valor aproximado 1 5 9.0 3 109 N # m2/C2 4pP0 que difiere en no ms de 0.1% aproximadamente del valor correcto. Como mencionamos en la seccin 21.1, la unidad de carga ms fundamental es la magnitud de la carga de un electrn o de un protn, que se denota como e. El valor ms exacto disponible al momento de redactar este libro es e 5 1.602176462 1 63 2 3 10219 C

Un coulomb representa el negativo de la carga total de aproximadamente 6 1018 electrones. En comparacin, un cubo de cobre de 1 cm por lado contiene de manera aproximada 2.4 1024 electrones. Por el filamento incandescente de una linterna de mano pasan aproximadamente 1019 electrones cada segundo. En los problemas de electrosttica, esto es, aquellos en los que intervienen cargas en reposo, es muy poco frecuente encontrar cargas tan grandes como de un coulomb. Dos cargas de 1 C separadas por 1 m ejerceran una sobre otra fuerzas con una magnitud de 9 109 N (cerca de 1 milln de toneladas!). La carga total de todos los elec-

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trones de una moneda pequea de cobre es an mayor, de aproximadamente 1.4 105 C, lo cual demuestra que no podemos alterar mucho la neutralidad elctrica sin utilizar fuerzas enormes. Los valores ms representativos de carga fluctan desde aproximadamente 109 hasta 106 C. Con frecuencia se utiliza el microcoulomb (1 C 106 C) y el nanocoulomb (1 nC 109 C) como unidades prcticas de carga. Ejemplo 21.1

Fuerza elctrica contra fuerza gravitatoriaEJECUTAR: La proporcin de la fuerza elctrica con respecto a la fuerza gravitatoria es

Una partcula (alfa) es el ncleo de un tomo de helio. Tiene una masa m 6.64 1027 kg y una carga q 2e 3.2 1019 C. Compare la fuerza de repulsin elctrica entre dos partculas con la fuerza de atraccin gravitatoria entre ellas. SOLUCIN IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La magnitud Fe de la fuerza elctrica est dada por la ecuacin (21.2), 1 q2 Fe 5 4pP0 r 2 La magnitud Fg de la fuerza gravitatoria est dada por la ecuacin (12.1), m2 Fg 5 G 2 r Se comparan estas dos magnitudes calculando su proporcin.

1 3.2 3 10219 C 2 2 q2 Fe 1 9.0 3 109 N # m2/C2 5 5 Fg 4pP0G m 2 6.67 3 10211 N # m2/kg2 1 6.64 3 10227 kg 2 25 3.1 3 1035 EVALUAR: Este nmero sorprendentemente grande muestra que, en esta situacin, la fuerza gravitatoria es por completo insignificante en comparacin con la fuerza elctrica. Esto siempre se cumple en las interacciones de partculas atmicas y subatmicas. (Dse cuenta que este resultado no depende de la distancia r que separa las dos partculas ). En cambio, dentro de objetos del tamao de una persona o un planeta, las cargas positivas y negativas tienen casi la misma magnitud y la fuerza elctrica neta es por lo regular mucho menor que la fuerza gravitatoria.

Superposicin de fuerzasLa ley de Coulomb, tal como la hemos expresado, describe slo la interaccin de dos cargas puntuales. Los experimentos muestran que, cuando dos cargas ejercen fuerzas simultneamente sobre una tercera carga, la fuerza total que acta sobre esa carga es la suma vectorial de las fuerzas que las dos cargas ejerceran individualmente. Esta importante propiedad, llamada principio de superposicin de fuerzas, es vlida para cualquier nmero de cargas. Con base en este principio, podemos aplicar la ley de Coulomb a cualquier conjunto de cargas. Varios de los ejemplos al final de esta seccin muestran aplicaciones del principio de superposicin. En trminos estrictos, la ley de Coulomb como la hemos expresado slo debe aplicarse a cargas puntuales en un vaco. Si hay materia en el espacio que separa las cargas, la fuerza neta que acta sobre cada carga se altera porque se inducen cargas en las molculas del material interpuesto. Ms adelante describiremos este efecto. Desde un punto de vista prctico, no obstante, podemos utilizar la ley de Coulomb sin cambios en el caso de cargas puntuales en el aire. A la presin atmosfrica normal, la presencia de aire altera la fuerza elctrica con respecto a su valor en el vaco en slo aproximadamente una parte en 2000.Estrategia para resolver problemas

Ley de Coulomb1. Haga un dibujo que muestre la ubicacin de las partculas con carga y rotule cada partcula con su carga. Esta etapa es especialmente importante si estn presentes ms de dos partculas con carga.

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: La ley de Coulomb entra en juego siempre que se necesita conocer la fuerza elctrica que acta entre partculas con carga. PLANTEAR el problema utilizando las etapas siguientes:

21.3 | Ley de Coulomb

803

2. Si estn presentes tres o ms cargas y no todas se encuentran sobre la misma recta, construya un sistema de coordenadas xy. 3. Con frecuencia ser necesario hallar la fuerza elctrica que se ejerce sobre una sola partcula. En tal caso, identifique esa partcula. EJECUTAR la solucin como sigue: 1. Con respecto a cada partcula que ejerza una fuerza sobre la partcula de inters, calcule la magnitud de esa fuerza mediante la ecuacin (21.2). 2. Trace los vectores de fuerza elctrica que actan sobre la(s) partcula(s) de inters debidos a cada una de las otras partculas; (es decir, haga una diagrama de cuerpo libre). Recuerde que la fuerza que la partcula 1 ejerce sobre la partcula 2 apunta de la partcula 2 hacia la partcula 1 si las dos cargas tienen signos opuestos, pero apunta desde la partcula 2 directamente alejndose de la partcula 1 si las cargas tienen el mismo signo. 3. Calcule la fuerza elctrica total sobre la(s) partcula(s) de inters. Recuerde que la fuerza elctrica, como todas las fuerzas, se representa por un vector. Cuando las fuerzas que actan sobre una carga se deben a otras dos cargas o ms, la fuerza total sobre la carga es la suma vectorial de las fuerzas individuales. Puede ser conveniente repasar el lgebra vectorial en las secciones de la 1.7 a la 1.9 del vol. 1. Suele ser til emplear componentes en un sistema de coordenadas xy. Asegrese de utilizar la notacin vectorial correcta; si un smbolo representa una cantidad vectorial, ponga una flecha encima de l. Si no es cuidadoso con su notacin, tambin ser descuidado en sus razonamientos.

4. Como siempre, es indispensable usar unidades congruentes. Con el valor de k 1/4 0 ya citado, las distancias deben estar en metros, la carga en coulomb y la fuerza en newtons. Si se le dan distancias en centmetros, pulgadas o estadios, no olvide hacer conversiones! Cuando una carga est dada en microcoulomb ( C) o nanocoulomb (nC), recuerde que 1 C 106 C y 1 nC 109 C. 5. Algunos ejemplos de ste y de captulos posteriores tienen que ver con una distribucin continua de carga a lo largo de una lnea recta o sobre una superficie. En estos casos la suma vectorial descrita en el paso 3 se convierte en una integral vectorial, que por lo regular se efecta utilizando componentes. Se divide la distribucin de carga total en fragmentos infinitesimales, se aplica la ley de Coulomb a cada fragmento y luego se integra para hallar la suma vectorial. A veces se puede llevar a cabo este proceso sin el uso explcito de la integracin. 6. En muchas situaciones la distribucin de carga es simtrica. Por ejemplo, se le podra pedir que encuentre la fuerza sobre una carga Q en presencia de otras dos cargas idnticas q, una arriba y a la izquierda de Q y la otra abajo y a la izquierda de Q. Si las distancias de Q a cada una de las otras cargas son iguales, la fuerza que cada carga ejerce sobre Q tiene la misma magnitud; si cada vector de fuerza forma el mismo ngulo con el eje horizontal, sumar estos vectores para hallar la fuerza neta resulta particularmente fcil. Siempre que sea posible, aproveche las simetras para simplificar el proceso de resolucin del problema. EVALUAR la respuesta: Compruebe que sus resultados numricos sean razonables, y confirme que la direccin de la fuerza elctrica neta concuerda con el principio de que las cargas del mismo tipo se repelen y las cargas opuestas se atraen.

