capitulo 2 solidos 2

Universidad de La Serena Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Obras Civiles

2. TORSIÓN EN BARRAS RECTAS

2.1. Barras Rectas de Sección Circular

Suposiciones

Secciones planas permanecen planas (no existe alabeo de las secciones)

La deformación se reduce a un giro “θ” por unidad de largo entre dos secciones.

Figura 2.1: Barra recta de sección circular.

El ángulo de torsión a la distancia “x” del extremo izquierdo de la barra de la figura es:

αθϕ += xx ·)(

Que es la ecuación de una Hélice Cilíndrica.

Para ángulos pequeños:

R··· θφ ≈ ⇒ R·θφ ≈

Curso de Mecánica de Sólidos II, Apuntes de Clase Profesor Dr.-Ing. Jaime Campbell Barraza

2-1


En un elemento de largo “dx”:

Figura 2.2: Elemento de largo dx.

La fibra AA’ sufre una distorsión angular:

θθγ ···'

' '1 r

dxdxr

AAAA

===

Y la tensión de corte es:

θγτ ···)( rGGr == (2.1)

Ahora, equilibrando los momentos torsores externo e interno, se tiene:

Figura 2.3: Equilibrio de momentos torsores.


2-2


∫=A

T dArrM )·(·τ

Incorporando (2.1):

∫∫ ==AA

T dArGdArGrM 2····· θθ ⇒ pT IGM ··θ= (2.2)

Entonces: p

T

IGM·

=θ (2.3)

Donde Ip es el momento de inercia polar de la sección circular (2

4RI pπ

= )

En el caso de las secciones circulares se cumple que: Ip= IT

Donde IT es la inercia torsional de la sección.

Se define la rigidez a la torsión como: G·Ip

Por lo tanto, el esfuerzo de corte es: rI

Mrp

T=)(τ (2.4)

Y el esfuerzo de corte máximo: RI

M

p

Tmáx =τ (2.5)

El módulo resistente a la torsión: RI

W pT = (2.6)


2-3


Figura 2.4: Líneas de falla en una sección circular sometida a torsión.

2.2. Torsión en barras rectas de sección maciza

Suposiciones

Secciones planas no permanecen planas (existe alabeo de las secciones). Este alabeo es

igual en todas las secciones de la barra.

La deformación es un giro constante “θ” por unidad de largo entre dos secciones junto

al alabeo de la sección.

Figura 2.5: Barra recta de sección cuadrada. Se observa el alabeo de las secciones.


2-4


Figura 2.6: Barra recta de sección no circular maciza.

Los desplazamientos de cualquier punto de la barra son (ecuaciones 2.7):

),(· zyux Ψ=θ

zxxru y ···cos·· θαθ −=−=

yxxruz ···sin·· θαθ ==

En donde se ha incluido la función Ψ(y,z), que es la función de alabeo de la sección.

θ),(

),(zyu

zy x=Ψ (2.8)

Esta función de alabeo es una función que sólo depende de la forma de la sección (es

función de la geometría) y no depende de la torsión.

Las deformaciones son (ecuaciones 2.9):

0=∂∂

=x

uxxxε


2-5


0=∂

∂=

yu y

yyε

0=∂∂

=z

uzzzε

−

∂Ψ∂

=∂

∂+

∂∂

= zyx

uy

u yxxy θε

[ ] 0=+−=∂∂

+∂

∂= xx

yu

zu zy

yz θε

+∂Ψ∂

=∂∂

+∂∂

= yzz

ux

u xzzx θε

Y las tensiones son (ecuaciones 2.10):

0=xxσ

0=yyσ

0=zzσ

−

∂Ψ∂

= zy

Gxy θσ ·

0=yzσ

+∂Ψ∂

= yz

Gzx θσ ·

Recordando la ecuación de equilibrio de tensiones:

0=∂∂

+∂

∂

zyxzxy σσ

(2.11)


2-6


Reemplazando las expresiones (2.10) en (2.11) y desarrollando queda:

0),(2

2

2

2

=∆Ψ=∂Ψ∂

+∂Ψ∂ zy

zy (2.12)

