capitulo 10 campos vectoriales

CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY

1. Campos Vectoriales:

1.1. Defina campo vectorial sobre Rtérminos de sus funciones componentes?.

Sea D un conjunto en �� Un campo vectorial en función �� que asigna a cada punto (x, y) un vector de dos dimensiones �� en D La mejor forma de graficarlos es a través de flechas que

representan el vector �� .

Como �� es un vector bidimensional, podemos escribir la función en término de sus componentes P y Q

��

P y Q (o M y N) son funciones escalares de dos variables, y se llaman campos escalares para

diferenciarlos de los campos vectoriales.

MATMATMATMATHEMATICSHEMATICSHEMATICSHEMATICS

BY GERARDO

Campos Vectoriales

vectorial sobre R2. ¿Cómo se representa gráficamente?. ¿Cómo setérminos de sus funciones componentes?.

Un campo vectorial en �� es una que asigna a cada punto (x, y) un vector de dos

La mejor forma de graficarlos es a través de flechas que

es un vector bidimensional, podemos escribir

la función en término de sus componentes P y Q

� �� P y Q (o M y N) son funciones escalares de dos variables, y se llaman campos escalares para

ciarlos de los campos vectoriales.

. ¿Cómo se representa gráficamente?. ¿Cómo se expresa en

�� P y Q (o M y N) son funciones escalares de dos variables, y se llaman campos escalares para


1.2. Indique cuáles de las siguientes funciones son campos escalares y cuáles camposvectoriales: 1.2.a. jtyitxtf )()()( += 1.2.b. xsenyxyxf 3),( 2 +=

1.2.c. senxiyxyxF +⋅= 2),(

1.3. Defina campo vectorial sobre R

Sea E un sub-conjunto de �� . Un campo vectorial en función �� que asigna a cada punto (x, y, z) en E un vector tridimensional �� Se representa también con vectores pero en tres

como lo indica la figura

1.4. Identifique las funciones componentes del campo vectorial

representación gráfica.

Las componentes son

En � = -y (P o M)

En � = x (Q o N)

1.5. Indique de qué modo se puede representar un campo vectorial.

Los campos vectoriales se pueden representar mediante un conjunto de vectores direccionados, si

bien es una tarea compleja, la misma puede hacerse fácilmente a través de programas cada vez

potentes en computadoras personales, en el grafico de abajo se ilustra la graficación de tres

funciones de campos vectoriales


BY GERARDO

Indique cuáles de las siguientes funciones son campos escalares y cuáles campos

Función escalar

xseny Campo escalar

jsenx ⋅ Campo Vectorial Defina campo vectorial sobre R3.

. Un campo vectorial en �� es una que asigna a cada punto (x, y, z) en E un vector

Se representa también con vectores pero en tres dimensiones

Identifique las funciones componentes del campo vectorial iyyxF ⋅−=),(

puede representar un campo vectorial. Los campos vectoriales se pueden representar mediante un conjunto de vectores direccionados, si

bien es una tarea compleja, la misma puede hacerse fácilmente a través de programas cada vez

personales, en el grafico de abajo se ilustra la graficación de tres

Indique cuáles de las siguientes funciones son campos escalares y cuáles campos

jx ⋅+ y realice su

Los campos vectoriales se pueden representar mediante un conjunto de vectores direccionados, si

bien es una tarea compleja, la misma puede hacerse fácilmente a través de programas cada vez más

personales, en el grafico de abajo se ilustra la graficación de tres


CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY GERARDO

1.6. En el siguiente cuadro se dan tres aplicaciones físicas de los campos vectoriales, complete el cuadro siguiendo las indicaciones:

Campo de fuerza Gravitacional

Expresar la ley de gravitación universal de Newton en lenguaje coloquial y simbólico

La ley de Newton de la gravitación enuncia que la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos

objetos, con masas m y M es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa

�� !�"� #$� �$�� %� &$�� $ �!��!�'��

Si m está en la posición �� (��( ) �� (��(� y M esta en el origen, la fuerza

gravitacional ejercida de M sobre m actúa con dirección hacia el origen y el vector unitario en esta

dirección es * +�(+�( ��+� *��(�,,�(� -�,,�� $��,� �,,� ��+� *�� -�,� �$ �,,� �$.� �/. � �01 (�,,�( 2�3 � �3 � �3 �� * ��3 � �3 � �3�4� $.* ��3 � �3 � �3�4� /. * ��3 � �3 � �3�4� 01

Campo de fuerza eléctrica Expresar la Ley de Coulomb en forma vectorial

La ley de Coulomb enuncia que una carga eléctrica Q localizada en el origen ejerce una fuerza

eléctrica sobre una carga q localizada en un punto (x, y, z) con vector posición �� +� 5�6��(�,,�(� -�,,�� 7 � �� " ��$"8 %!� 6� 9 : ) % �;8!�� !��!78%�$# 7 � �� " ��&$��$�� 6� < : ) % �;8!�� !�� $#

Campo de velocidades

Si jxiyyxV ⋅+⋅−=),( es un campo de velocidades ¿Qué información física describe. ¿Cómo se indica la rapidez del movimiento en cada punto?