Ejemplo 21.2

Fuerza entre dos cargas puntualesPuesto que las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atraccin; es decir, la fuerza que acta sobre q2 est dirigida hacia q1 a lo largo de la recta que une las dos cargas, como se muestra en la figura 21.10b.q1 q2

Dos cargas puntuales, q1 25 nC y q2 75 nC, estn separadas por una distancia de 3.0 cm (Fig. 21.10a). Encuentre la magnitud y la direccin de a) la fuerza elctrica que q1 ejerce sobre q2; b) la fuerza elctrica que q2 ejerce sobre q1. SOLUCIN IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se aplica la ley de Coulomb, ecuacin (21.1), para calcular la magnitud de la fuerza que cada partcula ejerce sobre la otra. El problema nos pide la fuerza sobre cada partcula debida a la otra partcula; por tanto, se aplica la tercera ley de Newton. EJECUTAR: a) Convirtiendo la carga a coulomb y la distancia a metros, la magnitud de la fuerza que q1 ejerce sobre q2 es F1 sobre 2 5 1 4pP0

+r (a)

0 q1q2 0r2

5 1 9.0 3 109 N # m2/C2 2 5 0.019 N

0 1 125 3 1029 C 2 1 275 3 1029 C 2 01 0.030 m 2 2

21.10 Qu fuerza ejerce q1 sobre q2, y qu fuerza ejerce q2 sobre q1? Las fuerzas gravitatorias son insignificantes. (a) Las dos cargas. (b) Diagrama de cuerpo libre de la carga q2.

804

c a p t u l o 21 | Carga elctrica y campo elctrico La tercera ley de Newton tambin establece que el sentido de la fuerza que q2 ejerce sobre q1 es exactamente opuesto al sentido de la fuerza que q1 ejerce sobre q2; esto se muestra en la figura 21.10c. EVALUAR: Dse cuenta que la fuerza sobre q1 est dirigida hacia q2, como debe ser, puesto que las cargas de signo opuesto se atraen mutuamente.

b) Recuerde que la tercera ley de Newton es aplicable a la fuerza elctrica. No obstante que las cargas tienen magnitudes diferentes, la magnitud de la fuerza que q2 ejerce sobre q1 es igual a la magnitud de la fuerza que q1 ejerce sobre q2: F2 sobre 1 5 0.019 N

Ejemplo 21.3

Suma vectorial de fuerzas elctricas sobre una lneaF1 sobre 3 5 1 0 q1q3 0 4pP0 r 2

Dos cargas puntuales estn situadas sobre el eje positivo de las x de un sistema de coordenadas (Fig. 21.11a). La carga q1 1.0 nC est a 2.0 cm del origen, y la carga q2 3.0 nC est a 4.0 cm del origen. Cul es la fuerza total que ejercen estas dos cargas sobre una carga q3 5.0 nC situada en el origen? Las fuerzas gravitatorias son insignificantes. SOLUCIN IDENTIFICAR: En este caso se tienen dos fuerzas elctricas que actan sobre la carga q3, y es necesario sumar estas fuerzas para hallar la fuerza total. PLANTEAR: La figura 21.11a muestra el sistema de coordenadas. La variable que se busca es la fuerza elctrica neta que ejercen las otras dos cargas sobre la carga q3, y es la suma vectorial de las fuerzas debidas a q1 y q2 individualmente. EJECUTAR: La figura 21.11b es un diagrama de cuerpo libre de la carga q3. Dse cuenta que q3 es repelida por q1 (que tiene el mismo signo) y atrada hacia q2 (que tiene el signo opuesto). Convirtiendo la carga a coulomb y la distancia a metros, se aplica la ecuacin (21.2) para hallar la magnitud F1 sobre 3 de la fuerza de q1 sobre q3:q3 q1 q2

1 1.0 3 1029 C 2 1 5.0 3 1029 C 2 1 0.020 m 2 2 24 5 1.12 3 10 N 5 112 mN5 1 9.0 3 109 N # m2/C2 2 Esta fuerza tiene una componente x negativa porque q3 es repelida (esto es, empujada en la direccin x negativa) por q1. La magnitud F2 sobre 3 de la fuerza de q2 sobre q3 es F2 sobre 3 5 1 0 q2q3 0 4pP0 r2

5 1 9.0 3 109 N # m2/C2 2

1 3.0 3 1029 C 2 1 5.0 3 1029 C 2 1 0.040 m 2 2 5 8.4 3 1025 N 5 84 mN

Esta fuerza tiene una componente x positiva porque q2 atrae a q3 (esto es, jala de ella en la direccin x positiva). La suma de las componentes x es Fx 5 2112 mN 1 84m N 5 228 mN No hay componentes y ni z. Por tanto, la fuerza total sobre q3 est dirigida hacia la izquierda y tiene una magnitud de 28 N 2.8 105 N. EVALUAR: Para comprobar la magnitud de las fuerzas individuales, advirtase que q2 tiene tres veces ms carga (en trminos de magnitud) que q1, pero est dos veces ms lejos de q3. Con base en la 3 2 ecuacin (21.2), esto significa que F2 sobre 3 debe ser 3/2 5 4 veces F1 sobre 3. En efecto, nuestros resultados muestran que esta proporcin es (84 N)/(112 N) 0.75. El sentido de la fuerza neta tamr r bin es razonable: F1 sobre 3 es opuesta a F2 sobre 3, y tiene una magnitud mayor, por lo que la fuerza neta tiene el sentido de r F1 sobre 3.

+O 2.0 cm

+4.0 cm (a)

x (cm)

21.11 Cul es la fuerza total que ejercen sobre la carga puntual q3 las otras dos cargas? a) Las tres cargas. b) Diagrama de cuerpo libre para la carga q3.

Ejemplo 21.4

Suma vectorial de fuerzas elctricas en un planoSOLUCIN IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Como en el ejemplo 21.3, debemos calcular la fuerza que cada carga ejerce sobre Q y enseguida hallar

En la figura 21.12, dos cargas puntuales positivas iguales, q1 q2 2.0 C interactan con una tercera carga puntual Q 4.0 C. Encuentre la magnitud y la direccin de la fuerza total (neta) sobre Q.

21.4 | Campo elctrico y fuerzas elctricas la suma vectorial de las fuerzas. La manera ms fcil de hacerlo es usar componentes. EJECUTAR: La figura 21.12 muestra la fuerza sobre Q debida a la carga superior q1. Por la ley de Coulomb, la magnitud F de esta fuerza esF 1 sobre Q 5 1 9.0 3 109 N # m 2 /C 2 2

805

1 4.0 3 1026 C 2 1 2.0 3 1026 C 2 1 0.50 m 2 2

5 0.29 N

El ngulo est abajo del eje de las x; por tanto, las componentes de esta fuerza estn dadas por 0.40 m 1 F1 sobre Q 2 x 5 1 F1 sobre Q 2 cos a 5 1 0.29 N 2 5 0.23 N 0.50 m1 F1 sobre Q 2 y 5 2 1 F1 sobre Q 2 sen a 5 2 1 0.29 N 20.30 m 5 20.17 N 0.50 m

21.12 F1 sobre Q es la fuerza sobre Q debida a la carga superior q1.

r

La carga inferior q2 ejerce una fuerza de la misma magnitud pero a un ngulo arriba del eje de las x. Por simetra, vemos que su componente x es equivalente a la debida a la carga superior, pero su componente y tiene signo opuesto. Por tanto, las componentes de r la fuerza total F sobre Q son Fx 5 0.23 N 1 0.23 N 5 0.46 N Fy 5 20.17 N 1 0.17 N 5 0 La fuerza total sobre Q est en la direccin 0.46 N. x y su magnitud es de

EVALUAR: La fuerza total sobre Q est en una direccin que no apunta ni directamente alejndose de q1 ni directamente alejndose de q2, sino que esta direccin es un trmino medio que apunta alejndose del sistema de cargas q1 y q2. Ve usted que la fuerza total no estara en la direccin x si q1 y q2 no fuesen iguales o si la disposicin geomtrica de las cargas no fuera tan simtrica?

