capitulo 2 del libro sobre frp

CAPÍTULO 2

FLEXIÓN

RESUMEN

FLEXIÓN

42

2.1 FLEXIÓN PURA

En la figura 2.1 se presenta el modelo que normalmente se utiliza para ensayos de flexión en vigas y como es de uso muy común vale la pena resolverlo y hacer algunos comentarios de este modelo en el que actúan dos cargas puntuales separados una cierta distancia, en la figura esta separación es /2. Siendo la luz libre, en el tramo central el momento a flexión es constante y el cortante es nulo.

Figura 2.1 Modelo utilizado en ensayos de flexión pura

• Análisis en /4

En este tramo el momento . . De la resistencia de materiales se sabe:

. Al reemplazar la ecuación de momentos en esta ecuación y al integrar una vez se obtiene el giro y al volver a integrar se halla del desplazamiento vertical, .

..

. 2

2 .

.6 . .

Donde es la carga vertical; es el modulo de elasticidad del material; es el momento de inercia; , son constantes de integración que se hallan en base a las condiciones de borde.

0 0 De donde 0

4 .

384 ..4

4 . 2

32 .

ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE

43

• Análisis en Para este tramo la ecuación de momentos es: . /4, al proceder en forma similar al primer sector de la viga se encuentra.

..

4

.

4 .

. .8 .

Donde , son constantes de integración. En /2 el giro es cero, con lo que la constante de integración vale:

.8 .

Ahora se halla el desplazamiento vertical y el giro en /4

.128 .

.32 .

3 .

128 .

θ x .

16 ..

8 .

θ x .

16 .

Por compatibilidad de deformaciones el giro evaluado en el primer tramo debe ser igual al giro evaluado en el tramo central en /4. Luego:

Con lo que se obtiene:

.32 .

.16

De donde la constante de integración

FLEXIÓN

44

3 .32 .

Ahora al igualar los desplazamientos:

.384 . 4 .

332

..

3 .128 .

De donde:

.

384 .

Por lo tanto, para

4 3 4

.

8 . .

8 . .

384 .

.

8 . .

4 .

.

4 .

Donde es la curvatura. Para el centro de luz /2

11 384 .

Como se indicó al comienzo de este apartado, con el modelo de la figura 2.1, se tiene

solo flexión en el tramo central y es de esperarse que cuando se aplican las cargas monotónicas la primera grieta se produzca en el centro de luz pero no siempre sucede eso debido a que el hormigón no es homogéneo, para lograr que la primera grieta se presente en el centro es recomendable hacer una pequeña fisura en la parte inferior de la viga en el centro de luz, esta fisura va a alterar los resultados en un porcentaje muy bajo.

La primera rajadura a veces aparece cerca del sitio de aplicación de la carga pero al

continuar con el ensayo el fallo se da en el centro de luz.

2.2 MOMENTO DE INERCIA DE UNA SECCIÓN RECTANGULAR SIN FRP

Al momento de inercia que en el apartado anterior se denominó se lo va a llamar ahora para el caso en que la sección no esté agrietada e para una sección agrietada. Se presenta en primer lugar el momento de inercia de una viga rectangular de base y altura sin considerar la armadura longitudinal.

(2.1)

(2.2)


45

12

2.2.1 Sección no agrietada

Para este caso se tiene dos opciones, la primera en que solo se considera la contribución de la armadura a tracción y la segunda en que se considera la armadura a tracción y compresión.

• Considerando armadura a tracción

. . . . _ . 1 . . _

_

12 . . 1 . .

. 1 .

Donde y son los módulos de elasticidad del acero, y hormigón respectivamente;

es la profundidad del eje neutro antes del agrietamiento; es la armadura a tracción; es la distancia desde la fibra a compresión hasta el centro del acero a tracción.

• Considerando armadura a compresión y tracción

112 . . . . _

12 . 1 . . _ . _

_

12 . . 1 . . .

. 1 .

Las variables no definidas todavía, son: es el área del acero a compresión; es la

distancia desde la fibra a compresión al centro del acero a compresión.

• EJEMPLO 1

En la Universidad Tecnológica Nacional (U.T.N.) de Mendoza, Palencia (2012) ensayó a flexión una viga rectangular de 10 cm., de ancho por 15 cm., de altura, armada con 2 10 . en la parte inferior y con 2 6 . en la parte superior; los estribos son cerrados de 4.2 ., espaciados como se indica en la figura 2.2.

Figura 2.2 Vista Longitudinal de la viga ensayada. Palencia (2012).

(2.5)

(2.9)

(2.4)

(2.3)

(2.8)

FLEXIÓN

46

El hormigón utilizado tuvo una resistencia a la compresión de 158.36 / ; el módulo de elasticidad 182928.69 ;el módulo de elasticidad del acero 2039432 ;

la fluencia del acero es 4200 . En la figura 2.3 se observa la viga con carga concentrada sobre un carril que transmite a dos rodillos con sus correspondientes instrumentos para medir el desplazamiento vertical. En la tabla 2.1, se indica la carga actuante y la deformación vertical en el centro de luz.

Figura 2.3 Viga ensayada por Palencia (2010) en la U.T.N. de Mendoza.

Tabla 2.1 Historia de cargas y desplazamientos en centro de luz, medidos por Palencia (2012).

300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 . 0.33 0.66 1.34 1.91 2.43 3.03 3.83 4.71 5.64 6.67

Se pide:

1. Utilizando el modelo de Park et al. (1982) determinar la resistencia del hormigón confinado, debido a que el refuerzo transversal es considerable.

2. En base a la resistencia del hormigón confinado determinar el módulo de elasticidad del hormigón utilizando la relación del ACI 2005.

3. Encontrar en forma analítica el desplazamiento vertical en el centro de luz de tres formas: i) sin considerar la armadura; ii) considerando solo la armadura a tracción; iii) considerando la armadura a compresión y tracción, en el cálculo del momento de inercia grueso y considerando .