En la que se ha incluido el Operador de Laplace: 2

2

2

2

zy ∂∂

+∂∂

=∆

Si se introduce la Función de Torsión “T”, definida como (ecuaciones 2.13):

zzyTGxy ∂

∂=

),(··2 θσ

yzyTGxz ∂

∂−=

),(··2 θσ

De las ecuaciones (2.9):

θεε

2−=∂∂

−∂

∂

yzxzxy (2.14)

Como se sabe: G

xyxy

σε = y

Gxz

xzσ

ε =

θσσ

Gyz

xzxy 2−=∂∂

−∂

∂ (2.15)

Reemplazando (2.13) en (2.15):

1),(2

2

2

2

−=∆=∂∂

+∂∂ zyT

zT

yT (2.16)


2-7


Que es una ecuación diferencial de Poisson o de Laplace inhomogénea.

En algunas oportunidades se trabaja con una función de torsión de Airy “Φ”, que es

parecida a la anterior. En esos casos, se define “Φ” como:

),(·2),( zyTGzy θ=Φ

Y: θGzyzy

2),(2

2

2

2

−=∆Φ=∂Φ∂

+∂Φ∂

En el borde de la sección: y=y(s) y z=z(s)

Figura 2.7: Análisis en el borde de la sección.

Además: )()(

sdzsdy

xz

xy =σσ

⇒ 0=− dydz xzxy σσ

Reemplazando (2.13):

0==∂∂

+∂∂ dTdy

yTdz

zT (2.17)


2-8


Lo que significa que T=ctte. en el borde de la sección.

A partir de lo cual se puede elegir T=0 en el borde, ya que de T sólo interesan las

derivadas.

Además, verificando el equilibrio de momentos torsores en la sección:

Figura 2.8: Equilibrio de momentos torsores en la sección.

[ ]dAzyMA

xyxzT ··∫ −= σσ

Y desarrollando se llega a:

dAzyTGMA

T ∫= ),(4 θ (2.18)

En analogía con la torsión de barras de sección circular:

T

T

IGM·

=θ (2.19)

Donde se ha cambiado Ip por IT que es el momento de inercia torsional de la sección.


2-9


T

Tmáx W

M=τ (2.20)

Donde nuevamente WT es el módulo resistente a la torsión.

Reemplazando (2.19) en (2.18):

dAzyTIA

T ∫= ),(4 (2.21)

Finalmente:

máxxzxymáx22 σστ +=

máx

máx yT

zTG

22

2

∂∂

+

∂∂

= θτ

máxmáxTGradG .2 θτ =

Reemplazando (2.19): máx

T

T

máxTGrad

IM

.2=τ

Comparando con (2.20): máx

TT TGrad

IW.2

1= (2.22)

Ejemplo 2.1

Analizar el problema de torsión de la sección elíptica dada. Datos: a, b, G, MT.-


2-10


Figura 2.9: Ejemplo 2.1 (sección elíptica).

Solución

La ecuación del borde de la elipse es:

01),(22

=−

+

=

az

byzyf

Y en el interior: 0),( ≤zyf

Aplicando el Operador Laplaciano:

.112),( 222

2

2

2

ctteabz

fy

fzyf =

+=

∂∂

+∂∂

=∆

Si se elige: ),(·),( zyfzyT λ= ⇒ ),(·),( zyfzyT ∆=∆ λ

En donde λ es una constante.

Como se debe cumplir que: 1),( −=∆ zyT


2-11


Entonces: )(2112

122

22

22ba

ba

ab+

−=

+

−=λ

Por lo tanto:

−

+

+−= 1

)(2),(

22

22

22

az

by

babazyT

Además, las tensiones son:

zba

bGz

zyTGxy )(2),(··2 22

2

+−=

∂∂

= θθσ

yba

aGy

zyTGxz )(2),(··2 22

2

+=

∂∂

−= θθσ

A partir de las líneas de tensiones tangenciales:

yazb

dzdy

xz

xy2

2

−==σσ

⇒ 0·· 22 =+ dzzbdyya

Integrando la expresión anterior:

122 ·· Cdzzbdyya =+ ∫∫

1

22

22

22Czbya =+

22

2

2

2

Caz

by

=+


2-12


Que es la ecuación de una elipse concéntrica semejante a la inicial.