Si =,��+�> *�� es un campo de velocidades =,� podría describir la rotación de un eje en sentido anti-horario. La rapidez en cualquier punto se indica mediante la longitud de la flecha.� 1.7. ¿Cómo se definen los campos cuadráticos inversos?

Sea �� 0? el vector posición del punto P, el campo vectorial �� es un campo cuadrático inverso (o de variación inversa) al cuadrado de la distancia, si �� puede ser expresado como: �� 0(��(�� - @,� @,� ��(��(



1.8. ¿A qué se denomina campo vectorial gradiente? Si f es una función escalar de 2 variables, su gradiente A; está definida por A;�� ;+�� ;>�� Por lo que A; es un campo vectorial sobre R2

llamado Campo Vectorial Gradiente A;�� ,,�� ;+�� ;>�� Campo Vectorial Gradiente en el plano

1.9. Indique cuándo se dice que un campo vectorial F es un campo vectorial conservativo.

Sea P y Q (o M y N) dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en un disco abierto R.

El campo vectorial dado por�� B� o �� es conservativo si y solo si CBC� C�C� Un Campo Vectorial �� se llama Campo Vectorial Conservativo si es el Gradiente de alguna función escalar f, es decir, si existe ;�4�� A; . a f se le llama función potencial para �� .

1.10. ¿Cuándo una función escalar f es una función potencial del campo F ? Una función escalar f es una función potencial del campo �� si A; ��

1.11. Indique si es verdadero o falso y justifique: “El campo gravitacional es un campo vectorial conservativo” Verdadero

Si ;�� * ��D�3 � �3 � �3 A;�� * ��D�3 � �3 � �3 $.* ��D�3 � �3 � �3 /. * ��D�3 � �3 � �3 01 El campo gravitacional se define como: E,�� * ��D�3 � �3 � �3 $.* ��D�3 � �3 � �3 /. * ��D�3 � �3 � �3 01 A;�� E,�� ) �� E,��!��!�# �$#�

1.12. Enuncie el teorema que establece la condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial en el plano sea conservativo.

Sea P y Q (o M y N) dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en un disco abierto R.

El campo vectorial dado por �� B� o �� es conservativo si y solo si CBC� C�C� Por lo tanto existe un f / A;�� E,��

1.13. Ídem para campos conservativos en el espacio. Sea �� un campo vectorial en el espacio, E,��+�>�F G�+�>�F� � H�+�>�F� � I�+�>�F0? donde M, N y P

son funciones escalares con derivadas parciales continuas, el campo vectorial E,� es conservativos y solo si C�C� CBC� C�C� C�C� CBC� C�C�



Por lo tanto existe un f / A;�� E,�� 2. Divergencia y Rotacional:

2.1. Defina la divergencia de un campo vectorial F en R3. Si el campo vectorial �� 0? tiene derivadas parciales continuas de primer orden en una bola abierta perteneciente a R

3, la divergencia de �� es la función de 3 variables o

campo escalar definido por &$#�� A��

2.2. Exprese la divergencia de un campo vectorial usando el operador “nabla” o “del” &$#�� CC� � CC� � CC�� - ��B� �� A�� &$#�� C�C� � CBC� � C�C� ) J�� % �

2.3. Calcule la divergencia del siguiente campo vectorial kyjxyzixzzyxF 2),,( −+⋅+⋅= . �� *��0?A��

2.4. ¿Qué información física brinda la divergencia de un campo de velocidades de un fluido?

Si �� es el campo de velocidad de un fluido, la &$#�� en un punto P mide la tendencia de ese fluido a alejarse si &$#�� 9 : ; y a acumularse en torno de P si &$#�� < : . Si la &$#�� 9 : en P, habrá una fuente y si la &$#�� < : habrá un sumidero en P. Si la &$#�� : se dice que el campo es incompresible o Solenoidal.

2.5. Defina el rotacional de un campo vectorial F en R3.

Si el campo vectorial �� 0? tiene derivadas parciales continuas de primer orden en una bola abierta perteneciente a R

3, el rotacional de �� es la función de 3 variables o campo

escalar definido por �� A K ��

2.6. Exprese el rotacional de un campo vectorial usando el operador “nabla” o “del”.

�� A K �� L $ / 0?CC� CC� CC�� B �L

A K �� $ MC�C� * CBC�N * / MC�C� * C�C� N � 0? MCBC� * C�C�N

2.7. Calcule el rotacional del campo vectorial definido por kyjxyzixzzyxF 2),,( −+⋅+⋅= . �� *��0?A K �,,� � �*3� * �� * � �: * � � 0?�� * :OPQ- �,,� �*3� * �� 0?

