capítulo 2. representación de imágenes digitales la intensidad luminosa f(x,y) se puede...
TRANSCRIPT
Capítulo 2. Representación de imágenes digitales
La intensidad luminosa f(x,y) se puede caracterizar por dos componentes:
a) La cantidad de luz incidente en la escena visualizada (iluminación), que representaremos por i(x,y)[0, ). Esta componente viene determinada por la fuente luminosa. Por ejemplo, el nivel de iluminación en una oficina comercial es de unas 100 candelas-pies.
b) La cantidad de luz reflejada por los objetos de la escena (capacidad reflectora), que representaremos por r(x,y)[0,1], donde el valor 0 representa absorción total y el valor 1 reflexión total. Esta componente viene determinada por las características de los objetos de la escena. Por ejemplo, el acero tiene 0.65 y la nieve 0.93.
Las escenas dinámicas donde aparecen objetos en movimiento complican más todavía la visión por ordenador.
f(x, y) = i(x, y) r(x, y)
Capítulo 2. Representación de imágenes digitales
Matriz vinculada a una imagen
Una matriz vinculada es:
a) Una matriz cuyos elementos aij R{*}
b) Un indicador (p,q) que especifica la posición del primer elemento de la matriz en la rejilla utilizada en la digitalización de la imagen.
qprsrjr
isiji
sj
aaa
aaa
aaa
,1
1
1111
......
...............
......
...............
......
*****
*
*
**
,
7201
1333
253
20
Capítulo 2. Representación de imágenes digitales El entorno vertical y horizontal de tamaño 5 del píxel p, de coordenadas
(i,j){(i+1,j), (i-1,j), (i,j), (i,j+1), (i,j-1)} N5(p)
El entorno diagonal de tamaño 5 del píxel p, de coordenadas (i,j),
{(i+1,j+1), (i-1,j-1), (i,j), (i-l,j+1), (i+1,j-1)} ND (p)
El conjunto de pixeles N5(p)ND (p) es un entorno de tamaño 9 del píxel p N9 (p).
Para estudiar la relación entre píxeles vamos a tener en cuenta su proximidad espacial y su similitud en los niveles de gris.
Capítulo 2. Representación de imágenes digitales
Sea V el conjunto de valores de los tonos de gris utilizado para definir la conectividad
• Conectividad de tipo 5: los píxeles p y q con valores en V están conectados si qN5(p)
• Conectividad de tipo 9: los píxeles p y q con valores en V están conectados si qN9(p)
• Conectividad de tipo mixto: los píxeles p y q con valores en V están conectados si:
qN5 (p) ó
qND (p) y el conjunto N5 (p)N5 (q) no tiene pixeles con niveles de gris que pertenezcan a V.
Capítulo 2. Conectividad mixta
0 1 1
0 1 0
0 0 1
Capítulo 2. Conectividad mixta
• Se dice que el píxel p es adyacente al píxel q, si los dos están conectados. • Dos subconjuntos de píxeles (imágenes) S1 y S2 se dice que son adyacentes si
algún píxel de S1 es adyacente con algún píxel de S2.
• Un camino desde el píxel p, con coordenadas (xo ,yo ), al píxel q, con coordenadas (xn, yn), es una sucesión de diferentes píxeles con coordenadas
(xo ,yo ), (x1 ,y1 ) ,..., (xn-1 , yn-1 ), (xn , yn),
donde (xi ,yi) es adyacente a (xi-1 ,yi-1 ).
Diremos que la longitud de este camino es n.
Si p y q son pixeles de un subconjunto S, entonces diremos que p está conectado con q en S, si existe un camino de p a q formado sólo por pixeles de S. Para cualquier píxel p de S, el conjunto de pixeles de S que están conectados con p se dice que es una componente conexa de S.