Evale su comprensinSuponga que la carga q2 del ejemplo 21.4 es igual a 2.0 C. Demuestre que en este caso la fuerza elctrica total sobre Q tendra la direccin y negativa y una magnitud de 0.34 N.

21.4 | Campo elctrico y fuerzas elctricasCuando dos partculas con carga elctrica en el espacio vaco interactan, cmo sabe cada una que la otra est ah? Qu ocurre en el espacio entre ellas que comunica el efecto de cada una a la otra? Podemos comenzar a responder estas preguntas, y al mismo tiempo formular de nuevo la ley de Coulomb de un modo muy til, empleando el concepto de campo elctrico. A fin de presentar este concepto, examinemos la repulsin mutua de dos cuerpos r con carga positiva A y B (Fig. 21.13a). Supngase que B tiene una carga q0, y sea F0 la fuerza elctrica que A ejerce sobre B. Una manera de concebir esta fuerza es co-

21.13 Un cuerpo con carga produce un campo elctrico en el espacio que lo rodea.

806

c a p t u l o 21 | Carga elctrica y campo elctrico

mo una fuerza de accin a distancia; es decir, como una fuerza que acta a travs del espacio vaco sin necesitar materia alguna (como una varilla que la empuje o de una cuerda) que la transmita a travs de l. (Tambin se puede pensar en la fuerza de gravedad como en una fuerza de accin a distancia.) Pero una manera ms fructfera de visualizar la repulsin entre A y B es como un proceso de dos etapas. Primero imaginamos que el cuerpo A, como resultado de la carga que tiene, de algn modo modifica las propiedades del espacio que lo rodea. Por tanto, el cuerpo B, en virtud de su propia carga, percibe cmo se ha modificado el espacio donde l r se encuentra. La respuesta del cuerpo B consiste en experimentar la fuerza F0. Para explicar con ms detalle cmo se lleva a cabo este proceso, consideremos primero el cuerpo A solo: quitamos el cuerpo B y marcamos la posicin que ocupaba como el punto P (Fig. 21.13b). Decimos que el cuerpo con carga A produce o causa un campo elctrico en el punto P (y en todos los dems puntos de las cercanas). Este campo elctrico est presente en P incluso cuando no hay otra carga en P; es una consecuencia de la carga del cuerpo A, exclusivamente. Si a continuacin se coloca una carga puntual q0 en el punto P, la carga experimenta la fuerza r F0. Adoptamos el punto de vista de que el campo en P ejerce esta fuerza sobre q0 (Fig. 21.13c). As pues, el campo elctrico es el intermediario a travs del cual A comunica su presencia a q0. Puesto que la carga puntual q0 experimentara una fuerza en cualquier punto de las cercanas de A, el campo elctrico que A produce en todos los puntos de la regin alrededor de A. De manera anloga, se puede afirmar que la carga puntual q0 produce un campo elctrico en el espacio circundante, y que este campo elctrico ejerce la fuerza r 2F0 sobre el cuerpo A. Con respecto a cada fuerza (la fuerza de A sobre q0 y la fuerza de q0 sobre A), una carga establece un campo elctrico que ejerce una fuerza sobre la segunda carga. Conviene insistir en que sta es una interaccin entre dos cuerpos con carga. Un cuerpo solo produce un campo elctrico en el espacio circundante, pero este campo elctrico no puede ejercer una fuerza neta sobre la carga que lo cre; ste es un ejemplo del principio general de que un cuerpo no puede ejercer una fuerza neta sobre s mismo, como se explic en la seccin 4.3. (Si este principio no fuera vlido, podramos alzarnos hasta el cielo raso tirando de nuestro cinturn!) La fuerza elctrica sobre un cuerpo con carga es ejercida por el campo elctrico creado por otros cuerpos con carga. Para averiguar de forma experimental si existe un campo elctrico en un punto en particular, se coloca un cuerpo pequeo con carga, llamado carga de prueba, en ese punto (Fig. 21.13c). Si la carga de prueba experimenta una fuerza elctrica, entonces existe un campo elctrico en ese punto. Este campo es producido por cargas distintas de q0. La fuerza es una magnitud vectorial; por tanto, el campo elctrico tambin es una magnitud vectorial. (Dse cuenta del uso de signos de vector, as como de letras en negritas y signos de ms, menos e igual en la exposicin que sigue). Se der fine la intensidad del campo elctrico E en un punto como el cociente de la fuerza r elctrica F0 que experimenta una carga de prueba q0 en ese punto entre la carga q0. Es decir, el campo elctrico en un punto determinado es igual a la fuerza elctrica en cada unidad de carga que experimenta una carga en ese punto: F0 E5 q0r r

(21.3)

(definicin del campo elctrico como fuerza elctrica en cada unidad de carga) En unidades SI, en las que la unidad de fuerza es 1 N, y la unidad de carga, 1 C, la unidad de la magnitud de campo elctrico es 1 newton por coulomb (1 N/C).

21.4 | Campo elctrico y fuerzas elctricas

807

Si se conoce el campo E en un punto determinado, reorganizando la ecuacin r (21.3) se obtiene la fuerza F0 que experimenta una carga puntual q0 colocada en r ese punto. Esta fuerza es precisamente igual al campo elctrico E producido en ese punto por cargas distintas a q0, multiplicado por la carga q0: F0 5 q0 E (fuerza ejercida sobre una carga puntual q0 por un campo elctrico E) (21.4) La carga q0 puede ser positiva o negativa. Si q0 es positiva, la fuerza F0 que la carr r r ga experimenta tiene el mismo sentido que E; si q0 es negativa, F0 y E tienen sentidos opuestos (Fig. 21.14). Si bien el concepto de campo elctrico puede resultar novedoso, la idea bsica de que un cuerpo establece un campo en el espacio que lo rodea, y un segundo cuerpo responde a ese campo ya la hemos utilizado. Comprese la ecuacin r (21.4) con la conocida expresin de la fuerza gravitatoria Fg que la Tierra ejerce sobre una masa m0:r Fg 5 m0 g r r r r r r

r

21.14 Fuerza F0 5 q0 E que ejerce sobre r una carga puntual q0 un campo elctrico E.

r

r

(21.5)

En esta expresin, g es la aceleracin debida a la gravedad. Si se dividen ambos lados de la ecuacin (21.5) entre la masa m0, se obtiene g5r

Fg m0ONLINE

r

r Por tanto, podemos considerar a g como la fuerza gravitatoria en cada unidad de r masa. Por analoga con la ecuacin (21.3), podemos interpretar g como el campo gravitatorio. De este modo, tratamos la interaccin gravitatoria entre la Tierra y la masa m0 como un proceso de dos etapas: la Tierra establece un campo gravitator rio g en el espacio que la rodea, y este campo gravitatorio ejerce una fuerza, dada por la ecuacin (21.5), sobre la masa m0 (la cual podemos considerar como una masa de prueba). En este sentido, hemos hecho uso del concepto de campo cada vez que utilizamos la ecuacin (21.5) de la fuerza de gravedad. El campo gravitar torio g, o fuerza gravitatoria en cada unidad de masa, es un concepto til porque no depende de la masa del cuerpo sobre la que se ejerce la fuerza gravitatoria; anr logamente, el campo elctrico E, o fuerza elctrica por unidad de carga, es til porque no depende de la carga del cuerpo sobre la que se ejerce la fuerza elctrica.

11.4 Campo elctrico: carga puntual 11.9 Movimiento de una carga en un campo elctrico: introduccin 11.10 Movimiento en un campo elctrico: problemas

CUIDADO La fuerza elctrica que experimenta una carga de prueba q0 puede variar de un punto a otro, por lo que el campo elctrico tambin puede ser diferente en puntos distintos. Por esta razn, la ecuacin (21.4) se usa slo para hallar la fuerza elctrica sobre una carga puntual. Si un cuerpo con carga tiene un tamar o suficientemente grande, el campo elctrico E puede ser notoriamente diferente en trminos de magnitud y direccin en distintos puntos del cuerpo, y el clculo de la fuerza elctrica sobre el cuerpo puede llegar a ser muy complicado.