• SOLUCIÓN

1. Resistencia de Hormigón Confinado: El modelo propuesto por Park et al. (1982) para

determinar la resistencia del hormigón confinado es:

1

(2.10)

(2.11)


47

Donde: es la relación volumétrica entre el refuerzo transversal y el hormigón confinado; es el límite de fluencia del refuerzo transversal; , son la resistencia a compresión del hormigón sin y con confinamiento. Con los datos de la viga se obtuvo:

0.0118; 1.3124; 207.83 / .

2. Módulo de Elasticidad del Hormigón: La ecuación propuesta por el ACI para encontrar el módulo de elasticidad es:

15000

Al reemplazar en la ecuación anterior, se halla: 216250 / .

3. Comparación de valores obtenidos experimentalmente con modelos analíticos: En la figura 2.4 se presenta en línea continua (curva inferior) los desplazamientos hallados experimentalmente, hasta una carga axial de 600 kg., la viga trabaja en el rango elástico en este punto se presentan las primeras grietas que no se aprecian visualmente (punto de agrietamiento, Pcr) por lo que cambia la pendiente de la recta. Las tres curvas superiores corresponden a las que se hallan con inercias gruesas calculadas de la siguiente manera: considerando la armadura a tracción y compresión, este es el modelo se tiene mayor rigidez a flexión; luego se tiene la curva en que se solo se considera la armadura a tracción y finalmente la que no considera la armadura.

Figura 2.4 Desplazamientos verticales encontrados experimental y analíticamente con modelo

de hormigón confinado.

El modelo de solo considerar inercias gruesas en términos generales es bastante satisfactorio. Los errores medios son: 0.1147 mm., calculado con , ; 0.1337 mm., hallado solo con ; y 0.1869 mm., sin considerar la armadura. Palencia et al. (2013). En la figura 2.5 se presenta el modelo de cálculo que está en concordancia con la forma en que se realizó el ensayo.

FLEXIÓN

48

Figura 2.5 Modelo utilizado para el cálculo analítico.

2.2.2 Sección agrietada

Nuevamente al aplicar el concepto de la sección transformada y luego de realizar compatibilidad de deformaciones y equilibrio de fuerzas se halla:

• Viga simplemente armada

_ . . 2. . .

.

13 . . _ . . _ 1 ′

Donde _ es la profundidad del eje neutro de la sección agrietada; es el eje neutro de la sección agrietada respecto al eje neutro. Estrictamente en la ecuación (2.13) no debió colocarse el término de la armadura a compresión , por que el formulario es para viga simplemente armada se lo colocó para que el lector vea que se calcula con respecto al eje neutro. La variable no definida es que es la distancia desde la armadura a compresión al borde de la zona a compresión.

• Viga doblemente armada

_

3. . . 1 . ′ 1 1

.

1 . ′

.

13 . . _ . . _ 1 . ′ . _ ′

Para el cálculo de la deflexión, el ACI (2005) recomienda que se utilice la expresión

empírica propuesta por Branson que está basada en análisis estadístico y es la siguiente:

1

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)


49

Donde es el momento de agrietamiento; es el momento máximo al que está sometida la sección para la cual se está evaluando el desplazamiento vertical; es el momento de inercia grueso e es el momento de inercia agrietado. El momento de agrietamiento se encuentra con la siguiente ecuación:

.

_

La variable todavía no definida es que es el módulo de rotura del hormigón a

tracción, que se puede calcular con la siguiente ecuación (en kg/cm2), para un hormigón de peso normal.

1.989 ′ Donde la resistencia a la compresión del hormigón está en kg/cm2.

• EJEMPLO 2

Con los datos de la viga ensayada en la U.T.N. de Mendoza, Palencia (2012) comparar los desplazamientos experimentalmente con los que se hallan analíticamente con hormigón confinado f ‘cc,, considerando inercias gruesas hasta el punto de agrietamiento y después calcular con la inercia efectiva , calculada como el promedio de la inercia gruesa y la inercia agrietada.

• SOLUCIÓN

En la tabla 2.2 se presenta, en la segunda columna, la inercia gruesa obtenida para cuando solo se considera la armadura a tracción y para cuando se considera también la armadura a compresión; en la tercera columna, se indica la inercia agrietada para las dos condiciones de armadura y en la cuarta columna la inercia efectiva hallada como un promedio de las inercias gruesa y agrietada, un cálculo más exacto sería calcular con la ecuación de Branson.

Tabla 2.2 Cálculo de la Inercia efectiva para después del punto de agrietamiento. Calculado con: Inercia gruesa

(cm4) Inercia agrietada

(cm4) Inercia efectiva

(cm4) 3187.97 1403.68 2295.82 3344.63 1442.61 2393.62

En la figura 2.6 se ha estimado aproximadamente el punto de fluencia, para poder

explicar los resultados obtenidos; hasta dicho punto, es muy buena la aproximación del modelo analítico con los resultados experimentales. Para valores superiores a si existe diferencia que se podría corregir disminuyendo el valor de la inercia efectiva. 2.3 REFORZAMIENTO DE UNA VIGA CON FRP

En la figura 2.7, se indican los pasos a seguir para reforzar una viga a flexión con FRP, en este caso con fibra de carbono Sikawrap Hex 103 C.

Se inicia el reforzamiento limpiando bien al elemento estructural (cepillado) y si es del

caso se debe eliminar todas las partículas sueltas y las aristas que puedan romper al FRP, ver figura superior izquierda de 2.7; posteriormente se coloca un sellante, en la viga reforzada en la U.T.N. de Mendoza se utilizó Hydropox de Ferrocement, se pueden dar dos manos de este material que tiene por objetivo sellar todas las porosidades y preparar a la superficie para la colocación del pegante que se observa en la parte inferior izquierda de la figura 2.7.

(2.16)

(2.17)

FLEXIÓN

50

Figura 2.6 Comparación de desplazamientos hallados con inercia gruesa y efectiva.

El pegante utilizado en el reforzamiento de la viga de la figura 2.7, fue un adhesivo

epoxi pastoso tipo Pacher Damp de Ferrocement; este pegante se colocó aproximadamente después de 45 minutos de haber colocado el Hydropox. Se dio una sola mano de pegante; finalmente se coloca la fibra de carbono como se ilustra en la parte inferior derecha de 2.7.