De las expresiones anteriores se ha podido apreciar que las tensiones σxy y σzy son

lineales.

Figura 2.10: Distribución de tensiones en la elipse.

22

2

2ba

baGmáxxzmáx +

== θστ

La inercia torsional es: π22

33

),(4ba

badAzyTIA

T +== ∫

El giro por unidad de longitud: π

θ 33

22

· baba

GM

IGM T

T

T +==

Como T

Tmáx W

M=τ , entonces:

2·· 2baWT

π=

Para determinar la función de alabeo se hace lo siguiente:

zTGz

yGxy ∂

∂=

−

∂Ψ∂

= θθσ 2·


2-13


yTGy

zGzx ∂

∂−=

+∂Ψ∂

= θθσ 2·

De cada una de las expresiones anteriores, se despeja:

zzT

y+

∂∂

=∂Ψ∂ 2

yyT

z−

∂∂

−=∂Ψ∂ 2

Como ya se definió, para una elipse:

−

+

+−= 1

)(2),(

22

22

22

az

by

babazyT

zba

bzT

22

2

+−=

∂∂ y y

baa

yT

22

2

+−=

∂∂

Entonces:

zbabazz

babz

zT

y 22

22

22

2

22+−

=++

−=+∂∂

=∂Ψ∂ (1)

ybabayy

baay

yT

z 22

22

22

2

22+−

=−+

=−∂∂

−=∂Ψ∂ (2)

Integrando (1): )(·),( 22

22

zfyzbabazy +

+−

=Ψ


2-14


Integrando (2): )(·),( 22

22

ygzybabazy +

+−

=Ψ

Comparando estos dos últimos resultados: .)()( ctteygzf ==

Y la función de alabeo resulta: zybabazy ·),( 22

22

+−

=Ψ

Figura 2.11: Forma de alabear de la sección.

Ejemplo 2.2

Analizar el problema de torsión de la rectangular delgada dada. Datos: b, h, G, MT.-

Figura 2.12: Ejemplo 2.2 (sección rectangular delgada).


2-15


Solución

Como la sección es delgada, se puede considerar que para z=0:

σxy=0 y σxz=τ(y)

Y además, que σxz es lineal con respecto a y, o sea:

σxz=τ(y)=2Gθ·y

Comparando con y

zyTGxz ∂∂

−=),(··2 θσ

Entonces: yy

zyT−=

∂∂ ),(

Considerando que: 02

=

±=

byT

∫∫−−

−=y

b

yT

bT

dyydT2/

)(

)2/(

·

−−=

−=≈

− 421

21)(),(

22

2/

2 byyyTzyTy

b

−−≈

22 218

),(bybzyT

La inercia torsional es:


2-16


∫∫∫−−

−===

2/

2/

222/

2/

218

4·)·,(4),(4b

b

b

bAT dy

byhbdyhzyTdAzyTI

3

3hbIT =⇒

El giro por unidad de largo es:

T

T

IGM·

=θ hGb

M T3

3=⇒θ

El esfuerzo de corte máximo:

bGbGmáxxzmáx

·2

2 θθστ ==≈ hb

M Tmáx 2

3=⇒ τ

El módulo resistente a la torsión:

máx

TT

MWτ

= 3

2hbWT =⇒

Para determinar la función de alabeo se procede de manera análoga a la sección

elíptica. La función de torsión es:

−−≈

22 218

),(bybzyT

0=∂∂

zT y

yT

−=∂∂


2-17


Entonces:

zzzT

y=+

∂∂

=∂Ψ∂ 2 (1)

yyyT

z=−

∂∂

−=∂Ψ∂ 2 (2)

Integrando (1): )(·),( zfyzzy +=Ψ

Integrando (2): )(·),( ygzyzy +=Ψ

Comparando estos dos últimos resultados: .)()( ctteygzf ==

Y la función de alabeo resulta: zyzy ·),( =Ψ

Figura 2.13: Forma de alabear de la sección.