2.8. Enuncie y demuestre el teorema correspondiente al rotacional del campo gradiente.

Si f es una función de tres variables con derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces: ��A; :��R!��!' �&!�S% $� 8�



��A; A K A; LL$ / 0?CC� CC� CC�C;C� C;C� C;C�L

L T C3;C�C� * C3;C�C�U $ * T C3;C�C� * C3;C�C�U / � T C3;C�C� * C3;C�C�U 0? :$ * :/ � :0? : ) ��A; :

Si �� es conservativo entonces �� :,�

2.9. Indique si el siguiente enunciado es verdadero o falso, justifique: “Si el rotacional de F es distinto del vector nulo entoncesF no es conservativo”.

Verdadero. Porque para un �� conservativo el �� :,� por el teorema de Clairaut.

2.10. Demuestre que el campo vectorial kyjxyzixzzyxF 2),,( −+⋅+⋅= no es conservativo. �� *��0?

�� A K �� LL $ / 0?CC� CC� CC�� *�3LL

A K �� $ TC�*�3C� * C��C� U * / TC�*�3C� * C��C� U � 0? TC��C� * C��C� U V*3� * ��W$ * V: * �W/ � V�� * :W0? �*3� * ��$ � �/ � ��0?

Como el �� X : Y �� no es conservativo

2.11. Bajo que condiciones se cumple el recíproco del teorema anterior. �� Debe ser un campo definido sobre R3 completamente (es decir que su dominio es simplemente

conexo, sin hoyos o huecos), sus derivadas parciales ser continuas y su �� :, entonces si es conservativo.

2.12. Demuestre que el campo vectorial kzxyjxyzizxzyxF 22332 32),,( +⋅+⋅= es conservativo y

encuentre la función potencial f. Solución

Calculamos el Rotacional de F

�� A; K �� LL � � 0?CC� CC� CC�� 3�� Z��LL �[�� * [�� * �Z�� * Z�� 3�� * 3��0? :

Derivadas Parciales

;+�� ;>�� 3�� ;F�� Z��


;�� \;;�� \;>;�� \;F

2.13. ¿Qué información física brinda el rotacional de un campo de velocidades de unSi �� representa el campo velocidad en los flujos de los fluidos, el vector rotación rotaciones. Las partículas que están cerca de (x, y, z) en el fluido tienden a rotar alrededor del eje

que señala en la dirección de ��medida de rapidez con que se mueven las partículas alrededor del eje. Si el

entonces el fluido está libre de rotaciones en p y

remolinos ni movimientos parásitos.

2.14. Enuncie y demuestre el teorema

Si �� ]0? es un campo vectorial sobre Rde segundo orden: &$#��,,� CC� &$#��,,� C�C�

2.15. Indique si el siguiente enunciado es verdadero o falso, justifique:

“Si la divergencia de F es distinta de cero entonces

&$#��,,� X : ) �,,� X


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\;+�� &� \�� &� �� "�� >�� &� \3�� &� �� ^�� &� \Z�� &� �� 0��

;�� _

¿Qué información física brinda el rotacional de un campo de velocidades de unrepresenta el campo velocidad en los flujos de los fluidos, el vector rotación ��

rotaciones. Las partículas que están cerca de (x, y, z) en el fluido tienden a rotar alrededor del eje �� y la longitud de este vector rotacional constituye una se mueven las partículas alrededor del eje. Si el ��

entonces el fluido está libre de rotaciones en p y �� se llama irrotacional en P, o sea que no existen remolinos ni movimientos parásitos.

Enuncie y demuestre el teorema correspondiente a la divergencia del rotacional.es un campo vectorial sobre R

3 , P, Q y R tienen derivadas parciales continuas

C� MC]C� * C�C�N� CC� MC�C� * C]C�N� CC� MC�C� * C�C�N C�]C�C� * C��C�C� � C��C�C� * C�]C�C� � C��C�C� * C��C�C�

&$#��,,� : Indique si el siguiente enunciado es verdadero o falso, justifique:

es distinta de cero entonces F no es el rotacional de algúnvectorial G”. Verdadero ��,,� &$#��,,� : ) �,,� ��,,� &$#- ��,,� :

¿Qué información física brinda el rotacional de un campo de velocidades de un fluido?. �� se asocia con las rotaciones. Las partículas que están cerca de (x, y, z) en el fluido tienden a rotar alrededor del eje

y la longitud de este vector rotacional constituye una : en el punto P, se llama irrotacional en P, o sea que no existen

divergencia del rotacional. , P, Q y R tienen derivadas parciales continuas

no es el rotacional de algún campo

:�



2.16. Demuestre que el campo vectorial kyjxyzixzzyxF 2),,( −+⋅+⋅= se puede escribir como

el rotacional de otro campo vectorial, es decir GrotF ≠ . Solución &$#�� A- �� CC� �� CC� �� CC� �*�� Para que &$#�� &$#��=0, pero como en este caso &$#�� X :, ello implica que ��no es rotacional de ningún otro campo vectorial

2.17. ¿Qué operador surge cuando se calcula la divergencia de un campo vectorial gradiente? Cuando se calcula la divergencia de un campo vectorial gradiente A;, surge otro operador diferencial. Si f es una función de tres variables, &$#��A; A- �A; C�;C�� C�;C�� C�;C�� A�; El operador A� A- A se denomina Operador de Laplace, debido a su relación con la ecuación de Laplace.