Cepillado y eliminación de aristas. Colocación de sellador (imprimante)


51

Colocación de adhesivo Colocación de Fibra de Carbono

Figura 2.7 Reforzamiento de una viga con Fibra de Carbono. Palencia (2012).

• EJEMPLO 3

En la U.T.N., Palencia (2012) construyó otra viga igual a la del Ejemplo 1, pero esta la reforzó a flexión mediante una capa de Sikawrap Hex 103 C. Las características de la viga y del CFRP se indican a continuación.

• Datos de la viga

10 . 13 . 1.57 15 . 2 . 0.5655

• Datos de CFRP

1 5 . 0.12 .

9600 0.0133 731000 La nomenclatura de la viga ya fue indicada, resta presentar la nomenclatura del CFRP.

es el número de capas del material; es el ancho del material; es el espesor del material, curado; es el esfuerzo de rotura del material; es la deformación última del material; es el módulo de elasticidad del material. Se ensayó la viga en forma similar a la del Ejemplo 1 y se obtuvieron los siguientes desplazamientos en el centro de luz indicados en la tabla 2.3.Se pide:

1. Presentar el diagrama carga desplazamiento de las vigas sin y con reforzamiento con

CFRP. Identificar en forma aproximada los puntos de agrietamiento y de fluencia 2. Presentar el diagrama momento curvatura de las vigas sin y con reforzamiento con

CFRP. Identificar en forma aproximada e identificar aproximadamente los puntos , .

Tabla 2.3 Historia de cargas y desplazamientos en centro de luz, en viga con CFRP.

300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 . 0.28 0.56 1.08 1.60 2.10 2.60 3.25 4.00 4.72 5.5

• SOLUCIÓN

1. Desplazamientos en Centro de luz: Se presentan en la figura 2.8, como era de

esperarse la viga reforzada con una capa de CFRP tiene menores desplazamientos. En forma aproximada se ha identificado los puntos de agrietamiento y de fluencia como aquellos en los cuales cambia la pendiente de la recta.

FLEXIÓN

52

2. Diagrama Momento Curvatura : Las ecuaciones con las cuales se obtuvo la relación momento-curvatura son:

11 .

384 .4

Figura 2.8 Desplazamiento de la viga sin y con CFRP.

Figura 2.9 Relación Momento Curvatura de viga sin y con CFRP.


53

De la figura 2.9 se puede obtener, en forma aproximada los siguientes valores para la viga reforzada con CFRP.

15000 . 0.00002 1

45000 . 0.00009 1

No se pudo obtener el momento último debido que a partir de los 3000 kg, ya no se

midió las deformaciones y se llevó a la rotura. En el colapso prácticamente el hormigón llegó a la deformación máxima y el CFRP se rompió (delaminación), las dos fueron simultaneas. En un diseño se debe encontrar la condición que se alcanza primero: el fallo en el hormigón o en el FRP. 2.3.1 Deformación inicial en el instante de colocar el FRP.

Un motivo por el cual se decide reforzar una estructura, es por ejemplo, que se va a dar otro uso a la misma. Por lo tanto, antes de colocar el FRP, se debe calcular la deformación que tiene la viga por efecto de las cargas que actúan sobre ella en el instante del reforzamiento.

Antes de determinar se recuerda que la curvatura , asociada a un momento

que actúa en la viga al instante de colocar el FRP, es:

Donde la inercia puede ser si o puede ser si . En la figura 2.10 se presentan las dos alternativas para una viga rectangular doblemente armada. Se denomina a la deformación inicial del hormigón a compresión; ′ a la deformación inicial del acero a compresión; a la deformación inicial del acero a tracción; a la deformación del hormigón en el sitio e instante en que se colocará el FRP. Por tratarse de valores extremadamente pequeños podemos decir que la curvatura es igual a:

Figura 2.10 Viga rectangular y diagramas de deformación.

Recordando que la profundidad del eje neutro , puede ser o , de acuerdo a

si la sección se encuentra o no agrietada. Luego:

Finalmente reemplazando la curvatura, en la anterior, se obtiene

FLEXIÓN

54

.

Como se ha indicado, en la ecuación (2.18) la Inercia puede ser o . Es

conveniente que una vez que se halla , se determinen las deformaciones iniciales tanto del hormigón y acero en compresión y del acero en tracción, de esta forma se conoce más a la sección que se va a reforzar.

• Para el hormigón en compresión

• Para el acero en compresión

′ ′

• Para el acero a tracción

• EJEMPLO 4

Para la viga del Ejemplo 3, considerando 207.83 / ; 216250 /; 2039.432 / . Se pide:

1. Encontrar el momento , el momento de agrietamiento y la curvatura de

agrietamiento . 2. Detallar el cálculo del momento de inercia agrietado y comparar con el momento de

inercia no agrietado. Esto se presentó en la tabla 2.2. 3. Hallar la deformación al instante de colocar la fibra, 4. Deducir una ecuación aproximada para el cálculo del momento de una viga

reforzada con FRP.

• SOLUCIÓN

1. Momentos: , y curvatura : La carga vertical por metro lineal, actuante al instante de colocar el CFRP, es debida al peso propio y vale:

0.10 0.15 2.4 0.36 /

.8

0.36 1758 1378.13 .

1.989 ′ 1.989√207.83 28.674 /

9.4309

_

12 . . 1 . . .

. 1 . 7.7772 .

. . . . _ . 1 . . _ . _ 3212.6

(2.18)


55

._

28.674 3212.6

15 7.7772 12754 .

_

0.0002

15 7.7772 0.000027 1

Se consideró que la deformación a tracción del hormigón 0.0002. Marín (1980)

La curvatura y momento encontrados analíticamente son del mismo orden de las

obtenidas en forma visual en el Ejemplo 3. Se destaca que todavía existe bastante investigación en la determinación del momento y curvatura de agrietamiento.

