Investigación de Operaciones I Profesor: Mg. Ing. Juan C. Ubillus C.

1

CAPITULO 11

MODELOS DINAMICOS DE PRODUCCION E INVENTARIOS

1.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE UN MODELO DINÁMICO DE PERIODOS MÚLTIPLES, DETERMINISTA, Y DE UN SOLO PRODUCTO). Caso aplicativo: UN MODELO DE ESTRUCTURAS METALICAS CON INVENTARIO

• Defínase Xi como la variable de decisión, que representa la producción semanal de un contratista de estructuras de acero en ton-semanal que ha firmado un contrato.

• Se requiere determinar el plan de producción e inventario que satisfaga el

programa de entregas durante las próximas 6 semanas.

• Defínase que Di es un parámetro, que representa la demanda conocida, es decir la cantidad de ton de estructuras de acero que se tiene que entregar cada semana como cumplimiento del citado contrato penalizado con moras.

• Defínase Ii como el inventario disponible al final de la semana i.

• Defínase como Ci los costos de producción, Ki la capacidad máxima que se

puede producir y Hi como los costos de inventario. Por lo tanto podemos definir el nivel de inventario al final de la semana 1 como: I1 = I0 + X1 – D1

Es decir el nivel de inventario al final de la semana 1, es igual al nivel de inventario al final de la semana 0 (inicio de la semana1) más la producción de la semana 1, menos la demanda de la semana 1, que es la cantidad entregada la semana i.. I2 = I1 + X2 – D2 It = It-1 + Xt – Dt I2 = I0 + X1 – D1 + X2 – D2 = I0 + E Xi – E Di, desde i=1 hasta i= 2 It = I0 + E (Xi – Di) , desde i=1 hasta i = t

Io I1

D1

X1

Investigación de Operaciones I Profesor: Mg. Ing. Juan C. Ubillus C.

2

Donde I es una variable definicional, por estar definida en términos de otras variables de decisión (Xi) permitiendo visualizar el problema. La producción tiene que ser lo suficientemente grande para satisfacer la demanda: I0 + X1 >= D1 I1 + X2 >= D2 Min. E (Ct Xt) + E (ht I t) St It = It-1 + Xt – Dt t= 1,2,3,..........6 Xt <= Kt Xt >= 0 t= 1,2,3,..........6 It <= 0 Min. E (Ct Xt) + E ( (ht ) (I0 + E (Xi – Di)) ), desde i=1 hasta i= t 2.- UN CASO RESUELTO QUE PUEDE SERVIRLES DE AYUDA (CASO DE ESTRUCTURAS METALICAS CON INVENTARIO): MES 1 2 3 4 Demanda (ton) 2400 2200 2700 2500 Costo de prod. ($/ton)

7400 7500 7600 7650

Costo de Inv. $/ton/mes

120 120 120 120

La producción de cualquier mes no debe exceder de 4000 ton debido a capacidad de equipos. Se cuenta en almacén con un inventario inicial de 1000 ton Existe un costo por cambio de producción de $50/ton por

MES 1 2 3 4 Inventario de inicio (ton)

1000 400 0 0

Cantidad producida. (ton)

7400 2200 2700 2500

Demanda (ton/mes)

2400 120 120 120

Inventario de terminación

400 0 0 1500

SOLUCION

MIN 7400 X1 + 7500 X2 + 7600 x3 + 7650 x4 + 120 I1 + 120 I2 + 120 I3 + 120 I4 ST RESTRICCIONES DE LIMITE DE PRODUCCION I1 = 1000 I5 >= 1500

Investigación de Operaciones I Profesor: Mg. Ing. Juan C. Ubillus C.

3

X1 <= 400 X2 <= 400 X3 <= 400 X4 <= 400 RESTRICCION EQUILIBRIO DE INVENTARIO -I2 + I1 + X1 = 2400 EQUILIBRIO DE INV. MES 1 -I3 + I2 + X2 = 2200 “ 2 -I4 + I3 + X3 = 2700 -I5 + I4 + X4 = 2500 PRODUCCION MES 2 = = PRODUCCION MES1 + (INC. PROD. MES 2 - DECR PRO PROD. MES2) RESTRICCION DE DEMANDA I1- X1 – 2400 >= 0 I2 = I1 + X1 – 2400 >= 0 POR TANTO I2>= 0 3.- OTRO CASO RESUELTO (CASO DE CONTRATO CON PENALIDAD E INVENTARIOS) Un contratista ha firmado un contrato que lo obliga a cumplir con entregas de ensambles estructurales para los próximos seis meses según el siguiente detalle: Mes 1 2 3 4 5 6 Entrega contractual ton

300 470 280 300 400 360

Capacidad actual con personal y equipos disponibles: 360 ton/mes Costo de producir ensambles estructurales: $ 5 / ton Costo de subcontratar: $ 5 / ton Costo de almacenamiento: $ 30 / ton /mes Costo de no cumplir con cronograma: $6 /ton /mes Al respecto, se pide Formular el modelo matemático que optimice la toma de decisiones. SOLUCION Variables de decisión: Xi producción en el mes i Si subcontrata en el mes i Primer mes: Costo prod.+ costo subc. = 5(X1 + S1) Costo inv. = 30 (X1 + S1 –300) Costo pen. = 6 (300 – (X1 + S1)) = 6 (300 –X1 –S1) Segundo mes: Costo prod.+ costo subc. = 5(X2 + S2) Costo inv. = 30 (X1 + S1 –300) + 30 ( X2 + S2 – 470 ) Costo pen. = 6 (300 –X1 –S1) + 6 (470 –X2 –S2) Tercer mes:

Investigación de Operaciones I Profesor: Mg. Ing. Juan C. Ubillus C.