Hasta ahora hemos pasado por alto una sutil pero importante dificultad que plantea nuestra definicin de campo elctrico: en la figura 21.13 la fuerza ejercida por la carga de prueba q0 sobre la distribucin de carga en el cuerpo A puede provocar desplazamientos de esta distribucin. Esto ocurre especialmente cuando el cuerpo A es un conductor, en el que la carga tiene libertad de movimiento. Por consiguiente, el campo elctrico alrededor de A cuando q0 est presente puede no ser el mismo que cuando q0 est ausente. No obstante, si q0 es muy pequea la redistribucin de la carga del cuerpo A tambin es muy pequea. De modo que, pa-

808

c a p t u l o 21 | Carga elctrica y campo elctrico

ra tener una definicin totalmente correcta del campo elctrico, tomamos el lmite de la ecuacin (21.3) conforme la carga q0 se aproxima a cero y conforme el efecto perturbador de q0 sobre la distribucin de carga se torna insignificante: E 5 lm Sq0r

F0 0 q0r

r

En los clculos prcticos del campo elctrico E producido por una distribucin de carga consideraremos esta distribucin como fija; en consecuencia, no ser necesario este procedimiento de tomar lmites. Si la distribucin de la fuente es una carga puntual q, es fcil hallar el campo elctrico que produce. Llamaremos punto de origen a la ubicacin de la carga, y punto de campo al punto P donde estamos determinando el campo. Tambin es til ^ introducir un vector unitario r que apunta a lo largo de la recta que va del punto de fuente al punto de campo (Fig. 21.15a). Este vector unitario es igual al cociente del vector de desplazamiento r del punto de fuente al punto de campo entre la distancia r ^ r 5 0 r 0 que separa estos dos puntos; es decir: r 5 r/r. Si se coloca una carga per r quea de prueba q0 en el punto de campo P, a una distancia r del punto de origen, la magnitud F0 de la fuerza est dada por la ley de Coulomb [ecuacin (21.2)]: 1 0 qq0 0 F0 5 4pP0 r 2 De la ecuacin (21.3), la magnitud E del campo elctrico en P es E521.15 El campo elctrico E que produce en el punto P una carga puntual aislada q en F. Dse cuenta que, tanto en (b) como r en (c), E es producido por q [vase la ecuacin 21.7)] pero acta sobre la carga q0 en el punto P [vase la ecuacin (21.4)].r

1 0q0 4pP0 r2

1 magnitud del campo elctrico de una carga puntual 2

(21.6)

^ Con base en el vector unitario r, podemos escribir una ecuacin vectorial que pror porciona tanto la magnitud como la direccin del campo elctrico E: E5r

1 q ^ r 4pP0 r2

1 campo elctrico de una carga puntual 2

(21.7)

E

r

+q

21.16 Una cargarpuntual q establece un campo elctrico E en todos los puntos del espacio. La intensidad del campo disminuye al aumentar la distancia. La distribucin de campo que aqu se muestra corresponde a una carga positiva; en la distribucin correspondiente a una carga negativa, los vectores de campo apuntan hacia la carga (vase la Fig. 21.15c).

Por definicin, el campo elctrico de una carga puntual siempre apunta alejndose de ^ la carga positiva (es decir, en el mismo sentido que r ; vase la Fig. 21.15b) pero ha^ cia una carga negativa (es decir, en sentido opuesto a r ; vase la Fig. 21.15c). r Hemos hecho hincapi en el clculo del campo elctrico E en un punto determir nado. Sin embargo, puesto que E puede variar de un punto a otro, no es una sola cantidad vectorial, sino ms bien un conjunto infinito de cantidades vectoriales, una asociada con cada punto del espacio. ste es un ejemplo de campo vectorial. La figura 21.16 muestra un cierto nmero de los vectores de campo que produce una carga puntual. Si utilizamos un sistema de coordenadas rectangulares (xyz), cada r componente de E en cualquier punto es, en general, una funcin de las coordenadas (x, y, z) del punto. Podemos representar las funciones como Ex(x, y, z), Ey(x, y, z) y Ez(x, y, z). Los campos vectoriales son parte importante del lenguaje de la fsica, no slo en la electricidad y el magnetismo. Un ejemplo ordinario de campo vectorial es r r la velocidad v de las corrientes elicas; la magnitud y direccin de v y, por tanto, sus componentes vectoriales, varan de un punto a otro en la atmsfera. En ciertas situaciones la magnitud y direccin del campo (y, por tanto, sus componentes vectoriales) tienen los mismos valores en todos los puntos de una regin determinada; en tales casos se dice que el campo es uniforme en esta regin. Un ejemplo importante es el campo elctrico en el interior de un conductor. Si hay un campo elctrico dentro de un conductor, el campo ejerce una fuerza sobre cada una de las cargas del conductor, e imparte a las cargas libres un movimiento neto. Por de-

21.4 | Campo elctrico y fuerzas elctricas

809

finicin, una situacin electrosttica es aquella en la que las cargas no tienen un movimiento neto. Se concluye que en electrosttica el campo elctrico en todos los puntos dentro del material de un conductor debe ser cero. (Dse cuenta que esto no significa que el campo sea necesariamente cero en un hueco dentro de un conductor). Con el concepto de campo elctrico, nuestra descripcin de las interacciones elctricas consta de dos partes. Primero, una distribucin de carga determinada acta como fuente de campo elctrico. Segundo, el campo elctrico ejerce una fuerza sobre toda carga que est presente en el campo. Nuestro anlisis suele tener dos etapas correspondientes: la primera consiste en calcular el campo creado por una distribucin de carga de fuente; la segunda, en examinar el efecto del campo en trminos de fuerza y movimiento. En la segunda etapa suelen intervenir las leyes de Newton, as como los principios de las interacciones elctricas. En la seccin que sigue mostraremos cmo calcular campos creados por diversas distribuciones de carga, pero antes presentaremos algunos ejemplos de cmo calcular el campo elctrico debido a una carga r puntual y cmo hallar la fuerza sobre la carga debida a un campo elctrico dado E. Ejemplo 21.5

Magnitud del campo elctrico de una carga puntualEVALUAR: Para comprobar el resultado, se emplea la definicin de campo elctrico como la fuerza elctrica en cada unidad de carga. Primero se aplica la ley de Coulomb [ecuacin (21.2)] para hallar la magnitud F0 de la fuerza sobre una carga de prueba colocada a 2.0 m de q: 4.0 3 1029 C 0 q0 0 1 0 qq0 0 F0 5 5 1 9.0 3 109 N # m2/C2 2 4pP0 r2 1 2.0 m 2 2 5 1 9.0 N/C 2 0 q0 0 Entonces, por la ecuacin (21.3), la magnitud de E es F0 E5 5 9.0 N/C 0 q0 0 Ya que q es positiva, la direccin de E en este punto sigue la lnea que va de q hacia q0, como se muestra en la figura 21.15b. No obsr tante, la magnitud y direccin de E no dependen del signo de q0. Ve usted por qu no?r r

Cul es la magnitud del campo elctrico en un punto del campo situado a 2.0 m de una carga puntual q 4.0 nC? (La carga puntual podra representar cualquier objeto pequeo con carga con este valor de q, siempre y cuando las dimensiones del objeto sean mucho menores que la distancia del objeto al punto de campo). SOLUCIN IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se da la magnitud de la carga y la distancia del objeto al punto del campo; por tanto, se usa la ecuacin (21.6) para calcular la magnitud del campo E. EJECUTAR: De la ecuacin (21.6), 4.0 3 1029 C 1 0q0 5 1 9.0 3 109 N # m2 /C2 2 E5 2 4pP0 r 1 2.0 m 2 2 5 9.0 N/C

Ejemplo 21.6

Vector de campo elctrico de una carga puntualSOLUCIN IDENTIFICAR Y PLANTEAR: El campo elctrico est dado en forma vectorial por la ecuacin (21.17). Para emplear esta ecuacin, se utiliza el sistema de coordenadas de la figura 21.17 para hallar la distancia del punto de origen F (la posicin de la carga q) al punto de campo ^ P, as como el vector unitario r que apunta en la direccin de F a P. EJECUTAR: La distancia de la carga al punto de origen F (que en este ejemplo est en el origen O) al punto de campo P es r 5 "x 2 1 y 2 5 " 1 1.2 m 2 2 1 1 21.6 m 2 2 5 2.0 m ^ El vector unitario r est orientado del punto de origen al punto de campo. Esto equivale al cociente del vector de desplazamiento r del r punto de origen al punto de campo (que se muestra desplazado ha-