Los resultados obtenidos anteriormente son válidos sólo si la sección rectangular es

delgada ( 10/ ≈bh ). En el caso de que esta relación sea distinta, se pueden usar los factores de

corrección indicados en la Tabla 2.2 para calcular τmáx y θ, teniendo en cuenta que se ha


2-18


cambiado “a” por “h”. Para calcular la Inercia Torsional (IT) y el Módulo Resistente a Torsión

(WT), se debe tener en cuenta que 2abWT ⋅= α y que 3abIT ⋅= β .

La solución analítica de la mayoría de las secciones macizas es bastante complicada.

Por lo anterior, a continuación se muestra la Tabla 2.1 en donde se indican los valores de τmáx

y θ para algunos prismas mecánicos comunes.

Tabla 2.1: Valores de τmáx y θ para algunos prismas mecánicos comunes.


2-19


El Módulo Resistente a Torsión y la Inercia Torsional se calculan con:

máx

TT

MWτ

= θ⋅

=GMI T

T

Para la sección rectangular de la Tabla 2.1, los coeficientes α y β son los indicados en

la Tabla 2.2.

Tabla 2.2: Valores de coeficientes α y β para secciones rectangulares.

a/b α β

1,0 0,208 0,141

1,5 0,231 0,196

2,0 0,246 0,229

2,5 0,256 0,249

3,0 0,267 0,263

4,0 0,282 0,281

6,0 0,299 0,299

10,0 0,312 0,312

∞ 0,333 0,333

La distribución de esfuerzos cortantes en secciones rectangulares y triangulares es

aproximadamente la siguiente:

Figura 2.14: Distribución de los esfuerzos cortantes en secciones rectangulares y triangulares.


2-20


Al respecto, se puede comentar que los esfuerzos máximos siempre ocurren en el punto

del borde de la sección más cercano al centro de la misma y que en las esquinas de la sección

los esfuerzos de corte son nulos.

2.3. Analogía con la sección elíptica

Se puede resolver de manera aproximada cualquier sección maciza, transformándola en

una elipse equivalente, de igual área A e inercia polar Ip.

De esta forma, se calcula para la sección maciza en estudio su área A y su inercia polar

Ip y se constituye un sistema de ecuaciones en donde se buscan los valores de a y b de los

semiejes mayor y menos de una elipse equivalente.

En general, el procedimiento es el siguiente:

Para una sección cualquiera se calcula A* e Ip*.

Por otro lado, se sabe que para una elipse cualquiera:

π··baA =

( )π·4· 22 babaI p +=

Entonces, se constituye el sistema de ecuaciones:

*·· Aba =π


2-21


( ) *22 ·4·

pIbaba=+ π

Del cual se obtienen los valores de a y b, con los cuales se evalúa:

π)( 22

33

babaIT +

=

GM

baba T

πθ 33

22 )( +=

Tmáx Mab π

τ 2

2=

2

2πabWT =

La ubicación de τmáx se determina de la misma forma indicada anteriormente.

Evidentemente, a través de este método no es posible determinar otros valores

asociados a la sección.

Ejemplo 2.3

Resolver la sección cuadrada de la figura usando la analogía con la sección elíptica.

Figura 2.15: Ejemplo 2.3.


2-22


Solución

Para el cuadrado de la figura: A=100 cm2

Ip=1.666,67 cm4

El sistema de ecuaciones es:

1) 100·· =πba π·

100b

a =⇒ (*)

2) ( ) 67,666.1·4· 22 =+ πbaba

Reemplazando (*) en (2):

0212,013.1667,66 24 =+− bb

Ó: 0212,013.1667,662 =+− uu

Resolviendo: u1=43,228 ⇒ b=±6,575

u2=23,439 ⇒ b=±4,841

Con b=6,575 resulta a=4,841.

Con b=4,841 resulta a=6,575.

Por lo tanto, la elipse equivalente tiene semiejes mayor y menor iguales a:

a=6,575

b=4,841


2-23


Con estos valores se obtiene: IT=1.519,633 cm4

θ=6,58·10-4 G

M T

τmáx=4,132·10-3 MT

WT=242,039 cm3

Comparando estos valores con los de la Tabla 2.1, para un cuadrado:

θ=7,11·10-4 G

M T (ε=7,4%)

τmáx=4,81·10-3 MT (ε=14,1%)

2.4. Perfiles de pared delgada

Para este apartado se adopta el siguiente sistema coordenado:

Figura 2.16: Sistema coordenado en perfiles de pared delgada.