A�; C�;C�� C�;C�� C�;C�� Si A�; : se dice que f es una función armónica. 3. Integrales de línea:

3.1. Defina integral de línea de una función f a lo largo de una curva C. Sea C una curva suave dada por � ��`� � ��`�� a � a b, si f esta definida sobre Ci se define Integral de línea de f a lo largo de C a

\;�� c &d efg�)hi;��jk� �jkljmn &dj

Si el límite existe.

3.2. ¿Qué fórmula permite evaluar una integral de línea?. ¿Bajo qué condiciones?.

\;�� c &d \; o�� pqMC�C�N� � MC�C�N�rs &�

Esta fórmula permite evaluar una integral de línea bajo la condición de que f sea continua.

3.3. Para un caso especial de curva C, la integral de línea se reduce a una integral simple

ordinaria como las estudiadas en Matemática II. Describa en forma paramétrica esta curva C. En el caso especial en que C es el segmento de recta que une a (a, 0) con (b, 0), al utilizar a x como

parámetro podemos escribir las ecuaciones parametricas de C como

� � � : a � a b \;�� c &d \;�� :rs &�

Integral ordinaria de una variable.

3.4. Indique si el siguiente enunciado es verdadero o falso y justifique:


“La integral de línea de una funcióninterpretarse como un área”.

Si ;�� t :, u ;�� c &d representa el área de un lado de una superficie, cuya base es C y cuya altura

encima del punto (x, y) es f (x, y)

3.5. Evalúe ( )∫ +

Cdsyx 22

, donde

Solución:

Primero debemos parametrizar las ecuaciones que representan a C.

el circulo puede ser parametrizado por medio de las siguientes

ecuaciones � vPw � � �!�

\�3 � ��c &d \�3 � vPw� �xy \�3 � vPw� � wfzx

y \�3 � vPw� � wfzxy 3{ � 3Z

3.6. Defina integral de línea de una función

Si C es una curva suave a trozos, la integral a lo largo de C es\;�� c &d \c

3.7. Evalúe la integral ( )∫C dsx2

(0,0) a (1,1) seguido por el segmento de recta vertical Solución

La curva esta en función de x, por lo parametrizamos con x y la

Entonces

\ 3�c| &d \3�ny

qT&�&�U3 � T&�

Para C2 elegiremos y como parámetro, entonces


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línea de una función f(x, y) ≥ 0 puede interpretarse como un área”. Verdadero

representa el área de un

lado de una superficie, cuya base es C y cuya altura

, donde C es la mitad superior del círculo unitario 2 +x

parametrizar las ecuaciones que representan a C.

el circulo puede ser parametrizado por medio de las siguientes

�!�� : a � a { � wfz �qM&�&�N� � M&�&�N� &�wfz � D�$�� &�wfz � &� }3� * vPw� �Z ~y

x

Defina integral de línea de una función f(x, y) sobre una curva suave a trozos.Si C es una curva suave a trozos, la integral a lo largo de C es \ ;�� c| &d �\ ;�� c� &d � ��\ ;�� c� &d

, donde C está formada por el arco C1 de la parábola seguido por el segmento de recta vertical C2 (1,1) a (1,2)

La curva esta en función de x, por lo parametrizamos con x y la ecuación C1 queda como:� � � �� : a � a � T&�&�U3 &� \3�n

y D�� 3&� �� - 3Z �� ynelegiremos y como parámetro, entonces

12 =+ y

sobre una curva suave a trozos.

de la parábola 2xy = de

queda como:

�yn �� * �[


\ 3�c� &d Entonces \3�c &d

3.8. Sea ρ(x, y) la densidad de masa de un alambre en el plano,

su masa.

' efg�)hi;��jk� �jkljmn &dj �$

3.9. ¿Qué entiende por integrales de línea, a lo largo de ¿Cómo se indican?. ¿Cómo se evalúan?.

Las integrales de línea de f a lo largo de C con respecto a x e y son las integrales con respecto a esos

elementos respectivamente

\;c\;c

� ��`Se evalúan como:

\;c\;c

3.10. Evalúe xdydxy

C+∫ 2 donde (a)

de recta de (-5,-3) a (0,2) y (b) de 24 yx −= de (-5,-3) a (0,2)

Solución

La representación paramétrica queda como� �� * � � �� * �y �*��*Z� �n �:�3� &�


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� � � � � a � a 3 \3��n

qT&�&�U3 � T&�&�U3 &� \3�n &� 3 &d \ 3�c| &d �\ 3�c� &d �� * �[ � 3

la densidad de masa de un alambre en el plano, hallar la expresión para

�$ \;�� c &d

Qué entiende por integrales de línea, a lo largo de C, con respecto a las variables¿Cómo se indican?. ¿Cómo se evalúan?.