Una carga puntual q 8.0 nC est situada en el origen. Encuentre el vector de campo elctrico en el punto de campo x 1.2 m, y 1.6 m (Fig. 21.17).

r ^ 21.17 Vectores r, r, y E de una carga puntual.

r

810

c a p t u l o 21 | Carga elctrica y campo elctrico Por tanto, el vector de campo elctrico es E5r

cia un lado en la figura 21.17 para no ocultar los otros vectores) entre su magnitud r: ^ ^ xd 1 y e r ^ r5 5 r r ^ ^ 1 1.2 m 2 d 1 1 21.6 m 2 e ^ ^ 5 5 0.60d 2 0.80e 2.0 mr

1 q ^ r 4pP0 r2

5 1 9.0 3 109 N # m2/C2 2

^ ^ 1 0.60d 2 0.80e 2 1 2.0 m 2 2 ^ ^ 5 1 211 N/C 2 d 1 1 14 N/C 2 er

1 28.0 3 1029 C 2

EVALUAR: Dado que q es negativa, E se dirige del punto de campo ^ a la carga (el punto de origen), en el sentido opuesto a r (comprese con la Fig. 21.15c). Se deja el clculo de la magnitud y direccin r de E como ejercicio.

Ejemplo 21.7

Electrn en un campo uniformePLANTEAR: La figura 21.18 muestra un sistema de coordenadas. Se da el campo elctrico; por tanto, se aplica la ecuacin (21.4) para hallar la fuerza sobre el electrn y la segunda ley de Newton para encontrar su aceleracin. Puesto que el campo es uniforme entre las placas, la fuerza y la aceleracin son constantes y se pueden aplicar las frmulas de aceleracin constante del captulo 3 para hallar la velocidad y el tiempo de recorrido del electrn. La energa cintica se encuentra por medio de la definicin K 5 1mv2. 2 EJECUTAR: a) Advirtase que E es ascendente (en la direccin y) r pero F es descendente porque la carga del electrn es negativa. Por tanto, Fy es negativa. Puesto que Fy es constante, el electrn se mueve con aceleracin constante ay, dada por Fy 1 21.60 3 10219 C 2 1 1.00 3 104 N/C 2 2eE 5 5 ay 5 m m 9.11 3 10231 kg 15 2 5 21.76 3 10 m/s Se trata de una aceleracin enorme! Para imprimirle esta aceleracin a un automvil de 1000 kg, se necesitara una fuerza de alrededor de 2 1018 N (aproximadamente 2 1014 tons.). La fuerza gravitatoria sobre el electrn es por completo insignificante en comparacin con la fuerza elctrica. b) El electrn est inicialmente en reposo, por lo que su movimiento es slo en la direccin y (la direccin de la aceleracin). Podemos hallar la rapidez del electrn en cualquier posicin mediante la frmula de aceleracin constante vy2 v0y2 2ay(y y0). Tenemos v0y 0 y y0 0; por tanto, la rapidez |vy| cuando y 1.0 cm 1.0 102 m esr

Cuando se conectan los bornes de una batera a dos placas conductoras grandes paralelas, las cargas resultantes en las placas originan, en r la regin comprendida entre las placas, un campo elctrico E que es casi uniforme. (Veremos la razn de esta uniformidad en la seccin siguiente. Las placas con carga de este tipo se usan en ciertos dispositivos elctricos comunes llamados capacitores, los cuales se estudiarn en el captulo 24). Si las placas son horizontales y estn separadas 1.0 cm y conectadas a una batera de 100 volt, la magnitud del campo es r E 1.00 104 N/C. Supngase que la direccin de E es vertical ascendente, como lo muestran los vectores de la figura 21.18. a) Si se libera un electrn en reposo en la placa superior, cul es su aceleracin? b) Qu rapidez y qu energa cintica adquiere al recorrer 1.0 cm hacia la placa inferior? c) Cunto tiempo se requiere para que el electrn recorra esta distancia? Un electrn tiene una carga e 1.60 1019 C y una masa m 9.11 1031 kg. SOLUCIN IDENTIFICAR: En este ejemplo intervienen varios conceptos: la relacin entre campo elctrico y fuerza elctrica, la relacin entre fuerza y aceleracin, la definicin de energa cintica y las relaciones cinemticas entre aceleracin, distancia, velocidad y tiempo.

y

+ 100 V Er

O Fr

eE

r

1.0 cm

x

0 vy 0 5 "2ayy 5 "2 1 21.76 3 1015 m/s2 2 1 21.0 3 1022 m 25 5.9 3 106 m/s

21.18 Campo elctrico uniforme entre dos placas conductoras paralelas conectadas a una batera de 100 volt. (En esta figura se ha exagerado la separacin de las placas en comparacin con las dimensiones de stas).

La velocidad es descendente; por tanto, su componente y es vy 5.9 106 m/s. La energa cintica del electrn es 1 1 K 5 mv2 5 1 9.11 3 10231 kg 2 1 5.9 3 106 m/s 2 2 2 2 5 1.6 3 10217 J

21.5 | Clculos de campos elctricos c) Con base en la frmula de aceleracin constante vy v0y resulta que el tiempo necesario es muy breve: vy 2 v0y 1 25.9 3 106 m/s 2 2 1 0 m/s 2 t5 5 ay 21.76 3 1015 m/s2 5 3.4 3 1029 s (Tambin se podra haber hallado el tiempo despejando t de la ecuacin y 5 y0 1 v0y t 1 1 ay t 2). 2 ay t,

811

EVALUAR: Este ejemplo muestra que, cuando se resuelven problemas acerca de partculas subatmicas como los electrones, muchas magnitudes, como la aceleracin, la rapidez, la energa cintica y el tiempo, tienen valores muy diferentes de los que hemos observado en objetos ordinarios como pelotas y automviles.

Ejemplo 21.8

Trayectoria de un electrny

Si se lanza un electrn dentro del campo elctrico del ejemplo 21.7 con una velocidad horizontal inicial v0 (Fig. 21.19), cul es la ecuacin de su trayectoria?

SOLUCIN IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La fuerza y la aceleracin son constantes e iguales a las del ejemplo 21.7, y no hay aceleracin en la direccin x. Por consiguiente, se pueden utilizar las ecuaciones cinemticas del captulo 3 que describen el movimiento bidimensional con aceleracin constante. EJECUTAR: Se tiene ax 0 y ay (e)E/m. En t 0, x0 v0x v0 y v0y 0; por tanto, en el tiempo t, 1 1 eE 2 x 5 v0 t y y 5 ay t 2 5 2 t 2 2 m Eliminando t entre estas ecuaciones se obtiene 1 eE 2 y52 x 2 mv0 2 EVALUAR: sta es la ecuacin de una parbola, como la de la trayectoria de un proyectil lanzado horizontalmente en el campo graviy0 0,100 V

+ O

Fr

v0 eEr

x

E

r

21.19 Trayectoria parablica de un electrn en un campo elctrico uniforme.

tatorio de la Tierra (estudiada en la seccin 3.3). Con una velocidad inicial dada del electrn, la curvatura de la trayectoria depende de la magnitud del campo E. Si se invierten los signos de las cargas r de las dos placas de la figura 21.19, se invierte la direccin de E, y la trayectoria del electrn se curvar hacia arriba, no hacia abajo. De este modo se puede dirigir el electrn modificando las cargas de las placas. El campo elctrico entre placas conductoras con carga se utiliza en esta forma para gobernar la trayectoria de los haces de electrones en los osciloscopios.

Evale su comprensin En el ejemplo 21.4 (seccin 21.3), cul es el campo elctrico debido a las cargas q1 y q2 en el punto x 0.40 m, y 0?