Se definen las coordenadas de contorno ξ (coincidentes con el medio espesor), las

coordenadas transversas al contorno η y el espesor de la pared δ(ξ).


2-24


Los perfiles de pared delgada se pueden clasificar en:

Cerrados de una celda

Cerrados de varias celdas

Abiertos sin ramificaciones

Abiertos con ramificaciones

Mixtos

A continuación se desarrolla la teoría para algunos de las clasificaciones anteriores.

Perfiles Cerrados

Para una celda, se tiene:

Figura 2.17: Perfil cerrado de una celda.

Suposiciones:

)(ξτσ ξ =x

0=ησ x

),(),,( ξxuzyxu =


2-25


Se define el flujo de corte: ∫−

=2/

2/

·)(δ

δξ ησξ dt x

Y para perfiles delgados: )()·()( ξδξτξ =t

Haciendo el análisis para un elemento diferencial de perfil:

Figura 2.18: Elemento diferencial de perfil.

Haciendo sumatoria de fuerzas en dirección de x:

[ ] 0·)()·( =ξξδξτξ

ddd

0)( =ξξ

tdd

.)( cttett ==ξ

Tomando un elemento de contorno:


2-26


Figura 2.19: Tensiones en un elemento de contorno.

Es importante notar que uξ y τ(ξ) tienen la misma dirección (tangente al contorno del

perfil).

Haciendo equilibrio de momentos torsores y considerando que a(ξ) es la distancia

perpendicular desde el centroide de la figura hasta la línea de acción del elemento diferencial

de fuerza del punto en análisis:

∫= ξξδξτξ daM T )·()·()·(

∫= ξξ datM T )·(·

Pero: ∆= Areada ·2)·( ξξ

Entonces: mAda ·2)·( =∫ ξξ

Donde Am es el área de la superficie encerrada por la línea media del perfil de pared

delgada cerrado.

tAM mT ··2= )()·(·2

ξδξτ==⇒m

T

AMt


2-27


)(··2

)(ξδ

ξτm

T

AM

=⇒ (2.23)

Y el esfuerzo de corte máximo: mínm

Tmáx A

M)(··2 ξδ

τ = (2.24)

Que es la Primera Fórmula de Bredt (1896).

Se puede deducir además que: mínmT AW )(··2 ξδ= (2.25)

En cuanto a los desplazamientos se tiene que:

)(· ξθ Ψ=xu

αξθξ )·cos(·· rxu =

)(·· ξθξ axu =

Figura 2.20: Desplazamientos en un elemento de contorno.

Las deformaciones son:


2-28


x

uuxx ∂

∂+

∂∂

= ξξ ξ

ε

)(· ξθξ

ε ξ aux

x +∂∂

=

∫∫ = ξεξξτ ξ dGd x ·)·(

Reemplazando (2.24) en la expresión anterior:

+= ∫ ∫∫ ξξθξ

ξξ

ξδdad

ddu

GdA

M x

m

T )·(··)(

12

(*)

Pero: ∫∫ == 0· xx dud

ddu

ξξ

Y: mAda 2)·( =∫ ξξ

Por lo tanto: mm

T AGdA

M 2··)(

12

θξξδ∫ =

Entonces: ∫= ξξδ

θ dGAM

m

T ·)(

14 2 (2.26)

Que es la Segunda Fórmula de Bredt.

Además:

∫=

ξξδ

d

AI m

T

·)(

14 2

(2.27)


2-29


Si las integrales no son cerradas en la ecuación (*):

[ ])0()()0()(·0

Ψ−Ψ=−=∫ ξθξξξ

ξ

xxx uud

ddu

+Ψ−Ψ= ∫∫

ξξ

ξξξθξξδ 00

)·()0()(·)(

12

daGdA

M

m

T

De (2.26):

∫=

ξξδ

θ d

AGA

M m

m

T

·)(

12

2

Entonces:

∫∫

∫+Ψ−Ψ=

ξ

ξ

ξξξξ

ξδ

ξξδ

0

0 )·()0()(·

)(1

·)(

1

2 dad

dAm

Finalmente:

∫∫

∫−+Ψ=Ψ

ξ

ξ

ξξξ

ξδ

ξξδ

ξ0

0 )·(·

)(1

·)(

1

2)0()( dad

dAm (2.28)

Ejemplo 2.4

Para el perfil de pared delgada dado se pide determinar: τmáx, IT, θ, Ψ(ξ).