\;�� &� efg�)hi;��jk� �jkljmn ��j

\;�� &� efg�)hi;��jk� �jkljmn ��j

� ��` &� ��`&� &� ��`&� \;�� &� \;��`� ��`�r

s ��`&�\;�� &� \;��`� ��`�r

s ��`&�

donde (a) C= C1 es el segmento

y (b) C= C2 es el arco de parábola 3) a (0,2)

La representación paramétrica queda como * Z : a � a � � &� ��&� &� ��&�

hallar la expresión para calcular

, con respecto a las variables x e y.




\ ��c| &� � �&� \�� * Z��&� � �� * ��&� �\�3�� * 3�� &� � }3��Z * 3��3 � ��~ynn

yny �[

Tomaremos a y como parámetro en C2 � � * �� *Z a � a 3 &� *3��&�

\ ��c� &� � �&� \��*3�&� � �� * ��&� \�*3�� * �� &� }*��3 * ��Z � ��~��

��

�� :�[

3.11. Bajo que condiciones la integral de línea no depende de la parametrización de la curva C. Una integral de línea no depende de la parametrización de la curva C cuando es independiente de la

trayectoria.

3.12. La parametrización de una curva C induce una orientación: positiva (indicada C),la

correspondiente a t creciente y negativa la opuesta (indicada -C). Complete entonces las siguientes igualdades, teniendo en cuenta que se conoce el valor de la integral de línea sobre C, justifique.

∫− =C

dxyxfa ),()

∫− =C

dyyxfb ),()

∫− =C

dsyxfc ),()

� ��` � ��` a � a b S � \ ;�� &� *\;�� &�c�c \ ;�� &� *\ ;�� &��cc\ ;�� &� *\;�� &�c�c \ ;�� &� *\ ;�� &��cc\ ;�� &d \;�� &dc�c �dj��$!'7�!�!��7��$�$#��j ��j �� 'b$ �&!��$"�� %�$�#!��$��% ��$!�� $��&!�S

3.13. 3.13.a. Defina integral de línea en el espacio.

Si C es una curva suave en el espacio dada por � ��` � ��` � ��` a � a b ��` ��`� � ��`� � ��`0? Si f es una función de tres variables continua en una región que contiene a C, la integral de línea de f

a lo largo de C es:

\;�� c &d efg�)hi;��jk� �jk� �jkljmn &dj

3.13.b. Exprese una fórmula que permita efectuar su cálculo.

\;�� c &d \; o�� pqMC�C�N� � MC�C�N� � MC�C�N�rs &�


3.13.c. Escriba la fórmula del punto b) en forma vectorial.

\;c

3.13.d. ¿Qué entiende por integrales de línea, a lo largo de C, con respecto a lasy, z? . ¿Cómo se indican?. ¿Cómo se evalúan?.

Las integrales de línea a lo largo de C on respecto a x, y, z se definen con:

\;��c

\;��c \;�� c &d

3.14. Calcule las siguientes integrales de línea

3.14.a. dysenzyC

⋅⋅∫ donde

senty = , tz = , 20 ≤≤ t

\��!��c &d \ ��!��!��qM�xs \ ��!�3��D�!��x

s �3\ �3 �� * vPw�x

s

3.14.b. xdzzdyydxC

++∫ , donde

seguido por el segmento de recta de Según la ecuación que representa a un segmento de línea que

empieza en r0 y termina en r1 ��` �� * ��y � �La ecuación de la Recta queda de la siguiente manera��` �� * ��3�:�:� � ��ZO en su forma paramétrica como � 3 � � � �� Entonces

\ �c| &� � �&� � �&� \��ny &�

\��: � 3��ny &�


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Escriba la fórmula del punto b) en forma vectorial.

\;�� &d \;��,��rs - ��,��&�

¿Qué entiende por integrales de línea, a lo largo de C, con respecto a lasndican?. ¿Cómo se evalúan?.