2. Momento de inercia agrietado: Para esto se debe determinar la cuantía de acero ; el

eje neutro agrietado _ y luego

. 1.57

10 13 0.0121

_ . . 2. . . 4.90

13 . . _ . . _ 1 ′ 1403.66

El momento de inercia grueso es 3212.6 cm4 y el momento de inercia agrietado es

1403.66 cm4; la diferencia es notable. Con estos valores 0.44 .

3. Deformación al instante de colocar la fibra : El momento al instante de colocar la fibra de carbono es 1378.13 . , que es menor que el momento de agrietamiento 12754 . . Por lo tanto se trabaja con la profundidad del eje neutro no agrietado 7.7772 . y con la inercia gruesa 3212.6 .

. 1378.13 15 7.7772

216250 3212.6 0.000014328

Figura 2.11 Diagrama de deformación y fuerzas para una viga con FRP. Calculo del punto Y.

4. Cálculo del momento de fluencia en una viga reforzada con FRP: Se entiende que la

cuantía de acero no es alta por eso es que se decide reforzar con FRP, de tal manera que para el cálculo del punto Y, se puede considerar que la distribución de esfuerzos en el hormigón es de tipo lineal como se muestra a la derecha de la figura 2.11. A la izquierda se presenta una viga simplemente armada con armadura y el área transversal del FRP es ; se define la cuantía del FRP, de la siguiente manera:

FLEXIÓN

56

En la parte central de 2.11, se tiene el diagrama de deformaciones; en el hormigón a

compresión se tiene ; por definición del punto de fluencia el acero a tracción alcanza a y en la fibra la deformación es que tiene que ser menor a . Por compatibilidad de deformaciones se halla:

1 1

De donde:

1

De igual manera por compatibilidad de deformaciones se halla:

1

. .

1

Como aproximación se considera que ; estrictamente no lo es comos se aprecia

en la última ecuación pero tampoco está lejos de ese valor. Ahora del equilibrio de fuerzas se tiene:

12 . . .

Al colocar , en función de la cuantías de acero y de FRP y luego de simplificar . ,

se halla:

Se define:

Se va a demostrar que la tensión en el FRP

Al sustituir en la ecuación (2.21) y al factorar se tiene:

12 .

Se denomina:

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.24)

(2.23)

(2.19)


57

Luego:

2

Al reemplazar (2.25) en (2.20) se tiene:

1 2

2 2 0

La solución de esta ecuación es:

2

Por lo tanto, el momento de fluencia, sin considerar la armadura a compresión, es:

3

3

Ahora se calcula el momento de fluencia, con los datos de la viga reforzada.

0.0121 1 0.12 5

10 13 0.0046

0.3584 0.01373

2 0.3956 0.3584 4200 1505.42 /

1.57 4200 130.3956 13

3 0.60 1505.42 150.3956 13

3 86417.3 .

Existe una diferencia considerable entre el momento de fluencia hallado analíticamente con el observado en el ejemplo anterior.

2.4 DISEÑO A FLEXIÓN DE UNA VIGA CON FRP 2.4.1 Factor de reducción ambiental

La exposición a diferentes condiciones ambientes reducen las propiedades de tensión, fractura y fatiga del FRP, por lo tanto dichas propiedades deben ser limitadas basándose en las condiciones de exposición ambienta, en el que se encuentra el elemento estructural a ser reforzado con CFRP o con GFRP.

La norma ACI 440 del 2008 hace referencia al factor de reducción CE para limitar tanto

la deformación unitaria y el esfuerzo en el FRP utilizando las siguientes expresiones:

.

. Donde , , son la deformación y esfuerzo a tracción, últimos, dados por el

fabricante del material “curado”; , , son las deformaciones y esfuerzos últimos por condiciones ambientales. Los valores de reducción por condiciones ambientales se indican en la tabla 2.4, y están basados en estimaciones conservadoras de la durabilidad del FRP.

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

FLEXIÓN

58

Tabla 2.4 Factor de reducción ambiental CE

Condiciones de exposición

Fibra de Carbono CFRP

Fibra de Vidrio GFRP

Ambiente interior 0.95 0.75 Ambiente exterior 0.85 0.65

Ambientes agresivos 0.85 0.50

Ambientes agresivos se refiere a lugares con prolongada exposición a humedad, agua salada, alcalinidad, etc. Lo importante es notar que si se puede colocar al exterior las platinas de carbono, todo lo que se debe hacer es considerar un factor de reducción menor con respecto a que si se coloca en un ambiente interior. 2.4.2 Factor de reducción por flexión

La deformación unitaria debe ser reducida todavía más para prevenir una falla prematura por despegue de la lámina en el sustrato de hormigón, esta deformación es la correspondiente al nivel al cual el despegue puede ocurrir. Es un factor de seguridad de lo que se conoce experimentalmente y de las hipótesis de cálculo; se lo define con la siguiente expresión obtenida mediante ensayos a flexión de vigas reforzadas:

0.41′

. . 0.9

Donde: es la deformación efectiva de diseño; ′ es la resistencia a la compresión

del hormigón; es el número de capas de FRP que se necesita colocar; es el módulo de elasticidad del FRP; es el espesor del FRP. Como se verá más adelante el diseño a flexión se hace en forma iterativa y en cada una de las etapas de cálculo se calculará la deformación en el FRP que tendrá que ser menor a . 2.4.3 Modos de Falla

Se debe determinar la deformación en el concreto pensando en los dos modos de falla que pueden presentarse y son: falla por aplastamiento del hormigón en compresión o falla del FRP por delaminación o rotura.

• Aplastamiento del concreto

0.003 Se toma la máxima deformación utilizable del hormigón a compresión

• Falla del FRP

.

La menor de las dos deformaciones consideradas, será la que se utilice para el cálculo de deformaciones en estado último del los demás materiales y por lo tanto será la que defina cuál es el modo de falla que gobierna.

(2.29)

(2.30)


59

2.4.4 Posición del eje neutro de la viga con FRP

Una vez que se coloque el FRP de refuerzo en el elemento de hormigón, la profundidad del eje neutro va a cambiar. El cálculo del eje neutro se realiza en forma iterativa hasta lograr el equilibrio de las fuerzas internas de compresión y tracción en la sección. Para el cálculo se asume la profundidad del eje neutro inicial, se calcula el nivel de deformación en cada material utilizando compatibilidad de deformaciones, se obtiene el nivel de esfuerzo asociado a la deformación en cada material y finalmente se verifica el equilibrio de las fuerzas internas.