2-30



Solución

Am=b·h

WT=2Am·δmín=2·b·h·δ

δ

τ···2 hb

MWM T

T

Tmáx ==

∫=

ξξδ

d

AI m

T

·)(

14 2

δ

ξξδ

)·(2·)(

1 hbd +=∫

)(

2 22

hbhbIT +

=⇒δ

T

T

IGM·

=θ δ

θ 22

)(21

hbhb

GM T +

=⇒


2-31


Función de alabeo:

∫∫

∫−+Ψ=Ψ

ξ

ξ

ξξξ

ξδ

ξξδ

ξ0

0 )·(·

)(1

·)(

1

2)0()( dad

dAm

La función de alabeo se determina por tramos, en este caso cuatro tramos, aunque es

suficiente con definir los dos primeros por la antisimetría con respecto a la diagonal.

Para el tramo 1 (tramo superior)

ξδ

ξξδ

ξ 1·)(

1

0

=∫ d ha21)( =ξ 0)0( =Ψ

Entonces:

∫−+

=Ψξ

ξ

δ

ξδξ

01 2

1)(2

1

··2)( dhhb

hb ξξξ hhb

hb21

)(·)(1 −+

=Ψ⇒

Para el tramo 2 (tramo vertical)

ξδ

ξξδ

ξ 1·)(

1

0

=∫ d ba21)( =ξ

)()(

21)()0( 1 hb

hbbhb+−

==Ψ=Ψ ξ

Entonces:


2-32


∫−+

++−

=Ψξ

ξ

δ

ξδξ

02 2

1)(2

1

··2)()(

21)( db

hbhb

hbhbbh

ξξξ bhb

bhhbhbbh

21

)()()(

21)(2 −

++

+−

=Ψ⇒

Se demuestra que Ψ2(ξ=h)=0.

Perfiles Abiertos

Los perfiles de pared delgada abiertos se consideran como una serie de perfiles

rectangulares delgados solidariamente unidos, los cuales en conjunto asumen el momento

torsor aplicado y giran un mismo ángulo θ.

Figura 2.22: Perfil de pared delgada abierto.

Suposiciones:

)(ξτσ ξ =x

0=ησ x


2-33


),(),,( ξxuzyxu =

El flujo de corte es: 0)( =ξt

La inercia torsional es: ∑=

=n

iiiT hI

1

3 ·3

δβ (2.29)

El coeficiente β depende de la forma del perfil, por ejemplo:

Forma L T C H

β 1,00 1,12 1,12 1,30

θ·GI

MdI

dMI

M

T

T

T

T

Ti

Ti ===

iT

Ti

T

Ti

Ti

Tiii I

MdI

dMI

MG δδδδθτ ==== ·· (2.30)

Y τmáx se obtiene con δmáx.

O sea: máx

TT

IWδ

= (2.31)

La función de alabeo es igual a la de la sección cerrada pero con Am=0:

∫−Ψ=Ψξ

ξξξ0

)·()0()( da (2.32)


2-34


Análisis comparativo entre un tubo circular cerrado y uno abierto

Se comparan en torsión dos tubos circulares de radio R y espesor δ, uno cerrado y el

otro abierto. En este caso la relación se calcula considerando δ/R=0,1.

Figura 2.23: Tubos de pared delgada cerrado y abierto.