Las integrales de línea a lo largo de C on respecto a x, y, z se definen con:

�� &� efg�)hi;��jk� �jk� �jkljmn ��j

�� &� \;��`� ��`� ��`�rs ��`&�

\�� c &� � �� &� � ]�� &� integrales de línea

donde C es la hélice circular dada por las ecuaciones

π2

qMC�C�N� � MC�C�N� � MC�C�N� &�� !�� &� \ ��!�3�� x

s &�vPw3� &� �33 �� * �3 wfz 3��y�x �3{ , donde C consta del segmento de recta C1 de

seguido por el segmento de recta de (3,4,5) a (3,4,0) Según la ecuación que representa a un segmento de línea que

��n : a � a � La ecuación de la Recta queda de la siguiente manera �Z�� 3 � ��

� �� : a � a � &� � ��&� � �3 � ��&� &� ��:�� 3� ��3 ~y

n 3�-�

¿Qué entiende por integrales de línea, a lo largo de C, con respecto a las variables x ,

es la hélice circular dada por las ecuaciones tx cos= ,

de (2,0,0) a (3,4,5)


Para C2 ��` ��O en su forma paramétrica como � Z � �Entonces

\ �c� &�\�c &�

4. Integrales de línea de campos vectoriales:

4.1. Sea PkNjMiF ++= F un campo de fuerzas continuo en Runa partícula a lo largo de una curva suave

Si �� B� � �0? es un campo de fuerzas continuo en Rtrabajo para mover una partícula a lo largo de

esta dado por la siguiente ecuación que dice que el trabajo es la

integral de línea respecto a la longitud del arco de la componente

tangencial de la fuerza.

� \��c �� - R,��

4.2. Si la curva suave C está expresada por la función vectorial

permita calcular el trabajo realizado por un campo de fuerzasuna partícula sobre C.

4.3. Si F es un campo vectorial continuo, defina integral de línea de

\��c - &

4.4. Teniendo en cuenta que el campojzyxNizyxMF ),,(),,( ++=

ecuaciones paramétricas x = x(t), y= y(t), z = z(t)realizado por el campo de fuerzas una partícula a lo largo del cuarto

para 20 π≤≤ t � vPw �


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�� * ��Z�� Z��:� �Z�� * �� * �� : a � a � &� : &�

&� � �&� � �&� \Z�*�ny �&� *��

&� � �&� � �&� 3�-� * �� -� Integrales de línea de campos vectoriales:

F un campo de fuerzas continuo en R3, calcule el trabajo parauna partícula a lo largo de una curva suave C.

es un campo de fuerzas continuo en R3; el

trabajo para mover una partícula a lo largo de C, para a � a b, esta dado por la siguiente ecuación que dice que el trabajo es la

al de línea respecto a la longitud del arco de la componente

�� &� \��c - R,��&� está expresada por la función vectorial )(tr , escriba una integral

calcular el trabajo realizado por un campo de fuerzas PkNjMiF ++=

� \��rs ��`�- ��,,��`�&�

es un campo vectorial continuo, defina integral de línea de F sobre la curva

&�� \��rs ��`�- ��,,��`�&� \��c - R,��&�

Teniendo en cuenta que el campokzyxP ),,(+ y que la curva C tiene

x = x(t), y= y(t), z = z(t).Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas xyjixyxF −= 2),( al mover una partícula a lo largo del cuarto del círculo sentjtitr += cos)(

� w�z ��

, calcule el trabajo para mover

, escriba una integral que

Pk para desplazar

sobre la curva suave C.


�,,��,�� vPw3

\��c - &�� \ ��x�y ��`�- ��,,��`

4.5. ¿La integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de

Justifique su respuesta. Aun cuando��u ��c - &�� u ��c - R,��&� cuando se invierte la orientación, sigue siendo cierto

tangente unitario R,� se sustituye con su valor negativo, cuando

4.6. Evalúe ∫ ⋅c

drF donde xyiF =

donde 10 ≤≤ t

��` �� 0? ��,,��` � � 3��

\��c - &�� \��rs ��`�- ��,,��`�&� \y

4.7. ¿Cuál es la relación entre las integral de línea del campo vectorial F y las integralesde los campos escalares correspondientes a las funciones componentes?

Si �� ]0? es un campo de fuerzas continuo en R

\��c - &�� \��rs ��`�- ��,,��`�&�

\��`� ��`� �rs

\��c - &�� \s

5. Teorema fundamental para integrales de línea

5.1. Escriba el enunciado del Teorema fundamental de las integrales de línea. Indiquey tesis. Efectúe la demostración justificando todos los pasos.

Dado el Teorema fundamental del Calculo


BY GERARDO

3 � $.* vPw � wfz � /. ��,,,�� *w�z � $.� vPw � /. � �`�&� \�*3 vPw� � ��!��&�

x�y

�3 vPw� �Z �yx� *

¿La integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de C cambia con la

y las integrales respecto a la longitud de arco, no cambian

cuando se invierte la orientación, sigue siendo cierto u ��c - &�� *u ��c - &�� se sustituye con su valor negativo, cuando –C reemplaza a C.

zxkyzjxyi ++ y C es el cubo torcido dado por :

� � Z��0? ��`� �� 0? \�� &�ny �� y

n 3�3�

¿Cuál es la relación entre las integral de línea del campo vectorial F y las integralesde los campos escalares correspondientes a las funciones componentes?