Si las fuerzas internas resultantes no se equilibran, la profundidad del eje neutro debe

ser revisada y el procedimiento se repite hasta que estas fuerzas se “igualen”. Luego de que se tenga el equilibrio de fuerzas internas se encuentra el momento nominal de la sección. Lo expresado en este párrafo se explica a continuación con más detenimiento. Paso 1.- Asumir una posición inicial del eje neutro ; una buena aproximación puede ser

empezar con el valor de calculado para la sección fisurada. Varios investigadores también recomiendan un valor de entre 0.15 y 0.2 , siendo la altura efectiva. Cualquiera sea el valor inicial debe ser ajustado durante cálculo.

Paso 2.- Calcular las deformaciones en la fibra superior del concreto, considerando los dos

modos de falla que se indicaron en el apartado anterior

Paso 3.- Determinar las deformaciones unitarias en estado último para el resto de materiales basándose en la deformación de la fibra superior del concreto

• Acero a compresión

′′

• Acero a tracción

• FRP

Se debe verificar que

Paso 4.- Calcular los esfuerzos en condiciones últimas para cada material basándose en las

deformaciones últimas. Previamente se debe determinar la deformación de fluencia del acero

Donde: es la formación del acero correspondiente al punto de fluencia; es el esfuerzo de fluencia del acero y es el módulo de elasticidad del acero.

• Acero a compresión Si la deformación última en el acero a compresión es mayor que la deformación de fluencia, se tiene:

FLEXIÓN

60

′ , ′

Pero si la deformación última del acero a compresión es menor que la de fluencia el esfuerzo generado será:

′ ′ ′

Se está trabajando con un modelo elástico perfectamente plástico para el acero.

• Acero a tracción Para el acero a tracción se cumplen las mismas condiciones del acero a compresión y se trabaja con el mismo modelo: elasto-plasto

,

.

• FRP

El FRP por tener un comportamiento netamente elástico se la considera como lineal-elástica hasta la rotura. Por lo tanto, el esfuerzo en cualquier momento será:

Donde es el esfuerzo en el FRP; es el módulo de elasticidad del FRP; es la deformación unitaria del FRP.

Paso 5.- Calcular los parámetros α y del bloque de esfuerzos equivalentes del concreto que

se indican en la figura 2.12. Antes de explicar cómo se encuentran éstos valores se describe esta figura ya que ayuda a entender el cálculo.

A la izquierda se tiene una viga doblemente armada, con armadura a tracción y armadura a compresión ′ que no se la ha colocado ya que se ha achurado la sección del hormigón que está trabajando a compresión. Posteriormente se indica el diagrama de deformaciones, luego la curva constitutiva del hormigón que tiene una fuerza resultante .

Figura 2.12 Diagrama de deformaciones, esfuerzos y fuerzas de una viga con FRP

Existen varios modelos para la curva esfuerzo-deformación del hormigón, uno de ellos es el de Hognestad que contempla una curva parabólica hasta alcanzar la resistencia ′ y una lineal hasta la rotura. Pero en estos modelos es bastante complicado

encontrar la resultante y la posición en que actúa dicha resultante, por este motivo

(2.31)


61

se acostumbra trabajar con el bloque rectangular de Whitney que se muestra a la derecha, de la figura 2.12, en el cual es muy sencillo determinar , el área de un rectángulo y su resultante que se halla en la mitad de . En Park and Paulay (1979) se encuentran una serie de modelos para el hormigón no confinado, en caso de que no se desee trabajar con el bloque rectangular de Whitney. Los valores de y , definen el bloque rectangular de Whitney, también conocido como bloque del ACI, precisamente los valores recomendados por el ACI (2005) son los siguientes: 0.85, y 0.85 para hormigones con resistencia menor o igual a 280 kg/cm2 y disminuye en 0.05 por cada 70 kg/cm2 que se incremente la resistencia.

Paso 6.- Calcular las resultantes de fuerzas internas en la sección.

• Fuerza de compresión en el concreto

. . . ′ .

• Fuerza de compresión en el acero

′ ′ . ′

• Fuerza de tracción en el acero

.

• Fuerza de tracción en el FRP

. Paso 7.- Chequear el equilibrio verificando que la fuerza resultante sea nula.

′ 0 De no cumplirse esta última condición se regresa al Paso 1 para modificar la

profundidad del eje neutro y se desarrolla nuevamente todo el proceso hasta conseguir el equilibrio en el Paso 7. Estrictamente no se verifica que la ecuación (2.32) sea igual a cero sino que sea menor a una tolerancia dada.

Por otro lado para que la convergencia sea más rápida se puede utilizar el Método de

la Bisección. Cuando se inicia el Paso 1, se tiene un eje neutro ; cuando se realiza el Paso 7, en realidad lo que se determina es un nuevo eje neutro ; para el nuevo ciclo de cálculo se trabaja con:

2

2.4.5 Cálculo de la capacidad a flexión

Una vez que se determina el eje neutro, que satisface la condición de equilibrio de fuerzas; el nuevo momento último que resiste la sección reforzada con FRP se calcula mediante la siguiente ecuación que no es más que la suma de los momentos resistentes del acero a: tracción, compresión, y el FRP.

′ .

(2.32)

(2.33)

(2.34)

FLEXIÓN

62

. ..

2 ′ . ′ ..

2 ′ . . ..

2

Las variables no definidas todavía son los coeficientes de reducción y . El factor de reducción adicional que se aplica a la contribución del refuerzo FRP, está basado en las propiedades de la resistencia a la flexión, calibradas experimentalmente mediante estadística, se recomienda un valor de 0.85.

Al reforzar elementos estructurales con FRP adherido externamente, se reduce la ductilidad de las secciones, algunas veces de manera insignificante, pero cuando es muy baja se debe compensar con una alta reserva de resistencia que se logra a través de un factor de reducción de resistencia a flexión , el cual se determina según el nivel de deformación del acero en estado último. ACI 440.