21.5 | Clculos de campos elctricosLa ecuacin (21.7) proporciona el campo elctrico originado por una sola carga puntual. Pero en casi todas las situaciones reales en las que intervienen campos elctricos y fuerzas encontramos carga distribuida en el espacio. Las barras de plstico y de vidrio con carga de la figura 21.1 tienen carga elctrica distribuida en su superficie, como tambin la tiene el tambor formador de imgenes de una impresora lser (Fig. 21.2). En esta seccin aprenderemos a calcular campos elctricos creados por diversas distribuciones de carga elctrica. Los clculos de esta clase tienen una importancia enorme en las aplicaciones tecnolgicas de fuerzas elctricas. Para determinar trayectorias de electrones en un cinescopio, de ncleos atmicos en un acelerador para radioterapia de cncer o de partculas con carga en

812

c a p t u l o 21 | Carga elctrica y campo elctrico

un dispositivo electrnico semiconductor, es necesario conocer la naturaleza pormenorizada del campo elctrico que acta sobre las cargas. Para hallar el campo creado por una distribucin de cargas, conviene considerar la distribucin como compuesta de muchas cargas puntuales q1, q2, q3,.... (sta es en efecto una descripcin bastante realista, pues hemos visto que la carga se encuentra en electrones y protones tan pequeos que son casi como puntos). En cualquier punr r r to dado P, cada carga puntual produce su propio campo elctrico E 1, E 2, E 3, . . . , de modo que una carga de prueba q 0 colocada en P experimenta una fuerza r r r r F1 5 q0 E 1 ejercida por la carga q1, una fuerza F2 5 q0 E 2 ejercida por la carga q2, y as sucesivamente. Por el principio de superposicin de fuerzas analizado en la r seccin 21.3, la fuerza total F0 que la distribucin de carga ejerce sobre q0 es la suma vectorial de estas fuerzas individuales: F0 5 F1 1 F2 1 F3 1 % 5 q0 E 1 1 q0 E 2 1 q0 E 3 1 % El efecto combinado de todas las cargas de la distribucin queda descrito por el r campo elctrico total E en el punto P. Con base en la definicin de campo elctrico [ecuacin (21.3)], esto esONLINE

r

r

r

r

r

r

r

F0 r r r 5 E1 1 E2 1 E3 1 % E5 q0r

r

11.5 Campo elctrico debido a un dipolo 11.6 Campo elctrico: problemas

El campo elctrico total en P es la suma vectorial de los campos en P debidos a cada carga puntual de la distribucin de carga. ste es el principio de superposicin de campos elctricos. Cuando la carga est distribuida a lo largo de una lnea, sobre una superficie o en un volumen, algunos otros trminos resultan tiles. En el caso de una distribucin de carga lineal (como una barra de plstico larga y delgada con carga), se representa como (lambda) la densidad lineal de carga (carga en cada unidad de longitud, medida en C/m). Cuando la carga est distribuida sobre una superficie (como la superficie del tambor formador de imgenes de una impresora lser), se representa como (sigma) la densidad superficial de carga (carga en cada unidad de rea, medida en C/m2). Y cuando la carga est distribuida en un volumen, se representa como (ro) la densidad volumtrica de carga (carga en cada unidad de volumen, C/m3). Algunos de los clculos de los ejemplos que siguen pueden parecer muy intrincados; en los clculos de campos elctricos es parte integral de su naturaleza un cierto grado de complejidad matemtica. Despus de haber resuelto por cuenta propia los ejemplos paso a paso, el procedimiento parecer menos temible. En el captulo 28 haremos uso de muchas de las tcnicas de cmputo de estos ejemplos para calcular los campos magnticos creados por cargas en movimiento.

Estrategia para resolver problemas

Clculo del campo elctricoveces el punto del campo estar en alguna posicin arbitraria a lo largo de una lnea. Por ejemplo, se nos podra r pedir hallar E en cualquier punto sobre el eje de las x. EJECUTAR la solucin como sigue: 1. Asegrese de emplear un conjunto congruente de unidades. Las distancias deben estar en metros, y la carga, en coulomb. Si los datos estn en centmetros o en nanocoulomb, no olvide hacer las conversiones. 2. Al adicionar los campos elctricos creados por diferentes partes de la distribucin de carga, recuerde que el campo

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: Aplique el principio de superposicin siempre que necesite calcular el campo elctrico debido a una distribucin de carga (dos o ms cargas puntuales, una distribucin en una lnea, superficie o volumen o una combinacin de stos). PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos: 1. Haga un dibujo que muestre con claridad la ubicacin de las cargas y de los ejes de coordenadas elegidos. 2. En su dibujo, indique la posicin del punto del campo (el r punto en el que se desea calcular el campo elctrico E). A

21.5 | Clculos de campos elctricos

813

elctrico es una magnitud vectorial, por lo que es forzoso calcular la suma vectorial. No adicione de manera simple las magnitudes de los campos individuales; tambin las direcciones son importantes. 3. Aproveche toda simetra de la distribucin de carga. Por ejemplo, si una carga positiva y una carga negativa de igual magnitud se encuentran situadas simtricamente con respecto al punto del campo, producen campos elctricos de igual magnitud pero con direcciones que son como imgenes en el espejo. El aprovechamiento de estas simetras simplificar los clculos. 4. La mayora de las veces utilizar componentes para calcular sumas vectoriales. Aplique los mtodos que aprendi en el captulo 1; repselos, si es necesario. Utilice la notacin vectorial correcta; distinga minuciosamente entre escalares, vectores y componentes de vectores. Cercirese de que las componentes sean congruentes con los ejes de coordenadas elegidos. r 5. Al calcular las direcciones de los vectores E, tenga cuidado de distinguir entre el punto de origen y el punto del campo. El campo producido por una carga puntual siem-

pre apunta del punto de origen hacia el punto del campo si la carga es positiva, y apunta en el sentido opuesto si la carga es negativa. 6. En ciertas situaciones se tiene una distribucin continua de carga a lo largo de una lnea, sobre una superficie o en un volumen. En tales casos se debe definir un elemento pequeo de carga que se pueda considerar como un punto, hallar su campo elctrico en el punto P, y encontrar una forma de adicionar los campos de todos los elementos de carga. Por lo regular es ms fcil hacer esto con respecto a cada componente r de E por separado, y en muchos casos ser necesario evaluar una o ms integrales. Cercirese de que los lmites de sus integrales sean correctos; en especial cuando la situacin presente simetra, asegrese de no contar la carga dos veces. EVALUAR la respuesta: Compruebe que la direccin de E sea razonable. Si su resultado de la magnitud del campo elctrico E es funcin de la posicin (por ejemplo, la coordenada x), compruebe su resultado dentro de los lmites entre los que sepa que la magnitud debe estar. Si es posible, compruebe su respuesta calculndola de otro modo.r

Ejemplo 21.9

Campo de un dipolo elctricoel campo elctrico producido por q1, el campo originado por q2, y el campo total a) en el punto a; b) en el punto b; y c) en el punto c. SOLUCIN IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La figura 21.20 muestra el sistema de coordenadas y la ubicacin de los tres puntos del campo a, b y c. EJECUTAR: a) En el punto a el campo E 1 creado por la carga positir va q1 y el campo E 2 creado por la carga negativa q2 estn ambos dir r rigidos hacia la derecha. Las magnitudes respectivas de E 1 y E 2 son E1 5 1 0 q1 0 12 3 1029 C 5 1 9.0 3 109 N # m2 /C2 2 4pP0 r 2 1 0.060 m 2 2 1 0 q2 0 12 3 1029 C 5 1 9.0 3 109 N # m2 /C2 2 2 4pP0 r 1 0.040 m 2 2r r r

Las cargas puntuales q1 y q2 de 12 nC y 12 nC, respectivamente, se encuentran separadas por una distancia de 0.10 m (Fig. 21.20). Esta combinacin de dos cargas de igual magnitud y signo opuesto se llama dipolo elctrico. (Las combinaciones de este tipo se presentan con frecuencia en la naturaleza. Por ejemplo, en la figura 21.7 cada molcula del aislador neutro es un dipolo elctrico. Estudiaremos los dipolos con ms detenimiento en la seccin 21.7.) Calculey c a E2r