Capítulo 2. Operaciones aritméticas, geométricas, lógicas y vectoriales
Operaciones aritméticas:
* es ),( ),( *
),(),,( ),(),(),(),(
jigójifsi
RjigjifsijigjifjigfSUM
* es ),( ),( *
),(),,( ),(),(),(),(
jigójifsi
RjigjifsijigjifjigfMULT
*),( *
*),( ),(),();(
jifsi
jifsijiftjiftESCALAR
),(),(,),( jviufjivufTRAS
[NOVENTA(f)](i,j) = f(-j, i) [NOVENTA(f)](i,j) = f(j, -i)
[FLIP(f )](i, j)=f (-j, -i)
Capítulo 2. Operaciones base de datos
Ventana W = { (i,j): h i h+r , k j k+s}
caso otroen *
),( para),(),(),,,;(
WjijifjikhnmfSELECT
caso otroen ),(
*),( ),(),(),(
jig
jifsijifjigfEXTESION
caso otroen *
),(),( si),(),( kkk jijiy
jiRDCREAR
*),(si *
),(si 0
),(si 1
),();(
jif
tjif
tjif
jitfUMBRAL
*),(si *
),(si 0
),(si ),(
),();(
jif
tjif
tjifjif
jitfTRUNCAR
Capítulo 2. Operaciones base de datos
*),(si *
*),(y ),(si 0
),(si 1
),();(
jif
jiftjif
tjif
jitfIGUAL
*),(si *
),(si 0
),(si 1
),();(
jif
tjif
tjif
jitfMAYOR
fDji
jiffPIXSUM),(
),()(
)(
)()(
FCARD
fPIXSUMfMEDIA
dominio distinto el tienen gy f si*
dominio mismo el tienen gy f si),(),(),( ),( Dji
jigjifgfPRESC
Capítulo 2. Operaciones vectoriales
),(,..., ),(, ),(max),( 21 jifjifjifjif n
),(...),( ),(),( 211 jifjifjifjif n
2/1222
212 ),(...),( ),(),( jifjifjifjif n
Capítulo 2. Filtros
Entorno del píxel (i,j), de tamaño (2m+1) (2n+1):
N(2m+1)(2n+1)(i, j) = { (r, s)ZZ : i-m r i + m; j - n s j + n }
Máscara (o plantilla) g de tamaño (2m+1)(2n+1)
),(...),0(...),(
...............
)0,(...)0,0(...)0,(
...............
),(...),0(...),(
nmgngnmg
mggmg
nmgngnmg
( , )
*( , ) ( , )· ( , )r s N
f i j f i r j s g r s
Filtro de promedio:
Capítulo 2. Filtros
05.01.005.0
1.04.01.0
05.01.005.0Filtro de promedio:
726252423222
868675303030
867530303045
863030304545
303030454545
30x0.05+30x0.1+30x0.5+30x0.1+30x0.4+75x0.1+30x0.05+75x0.1+86x0.05 = 41
41
Capítulo 2. Filtros
05.01.005.0
1.04.01.0
05.01.005.0
Filtro de promedio de paso baja:
• Elementos de la máscara aij 0
• Suman la unidad1
,
ji
ija
Capítulo 2. Filtros
04.004.004.004.004.0
04.004.004.004.004.0
04.004.004.004.004.0
04.004.004.004.004.0
04.004.004.004.004.0Filtro de promedio de paso baja:
Capítulo 2. Filtros
00002.0
0002.00
002.000
02.0000
2.00000Filtro de promedio de paso baja:
Capítulo 2. Filtros
025.00
25.0125.0
025.00
Filtro de promedio de paso alta:
• Elementos de la máscara positivos y negativos
• Suelen sumar cero
111
000
111
Capítulo 2. Filtros
025.00
25.0125.0
025.00Filtro de promedio de paso alta:
I 5·abs(E)
Capítulo 2. Filtros
Filtro de promedio de paso alta:
111
000
111
Capítulo 2. Filtros
Los filtros de promedio móvil pueden ser:
• Invariantes en el espacio, en cuyo caso, la imagen filtrada se obtiene de la aplicación de la misma máscara a cada uno de los píxeles la imagen,
• Variables en el espacio, cuando el filtro se realiza mediante la aplicación de una colección de máscaras, de manera que a subconjuntos diferentes de píxeles se le aplican máscaras diferentes.
Capítulo 2. Filtros
[MIN(f, N)](i, j) = Min { f(r, s): (r,s)N(i ,j) }.
[MAX(f, N)](i, j) = Max { f(r, s): (r,s)N(i ,j) }.
Filtros no lineales:
726252423222
868675303030
867530303045
863030304545
303030454545
30
86
Capítulo 2. Filtros
Aplicación: Corrección de una iluminación no uniforme:
MIN32x32
Capítulo 2. Filtros
[MEDIANA(f, N)](i, j) = Mediana { f(r, s): (r,s)N(i ,j) }.