0.9 0.005

0.650.25

0.0050.65

0.005

Donde es la deformación del acero en estado último y es la deformación de

fluencia del acero. Esta ecuación establece un factor de reducción de 0.9 para secciones dúctiles, 0.65 para secciones frágiles y proporciona una transición lineal entre estos dos extremos. 2.4.6 Recomendación o longitud de anclaje

Pruebas de laboratorio han mostrado que los elementos reforzados a flexión con FRP

fallan por despegue del material en zonas cercanas al final del refuerzo, por lo que es necesario tener una cierta longitud de adherencia para asegurar que la lámina no se despegue. FIB (2001); por lo tanto se recomienda prolongar la longitud del FRP más de lo que se requiere. Algo más seguro es colocar unas placas de anclaje metálico en los extremos del FRP, como lo hicieron en un edificio reforzado en Caracas en 2007, este anclaje se muestra en la figura 2.13, donde se aprecian placas de acero debidamente apernadas a las vigas de hormigón, sobre el FRP.

Figura 2.13 Anclaje mecánico del FRP usado en un edificio de Caracas. Rendón (2012)

Se denomina a la longitud de desarrollo, que es aquella longitud en que debe

prolongarse el FRD, donde teóricamente ya no se necesita refuerzo. Esto se lo hace para cubrirse de la delaminación que puede presentarse y también porque el diagrama de momentos es aproximado ya que se calcula para una determinada posición de las cargas, la misma que puede cambiar durante la vida de la estructura. La longitud de desarrollo se halla con la siguiente expresión:


63

. .

• EJEMPLO 5

En la viga de 10 cm., de base por 15 cm., de altura, reforzada con Sikawrap Hex 103 C,

cuyos datos se indican nuevamente a continuación:

• Datos de la viga 10 . 13 . 1.57

15 . 2 . 0.5655

• Datos de CFRP 1 5 . 0.12 .

9600 0.0133 731000

Esta viga fue ensayada hasta una carga de 1500 . La suma de las dos cargas da los 3000 kg., que se habla en los apartados anteriores; La longitud 175 .; en la figura 2.14 se presenta el modelo de cálculo. Se pide:

Figura 2.14 Modelo de cargas de la estructura de Ejemplo 5.

1. Considerando 158.36 determinar si con una capa de CFRP la viga está en

capacidad de soportar 1500 . 1650 . 1800 . 2. Considerando 207.83 determinar si con una capa de CFRP, la viga puede

soportar 1800 . 2100 . 2200 .

• SOLUCIÓN Los resultados se van a presentar en tablas, que contienen la siguiente información: Carga; Momento en el tramo central (demanda) ; Momento que soporta el acero a tracción ; Momento que soporta el acero a compresión ; Momento que soporta el CFRP ; Momento Nominal sin la afectación del factor ; deformación en el acero a tracción ; factor de minoración ; Momento último .

1. Cálculo con 158.36 : Los resultados se indican en la tabla 2.5

Tabla 2.5 Capacidad resistente de Viga con CFRP, 158.36 Carga Demanda Capacidad

P (kg.)

Mu Kg.cm

Ms Kg.cm

Msc Kg.cm

Mf Kg.cm

Mn Kg.cm

Kg.cm

1500 65625.0 69796 930.95 23001 93728 0.0039 0.8033 75290 1650 72187.5 69796 930.95 23001 93728 0.0039 0.8033 75290 1800 78750.0 69796 930.95 23001 93728 0.0039 0.8033 75290

(2.35)

FLEXIÓN

64

Para los tres casos de carga el momento nominal es alto, supera al momento de demanda pero el factor 0.80 hace que el producto sea mayor para los dos primeros casos de carga pero es inferior para cuando la carga es de 1800 kg.

Si bien es cierto la capacidad a flexión de la armadura a compresión es bastante baja,

con lo que se podría pensar diseñar como una viga simplemente armada, no conviene hacerlo ya que en ese caso la deformación del acero a tracción es baja con lo que el valor es muy bajo. Por lo tanto, a pesar de que pesar de que el aporte a la capacidad a flexión de la armadura a compresión sea bajo se debe considerar ya que la fuerza que se genera en el acero a compresión hace que el eje neutro sea bajo y el valor de alto con lo que es alto.

2. Cálculo con 207.83 : Los resultados se indican en la tabla 2.6

Tabla 2.6 Capacidad resistente de Viga con CFRP, 207.83 Carga Demanda Capacidad

P (kg.)

Mu Kg.cm

Ms Kg.cm

Msc Kg.cm

Mf Kg.cm

Mn Kg.cm

Kg.cm

1800 78750 72104 132.86 30111 102350 0.005 0.9 92110 2100 91875 72104 132.86 30111 102350 0.005 0.9 92110 2200 96250 72104 132.86 30111 102350 0.005 0.9 92110

Con la realización de la segunda parte del ejercicio, se observa que la viga ensayada

en la UTN de Mendoza, muy probablemente soportaba dos ciclos más de carga hasta llegar a 2100. Mas de esta cantidad no soporta.

2.5 UNA EXPERIENCIA DE REFORZAMIENTO

El reforzamiento de una estructura se lo realiza en forma global, no se puede pensar

únicamente en reforzar a flexión una losa por que tiene fisuras y no preocuparse por el resto de la estructura. Si tiene fisuras es probable que el tamaño de las columnas, vigas y cimentación sean pequeñas y también necesiten ser reforzadas. Con esta introducción y para no alargar la exposición se indica la forma como se procedió para reforzar la losa de la estructura que se indica en la figura 2.15; previamente se describe la estructura.

Es de dos pisos con columnas en forma de cruz colocadas cada 10 m., en planta tiene

una forma de “L”; la losa del entrepiso es plana (sin vigas descolgadas), alivianada armada en dos direcciones; la losa de cubierta es un paraboloide macizo, de altura variable, desde 25 cm., en el centro hasta tener 5 cm., en el borde, sin vigas.