es un campo de fuerzas continuo en R3 en forma de sus componentes escalares

\�� ]0?�rs - ��`� � ��`� � ��`0?��&�

��`� ��` � ��`� ��`� ��`� ��` � ]��`� ��`\�&� � �&� � ]&�rs �� ]0?

fundamental para integrales de línea Escriba el enunciado del Teorema fundamental de las integrales de línea. Indique

y tesis. Efectúe la demostración justificando todos los pasos. Dado el Teorema fundamental del Calculo

\��+rs &� ��s � ��r

*3Z �

cambia con la orientación de C?

y las integrales respecto a la longitud de arco, no cambian

Porque el vector

es el cubo torcido dado por : x = t; y=t2; z=t3 ;

¿Cuál es la relación entre las integral de línea del campo vectorial F y las integrales de línea

us componentes escalares

�� `� ��`� �&�

Escriba el enunciado del Teorema fundamental de las integrales de línea. Indique hipótesis



Sea C una curva suave dada por la función vectorial ��`�� a � a b y sea f una función derivable de 2 o 3 variable, cuyo vector gradiente A; es continuo sobre C; entonces \A;c - &�� ;��r� * ;��s� Este teorema nos permite evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo con solo

conocer el valor de f en los extremos de C. Si f es una función de 2 variables y C una curva en el

plano, con un punto inicial ��n� �n y punto final �� \A;c - &�� ;�� * ;��n� �n 7% ��\A;c - &�� ;�� * ;��n� �n� �n !�7 �$�

Demostración (por la regla de la cadena):

\A;c - &�� \A;��`�- ��`�rs &� \MC;C� - &�C� � C;C� - &�C� � C;C� - &�C�N

rs &� \ CC�

rs ;��r�&�

Entonces por el teorema fundamental del cálculo \A;c - &�� ;��r� * ;��s�

5.2. ¿Cuándo se dice que la integral de un campo vectorial es independiente de la trayectoria?

Una integral de un campo vectorial es independiente de la

trayectoria si:

\ A;c| - &�� \ A;c� - &�� \A;c - &��

5.3. Indique si el enunciado es verdadero o falso: “Las integrales de línea de campos vectoriales conservativos son independientes de la trayectoria”. Justifique. Verdadero Porque la integral de línea del campo vectorial conservativo tendrá el mismo valor si la evaluamos

por distintos caminos (curvas)

5.4. ¿Qué entiende por curva cerrada?.

Una curva es Cerrada si su punto terminal coincide con su punto inicial, es decir que ��r� ��s�

5.5. Un teorema proporciona una condición necesaria y suficiente para que integral de línea de un campo vectorial F sea independiente de la trayectoria. 5.5.a. Enuncie y justifique dicho teorema. u ��c - &�� es independiente de la trayectoria en D Sii u ��c - &�� : para toda la trayectoria cerrada C

en D.

Como u ��c - &�� de un Campo de fuerzas conservativo es independiente de la trayectoria, por lo tanto u ��c - &�� : para trayectorias cerradas.


5.5.b. Interprete físicamente el enunciadoLa interpretación física es que el trabajo que lleva a cabo el campo de fuerzas conservativo (

gravitacional y el eléctrico) al mover un objeto alrededor de una trayectoria cerrada es igual a cero.

5.6. Un teorema afirma que los únicos campos vectoriales para los cuales las integralesson independientes de la trayectoria son los conservdicho teorema para una curva C en el plano.

Si �� es un campo vectorial continuo sobre una región abierta conexa D y si de la trayectoria en D, entonces �� ;�A; �� Sea �� b un punto fijo en D. La función potencial f, para cualquier punto (x, y) en D es:;�� u �,,�- &�,��+�>� �b ;�� \ �,,�- &c|

;�� \ �,,�-�+�>� �bCC� ;�� : �

Si �� S�

\ �,,�- &�,�c� \ ��&� � ��&��c�CC�

CC� ;�� CC�\ ��&� � ��&��c�CC�

�� C;C� � � C;C� �

5.7. Un teorema proporciona condiciones necesarias que deben cumplir las funcionescomponentes del campo para que este campo vectorial sea conservativo. Enuncie yDemuestre.

Si �� es un campo vparciales continuas de primer orden sobre un dominio D, entonces en todo D tenemos que:


BY GERARDO

Interprete físicamente el enunciado La interpretación física es que el trabajo que lleva a cabo el campo de fuerzas conservativo (

gravitacional y el eléctrico) al mover un objeto alrededor de una trayectoria cerrada es igual a cero.