Filtros no lineales:
726252423222
868675303030
867530303045
863030304545
30303045454575
30 52 63 72 75 75 86 86 86
Capítulo 2. Filtros
Filtro MEDIANA
Capítulo 2. Filtros
Filtro MEDIANA
• Atenúa el ruido
• Preserva aristas verticales
• Atenúa el ruido
• Preserva aristas horizontales
Capítulo 2. Filtros Gradiente
Filtros Diferencia:
),1(),(),()( jifjifjifDX
)1,(),(),()( jifjifjifDY
DX ABS UMBRAL
t
BORDESBORDESImagenImagen
-1 1
1
-1
Operador Gradiente: [GRAD(f)](i,j) = ([DX(f)](i,j) , [DY(f)](i,j) )
Capítulo 2. Filtros Diferencia Simétrica
Filtros diferencia simétrica: [SIMDX(f)](i ,j) = ( [DX(f)](i, j) + [DX(f)](i+1, j) )/2
= [f(i+l, j) - f(i-l, j)] / 2
[SIMDY(f)](i ,j) = ( [DY(f)](i, j) + [DY(f)](i, j+1) )/2
= [f(i, j+1) - f(i, j-1)] / 2
Operador diferencia simétrica:
SIMGRAD(f) = (SIMDX(f), SIMDY(f)),
-½ 0 ½
½
0
-½
Capítulo 2. Filtros
Filtro de PrewittFiltro de Prewitt:
[PREWDX(f)](i,j) = ( [DX(f)](i+l,j+1) + [DX(f)](i,j+1) + [DX(f)](i+l,j) +
[DX(f)](i,j) + [DX(f)](i+l,j-1) + [DX(f)](i,j-l) )/6
= [ f(i+l,j+l) + f(i+l,j) + f(i+l,j-l) - f(i-l,j+l) - f(i-1,j) - f(i-l,j-l)) ]/6.
PREWGRAD(f) = (PREWDX(f) , PREWDY(f))
-1 0 1
-1 0 1
-1 0 1
1 1 1
0 0 0
-1 -1 -1
Capítulo 2. Filtros
Filtro de SobelFiltro de Sobel:
SOBGRAD(f) = (SOBDX(f), SOBDY(f)).
-1 0 1
-2 0 2
-1 0 1
1 2 1
0 0 0
-1 -2 -1
Capítulo 2. Filtros
Filtro de Roberts:
),1()1,(
2
2 , )1,1(),(
2
2),()( jifjifjifjifjifROBGRAD
-1 0
0 1
0 1
-1 0
Capítulo 2. Filtros
Filtro de promedio de paso alta:
111
121
111
111
121
111
111
1 21
1 11
1 11
121
111
SESSO
OE
NENNO
111
121
111
111
121
111
111
121
111
111
121
1 11
Capítulo 2. Matrices de relación espacial
• Se pretenden analizar las relaciones espaciales entre los píxeles con tonos de gris parecidos
• Se establece una relación espacial
R(r, s) : (i, j) (i + r, j + s)
• Dada una relación R, representaremos por hR(p, q) el número de pares de píxeles (i, j) y (i´,j´) tales que:
• (i, j) R (i´, j´) , es decir, (i, j) está relacionado con (i´, j´)• f(i, j) = p y f(i´, j´) = q
rs
.
)1,1(...)0,1(...)0,1(
...............
)1,(...),(...)0,(
...............
)1,0(...),0(...)0,0(
);(
LLhLhLh
Lrhsrhrh
Lhshh
Rfh
RRR
RRR
RRR
Matriz de relación espacial
Capítulo 2. Matrices de relación espacial
• Búsqueda de texturas
• Relación espacial: R2,0
• Imagen binaria (textura):
• Matriz de relación espacial:
01010
10101
01010
10101
60
06
Capítulo 2. Matrices de relación espacial
• ¿Texturas más finas?
•Relación espacial: R1,0
• Imagen binaria (textura):
• Matriz de relación espacial:
01010
10101
01010
10101
08
80
Capítulo 2. Matrices de relación espacial
• ¿Texturas?
•Relación espacial: R1,1
• Imagen binaria (textura):
• Matriz de relación espacial:
01010
10101
01010
10101
60
06
Capítulo 2. Matrices de relación espacial
• ¿Texturas? ¿Bordes?