Solo por peso propio se presentaron rajaduras en la losa de entrepiso de los dos lados

de la “L”. La fotografía de la izquierda de la figura 2.16 corresponden a las rajaduras que están a la izquierda de la figura 2.15 y la otra fotografía de la figura 2.16 corresponden a las rajaduras que se encuentran al fondo de la figura 2.15. Por lo tanto los dos lados de la “L” presentan rajaduras en la losa de entrepiso.

Estas rajaduras atraviesan toda la losa se presentaron a los pocos meses de terminada

su construcción, a inicios de la década del noventa del siglo pasado y repararon colocando columnas de acero tubular en el sector que presenta rajaduras y masillando las rajaduras. Masilla que con el paso del tiempo se ha vuelto a abrir como se muestra en la figura 2.16. La estructura tiene que estar en capacidad de soportar un sismo severo y para ello se hizo un estudio integral de reforzamiento.

En el contexto de este capítulo se indica en forma secuencial las acciones y pasos que

se tomaron para hacer los estudios de reforzamiento de un panel de una de las losas que presentan rajaduras. Aguiar (2012,1).


65

Figura 2.15 Estructura con Paraboloides Hiperbólicos de 2 pisos

Figura 2.16 Rajaduras en la losa en dos sectores que están en la “L”.

1. Levantamiento estructural de las rajaduras: En la parte superior de la figura 2.17 se

muestra el detalle de una de las rajaduras más grandes y a la derecha su respectivo dibujo; en la parte inferior se indica en un panel las rajaduras presentadas, también se presenta las columnas iniciales en forma de cruz, y las de acero que se colocaron en el reforzamiento inicial.

FLEXIÓN

66

Figura 2.17 Levantamiento de rajaduras en Losa

2. Se encontró los desplazamientos verticales, en la losa modelando como una malla

espacial, con tres grados de libertad en cada nudo, dos giros y un desplazamiento vertical. Para este cálculo solo se consideró las 4 columnas de hormigón armado en forma de cruz. En dos lados de la losa se tiene en la parte inferior una pared de ladrillo macizo de tal manera que en esos lados el desplazamiento vertical es cero. El mayor desplazamiento se obtuvo en el centro del vano libre donde colocaron columnas de acero, el desplazamiento máximo fue de 9.55 cm.; en el sector de las rajaduras el desplazamiento vertical máximo fue de 8.08 cm. Se destaca que la losa tiene 35 cm., de alto, los nervios son de 15 cm., las vigas pérdidas entre columnas son de 40/35 cm.; los alivianamientos de 50/50 cm. El desplazamiento lateral máximo permito según el ACI es de 4.167 cm. (L / 240, con L=10 m.) Las rajaduras se presentaron en la zona de mayores desplazamientos.

3. Se encontró los desplazamientos considerando las columnas tubulares de acero que

colocaron son de 300/300 mm. Los desplazamientos verticales se redujeron notablemente en el sector de las nuevas columnas y en toda la losa. El mayor desplazamiento se tiene prácticamente en el centro del vano y es de 5.03 cm., se encuentra en la zona de rajaduras. De tal manera que el problema persiste.


67

4. Se encontró en base a las cargas verticales actuantes el momento flector en los nervios tanto en sentido X, como en sentido Y. (Demanda) De igual manera en base a la armadura existente en los nervios, a la calidad del hormigón y del acero utilizado, se determino la capacidad a flexión. (Capacidad). Se hallo la relación entre la capacidad a flexión con respecto a la demanda. Si la relación es mayor a la unidad no hay problema pero si la relación es menor a la unidad, se debe reforzar los nervios de la losa. En la figura 2.18 se presenta esta relación en el sentido en que se tienen las rajaduras más pronunciadas y se observa que están entre 0.4 y 0.5. Aguiar (2012,1).

Figura 2.18 Relación entre Capacidad y Demanda en sentido de rajaduras más pronunciadas.

Por lo tanto, los nervios actuales no están en capacidad de soportar la demanda de flexión y seguirán ensanchandose las grietas, hasta que se refuerce. Algo similar se hizo en el otro sentido con relaciones un poco más altas.

5. Se decidio reforzar con Plátinas de Carbono CarboDur S512 que tienen las siguientes propiedades: 1650000 / ; 28000 / ; = 0.018. El ancho de la platina es de 5 cm., y el espesor es de 1.2 mm. En la figura 2.19, se indica los sitios donde se va a colocar estas platinas, en la parte inferior para el momento positivo. Se obtuvo también refuerzo para momento negativo que va en la parte superior de la losa

FLEXIÓN

68

que no se indica, para no alargar la exposición. De igual manera se realizó el control del Corte y no hay problema de cortante debido al peralte de 35 cm. En la figura 2.19 se presenta el reforzamiento inferior con una capa de CarboDur S512.

Figura 2.19 Reforzamiento inferior de un vano de losa con CarboDur S512

6. En los lugares donde existen rajaduras se debe colocar inyecciones epoxicas, como se

ilustra en la figura 2.20. El nombre de Inyecciones es muy adecuado ya que a la losa, en el sitio donde se encuentra la rajadura, se instala primero unos pequeños tubos y posteriormente con la ayuda de un equipo se coloca el material epóxico el mismo que entra a presión, como se observa en la parte superior de la figura 2.20. El material epóxico puede ser Sikadur 52, este material tiene dos sellantes, uno en la parte inferior y otro en la parte superior como se observa en la figura inferior.

Como se indicó al comienzo del apartado, el reforzamiento se realiza en forma global,

lo que se ha presentado es únicamente la forma de reforzar la losa. La estructura al tener en planta una forma de “L”, va a tener problemas de torsión y al tener pocas columnas la estructura tiene poca redundancia.

Se incorporó vigas de acero A-36, tipo “I”; esta viga irá sujeta a la losa mediante pernos

Hilti de ′′

3 3/4′′; los pernos se colocan cada 50 cm en el sentido longitudinal, como se observa en la figura 2.21; en la figura 2.22, se presenta la sección transversal de la viga de acero tipo “I”. Aguiar et al. (2012,2).


69

Figura 2.20 Inyecciones con material epóxico en un muro y losa afectados por el

sismo de Chile de 2010.