4

Costo prod.+ costo subc. = 5(X3 + S3) Costo inv. = 30 (X1 + S1 –300) + 30 (X2 + S2 – 470) + 30 (X3 + S3 - 280) Costo pen. = 6 (300 –X1 –S1) + 6 (470 –X2 –S2) + 6 (280 –X3 –S3) Cuarto mes: Costo prod.+ costo subc. = 5(X4 + S4) Costo inv. = 30 (X1 + S1 –300) + 30 ( X2 + S2 – 470) + 30( X3 + S3 – 280) + 30(X4 + S4 – 300 ) ) Costo pen. = 6 (300 –X1 –S1) + 6 (470 –X2 –S2) + 6 (280 –X3 –S3) + 6(300-X4-S4) Quinto mes: Costo prod.+ costo subc. = 5(X5 + S5) Costo inv. = 30 (X1 + S1 –300) + 30(X2 + S2 – 470) + 30( X3 + S3 – 280) + 30(X4 + S4 – 300) + 30(X5 + S5 – 400) Costo pen. = 6 (300 –X1 –S1) + 6 (470 –X2 –S2) + 6 (280 –X3 –S3) + 6(300-X4-S4) + 6(400- X5 - S5 ) Sexto mes: Costo prod.+ costo subc. = 5(X6 + S6) Costo inv. = 30 (X1 + S1 –300) + 30(X2 + S2 – 470) + 30( X3 + S3 – 280) + 30(X4 + S4 – 300) + 30(X5 + S5 – 400) +30( X6 + S6 – 360) Costo pen. = 6 (300 –X1 –S1) + 6 (470 –X2 –S2) + 6 (280 –X3 –S3) + 6(300-X4-S4) + 6(400- X5 - S5 ) + 6( 360 - X6 - S6) FUNCION OBJETIVO: Minimizar costos (producción + subcontrata + inventario + penalidad) RESTRICCIONES Por capacidad de planta X1 <= 360 X2 <= 360 X3 <= 360 X4 <= 360 X5 <= 360 X6 <= 360 Por capacidad de subcontrata S1 <= 60 S2 <= 60 S3 <= 60 S4 <= 60 S5 <= 60 S6 <= 60 Por cumplimiento de entregas del contrato, que implica la no negatividad de inventarios (producción + subcontrata >= inventarios) Primer mes X1 + S1 >= 300 Segundo mes X1 + S1 – 300 + ( X2 + S2 - 470) >= 0

I.Q. X1 + S1 + X2 + S2 >= 770 Tercer mes X1 + S1 + X2 + S2 – 770 + ( X3 + S3) >= 280 I.Q. X1 + S1 + X2 + X3 + S3 – 1050 >= 0 Cuarto mes X1 + S1 + X2 + S2 + X3 + S3 + X4 + S4 – 1350 >= 0

Investigación de Operaciones I Profesor: Mg. Ing. Juan C. Ubillus C.

5

Quinto mes X1 + S1 + X2 + S2 + X3 + S3 + X4 + S4 + X5 + S5 – 1750 >= 0 Sexto mes X1 + S1 + X2 + S2 + X3 + S3 + X4 + S4 + X5 + S5 + X6 + S6 –2110 >= 0 Restricción lógica de no negatividad de variables X1 >= 0 X2 >= 0 X3 >= 0 X4 >= 0 X5 >= 0 X6 >= 0 S1 >= 0 S2 >= 0 S3 >= 0 S4 >= 0 S5 >= 0 S6 >= 0 4.- TEMA PROPUESTO (FORMULAR MODELO Y RESOLVER CON LINDO) Usando un turno de trabajo de 8 horas, un sub-contratista solamente puede producir 160 toneladas de estructuras metálicas por mes. Sin embargo ha firmado un contrato, por el cual debe cumplir con el siguiente cronograma de entrega en toneladas por mes: Mayo Junio Julio Agosto Setiem Octubr Activ. 1 150 Activ. 2 325 Activ. 3 140 Activ. 4 150 Activ. 5 200 Activ. 5 250 Pero la falta de capital de trabajo le impide una expansión de las facilidades de producción, por el momento. Al respecto, tiene la posibilidad de trabajar 2 horas de sobretiempo mensual en que se pueden hacer 30 toneladas adicionales por un costo adicional por sobretiempo de S/ 20 por tonelada. Los ensamblajes pueden ser almacenados a un costo de S/ 30 por mes por tonelada, con lo cual puede asegurar un stock para cumplir la entrega del mes siguiente. Sin embargo las órdenes mensuales que no se cumplen lo obligarán a pagar S/50 por tonelada a otro subcontratista que le ayudará con su equipo de trabajo. Se pide formular el modelo matemático para optimizar la producción del sub-contratista al menor costo para él.