•Relación espacial: R1,1
• Imagen binaria (textura):
• Matriz de relación espacial:
303040
031414
314030
140404
f
31000
12000
00000
00021
00023
Capítulo 2. Matrices de relación espacial
Examen Febrero 04:¿Cómo detectarías la textura de una imagen constituida por dos elementos de textura de tamaño 3232 que se repiten según se muestra en la figura 3?
Respuesta:
Mediante la matriz de relación espacial tomando como relación espacial la siguiente:
R0,64 : (i, j) (i , j + 64)o bien, R64,0 : (i, j) (i + 64, j)
Dicha matriz va a tener todos sus elementos nulos fuera de la diagonal principal
Capítulo 2. La transformada de Fourier
• Jean Baptiste Joseph FourierFourier presentó en 1807 sus resultados sobre la propagación y difusión del calor en el Instituto de Francia en los cuales proponía que una señal periódica se podía representar mediante series sinusoidales.
• Representación de ondas cuadradas:
)9(9
1)7(
7
1)5(
5
1)3(
3
1)()( xsenxsenxsenxsenxsenxf
Capítulo 2. La transformada de Fourier
Transformada de Fourier:
• ¿Qué es? Es una descomposición de la imagen en estructuras periódicas.
• La variables u y v se llaman frecuencias absolutas. También se pueden utilizar
las variables 1 = 2u y 2 = 2y, que se llaman frecuencias angulares.
• Su magnitud se llama espectro de Fourier:
• Ángulo de fase:
dxdyeyxfvuF yvxui )(2),(),(
)()cos( xisenxe ix
),(),(),( 22 vuIvuRvuF
),(
),(),(
vuR
vuIarctangvu
F(u,v)
θu
v
Capítulo 2. La transformada de Fourier
Transformada inversa de Fourier:
Interpretación de la Transformada de Fourier: Nos da los coeficientes de ponderación en las diferentes frecuencias de las funciones exponenciales complejas (patrones sinusoidales) que nos conducen al valor de la función f(x,y) como límite de estas sumas ponderadas.
Propiedades de la Transformada de Fourier:
Operador lineal
Convolución
dudvevuFyxf yvxui )(2),(),(
., )),,(()),(()),(),(( RbRayxgbTyxfaTyxbgyxafT
dsdttysxgtsfyxgf ),(),(),(
),(),(),(()),(()),(( vuGvuFyxgTyxfTyxgfT
Capítulo 2. La transformada de Fourier
Ejemplo:
ax
a xMxf
si 0
si )(
-a a
dxexfuF iux2)()(
a
a
iuxdxMe 2
a
a
iux
iu
eM
2
2
ui
eeM
iuaiua
1
2
22
u
uasenM
)2(
ua
uasenaM
2
)2(2
)2(2 uaaMsenc
M
Capítulo 2. La transformada de Fourier
Fuente puntual: Función delta de Dirac
Cualquier imagen se puede considerar como una suma de fuentes puntuales.
La función que transforma una fuente puntual se llama función de
esparcimiento.
caso otroen 0
)2/(1 ),2/(1 si ),(
2 nynxnyxn
,...2,1 ,1),( ndxdyyxn 1/2n
n2
nv
nvsen
nu
nusenyxT n /
)/(
/
)/()),((
1
Capítulo 2. La transformada de Fourier discreta
u = 0,1,2,…,M-1, v = 0,1,2,…,N-1
Inversa:
m = 0,1,2,…,M-1, n = 0,1,2,…,N-1
1
0
1
0
2
),(1
),(M
m
N
n
N
vn
M
umi
enmfMN
vuF
1
0
1
0
),(1
)0,0(M
m
N
n
nmfMN
F
1
0
1
0
2
),(),(M
u
N
v
N
vn
M
umi
evuFnmf
Capítulo 2. La transformada de Fourier discreta
Log (Magnitud) Fase
Reconstrucción a partir de la magnitud
(con fase=0)
Reconstrucción a partir de la fase (con módulo constante)
Capítulo 2. La transformada de Fourier discreta
Ejemplo:
06/10
6/13/16/1
06/10
f
0 1 ( 1) 0 0 0 1 0 0 ( 1)2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1( , )
9 6 6 3 6 6
u v u v u v u v u vi i i i i
F u v e e e e e
2 / 3 2 / 3 2 / 3 2 / 312
54iv iv iu iue e e e
11 cos(2 / 3) cos(2 / 3)
27u v
m = -1 0 1
n= 1
0
-1