E1 a Ecr

r

5 3.0 3 104 N/C E2 513.0 cm 13.0 cm

5 6.8 3 104 N/C Las componentes de E 1 y E 2 son E1x 5 3.0 3 104 N/C E1y 5 0 E2y 5 0 E2 x 5 6.8 3 10 N/Cx4

Eb b 4.0 cm

r

q1

a 6.0 cm

+

a

Ea 4.0 cm

r

q2

Por tanto, en el punto a las componentes del campo elctrico total r r r E a 5 E 1 1 E 2 son

21.20 Campo elctrico en tres puntos, a, b y c, generado por las cargas q1 y q2, que forman un dipolo elctrico.

1 Ea 2 x 5 E1x 1 E2 x 5 1 3.0 1 6.8 2 3 104 N/C 1 Ea 2 y 5 E1y 1 E2y 5 0

814

c a p t u l o 21 | Carga elctrica y campo elctrico 104 N/C As pues, en el punto c el campo elctrico total tiene una magnitud de 4.9 103 N/C y est dirigido hacia la derecha; por tanto ^ E c 5 1 4.9 3 103 N/C 2 dr

En el punto a el campo total tiene una magnitud de 9.8 y est dirigido hacia la derecha; por tanto ^ E a 5 1 9.8 3 104 N/C 2 dr r

b) En el punto b el campo E 1 debido a q1 est dirigido hacia la izr quierda, en tanto que el campo E 2 debido a q2 est dirigido hacia la r r derecha. Las magnitudes respectivas de E 1 y E 2 son 12 3 1029 C 1 0 q1 0 5 1 9.0 3 109 N # m2 /C2 2 E1 5 2 4pP0 r 1 0.040 m 2 2 5 6.8 3 104 N/C E2 5 12 3 1029 C 1 0 q2 0 5 1 9.0 3 109 N # m2 /C2 2 4pP0 r 2 1 0.140 m 2 2r r r

Le resulta sorprendente que el campo en el punto c sea paralelo a la recta que une las dos cargas? EVALUAR: Otra forma de hallar el campo elctrico en c consiste en emplear la expresin vectorial del campo de una carga puntual [ecuacin 21.7)]. El vector de desplazamiento r1 de q1 al punto c, a r una distancia de r 13.0 cm, esr

^ ^ r 1 5 r cos a d 1 r sen a er

Por tanto, el vector unitario que apunta de q1 a c es ^ r1 5 r1 ^ 5 cos a d 1 sen a e^ r

5 0.55 3 104 N/C

Las componentes de E 1, E 2 y el campo total E b en el punto b son E1x 5 26.8 3 104 N/C E2x 5 0.55 3 10 N/C4

E1y 5 0 E2y 5 04

y el campo debido a q1 en el punto c es E1 5r

1 Eb 2 y 5 E1y 1 E2y 5 0

1 Eb 2 x 5 E1x 1 E2x 5 1 26.8 1 0.55 2 3 10 N/C

1 q1 1 q1 ^ ^ ^ 1 cos a d 1 sen a e 2 r 5 2 1 4pP0 r 4pP0 r2

Es decir, el campo elctrico en b tiene una magnitud de 6.2 N/C y est dirigido hacia la izquierda; por tanto ^ E b 5 1 26.2 3 104 N/C 2 dr r r

10

4

^ Por simetra, el vector unitario r2 que apunta de q2 al punto c tiene la componente x opuesta pero la misma componente y; por tanto, el campo en c debido a q2 es E2 5 Puesto que q2r r r

1 q2 1 q2 ^ ^ ^ 1 2cos a d 1 sen a e 2 r 5 2 2 4pP0 r 4pP0 r 2 q1, el campo total en c esr

c) En el punto c, tanto E 1 y E 2 tienen la misma magnitud, porque este punto equidista de ambas cargas y la magnitud de las cargas es la misma: E1 5 E2 5 1 0q0 12 3 1029 C 5 1 9.0 3 109 N # m2 /C2 2 2 4pP0 r 1 0.13 m 2 2r r

Ec 5 E1 1 E2 1 q1 ^ ^ 1 cos a d 1 sen a e 2 5 4pP0 r 2 1

5 6.39 3 103 N/C

Las direcciones de E 1 y E 2 se muestran en la figura 21.20. Las componentes x de ambos vectores son iguales: E1x 5 E2x 5 E1 cos a 5 1 6.39 3 103 N/C 2 5 2.46 3 103 N/C

1 25 13

1 1 2q1 2 ^ ^ 1 2cos a d 1 sen a e 2 4pP0 r 2 1 q1 ^ 1 2 cos a d 2 5 4pP0 r 2 5 1 9.0 3 109 N # m2/C2 2 ^ 5 1 4.9 3 103 N/C 2 d

12 3 1029 C 5 ^ 2 d 13 1 0.13 m 2 2

1 1 22

Por simetra, las componentes y E1y y E2y son iguales y opuestas y, por tanto, su suma es cero. Por consiguiente, las componentes del campo r total E c son

como antes.

1 Ec 2 x 5 E1x 1 E2x 5 2 1 2.46 3 103 N/C 2 5 4.9 3 103 N/C 1 Ec 2 y 5 E1y 1 E2y 5 0

Ejemplo 21.10

Campo de un anillo con cargaSOLUCIN IDENTIFICAR Y PLANTEAR: El punto del campo es un punto arbitrario sobre el eje x en la figura 21.21. La variable que se busca es el campo elctrico en ese punto en funcin de la coordenada x.

Un conductor de forma anular y cuyo radio es a tiene una carga total Q distribuida uniformemente en toda su circunferencia (Fig. 21.21). Encuentre el campo elctrico en un punto P situado sobre el eje del anillo a una distancia x de su centro.

21.5 | Clculos de campos elctricosy dQ dsr

815

dEx 5 dE cos a 5

a O Q

x2 a2

dQ 1 x 2 2 2 4pP0 x 1 a "x 1 a 2 x dQ 1 5 4pP0 1 x 2 1 a 2 2 3/2

a x dEy

P

dEx a dEr

x

Para hallar la componente x total Ex del campo en P, se integra esta expresin con respecto a todos los segmentos del anillo: Ex 5

x dQ 1 4pP0 1 x 2 1 a 2 2 3/2

21.21 Clculo del campo elctrico sobre el eje de un anillo con carga. En esta figura se supone que la carga es positiva. EJECUTAR: Como se muestra en la figura 21.21, imaginamos el anillo dividido en segmentos infinitesimales de longitud ds. Cada segmento tiene una carga dQ y acta como una fuente puntual de r campo elctrico. Sea dE el campo elctrico de uno de estos segmentos; el campo elctrico neto en P es entonces la suma de todas r las contribuciones dE de todos los segmentos que constituyen el anillo. (Esta misma tcnica da buen resultado en cualquier situacin en que la carga est distribuida a lo largo de una recta o curva). r El clculo de E se simplifica considerablemente porque el punto del campo P est sobre el eje de simetra del anillo. Considrense dos segmentos situados uno en la parte superior y en la inferior del r anillo: las contribuciones dE al campo en P de estos segmentos tienen la misma componente x pero componentes y opuestas. Por consiguiente, la componente y total de campo debida a este par de segmentos es cero. Al sumar las contribuciones de todos los pares r de segmentos de este tipo, el campo total E tendr slo una componente a lo largo del eje de simetra del anillo (el eje de las x), sin ninguna componente perpendicular a ese eje (esto es, ni componente y ni componente z). Por tanto, el campo en P queda descrito en su totalidad por su componente x Ex. Para calcular Ex, advirtase que el cuadrado de la distancia r de un segmento de anillo al punto P es r2 x2 a2. Por tanto, la magnitud r de la contribucin de este segmento, dE, al campo elctrico en P es dQ 1 dE 5 4pP0 x 2 1 a 2 Dado que cos te campo es x/r x/(x2 a2)1/2, la componente x dEx de es-

Puesto que x no vara al pasar de un punto a otro alrededor del anillo, todos los factores del lado derecho, salvo dQ, son constantes y se pueden sacar de la integral. La integral de dQ es simplemente la carga total Q, y finalmente se obtiene ^ E 5 Ex d 5r