Propiedad Cerrado Abierto Relación

IT δπ

ξξδ

32

2·

)(14

Rd

Am =

∫ 3

2

0

3

32

31 δπξδ

π

RdR

=∫

300

WT δπδ 222 RAm = 2

32 δπ

δRIT =

30

τmáx δπ 22 R

MWM T

T

T = 223

δπRM

WM T

T

T = 1/30

Alabeo 0)( =Ψ ξ ξξ R−Ψ=Ψ )0()( --

Para el perfil abierto el corrimiento longitudinal entre ambos extremos es:

[ ] RRuRu xx πθπθπ 2·)0()2()0()2( =Ψ−Ψ=−


2-35


Cálculo de Perfiles de Pared Delgada de Varias Celdas

La resolución de los problemas de perfiles de pared delgada de varias celdas se realiza

usando las fórmulas correspondientes a los perfiles de una celda haciendo las siguientes

consideraciones:

Los giros de todas las celdas son iguales porque se encuentran solidariamente unidas.

El momento torsor aplicado a la sección es igual a la suma de los momentos torsores de

cada una de las celdas.

Es importante indicar que existen varias formas de usar las fórmulas dadas

anteriormente para resolver el problema de varias celdas. Dependiendo de cómo se consideren

las incógnitas del problema, pueden ser los flujos de corte en cada celda, las tensiones de corte

de cada rama o los momentos torsores de cada celda.

Para entender mejor lo anterior, a continuación se muestra un ejemplo de aplicación

considerando los flujos de corte como incógnitas.

Ejemplo 2.5

Para el perfil de pared delgada de varias celdas dado se pide determinar: τmáx, IT, θ.

Datos: MT, G, δ=1.



2-36


Solución

Considerando los flujos de corte en cada celda t1, t2 y t3 como las incógnitas del

problema:

Las áreas medias de cada celda son: Am1=Am3=100

Am2=200

Los perímetros que rodean cada celda son: s1=s3=52,36

s2=64,72

Los giros en cada celda son:

−

++=

δδδδθ 36,2236,221020

100··21

211 ttG

211 ·1118,0·2618,0· ttG −=θ (1)

−−

++=

δδδδδθ 36,2236,2236,222036,22

200··21

3122 tttG

3122 ·0559,0·0559,0·1618,0· tttG −−=θ (2)

−

++=

δδδδθ 36,2236,221020

100··21

233 ttG

233 ·1118,0·2618,0· ttG −=θ (3)

Además: [ ]321 ·100·200·1002 tttM T ++=

321 ·200·400·200 tttM T ++= (4)

Como los giros deben ser iguales, se puede hacer, por ejemplo:


2-37


θ1=θ3 y θ2=θ3

Con estas dos igualdades además de la ecuación (4), se determinan:

TMt 001057,01 =

TMt 001443,02 =

TMt 001057,03 =

De alguna de las ecuaciones 1, 2 o 3 se puede determinar el giro: G

M T000115,0=θ

La inercia torsional: θG

MI TT = 65,695.8=⇒ TI

Y el esfuerzo de corte máximo: mín

máxmáx

tδ

τ = Tmáx M001443,0=⇒τ

Este mismo problema se puede resolver usando las alternativas de incógnitas antes

indicadas. A continuación se muestran las ecuaciones de las alternativas para el caso de que se

consideren los momentos torsores “MTi” en cada celda “i” del perfil como las incógnitas.

El giro de cada celda se calcula con: ∑ ⋅⋅

=i mii

iTi

mjj A

sMAG δ

θ··41

El momento torsor total es: ∑=i

TiT MM


2-38


El trámite del problema es idéntico al del caso con los flujos de corte. Con los valores

de “MTi” determinados se puede calcular el giro unitario, la inercia torsional, los flujos de

corte por celda, las tensiones de corte por rama y el módulo resistente a torsión de la sección.

Cálculo de Perfiles de Pared Delgada Abiertos y Ramificados

La resolución de los problemas de perfiles de pared delgada abiertos y ramificados se

realiza usando las fórmulas correspondientes a una sección rectangular delgada y haciendo las

siguientes consideraciones:

Los giros de todas las ramas son iguales porque se encuentran solidariamente unidas.

El momento torsor aplicado a la sección es igual a la suma de los momentos torsores de

cada una de las ramas.

Figura 2.25: Perfil de pared delgada abierto ramificado.

El giro por unidad de largo es: ∑=

= n

iii

T

hGM

1

3 ·

13

δβθ

La Inercia Torsional: ∑=

=n

iiiT hI

1

3 ·3

δβ


2-39


Y el esfuerzo de corte en cada celda: ∑=

== n

iii

jTj

T

Tj

h

MI

M

1

3 ·

13

δβδ

δτ

Lo que define la falla en la rama de mayor espesor.