Figura 2.21 Incorporación de vigas de acero en la parte inferior de la viga.

El Paraboloide hiperbólico no tiene vigas descolgadas, por lo que la capacidad a flexión

en la unión paraboloide-columna es baja, por lo que se procedió a incrementar esta capacidad

FLEXIÓN

70

colocando Platinas de Carbono S 512 en la parte inferior y Placas de acero en la parte superior como se presenta en la figura 2.23.

Figura 2.22 Viga de acero de refuerzo entre ejes de columnas de hormigón.

Figura 2.23 Reforzamiento de Paraboloide con Platinas de Carbono S 512.

Figura 2.24 Platinas de Carbono S 512 en la parte inferior del Paraboloide.


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Figura 2.25 Placas de reforzamiento en la parte superior del Paraboloide.

En la figura 2.24 se indica que en los dos ejes principales del paraboloide se colocarán

5 Platinas CarboDur S 512 en cada dirección y de una longitud de 90 cm. Ahora, en la figura 2.25, se muestra el refuerzo de acero mediante placas de acero de pequeñas dimensiones para que se adapten a la forma del paraboloide. Con un círculo en la figura 2.25 se indica el bajante de agua lluvia que pasa por un lado de la columna.

Inicialmente se pensó en colocar en la parte superior del paraboloide platinas de

carbono o fibra de carbono que habría sido más facil colocar pero no se lo hizo es debido a que no existe un mantenimiento que garantice que el bajante de agua lluvia se va a tapar, lo más probable es que se tape y se acumule el agua que va a dañar al FRP, por este motivo se decidió colocar placas de acero en la parte superior que van unidas con Pernos Hilti.

Para elevar la capacidad a flexo compresión y al corte de las columnas de hormigón en

forma de cruz, se decidió encamisar con placas de acero de 1 cm., de espesor, de esta manera se va a tener hormigón confinado con lo que se incrementa la resistencia del hormigón y por ende va a tener un mayor módulo de elasticidad con lo que se reduce los desplazamientos laterales debido a sismo.

En la figura 2.26 se indica la forma como se encamisó las columnas, en cada cara de la columna en forma de cruz se colocó una placa de acero. Esta alternativa se optó por la forma de la sección transversal de las columnas. En los planos estructurales se detalla la forma de unión de las placas de acero a las columnas existentes.

Los plintos fueron encamisados como se indica en la figura 2.27, al igual del pie de

columna, todo esto por que las acciones debido a la Demanda Sísmica son mayores que la capacidad, es importante notar en el encamisado de hormigón la colocación de los conectores de corte, que sirven para transmitir los esfuerzos del hormigón nuevo al viejo. En la figura 2.27 estos conectores tienen la forma de “C”.

FLEXIÓN

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Figura 2.26 Encamisado de columnas con placas de acero.

Figura 2.27 Detalle del encamisado de los Plintos.

A más de incrementar la capacidad de carga de las estructuras (Para Regiones donde

la peligrosidad sísmica es muy baja o no existe) o incrementar la capacidad sísmica resistente; se debe ver que tan seguros, por ejemplo son los apoyos donde descansan las vigas de una cubierta de madera. En Zonas con alta peligrosidad sísmica se deben eliminar las fallas frecuentes que se han producido en otros sismos, en otras regiones del mundo.

Una de esas fallas frecuentes es la denominada columna corta, que se indica en la

figura 2.28. A la izquierda se aprecia otro bloque estructural con paraboloides hiperbólicos que tienen columnas cortas. Se da esta falla porque el Proyectista Estructural consideró un solo elemento a la columna pero en el sistema constructivo se acopló la mampostería a la columna con lo que en la columna existen dos elementos: uno es el que está al lado de la mampostería y otro es la parte de la columna que está libre y tiene una altura muy pequeña; la rigidez al


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corte de esta columna es muy alta por la forma como va a trabajar pero el Proyectista no le confirió una gran capacidad al corte y es por eso que falla en ese sitio.

Figura 2.28 Falla frecuente denominada columna corta

La solución más facil para eliminar el problema de columna corta es convertirla en

larga y esto se consigue desacoplando la mampostería de la columna, mediante la colocación de un material amortiguante entre la columneta (ver a la derecha de figura 2.28) y la columna. Pero la mampostería tiene que estar confinada por lo que se debe construir esa columneta en la forma que se indica a la derecha de la figura 2.28, en la parte superior de la mampostería debe haber una viga de confinamiento.

Por lo tanto, una rehabilitación estructural se la debe realizar en forma integral, no se

puede reforzar únicamente la parte que está dañada.

REFERENCIAS

1. Aguiar R., Rosero F., (2012,1), Reforzamiento de Losa de Biblioteca del Centro Educativo Fernández Madrid con CarboDur S512, Memoria entregada a PLANMAN consultora a cargo del Reforzamiento de Centros de Educación del Municipio de Quito, 24 p.

2. Aguiar R., Arciniegas C., Fuentes J., (2012,1), Memoria de cálculo del reforzamiento estructural del Bloque de Biblioteca del Fernández Madrid, Memoria entregada a PLANMAN consultora a cargo del Reforzamiento de Centros de Educación del Municipio de Quito, 135 p.

3. Palencia J.C., (2012), Refuerzo a corte y flexión de vigas de Hormigón Armado, mediante fibra de vidrio y carbono. Resultados experimentales. Seminario: “Refuerzo de Estructuras de Hormigón Armadomediante polímeros reforzados con fibras”, CeReDeTec Centro Regional de Desarrollo Tecnológico para la Construcción, Sismología e Ingeniería Sísmica. Universidad Nacional Tecnológica, Mendoza.

4. Palencia J.C., Aguiar R., Palazzo G., (2013), “Estudio numérico-experimental de vigas de hormigón armado con/sin polímero reforzado con fibra de carbono”, Primer

FLEXIÓN

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Congreso ALCONPAT, Asociación Latinoamericana de Control de Calidad, Patología y Recuperación de la Construcción. Universidad Tecnológica Nacional, Mendoza.

capitulo 2 del libro sobre frp

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