Un teorema afirma que los únicos campos vectoriales para los cuales las integralesson independientes de la trayectoria son los conservativos. Enuncie hipótesis,dicho teorema para una curva C en el plano. es un campo vectorial continuo sobre una región abierta conexa D y si u ��c - &

es un campo vectorial conservativo sobre D, es decir que existe

un punto fijo en D. La función potencial f, para cualquier punto (x, y) en D es:

&�,� � \ �,,�- &�,�c�� &�,� � \ �,,�- &�,�c�� CC�\ �,,�- &�,�c�

� �� ! &� : �n a � a �

C� ;�� \�� &�+��

CC� ;�� CC� \�� &�>��

��

A; ) ��!��!�# �$#� Un teorema proporciona condiciones necesarias que deben cumplir las funciones

componentes del campo para que este campo vectorial sea conservativo. Enuncie y

es un campo vectorial conservativo, donde P y Q tienen derivadas

parciales continuas de primer orden sobre un dominio D, entonces en todo D tenemos que:C�C� C�C� � C;C� � C;C�C�C� C�;C�C� C�C� C�;C�C��!%��!��!' �&!�S% $� 8�C�C� C�C�

La interpretación física es que el trabajo que lleva a cabo el campo de fuerzas conservativo (como el

gravitacional y el eléctrico) al mover un objeto alrededor de una trayectoria cerrada es igual a cero. Un teorema afirma que los únicos campos vectoriales para los cuales las integrales de líneas

ativos. Enuncie hipótesis, tesis y justifique

&�� es independiente ervativo sobre D, es decir que existe

un punto fijo en D. La función potencial f, para cualquier punto (x, y) en D es:

Un teorema proporciona condiciones necesarias que deben cumplir las funciones componentes del campo para que este campo vectorial sea conservativo. Enuncie y

ectorial conservativo, donde P y Q tienen derivadas

parciales continuas de primer orden sobre un dominio D, entonces en todo D tenemos que:


5.8. Un teorema proporciona una condición suficiente para que un campo vectorial seaconservativo. Indique las hipótesis de este teorema. Enuncie la tesis correspondiente.

Sea �� es un campo vectorial sobre una región abierta simplemente conexa D. Si P y Q tienen derivadas de primer orden que son continuas y

5.9. Determine si el campo vectorial Siendo �

Al ser las derivadas parciales distintas se concluye que

5.10. Determine si el campo vectorial

Sea ��Al ser las derivadas parciales iguales se concluye que

5.11. Si un campo es conservativo puede encontrar la función potencial f aplicando la

“integración parcial”. Aplique esta técnica para 5.11.a. Encontrar una función

Del ejercicio anterior tenemos que las derivadas parciales son;+��Integrando obtenemos

Diferenciando ;>�� Integrando respecto de y obtenemos

Agregando el resultado obtenemos la función potencial f


BY GERARDO

Un teorema proporciona una condición suficiente para que un campo vectorial seaconservativo. Indique las hipótesis de este teorema. Enuncie la tesis correspondiente.

es un campo vectorial sobre una región abierta simplemente conexa D. Si P y Q

tienen derivadas de primer orden que son continuas y � �> �¡�+ en todo D; entonces �

Determine si el campo vectorial jxiyxyxF )2()(),( −+−= es conservativo.

�� * � �� * 3C�C� *� C�C� �C�C� X C�C�

Al ser las derivadas parciales distintas se concluye que �� no es conservativo Determine si el campo vectorial jyxixyyxF )3()23(),( 22 −++= es conservativo.

� � Z � 3�� * Z�� C�C� 3� C�C�

Al ser las derivadas parciales iguales se concluye que �� es conservativo Si un campo es conservativo puede encontrar la función potencial f aplicando la

Aplique esta técnica para Encontrar una función f tal que fF ∇= .

Del ejercicio anterior tenemos que las derivadas parciales son � � � Z � 3�� ;>�� * Z�� ;�� Z� � �� "��

� � �� "�� ) "¢�> *Z�� Integrando respecto de y obtenemos "�� *�� 0 Agregando el resultado obtenemos la función potencial f

Un teorema proporciona una condición suficiente para que un campo vectorial sea conservativo. Indique las hipótesis de este teorema. Enuncie la tesis correspondiente.

es un campo vectorial sobre una región abierta simplemente conexa D. Si P y Q �� es conservativo.

servativo.

es conservativo.

Si un campo es conservativo puede encontrar la función potencial f aplicando la técnica de



;�� Z� � �� * �� 0

5.11.b. Evalúe la integral de línea ∫ ⋅c

drF donde C es la curva dada por

jteisentetr tt ⋅+⋅= cos)( para π≤≤ t0 ��y �:�� x �:�*!x 0 : \��c - &�� \A;c - &�� ;�:� *!{ * ;�:�� !Z{ * �*� !Z{ � �

5.12. Calcule la función potencial correspondiente al campo kyejexyiyzyxF zz )3()2()(),,( 332 +++= ;+�� ;>�� 3�� !�F ;F�� Z�!�F

;�� \�&� \��&� �� "�� ;�� \B&� \3�� !�F&� �� !�F � ^�� ;�� \�&� \Z�!�F&� �!�F � 0��

;�� !�F � 0

capitulo 10 campos vectoriales

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