2.5. Restricción de alabeo en secciones tipo “I”

A continuación se estudia el comportamiento de una barra recta de sección “I”

empotrada en un extremo y sujeta a la acción de un momento torsor en su extremo libre. Esta

situación genera tensiones adicionales a las ya estudiadas en los apartados anteriores porque

implica la aparición del fenómeno de restricción de alabeamiento, el cual se produce debido a

la imposibilidad de la sección de deformarse en las proximidades del extremo empotrado.

Figura 2.26: Sección “I” empotrada en un extremo y sujeta a la acción de un momento torsor

en el otro.

El momento torsor en la barra se descompone en dos términos, uno asociado al

momento torsor puro (MT*) y otro asociado al momento necesario para vencer la restricción de

alabeamiento (MT**), es decir:


2-40


)()( *** xMxMM TTT +=

El momento torsor puro e define exactamente igual que en la secciones anteriores con

la sola excepción de que el giro por unidad de largo ya no es constante sino que varía con la

distancia al empotramiento.

)(··)(* xIGxM TT θ=

Para determinar el momento torsor asociado a la restricción de alabeamiento se hace lo

siguiente:

Figura 2.27: Esfuerzos y desplazamientos de la sección “I”.

A partir de lo indicado en la figura:

∫=x

dxxx0

)·()( θϕ

hxwIEhxQxM AT )·('''··)·()(** −==

Donde IA es el momento de inercia del ala con respecto al eje z.


2-41


zzA II21

≈

Además:

2

)·()( hxxw ϕ≈ 2

)·()(' hxxw θ=⇒

2

)·(''2

)·(''')(''' hxhxxw θϕ ==

)(''··)(''4

·)(2

** xCExhIExM TzzT θθ −=−=

En que: 4

··2hIECE zzT =

Es la resistencia al alabeamiento de la sección.

)()( *** xMxMM TTT +=

)(''··)(·· xCExIGM TTT θθ −=

Las condiciones de borde del problema son:

0)0(2

)0(' == θhw 0)0( =⇒θ

0)(''·· =− wIE A 0)(' =⇒ θ


2-42


La solución de la parte homogénea es:

)·cosh()·sinh()( kxBkxAx +=θ

Donde: T

T

CEIGk

··

=

La solución particular es: T

T

IGM

x·

)( =θ

La solución completa es:

T

T

IGMkxBkxAxxx·

)·cosh()·sinh()()()( ++=+= θθθ

)·sinh(·)·cosh(·)(' kxkBkxkAx +=θ

De las condiciones de borde:

0·

)0( =+=T

T

IGMBθ

T

T

IGMB·

−=⇒

0)·sinh(··

)·cosh(·)(' =−= kkIG

MkkAT

Tθ )tanh(·

kIG

MAT

T=⇒

Por lo tanto:

[ ])sinh()tanh()cosh(1·

)( kxkkxIG

MxT

T +−=θ


2-43


Reordenando:

[ ])sinh()tanh()cosh(1)()(·· *

kxkkxM

xMM

xIG

T

T

T

T +−==θ

Si se grafica esta ecuación resulta lo siguiente:

Figura 2.28: Gráfica T

T

MxM )(*

versus x.

Finalmente, las tensiones que aparecen son:

1.- Tensiones tangenciales de corte por torsión pura, debido al momento:

)(··)(* xIGxM TT θ=

2.- Tensiones normales en las alas, debido a la restricción de alabeamiento:


2-44


yxhEyI

xwIEyxA

Axx )·('·

2·)(''··),( θσσ −=

−==

3.- Tensiones de corte en las alas, debido a la restricción de alabeamiento:

−−==

221)(''··4·

23

·)()·(),(

byxh

AIE

IySxQyx

A

zz

A

θδ

τ

La restricción de alabamiento tiene efectos apreciables en secciones con alas. En

secciones macizas esta restricción puede considerarse despreciable si las dimensiones de la

sección son pequeñas en comparación con el largo de la pieza.


2-45

capitulo 2 solidos 2

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