Qx 1 ^ d 4pP0 1 x 2 1 a 2 2 3/2r

(21.8)

EVALUAR: Nuestro resultado de E muestra que en el centro del anillo (x = 0) el campo es cero. Esto es de esperar; las cargas situadas en lados opuestos del anillo empujaran en direcciones opuestas una carga de prueba situada en el centro, y la suma de las fuerzas sera cero. Cuando el punto de campo P est muy alejado del anillo en comparacin con el tamao de ste (es decir, x W a), el denominador de la ecuacin (21.8) se hace aproximadamente igual a x3 y la expresin aproximada es entonces E5r

1 Q ^ d 4pP0 x 2

En otras palabras, cuando estamos tan lejos del anillo que su radio a es insignificante en comparacin con la distancia x, su campo es igual al de una carga puntual. Para un observador alejado del anillo, ste parecera un punto, y el campo elctrico refleja este hecho. En este ejemplo empleamos un argumento de simetra para conr cluir que E tena slo una componente x en un punto del eje de simetra del anillo. En muchos casos emplearemos argumentos de simetra en ste y en subsiguientes captulos. No obstante, conviene tener en mente que los argumentos de este tipo se emplean slo en casos especiales. En un punto del plano xy que no est sobre el eje de las x en la figura 21.21, el argumento de simetra no es aplicable, y el campo tiene en general componentes tanto x como y.

Ejemplo 21.11

Campo de una lnea con carga21.10, la variable que se busca es el campo elctrico en P en funcin de la coordenada x. EJECUTAR: Se divide la carga lineal en segmentos infinitesimales, cada uno de los cuales acta como una carga puntual; sea dy la longitud de un segmento representativo a la altura y. Si la carga est distribuida de modo uniforme, la densidad lineal de carga en cualquier punto de la recta es igual a Q/2a (la carga total dividida entre la longitud total). Por tanto, la carga dQ en un segmento de longitud dy es

Una carga elctrica positiva Q est distribuida uniformemente a lo largo de una lnea de longitud 2a, que yace sobre el eje y entre y a y y a. (Esto podra representar una de las barras con carga de la figura 21.1). Halle el campo elctrico en el punto P situado sobre el eje de las x a una distancia x del origen. SOLUCIN IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La figura 21.22 muestra la distribucin de carga y el eje de coordenadas. Al igual que en el ejemplo

816y a dy dQ y O Q x r a dEy P

c a p t u l o 21 | Carga elctrica y campo elctrico EVALUAR: Empleando un argumento de simetra como en el ejemplo 21.10, podramos haber adivinado que Ey sera cero; si se coloca una carga positiva de prueba en P, la mitad superior de la recta de carga empuja hacia abajo sobre ella, y la mitad inferior empuja hacia arriba con igual magnitud. Para analizar nuestro resultado, veamos primero qu ocurre en el lmite donde x es mucho mayor que a. Despus, podremos despreciar a en el denominador de la ecuacin (21.9), y el resultado ser entonces 1 Q r ^ E5 d 4pP0 x 2 Esto significa que si el punto P est muy lejos de la carga lineal en comparacin con la longitud de la recta, el campo en P es equivalente al de una carga puntual. Encontramos un resultado semejante en el caso del anillo con carga del ejemplo 21.10. Obtendremos un dividendo adicional de nuestro resultado exacr to de E, [ecuacin (21.9)] si lo expresamos en trminos de la densidad lineal de carga Q/2a. Sustituyendo Q 2a en la ecuacin (21.9) y simplificando, se obtiene 1 l r ^ (21.10) E5 d 2pP0 x" 1 x 2/a 2 2 1 1 Ahora bien, qu ocurre si alargamos ms y ms la recta con carga, agregando carga en proporcin a la longitud total de modo que , la carr ga en cada unidad de longitud, permanezca constante? Y qu es E a una distancia x desde una lnea muy larga de carga? Para responder esta pregunta, tomamos el lmite de la ecuacin (21.10) conforme a se hace muy grande. En este lmite, el trmino x2/a2 del denominador se hace mucho menor que la unidad y se puede desechar. Lo que queda es l r E5 d^ 2pP0 x La magnitud del campo depende slo de la distancia del punto P respecto a la lnea de carga. Por tanto, en cualquier punto P a una distancia perpendicular r de la lnea en cualquier direccin, la magr nitud de E es E5 l 2pP0r (lnea infinita con carga)

dEx a dEr

x

a

21.22 Determinacin del campo elctrico en el punto P sobre la bisectriz perpendicular de una recta con carga de longitud 2a y carga total Q. En esta figura se supone que la carga es positiva. Qdy 2a

dQ 5 ldy 5

La distancia r de este segmento a P es (x2 y2)1/2; por tanto, la magnitud del campo dE en P debido a este segmento es dy Q dE 5 2 4pP0 2a 1 x 1 y 2 2 Representemos este campo en trminos de sus componentes x y y: dEx 5 dE cos a dEy 5 2dE sen a y2)1/2; comx (x2 Se advierte que sen y (x2 y2)1/2 y cos binando stas con la expresin de dE resulta que x dy Q dEx 5 2 4pP0 2a 1 x 1 y2 2 3/2 y dy Q dEy 5 2 2 4pP0 2a 1 x 1 y 2 2 3/2

Para hallar las componentes Ex y Ey del campo total, se integran estas expresiones teniendo en cuenta que, para incluir Q en su totalidad, es preciso integrar de y a hasta y a. Lo invitamos a resolver los detalles de la integracin; una tabla de integrales le ser de utilidad. Los resultados finales son dy Q 1 5 1 x 2 1 y 2 2 3/2 4pP0 x"x 2 1 a 2 2a y dy 1 Q a Ey 5 2 50 2 4pP0 2a 2a 1 x 1 y 2 2 3/2 Ex 5 1 Qx 4pP0 2a o, en forma vectorial, E5r

a

Q 1 ^ d 4pP0 x"x 2 1 a 2

(21.9)

As pues, el campo elctrico debido a una lnea con carga infinitamente larga es proporcional a 1/r, no a 1/r2 como en el caso de una r carga puntual. La direccin de E es radial hacia afuera con respecto a la recta si es positiva, y radial hacia dentro si es negativa. Desde luego que en la naturaleza no existen lneas de carga infinitas. Pero cuando el punto de campo est suficientemente prximo a la lnea, hay muy poca diferencia entre el resultado de una lnea recta infinita y el del caso finito de la vida real. Por ejemplo, si la distancia r del punto del campo al centro de la recta es el 1% de la longitud de la recta, el valor de E difiere del valor correspondiente a una longitud infinita en menos del 0.02%.

Ejemplo 21.12

Campo de un disco con carga uniformeva , en un punto a lo largo del eje del disco situado a una distancia x respecto a su centro. Suponga que x es positiva.

Halle el campo elctrico que produce un disco de radio R con una densidad superficial de carga (carga en cada unidad de rea) positi-

21.5 | Clculos de campos elctricos

817

R O r dr dQ Q P x dEx x

Ex 5

0

R

1 1 2psr dr 2 x sx 5 4pP0 1 x 2 1 r 2 2 3/2 2P0

0

R

r dr 1 x 2 1 r 2 2 3/2

21.23 Determinacin del campo elctrico sobre el eje de un disco con carga uniforme. En esta figura se supone que la carga es positiva. SOLUCIN IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La situacin y el sistema de coordenadas se muestran en la figura 21.23. Este ejemplo se asemeja a los ejemplos 21.10 y 21.11 en cuanto a que la variable que se busca es el campo elctrico en funcin de la coordenada x a lo largo del eje de las x. Podemos representar la distribucin de carga como un conjunto de anillos concntricos de carga dQ, como se muestra en la figura 21.23. El ejemplo 21.10 nos ha mostrado el campo de un solo anillo sobre su eje de simetra, de modo que lo nico que falta por hacer es reunir las contribuciones de los anillos. EJECUTAR: Un anillo representativo tiene una carga dQ, un radio interno r y un radio externo r dr (Fig. 21.23). Su rea dA es aproximadamente igual al prod